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2014届高三理科数学测试题

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2014年全国高考浙江省高中数学理科试卷和答案

2014年全国高考浙江省高中数学理科试卷和答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ） A. ∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c 7.在同一直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设a,b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2i i ξ=； （b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =.则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则( )A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D.123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________.13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不 同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______15.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________ 17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值 。

2014届高三理科数学综合测试题(5)

2014届高三理科数学综合测试题(5)

2014届数学（理科）综合测试题（5）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则复数)1(2i i +的模是（ ） （A ）4； （B ）； （C ）； （D ）8.2.若集合}3{<=x x M ,})1lg({-==x y x N ,则=⋂N M （ ）（A ）)3,1(； （B ）)3,1[； （C ）)3,1(-； （D ）)1,3(-.3．如图，在ABC ∆中，2===BC AC AB ，则=⋅BC AB ( )（A ）1； （B ）1-； （C ）2； （D ）2-. 第3题图4.双曲线1422=-y x 的焦点到渐近线的距离为（ ） （A ）2； （B ）2； （C ）1； （D ）3.5.在下列命题：①R x ∈∀，0)21(>x ； ②2πα=是1sin =α的充要条件；③二项式43)12(xx + 展开式中的常数项为2；④设随机变量ξ～)1,0(N ，若p P =≥)1(ξ，则p P -=<<-21)01(ξ，其中所有正确命题的序号是（ ）（A ）①②③； （B ）①③④； （C ）①②④； （D ）②③④.6.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）（A ）4种； （B ）10种； （C ）18种； （D ）20种. 7.某个长方体被一个平面所截，截得的几何 体的三视图如图所示，则这个几何体的体 积为（ ）（A ）4； （B ）24；（C ）26； （D ）8. 第7题图8.设),(A A y x A ,),(B B y x B 为平面直角坐标系上的两点，其中Z y x y x B B A A ∈,,,.令，,若,且，则称点B 为点A 的“相关点”，记作：)(A B τ=,已知),(000y x P （Z y x ∈00,）为平面上一个定点，平面上点列}{i P 满足：)(1-=i i P P τ且点i P 的坐标为),(i i y x ，其中n i ,,3,2,1⋅⋅⋅=,则点的“相关点”个数为（ ）（A ）4； （B ）6； （C ）8； （D ）10.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（9～13题） 9.已知),2(ππα∈，21sin =α，则=α2tan . 10.在等比数列}{n a 中，02423=-a a a ,若}{n b为等差数列，且33a b =, 则数列}{n b 的前5 项和等于 .11.若执行如图所示的框图，输入11=x ，22=x ， 33=x ，2=x ，则输出的数等于 . 12.设是周期为2的奇函数，当10≤≤x 时,)1(2)(x x x f -=，则=-)25(f .13.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克，B 原料2千克； 生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产 第11题图 品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求以每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司可共获得的最大利润是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题全答的，只记前一题的得分）14.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 1cos y x （其中α为参数）；在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为01)sin (cos =+-θθρ，则1C 与2C 交点个数为 .15.如图，BC AE AD ,,分别与圆O 切于点F E D ,,，延长AF 与圆O 交于另一点G ，给出下列三个结论：①CA BC AB AE AD ++=+， ②AE AD AG AF ⨯=⨯， ③AFB ∆∽ADG ∆，其中正确结论的序号是 . 第15题图三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）设)3,cos 2(x ω=，22(sin ,cos sin )b x x x ωωω=-（0>ω），函数x f ⋅=)(，且函数)(x f 图像的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为4π. （1）为求函数)(x f 的解析式.（2）在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且满足0)(=A f ,4π=B ，2=a ，求边c 的长.17.（本小题满分12分）靖国神社是日本军国主义的象征.中国人民珍爱和平，所以要坚决反对日本军国主义.2013年12月26日日本首相安倍晋三悍然参拜靖国神社，此举在世界各国激起舆论的批评.某报的环球舆情调查中心对中国大陆七个代表性城市的1000个普通民众展开民意调查.某城市调查体统计结果如下表：（1上持续对日强硬”的民众所占比例；（2）能否有以上的把握认为这七个代表性城市的普通民众的民意与性别有关？（3）从被调查认为“中国政府需要在钓鱼岛和其他争议问题上持续对日强硬”的民 众中，采用分层抽样的方式抽取6人做进一步的问卷调查，然后在这6人中用简单随机抽样方法抽取2人进行电视专访，记被抽到的2人中女性的人数为X ，求X 的分布列.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,18.（本小题满分14分）如图，已知1111D C B A ABCD - 是棱长为3的正方 体，点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11==FC AE .（1）求证：E 、B 、F 、1D 四点共面；（2）若点G 在BC 上，23=BG ，点M 在1BB 上，BF GM ⊥，垂足为H ，求证： ⊥EM 面11B BCC ；（3）用θ表示截面1EBFD 和面11B BCC 所成锐二面角大小，求θcos .P(19.（本小题满分14分）已知椭圆C 的方程为142222=+my m x ，如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别为)0,2(A ，)1,0(B ，)1,2(C .（1）求椭圆C 的离心率；（2）若椭圆C 与ABC ∆无公共点，求m 的取值范围；（3）若椭圆C 与ABC ∆相交于不同的两点，分别为M 、N ，求OMN ∆面积S 的最大值.20.（本小题满分14分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ,已知6)2(321--+=++n n n a S ，+∈N n ，21=a . （1）求2a 的值；（2）求数列}{n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有12711121<+⋅⋅⋅++n a a a .21.（本小题满分14分）已知函数ax e x f x --=1)(，R a ∈. （1）求函数)(x f y =的单调区间；（2）试探究函数x x x f x F ln )()(-=在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由.（3）若x e x g x ln )1ln()(--=，且)())((x f x g f <在),0(+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题：1．B ；2．A ；3．D ；4．C ；5．B ；6．B ；7．D ；8．C ． 二、填空题：9．3-；10．10；11．32；12．21-；13．2800；14．2；15．①②． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．16．（本小题满分12分）（1）x x x x x x b a x f ωωωωωω2cos 32sin )sin (cos 3cos sin 2)(22+=-+=⋅= ……2分 )32s i n (2)2c o s 232s i n 21(2πωωω+=+=x x x 。

2014届高三理科数学综合测试题(2)

2014届高三理科数学综合测试题(2)

