高等数学同济第六版上答案解析第六章

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高数第六版上册课后习题答案第六章

习题6-2 1 求图6-21 中各画斜线部分的面积(1)解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为61]2132[)(1022310=-=-=⎰x x dx x x A . (2)解法一画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 1|)()(1010=-=-=⎰x x e ex dx e e A解法二画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1 e ] 所求的面积为1)1(|ln ln 111=--=-==⎰⎰e e dy y y ydy A ee e(3)解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3 1] 所求的面积为332]2)3[(132=--=⎰-dx x x A(4)解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1 3] 所求的面积为332|)313()32(3132312=-+=-+=--⎰x x x dx x x A2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积:(1) 221x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算);解:388282)218(220220*********--=--=--=⎰⎰⎰⎰dx x dx x dx x dx x x A34238c o s 16402+=-=⎰ππtdt . 346)22(122-=-=ππS A .(2)xy 1=与直线y =x 及x =2;解:所求的面积为⎰-=-=212ln 23)1(dx x x A .(3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解:所求的面积为⎰-+=-=-1021)(ee dx e e A x x .(4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解所求的面积为a b e dy e A ba y ba y -===⎰ln ln ln ln3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解:y '=-2 x +4.过点(0, -3)处的切线的斜率为4, 切线方程为y =4(x -3). 过点(3, 0)处的切线的斜率为-2, 切线方程为y =-2x +6.两切线的交点为)3 ,23(, 所求的面积为49]34(62[)]34(34[23023232=-+--+-+-+---=⎰⎰dx x x x x x x A .4. 求抛物线y 2=2px 及其在点),2(p p 处的法线所围成的图形的面积.解2y ⋅y '=2p在点),2(p p处 1),2(=='p p y p y 法线的斜率k =-1 法线的方程为)2(px p y --=- 即y px -=23 求得法线与抛物线的两个交点为),2(p p 和)3,29(p p -法线与抛物线所围成的图形的面积为233232316)612123()223(p y p y y p dy p y y p A p ppp =--=--=--⎰5. 求由下列各曲线所围成的图形的面积; (1) =2a cos θ解:所求的面积为⎰⎰==-2022222c o s 4)c o s 2(21πππθθθθd a d a A =πa 2.(2)x =a cos 3t , y =a sin 3t ; 解所求的面积为⎰⎰⎰===2042202330s i n c o s 34)c o s ()s i n (44ππt d t t a t a d t a y d xA a2206204283]s i n s in [12a tdt tdt a πππ=-=⎰⎰(3) =2a (2+cos θ ) 解所求的面积为2202220218)cos cos 44(2)]cos 2(2[21a d a d a A πθθθθθππ=++=+=⎰⎰6. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0 t 2π)与横轴所围成的图形的面积.解:所求的面积为 ⎰⎰⎰-=--==aaa dt t a dt t a t a ydx A 20222020)cos 1()cos 1()cos 1(ππ22023)2c o s 1c o s 21(a dt t ta a=++-=⎰. 7. 求对数螺线 =ae θ(-π≤θ≤π)及射线θ=π所围成的图形面积解所求的面积为)(421)(21222222ππππθππθθθ----===⎰⎰e e a d e a d ae A8. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积. (1) =3cos θ 及 =1+cos θ解曲线 =3cos θ 与 =1+cos θ 交点的极坐标为)3,23(πA , )3,23(π-B . 由对称性, 所求的面积为πθθθθπππ45])c o s 3(21)c o s 1(21[2232302=++=⎰⎰d d A . (2)θρsin 2=及θρ2cos 2=解曲线θρsin 2=与θρ2cos 2=的交点M 的极坐标为M )6,22(π 所求的面积为2316]2cos 21)sin 2(21[246602-+=+=⎰⎰πθθθθπππd d A9. 求位于曲线y =e x 下方, 该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积.解设直线y =kx 与曲线y =e x 相切于A (x 0 y 0)点则有⎪⎩⎪⎨⎧=='==ke x y e y kx y x x 00)(0000求得x 0=1 y 0=e k =e 所求面积为21ln 21)ln 1(00020e dy y y y y y e dy y y e e e ee=⋅+-=-⎰⎰10. 求由抛物线y 2=4ax 与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值. 解设弦的倾角为α. 由图可以看出, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为 10A A A +=.显然当2πα=时, A 1=0; 当2πα<时, A 1>0.因此, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为 2030383822a x a dx ax A a a===⎰.11. 把抛物线y 2=4ax 及直线x =x 0(x 0>0)所围成的图形绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.解所得旋转体的体积为20020222400x a x a axdx dx y V xx x ππππ====⎰⎰12. 由y =x 3 x =2 y =0所围成的图形分别绕x轴及y 轴旋转计算所得两个旋转体的体积解绕x 轴旋转所得旋转体的体积为 ππππ712871207206202====⎰⎰x dx x dx y V x绕y 轴旋转所得旋转体的体积为 ⎰⎰-=-⋅⋅=803280223282dy y dy x V y πππππππ56453328035=-=y13. 把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形绕x 轴旋转计算所得旋转体的体积解由对称性所求旋转体的体积为 dx x a dx y V aa⎰⎰-==03323202)(22ππ30234323234210532)33(2a dx x x a x a a aππ=-+-=⎰14. 用积分方法证明图中球缺的体积为)3(2H R H V -=π证明 ⎰⎰---==RHR R HR dy y R dy y x V )()(222ππ)3()31(232H R H y y R RH R -=-=-ππ15. 求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积:(1)2x y =, 2y x =, 绕y 轴;解 ππππ103)5121()(1052102210=-=-=⎰⎰y y dy y ydy V .(2)a x a y ch = x =0 x =a y =0 绕x 轴解 ⎰⎰⎰===102302202ch ch )(udu a au x dx ax a dx x y V aaπππ令1022310223)21221(4)2(4u u uu e u e a du e e a ---+=++=⎰ππ )2sh 2(43+=a π (3)16)5(22=-+y x , 绕x 轴.解 ⎰⎰------+=44224422)165()165(dx x dx x V ππ2421601640π⎰=-=dx x .(4)摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱, y =0, 绕直线y =2a .解 ⎰⎰--=ππππa a dx y a dx a V 202202)2()2( ⎰----=πππ20223)sin ()]cos 1(2[8t t da t a a a232023237sin )cos 1(8ππππa tdt t a a =+-=⎰. 16 求圆盘222a y x ≤+绕x =-b (b >a >0)旋转所成旋转体的体积.解 ⎰⎰------+=aaaa dy y ab dy y a b V 222222)()(ππ222228ππb a dy y a b a=-=⎰.17 设有一截锥体其高为h 上、下底均为椭圆椭圆的轴长分别为2a 、2b 和2A 、2B 求这截锥体的体积解建立坐标系如图过y 轴上y 点作垂直于y 轴的平面则平面与截锥体的截面为椭圆易得其长短半轴分别为y h a A A -- y h b B B --截面的面积为π)()(y h b B B y h a A A --⋅--于是截锥体的体积为])(2[61)()(0bA aB AB ab h dy y h b B B y h a A A V h+++=--⋅--=⎰ππ18 计算底面是半径为R 的圆, 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.解设过点x 且垂直于x 轴的截面面积为A (x ),由已知条件知, 它是边长为x R -2的等边三角形的面积, 其值为)(3)(22x R x A -=, 所以 322334)(3R dx x R V RR=-=⎰-.19. 证明由平面图形0≤a ≤x ≤b 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为⎰=ba dx x xf V )(2π证明如图在x 处取一宽为dx 的小曲边梯形小曲边梯形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积近似为2 x ⋅f (x )dx这就是体积元素即 dV =2 x ⋅f (x )dx于是平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ⎰⎰==babadx x xf dx x xf V )(2)(2ππ20. 利用题19和结论计算曲线y =sin x (0≤x ≤ )和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积解 2002)sin cos (2cos 2sin 2πππππππ=+-=-==⎰⎰x x x x xd xdx x V21. 计算曲线y =ln x 上相应于83≤≤x 的一段弧的长度. 解 ⎰⎰⎰+=+='+=8328328321)1(1)(1dx xx dx x dx x y s ,令t x =+21, 即12-=t x , 则 23ln 211111113223232222322+=-+=-=-⋅-=⎰⎰⎰⎰dt t dt dt t t dt t tt t s .22. 计算曲线)3(3x x y -=上相应于1≤x ≤3的一段弧的长度解 x x x y 31-= x x y 2121-='x x y 4121412+-=' )1(2112xx y +='+所求弧长为3432)232(21)1(213131-=+=+=⎰x x x dx xx s23. 计算半立方抛物线32)1(32-=x y 被抛物线32x y =截得的一段弧的长度解由⎪⎩⎪⎨⎧=-=3)1(32232x y x y 得两曲线的交点的坐标为)36 ,2( )36 ,2(-所求弧长为⎰'+=21212dx y s因为 2)1(22-='x y y yx y 2)1(-=' )1(23)1(32)1()1(34242-=--=-='x x x y x y所以 ]1)25[(98)13(13232)1(2312232121-=--=-+=⎰⎰x d x dx x s24. 计算抛物线y 2=2px 从顶点到这曲线上的一点M (x , y )的弧长.解 ⎰⎰⎰+=+='+=y yydy y p p dy p y dy y x s 02202021)(1)(1y y p y p y p y p 022222])ln(22[1++++=py p y py p p y 2222ln22++++=. 25. 计算星形线t a x 3cos =, t a y 3sin =的全长.解用参数方程的弧长公式. dt t y t x s ⎰'+'=2022)()(4π⎰⋅+-⋅=202222]cos sin 3[)]sin (cos 3[4πdt t t a t t aa tdt t 6cos sin 1220==⎰π.26. 将绕在圆(半径为a )上的细线放开拉直使细线与圆周始终相切细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线它的方程为 )sin (cos t t t a x +=)cos (sin t t t a y -=计算这曲线上相应于t 从0变到的一段弧的长度解由参数方程弧长公式 ⎰⎰+='+'=ππ022022)sin ()cos ()]([)]([dt t at t at dt t y t x s202ππatdt a ==⎰27. 在摆线x =a (t -sin t ) y =a (1-cos t )上求分摆线第一拱成13的点的坐标解设t 从0变化到t 0时摆线第一拱上对应的弧长为s (t 0) 则 ⎰⎰+-='+'=000220220]sin [)]cos 1([)]([)]([)(t t dt t a t a dt t y t x t s)2cos 1(42sin 2000ta dt t a t -==⎰当t 0=2 时得第一拱弧长s (2 )=8a 为求分摆线第一拱为1 3的点为A (x y ) 令 a ta 2)2cos 1(40=-解得320π=t 因而分点的坐标为横坐标a a x )2332()32sin 32(-=-=πππ纵坐标a a y 23)32cos 1(=-=π故所求分点的坐标为)23 ,)2332((a a -π28. 求对数螺线θρa e =相应于自θ=0到θ=ϕ的一段弧长. 解用极坐标的弧长公式. θθθρθρϕθθϕd ae e d s a a ⎰⎰+='+=022022)()()()()1(1122-+=+=⎰θϕθθa a e aa d e a . 29. 求曲线 =1相应于自43=θ至34=θ的一段弧长解按极坐标公式可得所求的弧长 ⎰⎰-+='+=3443222344322)1()1()()(θθθθθρθρd d s23ln 12511344322+=+=⎰θθθd30. 求心形线 =a (1+cos θ )的全长. 解用极坐标的弧长公式. θθθθθρθρππd a a d s ⎰⎰-++='+=0222022)sin ()cos 1(2)()(2a d a 82cos 40==⎰πθθ.习题6-31. 由实验知道, 弹簧在拉伸过程中, 需要的力F (单位: N )与伸长量s (单位: cm)成正比, 即F =ks (k 为比例常数). 如果把弹簧由原长拉伸6cm , 计算所作的功.解将弹簧一端固定于A , 另一端在自由长度时的点O 为坐标原点, 建立坐标系. 功元素为dW =ksds , 所求功为 182160260===⎰s k ksds W k(牛⋅厘米). 2. 直径为20cm 、高80cm 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2的蒸汽. 设温度保持不变, 要使蒸汽体积缩小一半, 问需要作多少功？解由玻-马定律知:ππ80000)8010(102=⋅⋅==k PV .设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变, 高度减小x 厘米时压强为P (x )牛/厘米2, 则ππ80000)]80)(10[()(2=-⋅x x P , π-=80800)(x P .功元素为dx x P dW )()10(2⋅=π,所求功为 2ln 8008018000080800)10(400402πππππ=-=-⋅⋅=⎰⎰dx dx W (J). 3. (1)证明: 把质量为m 的物体从地球表面升高到h 处所作的功是hR mgRhW +=, 其中g 是地面上的重力加速度, R 是地球的半径;(2)一颗人造地球卫星的质量为173kg , 在高于地面630km 处进入轨道. 问把这颗卫星从地面送到630的高空处, 克服地球引力要作多少功？已知g =9.8m/s 2, 地球半径R =6370km .证明 (1)取地球中心为坐标原点, 把质量为m 的物体升高的功元素为dy y kMm dW 2=, 所求的功为 )(2h R R mMh k dy y kMm W h R R+⋅==⎰+. (2)533324111075.910)6306370(106370106301098.51731067.6⨯=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯=-W (kJ).4. 一物体按规律3ct x =作直线运动, 媒质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由x =0移至x =a 时, 克服媒质阻力所作的功. 解因为3ct x =, 所以23)(cx t x v ='=, 阻力4229t kc kv f -=-=. 而32)(cx t =, 所以34323429)(9)(x kc cx kc x f -=-=. 功元素dW =-f (x )dx , 所求之功为 37320343203432072799)]([a kc dx x kcdx x kc dx x f W a aa===-=⎰⎰⎰. 5. 用铁锤将一铁钉击入木板, 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比, 在击第一次时, 将铁钉击入木板1cm . 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等, 问锤击第二次时, 铁钉又击入多少？解设锤击第二次时铁钉又击入h cm , 因木板对铁钉的阻力f 与铁钉击入木板的深度x (cm)成正比, 即f =kx , 功元素dW =f dx =kxdx , 击第一次作功为k kxdx W 21101==⎰,击第二次作功为)2(212112h h k kxdx W h+==⎰+. 因为21W W =, 所以有 )2(21212h h k k +=, 解得12-=h (cm).6. 设一锥形贮水池, 深15m , 口径20m , 盛满水, 今以唧筒将水吸尽, 问要作多少功？解在水深x 处, 水平截面半径为x r 3210-=, 功元素为dx x x dx r x dW 22)3210(-=⋅=ππ,所求功为⎰-=1502)3210(dx x x W π⎰+-=15032)9440100(dx x x x π =1875(吨米)=57785.7(kJ).7. 有一闸门, 它的形状和尺寸如图, 水面超过门顶2m . 求闸门上所受的水压力.解建立x 轴, 方向向下, 原点在水面. 水压力元素为xdx dx x dP 221=⋅⋅=, 闸门上所受的水压力为21252252===⎰x xdx P (吨)=205. 8(kN).8. 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体, 尺寸如图所示. 当水箱装满水时, 计算水箱的一个端面所受的压力.解建立坐标系如图, 则椭圆的方程为 11)43()43(2222=+-y x . 压力元素为dx x x dx x y x dP 22)43()43(38)(21--⋅=⋅⋅=,所求压力为 ⎰⎰-⋅⋅+=--⋅=222322cos 43cos 43)sin 1(4338)43()43(38ππtdx t t dx x x P ππ169cos 49202==⎰tdx (吨)=17.3(kN). (提示: 积分中所作的变换为t x sin 4343=-)9. 有一等腰梯形闸门, 它的两条底边各长10m 和6m , 高为20m . 较长的底边与水面相齐. 计算闸门的一侧所受的水压力. 解建立坐标系如图. 直线AB 的方程为x y 1015-=,压力元素为dx x x dx x y x dP )5110()(21-⋅=⋅⋅=,所求压力为1467)5110(200=-⋅=⎰dx x x P (吨)=14388(千牛).10. 一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片, 铅直地沉没在水中, 顶在上, 底在下且与水面平行, 而顶离水面3cm , 试求它每面所受的压力.解建立坐标系如图.腰AC 的方程为x y 32=, 压力元素为dx x x dx x x dP )3(34322)3(+=⋅⋅⋅+=,所求压力为168)2331(34)3(34602360=+=+=⎰x x dx x x P (克)=1.65(牛).11. 设有一长度为l 、线密度为μ的均匀细直棒, 在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M , 试求这细棒对质点M 的引力.解建立坐标系如图. 在细直棒上取一小段dy , 引力元素为 dyya Gm y a dy m G dF 2222+=+⋅=μμ, dF 在x 轴方向和y 轴方向上的分力分别为 dF r a dF x -=, dF rydF y =.2202222022)(1)(la a l Gm dy y a y a aGm dy y a Gm r a F l lx +-=++-=+⋅-=⎰⎰μμμ, )11()(12202222022l a a Gm dy y a y a Gm dy y a Gm r y F l ly +-=++=+⋅=⎰⎰μμμ. 12. 设有一半径为R 、中心角为 ϕ 的圆弧形细棒, 其线密度为常数 μ . 在圆心处有一质量为m 的质点F . 试求这细棒对质点M 的引力.解根据对称性, F y =0. θμcos 2⋅⋅⋅=Rdsm G dF xθθμθθμd RGm R Rd Gm cos cos )(2=⋅=, θθμϕϕd R Gm F x ⎰-=22cos 2sin 2cos 220ϕμθθμϕR Gm d R Gm ==⎰. 引力的大小为2sin 2ϕμR Gm , 方向自M 点起指向圆弧中点.总习题六1. 一金属棒长3m , 离棒左端xm 处的线密度为11)(+=x x ρ (kg/m ). 问x 为何值时, [0, x ]一段的质量为全棒质量的一半? 解 x 应满足⎰⎰+=+300112111dt t dt t x . 因为212]12[1100-+=+=+⎰x t dt t x x , 1]12[2111213030=+=+⎰t dt t , 所以 1212=-+x ,45=x (m). 2. 求由曲线ρ=a sin θ, ρ=a (cos θ+sin θ)(a >0)所围图形公共部分的面积.解⎰++⋅=432222)sin (cos 21)2(21ππθθθπd a a S24322241)2sin 1(28a d a a -=++=⎰πθθπππ3. 设抛物线c bx ax y ++=2通过点(0, 0), 且当x ∈[0, 1]时, y ≥0. 试确定a 、b 、c 的值, 使得抛物线c bx ax y ++=2与直线x =1, y =0所围图形的面积为94, 且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小. 解因为抛物线c bx ax y ++=2通过点(0 0) 所以c =0 从而 bx ax y +=2抛物线bx ax y +=2与直线x =1, y =0所围图形的面积为23)(102ba dx bx ax S +=+=⎰ 令9423=+b a 得968ab -=该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为)235()(221022ab b a dx bx ax V ++=+=⎰ππ )]968(2)968(315[22a a a a -+-+=π令0)]128(181********[=-+-⋅+2=a a a d dV π 得35-=a 于是b =24. 求由曲线23x y =与直线x =4, x 轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积.解所求旋转体的体积为πππ7512722240274023=⋅=⋅=⎰x dx x x V5. 求圆盘1)2(22≤+-y x 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积. 解 )2(122312⎰--⋅⋅=dx x x V π22224cos )sin 2(4 sin 2ππππ=+=-⎰-tdt t t x 令 6. 抛物线221x y =被圆322=+y x 所需截下的有限部分的弧长.解由⎪⎩⎪⎨⎧==+222213x y y x 解得抛物线与圆的两个交点为)1 ,2(- )1 ,2( 于是所求的弧长为2022202])1ln(2112[212x x x x dx x s ++++=+=⎰ )32ln(6++=7. 半径为r 的球沉入水中, 球的上部与水面相切, 球的比重与水相同, 现将球从水中取出, 需作多少功?解建立坐标系如图将球从水中取出时球的各点上升的高度均为2r 在x 处取一厚度为dx 的薄片在将球从水中取出的过程中薄片在水下上升的高度为r +x 在水上上升的高度为r -x 在水下对薄片所做的功为零在水上对薄片所做的功为dx x r x r g dW ))((22--=π对球所做的功为g r x d x r x r g W r r 22234))((ππ=--=⎰-8. 边长为a 和b 的矩形薄板, 与液面成α 角斜沉于液体内, 长边平行于液面而位于深h 处, 设a >b , 液体的比重为ρ, 试求薄板每面所受的压力.解在水面上建立x 轴使长边与x 轴在同一垂面上长边的上端点与原点对应长边在x 轴上的投影区间为[0 b cos ] 在x 处x 轴到薄板的距离为h +x tan 压力元素为dx x h ga dx a x h g dP )tan (cos cos )tan (ααρααρ+=⋅⋅+⋅= 薄板各面所受到的压力为)sin 2(21)tan (cos cos 0αρααραb h gab dx x h ga P b +=+=⎰ 9. 设星形线ta x 3cos = t a y 3sin =上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方, 在原点O 处有一单位质点, 求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.解取弧微分ds 为质点则其质量为ds y x ds y x 322322)()(+=+ 其中tdt t a dt t a t a ds cos sin 3])sin [(])cos [(2323='+'=设所求的引力在x 轴、y 轴上的投影分别为F x 、F y 则有⎰+⋅++⋅⋅=202222322)()(1πds y x x y x y x G F x 2204253sin cos 3Ga tdt t Ga ==⎰π⎰+⋅++⋅⋅=202222322)()(1πds y x y y x y x G F x 2204253sin cos 3Ga tdt t Ga ==⎰π 所以)53 ,53(22Ga Ga =F（英文版）easily blame, to prevent the broken window effect. Supervise the leading cadres to play an exemplary role, take the lead in the strict implementation of the < code > and < rule >, lead to safeguard the solemnity and authority of the party discipline, ensure that the party discipline and the laws and regulations for implementation in place. Throughout the discipline in the daily supervision and management , strengthen supervision and inspection, from the thorough investigation of violations of discipline behavior. Strengthen to key areas, key departments and key projects as well as the masses reflect the concentration of the units and departments for supervision. - strengthening supervision, discipline inspection and supervision of cadres to set an example for compliance with the < code > and < rule > is a man must be hexyl, blacksmith needs its own hardware. Discipline inspection organs as the executor of the party discipline, and supervisor of the defenders, for its supervision must be more strictly, discipline inspection and supervision of cadres to firmly establish the awareness of Party Constitution, sense of discipline and rules consciousness, politics loyalty, sense obey. Action speak Ji Ordinance to set an example of the regulations of the rule of law, strengthen supervision and accept the supervision of the firmness and consciousness, do comply with < > and < >. To firmly establish the discipline must first be disciplined, the supervisor will be subject to thesupervision of "concept, and consciously safeguard and implement party compasses party, take the lead in practicing" three strict real strict, so loyal, clean, play. To be good at learning, the Constitution and the < code > as morality, politics and brought to fruition; to implement < >, do not want to, dare not, not with disciplinary ruler to supervision; to discipline a ruler, often the control inspection, and consciously in the ideological red line to draw the row Ming Good accumulation is indeed the bottom line, so that the heart has fear, said to have quit, the line has ended. Attached: indifferent to heart, calmly to the table in our life, there are many unpredictable things will happen, some good, some bad things, we cannot control is powerless to stop, but with time, you will find in life sometimes turns out to be not good, some bad things finally turned out to be a good thing, but then we muddy however did not know, this is the life teach us things. 1, life can be complex, can also be simple. Want simple life of precipitation, to have enough time to reflect, to make Become more perfect. Life is the most important thing is not to win, but the struggle; not to have conquered, but to have fought well. 2, the plain is the background of life. Live a plain life, give up on themselves is not a coward, but the wise answers; not disillusioned after the heart, such as ashes, but experience the storm after the enlightenment; not unrewarding perfunctorily, but calm attitude of life of unrestrained self-confidence. Plain living, there is no noise noisy, no earthly troubles, more did not fill in the discontent of desire,some just a calm, a calm. 3, memory of heart will not good things to erase the, life is a When no movie, pain is a beginning, the struggle is a kind of process, death is a kind of ending. Give up this giving up is the helpless, do not give up the abandoned, do not give up this giving up is ignorance, do not give up should not give up is persistent. 4, a thing figured is heaven, think impassability is hell. Since the living, to live better. Sometimes we because of too narrow-minded, too care around the chores and penny wise and pound foolish, not worth the candle. Some things to attract trouble and worry, completely depends on how we look at and deal with it. Don't always take everything back to things, and don't get into a blind alley, don't want to face, don't be narrow-minded. Poke to care, is a kind of open-minded, a free and easy. 5, I am not afraid of others behind me a knife, I afraid to look back and see stab me, is my intention to treat people; I am not afraid of the truth to tell the best friend, I'm afraid he turned to it as a joke to tell don't 6, when we are in a positive frame of mind, you will find many good things; and when we are in a negative state of mind, you will find many depressed things; life happy and worry, all is you of life attitude, optimistic, good luck; loss of sink, Eritrea company. When you are in adversity, may wish to change a point of view to think everything over to the good Think, because good mentality decided the fate of the! 7, people are tired, rest; heart tired, calm. Grow up, mature, this society read. Tired and sad, squat down, to their a hug. Because the world no one cansympathize with you, have mercy on you. Y ou cry, tears is your own; you pain, no one can understand. Then you only tears to smile. 8, each people have youth,Each youth are a story, the life of the world never gets easier, I want what, wish the world all know, as has been the same; now want anything, for fear that others know, or like to lose the same. 9, the heart move, everything in the world is followed by birth, Rangrang, important thing is often the most difficult to open one's mouth, because words will reduce its importance; to let strangers people care about your life in the good things, the original is not easy 10, do not blame, do not laugh at who, also don't envy who. Like a person is a kind of feeling, not like a person is true. The truth is easy to explain, I feel Is unspeakable. The best travel life is that you in a strange place found a long lost touched. 11, happy life not in the bustling in, and in the peace of mind; no matter how many grievances, how uncomfortable, and ultimately to heal themselves or their own, others may got you to comfort, but never know your heart is how wanjianchuanxin. 12, ma'am, like a movie, learn to appreciate, learn to be grateful, learn tolerance, and goodness, helping others. Instead of accusing the society, as into one; and an exception is better to give than to what 13, don't envy him A sum of, don't lose your life and the life, respectively is: the former is a we experienced cannot escape in a day finally will last minute, while the latter is our persistent, we want to cherish the memory of those people and things.14, learn to smile, learn to strong, the world you know so many people, so many people and you are, you cannot change also can't let everyone like you, so also do not want to do. Life is too short to go crazy to love to go to waste, to chase the dream to regret. 15, when temper, a blessing to go. A wounding elegant people, the key is to control their own emotions. With the mouth is the most stupid behavior. A control negative emotions than a can take a city more powerful water flow slow, language is expensive. People spent two years of time to learn to speak, but to spend a few years time to shut up. That is a kind of ability, that is a kind of wisdom. 16, life is not perfect, sometimes, growth is not a cry, not an eyeful of tears, there is no trace of emotion, there is no gleam of hope, no desire, no action, no static, there is only one kind of downward sinking feeling, sink A murky? 6? 7? 6? 7 sink? 6? 7? 6? 7 toward the bottom of the sink. 17, in some way, do not go, you will not know the other side scenery is beautiful. To you is not good, you do not mind too much, no one has an obligation to you; you learn knowledge, is you have weapons, you can start from scratch, but not unarmed; how do you treat people, does not represent how others treat you, if cannot see through this point, only inviting worry. 18, time is like a sponge in the water, as long as you are willing to squeeze, the total water is still there. Every life, after the ups and downs The best test of live, to life, survival and continuation, do not stop the struggle in the joys and sorrows of life on the road, so that different soul to bear life beat, acceptance ofsuffering. 19, indifferent to heart, calmly in table, elegant and comfortable life, do not take what is so important. The pursuit will be disappointed; to be alive, you will have trouble. Life is the most afraid of what all want to care about, but also what all grasp is not firm, without scenery, separated populations, such as not to desire, all docked in the fate of the end. Why is too rigid, the natural, to go stay not to live, let go of obsession, revel is 20, if the fate of the broken Hopes of sailing, please don't despair, the coast is still, if the fate of the withered petals of the beautiful, please do not sink, the spring is still, life will always be endless trouble, please don't helpless, because they are still alive, is still a dream, the sun still, we still. Lost, keep memories; to get, must work to; but the most important is good to cherish their own. 21, life, select the complex, is to choose the pain; choose a simple, is choose to be happy. The complex world like aSignificance of pride. Hope is the ornate palace, outside people admiring the magnificent, living in the deep knowledge of living it to pay the price. Simple world as a simple log cabin outside ridiculed shabby, the heart is willing to go live to know the joy. Suffering and joy is their own choice. 22, learn how to use a single powerful heart, let the past be the past, let the future come. Life is really the end of the end of an eagle is flying wings, life is constantly pursuit. Don't miss to regret, don't wait for old just miss. Time to return, seize every moment, again painstakingly again tired also Those struggling to fly. 23, life could not Yimapingchuan, even flatpavement, inevitably there will be a few pieces of roadblocks. Some of the rocks around the past, while others have to move it out. Just move others put the stone is very easy, because the stone from the appearance we can discern; difficult to myself to move away the heart of stone head. Leave time to spend with her, often reflect my heart, so as to remove your heart of stone. 24, everything does not have to be demanding, come to, everything does not have to care about, over the past; failing to do not frown, laugh it laugh. Results Don't demand, do to; life is a simple, calm and peaceful. Always not to choose their own path and regret, life is like a train, the scenery and then the United States will retreat, the passage of time and encounter will eventually drifting further and further away, before is always himself. 25, everyone has a weakness, weakness is true humanity. That has no weakness, a shallow person. That people think there is no weakness, mostly false. Life has shortcomings, there are shortcomings is the real life. That no one regret, or childish or numbness or Self deception. It is in tolerance of weakness and so on to accept, people live happily.Hello, everyone! I am a party member. The title of my speech is: < study and implement the party's two laws, doing practical play highway. 2015 October 18, the Central Committee of the Communist Party of China promulgated the implementation of the < the probity of the Communist Party of China self-discipline criterion > and < Chinese Communist Partydiscipline and punishment regulations. We Heyuan male passers-by to respond positively to the call of the Central Committee of the party, earnestly organize the study "party two regulations", truly grasp the essence and gist, and in their respective positions, to hold the bottom line of the discipline, build a strong ideological line of defense, with the courage to play, the courage to fight tough and fearless spirit, at the crucial moment well to complete the task, with practical action to test the study and implement effect Because of discipline in the * * * * * * * * * * * story. Here, let me to cast a brick to attract jade, speak about our highway. Highway line section of the road surface transformation project, last year "towards the country seized" will be seized one of the items. To complete this arduous task, as a project management office director Comrade, keep in mind from the Communist Party membership, recognize and identify the "bottom line", strict management, and strict adherence to the quality of the project. He not only set an example, honesty and self-discipline, but also requires the management of all the members of the O.K., do not eat the construction unit one meal, do not accept the construction unit a ceremony. In this way, they didn't really dare to adhere to the principle. No comrade, constantly put on reworking an emergency meeting to Comrade Zhen to speak louder, management tube too strict. Remember in Dongguan Street, 400 meters long cement concrete surface layer, because of various reasons, the smoothness of the poor in the bottom cavity, covering film traces andcar imprinting quality problems, * * * inquiries, immediately rushed to the scene to understand and verify the situation, the convening of the management office, the construction units, supervision units, construction units, construction units construction time is tight, the economic loss and other reasons to intercede ******** unmoved. He said, "now a popular word, to the discipline and rules quite in front, there are no rules Radius, you construction team not accordance with the technical specifications, quality problems, it must be to carry out rectification. Engineering quality responsibility be weightier than Mount Tai, if we manage to this matter Pavement quality quantity are placed the matter, we this time to learn two regulations have what use? Still what is the Communist Party? "Finally, in his insisted, the road after rework, to solve these problems. In the construction of the new comrades and the project all the colleagues efforts, after four months of fighting, the project the main project was finally completed and passed inspection. Thousands of miles of ice, thousands of miles Piao, this is a splendid and romantic scene. But snow for the highway, it is a disaster, a serious threat to the traffic safety. This year, a month, a century of cold wave swept from North to south, and the snow blowing to Guangdong, but also to bear the blow To * * * * the highway. In January on the evening of 23, Lianping county city temperatures dropped to minus 2 degrees, a wide range of sudden rain sleet, before and after the provincial S341 line in Jiulianshan Mountain tunnel sections of the road appeared in。

