2015-2016学年高中数学第二章推理与证明 2.1 综合法与分析法课件新人教B版选修1-2

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高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法课件新人教版选修2_2

重点突破
反思与感悟
跟踪训练1 已知a，b，c∈R，且它们互不相等，求证a4＋b4＋c4＞a2b2 ＋b2c2＋c2a2.
证明 ∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2， ∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 又∵a，b，c互不相等. ∴a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.
编后语
常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
一、释疑难
对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。
题型二分析法的应用例 2 已知 a＞5，求证 a－5－ a－3＜ a－2－ a.
反思与感悟
a＋b b＋c c＋a 跟踪训练 2 若 a，b，c 是不全相等的正数，求证 lg 2 ＋lg 2 ＋lg 2 ＞lg a＋lg b＋lg c.
题型三综合法和分析法的综合应用
例3 已知a、b、c是不全相等的正数，且0<x<1.
a＋b
b＋c
a＋c
求证：logx 2 ＋logx 2 ＋logx 2 <logxa＋logxb＋logxc.
反思与感悟
跟踪训练3 设a，b，c为任意三角形的三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc ＋ca，试证明：3S≤I2＜4S.

_高中数学第二章推理与证明2

跟踪练习
(2014～2015·合肥一六八中高二期中)观察下题的解答过
程：
已知正实数 a、b 满足 a＋b＝1，求 2a＋1＋ 2b＋1的最
大值．
解：∵
2a＋1· 2≤
2a＋12＋ 2
22＝a＋32，
2b＋1· 2
≤
2b＋12＋ 2
22＝b＋32，
相加得 2a＋1 · 2 ＋ 2b＋1 · 2 ＝ 2 ( 2a＋1 ＋ 2b＋1)≤a＋b＋3＝4.
综合法： ∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， ∴2(a2＋b2＋c2)≥(ab＋bc＋ac)， ∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2， ∴ a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c.
人教版选修2-2
第二章推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
目标导航
• 了解综合法与分析法的特点，熟练应用分析法与综合法证明命题．
重点难点
• 重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点． • 难点：综合法和分析法的应用．
新知导学
1.综合法证明不等式
• 1．定义 • 利用___已__知__条__件___和某些数学__定__义____、__定__理____、
、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
• (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；
• (3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；