图1高三理科数学综合训练题（2014.2）一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{2,0,1,4}A =，{04,R}=<≤∈B x x x ，C A B = ．则集合C 可表示为A ．{2,0,1,4}B ． {1,2,3,4}C ．{1,2,4}D ． {04,R}x x x <≤∈2.复数z 满足(1i)1z -=（其中i 为虚数单位），则z =A ．11i 22- B ．11i 22+ C ．11i 22-+ D ．11i 22--3．下列函数中，为奇函数的是A ．122x x y =+B ．{},0,1y x x =∈C ．sin y x x =⋅D ．1,00,01,0x y x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩4．“1ω=”是“ 函数()cos f x x ω=在区间[]0,π上单调递减”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．执行如图1所示的程序框图，则输出的a 的值为 （注：“2a =”，即为“2a ←”或为“:2a =”．） A ．2 B ．13C ．12- D ．3-6．412x x -(的展开式中常数项为A ．12B ．12-C ．32D ．32-7．如图2，在矩形OABC 内：记抛物线21y x =+与直线1y x =+ 围成的区域为M （图中阴影部分）．随机往矩形OABC 内投一点P ，则点P 落在区域M 内的概率是 A ．118 B ．112C ．16 D ．1311+8.在平面直角坐标系中，定义两点11(,)P x y 与22(,)Q x y 之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-．给出下列命题：（1）若(1,2)P ，(sin ,2cos )()Q R ααα∈，则(,)d P Q的最大值为3 （2）若,P Q 是圆221x y +=上的任意两点，则(,)d P Q的最大值为 (3) 若(1,3)P ，点Q 为直线2y x =上的动点，则(,)d P Q 的最小值为12． 其中为真命题的是 A ．（1）（2）（3） B ．（1）（2） C ．（1）(3) D ． (2)(3)二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．函数f x ()的定义域为 ．10．某几何体的三视图如图3所示，其正视图是边长为2的正方形，侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则此几何体的体积是 ．11.已知双曲线2222:1x y C a b -=与椭圆22194x y +=有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，则双曲线C 的方程为 ．12. 设实数,x y 满足,102,1,x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩向量2,x y m =-()a ，1,1=-()b ．若// a b ，则实数m 的最大值为 ．13.在数列{}n a 中，已知24a =， 315a =，且数列{}n a n +是等比数列，则n a = ． （二）选做题：第14、15题为选做题，只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分． 14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线1C 的参数方程为,x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ-=-．则曲线1C 与曲线2C 的交点个数为________个．图415．（几何证明选讲选做题）如图4，已知AB 是⊙O 的直径，TA是⊙O 的切线，过A 作弦//AC BT ，若4AC =，AT =，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像经过点π(,1)12． （1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，若222a b c ab +-=，且π()2122A f +=．求sin B ． 17.（本小题满分12分）某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图5（1））：若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定 义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3:2．（1）试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图（如图5(2)）．（2）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购 达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望．图5(1) (2)18．（本小题满分14分）如图6所示，平面ABCD ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ， BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==．（1）求证：//AF 平面CDE ； （2）求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值； （3）求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值．19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24(1)(1)(2)(N )n n n S n a n *++=+∈． （1）求1a ，2a 的值； （2）求n a ； （3）设1n nn b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．AD BC FE图620.（本小题满分14分）如图7，直线:(0)l y x b b =+>，抛物线2:2(0)C y px p =>，已知点(2,2)P 在抛物线C 上，且抛物线C 上的点到直线l 的距离的最小（1）求直线l 及抛物线C 的方程；（2）过点(2,1)Q 的任一直线（不经过点P ）与抛物线C 交于A 、B 两点，直线AB 与直线l 相交于点M ，记直线PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ， 3k ．问：是否存在实数λ，使得123k k k λ+=？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数2901xf x a ax =>+()() ．（1）求f x ()在122[,]上的最大值；（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；（3）当2a =时，设1214122x x x ,⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦…,,, ，且121414x x x =…+++ ，若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值．图7yM PBQxAOl参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBDADCBA二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．{2}x x ≥；10．83；11．2214y x -=；12．6；13．123n n -⋅-；14．1；15．．三、解答题：本大题共6小题，共80分．16．（本小题满分12分） （1）由题意可得π()112f =，即πsin()16ϕ+=．……………………………2分 0πϕ<< ，ππ7π666ϕ∴<+<， ππ62ϕ∴+=， π3ϕ∴=．……………5分 （2）222a b c ab +-= ， 2221cos 22a b c C ab +-∴==，………………………7分sin C ∴==．………………………………8分 由（1）知π()sin(2)3f x x =+，π(+)sin()cos 2122A f A A π∴=+==()0,A π∈ ，sin 2A ∴==，……………………10分 又sin sin(π())sin()B A C A C =-+=+ ，1sin sin cos cos sin 22224B AC A C ∴=+=+=．…………12分 17．（本小题满分12分）（1）根据题意，有39151860,182.39153x y y x +++++=⎧⎪⎨=⎪+++⎩+解得9,6.x y =⎧⎨=⎩………………2分0.15p ∴=，0.10q =．补全频率分布直方图如图所示．………………4分（2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有210=45⨯人，“非网购达人”有310=65⨯人．……………6分 故ξ的可能取值为0，1，2，3；03463101(0)6C C P C ξ=== ， 12463101(1)2C C P C ξ===，21463103(2)10C C P C ξ===，30463101(3)30C C P C ξ===．……………10分所以ξ的分布列为：01236210305E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………………12分18．（本小题满分14分）（解法一）（1）取CE 中点为G ，连接DG 、FG ， //BF CG 且BF CG =，∴四边形BFGC 为平行四边形，则//BC FG 且BC FG =． ……………2分 四边形ABCD 为矩形， //BC AD ∴且BC AD =，//FG AD ∴且FG AD =，∴四边形AFGD 为平行四边形，则//AF DG ．DG ⊂ 平面CDE ，AF ⊄平面CDE ， //AF ∴平面CDE ．…………………………4分（2）过点E 作CB 的平行线交BF 的延长线于P ，连接FP ，EP ，AP ，////EP BC AD ， ∴A ，P ，E ，D 四点共面．四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形，∴EP CD ⊥，EP CE ⊥，又 CD CE C = ，EP ∴⊥平面CDE ，∴EP DE ⊥， 又 平面ADE 平面BCEF EP =，∴DEC ∠为平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的平面角．……………7分4DC CE ==，∴cos CE DEC DE ∠==．即平面ADE 与平面BCEF 9分 （3）过点F 作FH AP ⊥于H ，连接EH ，根据（2）知A ，P ，E ，D 四点共面，////EP BC AD ，∴BC BF ⊥，BC AB ⊥， 又 AB BF B = ， BC ∴⊥平面ABP ，∴BC FH ⊥，则FH EP ⊥． 又 FH AP ⊥， FH ∴⊥平面ADE ．∴直线EF 与平面ADE 所成角为HEF ∠．……11分4DC CE ==，2BC BF ==，∴0sin 45FH FP ==EF =HE ，∴cos HE HEF EF ∠===．即直线EF 与平面ADE 14分 （解法二）（1） 四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形，∴BC CE ⊥，BC CD ⊥，又 平面ABCD ⊥平面BCEF ，且平面ABCD 平面BCEF BC =，DC ∴⊥平面BCEF ．以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：(2,0,4)A ，(2,0,0)B ，(0,0,0)C ，(0,0,4)D ，(0,4,0)E ，(2,2,0)F ， 则(0,2,4)AF =- ，(2,0,0)CB =．………………………2分BC CD ⊥ ，BC CE ⊥， CB ∴为平面CDE 的一个法向量．又0220(4)00AF CB ⋅=⨯+⨯+-⨯=，//AF ∴平面CDE ． ……………4分（2）设平面ADE 的一个法向量为1111(,,)n x y z = ，则110,0.AD n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩(2,0,0)AD =- ，(0,4,4)DE =- ，∴11120440x y z -=⎧⎨-=⎩，取11z =，得1(0,1,1)n =． ……6分DC ⊥ 平面BCEF ，∴平面BCEF 一个法向量为(0,0,4)CD =，设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α，则11cos CD n CD n α⋅===⋅ ． 因此，平面ADE 与平面BCEF……………9分 （3）根据（2）知平面ADE 一个法向量为1(0,1,1)n =，(2,2,0)EF =-，1111cos ,2EF n EF n EF n ⋅∴<>===-⋅， ……………………12分 设直线EF 与平面ADE 所成角为θ，则1cos sin ,EF n θ=<>=因此，直线EF 与平面ADE． ……………14分 19．（本小题满分14分）（1）当=1n 时，有2114(11)(+1=1+2a a ⨯+）（），解得1=8a ．当=2n 时，有21224(21)(1)(22)a a a ⨯+++=+，解得2=27a ．………………2分（2）（法一）当2n ≥时，有2(2)4(1)1nn n a S n ++=+, ……………①211(1)4(1)n n n a S n--++=． …………………② ①—②得：221(2)(1)41n n n n a n a a n n -++=-+，即：331(1)=n n a n a n-+．……………5分 ∴1223333===1(1)(1)3n n n a a a a n n n --==+-…．∴ 3=(1)n a n +(2)n ≥． ……………8分 另解：33333121333121(1)42(1)(1)3n n n n n a a a n n a a n a a a n n ---+=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=+- ． 又 当=1n 时，有1=8a ， ∴3=(1)n a n +．………………………8分（法二）根据1=8a ，2=27a ，猜想：3=(1)n a n +． ……………………………3分用数学归纳法证明如下：（Ⅰ）当1n =时，有318(11)a ==+，猜想成立． （Ⅱ）假设当n k =时，猜想也成立，即：3=(1)k a k +．那么当1n k =+时，有2114(11)(1)(12)k k k S k a +++++=++，即：211(12)4(1)11k k k a S k +++++=++，………………………①又 2(2)4(1)1kk k a S k ++=+， …………………………②①-②得：22223111(3)(2)(3)(2)(1)4=2121k k k k k a k a k a k k a k k k k ++++++++=--++++，解得33+1(2)(11)k a k k =+=++．∴当1n k =+时，猜想也成立．因此，由数学归纳法证得3=(1)n a n +成立．………………………………8分 （3） 211111=(1(11n n n b a n n n n n +=<=-+++))， …………………………10分 ∴1231=n n n T b b b b b -+++++…2222211111=234(1)n n ++++++…211111<22323(1)(1)n n n n +++++⨯⨯-+ (11111)1111=()()()()4233411n n n n +-+-++-+--+ (1113)=4214n +-<+．…………14分 20．（本小题满分14分）（1）（法一） 点(2,2)P 在抛物线C 上， 1p ∴=． …………………2分设与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线l '方程为y x m =+，由2,2,y x m y x =+⎧⎨=⎩ 得22(22)0x m x m +-+=， 22(22)448m m m ∆=--=- ， ∴由0∆=，得12m =，则直线l '方程为12y x =+．两直线l 、l '间的距离即为抛物线C 上的点到直线l 的最短距离，∴4=，解得2b =或1b =-（舍去）．∴直线l 的方程为2y x =+，抛物线C 的方程为22y x =． ………………6分（法二） 点(2,2)P 在抛物线C 上， 1p ∴=，抛物线C 的方程为22y x =．…2分设2(,))2t M t t R ∈（为抛物线C 上的任意一点，点M 到直线l 的距离为d =根据图象，有202t t b -+>，21)21]d t b ∴=-+-，t R ∈ ，d ∴4=，解得2b =． 因此，直线l 的方程为2y x =+，抛物线C 的方程为22y x =．……………6分 （2） 直线AB 的斜率存在，∴设直线AB 的方程为1(2)y k x -=-，即21y kx k =-+，由221,2,y kx k y x =-+⎧⎨=⎩ 得22420ky y k --+=， 设点A 、B 的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ，则122y y k +=，1224k y y k-=， 11121112222222y y k y x y --===-+- ，2222k y =+， ……………………9分 121212121222+82()82242242222()4324y y k k k k k y y y y y y k k⋅+++∴+=+===-++++++⋅+.……10分 由21,2,y kx k y x =-+⎧⎨=+⎩ 得211M k x k +=-，411M k y k -=-，∴341221121321k k k k k k --+-==+--， ………13分 1232k k k ∴+=．因此，存在实数λ，使得123k k k λ+=成立，且2λ=．……14分21．（本小题满分14分）（1）2222229[1(1)2]9(1)()(1)(1)ax x ax ax f x ax ax ⋅+-⋅-'==++，………………………………2分 令()0f x '=，解得x =（负值舍去），由122<<，解得144a <<．（ⅰ）当104a <≤时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≥，∴()f x 在1[,2]2上的最大值为18(2)41f a =+．………………………3分（ⅱ）当4a ≥时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≤，∴()f x 在1[,2]2上的最大值为118()24f a =+．…………………4分（ⅲ）当144a <<时， 在12x a <<时，()0f x '>，在2x a<<时，()0f x '<，∴()f x 在1[,2]2上的最大值为=2f a a（）5分 （2）设切点为(,())t f t ，则()1,()2.f t f t t a '=-⎧⎨=-+⎩…………………………………6分由()1f t '=-，有2229[1]1(1)at at -=-+，化简得2427100a t at -+=， 即22at =或25at =， ……………………………① 由()2f t t a =-+，有2921ta t at=-+，……………②由①、②解得2a =或4a =． ………………………9分（3）当2a =时，29()12xf x x =+，由（2）的结论直线4y x =-为曲线()y f x =的切线，(2)2f = ，∴点(2,(2))f 在直线4y x =-上，根据图像分析，曲线()y f x =在直线4y x =-下方． ……………10分 下面给出证明：当1[,2]2x ∈时，()4f x x ≤-．3222928104()(4)41212x x x x f x x x x x -+---=-+=++ 2221(2)12x x x --=+（），∴当1[,2]2x ∈时，()(4)0f x x --≤，即()4f x x ≤-．………………12分∴12141214()()()414()f x f x f x x x x +++≤⨯-+++ ，121414x x x +++= ， 1214()()()561442f x f x f x ∴+++≤-= ．∴要使不等式1214()()()f x f x f x λ+++≤ 恒成立，必须42λ≥．…………13分又 当12141x x x ==== 时，满足条件121414x x x +++= ，且1214()()()42f x f x f x +++= ，因此，λ的最小值为42．………………14分。

2014年安徽高考理科数学试题含答案(Word版)

2014年安徽高考理科数学试题含答案(Word版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间为120分钟。

参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若z=1+I,则iz+i ·z = （A ）-2 （B ）-2i （C ）2 （D ）2i （2）“x ＜0”是ln （x+1）＜0的 （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）34 （B ）55 （C ）78 （D ）89(4) 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。

已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（A ）14 （B ）214 （C ）2 （D ）22（5）x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为（A ）21 或-1 （B ）2或21 （C ）2或1 （D ）2或-1 （6）设函数f(x)（x ∈R ）满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x ≤π时，f(x)=0，则)623(πf = （A ）21（B ）23（C ）0 （D ）21-（7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+ （B ）318+ （C ）21 （D ）18（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有 （A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对（9）若函数f(x)=| x+1 |+| 2x+a |的最小值为3，则实数a 的值为 （A ）5或8 （B ）-1或5 （C ）-1或 -4 （D ）-4或8（10）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量啊a , b , | a | = | b | = 1 , a ·b = 0,点Q 满足=2( a + b ).曲线C={ P | =a cos θ + b sin θ ,0≤θ<2π},区域Ω={ P | 0 < r ≤| | ≤ R , r <R },若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则（A ）1 < r < R <3 （B ）1 < r < 3 ≤ R （C ）r ≤ 1 < R <3 （D ）1 < r < 3 < R2014普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科） 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。

2014年高三理科考试题

2014年高三理科考试题

.2014年高三数学测试题（理科）第I卷一、选择題(本大题共12小每小題5分,共60分.在每小題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合U={ - 1, 1,2, 3}M={x|x2-5x + p = 0)若={-1,1}，则实数 p的,值为A. -6B. -4C. 4D. 62. 已知复数z-1+i,则=A, B. C. D.3. 直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(l,2),则a b =A.-8B. -6C. -1D. 54. 已知集合M，P，则“x或M，或”是“"的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件取最大值时n =5. 已知递减的等差数列满足，则数列前n项和SnA. 3B. 4C. 4或 5D. 5或 66.已知某几何体的三视图如右图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为A/ B.C. D.7.设函数,且其图象相邻的两条对称轴为x=O X=，则A.y=f(x)的最小正周期为，且在(0，）上为增函数B y=f(x)的最小正周期为，且在(0，）上为减函数C. y=f(x)的最小正周期为，且在（0，）上为增函数D. y=f(x)的最小正周期为，且在(0，）上为减函数8.某算法的程序框图如右边所示，则输出的S的值为A. B.C. D.9.在圆内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为A. B.C. D.10. 设x，y满足约束条件,若目标函数（其中b>a〉0)的最大值为5，则8a+b的最小值为A. 3B. 4C. 5D. 611.已知，实数a、b、c满足，且0<a<b<是函数f(x)的一个零点，那么下列不等式中,不可能等成立的是c，若实数xA. B. C. D,12.ΔABC的外接圆圆心为O，半径为2，，且，向量在方向上的投影为A. B. C. 3 D. — 3第II卷本卷包括必考題和选考题两部分。

2014理科数学高考真题与答案(全word收藏版)

2014理科数学高考真题与答案(全word收藏版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N = A.{1,0,1}- B.{1,0,1,2}- C.{1,0,2}- D.{0,1}2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A.34i -B.34i +C.34i --D.34i -+3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.8B.7C.6D.54．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系不确定 8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130小学 初中高中 年级 O二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