同济大学第六版高等数学课后答案详解全集

同济大学第六版高等数学课后答案详解全集同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1,11, 设A,(,,～ ,5),(5～，,)～ B,[,10～ 3)～写出A,B～ A,B～ A\B及A\(A\B)的表达式,2, 设A、B是任意两个集合～证明对偶律: (A,B)C,AC ,BC , ,3, 设映射f : X ,Y～ A,X～ B,X , 证明(1)f(A,B),f(A),f(B),(2)f(A,B),f(A),f(B),g,f,If,g,IXY 4, 设映射f : X,Y～若存在一个映射g: Y,X～使～～其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射～即对于每一个x,X～有IX x,x, 对于每一个y,Y～有IY y,y, 证明: f是双射～且g是f的逆映射: g,f ,1, 5, 设映射f : X,Y～ A,X , 证明:(1)f ,1(f(A)),A,(2)当f是单射时～有f ,1(f(A)),A ,6, 求下列函数的自然定义域:111y,2y,y,,1,x22y,3x，2y,sinx4,xx1,x (1),, (2), (3),(4),(5),1y,3,x，arctanx (6) y,tan(x，1),(7) y,arcsin(x,3), (8),, (9)y,ln(x，1),1xy,e (10),7, 下列各题中～函数f(x)和g(x)是否相同,为什么,(1)f(x),lg x2～ g(x),2lg x,2x (2) f(x),x～ g(x),,3343f(x),x,xg(x),xx,1 (3)～,(4)f(x),1～ g(x),sec2x,tan2x ,,,|sinx| |x|,,3,(x),,,,,,x0 ||,,()()(,),,,3,644 8, 设～求～～～ ,(,2)～并作出函数y,,(x)的图形,, 9, 试证下列函数在指定区间内的单调性:xy,1,x (1)～ (,,～ 1),(2)y,x，ln x～ (0～，,),10, 设f(x)为定义在(,l～l)内的奇函数～若f(x)在(0～l)内单调增加～证明f(x)在(,l～ 0)内也单调增加,11, 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(,l～ l)上的～证明:(1)两个偶函数的和是偶函数～两个奇函数的和是奇函数,(2)两个偶函数的乘积是偶函数～两个奇函数的乘积是偶函数～偶函数与奇函数的乘积是奇函数,12, 下列函数中哪些是偶函数～哪些是奇函数～哪些既非奇函数又非偶函数,(1)y,x2(1,x2),(2)y,3x2,x3,21,xy,21，x (3),(4)y,x(x,1)(x，1),(5)y,sin x,cos x，1,x,xa，ay,2 (6)13, 下列各函数中哪些是周期函数,对于周期函数～指出其周期:(1)y,cos(x,2),,(2)y,cos 4x,(3)y,1，sin ,x,(4)y,xcos x,(5)y,sin2x,14, 求下列函数的反函数:3y,x，1 (1)错误～未指定书签。

同济大学高等数学第六版作者答案详解1-6

25　１畅计算下列极限：（１）lim x →０sin ωx x ；（２）lim x →０tan ３xx；（３）lim x →０sin ２x sin ５x；（４）lim x →０x cot x ；（５）lim x →０１－cos ２xx sin x；（６）lim n →∞２nsin x２n （x 为不等于零的常数）．解　（１）当ω≠０时，lim x →０sin ωx x＝lim x →０ω·sin ωx ωx ＝ωlim x →０sin ωx ωx ＝ω；当ω＝０时，lim x →０sin ωxx＝０＝ω，故不论ω为何值，均有lim x →０sin ωxx＝ω．（２）lim x →０tan ３x x ＝lim x →０３·tan ３x ３x ＝３lim x →０tan ３x３x＝３．（３）lim x →０sin ２xsin ５x ＝limx →０sin ２x ２x ·５x sin ５x ·２５＝２５lim x →０sin ２x ２x ·lim x →０５x sin ５x ＝２５．（４）lim x →０x cot x ＝lim x →０x sin x ·cos x ＝lim x →０xsin x ·lim x →０cos x ＝１．（５）lim x →０１－cos ２x x sin x ＝lim x →０２sin ２x x sin x ＝２lim x →０sin xx ＝２．（６）lim n →∞２nsin x２n ＝lim n →∞sinx ２n x２n ·x ＝x ．２畅计算下列极限：（１）lim x →０（１－x ）１x ；（２）lim x →０（１＋２x ）１x ；（３）lim x →∞１＋x x２x ；（４）lim x →∞１－１xkx（k 为正整数）．解　（１）lim x →０（１－x ）１x ＝lim x →０［１＋（－x ）］１（－x ）（－１）＝e－１．（２）lim x →０（１＋２x ）１x ＝lim x →０（１＋２x ）１２x ２＝e ２．（３）lim x →∞１＋xx２x ＝lim x →∞１＋１xx２＝e ２．26　（４）lim x →∞１－１xkx＝lim x →∞１＋１（－x ）（－x ）（－k ）＝e－k．倡３畅根据函数极限的定义，证明极限存在的准则Ⅰ′．准则I ′　如果（１）g （x ）≤f （x ）≤h （x ），x ∈U 。

高等数学(同济第六版)课件第六章 6.3定积分物理应用

第三节定积分在物理学上的应用
一、变力沿直线所作的功
F a x
F
x+dx b
常力 F 沿直线对物体所作的功为：W=F · S 若力是变力： F F ( x )
dW F ( x )dx
W F ( x )dx
a
b
例1 一个带 +q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处, 产生一个电场．若将一个单位正电荷从r 轴上r = a 处沿 r 轴移动到 r = b处，求场力 F 所作的功．解取r为积分变量，
20 x 20 x dW2 (10 0.05)dx (10 )dx 4 80
x
功元素
1 20 x dW [ x (10 )]dx 10 80
20
功
W
0
1 20 x [ x (10 )]dx 10 80
＝217.5(千克米) ＝2131.5(焦耳)
l l 解取y为积分变量 y [ , ], 2 2 取任一小区间[ y , y+dy ] 小段的质量为 dy ,
小段与质点的距离为 r a y ,
2 2
m dx 引力 dF k 2 , 2 a y amdy dFx k 2 , 2 (a y )
3 2
l y 2 y dy
解建立坐标系如图
面积元素 2(a x )dx ,
dP ( x 2a ) 2(a x )dx
2a
o
a
2a
7 3 P 2( x 2a )(a x )dx a . 0 3
a
x
三、引力
质量分别为m1, m2相距为 r 的两个质点间的引力大小：F k m1m2 , 其中k为引力系数， r2 引力的方向沿着两质点的连线方向．例6 有一长度为l、线密度为的均匀细棒，在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的质点M，计算该棒对质点 M 的引力．

同济大学第六版高数练习册答案上册

高等数学习题解答第一章（7-11）第六节极限存在准则两个重要极限1.0；1；1；0；2；2/32. 1-e ;1432;0;;;--e e e e3. 证明：{n x }显然单调递增，1x 3≤，若31≤-n x ，则n x ≤33+≤3∴ {n x }单调有界，∴{n x }收敛，不妨设∞→n lim n x =a , 则有 a =3+a ,解得，a =(1+13)/2,2)131(-=a∴2)131(lim +=∞→n n x4. 解：1)12111(22222+≤++++++≤+n n nn n n n n n11limlim22=+=+∞→∞→n nn n n n n∴1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n第七节无穷小的比较1.（B ）2. （A ）3. 证明：令t x sin = ， 1sin lim arcsin lim00==→→ttx x t x∴当0→x 时，x x ~arcsin 。

4. 解：（1）0lim →x x x 25tan =0lim →x x x 25=25（2）0lim →x ())cos 1(arcsin 2x x x -=0lim →x 222x x x =∞（3）0lim →x x x )sin 21ln(-=0lim→x 2sin 2-=-xx（4）0lim →x =-+1)21ln(3x e x 3232lim 0=→x x x（5）0lim→x x x x 3sin sin tan -=0lim →x =-xx x x cos )cos 1(sin 30lim →x 322xx x=1/2（6）0lim →x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x tan 1sin 1=0lim →x x x sin cos 1-=0lim →x 022=x x （7）431)3tan arctan (lim 220=+=+++→nn n n n a n n第八节函数的连续性与间断点1. 0 ；2. 充要；3. 2；4. D5. B6. C7. 解：12121lim 1212lim )(lim0=+-=+-=--+∞→+∞→→+t tt t t t x x f1)(lim 0-=-→x f x ∴ )(x f 在x=0 不连续，且x=0 为函数)(x f 的第一类间断点。

同济大学第六版高等数学上册课后答案

高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C . 证明因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明 (1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ). 证明因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射. 5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明: (1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-.(2)211xy -=;解由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞). (3)211x x y --=;解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. (4)241x y -=; 解由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅⋅).(7) y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)xx y 1arctan 3+-=;解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3). (9) y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)xe y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)x x y -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有 0ln)()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2. 因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3;(3)2211xx y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1); (5)y =sin x -cos x +1;(6)2xx a a y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2);解是周期函数, 周期为l =2π. (2)y =cos 4x ;解是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ;解不是周期函数.(5)y =sin 2x .解是周期函数, 周期为l =π. 14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误!未指定书签。