高中数学第2章推理与证明 2.2.1 综合法与分析法讲义新人教B版选修2-2-新人教B版高二选

2.2.1 综合法与分析法学习目标核心素养1．理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点)2．会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)通过学习证明数学问题的两种重要方法，提升学生的逻辑推理素养.一、综合法1．直接证明(1)直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．(2)常用的直接证明方法有综合法与分析法．2．综合法(1)定义：综合法是从原因推导到结果的思维方法，也就是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．(2)符号表示：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒P n(结论)．二、分析法1．定义：分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法．也就是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．2．符号表示：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A(已知)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是执果索因的逆推证法．( )(2)分析法就是从结论推向已知．( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求结论成立的充分条件的过程．( )[答案](1)×(2)×(3)√2．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1≥8.证明过程如下：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴不等式成立．这种证法是__________(填综合法、分析法)．[解析] 本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种证法是综合法． [答案] 综合法3.6－22与5－7的大小关系是________． [解析] 假设6－22>5－7，由分析法可得，要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22，即证13＋242>13＋410，即42>210. 因为42>40，所以6－22>5－7成立． [答案] 6－22>5－7综合法的应用__________．(2)已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m －n |＝__________.(3)下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b ≥2；④(a2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有__________．[解析] (1)∵cos A cos B >sin A sin B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0，即cos(π－C )>0，∴cos C <0，又0<C <π，∴π2<C <π，所以△ABC 是钝角三角形．(2)设方程的四个根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则由题意可知，x 1＝12，x 1x 4＝x 2x 3＝2，∴x 4＝4.设公比为q ，则x 4＝x 1q 3，∴4＝12·q 3，∴q ＝2，∴x 2＝1，x 3＝2，由根与系数的关系可得，m ＝x 1＋x 4＝92，n ＝x 2＋x 3＝3，∴|m －n |＝32.(3)①a 2＋b 2＋3＝a 22＋32＋b 22＋32＋a 22＋b 22≥2a 22×b 22＋2a 22×32＋2b 22×32＝ab ＋3(a ＋b )(当且仅当a 2＝b 2＝3时，等号成立)．②a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14.③当a 与b 异号时，不成立．④∵a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，∴(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd ≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立．[答案] (1)钝角三角形 (2)32(3)①②④1．综合法处理问题的三个步骤2．用综合法证明不等式时常用的结论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；(2)a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)．1．综合法是( ) A ．执果索因的逆推证法 B ．由因导果的顺推证法 C ．因果分别互推的两头凑法 D ．原命题的证明方法 [答案] B分析法的应用【例2】设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． [思路探究] 待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键． [解] 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式成立．1．当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．2．已知a >0，1b －1a>1，求证：1＋a >11－b. [证明] 由已知1b －1a>1及a >0可知011－b，只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a －b －ab >1，只需证a －b －ab >0，即a －bab>1，即1b －1a>1，这是已知条件，所以原不等式得证．综合法与分析法的综合应用1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．【例3】已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1．[思路探究] 先求出角B ，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决． [解] 法一：(分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3，化简，得ca ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )，所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立．法二：(综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°. 由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°. 所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2，两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得ca ＋b ＋ab ＋c＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＝3，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1．综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.3．设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .[证明] 因为x ≥1，y ≥1，所以要证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ，只需证明xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而可得不等式x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy 成立.1．下面叙述正确的是( ) A ．综合法、分析法是直接证明的方法 B ．综合法是直接证法，分析法是间接证法 C ．综合法、分析法所用语气都是肯定的 D ．综合法、分析法所用语气都是假定的 [解析] 直接证明包括综合法和分析法． [答案] A2．欲证不等式3－5＜6－8成立，只需证( ) A ．(3－5)2＜(6－8)2B ．(3－6)2＜(5－8)2C ．(3＋8)2＜(6＋5)2D ．(3－5－6)2＜(－8)2[解析] 要证3－5＜6－8成立，只需证3＋8＜6＋5成立，只需证(3＋8)2＜(6＋5)2成立．[答案] C3．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证__________________，即证__________．由于__________显然成立，因此原不等式成立． [解析] 用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．[答案] a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥04．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________．[解析] 因为a ＋b ＋c ＝1，且a ＞0，b ＞0，c ＞0，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c a≥3＋2b a ·ab＋2c b ·b c ＋2c a ·ac＝3＋6＝9. 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． [答案] 95．已知a ＞0，b ＞0，求证：a b ＋ba≥a ＋b .(要求用两种方法证明) [证明] 法一：(综合法) 因为a ＞0，b ＞0，所以a b ＋b a －a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －a ＝a －b b ＋b －a a＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，所以a b ＋b a≥a ＋b . 法二：(分析法) 要证a b ＋ba≥a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，即证(a －b )(a －b )≥0，因为a ＞0，b ＞0，所以a －b 与a －b 符号相同，不等式(a －b )(a －b )≥0成立，所以原不等式成立．。