2014年全国高考理科数学试题及答案-辽宁、四川、陕西、新课标

2014年全国高考理科数学试题及答案-辽宁、四川、陕西、新课标

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A B =U （ ） A ．{|0}x x ≥ B ．{|1}x x ≤ C ．{|01}x x ≤≤ D ．{|01}x x <<2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i -3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设,,a b c r r r是非零向量，学科 网已知命题P ：若0a b •=r r ，0b c •=r r ，则0a c •=r r ；命题q ：若//,//a b b c r r r r，则//a c r r ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．247.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π-8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 9.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，学 科网过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．4311.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ） A ．12 B ．14C ．12πD ．18第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = .14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .15.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC •=u u u r u u u r ，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值. 18. （本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点. （1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P 且离心率为3.（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x x π=--+-.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD ，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N. （1）求M ；（2）当x M N ∈I 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.2014年陕西高考数学试题（理）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，则M N =I （ ）.[0,1]A .[0,1)B .(0,1]C .(0,1)D【答案】 B 【解析】B N M N M 选，).1,0[),11-(),,0[=∩∴=+∞=Θ2.函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π .B π .2C π .4D π【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ωΘ 3.定积分1(2)xx edx +⎰的值为（ ）.2Ae + .1B e + .C e .1De -【答案】 C 【解析】C e e e e x dx e x x x 选∴,-0-1|)()2(1001102∫=+=+=+Θ4.根据右边框图，对大于2的整数N ，输出数列的通项公式是（ ）.2n A a n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=【答案】 C 【解析】C q a a a a a n 选的等比数列是.2,2∴,8,4,21321=====Θ5.已知底面边长为12则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π【答案】 D 【解析】D r r r r 选解得设球的半径为.π3434V ∴,1,4)2(11)2(,32222====++=πΘ6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C 4.5D 【答案】 C 【解析】C p 选反向解题.53C 4C 4-1.2525=== 7.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3xf x =【答案】 D 【解析】D y f x f y x f D C y x y x y x 选而言，对不是递增函数只有.333)()(,3)(.++=•=•=+8.原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12zz =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，假，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 【答案】 B 【解析】Bz z b a z b a z bi a z bi a z 选选择完成判断逆命题的真假即可逆否名称也为真，不需，原命题为真，则设，逆命题和否命题等价原命题和逆否名称等价.,||||∴,||||,-,.2122222111=+=+==+=设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数， 1,2,,10i =L ），则12,10,y y y L 的均值和方差分别为（ ） （A ）1+,4a （B ）1,4a a ++ （C ）1,4 （D ）1,4+a【答案】 A 【解析】A 选变均值也加此数，方差不样本数据加同一个数，.10.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降， 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）（A ）3131255y x x =- （B ）3241255y x x =-（C ）33125y x x =- （D ）3311255y x x =-+ 【答案】 A【解析】AA f x f f x f A f x 选符合只有，，而言，对即为极值点且），三次奇函数过点..053-53)5(53-1253x )(2-3-1)5(∴x 53-x 1251)(.0)5(,5,2-5(),0,0(23==′=′====′=Θ第二部分（共100分）二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.已知,lg ,24a x a==则x =________. 【答案】 10【解析】.1010,21lg 12a ∴,lg ,224212a a========x a x a x 所以，Θ12.若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______.【答案】11-(22=+）y x 【解析】.11-(1),1,0(∴)1,0()0,1(22=+=）的标准方程为半径为圆心为，的对称点关于点y x x y Θ设20πθ<<，向量()()sin 2cos cos 1a b θθθ==r r ，，，，若b a ρρ//，则=θtan _______.【答案】 21【解析】.21tan θθ,cos θcos θsin 2θcos θ2sin ∴//).1,θ(cos ),θcos ,θ2(sin 22=====解得即Θ14.猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________.【答案】 2+=+E V F 【解析】.2+=+E V F 经观察规律，可得15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）.A (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，则22m n +的最小值为.B （几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC于点,E F ，若2AC AE =,则EF =.C （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是 【答案】 A 5 B 3 C 1【解析】A5.≤5)φθsin(∴5)φθsin(5os θ5θsin 5,os θ5,θsin 5∴,52222222222的最小值为所以，，则设n m n m n m n m c n m nb ma c b a b a ++=++=++=+=+===+ΘB.3,2,6∴Δ=∴===ΔEF AE AC BC CBEFAC AE ACB AEF ，且相似与Θ C1|1323-3|023-1,3(∴,2-3121os θρ-23θsin ρ)6π-θsin(ρ,1,3()6π,2(=++==+==••=d y x x y c 的距离）到直线点即对应直线）对应直角坐标点极坐标点Θ三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16. （本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值.【答案】 （1） 省略 （2）21【解析】 （1）C)sin(A sinC sinA .∴C),sin(A sinB sinC.sinA 2sinB c,a b 2∴,,+=++=+=+=ΘΘ即成等差，c b a（2）.,21cosB 212ac ac -2ac 2ac b -2ac ≥2ac b -c a cosB ac.b ∴,,22222这时三角形为正三角形取最小值时，仅当又成等比，b c a c b a ====+==Θ17. （本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分 别交四面体的棱CA DC BD ，，于点H G F ，，.（I ）证明：四边形EFGH 是矩形；（II ）求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值.【答案】 （1） 省略 （2）510【解析】 （1）.FG.⊥BCD ⊥,//∴,,AD//HG AD//EF,∴ADHG ADEF EFGH ⊂HG EF,EFGH,AD//HC AH EH//BC,∴EHBC EFGH,⊂EH EFGH,//B BCD⊥AD DC,⊥BD Δ,Δ为矩形所以，四边形，即面，且且共面和，面面同理且共面面面面且为等腰由题知，EHGF EF EF HG EF HG EF GC DG FB DF C RT BCD ====ΘΘ（2）510|,cos |sin 510252||||,cos ),0,1,1(0),,,()0,1-1(),2100(),1-20()0,0,1(),211,0(),0,1,0(),020(),100(,,DA ,DB ,DC (1)=><==<∴=======∴n AB n AB z y x EHGF G E F B A z y x θ所以，，解得一个则法向量，设面，，，，，，，，，，轴建系，则为知，分别以由18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的 区域（含边界）上（1）若=++，；（2）设),(R n m n m ∈+=，用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值.【答案】 （1） 22 （2）m-n=y-x, 1【解析】 （1）22|OP |22|OP |,2,2,0-2-3-1,0-3-2-1(0,0))-2,-3()-3,-2()-1,-1(PC PB PA ∴),,(),2,3(),3,2(),11(22==+=∴===++=++∴=++=++所以，解得，y x y x y y y x x x y x y x y x y x P C B A Θ（2）1---.1-)3,2(.,,-.--.2,2),1,2()2,1(y)x ,(∴,最大值为，所以，取最大值时，经计算在三个顶点求线性规划问题，可以代含边界内的最大值，属在三角形即求解得即n m x y n m x y B C B A ABC x y x y n m n m y n m x n m n m ==+=+=+=+=Θ19.（本小题满分12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上 的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（1）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元 的概率.【答案】 （1）（800,0.2）（2000,0.5）（4000,0.3） （2） 0.896【解析】 （1）3.06.0*5.0)4000(,5.04.0*5.06.0*5.0)2000(,2.04.0*5.0)800(.4000,2000,80040001000-10*50020001000-6*50020001000-10*3008001000-6*300.-*====+==========X p X p X p X X 三个，即，，，可以取考虑产量和价格，利润成本价格产量利润X 800 2000 4000 P0.20.50.3896.020*******.08.02.0*8.0*3)-1()-1(200023.8.03.05.02000)1(8001000-6*300.-*32333223的概率是季的利润不少于季中至少有所以，的概率季的利润不少于季中至少有则的概率知，一季利润不少于由，可以取考虑产量和价格，利润成本价格产量利润=+=+==+===p p C p p C P p X X20.（本小题满分13分）如图，曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b+=>>≥和部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为32. （1）求,a b 的值；（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l的方程.【答案】 （1） a=2,b=1 （2） )1-(38-x y =【解析】 （1）14,3,1,2∴,23.1∴)0,1(),0,1-(1-2222222=+===+===+=x y c b a c b a a c b x y 椭圆方程为联立解得又，交于点抛物线ΘΘ（2）)1-(38-.38-,0)2(4-)2,1)(4-,(,0)2k -k - -k,()4k8- 1,44-(,0∴⊥),0,1-()2k --k ,1--k (,2k --k )1-(,1--k 0,1-k -:1-)4k8-,44-(,4k 8-)1-(,44-04-2-)4(,44)12x -(14),,(),,(),1-()0,1(222222222222222112212222222222211x y k k k k k k k k AQ AP AQ AP A Q x k y x kx x x y k k k P k x k y k k x k x k x k x x k x y y x Q y x P x k y B ===+=+=•+++=•====++=+++==+==++=++=+=所以，所求直线方程为解得即即即由韦达定理得联立得与即由韦达定理得，即联立得与的直线方程为设过Θ21.（本小题满分14分） 设函数()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.（1）11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++==∈，求()n g x 的表达式；（2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++L与()n f n -的大小，并加以证明.【答案】 （1） nx x x g n +=1)(（2）,1](-∞ (3) 前式 > 后式【解析】 （1）+++++=++=+=++=+++=+==+=+++=+===+=+=′′=+=N n nx xx g xk xx g k n x k x kxx kx xx g kx x x g k n x xxx x xx g x x x g x g g x g x g x g xx x g x x f x x f x x g x x f n k k k n n ∈,1)(,.)1(1)(1∴)1(1111)(.1)(1≥21111)(1)(∴))(()()()(1)(,11)(∴,0≥),()(),1ln()(112111综上也成立时，当则时，假设当，，，ΘΘ （2）,1](-a 1.a 0.≥-1),0[∈∃0≥(x)h ,0),,0[∈∃∴0≥0≥h(x),0h(0))1(-1)1()-1(-11(x)h ,0.≥,1-)1ln(h(x)0.≥,≥1-)1ln(∴1)(),(≥)(22∞∈≤+′>=++=+++=′++=+++=所以，解得，即使上恒成立在则令a x t x t t x x x ax x x x a x x x ax x x x axx x x x g x ag x f ΘΘ（3）2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

2014年全国高考-全国卷理科数学试题及答案

2014年全国高考-全国卷理科数学试题及答案

2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设103i zi，则z 的共轭复数为（）A ．13iB ．13i C ．13i D ．13i2. 设集合2{|340}M x xx ，{|05}Nx x ，则MN（）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)D ．(1,0]3. 设0sin 33a，0cos55b ，0tan 35c，则（）A ．a bcB ．bc a C ．cb a D ．ca b4. 若向量,a b 满足：||1a ，()a b a ，(2)a b b ，则||b （）A ．2B ．2C ．1D ．225. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6. 已知椭圆C ：22221x y ab(0)a b 的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为33，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B 的周长为43，则C 的方程为（）A ．22132xyB ．2213xyC ．221128xyD ．221124xy7. 曲线1x y xe 在点（1,1）处切线的斜率等于（）A ．2eB ．eC ．2D ．18．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A ．814B ．16C ．9D ．2749. 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A ，则21cos AF F （）A ．14B ．13C ．24D ．2310. 等比数列{}n a 中，452,5a a ，则数列{lg }n a 的前8项和等于（）A ．6B ．5C ．4D ．311. 已知二面角l为060，AB ，AB l ，A 为垂足，CD，C l ，0135ACD，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．14B ．24C ．34D ．1212. 函数()yf x 的图象与函数()yg x 的图象关于直线0xy对称，则()yf x 的反函数是（）A ．()yg x B ．()y g x C ．()y g x D ．()y g x 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.8()x y yx的展开式中22x y 的系数为.14. 设x 、y 满足约束条件02321xy xyx y，则4z xy 的最大值为.15．直线1l 和2l 是圆222xy的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于.16. 若函数()cos 2sin f x x a x 在区间(,)62是减函数，则a 的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 2cos a Cc A ，1tan 3A，求B.18.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a ，2a 为整数，且4n S S .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11nn nb a a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABCA B C 中，点1A 在平面ABC内的射影D 在AC 上，090ACB，11,2BC ACCC . （1）证明：11AC A B ；（2）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为3，求二面角1A ABC 的大小.20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.60.50.50.4、、、，各人是否需使用设备相互独立.（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望.21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p 的焦点为F ，直线4y 与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ .（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线'l 与C 相较于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程.22. （本小题满分12分）函数()ln(1)(1)ax f x x a xa.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设111,ln(1)nn a a a ，证明：23+22na n n.参考答案一、选择题：1. D2.B3.C4.B5.C6.A7.C8.A9.A10.C11.B12.D二、填空题：13. 70 14. 5 15.4316.(,2]三、解答题：17.（本小题满分10分）解：由题设和正弦定理得3sin cos 2sin cos A C C A故3tan cos 2sin A CC因为1tan 3A ，所以cos 2sin CC即1tan 2C……………………………6分所以tan tan[180()]B AC tan()A C tan tan tan tan 1A CA C ……………8分1即135B ………………………………10分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由110a ，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数又4nS S ，故450,0a a 即1030,1040d d 解得10532d因此3d数列{}n a 的通项公式为133na n …………………………………6分（Ⅱ）1111()(133)(103)3103133nb n n nn………………………8分于是12...n nT b b b 1111111[()()...()]371047103133nn 111()310310n 10(103)n n ……………….12分19.（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）因为1A D平面1,ABC A D平面11AAC C ，故平面11AAC C平面ABC ，又BCAC ，所以BC平面11AAC C ，……………3分连结1AC ，因为侧面11AAC C 为菱形，故11AC AC 由三垂线定理得11AC A B ………5分（Ⅱ）BC平面11,AAC C BC平面11BCC B ，故平面11AAC C 平面11BCC B 作11,A ECC E 为垂足，则1A E 平面11BCC B 又直线1//AA 平面11BCC B ，因而1A E 为直线1AA 与平面11BCC B 的距离，13A E因为1AC 为1ACC 的平分线，故113A D A E………………8分作,DF AB F 为垂足，连结1A F ，由三垂线定理得1A FAB ，故1A FD 为二面角1A ABC 的平面角由22111ADAA A D得D 为AC 中点，1525AC BC DFAB ，11tan 15A D A FDDF所以二面角1A ABC 的大小为arctan 15………………12分解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz ，由题设知1A D 与z 轴平行，x 轴在平面11AAC C 内（Ⅰ）设1(,0,)A a c ，由题设有2a，(2,0,0)A ，(0,1,0)B ，则(2,1,0)AB ，(2,0,0)AC ，1(2,0,)AA a c ，11(4,0,)AC ACAA a c ，1(,1,)BA a c ………………2分由1||2AA 得22(2)2a c，即2240aac①于是221140AC BA aa c，所以11AC A B ………………………5分（Ⅱ）设平面11BCC B 的法向量(,,)mx y z ，则1,m CB mBB ，即0m CB，1m BB 因为(0,1,0)CB，11(2,0,)BB AA a c ，故0y ，且(2)0a x cz 令x c ，则2za ，(,0,2)mc a ，点A 到平面11BCC B 的距离为22||2|||cos,|||(2)CA m c CA m CA cm ca 又依题设，A 到平面11BCC B 的距离为3，所以3c 代入①解得3a （舍去）或1a………………………………………8分于是1(1,0,3)AA 设平面1ABA 的法向量(,,)n p q r ，则1,nAA n AB ，即10n AA ，0n AB ，30pr且20pq，令3p ，则23q ，1r ，(3,23,1)n ，又(0,0,1)p为平面ABC 的法向量，故。