同济大学第六版高等数学上册课后答案全集51682

高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1?11? 设A ?(??? ?5)?(5? ??)? B ?[?10? 3)? 写出A ?B ? A ?B ? A \B 及A \(A \B )的表达式? 解 A ?B ?(??? 3)?(5? ??)?A ?B ?[?10? ?5)?A \B ?(??? ?10)?(5? ??)?A \(A \B )?[?10? ?5)?2? 设A 、B 是任意两个集合? 证明对偶律? (A ?B )C ?A C ?B C ?证明因为x ?(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ?A C 或x ?B C ? x ?A C ?B C ?所以 (A ?B )C ?A C ?B C ?3? 设映射f ? X ?Y ? A ?X ? B ?X ? 证明(1)f (A ?B )?f (A )?f (B )?(2)f (A ?B )?f (A )?f (B )?证明因为y ?f (A ?B )??x ?A ?B ? 使f (x )?y?(因为x ?A 或x ?B ) y ?f (A )或y ?f (B )? y ?f (A )?f (B )?所以 f (A ?B )?f (A )?f (B )?(2)因为y ?f (A ?B )??x ?A ?B ? 使f (x )?y ?(因为x ?A 且x ?B ) y ?f (A )且y ?f (B )? y ? f (A )?f (B )? 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B )?4? 设映射f ? X ?Y ? 若存在一个映射g ? Y ?X ? 使X I f g = ? Y I g f = ? 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射? 即对于每一个x ?X ? 有I X x ?x ? 对于每一个y ?Y ? 有I Y y ?y ? 证明? f 是双射? 且g 是f 的逆映射? g ?f ?1?证明因为对于任意的y ?Y ? 有x ?g (y )?X ? 且f (x )?f [g (y )]?I y y ?y ? 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像? 所以f 为X 到Y 的满射?又因为对于任意的x 1?x 2? 必有f (x 1)?f (x 2)? 否则若f (x 1)?f (x 2)?g [ f (x 1)]?g [f (x 2)] ? x 1?x 2? 因此f 既是单射? 又是满射? 即f 是双射?对于映射g ? Y ?X ? 因为对每个y ?Y ? 有g (y )?x ?X ? 且满足f (x )?f [g (y )]?I y y ?y ? 按逆映射的定义? g 是f 的逆映射?5? 设映射f ? X ?Y ? A ?X ? 证明?(1)f ?1(f (A ))?A ?(2)当f 是单射时? 有f ?1(f (A ))?A ?证明 (1)因为x ?A ? f (x )?y ?f (A ) ? f ?1(y )?x ?f ?1(f (A ))?所以 f ?1(f (A ))?A ?(2)由(1)知f ?1(f (A ))?A ?另一方面? 对于任意的x ?f ?1(f (A ))?存在y ?f (A )? 使f ?1(y )?x ?f (x )?y ? 因为y ?f (A )且f 是单射? 所以x ?A ? 这就证明了f ?1(f (A ))?A ? 因此f ?1(f (A ))?A ?6? 求下列函数的自然定义域?(1)23+=x y ?解由3x ?2?0得32->x ? 函数的定义域为) ,32[∞+-? (2)211xy -=? 解由1?x 2?0得x ??1? 函数的定义域为(??? ?1)?(?1? 1)?(1? ??)?(3)211x xy --=? 解由x ?0且1?x 2?0得函数的定义域D ?[?1? 0)?(0? 1]?(4)241x y -=? 解由4?x 2?0得 |x |?2? 函数的定义域为(?2? 2)?(5)x y sin =?解由x ?0得函数的定义D ?[0? ??)?(6) y ?tan(x ?1)?解由21π≠+x (k ?0? ?1? ?2? ? ? ?)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k ?0? ?1? ?2? ? ? ?)? (7) y ?arcsin(x ?3)?解由|x ?3|?1得函数的定义域D ?[2? 4]?(8)xx y 1arctan 3+-=? 解由3?x ?0且x ?0得函数的定义域D ?(??? 0)?(0? 3)?(9) y ?ln(x ?1)?解由x ?1?0得函数的定义域D ?(?1? ??)?(10)x e y 1=?解由x ?0得函数的定义域D ?(??? 0)?(0? ??)?7? 下列各题中? 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )?lg x 2? g (x )?2lg x ?(2) f (x )?x ? g (x )?2x ?(3)334)(x x x f -=?31)(-=x x x g ?(4)f (x )?1? g (x )?sec 2x ?tan 2x ?解 (1)不同? 因为定义域不同?(2)不同? 因为对应法则不同? x ?0时? g (x )??x ?(3)相同? 因为定义域、对应法则均相相同?(4)不同? 因为定义域不同?8? 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x ? 求)6(πϕ? )4(πϕ? )4(πϕ-? ?(?2)? 并作出函数y ??(x )的图形?解 21|6sin |)6(==ππϕ? 22|4sin |)4(==ππϕ? 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ? 0)2(=-ϕ? 9? 试证下列函数在指定区间内的单调性?(1)xx y -=1? (??? 1)? (2)y ?x ?ln x ? (0? ??)?证明 (1)对于任意的x 1? x 2?(??? 1)? 有1?x 1?0? 1?x 2?0? 因为当x 1?x 2时?0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y ? 所以函数xx y -=1在区间(??? 1)内是单调增加的? (2)对于任意的x 1? x 2?(0? ??)? 当x 1?x 2时? 有0ln )()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y ? 所以函数y ?x ?ln x 在区间(0? ??)内是单调增加的?10? 设 f (x )为定义在(?l ? l )内的奇函数? 若f (x )在(0? l )内单调增加? 证明f (x )在(?l ? 0)内也单调增加?证明对于?x 1? x 2?(?l ? 0)且x 1?x 2? 有?x 1? ?x 2?(0? l )且?x 1??x 2?因为f (x )在(0? l )内单调增加且为奇函数? 所以f (?x 2)?f (?x 1)? ?f (x 2)??f (x 1)? f (x 2)?f (x 1)?这就证明了对于?x 1? x 2?(?l ? 0)? 有f (x 1)? f (x 2)? 所以f (x )在(?l ? 0)内也单调增加? 11? 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(?l ? l )上的? 证明?(1)两个偶函数的和是偶函数? 两个奇函数的和是奇函数?(2)两个偶函数的乘积是偶函数? 两个奇函数的乘积是偶函数? 偶函数与奇函数的乘积是奇函数?证明 (1)设F (x )?f (x )?g (x )? 如果f (x )和g (x )都是偶函数? 则F (?x )?f (?x )?g (?x )?f (x )?g (x )?F (x )?所以F (x )为偶函数? 即两个偶函数的和是偶函数?如果f (x )和g (x )都是奇函数? 则F (?x )?f (?x )?g (?x )??f (x )?g (x )??F (x )?所以F (x )为奇函数? 即两个奇函数的和是奇函数?(2)设F (x )?f (x )?g (x )? 如果f (x )和g (x )都是偶函数? 则F (?x )?f (?x )?g (?x )?f (x )?g (x )?F (x )?所以F (x )为偶函数? 即两个偶函数的积是偶函数?如果f (x )和g (x )都是奇函数? 则F (?x )?f (?x )?g (?x )?[?f (x )][?g (x )]?f (x )?g (x )?F (x )?所以F (x )为偶函数? 即两个奇函数的积是偶函数?如果f (x )是偶函数? 而g (x )是奇函数? 则F (?x )?f (?x )?g (?x )?f (x )[?g (x )]??f (x )?g (x )??F (x )?所以F (x )为奇函数? 即偶函数与奇函数的积是奇函数?12? 下列函数中哪些是偶函数? 哪些是奇函数? 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y ?x 2(1?x 2)?(2)y ?3x 2?x 3?(3)2211x x y +-=? (4)y ?x (x ?1)(x ?1)?(5)y ?sin x ?cos x ?1?(6)2x x a a y -+=? 解 (1)因为f (?x )?(?x )2[1?(?x )2]?x 2(1?x 2)?f (x )? 所以f (x )是偶函数?(2)由f (?x )?3(?x )2?(?x )3?3x 2?x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数?(3)因为())(111)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=-? 所以f (x )是偶函数? (4)因为f (?x )?(?x )(?x ?1)(?x ?1)??x (x ?1)(x ?1)??f (x )? 所以f (x )是奇函数?(5)由f (?x )?sin(?x )?cos(?x )?1??sin x ?cos x ?1可见f (x )既非奇函数又非偶函数?(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----? 所以f (x )是偶函数? 13? 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数? 指出其周期?(1)y ?cos(x ?2)?解是周期函数? 周期为l ?2??(2)y ?cos 4x ?解是周期函数? 周期为2π=l ? (3)y ?1?sin ?x ?解是周期函数? 周期为l ?2?(4)y ?x cos x ?解不是周期函数?(5)y ?sin 2x ?解是周期函数? 周期为l ???14? 求下列函数的反函数?(1)31+=x y ?解由31+=x y 得x ?y 3?1? 所以31+=x y 的反函数为y ?x 3?1?(2)xx y +-=11? 解由x x y +-=11得y y x +-=11? 所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11? (3)dcx b ax y ++=(ad ?bc ?0)? 解由d cx b ax y ++=得a cy b dy x -+-=? 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=? (4) y ?2sin3x ?解由y ?2sin 3x 得2arcsin 31y x =? 所以y ?2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =? (5) y ?1?ln(x ?2)?解由y ?1?ln(x ?2)得x ?e y ?1?2? 所以y ?1?ln(x ?2)的反函数为y ?e x ?1?2?(6)122+=x x y ? 解由122+=x x y 得y y x -=1log 2? 所以122+=x x y 的反函数为x x y -=1log 2? 15? 设函数f (x )在数集X 上有定义? 试证? 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界?证明先证必要性? 设函数f (x )在X 上有界? 则存在正数M ? 使|f (x )|?M ? 即?M ?f (x )?M ? 这就证明了f (x )在X 上有下界?M 和上界M ?再证充分性? 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2? 即K 1?f (x )? K 2 ? 取M ?max{|K 1|? |K 2|}? 则 ?M ? K 1?f (x )? K 2?M ?即 |f (x )|?M ?这就证明了f (x )在X 上有界?16? 在下列各题中? 求由所给函数复合而成的函数? 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值?(1) y ?u 2? u ?sin x ? 61π=x ? 32π=x ? 解 y ?sin 2x ? 41)21(6sin 221===πy ?43)23(3sin 222===πy ? (2) y ?sin u ? u ?2x ? 81π=x ?42π=x ? 解 y ?sin2x ? 224sin )82sin(1==⋅=ππy ?12sin )42sin(2==⋅=ππy ?(3)u y =? u ?1?x 2? x 1?1? x 2? 2?解 21x y +=? 21121=+=y ? 52122=+=y ?(4) y ?e u ? u ?x 2? x 1 ?0? x 2?1?解 2x e y =? 1201==e y ? e e y ==212?(5) y ?u 2 ? u ?e x ? x 1?1? x 2??1?解 y ?e 2x ? y 1?e 2?1?e 2? y 2?e 2?(?1)?e ?2?17? 设f (x )的定义域D ?[0? 1]? 求下列各函数的定义域?(1) f (x 2)?解由0?x 2?1得|x |?1? 所以函数f (x 2)的定义域为[?1? 1]?(2) f (sin x )?解由0?sin x ?1得2n ??x ?(2n ?1)? (n ?0? ?1? ?2? ? ?)? 所以函数f (sin x )的定义域为[2n ?? (2n ?1)?] (n ?0? ?1? ?2? ? ?) ?(3) f (x ?a )(a >0)?解由0?x ?a ?1得?a ?x ?1?a ? 所以函数f (x ?a )的定义域为[?a ? 1?a ]?(4) f (x ?a )?f (x ?a )(a ?0)?解由0?x ?a ?1且0?x ?a ?1得? 当210≤<a 时? a ?x ?1?a ? 当21>a 时? 无解? 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a ? 1?a ]? 当21>a 时函数无意义? 18? 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11||01|| 1)(x x x x f ? g (x )?e x ? 求f [g (x )]和g [f (x )]? 并作出这两个函数的图形? 解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11||01|| 1)]([x x x e e e x g f ? 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 00 1)]([x x x x g f ? ⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1|| e 1|| )]([101)(x e x x e e x f g x f ? 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g ?19? 已知水渠的横断面为等腰梯形? 斜角??40?(图1?37)? 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时? 求湿周L (L ?AB ?BC ?CD )与水深h 之间的函数关系式? 并指明其定义域? 图1?37解 40sin h DC AB ==? 又从0)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++ 得h hS BC ⋅-= 40cot 0? 所以h h S L40sin 40cos 20-+=? 自变量h 的取值范围应由不等式组h ?0? 040cot 0>⋅-h hS 确定? 定义域为40cot 00S h <<?20? 收敛音机每台售价为90元? 成本为60元? 厂方为鼓励销售商大量采购? 决定凡是订购量超过100台以上的? 每多订购1台? 售价就降低1分? 但最低价为每台75元?(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数?(2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数?(3)某一商行订购了1000台? 厂方可获利润多少？解 (1)当0?x ?100时? p ?90?令0?01(x 0?100)?90?75? 得x 0?1600? 因此当x ?1600时? p ?75?当100?x ?1600时?p ?90?(x ?100)?0?01?91?0? 01x ?综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 75160010001.0911000 90x x x x p ? (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P ?(3) P ?31?1000?0?01?10002?21000(元)?习题1?21? 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势? 写出它们的极限?(1)n n x 21=? 解当n ??时? nn x 21=?0? 021lim =∞→n n ? (2)nx n n 1)1(-=? 解当n ??时? n x n n 1)1(-=?0? 01)1(lim =-∞→nn n ? (3)212nx n +=? 解当n ??时? 212n x n +=?2? 2)12(lim 2=+∞→n n ? (4)11+-=n n x n ?解当n ??时? 12111+-=+-=n n n x n ?0? 111lim =+-∞→n n n ? (5) x n ?n (?1)n ?解当n ??时? x n ?n (?1)n 没有极限?2? 设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=? 问n n x ∞→lim ?? 求出N ? 使当n ?N 时? x n 与其极限之差的绝对值小于正数? ? 当? ?0?001时? 求出数N ?解 0lim =∞→n n x ? n n n x n 1|2c o s ||0|≤=-π? ?? ?0? 要使|x n ?0|?? ? 只要ε<n 1? 也就是ε1>n ? 取]1[ε=N ? 则?n ?N ? 有|x n ?0|?? ?当? ?0?001时? ]1[ε=N ?1000? 3? 根据数列极限的定义证明?(1)01lim 2=∞→n n ? 分析要使ε<=-221|01|n n ? 只须ε12>n ? 即ε1>n ? 证明因为???0? ?]1[ε=N ? 当n ?N 时? 有ε<-|01|2n ? 所以01lim 2=∞→n n ? (2)231213lim =++∞→n n n ? 分析要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|? 只须ε<n41? 即ε41>n ? 证明因为???0? ?]41[ε=N ? 当n ?N 时? 有ε<-++|231213|n n ? 所以231213lim =++∞→n n n ? (3)1lim 22=+∞→na n n ? 分析要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|? 只须ε2a n >? 证明因为???0? ?][2εa N =? 当?n ?N 时? 有ε<-+|1|22n a n ? 所以1lim 22=+∞→n a n n ? (4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→ 个n n ? 分析要使|0?99 ? ? ? 9?1|ε<=-1101n ? 只须1101-n ?? ? 即ε1lg 1+>n ?证明因为???0? ?]1lg 1[ε+=N ? 当?n ?N 时? 有|0?99 ? ? ? 9?1|?? ? 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n ? 4? a u n n =∞→lim ? 证明||||lim a u n n =∞→? 并举例说明? 如果数列{|x n |}有极限? 但数列{x n }未必有极限?证明因为a u n n =∞→lim ? 所以???0? ?N ?N ? 当n ?N 时? 有ε<-||a u n ? 从而 ||u n |?|a ||?|u n ?a |?? ?这就证明了||||lim a u n n =∞→? 数列{|x n |}有极限? 但数列{x n }未必有极限? 例如1|)1(|lim =-∞→n n ? 但n n )1(lim -∞→不存在? 5? 设数列{x n }有界? 又0lim =∞→n n y ? 证明? 0lim =∞→n n n y x ? 证明因为数列{x n }有界? 所以存在M ? 使?n ?Z ? 有|x n |?M ? 又0lim =∞→n n y ? 所以???0? ?N ?N ? 当n ?N 时? 有M y n ε<||? 从而当n ?N 时? 有 εε=⋅<≤=-MM y M y x y x n n n n n |||||0|? 所以0lim =∞→n n n y x ? 6? 对于数列{x n }? 若x 2k ?1?a (k ??)? x 2k ?a (k ??)?证明? x n ?a (n ??)?证明因为x 2k ?1?a (k ??)? x 2k ?a (k ??)? 所以???0??K 1? 当2k ?1?2K 1?1时? 有| x 2k ?1?a |?? ??K 2? 当2k ?2K 2时? 有|x 2k ?a |?? ?取N ?max{2K 1?1? 2K 2}? 只要n ?N ? 就有|x n ?a |?? ?因此x n ?a (n ??)?习题1?31? 根据函数极限的定义证明?(1)8)13(lim 3=-→x x ? 分析因为|(3x ?1)?8|?|3x ?9|?3|x ?3|?所以要使|(3x ?1)?8|?? ? 只须ε31|3|<-x ? 证明因为???0? ?εδ31=? 当0?|x ?3|??时? 有 |(3x ?1)?8|?? ?所以8)13(lim 3=-→x x ? (2)12)25(lim 2=+→x x ?分析因为|(5x ?2)?12|?|5x ?10|?5|x ?2|?所以要使|(5x ?2)?12|?? ? 只须ε51|2|<-x ? 证明因为?? ?0? ?εδ51=? 当0?|x ?2|??时? 有 |(5x ?2)?12|?? ?所以12)25(lim 2=+→x x ? (3)424lim 22-=+--→x x x ? 分析因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x ? 所以要使ε<--+-)4(242x x ? 只须ε<--|)2(|x ? 证明因为?? ?0? ?εδ=? 当0?|x ?(?2)|??时? 有ε<--+-)4(242x x ? 所以424lim 22-=+--→x x x ? (4)21241lim 321=+--→x x x ? 分析因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x ? 所以要使ε<-+-212413x x ? 只须ε21|)21(|<--x ? 证明因为?? ?0? ?εδ21=? 当δ<--<|)21(|0x 时? 有 ε<-+-212413x x ? 所以21241lim 321=+--→x x x ? 2? 根据函数极限的定义证明?(1)2121lim 33=+∞→x x x ? 分析因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+?所以要使ε<-+212133x x ? 只须ε<3||21x ? 即321||ε>x ? 证明因为?? ?0? ?321ε=X ? 当|x |?X 时? 有ε<-+212133x x ? 所以2121lim 33=+∞→x x x ? (2)0sin lim =+∞→xx x ?分析因为xx x x x 1|s i n |0s i n ≤=-?所以要使ε<-0sin x x ? 只须ε<x1? 即21ε>x ? 证明因为???0? ?21ε=X ? 当x ?X 时? 有ε<-0s i n xx ? 所以0sin lim =+∞→xx x ?3? 当x ?2时? y ?x 2?4? 问?等于多少? 使当|x ?2|<?时? |y ?4|<0?001？解由于当x ?2时? |x ?2|?0? 故可设|x ?2|?1? 即1?x ?3? 要使|x 2?4|?|x ?2||x ?2|?5|x ?2|?0?001? 只要0002.05001.0|2|=<-x ?取??0?0002? 则当0?|x ?2|??时? 就有|x 2?4|?0? 001?4? 当x ??时? 13122→+-=x x y ? 问X 等于多少? 使当|x |?X 时? |y ?1|?0?01? 解要使01.034131222<+=-+-x x x ? 只要397301.04||=->x ? 故397=X ?5? 证明函数f (x )?|x |当x ?0时极限为零?证明因为|f (x )?0|?||x |?0|?|x |?|x ?0|? 所以要使|f (x )?0|??? 只须|x |???因为对???0? ????? 使当0?|x ?0|??? 时有 |f (x )?0|?||x |?0|??? 所以0||lim 0=→x x ?6? 求,)(xx x f = x x x ||)(=ϕ当x ?0时的左﹑右极限? 并说明它们在x ?0时的极限是否存在?证明因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f ?11l i m l i m)(l i m 000===+++→→→x x x x x x f ? )(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-?所以极限)(lim 0x f x →存在?因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ?1l i m||l i m )(l i m 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ? )(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-?所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在?7? 证明? 若x ???及x ???时? 函数f (x )的极限都存在且都等于A ? 则A x f x =∞→)(lim ?证明因为A x f x =-∞→)(lim ? A x f x =+∞→)(lim ? 所以??>0??X 1?0? 使当x ??X 1时? 有|f (x )?A |?? ??X 2?0? 使当x ?X 2时? 有|f (x )?A |?? ?取X ?max{X 1? X 2}? 则当|x |?X 时? 有|f (x )?A |?? ? 即A x f x =∞→)(lim ?8? 根据极限的定义证明? 函数f (x )当x ?x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等?证明先证明必要性? 设f (x )?A (x ?x 0)? 则??>0? ???0? 使当0<|x ?x 0|<? 时? 有 |f (x )?A |<? ?因此当x 0??<x <x 0和x 0<x <x 0?? 时都有 |f (x )?A |<? ?这说明f (x )当x ?x 0时左右极限都存在并且都等于A ? 再证明充分性? 设f (x 0?0)?f (x 0?0)?A ? 则??>0? ??1>0? 使当x 0??1<x <x 0时? 有| f (x )?A <? ? ??2>0? 使当x 0<x <x 0+?2时? 有| f (x )?A |<? ?取??min{?1? ?2}? 则当0<|x ?x 0|<? 时? 有x 0??1<x <x 0及x 0<x <x 0+?2 ? 从而有 | f (x )?A |<? ? 即f (x )?A (x ?x 0)?9? 试给出x ??时函数极限的局部有界性的定理? 并加以证明?解 x ??时函数极限的局部有界性的定理? 如果f (x )当x ??时的极限存在? 则存在X ?0及M ?0? 使当|x |?X 时? |f (x )|?M ?证明设f (x )?A (x ??)? 则对于? ?1? ?X ?0? 当|x |?X 时? 有|f (x )?A |?? ?1? 所以 |f (x )|?|f (x )?A ?A |?|f (x )?A |?|A |?1?|A |?这就是说存在X ?0及M ?0? 使当|x |?X 时? |f (x )|?M ? 其中M ?1?|A |?习题1?41? 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之? 解不一定?例如? 当x ?0时? ?(x )?2x ? ?(x )?3x 都是无穷小? 但32)()(lim 0=→x x x βα? )()(x x βα不是无穷小?2? 根据定义证明?(1)392+-=x x y 当x ?3时为无穷小; (2)xx y 1sin =当x ?0时为无穷小?证明 (1)当x ?3时|3|39||2-=+-=x x x y ? 因为???0? ???? ? 当0?|x ?3|??时? 有 εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y ?所以当x ?3时392+-=x x y 为无穷小? (2)当x ?0时|0||1sin |||||-≤=x xx y ? 因为???0? ???? ? 当0?|x ?0|??时? 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ?所以当x ?0时xx y 1sin =为无穷小?3? 根据定义证明? 函数xx y 21+=为当x ?0时的无穷大? 问x 应满足什么条件? 能使|y |?104？证明分析2||11221||-≥+=+=x x x x y ? 要使|y |?M ? 只须M x >-2||1? 即21||+<M x ?证明因为?M ?0? ?21+=M δ? 使当0?|x ?0|??时? 有M xx >+21?所以当x ?0时? 函数xx y 21+=是无穷大?取M ?104? 则21014+=δ? 当2101|0|04+<-<x 时? |y |?104? 4? 求下列极限并说明理由? (1)x x x 12lim +∞→;(2)xx x --→11lim 20? 解 (1)因为xx x 1212+=+? 而当x ?? 时x 1是无穷小? 所以212lim =+∞→x x x ?