高中数学第二章推理与证明2_2_1综合法与分析法课堂探究新人教B版选修22

高中数学第二章推理与证明综合法与分析法课堂探究新人教B版选修2-2探究一综合法的应用1．用综合法证明问题的一般步骤：(1)分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．2．用综合法证明不等式时，要注意不等式性质，均值不等式等的应用，证明三角恒等式时要注意三角函数公式、正弦定理、余弦定理等的应用．【典型例题1】已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝3，求证：a 2＋b 2＋c 2≥3.思路分析：从已知和欲证的两个式子间的关系入手可考虑先将已知式两边平方，然后再运用均值不等式证明．证明：因为a ＋b ＋c ＝3，所以(a ＋b ＋c )2＝9，即a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝9.又因为a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，于是2(ab ＋bc ＋ca )≤2(a 2＋b 2＋c 2)，所以a 2＋b 2＋c 2＋2(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝9，故a 2＋b 2＋c 2≥3. 【典型例题2】在△ABC 中，A ，B ，C 对应的边为a ，b ，c ，证明：a 2－b 2c 2＝sin A －B sin C. 思路分析：考虑到要证明的等式中含有边和角，可用正弦和余弦定理进行转化，再结合相关的三角公式证明．证明：由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ，所以左边＝a 2－b 2c 2＝c 2－2bc cos A c 2＝1－2b cos A c. 又由正弦定理知b c ＝sin B sin C，所以左边＝1－2·sin B sin Ccos A ＝sin C －2sin B cos A sin C ＝sin A ＋B －2sin B cos A sin C ＝sin A cos B ＋cos A sin B －2sin B cos A sin C ＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin A －B sin C＝右边，故原等式成立．探究二分析法的应用1．从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．2．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．3．用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语．【典型例题3】已知函数f (x )＝x 2＋3，若a ＞b ＞0，求证：f a ＋f b2＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2. 思路分析：由于已知条件和欲证结论之间的关系不明确，考虑用分析法证明．证明：要证明f a ＋f b2＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即证12[(a 2＋3)＋(b 2＋3)]＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋3，只需证a 2＋b 2＋6＞a ＋b 22＋6，只需证a 2＋b 2＞a ＋b 22，因此只需证2a 2＋2b 2＞a 2＋2ab ＋b 2，即证a 2＋b 2＞2ab ，只需证(a －b )2＞0，由于a ＞b ＞0，所以(a －b )2＞0显然成立，故原不等式成立．【典型例题4】已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且4sin 2α－2sin 2β＝1.求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β. 思路分析：由于要证的等式较为复杂，而已知条件信息较少，所以可从要证的等式出发，利用分析法证明．证明：要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β，只需证1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2βcos 2β，只需证cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝12·cos 2β－sin 2βcos 2β＋sin 2β，只需证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)，只需证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)，即证4sin 2α－2sin 2β＝1.由于已知4sin 2α－2sin 2β＝1成立，所以原等式成立．探究三综合法与分析法的综合应用1．有些数学问题的证明，需要把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P .若由P 可以推出Q 成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称为分析综合法，或称“两头凑法”．2．在证明过程中，分析法能够发现证明的思路，综合法表述证明过程则显得简洁，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．【典型例题5】在某两个正数x ，y 之间插入一个数a ，使x ，a ，y 成等差数列，插入两数b ，c ，使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．思路分析：前半部分从已知出发采用综合法得到a ，b ，c 之间的关系式，后半部分用分析法反推，然后再与该关系式结合，找到使结论成立的充分条件即可．证明：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by ，∴x ＝b 2c ，y ＝c 2b，即x ＋y ＝b 2c ＋c 2b ，从而2a ＝b 2c ＋c 2b. 要证(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)，只需证a ＋1≥b ＋1c ＋1，即证a ＋1≥b ＋1＋c ＋12，也就是证2a ≥b ＋c .因为2a ＝b 2c ＋c 2b，则只需证b 2c ＋c 2b≥b ＋c 成立即可，即b 3＋c 3＝(b ＋c )(b 2－bc ＋c 2)≥(b ＋c )·bc ，即证b 2＋c 2－bc ≥bc ，即证(b －c )2≥0成立．上式显然成立，∴(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．点评本题前半部分先用综合法得到一个由已知条件推出的结论，然后再用分析法证明最终结论，其中用到了前面推出的结论，这种处理方法在推理证明中也是常用的．。