2014届高三理科数学综合测试题(6)

2014届高三理科数学综合测试题(6)

2014届数学（理科）综合测试题（6）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数1i的共轭复数是（ ）A ．i ；B ．i -；C ．1；D ．0． 2．设函数()lg(1)f x x =-的定义域为A ，值域为B ，则AB =（ ）A ．(0,)+∞；B ．(1,)+∞；C ．(0,1)；D ．(,1)-∞． 3．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11221,2,a b a b ====则55a b =（ ） A ．5； B ．16； C ．80； D ．160．4．“|1|2x -<”是“(3)0x x -<” 的（ ） A ．充分不必要条件； B ．必要不充分条件； C ．充要条件； D ．既不充分也不必要条件． 5．如下图所示的几何体，其俯视图正确的是（ ）6．若关于x 、y 的不等式组5002x y y a x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．5a <；B ．7a ≥；C ．57a ≤<；D ．5a <或7a ≥． 7．若函数()()bf x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点，则函数()f x 在下列区间单调递增的是（ ）A ．(2,0)-；B ．(0,1)；C ．(1,)+∞；D ．(,2)-∞-．8．定义平面向量的正弦积为||||sin 2a b a b θ⋅=，（其中θ为a 、b 的夹角），已知△ABC 中，AB BC ⋅=BC CA ⋅，则此三角形一定是（ ）A ．等腰三角形；B ．直角三角形；C ．锐角三角形；D ．钝角三角形．二、填空题（本题共7小题，共30分，第14、15题任选一道作答．）（一）必做题(9～13题)9．61()x x-展开式的常数项的值为________．10．点A (0,1)到双曲线2214x y -=的渐近线的距 离为________．11．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是5，则判断框内m 的取值范围是________． 12．若长方体的顶点都在半径为3的球面上，则该长方体表面积的最大值为________．13．若函数)(x f ，)(x g 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足x e x g x f =-)()(，则比较)2(f 、)0(g 、)3(f 的大小结果是________（从小到大排列）． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题全答的，只计第一题的分） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程是x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩．（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线l 的极坐标方程为cos ρθ=，则在曲线C 上到直线l ________个．15．（几何证明选讲选做题） （第15题图）如图，⊙O 的直径4=AB ，C 为圆周上一点，3=AC ，CD 是⊙O 的切线，CD BD ⊥于D ，则=CD ．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤，）16、（本小题满分12分）已知函数()sin(),(0,0,(0,))2f x A x A πωϕωϕ=+>>∈．的部分图象如图所示，其中点P 是图象的一个最高点．（1）求函数()f x 的解析式； （2）已知(,)2παπ∈且5sin 13α=，求()2f α．（第16题图）17、（本小题满分12分）在某次数学考试中，抽查了1000名学生的成绩，得到频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀．（1）下表是这次抽查成绩的频数分布表，试求正整数a 、b 的值；（2）现在要用分层抽样的方法从这1000人 中抽取40人的成绩进行分析，求抽取成绩为优 秀的学生人数；（3）在根据(2)抽取的40名学生中，要随机 选取2名学生参加座谈会，记其中成绩为优秀的 人数为X ，求X 的分布列与数学期望（即均值）．（第17题图）18、（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 是正三角形，1AA 2AB ==，平面11ACC A ⊥平面ABC ，160A AC ∠=︒．（1）证明：1A B AC ⊥；（2）证明：求二面角11B AC C --的余弦值； （3）设点N 是平面11ACC A 内的动点，求1BN B N +的最小值． （第18题图）19、（本小题满分14分）已知正数数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，对任意*n N ∈，lg n S 、lg n 、1lg na 成等差数列．（1）求n a 和n S ； （2）设nn S b n =！，数列{}n b 的前n 项和为n T ，当2n ≥时，证明：2n n S T <<． 20、（本小题满分14分）已知顶点为原点O 的抛物线1C 的焦点F 与椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点重合1C 与2C 在第一和第四象限的交点分别为A 、B ．（1）若△AOB 是边长为1C 的方程； （2）若AF OF ⊥，求椭圆2C 的离心率e ；（3）点P 为椭圆2C 上的任一点，若直线AP 、BP 分别与x 轴交于点(,0)M m 和(,0)N n ，证探究：当a 为常数时，mn 是否为定值？请证明你的结论．21、（本小题满分14分）已知21()ln(1),()(,)2f x xg x ax bx a b R =+=+∈． （1）若2()(1)()b h x f x g x ==--且存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； （2）若0,1a b ==,求证：当(1,)x ∈-+∞时，()()0f x g x -≤恒成立； （3）设0,0x y >>，证明：ln ln ()ln 2x yx x y y x y ++>+．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．A ；2．D ；3．C ；4．B ；5．C ；6．B ；7．D ；8．A ．二、填空题：本大题共7小题，学生解答其中6小题，每小题5分，共30分．9．20； 10 11．(12,20]；12．72；13．(0)(2)(3)g f f <<；14．3；15． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．16．（本小题满分12分）（1）由函数最大值为2 ，得A =2 。

2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)

2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1] 2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β= 9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3 10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．211．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为．（用数字填写答案）14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．﹣a n=λ（Ⅰ）证明：a n+2（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．|f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】5I：概率与统计．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3【考点】2K：命题的真假判断与应用；7A：二元一次不等式的几何意义．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y ≤3错误；p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．2【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20．（用数字填写答案）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8．含x2y6的系数是28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】5M：推理和证明．【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为90°．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．【解答】解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；58：解三角形．【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n﹣a n=λ+2（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．【考点】83：等差数列的性质；8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．可得λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，．得到λS n=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，∴a n（a n+2﹣a n）=λa n+1+1≠0，∵a n+1∴a n﹣a n=λ．+2（Ⅱ）解：假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，则λ=a n+2∴．∴，，∴λS n=1+=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5H：空间向量及应用．【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C ⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（5分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g （x）min，h（x）max；【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，∵f（x）＞1，∴e x lnx+＞1，∴lnx＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．【考点】NB：弦切角；NC：与圆有关的比例线段．【专题】15：综合题；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．【考点】RI：平均值不等式．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）∵2a+3b≥2=2，当且仅当2a=3b时，取等号．而由（1）可知，2≥2=4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．。

2014届高三数学期末试题_理科(含解析) 2

2014届高三数学期末试题_理科(含解析) 2

高三数学理科数学期末复习试卷第Ⅰ卷一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设复数()2111i z i i-=+++，则()71z +展开式的第五项是（A ）21- （B ）35 （C ）21i - （D ）35i -（2）已知{}{}∅≠∈-<<+=≤≤-=R m ,m x m x B ,x x A 12172，若A B A = ，则m 的取值范围是（A ）[]43,- （B ）()43,- （C ）(]42,（D ）[]42,（3）设,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log ,22bca abc ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则（A ）a b c << (B) c b a << (C) c a b << (D) b a c <<（4）等比数列{}n a 前n 项的积为n T ，若3618aaa 是一个确定的常数，那么数列10T ，13T ，17T ，25T 中也是常数的项是（A ）10T （B ）13T （C ）17T （D ）25T（5）“1=k ”是“函数122+-=kx cos kx sin y 的最小正周期为π”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不是充分条件也不是必要条件（6）已知()()0321≥==x x x ，，，，则b a +⋅的取值范围是（A ）()220, （B ）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡420, （C ）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡220, （D ）⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞,42（7）已知抛物线()022>=p px y 的焦点F 恰好是双曲线()0012222>>=-b ,a by a x 的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为（A ）2 （B ）2 （C ）12+ （D ）12-（8）若函数()x sin e x f x ⋅=，则此函数图象在点()()55f ,处的切线的倾斜角为（A ）直角 （B ）0 （C ）钝角 （D ）锐角（9）四棱锥ABCD P -的底面是矩形，︒=∠====602223PAB ,PD ,PA AD ,AB ，则异面直线PC 与AD 所成角的余弦值为（A ）21 （B ）11112 （C ）23 （D ）33（10）将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34πx cos y 的图象向左平移()0>φφ个单位,所得图象关于y 轴对称，则φ的最小值为（A ）6π （B ）3π （C ）32π （D ）34π（11）设O 、P 、M 、N 为平面内四个点，1-=⋅=⋅=⋅=++，且，的值为（A ）3 （B ）3 （C ）23 （D ）33（12）高考规定每一个考场30名学生，按五列六行就坐．若来自同一学校的甲、乙两名学生将同时排在“五考点四考场”，要求两名学生前后左右均不能相邻，则甲、乙两名学生不同坐法的种数为（A ）372 （B ）422 （C ）476 （D ）772第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（注．意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．） （13）若()3cos sin 2,,2f x x x ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则1()2f -的值为 ．（14）已知O 是坐标原点，,P Q 的坐标满足不等式组4325022010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩，则cos POQ ∠的最小值为 ．（15）已知球面的三个大圆所在的平面两两互相垂直，则以这三个大圆的交点为顶点的正八面体的体积与球体积之比为 ．（16）已知点A 在直线l ：09=-+y x 上， B ，C 是圆M ：01882222=---+y x y x 上两点，在△ABC 中，︒=∠45BAC ，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为____________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2014年福建高考理科数学试卷(带详解)

2014年福建高考理科数学试卷(带详解)