(2)因为x xx +=--1112(x ?1)? 而当x ?0时x 为无穷小? 所以111lim 20=--→x x x ?5? 根据函数极限或无穷大定义? 填写下表?f (x )?A f (x )?? f (x )??? f (x )???x ?x 0 ???0? ???0? 使当0?|x ?x 0|??时? 有恒|f (x )?A |???x ?x 0? x ?x 0?x ?? ???0? ?X ?0? 使当|x |?X 时? 有恒|f (x )|?M ? x ??? x ???解f (x )?A f (x )?? f (x )??? f (x )??? x ?x 0 ???0? ???0? 使当0?|x ?x 0|??时? 有恒|f (x )?A |??? ?M ?0? ???0? 使当0?|x ?x 0|??时? 有恒|f (x )|?M ? ?M ?0? ???0? 使当0?|x ?x 0|??时? 有恒f (x )?M ? ?M ?0? ???0? 使当0?|x ?x 0|??时?有恒f (x )??M ? x ?x 0? ???0? ???0? 使当0?x ?x 0??时?有恒|f (x )?A |??? ?M ?0? ???0? 使当0?x ?x 0??时? 有恒|f (x )|?M ? ?M ?0? ???0? 使当0?x ?x 0??时? 有恒f (x )?M ? ?M ?0? ???0? 使当0?x ?x 0??时? 有恒f (x )??M ? x ?x 0? ???0? ???0? 使当0?x 0?x ??时?有恒|f (x )?A |??? ?M ?0? ???0? 使当0?x 0?x ??时? 有恒|f (x )|?M ? ?M ?0? ???0? 使当0?x 0?x ??时? 有恒f (x )?M ? ?M ?0? ???0? 使当0?x 0?x ??时? 有恒f (x )??M ? x ?? ???0? ?X ?0? 使当|x |?X 时? 有恒|f (x )?A |??? ???0? ?X ?0? 使当|x |?X 时? 有恒|f (x )|?M ? ???0? ?X ?0? 使当|x |?X 时? 有恒f (x )?M ? ???0? ?X ?0? 使当|x |?X 时? 有恒f (x )??M ? x ??? ???0? ?X ?0? 使当x ?X 时? 有恒|f (x )?A |??? ???0? ?X ?0? 使当x ?X 时? 有恒|f (x )|?M ? ???0? ?X ?0? 使当x ?X 时? 有恒f (x )?M ? ???0? ?X ?0? 使当x ?X 时? 有恒f (x )??M ? x ??? ???0? ?X ?0? 使当x ??X 时? 有恒|f (x )?A |??? ???0? ?X ?0? 使当x ??X 时? 有恒|f (x )|?M ? ???0? ?X ?0? 使当x ??X 时? 有恒f (x )?M ? ???0? ?X ?0? 使当x ??X 时? 有恒f (x )??M ?6? 函数y ?x cos x 在(??? ??)内是否有界？这个函数是否为当x ??? 时的无穷大？为什么？解函数y ?x cos x 在(??? ??)内无界?这是因为?M ?0? 在(??? ??)内总能找到这样的x ? 使得|y (x )|?M ? 例如y (2k ?)?2k ? cos2k ??2k ? (k ?0? 1? 2? ? ? ?)?当k 充分大时? 就有| y (2k ?)|?M ?当x ??? 时? 函数y ?x cos x 不是无穷大?这是因为?M ?0? 找不到这样一个时刻N ? 使对一切大于N 的x ? 都有|y (x )|?M ? 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k ?0? 1? 2? ? ? ?)?对任何大的N ? 当k 充分大时? 总有N k x >+=22ππ? 但|y (x )|?0?M ?7? 证明? 函数xx y 1sin 1=在区间(0? 1]上无界? 但这函数不是当x ?0+时的无穷大?证明函数xx y 1sin 1=在区间(0? 1]上无界? 这是因为?M ?0? 在(0? 1]中总可以找到点x k ? 使y (x k )?M ? 例如当221ππ+=k x k (k ?0? 1? 2? ? ? ?)时? 有22)(ππ+=k x y k ?当k 充分大时? y (x k )?M ?当x ?0+ 时? 函数xx y 1sin 1=不是无穷大? 这是因为?M ?0? 对所有的??0? 总可以找到这样的点x k ? 使0?x k ??? 但y (x k )?M ? 例如可取πk x k 21=(k ?0? 1? 2? ? ? ?)?当k 充分大时? x k ??? 但y (x k )?2k ?sin2k ??0?M ? 习题1?51? 计算下列极限?(1)35lim 22-+→x x x ? 解 9325235lim 222-=-+=-+→x x x ?(2)13lim 223+-→x x x ? 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x ? (3)112lim 221-+-→x x x x ? 解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x ? (4)xx x x x x 2324lim 2230++-→? 解 2123124lim 2324lim202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x ? (5)hx h x h 220)(lim -+→?解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→?(6))112(lim 2x x x +-∞→?解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x ? (7)121lim 22---∞→x x x x ? 解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x xx x ? (8)13lim 242--+∞→x x x x x ? 解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数? 极限为零)? 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x ? (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ? 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x ? (10))12)(11(lim 2x x x -+∞→?解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x ? (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→? 解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n ? (12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→?解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n ? (13)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→?解 515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同? 极限为最高次项系数之比)?或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n ? (14))1311(lim 31x x x ---→?解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim21-=+++-=→x x x x ? 2? 计算下列极限? (1)2232)2(2lim -+→x x x x ? 解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x ? 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x ? (2)12lim 2+∞→x x x ?解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数)? (3))12(lim 3+-∞→x x x ?解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数)?3? 计算下列极限? (1)xx x 1sin lim 20→?解 01sin lim 20=→xx x (当x ?0时? x 2是无穷小? 而x 1sin 是有界变量)?(2)xx x arctan lim ∞→?解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x ??时? x 1是无穷小?而arctan x 是有界变量)?4? 证明本节定理3中的(2)? 习题1?51? 计算下列极限?(1)35lim 22-+→x x x ?解 9325235lim222-=-+=-+→x x x ? (2)13lim 223+-→x x x ? 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x ? (3)112lim 221-+-→x x x x ?解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x ? (4)xx x x x x 2324lim2230++-→? 解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x ? (5)hx h x h 220)(lim -+→?解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→? (6))112(lim 2x x x +-∞→?解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x ? (7)121lim 22---∞→x x x x ? 解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x xx x ? (8)13lim 242--+∞→x x x x x ? 解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数? 极限为零)? 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x ? (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ? 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x ?(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→?解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x ? (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→? 解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n ?(12)2)1( 321limnn n -+⋅⋅⋅+++∞→? 解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n ? (13)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→?解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同? 极限为最高次项系数之比)?或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n ? (14))1311(lim 31x x x ---→?解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→112lim21-=+++-=→x x x x ? 2? 计算下列极限? (1)2232)2(2lim -+→x x x x ? 解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x ? 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x ? (2)12lim 2+∞→x x x ?解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数)? (3))12(lim 3+-∞→x x x ?解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数)?3? 计算下列极限? (1)xx x 1sin lim 20→?解 01sin lim 20=→xx x (当x ?0时? x 2是无穷小? 而x 1sin 是有界变量)?(2)xx x arctan lim ∞→?解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x ??时? x 1是无穷小?而arctan x 是有界变量)?4? 证明本节定理3中的(2)?习题 1?71? 当x ?0时? 2x ?x 2 与x 2?x 3相比? 哪一个是高阶无穷小？解因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x x x x x ? 所以当x ?0时? x 2?x 3是高阶无穷小? 即x 2?x 3?o (2x ?x 2)?2? 当x ?1时? 无穷小1?x 和(1)1?x 3? (2))1(212x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x ? 所以当x ?1时? 1?x 和1?x 3是同阶的无穷小? 但不是等价无穷小?(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x ? 所以当x ?1时? 1?x 和)1(212x -是同阶的无穷小? 而且是等价无穷小?3? 证明? 当x ?0时? 有? (1) arctan x ~x ?(2)2~1sec 2x x -? 证明 (1)因为1tan limarctan lim 00==→→y yxx y x (提示? 令y ?arctan x ? 则当x ?0时? y ?0)? 所以当x ?0时? arctan x ~x ?(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x xx x x x x ? 所以当x ?0时? 2~1s e c 2x x -? 4? 利用等价无穷小的性质? 求下列极限? (1)xx x 23tan lim 0→?(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n ? m 为正整数)?(3)x x x x 30sin sin tan lim -→? (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x ?解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x ?(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x xx x m n x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim 00? (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x ? (4)因为32221)2(2~2s i n t a n 2)1(c o s t a n t a n s i n x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x ?0)? 23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x ?0)? x x x x x ~s i n ~1s i n 1s i n 1s i n 1++=-+(x ?0)? 所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x ? 5? 证明无穷小的等价关系具有下列性质?(1) ? ~? (自反性)?(2) 若? ~?? 则?~?(对称性)?(3)若? ~?? ?~?? 则?~?(传递性)?证明 (1)1lim =αα? 所以? ~? ? (2) 若? ~?? 则1lim =βα? 从而1lim =αβ? 因此?~? ? (3) 若? ~?? ?~?? 1lim lim lim =⋅=βαγβγα? 因此?~?? 习题1?81? 研究下列函数的连续性? 并画出函数的图形?(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ? 解已知多项式函数是连续函数? 所以函数f (x )在[0? 1)和(1? 2]内是连续的? 在x ?1处? 因为f (1)?1? 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x ? 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ? 所以1)(lim 1=→x f x ? 从而函数f (x )在x ?1处是连续的? 综上所述，函数f (x )在[0? 2]上是连续函数?(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f ? 解只需考察函数在x ??1和x ?1处的连续性?在x ??1处? 因为f (?1)??1? 并且)1(11lim )(lim 11-≠==---→-→f x f x x ? )1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ? 所以函数在x ??1处间断? 但右连续?在x ?1处? 因为f (1)?1? 并且1lim )(lim 11==--→→x x f x x ?f (1)? 11lim )(lim 11==++→→x x x f ?f (1)? 所以函数在x ?1处连续?综合上述讨论? 函数在(??? ?1)和(?1? ??)内连续? 在x ??1处间断? 但右连续? 2? 下列函数在指出的点处间断? 说明这些间断点属于哪一类? 如果是可去间断点? 则补充或改变函数的定义使它连续?(1)23122+--=x x x y ? x ?1? x ?2? 解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y ? 因为函数在x ?2和x ?1处无定义? 所以x ?2和x ?1是函数的间断点?因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x ? 所以x ?2是函数的第二类间断点? 因为2)2()1(lim lim 11-=-+=→→x x y x x ? 所以x ?1是函数的第一类间断点? 并且是可去间断点? 在x ?1处? 令y ??2? 则函数在x ?1处成为连续的?(2)xx y tan =? x ?k ? 2ππ+=k x (k ?0? ?1? ?2? ? ? ?)? 解函数在点x ?k ?(k ?Z)和2ππ+=k x (k ?Z)处无定义? 因而这些点都是函数的间断点? 因∞=→xx k x tan lim π(k ?0)? 故x ?k ?(k ?0)是第二类间断点? 因为1tan lim 0=→x x x ? 0tan lim 2=+→x x k x ππ(k ?Z)? 所以x ?0和2ππ+=k x (k ?Z) 是第一类间断点且是可去间断点?令y |x ?0?1? 则函数在x ?0处成为连续的?令2 ππ+=k x 时? y ?0? 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的? (3)xy 1cos 2=? x ?0?解因为函数x y 1cos 2=在x ?0处无定义? 所以x ?0是函数xy 1cos 2=的间断点? 又因为xx 1cos lim 20→不存在? 所以x ?0是函数的第二类间断点? (4)⎩⎨⎧>-≤-=1 31 1x x x x y ? x ?1? 解因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x ?2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ? 所以x ?1是函数的第一类不可去间断点?3? 讨论函数x x x x f nn n 2211lim )(+-=∞→的连续性? 若有间断点? 判别其类型? 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1||1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f n n n ? 在分段点x ??1处? 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x ? 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x ? 所以x ??1为函数的第一类不可去间断点?在分段点x ?1处? 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x ? 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x ? 所以x ?1为函数的第一类不可去间断点?4? 证明? 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)?0? 则存在x 0的某一邻域U (x 0)? 当x ?U (x 0)时? f (x )?0?证明不妨设f (x 0)>0? 因为f (x )在x 0连续? 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x ? 由极限的局部保号性定理? 存在x 0的某一去心邻域)(0x U ? 使当x ?)(0x U时f (x )>0? 从而当x ?U (x 0)时? f (x )>0? 这就是说? 则存在x 0的某一邻域U (x 0)? 当x ?U (x 0)时? f (x )?0?5? 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子?(1)x ?0? ?1? ?2? 21±? ? ? ?? ?n ? n1±? ? ? ?是f (x )的所有间断点? 且它们都是无穷间断点?解函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x ?0? ?1? ?2? 21±? ? ? ?? ?n ? n1±? ? ? ?处是间断的? 且这些点是函数的无穷间断点?(2)f (x )在R 上处处不连续? 但|f (x )|在R 上处处连续?解函数⎩⎨⎧∉∈-=Q Q x x x f 1 1)(在R 上处处不连续? 但|f (x )|?1在R 上处处连续? (3)f (x )在R 上处处有定义? 但仅在一点连续?解函数⎩⎨⎧∉-∈=QQ x x x x x f )(在R 上处处有定义? 它只在x ?0处连续? 习题1?91? 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间? 并求极限)(lim 0x f x →? )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →? 解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f ? 函数在(??? ??)内除点x ?2和x ??3外是连续的? 所以函数f (x )的连续区间为(??? ?3)、(?3? 2)、(2? ??)?在函数的连续点x ?0处? 21)0()(lim 0==→f x f x ? 在函数的间断点x ?2和x ??3处?∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim )(lim 22x x x x x x f x x ? 582)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x ? 2? 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续? 证明函数?(x )?max{f (x )? g (x )}? ?(x )?min{f (x )? g (x )}在点x 0也连续?证明已知)()(lim 00x f x f x x =→? )()(lim 00x g x g x x =→? 可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ? ] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ? 因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ? ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ? 因为] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++=??(x 0)? 所以?(x )在点x 0也连续?同理可证明?(x )在点x 0也连续?3? 求下列极限?(1)52lim 20+-→x x x ? (2)34)2(sin lim x x π→?(3))2cos 2ln(lim 6x x π→?(4)xx x 11lim 0-+→? (5)145lim 1---→x x x x ? (6)ax a x a x --→sin sin lim ?(7))(lim 22x x x x x --++∞→? 解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数? f (x )在点x ?0有定义? 所以55020)0(52lim 220=+⋅-==+-→f x x x ? (2)因为函数f (x )?(sin 2x )3是初等函数? f (x )在点4π=x 有定义? 所以 1)42(s i n )4()2(s i n lim 334=⋅==→πππf x x ? (3)因为函数f (x )?ln(2cos2x )是初等函数? f (x )在点6π=x 有定义? 所以 0)62cos 2ln()6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x ? (4))11(lim )11()11)(11(lim 11lim 000++=++++-+=-+→→→x x x x x x x x x x x x 211101111lim 0=++=++=→x x ? (5))45)(1()45)(45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x x x +--+---=---→→ )45)(1(44lim 1x x x x x +---=→214154454lim 1=+-⋅=+-=→x x x ? (6)ax ax a x a x a x a x a x --+=--→→2sin 2cos 2lim sin sin lim a a a a x a x a x a x a x c o s 12c o s 22s i n lim 2cos lim =⋅+=--⋅+=→→? (7))())((lim )(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞→+∞→ 1)1111(2lim )(2lim22=-++=-++=+∞→+∞→xx x x x x x x x ? 4? 求下列极限? (1)x x e 1lim ∞→?(2)xx x sin ln lim 0→?(3)2)11(lim xx x+∞→? (4)x x x 2cot 20)tan 31(lim +→? (5)21)63(lim -∞→++x x xx ? (6)xx x x x x -++-+→20sin 1sin 1tan 1lim ? 解 (1) 1lim 01lim 1===∞→∞→e e e x x x x ?(2) 01ln )sin lim ln(sin ln lim 00===→→x x xx x x ? (3) []e e xx xx x x ==+=+∞→∞→21212)11(lim )11(lim ? (4) []33tan 3120cot 2022)tan 31(lim )tan 31(lim e x x x x x x =+=+→→?(5)21633621)631()63(-+-⋅-+-+-+=++x x x x xx x ? 因为 e x x x =+-+-+∞→36)631(lim ? 232163lim -=-⋅+-∞→x x x ? 所以2321)63(lim --∞→=++e xx x x ? (6))sin 1tan 1)(1sin 1()1sin 1)(sin 1tan 1(lim sin 1sin 1tan 1lim 22020x x x x x x x x x x x x x x +++-++++-+=-++-+→→ 21)2(2lim 320=⋅=→xx x x ? 5? 设函数⎩⎨⎧≥+<=0 0 )(x x a x e x f x ? 应当如何选择数a ? 使得f (x )成为在(??? ??)内的连续函数？解要使函数f (x )在(??? ??)内连续? 只须f (x )在x ?0处连续? 即只须a f x f x f x x ===+→-→)0()(lim )(lim 00? 因为1lim )(lim 00==-→-→x x x e x f ? a x a x f x x =+=+→+→)(lim )(lim 00? 所以只须取a ?1? 习题1?101? 证明方程x 5?3x ?1至少有一个根介于1和2之间?。

高等数学同济第六版6(全12部分) 课后答案

17. 设有一截锥体, 其高为 h, 上、下底均为椭圆, 椭圆的轴
长分别为 2a、2b 和 2A、2B, 求这截锥体的体积.
解建立坐标系如图. 过 y 轴上 y 点作垂直于 y 轴的平面, 则
平面与截锥体的截面为椭圆, 易得其长短半轴分别为
A− A−a y, B− B−b y.
h
h
截面的面积为 (A− A− a y)⋅(B − B −b y)π .
所求的面积为
A
=
4∫0a
ydx
=
4∫π0
(a
sin3
t)d
(a
cos3
t)
=
4a2
π
∫2
0
3cos2
t
sin
4
tdt
2
π
=12a2[∫02
sin
4
tdt
−
π
∫2
0
sin
6
tdt]
=
3 8
πa2
.
(3)ρ=2a(2+cosθ ) 解
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所求的面积为
A
=
∫2π
0
1 [2a(2+cosθ )]2dθ 2
(e2u
+
2
+
e−2u
)du
=
πa3
(
1
e2u
+
2u
−
1
e−2u
)1
40
42
20
= πa3 (2 +sh2) . 4
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(3) x2 + (y −5)2 =16 , 绕 x 轴.