高中数学第二章推理与证明 2.22.2.1 综合法和分析法

2.2.1 综合法和分析法第1课时综合法A 级基础巩固一、选择题1．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是( ) A ．aB ．bC ．cD ．不能确定解析：∵0<x <1，∴b ＝1＋x >2x >2x ＝a .又11－x －(1＋x )＝x 21－x >0，知11－x>1＋x ∴c >b >a ，最大的数为c .答案：C2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( ) A ．bB ．－b C.1b D ．－1b解析：f (x )定义域为(－1，1)，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a －1＝－lg 1－a 1＋a ＝－f (a )＝－b . 答案：B3．命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )A ．不成立B ．成立C ．不能断定D ．与n 取值有关解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －5又a 1＝S 1＝2×12－3×1＝－1适合上式．∴a n ＝4n －5(n ∈N *)，则a n －a n －1＝4(常数)故数列{a n }是等差数列．答案：B4．(2014·四川卷)若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A.a d >b cB.a d b dD.a c －d >0，所以1－d >1－c>0. 又a >b >0，所以a －d >b －c ，所以ad <b c. 答案：B5．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则该三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：由sin A cos A ＝sin B cos B 得sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以该三角形是等腰或直角三角形．答案：D二、填空题6．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 求导，得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故函数f (x )在区间(0，1)上是增函数”，应用了________的证明方法．解析：本命题的证明，利用题设条件和导数与函数单调性的关系，经推理论证得到了结论，所以应用的是综合法的证明方法．答案：综合法7．角A ，B 为△ABC 内角，A >B 是sin A >sin B 的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”)．解析：在△ABC 中，A >B ⇔a >b由正弦定理a sin A ＝b sin B，从而sin A >sin B . 因此A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，为充要条件．答案：充要8．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为________．解析：3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，因为a >0，b >0，所以ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4. 答案：4三、解答题9．已知a >0，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0所以(b 2＋c 2)a ≥2abc又因为b >0，c 2＋a 2≥2ac所以b (c 2＋a 2)≥2abc .因此a (b 2＋c 2)＋bc (c 2＋a 2)≥4abc .10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数y ＝f (x ＋1)与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，求证：函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．证明：∵函数y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称．∴f (x ＋1)＝f (－x )则y ＝f (x )的图象关于x ＝12对称 ∴－b 2a ＝12，∴a ＝－b . 则f (x )＝ax 2－ax ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋c －a 4 ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ax 2＋c －a 4为偶函数． B 级能力提升1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.答案：A2．已知sin x ＝55，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝________．解析：∵sin x ＝55，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴cos x ＝－45， ∴tan x ＝－12，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝－3. 答案：－33．如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，点E 是PC 的中点．(1)证明：CD ⊥AE .(2)证明：PD ⊥平面ABE .证明：(1)在四棱锥P ABCD 中，因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD .因为AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面PAC .又因为AE ⊂平面PAC ，所以CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .因为点E 是PC 的中点，所以AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，又PC ∩CD ＝C ，所以AE ⊥平面PCD .又因为PD ⊂平面PCD ，所以AE ⊥PD .因为PA ⊥底面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .又AB ⊥AD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以AB ⊥PD .又因为AB ∩AE ＝A ，所以PD ⊥平面ABE .。