2014年福建高考数学试题(理)第Ｉ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(32i)i z =-的共轭复数z 等于( )A.23i --B.23i -+C.23i -D.23i+ 【测量目标】复数代数形式的四则运算 【考查方式】给出简单复数进行简化 【难易程度】容易题. 【参考答案】C【试题解析】由复数z ＝(3－2i)i ＝2＋3i ，得复数z 的共轭复数z ＝2－3i. 2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱 【测量目标】三视图【考查方式】给出一正视图判断其不可能是什么几何体 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由空间几何体的三视图可知，圆柱的正视图、侧视图、俯视图都不可能是三角形 3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( )A.8B.10C.12D.14【测量目标】等差数列的通项公式及前n 项和. 【考查方式】给出约束条件求等差数列某项值. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得3S ＝3×2＋322⨯d ＝12，解得d ＝2，则6a =a 1＋(6－1)d ＝2＋5×2＝12.4.若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图象正确的是( )OW42(第4题图)OW43 OW44 OW45 OW46A B C D 【测量目标】对数函数、指数函数图象 【考查方式】图象是否正确的判断 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】由函数log a y x =的图像过点(3，1)，得a ＝3. 选项A 中的函数为y ＝13x （），则其函数图像不正确；选项B 中的函数为3y x =，则其函数图像正确；选项C 中的函数为3()y x =-则其函数图像不正确；选项D 中的函数为3log ()y x =-，则其函数图像不正确． 5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于( ) A.18 B.20 C.21 D.40OW47(第5题图)【测量目标】带有循环结构的程序框图. 【考查方式】给定程序框图，判断输出结果. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】输入S ＝0，n ＝1，第一次循环，S ＝0＋2＋1＝3，n ＝2；第二次循环，S ＝3＋22＋2＝9，n ＝3；第三次循环，S ＝9＋32＋3＝20，n ＝4，满足S ≥15，结束循环，输出S ＝20. 6.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC △的面积为12”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件 【测量目标】充分条件、必要条件 【考查方式】判断命题的充要性 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由直线l 与圆O 相交，得圆心O 到直线l 的距离d ＝2111k +＜，解得k ≠0.当k ＝1时，d ＝12，|AB |＝222r d -＝2，则△OAB 的面积为12×2×12＝12；当k ＝－1时，同理可得△OAB 的面积为12，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件．7.已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨⎩…则下列结论正确的是( )A.()x f 是偶函数B. ()x f 是增函数C.()x f 是周期函数D.()x f 的值域为[)+∞-,1【测量目标】函数的奇偶性、单调性、周期性、值域【考查方式】判断函数的奇偶性、单调性、周期性、值域. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝2x ＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]；∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．8.在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是( ) A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e eC.)10,6(),5,3(21==e eD.)3,2(),3,2(21-=-=e e 【测量目标】向量的基本运算.【考查方式】将一个向量用两个向量表示出来 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】由向量共线定理，选项A ，C ，D 中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B 中的向量组不共线，可以作为基底，故选B.9.设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是( ) A.25 B.246+ C.27+ D.26【测量目标】圆与椭圆的基本性质【考查方式】给出圆和椭圆的标准方程求分别在圆和椭圆上两点的最远距离 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】设圆心为点C ，则圆22(6)2x x +-=的圆心为C (0，6)，半径r ＝2.设点Q ()00,x y 是椭圆上任意一点，则2200110x y +=，即22001010x y =-∴|CQ |＝22001010(6)y y -+-＝20091246y y --+＝2029()50,3y -++，当0y ＝－23时，|CQ |有最大值52，则P ，Q 两点间的最大距离为52＋r ＝62.10.用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，而“ab ”则表示把红球和篮球都取出来,依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是( )A.()()()555432111c b a a a a a +++++++ B.()()()554325111c b b b b b a +++++++C.()()()554325111c b b b b b a +++++++ D.()()()543255111c c c cc b a +++++++ 【测量目标】随机事件.【考查方式】由随机事件判断所有取法. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1＋a 2345a a a a ++++；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1＋5a ；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为122334455555551C C C C C c c c c c +++++＝5(1),c +根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是 ()()()555432111c b a a a aa +++++++.第II 卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11.若变量y x ,满足约束条件102800x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩………,则y x z +=3的最小值为________.【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考察方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性目标函数的最大值.【难易程度】中等 【参考答案】1【试题解析】作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z ，则当直线y ＝3x ＋z 经过点(0，1)时，z 最小，将点(0，1)代入z ＝3x ＋y ，得min z ＝1，即z ＝3x ＋y 的最小值为1.OW48(第11题图)12.在ABC △中，60,4,23A AC BC =︒== ,则ABC △的面积等于________. 【测量目标】三角函数的基本运算、正弦定理.【考查方式】给出约束条件利用正弦定理求三角形面积. 【难易程度】容易 【参考答案】23【试题解析】由sin sin BC AC A B =，得sin B ＝4sin 6023＝1，∴B ＝90°，C ＝180°－(A ＋B )＝30°，则ABC S △＝12·AC ·BC sin C ＝12×4×23sin 30°＝23，即△ABC 的面积等于23.13.要制作一个容器为43m ，高为1m 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______(单位：元). 【测量目标】基本不等式.【考查方式】给出约束条件求最低总造价. 【难易程度】容易 【参考答案】160【试题解析】设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4 m 3，高为1 m 得，另一边长为4xm.记容器的总造价为y 元，则y ＝4×20＋24x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭×1×10＝80＋204x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥80＋20×24x x ⋅＝160(元)，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，等号成立．因此，当x ＝2时，y 取得最小值160元，即容器的最低总造价为160元．14.如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.OW49(第14题图)【测量目标】几何概率【考查方式】根据图形解落在阴影部分的概率 【难易程度】中等 【参考答案】22e 【试题解析】因为函数y ＝ln x 的图像与函数y ＝xe 的图像关于正方形的对角线所在直线y ＝x 对称，则图中的两块阴影部分的面积为S ＝21e⎰ln xdx ＝2(x ln x －x )1|e＝2[(e ln e －e )－(ln 1－1)]＝2，故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率P ＝22e . 15.若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是_________.【测量目标】数组【考查方式】给出条件判断哪些是符合条件的数组 【难易程度】中等 【参考答案】6【试题解析】若①正确，则②③④不正确，可得b ≠1不正确，即b ＝1，与a ＝1矛盾，故①不正确；若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d ＝4；由a ≠1，b ≠1，c ≠2，得满足条件的有序数组为a ＝3，b ＝2，c ＝1，d ＝4或a ＝2，b ＝3，c ＝1，d ＝4.若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d ＝4；由②不正确，得b ＝1，则满足条件的有序数组为a ＝3，b ＝1，c ＝2，d ＝4；若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b ＝1，由a ≠1，c ≠2，d ≠4，得满足条件的有序数组为a ＝2，b ＝1，c ＝4，d ＝3或a ＝3，b ＝1，c ＝4，d ＝2或a ＝4，b ＝1，c ＝3，d ＝2；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6.三．解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分)已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-.(1)若π02α<<，且2sin 2α=，求()f α的值；(2)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.【测量目标】同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和与差的三角函数及三角函数的 图象与性质等基础知识.【考查方式】给出约束条件求解、求函数最小正周期和单调区间. 【难易程度】中等【试题解析】解法一：(1)因为π0,2α<<2sin ,2α=所以2cos 2α=. 所以22211()()22222f α=+-=. (2)因为21()sin cos cos 2f x x x x =+-11cos 21sin 2222x x +=+-112πsin 2cos 2sin(2)2224x x x =+=+,所以2ππ2T ==.由πππ2π22π,,242k x k k -++∈Z 剟得3πππ,88k x k k π-+∈Z 剟.所以()f x 的单调递增区间为3ππ[π,π],88k k k -+∈Z . 解法二：21()sin cos cos 2f x x x x =+-11cos 21sin 2222x x +=+-11sin 2cos 222x x =+ 2πsin(2)24x =+.(1)因为π0,2α<<2sin ,2α=所以π4α=,从而2π23π1()sin(2)sin 24242f αα=+==.(2)2ππ2T ==,由πππ2π22π,,242k x k k -++∈Z 剟得3ππππ,88k x k k -+∈Z 剟.所以()f x 的单调递增区间为3ππ[π,π],88k k k -+∈Z .17.(本小题满分12分)在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BD CD BD ⊥⊥.将ABD △沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图. (1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.OW51(第17题图)【测量目标】空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识【考查方式】考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想来证明线线垂直，以及线面余弦值.【难易程度】中等【试题解析】(1)因为平面ABD ⊥平面B C D ,平面ABD 平面,B C DB D A B =⊂平面,,ABD AB BD ⊥所以AB ⊥平面.BCD 又CD ⊂平面,BCD 所以AB CD ⊥.(2)过点B 在平面BCD内作B E B D ⊥,如图. 由(1)知AB ⊥平面,B C D B E ⊂平面,B C D B D ⊂平面,B C D 所以,A B B E A B B D ⊥⊥.以B 为坐标原点,分别以,,BE BD BA的方向为x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意,得(0,0,0),(1,1,0),B C 11(0,1,0),(0,0,1),(0,,)22D A M .则(1,1,0),BC = 11(0,,),22BM =(0,1,1)AD =- .设平面M B C 的法向量000(,,)n x y z = .则00n BC n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0000011022x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩.取01,z =得平面MBC 的一个法向量(1,1,1)n =-.设直线AD 与平面MBC 所成角为θ,则6sin cos ,,3n AD n AD n ADθ⋅=<>==即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63.OW50(第17题图)18.(本小题满分13分)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ①顾客所获的奖励额为60元的概率②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 【测量目标】古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识 【考查方式】给出事件求概率、分布列及数学期望、利用方差大小判断合理性. 【难易程度】中等【试题解析】(1)设顾客所获的奖励为X . ①依题意,得111324C C 1(60)C 2P X ===.即顾客所获得的奖励额为60元的概率为12.②依题意,得X 的所有可能取值为20,60.2324C 11(60),(20)2C 2P X P X =====.即X 的分布列为:X 20 60P 0.5 0.5所以顾客所获得的奖励额的期望为()200.5600.540E X =⨯+⨯=(元). (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析: 对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励为1X ,则1X 的分布列为1X20 60 100 P1623161X 的期望为112()206063E X =⨯+⨯+1100606⨯=,1X 的方差为1()D X =21(2060)6-⨯+22(6060)3-⨯211600(10060)63+-⨯=. 对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励为2X ,则2X 的分布列为:2X40 60 80P1623162X 的期望为21()406E X =⨯+2160806036⨯+⨯=,2X 的方差为221()(4060)6D X =-⨯+22(6060)3-⨯+21400(8060)63-⨯=. 由于两种方案的奖励额都符合要求,但方案2奖励的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.19.(本小题满分13分)已知双曲线22221(0,0)x y E a b a b-=>>：的两条渐近线分别为122,2l y x l y x ==-：：. (1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点(B A ,分别在第一，四象限)，且OA B △的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由.【测量目标】双曲线的 方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识. 【考查方式】给出约束条件求离心率、判读符合条件的直线是否存在 【难易程度】较难【试题解析】解法一：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为和2,2y x y x ==-.所以222,2,b c a a a -=∴=5c a ∴=,从而双曲线E 的离心率5e =.(2)由(1)知,双曲线E 的方程为222214x y a a-=. 设直线l 与x 轴相交于点C .当l x ⊥轴时,若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点,则,4OC a AB a ==,又因为OAB △的面积为8,所以118,48,222OC AB a a a =∴⋅=∴=.此时双曲线E 的方程为221416x y -=.若存在满足条件的双曲线E ,则E 的方程只能为221416x y -=. 以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：221416x y -=也满足条件.Ow52(第19题图)设直线l 的方程为y kx m =+,依题意,得k >2或k <-2.则(,0)mC k -，记1122(,),(,)A x y B x y .由2y x y kx m =⎧⎨=+⎩,得122m y k =-,同理得222my k =+.由1212OAB S OC y y =-△得, 1228222m m m k k k-⋅-=-+即222444(4)m k k =-=-.由221416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得, 222(4)2160k x kmx m ----=.因为240k -<,所以22222244(4)(16)16(416)k m k m k m ∆=+-+=---,又因为224(4)m k =-.所以0∆=,即l 与双曲线E 有且只有一个公共点.因此,存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ,且E 的方程为221416x y -=Ow53（第19题图）20. (本小题满分14分)已知函数()ax e x f x -=(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线()x f y =在点A 处的切线斜率为-1.(Ⅰ)求a 的值及函数()x f 的极值；(Ⅱ)证明：当0>x 时，2e xx <；(Ⅲ)证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，0x x ，恒有xce x <2.【测量目标】导数的运算及导数的应用、全称量词等基础知识的考查运用【考查方式】利用导数的运算及导数的应用、全称量词来求未知量的值、和函数的极值、证明相关结论.【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)由()x f x e ax =-，得'()xf x e a =-.又(0)11f a '=-=-,得2a =.所以()2,'()2x x f x e x f x e =-=-.令'()0f x =,得ln 2x =.当ln 2x <时, '()0,()f x f x <单调递减;当ln 2x >时, '()0,()f x f x >单调递增.所以当ln 2x =时, ()f x 取得极小值,且极小值为l n 2(ln 2)2ln 22ln 4,()f e f x =-=-无极大值.(Ⅱ)令2()xg x e x =-,则'()2x g x e x =-.由(Ⅰ)得'()()(ln 2)0g x f x f =>…,故()g x 在R 上单调递增,又(0)10g =>,因此,当0x >时,()(0)0g x g >>,即2x x e <.(Ⅲ) 解法一：①若1c …,则x xe ce ….又由(Ⅱ)知，当0x >时, 2x x e <.所以当0x >时, 2x x ce <.取00x =,当0(,)x x ∈+∞时，恒有22x cx <.②若01c <<,令11k c=>,要使不等式2x x ce <成立，只要2x e kx >成立.而要使2x e kx >成立，则只要2ln()x kx >,只要2ln ln x x k >+成立.令()2ln ln h x x x k =--,则22'()1x h x x x-=-=.所以当2x >时,'()0,()h x h x >在(2,)+∞内单调递增.取01616x k =>,所以()h x 在0(,)x +∞内单调递增.又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+.易知l n ,l n 2,50k k k k>>>.所以0()0h x >.即存在016x c=,当0(,)x x ∈+∞时，恒有2xx ce <.综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2xx ce <.解法二：对任意给定的正数c ，取04x c=,由(Ⅱ)知，当x >0时，2x e x >，所以2222,()()22x xx x x e e e =>,当0x x >时， 222241()()()222x x x x e x c c >>=,因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2xx ce <.21.本题设有(1)，(2)，(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.(1)(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵A 的逆矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-21121A . (Ⅰ)求矩阵A ；(Ⅱ)求矩阵1-A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. 【测量目标】逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量等基础知识【考查方式】利用逆矩阵求矩阵，求矩阵1-A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)因为矩阵A 是矩阵1A -的逆矩阵,且1221130A -=⨯-⨯=≠,所以2121133 1212333A ⎛⎫-⎪-⎛⎫== ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭.(Ⅱ)矩阵1A -的特征多项式为21() 12f λλλ--==-- 243(1)(3)λλλλ-+=--,令()0f λ=,得矩阵1A -的特征值为11λ=或23λ=,所以111ξ⎛⎫=⎪-⎝⎭是矩阵1A -的属于特征值11λ=的一个特征向量. 211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵1A -的属于特征值23λ=的一个特征向量.(2)(本小题满分7分)选修4—4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=-=t y ta x 42，(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 4cos 4y x ，(θ为参数). (Ⅰ)求直线l 和圆C 的普通方程；(Ⅱ)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围. 【测量目标】直线与圆的 参数方程等基础知识.【考查方式】利用参数方程求直线和圆的普通方程、给出约束条件求实数a 的取值范围 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)直线l 的普通方程为220x y a --=.圆C 的普通方程为2216x y +=.(Ⅱ)因为直线l 与圆有公共点,故圆C 的圆心到直线l 的距离245a d -=…,解得2525a -剟.(3)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲 已知定义在R 上的函数()21-++=x x x f 的最小值为a .(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若r q p ，，为正实数，且a r q p =++，求证：2223p q r ++…. 【测量目标】绝对值不等式、柯西不等式等基础知识【考查方式】利用不等式求函数的最小值、证明相关结论. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)因为12(1)(2)3x x x x ++-+--=…,当且仅当12x-剟时,等号成立,所以()f x 的最小值等于3,即3a =.(Ⅱ)由(I)知3p q r ++=,又因为,,p q r 是正数,所以222222()(111)p q r ++++…2(111)p q r ⨯+⨯+⨯2()9p q r =++=,即2223p q r ++….。