同济大学第六版高等数学上册课后答案全集精编版

高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1−11.设A =(−∞,−5)∪(5,+∞),B =[−10,3),写出A ∪B ,A ∩B ,A \B 及A \(A \B )的表达式.解A ∪B =(−∞,3)∪(5,+∞),A ∩B =[−10,−5),A \B =(−∞,−10)∪(5,+∞),A \(A \B )=[−10,−5).2.设A 、B 是任意两个集合,证明对偶律:(A ∩B )C =A C ∪B C .证明因为x ∈(A ∩B )C ⇔x ∉A ∩B ⇔x ∉A 或x ∉B ⇔x ∈A C 或x ∈B C ⇔x ∈A C ∪B C ,所以(A ∩B )C =A C ∪B C .3.设映射f :X →Y ,A ⊂X ,B ⊂X .证明(1)f (A ∪B )=f (A )∪f (B );(2)f (A ∩B )⊂f (A )∩f (B ).证明因为y ∈f (A ∪B )⇔∃x ∈A ∪B ,使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B )y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔y ∈f (A )∪f (B ),所以f (A ∪B )=f (A )∪f (B ).(2)因为y ∈f (A ∩B )⇒∃x ∈A ∩B ,使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B )y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒y ∈f (A )∩f (B ),所以f (A ∩B )⊂f (A )∩f (B ).4.设映射f :X →Y ,若存在一个映射g :Y →X ,使X I f g =ο,Y I g f =ο,其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射,即对于每一个x ∈X ,有I X x =x ;对于每一个y ∈Y ,有I Y y =y .证明:f 是双射,且g 是f 的逆映射:g =f −1.证明因为对于任意的y ∈Y ,有x =g (y )∈X ,且f (x )=f [g (y )]=I y y =y ,即Y 中任意元素都是X 中某元素的像,所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2,必有f (x 1)≠f (x 2),否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [f (x 1)]=g [f (x 2)]⇒x 1=x 2.因此f 既是单射,又是满射,即f 是双射.对于映射g :Y →X ,因为对每个y ∈Y ,有g (y )=x ∈X ,且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y ,按逆映射的定义,g 是f 的逆映射.5.设映射f :X →Y ,A ⊂X .证明:(1)f −1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时,有f −1(f (A ))=A .证明(1)因为x ∈A ⇒f (x )=y ∈f (A )⇒f −1(y )=x ∈f −1(f (A )),所以f −1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f −1(f (A ))⊃A .另一方面,对于任意的x ∈f −1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ),使f −1(y )=x ⇒f (x )=y .因为y ∈f (A )且f 是单射,所以x ∈A .这就证明了f −1(f (A ))⊂A .因此f −1(f (A ))=A .6.求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32−>x .函数的定义域为) ,32[∞+−.(2)211xy −=;解由1−x 2≠0得x ≠±1.函数的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞).(3)211x xy −−=;解由x ≠0且1−x 2≥0得函数的定义域D =[−1,0)∪(0,1].(4)241x y −=;解由4−x 2>0得|x |<2.函数的定义域为(−2,2).(5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0,+∞).(6)y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅)得函数的定义域为 12−+≠ππk x (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅).(7)y =arcsin(x −3);解由|x −3|≤1得函数的定义域D =[2,4].(8)xx y 1arctan 3+−=;解由3−x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(−∞,0)∪(0,3).(9)y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(−1,+∞).(10)x e y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(−∞,0)∪(0,+∞).7.下列各题中,函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2,g (x )=2lg x ;(2)f (x )=x ,g (x )=2x ;(3)334)(x x x f −=,31)(−=x x x g .(4)f (x )=1,g (x )=sec 2x −tan 2x .解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x <0时,g (x )=−x .(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.8.设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x ,求)6(πϕ,)4(πϕ,)4(πϕ−,ϕ(−2),并作出函数y =ϕ(x )的图形.解216sin |)6(==ππϕ,22|4sin |)4(==ππϕ,22|)4sin(|)4(=−=−ππϕ,0)2(=−ϕ.9.试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y −=1,(−∞,1);(2)y =x +ln x ,(0,+∞).证明(1)对于任意的x 1,x 2∈(−∞,1),有1−x 1>0,1−x 2>0.因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<−−−=−−−=−x x x x x x x x y y ,所以函数xx y −=1在区间(−∞,1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1<x 2时,有0ln )()ln ()ln (2121221121<+−=+−+=−x x x x x x x x y y ,所以函数y =x +ln x 在区间(0,+∞)内是单调增加的.10.设f (x )为定义在(−l ,l )内的奇函数,若f (x )在(0,l )内单调增加,证明f (x )在(−l ,0)内也单调增加.证明对于∀x 1,x 2∈(−l ,0)且x 1<x 2,有−x 1,−x 2∈(0,l )且−x 1>−x 2.因为f (x )在(0,l )内单调增加且为奇函数,所以f (−x 2)<f (−x 1),−f (x 2)<−f (x 1),f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1,x 2∈(−l ,0),有f (x 1)<f (x 2),所以f (x )在(−l ,0)内也单调增加.11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(−l ,l )上的,证明:(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明(1)设F (x )=f (x )+g (x ).如果f (x )和g (x )都是偶函数,则F (−x )=f (−x )+g (−x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数,即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数,则F (−x )=f (−x )+g (−x )=−f (x )−g (x )=−F (x ),所以F (x )为奇函数,即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ).如果f (x )和g (x )都是偶函数,则F (−x )=f (−x )⋅g (−x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数,则F (−x )=f (−x )⋅g (−x )=[−f (x )][−g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数,即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数,而g (x )是奇函数,则F (−x )=f (−x )⋅g (−x )=f (x )[−g (x )]=−f (x )⋅g (x )=−F (x ),所以F (x )为奇函数,即偶函数与奇函数的积是奇函数.12.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1−x 2);(2)y =3x 2−x 3;(3)2211xxy +−=;(4)y =x (x −1)(x +1);(5)y =sin x −cos x +1;(6)2x x a a y −+=.解(1)因为f (−x )=(−x )2[1−(−x )2]=x 2(1−x 2)=f (x ),所以f (x )是偶函数.(2)由f (−x )=3(−x )2−(−x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+−=−+−−=−,所以f (x )是偶函数.(4)因为f (−x )=(−x )(−x −1)(−x +1)=−x (x +1)(x −1)=−f (x ),所以f (x )是奇函数.(5)由f (−x )=sin(−x )−cos(−x )+1=−sin x −cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=−−−−−,所以f (x )是偶函数.13.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数,指出其周期:(1)y =cos(x −2);解是周期函数,周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解是周期函数,周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解是周期函数,周期为l =2.(4)y =x cos x ;解不是周期函数.(5)y =sin 2x .解是周期函数,周期为l =π.14.求下列函数的反函数:(1)31+=x y ;解由31+=x y 得x =y 3−1,所以31+=x y 的反函数为y =x 3−1.(2)xx y +−=11;解由x x y +−=11得yy x +−=11,所以x x y +−=11的反函数为x x y +−=11.(3)dcx b ax y ++=(ad −bc ≠0);解由d cx b ax y ++=得acy b dy x −+−=,所以d cx b ax y ++=的反函数为a cx b dx y −+−=.(4)y =2sin3x ;解由y =2sin 3x 得2arcsin 31y x =,所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =.(5)y =1+ln(x +2);解由y =1+ln(x +2)得x =e y −1−2,所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x −1−2.(6)122+=x x y .解由122+=x x y 得y y x −=1log 2,所以122+=x x y 的反函数为x x y −=1log 2.15.设函数f (x )在数集X 上有定义,试证:函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明先证必要性.设函数f (x )在X 上有界,则存在正数M ,使|f (x )|≤M ,即−M ≤f (x )≤M .这就证明了f (x )在X 上有下界−M 和上界M .再证充分性.设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2,即K 1≤f (x )≤K 2.取M =max{|K 1|,|K 2|},则−M ≤K 1≤f (x )≤K 2≤M ,即|f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16.在下列各题中,求由所给函数复合而成的函数,并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1)y =u 2,u =sin x ,61π=x ,32π=x ;解y =sin 2x ,41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy .(2)y =sin u ,u =2x ,81π=x ,42π=x ;解y =sin2x ,224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy .(3)u y =,u =1+x 2,x 1=1,x 2=2;解21x y +=,21121=+=y ,52122=+=y .(4)y =e u ,u =x 2,x 1=0,x 2=1;解2x e y =,1201==e y ,e e y ==212.(5)y =u 2,u =e x ,x 1=1,x 2=−1.解y =e 2x ,y 1=e 2⋅1=e 2,y 2=e 2⋅(−1)=e −2.17.设f (x )的定义域D =[0,1],求下列各函数的定义域:(1)f (x 2);解由0≤x 2≤1得|x |≤1,所以函数f (x 2)的定义域为[−1,1].(2)f (sin x );解由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π(n =0,±1,±2⋅⋅⋅),所以函数f (sin x )的定义域为[2n π,(2n +1)π](n =0,±1,±2⋅⋅⋅).(3)f (x +a )(a >0);解由0≤x +a ≤1得−a ≤x ≤1−a ,所以函数f (x +a )的定义域为[−a ,1−a ].(4)f (x +a )+f (x −a )(a >0).解由0≤x +a ≤1且0≤x −a ≤1得:当210≤<a 时,a ≤x ≤1−a ;当21>a 时,无解.因此当210≤<a 时函数的定义域为[a ,1−a ],当21>a 时函数无意义.18.设⎪⎩⎪⎨⎧>−=<=1|| 11|| 01|| 1)(x x x x f ,g (x )=e x ,求f [g (x )]和g [f (x )],并作出这两个函数的图形.解⎪⎩⎪⎨⎧>−=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f ,即⎪⎩⎪⎨⎧>−=<=0 10 00 1)]([x x x x g f .⎪⎩⎪⎨⎧>=<==−1|| 1|| e 1|| )]([101)(x e x x e e x f g x f ,即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=−1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g .19.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40°(图1−37).当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域.图1−37解ο40sin h DC AB ==,又从0)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++ο得h hS BC ⋅−=ο40cot 0,所以h h S L οο40sin 40cos 20−+=.自变量h 的取值范围应由不等式组h >0,040cot 0>⋅−h hS ο确定,定义域为ο40cot 00S h <<.20.收敛音机每台售价为90元,成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的,每多订购1台,售价就降低1分,但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数;(2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数;(3)某一商行订购了1000台,厂方可获利润多少？解(1)当0≤x ≤100时,p =90.令0.01(x 0−100)=90−75,得x 0=1600.因此当x ≥1600时,p =75.当100<x <1600时,p =90−(x −100)×0.01=91−0.01x .综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<−≤≤=1600 751600100 01.0911000 90x x x x p .(2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<−≤≤=−=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P .(3)P =31×1000−0.01×10002=21000(元).习题1−21.观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势,写出它们的极限:(1)n n x 21=;解当n →∞时,n n x 21=→0,021lim =∞→n n .(2)nx n n 1)1(−=;解当n →∞时,n x n n 1)1(−=→0,01)1(lim =−∞→nn n .(3)212nx n +=;解当n →∞时,212n x n +=→2,2)12(lim 2=+∞→nn .(4)11+−=n n x n ;解当n →∞时,12111+−=+−=n n n x n →0,111lim =+−∞→n n n .(5)x n =n (−1)n .解当n →∞时,x n =n (−1)n 没有极限.2.设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=.问n n x ∞→lim =?求出N ,使当n >N 时,x n 与其极限之差的绝对值小于正数ε,当ε=0.001时,求出数N .解0lim =∞→n n x .n n n x n 1|2cos ||0|≤=−π.∀ε>0,要使|x n −0|<ε,只要ε<n 1,也就是ε1>n .取]1[ε=N ,则∀n >N ,有|x n −0|<ε.当ε=0.001时,]1[ε=N =1000.3.根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→nn ;分析要使ε=−221|01|n n ,只须ε12>n ,即ε1>n .证明因为∀ε>0,∃]1[ε=N ,当n >N 时,有ε<−|01|2n ,所以01lim 2=∞→n n .(2)231213lim =++∞→n n n ;分析要使ε<<+=−++n n n n 41)12(21|231213|,只须ε<n 41,即ε41>n .证明因为∀ε>0,∃]41[ε=N ,当n >N 时,有ε<−++|231213|n n ,所以231213lim =++∞→n n n .(3)1lim 22+∞→na n n ;分析要使ε<<++=−+=−+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|,只须ε2a n >.证明因为∀ε>0,∃][2εa N =,当∀n >N 时,有ε<−+|1|22na n ,所以1lim 22=+∞→na n n .(4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→43421个n n .分析要使|0.99⋅⋅⋅9−1|ε<=−1101n ,只须1101−n <ε,即ε1lg 1+>n .证明因为∀ε>0,∃]1lg 1[ε+=N ,当∀n >N 时,有|0.99⋅⋅⋅9−1|<ε,所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→43421个n n .4.a u n n =∞→lim ,证明||||lim a u n n =∞→.并举例说明:如果数列{|x n |}有极限,但数列{x n }未必有极限.证明因为a u n n =∞→lim ,所以∀ε>0,∃N ∈N ,当n >N 时,有ε<−||a u n ,从而||u n |−|a ||≤|u n −a |<ε.这就证明了||||lim a u n n =∞→.数列{|x n |}有极限,但数列{x n }未必有极限.例如1|)1(|lim =−∞→n n ,但n n )1(lim −∞→不存在.5.设数列{x n }有界,又0lim =∞→n n y ,证明:0lim =∞→n n n y x .证明因为数列{x n }有界,所以存在M ,使∀n ∈Z ,有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y ,所以∀ε>0,∃N ∈N ,当n >N 时,有My n ε<||.从而当n >N 时,有εε=⋅<≤=−MM y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .6.对于数列{x n },若x 2k −1→a (k →∞),x 2k →a (k →∞),证明:x n →a (n →∞).证明因为x 2k −1→a (k →∞),x 2k →a (k →∞),所以∀ε>0,∃K 1,当2k −1>2K 1−1时,有|x 2k −1−a |<ε;∃K 2,当2k >2K 2时,有|x 2k −a |<ε.取N =max{2K 1−1,2K 2},只要n >N ,就有|x n −a |<ε.因此x n →a (n →∞).习题1−31.根据函数极限的定义证明:(1)8)13(lim 3=−→x x ;分析因为|(3x −1)−8|=|3x −9|=3|x −3|,所以要使|(3x −1)−8|<ε,只须ε31|3|<−x .证明因为∀ε>0,∃εδ31=,当0<|x −3|<δ时,有|(3x −1)−8|<ε,所以8)13(lim 3=−→x x .(2)12)25(lim 2=+→x x ;分析因为|(5x +2)−12|=|5x −10|=5|x −2|,所以要使|(5x +2)−12|<ε,只须51|2|<−x .证明因为∀ε>0,∃εδ51=,当0<|x −2|<δ时,有|(5x +2)−12|<ε,所以12)25(lim 2=+→x x .(3)424lim 22−=+−−→x x x ;分析因为|)2(||2|244)4(2422−−=+=+++=−−+−x x x x x x x ,所以要使ε<−−+−)4(242x x ,只须ε<−−|)2(|x .证明因为∀ε>0,∃εδ=,当0<|x −(−2)|<δ时,有ε<−−+−)4(242x x ,所以424lim22−=+−−→x x x .(4)21241lim 321=+−−→x x x .分析因为|)21(|2|221|212413−−=−−=−+−x x x x ,所以要使ε<−+−212413x x ,只须ε21|)21(|<−−x .证明因为∀ε>0,∃εδ21=,当δ<−−<|)21(|0x 时,有ε<−+−212413x x ,所以21241lim 321=+−−→x x x .2.根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x x x ;分析因为333333||21212121x x x x x x =−+=−+,所以要使ε<+212133x x ,只须ε<3||21x ,即321||ε>x .证明因为∀ε>0,∃321ε=X ,当|x |>X 时,有ε<+212133x x ,所以2121lim 33=+∞→x x x .(2)0sin lim =+∞→x x x .分析因为xx x x x 1|sin |0sin =−.所以要使ε<−0sin x x ,只须ε<x 1,即21ε>x .证明因为∀ε>0,∃21ε=X ,当x >X 时,有ε<−0sin xx ,所以0sin lim =+∞→xx x .3.当x →2时,y =x 2→4.问δ等于多少,使当|x −2|<δ时,|y −4|<0.001？解由于当x →2时,|x −2|→0,故可设|x −2|<1,即1<x <3.要使|x 2−4|=|x +2||x −2|<5|x −2|<0.001,只要0002.05001.0|2|=<−x .取δ=0.0002,则当0<|x −2|<δ时,就有|x 2−4|<0.001.4.当x →∞时,13122→+−=x x y ,问X 等于多少,使当|x |>X 时,|y −1|<0.01?解要使01.034131222<+=−+−x x x ,只要397301.04||=−>x ,故397=X .5.证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零.证明因为|f (x )−0|=||x |−0|=|x |=|x −0|,所以要使|f (x )−0|<ε,只须|x |<ε.因为对∀ε>0,∃δ=ε,使当0<|x −0|<δ,时有|f (x )−0|=||x |−0|<ε,所以0||lim 0=→x x .6.求,)(x x x f =xx x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限,并说明它们在x →0时的极限是否存在.证明因为11lim lim )(lim 000===−−−→→→x x x x x x f ,11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 00x f x f x x +→→=−,所以极限)(lim 0x f x →存在.因为1lim ||lim )(lim 000−=−==−−−→→→xx x x x x x x ϕ,1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ,)(lim )(lim 00x x x x ϕϕ+→→≠−,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7.证明:若x →+∞及x →−∞时,函数f (x )的极限都存在且都等于A ,则A x f x =∞→)(lim .证明因为A x f x =−∞→)(lim ,A x f x =+∞→)(lim ,所以∀ε>0,∃X 1>0,使当x <−X 1时,有|f (x )−A |<ε;∃X 2>0,使当x >X 2时,有|f (x )−A |<ε.取X =max{X 1,X 2},则当|x |>X 时,有|f (x )−A |<ε,即A x f x =∞→)(lim .8.根据极限的定义证明:函数f (x )当x →x 0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性.设f (x )→A (x →x 0),则∀ε>0,∃δ>0,使当0<|x −x 0|<δ时,有|f (x )−A |<ε.因此当x 0−δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ时都有|f (x )−A |<ε.这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A .再证明充分性.设f (x 0−0)=f (x 0+0)=A ,则∀ε>0,∃δ1>0,使当x 0−δ1<x <x 0时,有|f (x )−A <ε;∃δ2>0,使当x 0<x <x 0+δ2时,有|f (x )−A |<ε.取δ=min{δ1,δ2},则当0<|x −x 0|<δ时,有x 0−δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2,从而有|f (x )−A |<ε,即f (x )→A (x →x 0).9.试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明.解x →∞时函数极限的局部有界性的定理:如果f (x )当x →∞时的极限存在,则存在X >0及M >0,使当|x |>X 时,|f (x )|<M .证明设f (x )→A (x →∞),则对于ε=1,∃X >0,当|x |>X 时,有|f (x )−A |<ε=1.所以|f (x )|=|f (x )−A +A |≤|f (x )−A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0,使当|x |>X 时,|f (x )|<M ,其中M =1+|A |.习题1−41.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.解不一定.例如,当x →0时,α(x )=2x ,β(x )=3x 都是无穷小,但32)()(lim 0=→x x x βα,)()(x x βα不是无穷小.2.根据定义证明:(1)392+−=x x y 当x →3时为无穷小;(2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明(1)当x ≠3时|3|39||2−=+−=x x x y .