高中数学第二章推理与证明 2.2.1 综合法与分析法学案新人教B版选修22

2．2.1 综合法与分析法明目标、知重点 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．1．综合法从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．2．分析法从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．[情境导学]证明对我们来说并不陌生，我们在之前学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．探究点一综合法思考1 请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.总结：此证明过程运用了综合法．一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立．思考2 综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．例1 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．证明由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C，①由于A，B，C为△ABC的三个内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B ＝π3，③ 由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac ，④由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，从而a ＝c ，所以A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．反思与感悟综合法的证明步骤如下：(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．跟踪训练1 在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C，证明：B ＝C . 证明在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin B sin C ＝cos B cos C. 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0，因为－π0，b >0)是怎样证明的？答要证a ＋b 2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ，只需证a ＋b －2ab ≥0，只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．思考2 证明过程有何特点？答从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．小结一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为止，这种证明方法叫做分析法．思考3 综合法和分析法的区别是什么？答综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．例2 求证：a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)．证明方法一要证a －a －1<a －2－a －3，只需证a ＋a －3<a －2＋a －1，只需证(a ＋a －3)2<(a －2＋a －1)2，只需证2a －3＋2a 2－3a <2a －3＋2a 2－3a ＋2，只需证a 2－3a <a 2－3a ＋2，只需证0<2，而0<2显然成立，所以a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)．方法二 ∵a ＋a －1>a －2＋a －3>0， ∴1a ＋a －1<1a －2＋a －3， ∴a －a －1<a －2－a －3.反思与感悟当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法．跟踪训练2 求证：3＋7<2 5. 证明因为3＋7和25都是正数，所以要证3＋7<25，只需证(3＋7)2<(25)2，展开得10＋221<20，只需证21<5，只需证21<25，因为21<25成立，所以3＋7<25成立．探究点三综合法和分析法的综合应用思考在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？答对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q ；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P .若P ⇒Q ，则结论得证．例3 已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且 sin θ＋cos θ＝2sin α， ①sin θcos θ＝sin 2β. ②求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β＋tan 2β.证明因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，所以将①②代入，可得4sin 2α－2sin 2β＝1. ③另一方面，要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β＋tan 2β，即证1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β21＋sin 2βcos 2β，即证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)，即证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)，即证4sin 2α－2sin 2β＝1.由于上式与③相同，于是问题得证．反思与感悟用P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示要证明的结论，则综合法和分析法的综合应用可用框图表示为： P ⇒P 1→P 1⇒P 2→…→P n ⇒P ′，⇓ ，Q ′⇒Q m ←…←Q 2⇒Q 1←Q 1⇒Q跟踪训练3 若tan(α＋β)＝2tan α，求证：3sin β＝sin(2α＋β)．证明由tan(α＋β)＝2tan α，得α＋βα＋β＝2sin αcos α，即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.①要证3sin β＝sin(2α＋β)，即证3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即证3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，化简得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.这就是①式．所以，命题成立．1．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y 2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <y D ．x <2xy <x ＋y2<y答案 D解析 ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y 2<y ，故选D.2．欲证2－3<6－7成立，只需证( )A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2答案 C解析根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2，即证：2＋7<6＋3，只需证：(2＋7)2<(3＋6)2.3．要证明3＋7<25，可选择的方法有很多，最合理的应为________．答案分析法4．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．证明要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12，∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．[呈重点、现规律]1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．。

2.2.1 综合法和分析法课件(人教A版选修1-2)

栏目导引
第二章推理与证明
2.要证明 3＋ 7<2 5可选择的方法有以下几
种，其中最合理的是( )
A．综合法
B．分析法
C．类比法
D．归纳法
解析：选B.从数据来看，宜用分析法．
栏目导引
第二章推理与证明
典题例证技法归纳
题型探究题型一综合法的应用
例1 已知 x＋y＋z＝m.求证：x2＋y2＋z2≥m32.
栏目导引
第二章推理与证明
即证 a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab.6 分 ∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立.7 分 ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立.8 分师微博平时练习时，这一步你想到、做到了吗？【名师点评】应用分析法证明问题的模式 (若p则q形式)如下：为了证明命题q为真，只需证命题p1为真，从而有…… 只需证命题p2为真，从而有…… …… 只需证明命题p为真，而已知p为真，故q必为真．
栏目导引
第二章推理与证明
即（x－1）（x－4）< （x－3）（x－2），只需证[ （x－1）（x－4）]2<[ （x－3）（x－2）]2，即证 x2－5x＋4<x2－5x＋6，即 4<6，这显然成立． ∴当 x≥4 时， x－1－ x－2< x－3－ x－4.
栏目导引
第二章推理与证明
这种证明方法叫做综合法 __定__义___、__公__理___等)，这
种证明方法叫做分析法
栏目导引
综合法
P⇒Q1 →
Q1⇒Q2 →
框
Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q
图
表 (P表示_已__知__条__件____、已有
示的__定__义___、__公__理___、 __定__理____等，Q表示