2014届高三理科数学综合测试题(3)

2014届高三理科数学综合测试题(3)

图 1图22014届理科数学综合测试题（3）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数lg y x =的定义域为A ,{}01B x x =≤≤,则AB =（ ） A ．()0,+∞ B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,12．设i 为虚数单位,若复数()()2231i z m m m =+-+-是纯虚数,则实数m =（ ）A ．3-B ．3-或1C ．3或1-D ．1 3．设函数sin 2y x x =的最小正周期为T ,最大值为A ，则（ ）A ．T π=,A = B . T π=,2A = C ．2T π=,A = D ．2T π=,2A = 4．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是 中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为（ ）A ．3π B ．23π C ．π D ．2π5．给定命题p ：若20x ≥，则0x ≥；命题q :：已知非零向量,,a b 则 “⊥a b ”是“-+=a b a b ”的充要条件.则下列各命题中,假命题的是（ ）A ．p q ∨B ． ()p q ⌝∨C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩.若()()2(1)f a f a f -+≤，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,0)-B ．[]0,1C ．[]1,1-D ．[]2,2-7．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为22,则输出的s 的值为（ ）A ．232B ．211C ．210D ．191 8．将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的比值ab,称这些比值中的最小值为这个 数表的“特征值”.当2n =时, 数表的所有可能的“特征值”最 大值为（ ）A ．3B ．43 C ．2 D ．32二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分,满分30分．(一)必做题(9～13题)9．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19,则总体中的个体数为 . 10. 不等式321x x +>-的解集为_________.11．若420443322104,)1(a a a x a x a x a x a a x ++++++=-则的值为_______.12．设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线与椭圆2214924x y +=的一个公共点，则12PF F ∆的面积等于_________.13．如果实数x y 、满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若直线10x ky +-=将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为______.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:cos 1C ρθ=与2:4cos C ρθ=的交点分别为A 、B ,则AB = .15.(几何证明选讲) 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ， 已知3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O到AC 的距离为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a =,B C =. (Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.A. .ACDBEF图5图6ABCD PEF佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm )分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm )分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179. (Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指 出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；(Ⅱ) 利用简单随机抽样的方法,分别在两支球队身高超过170cm 的队员中各抽取一人做代表,设抽取的两人中身高超过178cm的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.18.(本题满分14分)如图5,矩形ABCD 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且3DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如图6所示),连结AP 、EF 、PF ,其中PF =(Ⅰ)求证:PF ⊥平面ABED ； (Ⅱ)求直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值.19.(本题满分14分)如图7所示,已知椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,且2F 到直线90x -=的距离等于椭圆的短轴长. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若圆P 的圆心为()0,P t (0t >),且经过1F 、2F ,Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外,过Q 作圆P 的切线,切点为M ,当QM ,求t 的值.排球队篮球队图4图7数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数,18a =,116b =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列,n b 、1n a +、1n b +成等比数列,1,2,3,n =.（Ⅰ）求2a 、2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅲ）证明:对一切正整数n ,有1231111211117n a a a a ++++<----.21.(本题满分14分)已知函数()1ln 2f x x x a x =+-. （Ⅰ）若1a =,求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围.参考答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．180 ；10．2,43⎛⎫-⎪⎝⎭；11．8 ；12．24 ；13．13 ；14．；15．2．三、解答题：本大题共6小题，共80分．16．（本小题满分12分）解法1：(Ⅰ) 因为B C =，所以c b =，……………………………………………………………2分又2a =，所以222cos 2a cb B ac +-=， ………………………………………3分23b==………………………………………………………5分 解法2：∵a =，∴sin A B =……………………………………………………2分 ∵B C =，且A B C ++=π，所以sin 2B B =………………………………………3分又2sin cos B B B =……………………………………4分 ∵sin 0B ≠，∴cos B =.…………………………………………………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得sin B ==，……………………………………………………………7分 所以sin 63f B ππ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………8分 sin cos cos sin 33B B ππ=+ …………………………………10分12=+………………………………………11分=…………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. ……4分 （注：写对茎叶图2分，方差结论正确2分）(Ⅱ)排球队中超过170cm 的有4人,超过178cm 的有3人,篮球队中超过170cm 的有5人,超过178cm 的有2人, （注：正确描述人数各2分，共计4分）所以X 的所有可能取值为2,1,0则……………………5分 （注：正确写出X 的值1分）203)0(15141311===C C C C X P ,解法二图ABCD PEFH()1P X ==2011151413131211=+C C C C C C , ()2P X ==20615141213=C C C C ,………………………………………………………………………………10分 （注：正确写出概率表达式各1分，概率计算全部正确1分，共计4分，若概率计算错误超过两个，扣1，共计3分）所以X 的分布列为……………………………………………11分 所以X 的数学期望20232062*********=⨯+⨯+⨯=EX .……………………………………………12分 18．（本小题满分14分）(Ⅰ)由翻折不变性可知,6PB BC ==,9PE CE ==,在PBF ∆中,222201636PF BF PB +=+==,所以PF BF ⊥ ……………………………………2分在图1中,易得EF ==……………………………………3分在PEF ∆中,222612081EF PF PE +=+==,所以PF EF ⊥ ……………………………………4分又BF EF F =,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED . ……………6分（注：学生不写BF EF F =扣1分）(Ⅱ)方法一:以D 为原点,建立空间直角坐标系D xyz -如图所示,则()6,0,0A ,(6,8,P ,()0,3,0E ,()6,8,0F ,所以(AP=,(FP =,()6,5,0EF =, …………8分 设平面PEF 的法向量为(),,x y z =n ,则00FP EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即0650z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,解得560x yz ⎧=-⎪⎨⎪=⎩令6y =-,得()5,6,0=-n ,……………………………………………………………………………12分 设直线AP与平面PEF 所成角为θ,则sin AP AP θ⋅===n n. 所以直线AP 与平面PEF . ……………………………………………14分 方法二:过点A 作AH EF ⊥于H ,15 98由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,而AH ⊂平面ABED 所以PF AH ⊥,又EF PF F =,EF ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF ,所以AH ⊥平面PEF ,所以APH ∠为直线AP 与平面PEF 所成的角. ………………………………………………………9分在Rt APF ∆中,AP …………………………………………11分在AEF ∆中,由等面积公式得AF AD AHEF ⋅==………………………………………………13分在Rt APH ∆中,sin427AH APH AP ∠===所以直线AP 与平面PEF . ……………………………………………14分 19．（本小题满分14分）(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b +=(0a b >>),依题意,19242b -==, ……………………………………………………………………1分 所以2b = …………………………………………………………2分 又1c =, ………………………………………………………3分所以2225a b c =+=, ………………………………………………………4分所以椭圆C 的方程为22154x y +=. ………………………………………………………………………5分 (Ⅱ) 设(),Q x y (其中22154x y +=), ……………………………………………………………………6分 圆P 的方程为()2221x y t t +-=+,……………………………………………………………………7分因为PM QM ⊥,所以QM ==8分=…………………………………………………9分 当42t -≤-即12t ≥时,当2y =-时,QM 取得最大值, ……………………………………………10分且maxQM==,解得3182t =<(舍去). ……………………………………………11分当42t ->-即102t <<时,当4y t =-时,QM 取最大值, ………………………………………12分且max2QM==,解得218t =,又102t <<,所以4t =……………………………13分综上,当4t =,QM 的最大值为2. …………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=.…………………………………………………1分由2212a b b =，可得222136a b b ==.………………………………………………………………2分（Ⅱ）因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①. ……………………………………3分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=， ………………………………4分因为数列{}n a 、{}n b的每一项都是正数，所以1n a +…②.于是当2n ≥时，n a …③.………………………………………………………………4分将②、③代入①式，可得 ………………………………………………………5分因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，（注：学生不写上述陈述扣1分）()122n d n -=+，于是()241n b n =+. ………………………………………………6分 由③式，可得当2n ≥时，()41n a n n +. ………………………………7分 当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.………………………8分 （注：学生从特殊到一般归纳猜想出,n n a b 的解析式各1分，正确证明通项公式各2分） （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为211112723474417n n ++++<+-L .………………………9分 方法一:首先证明2121144171n n n n ⎛⎫<- ⎪+-+⎝⎭（2n ≥）. 因为22222121112778824417144177n n n n n n n n n n n n⎛⎫<-⇔<⇔+<+- ⎪+-++-+⎝⎭ ()()220120n n n n ⇔+->⇔-+>, ………………………10分 所以当2n ≥时，21111211111212723441772317727n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++<+-++-<+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥+-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L . …12分当1n =时，1277<. …………………………………………………………………13分综上所述，对一切正整数n ，有1231111211117n a a a a ++++<----……………………………14分 方法二:()()22111111441443212342123n n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪+-+--+-+⎝⎭.当3n ≥时，2111723441n n ++++-L 1111111111172345971123212123n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111111112723457714147⎛⎫<+++<++= ⎪⎝⎭. …………………………………………………12分 当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=. ………………………………………13分（验证不写扣1分）综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a …………………………14分 方法三:()()2211111144141212122121n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪+---+-+⎝⎭.当4n ≥时,2111723441n n ++++-L 1111111111117234727991123212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1111272347147<+++<. …………………………………………………12分 当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=；当3n =时，111111272347714147++<++=. ……13分（验证不写扣1分） 综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a ……………………………14分 21．（本小题满分14分）()f x 的定义域为()0,+∞.……………………………………………………………………………1分(Ⅰ)若1a =，则()()11ln 2f x x x x =+-，此时()12f =.因为()1212f x x x '=+-，所以()512f '=, ………………………………………………2分 所以切线方程为()5212y x -=-，即5210x y --=. …………………………………………3分（Ⅱ）由于()1ln 2f x x x a x =+-，()0,x ∈+∞.⑴ 当0a ≥时，()21ln 2f x x ax x =+-，()21421222x ax f x x a x x+-'=+-=， ……………………………………………4分令()0f x '=，得10x =>，20x =<（舍去），且当()10,x x ∈时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增,()f x的极小值点为x =…5分⑵ 当0a <时，()221ln ,21ln ,02x ax x x a f x x ax x x a⎧+-≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩. …………………………………6分① 当x a ≥-时，()24212x ax f x x +-'=，令()0f x '=，得1x =,2x a -(舍去).a ≤-，即a ≤()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；a >-，即02a -<<， 则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,a x -上是单调递减，在()1,x +∞上单调递增. ……………………………………7分② 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=. 令()0f x '=，得24210x ax ---=，记2416a ∆=-， …………………………………8分 若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得3x ，4x 且340x x a <<<-，当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减. ……………9分综上所述,当2a <-时,()f x 的极小值点为x =和x a =-，极大值点为x =；当2a -≤≤,()f x 的极小值点为x a =-；当a >,()f x 的极小值点为x =…………………………………………………10分（Ⅲ）函数()f x 的定义域为()0,x ∈+∞. 由()0f x >，可得ln 2xx a x +>…（*） …………………………………………………11分 （ⅰ）当()0,1x ∈时，ln 02xx <，0x a +≥，不等式（*）恒成立；（ⅱ）当1x =时，ln 02xx=，即10a +>，所以1a ≠；………………………………………………12分（ⅲ）当1x >时，不等式（*）恒成立等价于ln 2x a x x <--恒成立或ln 2xa x x>-+恒成立.令()ln 2x g x x x =--,则()221ln 2x x g x x --+'=.令()21ln x x x ϕ=--+,则()211220x x x x x ϕ-'=-+=<, 而()2111ln120ϕ=--+=-<，所以()21ln 0x x x ϕ=--+<，即()221ln 02x xg x x --+'=<， 因此()ln 2xg x x x=--在()1,+∞上是减函数，所以()g x 在()1,x ∈+∞上无最小值， 所以ln 2xa x x<--不可能恒成立. 令()ln 2xh x x x=-+，则()2221ln 21ln 1022x x x h x x x --+-'=-+=<，因此()h x 在()1,+∞上是减函数， 所以()()11h x h <=-，所以1a ≥-.又因为1a ≠-，所以1a >-.综上所述，满足条件的a 的取值范围是()1,-+∞.………………………………………………………14分。