因为∀ε>0,∃δ=ε,当0<|x −3|<δ时,有εδ=<−=+−=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+−=x x y 为无穷小.(2)当x ≠0时|0||1sin |||||−≤=x xx y .因为∀ε>0,∃δ=ε,当0<|x −0|<δ时,有εδ=<−≤=|0|1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3.根据定义证明:函数xx y 21+=为当x →0时的无穷大.问x 应满足什么条件,能使|y |>104？证明分析2||11221||−≥+=+=x x x x y ,要使|y |>M ,只须M x >−2||1,即21||+<M x .证明因为∀M >0,∃21+=M δ,使当0<|x −0|<δ时,有M xx >+21,所以当x →0时,函数xx y 21+=是无穷大.取M =104,则21014+=δ.当2101|0|04+<−<x 时,|y |>104.4.求下列极限并说明理由:(1)xx x 12lim +∞→;(2)xx x −−→11lim 20.解(1)因为x x x 1212+=+,而当x →∞时x 1是无穷小,所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x xx +=−−1112(x ≠1),而当x →0时x 为无穷小,所以111lim 20=−−→x x x .5.根据函数极限或无穷大定义,填写下表:f (x )→A f (x )→∞f (x )→+∞f (x )→−∞x →x 0∀ε>0,∃δ>0,使当0<|x −x 0|<δ时,有恒|f (x )−A |<ε.x →x 0+x →x 0−x →∞∀ε>0,∃X >0,使当|x |>X 时,有恒|f (x )|>M .x →+∞x →−∞解f (x )→A f (x )→∞f (x )→+∞f (x )→−∞x →x 0∀ε>0,∃δ>0,使当0<|x −x 0|<δ时,有恒|f (x )−A |<ε.∀M >0,∃δ>0,使当0<|x −x 0|<δ时,有恒|f (x )|>M .∀M >0,∃δ>0,使当0<|x −x 0|<δ时,有恒f (x )>M .∀M >0,∃δ>0,使当0<|x −x 0|<δ时,有恒f (x )<−M .x →x 0+∀ε>0,∃δ>0,使当0<x −x 0<δ时,有恒|f (x )−A |<ε.∀M >0,∃δ>0,使当0<x −x 0<δ时,有恒|f (x )|>M .∀M >0,∃δ>0,使当0<x −x 0<δ时,有恒f (x )>M .∀M >0,∃δ>0,使当0<x −x 0<δ时,有恒f (x )<−M .x →x 0−∀ε>0,∃δ>0,使当0<x 0−x <δ时,有恒|f (x )−A |<ε.∀M >0,∃δ>0,使当0<x 0−x <δ时,有恒|f (x )|>M .∀M >0,∃δ>0,使当0<x 0−x <δ时,有恒f (x )>M .∀M >0,∃δ>0,使当0<x 0−x <δ时,有恒f (x )<−M .x →∞∀ε>0,∃X >0,使当|x |>X 时,有恒|f (x )−A |<ε.∀ε>0,∃X >0,使当|x |>X 时,有恒|f (x )|>M .∀ε>0,∃X >0,使当|x |>X 时,有恒f (x )>M .∀ε>0,∃X >0,使当|x |>X 时,有恒f (x )<−M .x →+∞∀ε>0,∃X >0,使当x >X 时,有恒|f (x )−A |<ε.∀ε>0,∃X >0,使当x >X 时,有恒|f (x )|>M .∀ε>0,∃X >0,使当x >X 时,有恒f (x )>M .∀ε>0,∃X >0,使当x >X 时,有恒f (x )<−M .x →−∞∀ε>0,∃X >0,使当x <−X 时,有恒|f (x )−A |<ε.∀ε>0,∃X >0,使当x <−X 时,有恒|f (x )|>M .∀ε>0,∃X >0,使当x <−X 时,有恒f (x )>M .∀ε>0,∃X >0,使当x <−X 时,有恒f (x )<−M .6.函数y =x cos x 在(−∞,+∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞时的无穷大？为什么？解函数y =x cos x 在(−∞,+∞)内无界.这是因为∀M >0,在(−∞,+∞)内总能找到这样的x ,使得|y (x )|>M .例如y (2k π)=2k πcos2k π=2k π(k =0,1,2,⋅⋅⋅),当k 充分大时,就有|y (2k π)|>M .当x →+∞时,函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0,找不到这样一个时刻N ,使对一切大于N 的x ,都有|y (x )|>M .例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0,1,2,⋅⋅⋅),对任何大的N ,当k 充分大时,总有N k x >+=22ππ,但|y (x )|=0<M .7.证明:函数x x y 11=在区间(0,1]上无界,但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明函数xx y 1sin 1=在区间(0,1]上无界.这是因为∀M >0,在(0,1]中总可以找到点x k ,使y (x k )>M .例如当221ππ+=k x k (k =0,1,2,⋅⋅⋅)时,有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时,y (x k )>M .当x →0+时,函数xx y 1sin 1=不是无穷大.这是因为∀M >0,对所有的δ>0,总可以找到这样的点x k ,使0<x k <δ,但y (x k )<M .例如可取πk x k 21=(k =0,1,2,⋅⋅⋅),当k 充分大时,x k <δ,但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .习题1−51.计算下列极限:(1)35lim22−+→x x x ;解9325235lim 222−=−+=−+→x x x .(2)13lim 223+−→x x x ;解01)3(3)3(13lim 22223=+−=+−→x x x .(3)112lim 221−+−→x x x x ;解02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+−=+−−=−+−→→→x x x x x x x x x x x .(4)xx x x x x 2324lim2230++−→;解2123124lim 2324lim 202230=++−=++−→→x x x x x x x x x x .(5)hx h x h 220)(lim −+→;解x h x h x h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=−++=−+→→→.(6))112(lim 2xx x +−∞→;解21lim 1lim 2)112(lim 22=+−=+−∞→∞→∞→x x xx x x x .(7)121lim22−−−∞→x x x x ;解2111211lim 121lim2222=−−−=−−−∞→∞→xx x x x x x x .(8)13lim 242−−+∞→x x x x x ;解013lim 242=−−+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数,极限为零).或012111lim 13lim 4232242=−−+=−−+∞→∞→xx x x x x x x x x .(9)4586lim 224+−+−→x x x x x ;解32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=−−=−−=−−−−=+−+−→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2xx x −+∞→;解221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=×=−⋅+=−+∞→∞→∞→x x x x x x x .(11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→;解2211)21(1lim )21 41211(lim 1=−−=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n .(12)2)1( 321limn n n −+⋅⋅⋅+++∞→;解211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=−=−=−+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n .(13)35)3)(2)(1(lim nn n n n +++∞→;解515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同,极限为最高次项系数之比).或51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n .(14))1311(lim 31xx x −−−→;解)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++−+−−=++−−++=−−−→→→112lim21−=+++−=→x x x x .2.计算下列极限:(1)2232)2(2lim −+→x x x x ;解因为01602)2(lim 2322==+−→x x x x ,所以∞=−+→2232)2(2lim x x x x .(2)12lim 2+∞→x x x ;解∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数).(3))12(lim 3+−∞→x x x .解∞=+−∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3.计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解01sin lim 20=→x x x (当x →0时,x 2是无穷小,而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时,x1是无穷小,而arctan x 是有界变量).4.证明本节定理3中的(2).习题1−51.计算下列极限:(1)35lim22−+→x x x ;解9325235lim 222−=−+=−+→x x x .(2)13lim 223+−→x x x ;解01)3(3)3(13lim 22223=+−=+−→x x x .(3)112lim 221−+−→x x x x ;解02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+−=+−−=−+−→→→x x x x x x x x x x x .(4)xx x x x x 2324lim2230++−→;解2123124lim 2324lim 202230=++−=++−→→x x x x x x x x x x .(5)hx h x h 220)(lim −+→;解x h x h x h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=−++=−+→→→.(6))112(lim 2xx x +−∞→;解21lim 1lim 2)112(lim 22=+−=+−∞→∞→∞→x x xx x x x .(7)121lim22−−−∞→x x x x ;解2111211lim 121lim2222=−−−=−−−∞→∞→x x x x x x x x .(8)13lim 242−−+∞→x x x x x ;解013lim 242=−−+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数,极限为零).或012111lim 13lim 4232242=−−+=−−+∞→∞→xx x x x x x x x x .(9)4586lim 224+−+−→x x x x x ;解32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=−−=−−=−−−−=+−+−→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2xx x −+∞→;解221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=×=−⋅+=−+∞→∞→∞→x x x x x x x .(11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→;解2211)21(1lim )21 41211(lim 1=−−=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n .(12)2)1( 321limnn n −+⋅⋅⋅+++∞→;解211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=−=−=−+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n .(13)35)3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→;解515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同,极限为最高次项系数之比).或51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n .(14))1311(lim 31xx x −−−→;解)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++−+−−=++−−++=−−−→→→112lim21−=+++−=→x x x x .2.计算下列极限:(1)2232)2(2lim −+→x x x x ;解因为01602)2(lim 2322==+−→x x x x ,所以∞=−+→2232)2(2lim x x x x .(2)12lim 2+∞→x x x ;解∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数).(3))12(lim 3+−∞→x x x .解∞=+−∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3.计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解01sin lim 20=→x x x (当x →0时,x 2是无穷小,而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时,x1是无穷小,而arctan x 是有界变量).4.证明本节定理3中的(2).习题1−71.当x →0时,2x −x 2与x 2−x 3相比,哪一个是高阶无穷小？解因为02lim 2lim 202320=−−=−−→→xx x x x x x x x ,所以当x →0时,x 2−x 3是高阶无穷小,即x 2−x 3=o (2x −x 2).2.当x →1时,无穷小1−x 和(1)1−x 3,(2))1(212x −是否同阶？是否等价？解(1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++−++−=−−→→→x x xx x x x x x x x ,所以当x →1时,1−x 和1−x 3是同阶的无穷小,但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=−−→→x x x x x ,所以当x →1时,1−x 和)1(212x −是同阶的无穷小,而且是等价无穷小.3.证明:当x →0时,有:(1)arctan x ~x ;(2)2~1sec 2x x −.证明(1)因为1tan lim arctan lim 00==→→y yx x y x (提示:令y =arctan x ,则当x →0时,y →0),所以当x →0时,arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===−=−→→→→x xx x x x x x x x x x x ,所以当x →0时,2~1sec 2x x −.4.利用等价无穷小的性质,求下列极限:(1)x x x 23tan lim 0→;(2)m n x x x )(sin )sin(lim 0→(n ,m 为正整数);(3)x x x x 30sin sin tan lim −→;(4))1sin 1)(11(tan sin lim320−+−+−→x x x x x .解(1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim 00.(3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==−=−=−→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x .(4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x −=⋅−−=−=−(x →0),23232223231~11)1(11x x x x x ++++=−+(x →0),x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=−+(x →0),所以33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320−=⋅−=−+−+−→→x x x x x x x x x .5.证明无穷小的等价关系具有下列性质:(1)α~α(自反性);(2)若α~β,则β~α(对称性);(3)若α~β,β~γ,则α~γ(传递性).证明(1)1lim =αα,所以α~α;(2)若α~β,则1lim =βα,从而1lim =αβ.因此β~α;(3)若α~β,β~γ,1lim lim lim =⋅=βαγβγα.因此α~γ.习题1−81.研究下列函数的连续性,并画出函数的图形:(1)⎩⎨⎧≤<−≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;解已知多项式函数是连续函数,所以函数f (x )在[0,1)和(1,2]内是连续的.在x =1处,因为f (1)=1,并且1lim )(lim 211==−−→→x x f x x ,1)2(lim )(lim 11=−=++→→x x f x x .所以1)(lim 1=→x f x ,从而函数f (x )在x =1处是连续的.综上所述，函数f (x )在[0,2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤−=1|| 111 )(x x x x f .解只需考察函数在x =−1和x =1处的连续性.在x =−1处,因为f (−1)=−1,并且)1(11lim )(lim 11−≠==−−−→−→f x f x x ,)1(1lim )(lim 11−=−==++−→−→f x x f x x ,所以函数在x =−1处间断,但右连续.在x =1处,因为f (1)=1,并且1lim )(lim 11==−−→→x x f x x =f (1),11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1),所以函数在x =1处连续.综合上述讨论,函数在(−∞,−1)和(−1,+∞)内连续,在x =−1处间断,但右连续.2.下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类,如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+−−=x x x y ,x =1,x =2;解)1)(2()1)(1(23122−−−+=+−−=x x x x x x x y .因为函数在x =2和x =1处无定义,所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+−−=→→231lim lim 2222x x x y x x ,所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(lim lim 11−=−+=→→x x y x x ,所以x =1是函数的第一类间断点,并且是可去间断点.在x =1处,令y =−2,则函数在x =1处成为连续的.(2)x x y tan =,x =k ,2ππ+=k x (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅);解函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义,因而这些点都是函数的间断点.因∞=→xx k x tan lim π(k ≠0),故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim0=→xx x ,0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z),所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z)是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1,则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时,y =0,则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=,x =0;解因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义,所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点.又因为xx 1cos lim 20→不存在,所以x =0是函数的第二类间断点.(4)⎩⎨⎧>−≤−=1 31 1x x x x y ,x =1.解因为0)1(lim )(lim 11=−=−−→→x x f x x ,2)3(lim )(lim 11=−=++→→x x f x x ,所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3.讨论函数x xx x f n nn 2211lim )(+−=∞→的连续性,若有间断点,判别其类型.解⎪⎩⎪⎨⎧<=>−=+−=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f nn n .在分段点x =−1处,因为1)(lim )(lim 11=−=−−−→−→x x f x x ,1lim )(lim 11−==++−→−→x x f x x ,所以x =−1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处,因为1lim )(lim 11==−−→→x x f x x ,1)(lim )(lim 11−=−=++→→x x f x x ,所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4.证明:若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0,则存在x 0的某一邻域U (x 0),当x ∈U (x 0)时,f (x )≠0.证明不妨设f (x 0)>0.因为f (x )在x 0连续,所以0)()(lim 00>=→x f x f x x ,由极限的局部保号性定理,存在x 0的某一去心邻域)(0x U ο,使当x ∈)(0x U ο时f (x )>0,从而当x ∈U (x 0)时,f (x )>0.这就是说,则存在x 0的某一邻域U (x 0),当x ∈U (x 0)时,f (x )≠0.5.试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0,±1,±2,21±,⋅⋅⋅,±n ,n1±,⋅⋅⋅是f (x )的所有间断点,且它们都是无穷间断点;解函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0,±1,±2,21±,⋅⋅⋅,±n ,n1±,⋅⋅⋅处是间断的,且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续,但|f (x )|在R 上处处连续;解函数⎩⎨⎧∉∈−=Q Qx x x f 1 1)(在R 上处处不连续,但|f (x )|=1在R 上处处连续.(3)f (x )在R 上处处有定义,但仅在一点连续.解函数⎩⎨⎧∉−∈=Q Q x x x x x f )(在R上处处有定义,它只在x =0处连续.习题1−91.求函数633)(223−+−−+=x x x x x x f 的连续区间,并求极限)(lim 0x f x →,)(lim 3x f x −→及)(lim 2x f x →.解)2)(3()1)(1)(3(633)(223−++−+=−+−−+=x x x x x x x x x x x f ,函数在(−∞,+∞)内除点x =2和x =−3外是连续的,所以函数f (x )的连续区间为(−∞,−3)、(−3,2)、(2,+∞).在函数的连续点x =0处,21)0()(lim 0==→f x f x .在函数的间断点x =2和x =−3处,∞=−++−+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x ,582)1)(1(lim)(lim 33−=−+−=−→−→x x x x f x x .2.设函数f (x )与g (x )在点x 0连续,证明函数ϕ(x )=max{f (x ),g (x )},ψ(x )=min{f (x ),g (x )}在点x 0也连续.证明已知)()(lim 00x f x f x x =→,)()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x −++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x −−+=ψ.因此] |)()(|)()(21)(00000x g x f x g x f x −++=ϕ,] |)()(|)()(21)(00000x g x f x g x f x −−+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x −++=→→ϕ]|)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→−++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f −++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3.求下列极限:(1)52lim20+−→x x x ;(2)34)2(sin lim x x π→;(3))2cos 2ln(lim 6x x π→;(4)xx x 11lim0−+→;(5)145lim 1−−−→x x x x ;(6)a x a x a x −−→sin sin lim ;(7))(lim 22x x x x x −−++∞→.解(1)因为函数52)(2+−=x x x f 是初等函数,f (x )在点x =0有定义,所以55020)0(52lim220=+⋅−==+−→f x x x .(2)因为函数f (x )=(sin 2x )3是初等函数,f (x )在点4π=x 有定义,所以1)42(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x .(3)因为函数f (x )=ln(2cos2x )是初等函数,f (x )在点6π=x 有定义,所以0)62cos 2ln(6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x .(4))11(lim )11()11)(11(lim 11lim000++=++++−+=−+→→→x x x x x x x x x x x x 211101111lim 0=++=++=→x x .(5))45)(1()45)(45(lim 145lim11x x x x x x x x x x x x +−−+−−−=−−−→→)45)(1(44lim1x x x x x +−−−=→214154454lim 1=+−⋅=+−=→x x x .(6)ax a x a x a x a x a x a x −−+=−−→→2sin 2cos 2limsin sin lim a a a a x ax a x a x a x cos 12cos 22sin lim2cos lim =⋅+=−−+=→→.(7))())((lim )(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x −++−++−−+=−−++∞→+∞→1)1111(2lim )(2lim22=−++=−++=+∞→+∞→xx x x x x x x x .4.求下列极限:(1)xx e 1lim∞→;(2)xx x sin ln lim 0→;(3)2)11(lim xx x+∞→;(4)x x x 2cot 20)tan 31(lim +→;(5)21)63(lim −∞→++x x xx ;(6)xx x x x x −++−+→20sin 1sin 1tan 1lim.解(1)1lim 01lim1===∞→∞→e ee x xx x .(2)01ln )sin lim ln(sin ln lim 00===→→x x x x x x .(3)[]e e xx x x xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim )11(lim .。