高中数学第2章推理与证明2.2.1综合法和分析法第一课时综合法a22a高二22数学

12/8/2021
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解析：由 2a>2b，可得 a>b，当 b<0 时，ln b 没意义，反之，由 ln a>ln b，得 a>b>0，∴2a>2b，故“2a>2b”是“ln a>ln b”的必要不充分条件，故选 B.
答案：B
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第三十九页，共四十五页。
4．函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，若当 x≤1 时， f(x)＝(x＋1)2－1，则当 x>1 时，f(x)的解析式为( )
经过一系列的推__理__论__证____，
→…→ Qn⇒Q (P 表示
证法
最后推导出所要证明的结论已__知__条_件___、已有的__定_义____、或由
成立，这种证明方法叫做综 _公__理____、_定__理_____等，Q 表因导
合法
示所__要__证__明_的__结__论_____) 果法
12/8/2021
第九页，共四十五页。
【证明】 ∵a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b 时等号成立)， b2＋c2≥2bc(当且仅当 b＝c 时等号成立)， c2＋a2≥2ac(当且仅当 a＝c 时等号成立)， ∴2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac(当且仅当 a＝b＝c 时等号成立)， ∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，即：3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2. 又 a＋b＋c＝1，∴(a＋b＋c)2＝1， 12/∴8/202a12＋b2＋c2≥13.
第二章推理与证明 (tuīlǐ)
12/8/2021
第一页，共四十五页。
2.2 直接证明与间接(jiàn 证明 jiē) 2.2.1 综合法和分析法第一课时综合法

高中数学第二章推理与证明2.2.2.1综合法和分析法a22a高二22数学

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【解】 (1)f′(x)＝1＋2ax＋bx. 由已知条件得ff′1＝10＝2 ，即11＋＋a2＝ a＋0b＝2 ，解得ab＝＝－ 3 1 . (2)证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知 f(x)＝x－x2＋3lnx. 设 g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，则 g′(x)＝－1－2x＋3x＝－x－1x2x＋3.
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综合法与分析法的综合应用
【例 4】设函数 f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线 y＝f(x)过 P(1,0)，
且在 P 点处的切线斜率为 2.
(1)求 a，b 的值；
(2)证明：f(x)≤2x－2.
【思路分析】
求导
→
根据切线过点P及切线斜率列方程组
→
求出a，b
构造辅利用导数求最 → 助函数 → 值证明结论
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[答一答] 3．(1)分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ (2)分析法中每一步寻找的是充分条件还是必要条件？为什么？提示：(1)分析法的推理过程属于演绎推理，这是因为在分析法的推理过程中，每一步推理都是严密的逻辑推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理． (2)分析法每一步寻找的都是充分条件而不是必要条件，分析法的证明过程常采用“欲证 Q 只需证 P”的形式表示，亦即只要 P 成立，就一定有 Q 成立，因此 P 是 Q 的充分条件，当然 P 是 Q 的充分必要条件时也可以．
如果 a1，a2，…，a8 为各项都大于零的等差数列，公差 d≠0，则( B )
A．a1a8>a4a5 C．a1＋a8>a4＋a5
B．a1a8<a4a5 D．a1a8＝a4a5

高中数学第2章推理与证明2.2.1综合法与分析法a12a高二12数学

所以(a＋c b＋1)＋(b＋a c＋1)＝3，即a＋1 b＋b＋1 c＝ a＋3b＋c，所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
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方法规律分析综合法分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推．因此常将二者交互使用，互补优缺点，从而形成分析综合法，其证明模式可用框图表示如下：
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【拓展提高】
对分析法的四点说明
(1)思维(sīwéi)特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其推理过程实际上是逐步寻求结论成立的
充分条件的过程．
(2)思维过程：由结果追溯原因，即结果→原因．
(3)优点：容易探路且探路与表述合一；缺点：表述
烦琐且不习惯，容易出错．
(3)缺点：探路艰难，易生枝节．
(4)思维过程，原因→结果．
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►知识点二分析法【探究1】分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理(yǎn yìtuī lǐ)？提示分析法的推理过程是演绎推理，因为分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的结论都是正确的，不同于合情推理中的猜想．
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因为 a＞0，b＞0，c＞0，m＞0，所以(a＋m)(b＋m)(c ＋m)＞0，
因为 a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m) ＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc －bcm－acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2 ＝2abm＋abc＋(a＋b－c)m2，因为△ABC 中任意两边之和大于第三边，所以 a＋b－c＞0，所以(a＋b－c)m2＞0，所以 2abm＋abc＋(a＋b－c)m2＞0，所以a＋a m＋b＋b m＞c＋c m.