2014届高三理科数学综合测试题(1)

2014届高三理科数学综合测试题(1)

2014届高三理科数学综合测试题一（2014.2）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}2,1,0=M ，{}M a a x x N ∈==,2，则集合=N M A ．}0{B ．}1,0{C ．}2,1{D ．}2,0{2．设a 是实数，且211i i a +++是实数，则=a A ．21B ．1C ．23D ．23．已知函数)sin(2)(ϕω+=x x f （其中0>ω，2πϕ<）的最小正周期是π，且3)0(=f ，则A ．21=ω，6πϕ= B ．21=ω，3πϕ= C ．2=ω，6πϕ=D ．2=ω，3πϕ=4．下列四个命题中，真命题的个数为（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； （2）两条直线可以确定一个平面；（3）若α∈M ，β∈M ，l =⋂βα，则l M ∈； （4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则)34()34(-+f f 的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．26．设)('x f 是函数)(x f 的导函数，将)(x f y =和)('x f y =的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是A．B．C．D．7．设1e，2e分别为具有公共焦点1F与2F的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF，则2212221)(eeee+的值为A．21B．1 C．2 D．不确定8．已知1)1,1(=f，*),(Nnmf∈（m、*)Nn∈，且对任意m、*Nn∈都有：①2),()1,(+=+nmfnmf；②)1,(2)1,1(mfmf=+．给出以下三个结论：（1）9)5,1(=f；（2）16)1,5(=f；（3）26)6,5(=f．其中正确的个数为A．3 B．2 C．1 D．0二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．9．圆心为)1,1(且与直线4=+yx相切的圆的方程是_______________．10．向量、满足3a=，5b=，7a b-=，则a、b的夹角为________．11．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．12．如右图，一个空间几何体的主视图、左视图是周长为4一个内角为060的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为________．13．如右图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点．则第11行的实心圆点的个数是．俯视图左视图主视图 (1) (2) (3) (4) (5) (6)EDCBAPB14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ 与圆2=ρ的公共点个数是________．15．（几何证明选讲选做题）如右图所示，等腰三角形ABC 的底边AC 长为6 , 其外接圆的半径长为5, 则三角形ABC 的面积是________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数x x x f 2sin 21)12(cos )(2++=π． （1）求)(x f 的最值； （2）求)(x f 的单调增区间．17．（本小题满分12分）某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为21，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300的台式电脑一台，得到奖券4张.(Ⅰ)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；(Ⅱ)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η（元），用ξ表示η，并求η的数学期望. 18．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，AD AB ⊥，CD AC ⊥，︒=∠60ABC ，BC AB PA ==，E 是PC 的中点．（1）求证：AE CD ⊥； （2）求证：⊥PD 面ABE ；（3）求二面角C PD A --的平面角的正弦值． 19．（本小题满分14分）已知抛物线2:ax y C =（a 为非零常数）的焦点为F ，点P 为抛物线C 上一个动点，过点P 且与抛物线C 相切的直线记为L ． （1）求F 的坐标；（2）当点P 在何处时，点F 到直线L 的距离最小？ 20．（本小题满分14分）数列{}n a 是以a 为首项，q 为公比的等比数列．令n n a a a b ----= 211，n n b b b c ----= 212，*N n ∈．（1）试用a 、q 表示n b 和n c ；（2）若0<a ，0>q 且1≠q ，试比较n c 与1+n c 的大小；（3）是否存在实数对),(q a ，其中1≠q ，使{}n c 成等比数列．若存在，求出实数对),(q a 和{}n c ；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分14分）设函数x b x x f ln )1()(2+-=，其中b 为常数． （1）当21>b 时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （2）若函数()f x 的有极值点，求b 的取值范围及()f x 的极值点； （3）求证对任意不小于3的正整数n ，不等式n n n n 1ln )1ln(12<-+<都成立．启恩中学2014届数学（理科）综合测试题（2）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．D 2．B 3．D 4．A 5．C 6．D 7．C 8．A二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分． 9．2)1()1(22=-+-y x10．︒120（或π32）11．1112．π 13．55 14．1 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 解： x x x f 2sin 21)]62cos(1[21)(+++=π………………………………………… 2分 ]2sin )6sin 2sin 6cos 2(cos 1[21x x x +-+=ππ )2sin 212cos 231(21x x ++=………………………………………… 2分 21)32sin(21++=πx ……………………………………………………. 2分（1）)(x f 的最大值为1、最小值为0；……………………………………………… 2分 （2）)(x f 单调增，故]22,22[32πππππ+-∈+k k x ，…………………………… 2分即)](12,125[Z k k k x ∈+-∈ππππ， 从而)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ．…………………… 2分 17.解：(Ⅰ)ξ的所有可能值为0，1，2，3，4.…………………………1分411(0)()216P ξ===，144141(1)()2164P C ξ====，244163(2)()2168P C ξ====344141(3)()2164P C ξ====，44411(4)()216P C ξ===. …………………………4分分(Ⅱ)1~(4,)2B ξ， 1422E ξ∴=⨯=. …………………………8分 由题意可知ξη1002300-=， …………………………10分230010023002002100E E ηξ∴=-=-=元. …………………………12分18．（本小题满分14分）（1）证明：⊥PA 底面ABCD ，PA CD ⊥∴又AC CD ⊥，A AC PA =⋂，故⊥CD 面PAC⊆AE 面PAC ，故AE CD ⊥………………………………………………… 4分 （2）证明：BC AB PA ==，︒=∠60ABC ，故AC PA =E 是PC 的中点，故PC AE ⊥由（1）知AE CD ⊥，从而⊥AE 面PCD ，故PD AE ⊥易知PD BA ⊥，故⊥PD 面ABE ……………………………………………… 5分 （3）过点A 作PD AF ⊥，垂足为F ，连结EF ．由（2）知，⊥AE 面PCD ，故AFE ∠是二面角C PD A --的一个平面角．设a AC =，则a AE 22=，a AD 32=，a PD 37= 从而a PD AD PA AF 72=⋅=，故414sin ==∠AF AE AFE ．……………… 5分 说明：如学生用向量法解题，则建立坐标系给2分，写出相关点的坐标给2分，第（1）问正确给2分，第（2）问正确给4分，第（3）问正确给4分。

2014年全国高考理科数学试题分类数列(逐题详解)

2014年全国高考理科数学试题分类数列(逐题详解)

2014年全国高考理科数学试题分类汇编（逐题详解）题型一、等比数列概念1.【2014年重庆卷（理02）】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列【答案】D【解析】设{}n a 公比为q ，因为336936,a aq q a a ==，所以369,,a a a 成等比数列，选择D 2.【2014年全国大纲卷（10）】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C【解析】∵等比数列{a n }中a 4=2，a 5=5，∴a 4•a 5=2×5=10，∴数列{lga n }的前8项和S=lga 1+lga 2+…+lga 8=lg （a 1•a 2…a 8）=lg （a 4•a 5）4=4lg （a 4•a 5）=4lg10=4故选：C 3.【2014年广东卷（理13）】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= 。

【答案】50【解析】由题意得，51011912120a a a a a a e ===，又∵0n a >， ∴1220ln ln ln a a a +++=1220ln()a a a =10120ln()a a =510ln e ⨯=50.4.【2014年江苏卷（理07）】在各项均为正数的等比数列}{n a 中，若12=a ，2682a a a +=，则6a 的值是 ． 【答案】4【解析】根据等比数列的定义，224426628,,q a a q a a q a a ===，所以由2682a a a +=得2242622q a q a q a +=，消去22q a ，得到关于2q 的一元二次方程02)(222=--q q ，解得22=q ，4212426=⨯==q a a题型二、等差数列求和5.【2014年福建卷（理03）】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．14【答案】C【解析】由题意可得S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝12，解得a 2＝4，∴公差d ＝a 2﹣a 1＝4﹣2＝2，∴a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选：C ．题型三、等比数列求和6.【2014年天津卷（理11）】设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S 、2S 、4S 成等比数列，则1a 的值为____________. 【答案】12-【解析】依题意得2214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-.题型四、最大最小项7.【2014年北京卷（理12）】若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.【答案】8【解析】由等差数列的性质可得a 7+a 8+a 9=3a 8＞0，∴a 8＞0，又a 7+a 10=a 8+a 9＜0，∴a 9＜0，∴等差数列{a n }的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{a n }的前8项 和最大，故答案为：8 题型五、数列综合运用8.【2014年湖南卷（理20）】(本小题满分13分)已知数列}{n a 满足11=a ，nn n p a a =-+||1，*N n ∈.（1）若}{n a 是递增数列，且1a ，22a ，33a 成等差数列，求p 的值； （2）若21=p ，且}{12-n a 是递增数列，是}{2n a 递减数列，求数列}{n a 的通项公式.解：（1）因为}{n a 是递增数列，所以n n n n n p a a a a =-=-++||11，而11=a ，因此p a +=12，231p p a ++=，又1a ，22a ，33a 成等差数列，所以31234a a a +=，因而032=-p p ，解得31=p 或0=p ，但当0=p 时，n n a a =+1，与}{n a 是递增数列相矛盾，故31=p .(2) 由于}{12-n a 是递增数列，因而 01212>--+n n a a ，于是0)()(122212>-+--+n n n n a a a a ①且 1222121-<n n ，所以 ||||122212-+-<-n n n n a a a a ②则①②可知，0122>--n n a a ，因此122121222)1(21----==-n nn n n a a ， ③因为是}{2n a 递减数列，同理可得0212<-+n n a a ，故nn n n n a a 21222122)1(21++-=-=-， ④由③④即得 nn n n a a 2)1(11++-=-. 于是)()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a122)1(21211--++-+=n n.2)1(3134211])21(1[(21111---⋅+=+--+=n n n故数列}{n a 的通项公式为*).(2)1(31341N n a n nn ∈-⋅+=-9.【2014年全国大纲卷（18）】（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，而110a =，从而有10(1)n a n d =+- 若0d =，10n S n =，此时4n S S ≤不成立若0d >，数列{}n a 是一个单调递增数列，n S 随着n 的增大而增大，也不满足4n S S ≤ 当0d <时，数列{}n a 是一个单调递减数列，要使4n S S ≤，则须满足540a a ≤⎧⎨≥⎩即1040105103032d d d +≤⎧⇒-≤≤-⎨+≥⎩，又因为21a a d =+为整数，所以d Z ∈，所以3d =- 此时103(1)133n a n n =--=-（2）由（1）可得1111111()(133)(103)(313)(310)3133103n n n b a a n n n n n n +====-⨯------ 所以111111111(())(())()31073743133103n T n n =---+---++-⨯-- 1111111111(()()())()31077431331031031010(310)n n n n n ---+---++-=--=-----.10.【2014年山东卷（理19）】(本小题满分12分）已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。

2014年全国高考理科数学试题-安徽卷(含答案)

2014年全国高考理科数学试题-安徽卷(含答案)

数学（理科）2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数. 若,1i z +=则=⋅+z iz 1（ ） A. 2- B. i 2- C. 2 D. i 2（2）“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A. 34B. 55C. 78D. 894.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立学科网极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31y y t x ，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） A.14 B.142 C.2 D.225.y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ） A,121-或 B.212或 C.2或1 D.12-或 6.设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A.21 B. 23 C.0 D.21- 7.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）A.21+3B.18+3C.21D.188.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有（ ）A.24对B.30对C.48对D.60对9.若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ）A.5或8B.1-或5C.1-或4-D.4-或810.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+.曲线cos sin ,02C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域0,P r PQ R r R Ω=<≤≤<.若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则( )A.13r R <<<B.13r R <<≤C.13r R ≤<<D.13r R <<< 第I I 卷（非选择题 共100分）二.选择题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是________.12.数列{}a n 是等差数列，若1a 1+，3a 3+，5a 5+构成学科网公比为q 的等比数列，则q =________.（13）设n a ,0≠是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为n n x a x a x a a ++++ 2210.若点)2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示，则______=a（14）设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b b y x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为__________ （15）已知两个不相等的非零向量,,b a 两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个和3个排列而成.记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=， min S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.①S 有5个不同的值.②若,⊥则min S .③若,∥则min S 无关.>，则0min >S .学科网,min S ==则与的夹角为4π三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文子说明、证明学科网过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.设ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,1,2.b c A B ===（1）求a 的值；（2）求sin()4A π+的值.17（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.(1) 求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；(2) 记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）18（本小题满分12分） 设函数其中. （1） 讨论在其定义域上的单调性； （2） 当时，求取得最大值和最小值时的的值.(19)(本小题满分13分)如图，已知两条抛物线()02:1121>=p x p y E 和()02:2222>=p x p y E ，过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 与21,E E 分别交于21,A A 两点，2l 与21,E E 分别交于21,B B 两点.(1)证明：;//2211B A B A (2)过原点O 作直线l （异于1l ，2l ）与21,E E 分别交于21,C C 两点。