同济大学第六版高等数学课后答案全集

同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C . 证明因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ); (2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ). 证明因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射. 5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-.(2)211xy -=;解由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞). (3)211x x y --=;解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. (4)241x y -=; 解由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅⋅).(7) y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)xx y 1arctan 3+-=;解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3). (9) y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)xe y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)x x y -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0l n )()l n ()l n (2121221121<+-=+-+=-x xx x x x x x y y ,所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2. 因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3;(3)2211x x y +-=;(4)y =x (x -1)(x +1); (5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x aa y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2);解是周期函数, 周期为l =2π. (2)y =cos 4x ;解是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ;解不是周期函数.(5)y =sin 2x .解是周期函数, 周期为l =π. 14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。

高等数学第六版(同济版)第六章复习资料

第六章定积分的应用引入：前面学习了定积分的理论，这一章要应用这些理论来分析和解决一些实际问题中出现的量.用定积分计算这些量，必须把它们表示成定积分，先介绍将所求量表示成定积分的方法——元素法.第一节定积分的元素法我们先用定积分的引例——曲边梯形的面积，引出元素以及元素法的概念：一、元素及元素法1.元素：由连续曲线)0)(()(≥=x f x f y 与直线b x a x ==、以及x 轴所围成的曲边梯形的面积为：∑==ni i A A 1∆∑=≈ni i i x f 1)(∆ξ∑==ni i i x d f 1)(ξ⎰=bax d x f )(.(由微分知识得i i x d x =∆)，称x d x f )(为面积元素或面积微元,记为x d x f dA )(=.2.元素法：用元素法将所求量表示成定积分的方法，称为元素法. 由此可知，曲边梯形的面积是将面积微元累加得到的.下面我们通过曲边梯形的面积来总结出实际问题中所求的量能用定积分表示的条件：二、用元素法将所求量能表示成定积分的条件：(设所求量为U ) 1．量U 与变量x 的所在区间],[b a 有关; 2．量U 对于区间],[b a 具有可加性；3．量U 的部分量有近似值，即i i i x f U ∆ξ∆)(≈. 三、用元素法将所求量能表示成定积分的步骤：1．由实际情况选一变量如x 为积分变量，确定该其变化区间],[b a .2．分],[b a 为n 个小区间，取其中一个小区间],[x d x x +，计算其上的部分量U ∆的近似值：x d x f U d )(=，的所求量的一个元素.3．以x d x f U d )(=为被积表达式，在],[b a 上作定积分，即得所求量的定积分表达式：⎰=bax d x f U )(.注：元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等.内容小结：本节介绍了元素法以及用元素法将所求量表示成定积分的方法与步骤.第二节定积分在几何上的应用一、平面图形的面积1.直角坐标情形:曲线)0)((≥=x f y 与直线)(b a b x a x <==、及x 轴所围成的曲边梯形面积为x d x f A ba )(⎰=，因为面积元素为x d x f A d )(=.2.参数方程情形：若曲线],[,)0)(()(b a x x f x f y ∈≥=的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ，且满足(1). a =)(αϕ, b =)(βϕ;(2). )(t x ϕ=在],[βα或],[αβ上具有连续导数，且)(t y ψ=连续，则由曲线)(x f y =所围成的曲边图形的面积为：x d x f A ba )(⎰=t d t t )(')(ϕψβα⎰=.3.极坐标情形：设曲线的极坐标方程为]),[,0)(()(βαθθϕθϕρ∈≥=，且)(θϕ在],[βα上连续，则由曲线)(θϕρ=与射线αθ=以及βθ=所围成图形的面积为θθϕβαd A ⎰=)(212. 由于当θ在],[βα上变动时，极径)(θϕρ=也随之变动，故不能直接利用扇形面积公式θ221R A =来计算. 推导： ①.取极角θ为积分变量，],[βαθ∈.②.在],[βα上任取一小区间],[θθθd +，其上的曲边扇形面积的近似值：[]θθϕd A d 2)(21=. ③.以[]θθϕd 2)(21为被积表达式，在],[βα上作定积分，得曲边扇形的面积公式： θθϕβαd A ⎰=)(212.例1. 计算两条抛物线22x y x y ==、在第一象限所围所围图形的面积.解：首先确定图形的范围，由⎪⎩⎪⎨⎧==22xy xy 得交点)0,0(、)1,1(，取x 为积分变量，由于面积元素()x d x x A d 2-=，所以所求面积为()⎰-=102x d x x A 103233132⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x x 31=.注：⎰=10x d x A ⎰-12x d x ()⎰-=102x d x x .例2. 计算抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围图形的面积.解：由⎩⎨⎧-==422x y xy 得交点)2,2(-、)4,8(，若取x 为积分变量，则有⎰⎰--+=8220)]4(2[22x d x x x d x A 822238223421322324⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x x 18=. 若取y 为积分变量，则有18642248232422=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰-y y y y d y y A . 例3. 求椭圆12222=+by a x 所围图形的面积.解：由于椭圆关于两个坐标轴对称，设椭圆在第一象限所围成的面积为1A ，则所求面积为x d y A A a⎰==0144.设π)20(sin cos ≤≤⎩⎨⎧==t tb y t a x ，当0=x 时，2π=t ，当a x =时，0=t ，且t d t a x d sin -=，于是t d t a t b x d y A a )sin (sin 4402/0-⋅==⎰⎰πt d t ab ⎰=2/02sin 4πt d ts ab ⎰-=2/022cos 14πb a π=. 例4.计算阿基米德螺线)0(>=a a θρ对应θ从0变到π2所围图形面积. 解：由题可知，积分变量],[βαθ∈，于是所求面积为θθπd a A ⎰=202)(211032312θ⋅=a 23π34a =.例5.计算心形线)0()cos 1(>+=a a θρ所围图形的面积.解：心形线所围成的图形关于极轴对称,设极轴上半部分图形的面积为1A ，则心形线所围成的图形面积为12A .取极角θ为积分变量，],[βαθ∈，于是⎰+=πθθ022)cos 1(212d a A ⎰++=πθθθ022)cos 2cos 1(d a ⎰⎪⎭⎫⎝⎛++=πθθθ02cos 22cos 2123d a 2π23a =.二、体积1．旋转体的体积：(1).旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体，该直线称为旋转轴.注：圆柱体、圆台、球体等都是旋转体，它们都可以看做是由连续曲线)(x f y =与直线a x =、b x =以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所围成的立体.(2).旋转体的体积：①．由曲线)(x f y =与直线a x =、b x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：)()]([2b a x d x f V ba <=⎰π.推导：取x 为积分变量，],[b a x ∈，在],[b a 上任取一小区间],[x x x ∆+，其上的窄曲边梯形绕x 轴旋转而成的薄层的体积近似等于以)(x f 为底面半径、以x d 为高的扁圆柱体的体积，即体积元素为x d x f V d 2)]([π=，以x d x f 2)]([π为被积表达式，在],[b a 上作定积分即得所求旋转体的体积：)()]([2b a x d x f V ba<=⎰π.②．由曲线)(y x ϕ=与直线c y =、d y =以及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：)()]([2d c y d y V dc <=⎰ϕπ.例6.连接坐标原点O 及点),(r h P 的直线、直线h x = 及x 轴围成一个直角三角形，将它绕x 轴旋转构成一个底半径为r 、高为h 的圆锥体，求其体积.解：过)0,0(O 及),(r h P 的直线方程为：x hry =. 取x 为积分变量，],0[h x ∈，则所求旋转体的体积为⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=hx d x h r V 02πh r 231π=.例7.计算由椭圆12222=+by a x 所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.解：该旋转椭球体可看做是由半椭圆与x 轴所围成的绕x 轴旋转而成的立体，半椭圆方程为：22x a ab y -=. 取x 为积分变量，],[a a x -∈，则所求立体体积为⎰--=aa x d x a ab V )(2222π234ab π=.例8.计算由摆线)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=相应于π20≤≤t 的一拱，直线0=y 所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积.解：记摆线绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为x V ，取x 为积分变量，],[a a x -∈，则⎰=a x x d x y V ππ202)(⎰--=ππ2022)cos 1()cos 1(t d t a t •a⎰-+-=ππ20323)cos cos 3cos 31(t d t t t •a⎰-=ππ203)cos 31(t d t •a⎰++ππ203)12(cos 23t d t •a ⎰--ππ2023)(sin )sin 1(t d t •a 325a π=.记摆线绕y 轴旋转而成的旋转体的体积为y V ，取y 为积分变量，]2,0[a y ∈，则⎰⎰-=aay y d y x y d y x V 20212022)()(ππ⎰⎰---=πππππ022222sin )sin (sin )sin (t d t a t t a t d t a t t a⎰-=0222sin )sin (ππt d t a t t a ⎰-+ππ022sin )sin (t d t a t t a ⎰--ππ022sin )sin (t d t a t t a⎰+--=ππ203223)sin sin 2sin (t d t t t t t a⎰-=ππ2023sin t d t t a ⎰-+ππ203)2cos 1(t d t t a ⎰-+ππ2023)(cos )cos 1(t d t a336a π=.2．平行截面面积为已知的立体的体积：设一非旋转体的立体介于过点a x =、b x =且垂直于x 轴的两个平面之间，该立体过x 轴上的点x 且垂直于x 轴的截面面积为)(x A ，则该立体的体积为：⎰=ba dx x A V )(.推导：若)(x A 为连续函数且已知，取x 为积分变量，],[b a x ∈,在],[b a 上任取一小区间],[x d x x +，其上的薄层的体积近似等于底面积为)(x A 、高为x d 的扁圆柱体的体积，即得体积元素：x d x A V d )(=，以x d x A )(为被积表达式，在],[b a 上作定积分，得所求立体的体积公式：⎰=ba dx x A V )(.例9.一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆的中心，并与底面交成角α，计算着平面截圆柱体所得立体的体积.解：取该平面与圆柱体的底面的交线为x 轴，底面上过圆中心且垂直于x 轴的直线为y 轴，则底面圆方程为：222R y x =+，该立体中过x 轴上的点x 且垂直于x 轴的截面是一个直角三角形，两直角边分别为y 和αtan y ，即22x R -和22tan x R -α，从而截面面积为αtan )(21)(22x R x A -=，于是所求体积为⎰--=R R x d x R V αtan )(2122⎰-=R x d •x R 022)(tan ααtan 223R =.例4.求以半径为R 的圆为底、以平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积.解：取底面圆所在的平面为xoy 平面，圆心o 为原点，并使x 轴与正劈锥体的顶平行，底面圆方程为：222R y x =+，过x 轴上的点]),[(b a x x ∈作垂直于x 轴的平面截正劈锥体得等腰三角形，截面面积为22)(x R h y h x A -==，于是，所求正劈锥体的体积为⎰--=RRx d x R h V 22⎰-=R x d x R h 0222⎰=2/022cos 2πθθd h R ⎰+=2/02)2cos 1(πθθd h R 22hR π=.三、平面曲线的弧长引入：我们知道，用刘徽的割圆术可以定义圆的周长，即利用圆的内接正多边形的周长当边数无限增加时的极限来确定，现在将刘徽的割圆术加以推广，来定义平面曲线的弧长，从而应用定积分来计算平面曲线的弧长. 1.平面曲线弧长的相关概念(1).平面曲线弧长：若在曲线弧B A 上任取分点0M A =， ,,,,,121i i M M M M -，B M M n n =-,1，依次连接相邻分点得到该曲线弧的一内接折线，记|}{|max 11i i ni M M -≤≤=λ，若当分点的数目无限增加且每一个小弧段i i M M1-都缩向一点，即0→λ时，折线的长∑=-n i i i M M 11||的极限存在，则称此极限值为曲线弧B A的弧长，并称该曲线弧是可求长的，记作||lim 10i i M M s -→=λ.(2).光滑曲线：若曲线上每一点处都存在切线，且切线随切点的移动而连续转动，则称该曲线为光滑曲线.(3).定理：光滑曲线可求长. 2.光滑曲线弧长的计算(1).直角坐标情形：设曲线弧的直角坐标方程为)(x f y =，b x a ≤≤，若)(x f 在],[b a 上具有一阶连续函数，则曲线弧长为x d x f s ba ⎰'+=)(12.推导：取x 为积分变量，曲线)(x f y =上的相应于],[b a 上任意小区间],[x d x x +上的一段弧的长度近似等于曲线在点))(,(x f x 处切线上相应的一段的长度，又切线上相应小段的长度为x d x f y d x d 222))('(1)()(+=+，从而有弧长元素x d x f s d 2))('(1+=，以x d x f 2))('(1+为被积表达式，在],[b a 上作定积分，得弧长公式：x d x f s ba⎰'+=)(12.(2).参数方程情形：设曲线弧的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ，βα≤≤t ，若)(t ϕ及)(t ψ在],[βα上具有连续导数，则曲线弧长为t d t t s ⎰'+'=βαψϕ)()(22.推导：取参数t 为积分变量，曲线上相应于],[βα上任意小区间],[t d t t +上的一段弧的长度的近似值即为弧长元素22)()(y d x d s d +=t d t t )(')('22ψϕ+=，以t d t t )(')('22ψϕ+为被积表达式，在],[βα上作定积分，得弧长公式：t d t t s ⎰+=βαψϕ)(')('22.(3).参数方程情形：设曲线弧的极坐标方程为)(θρρ=，],[βαθ∈，若)(θρ在],[βα上具有连续导数，则曲线弧长为：θθρθρβαd s ⎰+=)(')(22.推导：由直角坐标与极坐标的关系得：⎩⎨⎧==θθρθθρsin )(cos )(y x ，βθα≤≤，即为曲线的以极角θ为参数的参数方程，弧长元素为 θθρθρθθθd d y x s d )(')()]([)]([2222+='+'=，于是曲线弧长为：θθρθρβαd s ⎰+=)(')(22.例11.计算曲线2332x y =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度.解：x d x x d x y s baba⎰⎰+=+=1)('12])1()1[(32)1(322323123a b x +-+=+=.例12.计算摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (θθθa y a x )0(>a 一拱π)20(≤≤θ的弧长.解：由于弧长元素为θθθd y x s d )(')('22+=θθθd a a 2222sin )cos 1(+-=θθd a )cos 1(2-=θθd a 2sin 2=，于是，所求弧长为a d a s 82sin2π20==⎰θθ.例13.求阿基米德螺线)0(>=a a θρ相应于π20≤≤θ一段的一拱. 解：弧长元素为θθρθρd s d )(')(22+=θθd a a 222+=θθd a 21+=，于是，所求弧长为θθd a s ⎰+=π2021⎥⎦⎤+++⎢⎣⎡+=πθθθθ20221ln 2112a )π41π2ln(2π41π22++++=a a .。

《高等数学》第六版同济大学上册课后答案详解

《高等数学》第六版同济大学上册课后答案详解
《高等数学》第六版同济大学上册课后答案详解
第六版同济大学高等数学上册课后答案详解
《高等数学第六版上册》是2007年高等教育出版社出版的图书。

本书是同济大学数学系编《高等数学》的第六版，依据最新的“工科类本科数学基础课程教学基本要求”，为高等院校工科类各专业学生修订而成。

本次修订时对教材的深广度进行了适度的调整,使学习本课程的学生都能达到合格的要求,并设置部分带*号的内容以适应分层次教学的需要;吸收国内外优秀教材的优点对习题的类型和数量进行了凋整和充实,以帮助学生提高数学素养、培养创新意识、掌握运用数学工具去解决实际问题的能力;对书中内容进一步锤炼和调整,将微分方程作为一元函数微积分的应用移到上册,更有利于学生的学习与掌握。

本书分上、下两册出版,上册包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、微分方程等内容,书末还附有二、三阶行列式简介、几种常用的曲线、积分表、习题答案与提示
高等数学是大学必修数学科目之一，当然这对于非数学专业的同学而言，简直就是难上加难，但是对于数学专业同学而言，这就是基础课，必须踏踏实实的学好，否则对于以后的学习真的就是难上加难，牧边我就是深有体会啊。

同济大学线性代数第六版答案(全)

同济大学线性代数第六版答案(全)第一章行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---;解 381141102---=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b cb a ;解 ba c a cb cb a=acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3.(3)222111c b a c b a ;解 222111c b a c b a=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).(4)y x y x x y x y yx y x +++.解 yx y x x y x y yx y x +++=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3).2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:(1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2;解逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n );解逆序数为2)1(-n n :3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个)7 2, 7 4, 7 6(3个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2) (n-1个)(6)1 3 ⋅⋅⋅(2n-1) (2n) (2n-2) ⋅⋅⋅ 2.解逆序数为n(n-1) :3 2(1个)5 2, 5 4 (2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2) (n-1个)4 2(1个)6 2, 6 4(2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n)2, (2n)4, (2n)6,⋅⋅⋅, (2n)(2n-2) (n-1个)3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.解含因子a11a23的项的一般形式为(-1)t a11a23a3r a4s,其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子a11a23的项分别是(-1)t a11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,(-1)t a11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42.4.计算下列各行列式:(1)71100251020214214; 解 71100251020214214010014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---= 143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c .(2)2605232112131412-; 解 2605232112131412-26053212213041224--=====c c 041203212213041224--=====r r 0000003212213041214=--=====r r . (3)efcf bf de cd bd aeac ab ---;解 efcf bf de cd bd aeac ab ---e c b e c b e c b adf ---=abcdef adfbce 4111111111=---=.(4)dc b a 100110011001---. 解d c b a 100110011001---dc b aab ar r 10011001101021---++===== d c a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cd c ada ab dc ccdad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a -b )3;证明1112222b b a a b ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3 . (2)y x z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bxaz z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b a )(33+=.(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2, c 2-c 1得) 5232125232125232125232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2得)022122212221222122222=++++=d d c c b b a a . (4)444422221111d c b a d c b a d c b a =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ); 证明 444422221111d c b a d c b a d c b a )()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b ad a c a b ---------=)()()(111))()((222a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---=))(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c b d b c a d a c a b ++-++------=)()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----= =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ). (5)12211 000 00 1000 01a x a a a a x x xn n n+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--- =x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n .证明用数学归纳法证明.当n =2时, 2121221a x a x a x a x D ++=+-=, 命题成立. 假设对于(n -1)阶行列式命题成立, 即 D n -1=x n -1+a 1 x n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -2x +a n -1, 则D n 按第一列展开, 有 11100 100 01)1(11-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--+=+-xx a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n . 因此, 对于n 阶行列式命题成立.6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转, 依次得n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 11112 n nn n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= , 11113 a a a a D n nnn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,证明D D D n n 2)1(21)1(--==, D 3=D .证明因为D =det(a ij ), 所以 nnn n n n nnnn a a a a a a a a a a D 2211111111111 )1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-- )1()1(331122111121nnn n nn n n a a a a a a a a D D n n n n 2)1()1()2( 21)1()1(--+-+⋅⋅⋅++-=-=.同理可证 nnn n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=- )1(11112)1(2D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-=. D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.7. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):(1)aaD n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0; 解aa a a a D n 0 0010 000 00 000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开) )1()1(10 00 00 000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n aa a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a an n n nn a a a+⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1).(2)xa aa x a a a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得 ax x a ax x a a x x a a a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0, 再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1. (3)111 1 )( )1()( )1(1111⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ; 解根据第6题结果, 有 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=---++此行列式为范德蒙德行列式.∏≥>≥++++--+--=11)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏≥>≥++---=112)1()]([)1(j i n n n j i∏≥>≥++⋅⋅⋅+-++-⋅-⋅-=1121)1(2)1()()1()1(j i n n n n n j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i .(4)nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112; 解nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112(按第1行展开) nn n n n nd d c d c b a b a a 00011111111----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=0)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+. 再按最后一行展开得递推公式D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2. 于是 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(.而 111111112c b d a d c b a D -==, 所以 ∏=-=n i i i i i n c b d a D 12)(. (5) D =det(a ij ), 其中a ij =|i -j |; 解 a ij =|i -j |, 04321 4 01233 10122 21011 3210)det(⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n 043211 11111 11111 11111 1111 2132⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=====n n n n r r r r15242321 0 22210 02210 00210 0001 1213-⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(-1)n -1(n -1)2n -2.(6)nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121, 其中a 1a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n≠0.解nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 111 1121 nn n n a a a a a a a a a c c c c +-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=====--100001 000 100 0100 0100 0011332212132 1111312112111000011 000 00 11000 01100 001 ------+-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nn n a a a a a a a a∑=------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i n n a a a a a a a a 1111131******** 00010 000 00 10000 01000 001)11)((121∑=+=ni i n a a a a .8. 用克莱姆法则解下列方程组: (1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解因为 14211213513241211111-=----=D , 142112105132412211151-=------=D , 284112035122412111512-=-----=D , 426110135232422115113-=----=D , 14202132132212151114=-----=D , 所以 111==DD x , 222==D D x , 333==D D x , 144-==D Dx .(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x .解因为 665510006510006510065100065==D , 150751001651000651000650000611==D , 114551010651000650000601000152-==D , 703511650000601000051001653==D , 39551601000051000651010654-==D , 2121100005100065100651100655==D , 所以66515071=x , 66511452-=x , 6657033=x , 6653954-=x , 6652124=x .9. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解系数行列式为μλμμμλ-==1211111D .令D =0, 得 μ=0或λ=1.于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解系数行列式为λλλλλλλ--+--=----=101112431111132421D=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得λ=0, λ=2或λ=3.于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解由已知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ,⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T .4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫⎝⎛=49635.(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问:(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148,但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610,所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0;解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k .解首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫. 用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ,由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.证明因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .证明充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB )T =(BA )T =A T B T =AB , 即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以 AB =(AB )T =B T A T =BA . 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A ,故 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθc o s s i n s i n c o s A . |A |=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A ,所以 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311111012112X ;解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012.13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x ,从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x ,故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 两端同时右乘(E -A )-1, 就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.证明由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E , 或 E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E , 或 E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得|A 2-A |=2, 即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E ⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1, )3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )-1-5A *|.解因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*.证明由*||11A A A =-, 得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有|A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0, 从而A *也可逆.因为A *=|A |A -1, 所以 (A *)-1=|A |-1A .又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以 (A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明: (1)若|A |=0, 则|A *|=0; (2)|A *|=|A |n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E , 由此得 A =A A *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0. (2)由于*||11A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到|A ||A *|=|A |n . 若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立. 因此|A *|=|A |n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解由AB +E =A 2+B 得 (A -E )B =A 2-E , 即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E )可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B . 解由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E , B =-8(A *-2E )-1A -1 =-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B . 解由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1.|P |=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001,故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731.24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明因为A -1(A +B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A . 26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121.解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A , 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解 4100120021100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而 01111|||||||| ==D C B A ,故 |||||||| D C B A D C B A ≠.28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4.解令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,则 ⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A , 1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求 (1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ; 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413BC OC O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nEBD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵: (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A B C O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001.(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320(下一步: r 2⨯2+(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000310010020(下一步: r 1÷2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010.(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311;解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011. (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132(下一步: r 1-2r 2, r 3-3r 2, r 4-2r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3-8r 1, r 4-7r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2⨯(-1), r 4-r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00000410001111020201(下一步: r 2+r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000410003011020201.2. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是E (1, 2(-1)) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010101.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654.3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------20104301100001001200110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------106126311101042111000010000100001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------10612631110104211. 4. (1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132231B , 求X 使AX =B ;解因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--412315210 100010001 ~r ,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==-4123152101B A X .(2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B . 解考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(TTB A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---411007101042001 ~r ,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X ,从而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-4741121BA X . 5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A , 求X .解原方程化为(A -2E )X =A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011100101010110001~,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X .6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式.例如, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********A , R (A )=3.0000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式.7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样?解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013(下一步: r 1↔r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443120131211(下一步: r 2-3r 1, r 3-r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----564056401211(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211, 矩阵的2秩为, 41113-=-是一个最高阶非零子式.(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073*********;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073*********(下一步: r 1-r 2, r 2-2r 1, r 3-7r 1. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步: r 3-3r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431, 矩阵的秩是2, 71223-=-是一个最高阶非零子式.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812.解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812(下一步: r 1-2r 4, r 2-2r 4, r 3-3r 4. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------023*********63071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3-16r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-023010*********71210 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000100007121002301, 矩阵的秩为3, 070023085570≠=-是一个最高阶非零子式.10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).证明根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B .11. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2; (3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数).(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000001001021,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x xx x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010*********k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====0004321x x x x ,故方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x .(4)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----3127161311423327543~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000001720171910171317301,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x xx x ,故方程组的解为。