高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法2b22b高二22数学

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∴a+ b+ c<a 1+1 b+1 c成立 .
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例 .已知 a、 b、 c为不相等正数，且 abc=1，
证求： a+
b+c<1+1+1. abc
证法 2:∵ a、 b、 c为不相等正数，且 abc=1，
∴a+ b+ c= 1+ 1+ 1 bc ca ab
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注:在上例的题设条件(tiáojiàn)下还可以有如下二个结论:
(1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段(xiànduàn)或射线, ---则: f(n)=n2. (2)这n条直线把平面(píngmiàn)分成(n2+n+2)/2个区域.
综合法与分析法。注:1.结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,。五.归纳、类比、猜想、证明。另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(xiāngjiāo),有k个交点.。
No 又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个。
另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.
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又因为已知任何三条(sān tiáo)直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个交点也两两不相同.
从而(cóng ér)平面内交点的个数是
a L2
B A

高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法与分析法学案新人教B选修2-2

2．2.1 综合法与分析法明目标、知重点 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．1．综合法从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．2．分析法从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．[情境导学]证明对我们来说并不陌生，我们在之前学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．探究点一综合法思考1 请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.总结：此证明过程运用了综合法．一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立．思考2 综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．例1 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．证明由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C，①由于A，B，C为△ABC的三个内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B ＝π3，③ 由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac ，④由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，从而a ＝c ，所以A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．反思与感悟综合法的证明步骤如下：(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．跟踪训练1 在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C，证明：B ＝C . 证明在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin B sin C ＝cos B cos C. 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0，因为－π0，b >0)是怎样证明的？答要证a ＋b 2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ，只需证a ＋b －2ab ≥0，只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．思考2 证明过程有何特点？答从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．小结一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为止，这种证明方法叫做分析法．思考3 综合法和分析法的区别是什么？答综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．例2 求证：a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)．证明方法一要证a －a －1<a －2－a －3，只需证a ＋a －3<a －2＋a －1，只需证(a ＋a －3)2<(a －2＋a －1)2，只需证2a －3＋2a 2－3a <2a －3＋2a 2－3a ＋2，只需证a 2－3a <a 2－3a ＋2，只需证0<2，而0<2显然成立，所以a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)．方法二 ∵a ＋a －1>a －2＋a －3>0，∴1a ＋a －1<1a －2＋a －3， ∴a －a －1<a －2－a －3.反思与感悟当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法．跟踪训练2 求证：3＋7<2 5.证明因为3＋7和25都是正数，所以要证3＋7<25，只需证(3＋7)2<(25)2，展开得10＋221<20，只需证21<5，只需证21<25，因为21<25成立，所以3＋7<25成立．探究点三综合法和分析法的综合应用思考在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？答对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q ；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P .若P ⇒Q ，则结论得证．例3 已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且 sin θ＋cos θ＝2sin α， ①sin θcos θ＝sin 2β. ②求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β.证明因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，所以将①②代入，可得4sin 2α－2sin 2β＝1. ③ 另一方面，要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β，即证1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β21＋sin 2βcos 2β，即证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)，即证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)，即证4sin 2α－2sin 2β＝1.由于上式与③相同，于是问题得证．反思与感悟用P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示要证明的结论，则综合法和分析法的综合应用可用框图表示为： P ⇒P 1→P 1⇒P 2→…→P n ⇒P ′，⇓ ，Q ′⇒Q m ←…←Q 2⇒Q 1←Q 1⇒Q跟踪训练3 若tan(α＋β)＝2tan α，求证：3sin β＝sin(2α＋β)．证明由tan(α＋β)＝2tan α，得sin α＋βcos α＋β＝2sin αcos α，即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.①要证3sin β＝sin(2α＋β)，即证3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即证3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，化简得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.这就是①式．所以，命题成立．1．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y 2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <y D ．x <2xy <x ＋y2<y答案 D解析 ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y 2<y ，故选D.2．欲证2－3<6－7成立，只需证( )A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2答案 C解析根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2，即证：2＋7<6＋3，只需证：(2＋7)2<(3＋6)2.3．要证明3＋7<25，可选择的方法有很多，最合理的应为________．答案分析法4．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．证明要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12，∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．[呈重点、现规律]1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．。