2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案(20200326113459)

2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案(20200326113459)

2021年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I理科数学第一卷〔选择题共60分〕一．选择题：共12小题，每题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的一项。

1 .集合A={x|x22x 30}，B={－≤＜＝，那么A B=x|2x2A.[-2,-1]B.[-1,2〕C.[-1,1]D.[1,2〕(1 i)32.(1 i)2=A.1iB.1iC.1iD.1i3.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)时奇函数，g(x)是偶函数，那么以下结论正确的选项是A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数4.F是双曲线C：x2my23m(m0)的一个焦点，那么点F到C的一条渐近线的距离为A.3B.3C. 3mD.3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，那么周六、周日都有同学参加公益活动的概率A.1B.3C. 5D.78 8 8 86.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，那么y=f(x)在[0, ]上的图像大致为7.执行以下图的程序框图，假设输入的a,b,k分别为1,2,3，那么输出的M=A.20B.16C. 7D.153 5 2 8第1页共8页8.设(0, ) ，(0, )，且tan1sin，那么2 2 cosA.32 B.2 C.32D.22 29.不等式组x y1的解集记为D.有下面四个命题：x 2y 4p1：(x,y) D,x2y 2，p2：(x,y)D,x2y2,P3：(x,y)D,x2y3，p4：(x,y)D,x2y 1.其中真命题是A.p2，p3B.p1，p4C.p1，p2D.p1，p310.抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，假设FP 4FQ，那么|QF|=7B.5C.3D.2A.2 211.函数f(x)=ax3 3x21，假设f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，那么a的取值X围为A.〔2，+∞〕B.〔-∞，-2〕C.〔1，+∞〕D.〔-∞，-1〕12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，那么该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A.62B.42C.6D.4第二卷〔非选择题共90分〕本卷包括必考题和选考题两个局部。

2014届高三数学试题(理科)

2014届高三数学试题(理科)

2014届高三数学试题(理科）出卷人： 班别： 姓名：学号： 分数：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．集合，，则（ ）A． B． C． D．2. 已知复数 (为虚数单位），则复数在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为则抛物线的方程是( )A. B. C. D.4.如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（ ）A. B.C. D.5.已知向量，，，则（ ）A． B． C． D．36.设随机变量服从正态分布，若，则（ ）A． 3 B． C．5 D．7．在△ABC中，已知b＝4 ，c＝2 ，∠A＝120°，则 （ ）A．2 B．6 C．2 或6 D．28．函数若存在常数C ，对任意的存在唯一的使得则称函数在D上的几何平均数为C ．已知 则函数在[1,2]上的几何平均数为（ ）A． B．2 C．4 D．二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．在等差数列中，有，则此数列的前13项之和为 .开始否是输出结束10．展开式中，常数项是 .11．执行如图的程序框图，那么输出的值是 .12.已知集合={直线}，={平面}，． 若，给出下列四个命题：① ② ③④ 其中所有正确命题的序号是 .13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题．14．（坐标系与参数方程选做题）若直线的极坐标方程为，曲线：上的点到直线的距离为，则的最大值为 .15.(几何证明选讲选做题) 如图圆的直径,是的延长线上一点,过点 作圆的切线,切点为,连接,若,则 .三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分） 已知 ，（，其中）的周期为，且图像上一个最低点为（1）求的解析式； （2）当时，求的值域．17．(本小题满分13分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。

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2014届高三理科数学测试题2014届高三测试题 数学（理科）第一部分 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、i 为虚数单位，若11a ii i+=-，则a 的值为（ ） A. i B. i - C. 2i - D. 2i2、已知集合{}|-22A x a x a =<<+，{}| 2 4 B x x x =≤-≥或，则A B ⋂=∅的充要条件是A. 02a ≤≤B. 22a -<<C. 02a <≤D. 02a <<3、已知0,10a b <-<<，那么下列不等式成立的是( )A ．2a ab ab >> B ．2ab ab a>> C.2ab a ab >>D ．2ab aba>>4、设向量(cos55,sin 55),(cos 25,sin 25)a b =︒︒=︒︒，若t 是实数，则||a tb -的最小值为( )A.22 B. 21 C. 1 D. 25、曲线331x y =在x=1处切线的倾斜角为 ( )（A ）1 （B ）4π- （C ）4π （D ）54π6、已知4cos sin 365παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则7sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．23 B ．23 C ．45-D ． 457、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为（ ）A ．B ．C ．D ．8、定义域为R 的函数()f x 满足(+2)=2()f x f x ，当x ∈[0，2)时，2|x-1.5|-,[0,1)()=-(0.5),[1,2)x x x f x x ⎧∈⎨∈⎩若[-4,-2]x ∈时，1()-42t f x t≥恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．[-2，0)(0，l)B ．[-2，0)[l ，+∞)C ．[-2，l]D ．(-∞，-2](0，l]第二部分 非选择题（共110分）二、填空题: 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（9～13题） 9、数列{}na 的前n 项和为nS ，且21nn Sa =-，则{}na 的通项公式na =_____．10、由曲线2,x y x y ==所围成图形的面积是和DC 相交于点P ，若11,23PB PC PA PD ==，则BCAD= ．三、解答题：本大题共4小题，满分52分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. （本小题满分12分）已知向量.4cos ,4cos ,2,4sin 322⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x n x m（I ）若⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅3cos ,2πx n m 求的值； （II ）记n m x f ⋅=)(，在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是c b a ,,，且满足C b B c a cos cos )2(=-，求)(A f 的取值范围。

17．（本小题满分12分）某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案,中将可以获得2分;方案乙甲的中奖率为23的中奖率为2,中将可以得3分;未中奖则不5得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,X Y,求3X≤的概率;(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?18．(本小题满分14分)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，AD=m，E为BC中点，且∠AEA1恰为二面角A1－ED－A的平面角.（1）求证：平面A1DE⊥平面A1AE；（2）求异面直线A1E、CD所成的角；（3）设△A1DE的重心为G，问是否存在实数λ，使得=λ，且MG⊥平面A1ED同时成立？若存在，求出λ的值；D1ABC DA1B1C1E若不存在，说明理由.19．（本小题满分14分）在周长为定值的∆DEC 中,已知||8DE=,动点C的运动轨迹为曲线G,且当动点C运动时,cos C有最小值7-.25(1)以DE所在直线为x轴,线段DE的中垂线为y 轴建立直角坐标系,求曲线G的方程;(2)直线l分别切椭圆G与圆222+=(其中35M x y R:<<)R于A、B两点,求|AB|的范围.参考答案一、选择题（每题5分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 CADBCCAD二、填空题（每题5分，共30分）9、12n na-= 10、1311、1312、5 13、10914、5 15、6616. （本小题满分12分）已知向量.4cos ,4cos ,2,4sin 322⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x n x m（I ）若⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅3cos ,2πx n m 求的值； （II ）记n m x f ⋅=)(，在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是c b a ,,，且满足C b B c a cos cos )2(=-，求)(A f 的取值范围。

解：（1）m•n=223cos 2cos 444x x x+3cos 122x x++=2sin()126x π++． ∵m •n=2,∴1sin()262x π+=．……4分。

2cos()12sin ()326x x ππ+=-+=12．…………6分（2）∵（2a-c ）cosB=bcosC,由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C-=,∴2sin sin cos sin cos AcosB C B B C -=,∴2sin cos sin()A B B C =+．∵A B C π++=,∴sin()sin B C A +=，且sin 0A ≠,∴1cos ,23B B π==,…………8分∴203A π<<．∴1,sin()16262226A A ππππ<+<<+<…………9分 又∵f （x ）=m •n ＝2sin()126x π++，∴f （A ）=2sin()126A π++ 故f （A ）的取值范围是（2,3）…………12分 17．（本小题满分12分）某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为23,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为25,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,X Y ,求3X ≤的概率;(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?解:(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为25,两人中奖与否互不影响,记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A,则A 事件的对立事件为“5=X ”,224(5)3515==⨯=P X ,11()1(5)15∴=-==P A P X∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115.(Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ,都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X ，由已知:12~(2,)3XB ,22~(2,)5XB124()233∴=⨯=E X ,224()255=⨯=E X118(2)2()3∴==E X E X ,2212(3)3()5==E XE X 。

12(2)(3)>E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.18．(本小题满分14分) 如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2，AB=1，AD=m ，E 为BC中点，且∠AEA 1恰为二面角A 1－ED －A 的平面角.（1）求证：平面A 1DE ⊥平面A 1AE ； （2）求异面直线A 1E 、CD 所成的角； （3）设△A 1DE 的重心为G ，问是否存在实数λ，使得=λ，且MG ⊥平面A 1ED 同时成立？若存在，求出λ的值； 若不存在，说明理由.解：如图建立空间直角坐标系，则D 1A B CDA 1B 1C 1E)0,0,1(),2,0,0(),0,0,0(1B A A )0,2,1(),0,,0(m E m D（1）1AEA ∠ 为二面角A 1－ED －A 的平面角.ED AE ED E A ⊥⊥∴,1AE A ED E AE E A 面⊥∴=,1EDA ED 1面⊂ ，AE A ED A 11平面平面⊥∴ 4分（2）)0,2,1(),0,2,1(),2,2,1(1m AE m ED m E A =-=-=1AEA ∠ 为二面角A 1－ED －A 的平面角.ED AE ⊥∴，即0=⋅2=∴m ，取AD 中点F ，则)0,1,0(F)0,0,1(),2,1,1(1-=--=EA ，21,cos 111=⋅>=<∴EFEA EA所以0160=∠EF A ，即异面直线A 1E 、CD 所成的角为060 9分（3）依题意)0,,2,0(,),32,1,31(λλM G ∴⋅=假设存在λ满足题设条件，则01=⋅EA 且0=⋅ 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+-⋅+⋅-=⋅+-⋅-+⋅-0320)21(13110322)21()1(311λλ 31=∴λ 14分 19．（本小题满分14分）在周长为定值的∆DEC 中,已知||8DE =,动点C 的运动轨迹为曲线G ,且当动点C 运动时,cos C 有最小值725-. (1)以DE 所在直线为x 轴,线段DE 的中垂线为y 轴建立直角坐标系,求曲线G 的方程;(2)直线l 分别切椭圆G 与圆222:M x y R +=(其中35R <<)于A 、B 两点,求|AB |的范围. 解：(1)设 |CD |+|CE |=2a (a >4)为定值,所以C 点的轨迹是以D 、E 为焦点的椭圆,所以焦距2c =|DE |=8. ……………………………..2分因为2222222||||8(||||)2||||828cos 12||||2||||||||CD CE CD CE CD CE a C CD CE CD CE CD CE +-+---===- 又222||||()2aCD CE a ⋅≤=,所以228cos 12C a≥-,…………………………….4分由题意得 222871,25225aa -=-=. 所以C 点轨迹G 的方程为221.259x y += ……..6分(2)设1122(,),(,)A x y B x y 分别为直线l 与椭圆和圆的切点, 直线AB 的方程为:y kx m =+ 因为A 既在椭圆上,又在直线AB 上, 从而有221259x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩, ………………..8分消去y 得:222(259)5025(9)0k x kmx m +++-=由于直线与椭圆相切,故222(50)4(259)25(9)0km k m ∆=-+⨯-= ,从而可得:22925m k =+ ①125kx m =-② …………….10分由222x y Ry kx m ⎧+=⎨=+⎩消去y 得:2222(1)20k x kmx m R +++-=.由于直线与圆相切,得:222(1)m R k =+③ 22kR x m=- ④ 由②④得:221(25)k R x x m--=;由①③得:222925R k R -=-22222212121||()()(1)()AB x x y y k x x ∴=-+-=+-222222222222(25)9(25)22525925m k R R R R R m R R R ---=⋅=⋅=+---由3<R <5易知,222253034R R≤+<;20||4AB <≤,从而0||2AB <≤…………….14分。

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