高中数学选修2第二章小结(推理与证明)课件

1- 22 2 (n N *) 的值. 2. 猜想 11
2n个 n个
解 : 当 n= 1 时 , 当 n= 2 时 , 当 n= 3 时 , 猜想89 =33, 111111 - 222 = 110889 =333.
4. 演绎推理
从一般性原理出发, 推出某个特殊情况下的结论, 这样的推理叫演绎推理. 三段论是演绎推理的一般模式, 包括: (1) 大前提 — 已知的一般原理; (2) 小前提 — 所研究的特殊情况;
(3) 结论 — 根据一般原理, 对特殊情况做出判断.
5. 三段论大前提：某类事物都有某特征, M 是 P.
2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法第二章小结
本章小结
知识要点例题选讲
复习参考题自我检测题
1. 归纳推理
由某事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者由个别事实概括出一般结论的推理, 即由部分到整体, 由个别到一般.
例2. 观察下列各式: 55=3125, 56=15625, 57=78125, … 则 52013的末四位数字为 ( A ) (A) 3125 (B) 5625 (C) 0625 (D) 8125 分析: 56 与 55 的末四位之差为 5625-3125=2500, 57 与 56 的末四位之差为 8125-5625=2500. 猜测: 5n+1 比 5n 末四位多 2500. 而 4 个2500 等于 10000,
例6. 在数列 {an}, {bn} 中, a1=2, b1=4, 且 an, bn, an+1 成等差数列, bn, an+1, bn+1 成等比数列 (nN*). 求 a2, a3, a4 及 b2, b3, b4. 由此猜测 {an}, {bn} 的通项公式, 并证明你的结论. 求证: an=n2+n, bn=(n+1)2. 证明: 数学归纳法, 2+1=2, 2=4, 2+ 2+(k ① 当a n = 1 时 , a = 1 b = (1 + 1) 解得 = k 3 k + 2 = ( k + 1) + 1). 1 1 k+1 2 =[ 结果与已知相符 , 2) 即 n( = 时+猜测成立 . bk+1=(k+ k1 +1) 1]2. 2+k, b =(k+1)2 成立, ② 假设当 n = k 时 , a = k k k 即 n=k+1 时猜测也成立 . 由已知得根据①②两步可知 nN*时, an=n2+n, bn=(n+1)2 2=k2+k+a 2( k + 1) , 2 b = a + a , 都成立. k + 1 k k k+1 ( 推证 a , b 时 , 思路源于 k + 1 k + 1 ak+12=(k+1)2bk+1. ak+12=bkbk+1.. ∴猜测是正确的求 a2, b2 时解方程组的思想)

高中数学第二章推理与证明2.1.1.1综合法和分析法a22a高二22数学

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[点睛] 一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解题思路；而综合法解题条理清晰，宜于表述．因此在解决问题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．
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[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法． (2)分析法就是从结论推向已知． (3)所有证明的题目均可使用分析法证明．
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综合法的解题步骤
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[活学活用] 1．已知 a，b，c，d∈R，求证：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
证明：∵左边＝a2c2＋2abcd＋b2d2 ≤a2c2＋(a2d2＋b2c2)＋b2d2 ＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝右边， ∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
B．( 2－ 6)2＜( 3－ 7)2
C．( 2＋ 7)2＜( 3＋ 6)2
D．( 2－ 3－ 6)2＜(－ 7)2 答案：C
4．如果 a a＞b b，则实数 a，b 应满足的条件是________．
答案：a＞b＞0
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综合法的应用
[典例] 在△ABC 中，三边 a，b，c 成等比数列．
∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．
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分析法证明不等式的依据、方法与技巧 (1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论； (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法； (3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式； (4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语．