同济大学第六版高等数学上册课后答案全集

高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1?11? 设A ?(??? ?5)?(5? ??)? B ?[?10? 3)? 写出A ?B ? A ?B ? A \B 及A \(A \B )的表达式? 解 A ?B ?(??? 3)?(5? ??)? A ?B ?[?10? ?5)?A \B ?(??? ?10)?(5? ??)? A \(A \B )?[?10? ?5)?2? 设A 、B 是任意两个集合? 证明对偶律? (A ?B )C ?A C ?B C ? 证明因为x ?(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ?A C 或x ?B C ? x ?A C ?B C ? 所以 (A ?B )C ?A C ?B C ?3? 设映射f ? X ?Y ? A ?X ? B ?X ? 证明(1)f (A ?B )?f (A )?f (B )? (2)f (A ?B )?f (A )?f (B )? 证明因为y ?f (A ?B )??x ?A ?B ? 使f (x )?y?(因为x ?A 或x ?B ) y ?f (A )或y ?f (B ) ? y ?f (A )?f (B )?所以 f (A ?B )?f (A )?f (B )? (2)因为y ?f (A ?B )??x ?A ?B ? 使f (x )?y ?(因为x ?A 且x ?B ) y ?f (A )且y ?f (B )? y ? f (A )?f (B )? 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B )?4? 设映射f ? X ?Y ? 若存在一个映射g ? Y ?X ? 使X I f g =ο? Y I g f =ο? 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射? 即对于每一个x ?X ? 有I X x ?x ? 对于每一个y ?Y ? 有I Y y ?y ? 证明? f 是双射? 且g 是f 的逆映射? g ?f ?1?证明因为对于任意的y ?Y ? 有x ?g (y )?X ? 且f (x )?f [g (y )]?I y y ?y ? 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像? 所以f 为X 到Y 的满射?又因为对于任意的x 1?x 2? 必有f (x 1)?f (x 2)? 否则若f (x 1)?f (x 2)?g [ f (x 1)]?g [f (x 2)] ? x 1?x 2? 因此f 既是单射? 又是满射? 即f 是双射?对于映射g ? Y ?X ? 因为对每个y ?Y ? 有g (y )?x ?X ? 且满足f (x )?f [g (y )]?I y y ?y ? 按逆映射的定义? g 是f 的逆映射?5? 设映射f ? X ?Y ? A ?X ? 证明? (1)f ?1(f (A ))?A ?(2)当f 是单射时? 有f ?1(f (A ))?A ?证明 (1)因为x ?A ? f (x )?y ?f (A ) ? f ?1(y )?x ?f ?1(f (A ))? 所以 f ?1(f (A ))?A ?(2)由(1)知f ?1(f (A ))?A ?另一方面? 对于任意的x ?f ?1(f (A ))?存在y ?f (A )? 使f ?1(y )?x ?f (x )?y ? 因为y ?f (A )且f 是单射? 所以x ?A ? 这就证明了f ?1(f (A ))?A ? 因此f ?1(f (A ))?A ? 6? 求下列函数的自然定义域? (1)23+=x y ?解由3x ?2?0得32->x ? 函数的定义域为) ,32[∞+-?(2)211xy -=?解由1?x 2?0得x ??1? 函数的定义域为(??? ?1)?(?1? 1)?(1? ??)? (3)211x x y --=?解由x ?0且1?x 2?0得函数的定义域D ?[?1? 0)?(0? 1]? (4)241x y -=? 解由4?x 2?0得 |x |?2? 函数的定义域为(?2? 2)? (5)x y sin =?解由x ?0得函数的定义D ?[0? ??)? (6) y ?tan(x ?1)?解由21π≠+x (k ?0? ?1? ?2? ? ? ?)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k ?0? ?1? ?2? ? ? ?)?(7) y ?arcsin(x ?3)?解由|x ?3|?1得函数的定义域D ?[2? 4]?(8)xx y 1arctan 3+-=?解由3?x ?0且x ?0得函数的定义域D ?(??? 0)?(0? 3)? (9) y ?ln(x ?1)?解由x ?1?0得函数的定义域D ?(?1? ??)? (10)x e y 1=?解由x ?0得函数的定义域D ?(??? 0)?(0? ??)?7? 下列各题中? 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )?lg x 2? g (x )?2lg x ? (2) f (x )?x ? g (x )?2x ? (3)334)(x x x f -=?31)(-=x x x g ?(4)f (x )?1? g (x )?sec 2x ?tan 2x ? 解 (1)不同? 因为定义域不同?(2)不同? 因为对应法则不同? x ?0时? g (x )??x ? (3)相同? 因为定义域、对应法则均相相同? (4)不同? 因为定义域不同?8? 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x ? 求)6(πϕ? )4(πϕ? )4(πϕ-? ?(?2)? 并作出函数y ??(x )的图形? 解 21|6sin |)6(==ππϕ? 22|4sin |)4(==ππϕ? 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ? 0)2(=-ϕ? 9? 试证下列函数在指定区间内的单调性? (1)x x y -=1? (??? 1)?(2)y ?x ?ln x ? (0? ??)?证明 (1)对于任意的x 1? x 2?(??? 1)? 有1?x 1?0? 1?x 2?0? 因为当x 1?x 2时? 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y ? 所以函数x x y -=1在区间(??? 1)内是单调增加的?(2)对于任意的x 1? x 2?(0? ??)? 当x 1?x 2时? 有 0ln)()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y ? 所以函数y ?x ?ln x 在区间(0? ??)内是单调增加的?10? 设 f (x )为定义在(?l ? l )内的奇函数? 若f (x )在(0? l )内单调增加? 证明f (x )在(?l ? 0)内也单调增加?证明对于?x 1? x 2?(?l ? 0)且x 1?x 2? 有?x 1? ?x 2?(0? l )且?x 1??x 2?因为f (x )在(0? l )内单调增加且为奇函数? 所以f (?x 2)?f (?x 1)? ?f (x 2)??f (x 1)? f (x 2)?f (x 1)?这就证明了对于?x 1? x 2?(?l ? 0)? 有f (x 1)? f (x 2)? 所以f (x )在(?l ? 0)内也单调增加? 11? 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(?l ? l )上的? 证明? (1)两个偶函数的和是偶函数? 两个奇函数的和是奇函数?(2)两个偶函数的乘积是偶函数? 两个奇函数的乘积是偶函数? 偶函数与奇函数的乘积是奇函数?证明 (1)设F (x )?f (x )?g (x )? 如果f (x )和g (x )都是偶函数? 则 F (?x )?f (?x )?g (?x )?f (x )?g (x )?F (x )? 所以F (x )为偶函数? 即两个偶函数的和是偶函数?如果f (x )和g (x )都是奇函数? 则F (?x )?f (?x )?g (?x )??f (x )?g (x )??F (x )? 所以F (x )为奇函数? 即两个奇函数的和是奇函数?(2)设F (x )?f (x )?g (x )? 如果f (x )和g (x )都是偶函数? 则 F (?x )?f (?x )?g (?x )?f (x )?g (x )?F (x )? 所以F (x )为偶函数? 即两个偶函数的积是偶函数? 如果f (x )和g (x )都是奇函数? 则F (?x )?f (?x )?g (?x )?[?f (x )][?g (x )]?f (x )?g (x )?F (x )? 所以F (x )为偶函数? 即两个奇函数的积是偶函数? 如果f (x )是偶函数? 而g (x )是奇函数? 则F (?x )?f (?x )?g (?x )?f (x )[?g (x )]??f (x )?g (x )??F (x )? 所以F (x )为奇函数? 即偶函数与奇函数的积是奇函数?12? 下列函数中哪些是偶函数? 哪些是奇函数? 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y ?x 2(1?x 2)? (2)y ?3x 2?x 3?(3)2211x x y +-=? (4)y ?x (x ?1)(x ?1)? (5)y ?sin x ?cos x ?1?(6)2x x a a y -+=? 解 (1)因为f (?x )?(?x )2[1?(?x )2]?x 2(1?x 2)?f (x )? 所以f (x )是偶函数? (2)由f (?x )?3(?x )2?(?x )3?3x 2?x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数?(3)因为())(111)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=-? 所以f (x )是偶函数? (4)因为f (?x )?(?x )(?x ?1)(?x ?1)??x (x ?1)(x ?1)??f (x )? 所以f (x )是奇函数? (5)由f (?x )?sin(?x )?cos(?x )?1??sin x ?cos x ?1可见f (x )既非奇函数又非偶函数?(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----? 所以f (x )是偶函数?13? 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数? 指出其周期? (1)y ?cos(x ?2)?解是周期函数? 周期为l ?2?? (2)y ?cos 4x ?解是周期函数? 周期为2π=l ?(3)y ?1?sin ?x ?解是周期函数? 周期为l ?2? (4)y ?x cos x ?解不是周期函数? (5)y ?sin 2x ?解是周期函数? 周期为l ??? 14? 求下列函数的反函数? (1)31+=x y ?解由31+=x y 得x ?y 3?1? 所以31+=x y 的反函数为y ?x 3?1? (2)xx y +-=11?解由x x y +-=11得y yx +-=11? 所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11?(3)dcx b ax y ++=(ad ?bc ?0)?解由d cx b ax y ++=得a cy bdy x -+-=? 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=?(4) y ?2sin3x ?解由y ?2sin 3x 得2arcsin 31yx =? 所以y ?2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =?(5) y ?1?ln(x ?2)?解由y ?1?ln(x ?2)得x ?e y ?1?2? 所以y ?1?ln(x ?2)的反函数为y ?e x ?1?2?(6)122+=xxy ? 解由122+=x x y 得y y x -=1log 2? 所以122+=x x y 的反函数为x x y -=1log 2?15? 设函数f (x )在数集X 上有定义? 试证? 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界?证明先证必要性? 设函数f (x )在X 上有界? 则存在正数M ? 使|f (x )|?M ? 即?M ?f (x )?M ? 这就证明了f (x )在X 上有下界?M 和上界M ?再证充分性? 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2? 即K 1?f (x )? K 2 ? 取M ?max{|K 1|? |K 2|}? 则 ?M ? K 1?f (x )? K 2?M ? 即 |f (x )|?M ?这就证明了f (x )在X 上有界?16? 在下列各题中? 求由所给函数复合而成的函数? 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值?(1) y ?u 2? u ?sin x ? 61π=x ? 32π=x ?解 y ?sin 2x ? 41)21(6sin 221===πy ?43)23(3sin 222===πy ?(2) y ?sin u ? u ?2x ? 81π=x ?42π=x ?解 y ?sin2x ? 224sin )82sin(1==⋅=ππy ?12sin )42sin(2==⋅=ππy ? (3)u y =? u ?1?x 2? x 1?1? x 2? 2?解 21x y +=? 21121=+=y ? 52122=+=y ? (4) y ?e u ? u ?x 2? x 1 ?0? x 2?1? 解 2x e y =? 1201==e y ? e e y ==212?(5) y ?u 2 ? u ?e x ? x 1?1? x 2??1?解 y ?e 2x ? y 1?e 2?1?e 2? y 2?e 2?(?1)?e ?2?17? 设f (x )的定义域D ?[0? 1]? 求下列各函数的定义域? (1) f (x 2)?解由0?x 2?1得|x |?1? 所以函数f (x 2)的定义域为[?1? 1]? (2) f (sin x )?解由0?sin x ?1得2n ??x ?(2n ?1)? (n ?0? ?1? ?2? ? ?)? 所以函数f (sin x )的定义域为 [2n ?? (2n ?1)?] (n ?0? ?1? ?2? ? ?) ? (3) f (x ?a )(a >0)?解由0?x ?a ?1得?a ?x ?1?a ? 所以函数f (x ?a )的定义域为[?a ? 1?a ]? (4) f (x ?a )?f (x ?a )(a ?0)?解由0?x ?a ?1且0?x ?a ?1得? 当210≤<a 时? a ?x ?1?a ? 当21>a 时? 无解? 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a ? 1?a ]? 当21>a 时函数无意义?18? 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1||11||01||1)(x x x x f ? g (x )?e x ? 求f [g (x )]和g [f (x )]? 并作出这两个函数的图形? 解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f ? 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10001)]([x x x x g f ? ⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1|| e 1|| )]([101)(x e x x e e x f g x f ? 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g ?19? 已知水渠的横断面为等腰梯形? 斜角??40?(图1?37)? 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时? 求湿周L (L ?AB ?BC ?CD )与水深h 之间的函数关系式? 并指明其定义域? 图1?37解 ο40sin h DC AB ==? 又从)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++ο得h hS BC ⋅-=ο40cot 0? 所以h h S L οο40sin 40cos 20-+=? 自变量h 的取值范围应由不等式组h ?0?040cot 0>⋅-h hS ο确定? 定义域为ο40cot 00S h <<?20? 收敛音机每台售价为90元? 成本为60元? 厂方为鼓励销售商大量采购? 决定凡是订购量超过100台以上的? 每多订购1台? 售价就降低1分? 但最低价为每台75元? (1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数? (2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数? (3)某一商行订购了1000台? 厂方可获利润多少？解 (1)当0?x ?100时? p ?90?令0?01(x 0?100)?90?75? 得x 0?1600? 因此当x ?1600时? p ?75? 当100?x ?1600时?p ?90?(x ?100)?0?01?91?0? 01x ? 综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 75160010001.091100090x x x x p ? (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P ?(3) P ?31?1000?0?01?10002?21000(元)?习题1?21? 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势? 写出它们的极限? (1)nn x 21=?解当n ??时? nn x 21=?0? 021lim =∞→n n ? (2)nx n n 1)1(-=?解当n ??时? n x n n 1)1(-=?0? 01)1(lim =-∞→nn n ?(3)212nx n +=?解当n ??时? 212n x n +=?2? 2)12(lim 2=+∞→n n ? (4)11+-=n n x n ?解当n ??时? 12111+-=+-=n n n x n ?0? 111lim =+-∞→n n n ?(5) x n ?n (?1)n ?解当n ??时? x n ?n (?1)n 没有极限?2? 设数列{x n }的一般项n n x n 2cos π=? 问n n x ∞→lim ?? 求出N ? 使当n ?N 时? x n 与其极限之差的绝对值小于正数? ? 当? ?0?001时? 求出数N ? 解 0lim =∞→n n x ?n n n x n 1|2cos ||0|≤=-π? ?? ?0? 要使|x n ?0|?? ? 只要ε<n 1? 也就是ε1>n ? 取]1[ε=N ? 则?n ?N ? 有|x n ?0|?? ?当? ?0?001时? ]1[ε=N ?1000?3? 根据数列极限的定义证明?(1)01lim 2=∞→n n ?分析要使ε<=-221|01|n n ? 只须ε12>n ? 即ε1>n ? 证明因为???0? ?]1[ε=N ? 当n ?N 时? 有ε<-|01|2n ? 所以01lim 2=∞→n n ?(2)231213lim =++∞→n n n ?分析要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|? 只须ε<n41? 即ε41>n ? 证明因为???0? ?]41[ε=N ? 当n ?N 时? 有ε<-++|231213|n n ? 所以231213lim =++∞→n n n ?(3)1lim22=+∞→na n n ?分析要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|? 只须ε2a n >?证明因为???0? ?][2εa N =? 当?n ?N 时? 有ε<-+|1|22n a n ? 所以1lim 22=+∞→n a n n ?(4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→43421个n n ? 分析要使|0?99 ? ? ? 9?1|ε<=-1101n ? 只须1101-n ?? ? 即ε1lg 1+>n ? 证明因为???0? ?]1lg 1[ε+=N ? 当?n ?N 时? 有|0?99 ? ? ? 9?1|?? ? 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→43421个n n ? 4? a u n n =∞→lim ? 证明||||lim a u n n =∞→? 并举例说明? 如果数列{|x n |}有极限? 但数列{x n }未必有极限?证明因为a u n n =∞→lim ? 所以???0? ?N ?N ? 当n ?N 时? 有ε<-||a u n ? 从而||u n |?|a ||?|u n ?a |?? ?这就证明了||||lim a u n n =∞→?数列{|x n |}有极限? 但数列{x n }未必有极限? 例如1|)1(|lim =-∞→n n ? 但n n )1(lim -∞→不存在?5? 设数列{x n }有界? 又0lim =∞→n n y ? 证明? 0lim =∞→n n n y x ?证明因为数列{x n }有界? 所以存在M ? 使?n ?Z ? 有|x n |?M ?又0lim =∞→n n y ? 所以???0? ?N ?N ? 当n ?N 时? 有M y n ε<||? 从而当n ?N 时? 有εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|?所以0lim =∞→n n n y x ?6? 对于数列{x n }? 若x 2k ?1?a (k ??)? x 2k ?a (k ??)? 证明? x n ?a (n ??)?证明因为x 2k ?1?a (k ??)? x 2k ?a (k ??)? 所以???0? ?K 1? 当2k ?1?2K 1?1时? 有| x 2k ?1?a |?? ? ?K 2? 当2k ?2K 2时? 有|x 2k ?a |?? ?取N ?max{2K 1?1? 2K 2}? 只要n ?N ? 就有|x n ?a |?? ? 因此x n ?a (n ??)?习题1?31? 根据函数极限的定义证明? (1)8)13(lim 3=-→x x ?分析因为|(3x ?1)?8|?|3x ?9|?3|x ?3|? 所以要使|(3x ?1)?8|?? ? 只须ε31|3|<-x ?证明因为???0? ?εδ31=? 当0?|x ?3|??时? 有|(3x ?1)?8|?? ? 所以8)13(lim 3=-→x x ?(2)12)25(lim 2=+→x x ?分析因为|(5x ?2)?12|?|5x ?10|?5|x ?2|? 所以要使|(5x ?2)?12|?? ? 只须ε51|2|<-x ?证明因为?? ?0? ?εδ51=? 当0?|x ?2|??时? 有 |(5x ?2)?12|?? ? 所以12)25(lim 2=+→x x ?(3)424lim22-=+--→x x x ? 分析因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x ? 所以要使ε<--+-)4(242x x ? 只须ε<--|)2(|x ? 证明因为?? ?0? ?εδ=? 当0?|x ?(?2)|??时? 有ε<--+-)4(242x x ? 所以424lim22-=+--→x x x ? (4)21241lim 321=+--→x x x ? 分析因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x ? 所以要使ε<-+-212413x x ? 只须ε21|)21(|<--x ? 证明因为?? ?0? ?εδ21=? 当δ<--<|)21(|0x 时? 有ε<-+-212413x x ?所以21241lim 321=+--→x x x ?2? 根据函数极限的定义证明?(1)2121lim 33=+∞→x x x ? 分析因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+? 所以要使ε<-+212133x x ? 只须ε<3||21x ? 即321||ε>x ? 证明因为?? ?0? ?321ε=X ? 当|x |?X 时? 有ε<-+212133x x ? 所以2121lim 33=+∞→x x x ? (2)0sin lim =+∞→xx x ?分析因为xx x x x 1|sin |0sin ≤=-?所以要使ε<-0sin x x ? 只须ε<x1? 即21ε>x ?证明因为???0? ?21ε=X ? 当x ?X 时? 有ε<-0sin xx ?所以0sin lim =+∞→xx x ?3? 当x ?2时? y ?x 2?4? 问?等于多少? 使当|x ?2|<?时? |y ?4|<0?001？解由于当x ?2时? |x ?2|?0? 故可设|x ?2|?1? 即1?x ?3? 要使|x 2?4|?|x ?2||x ?2|?5|x ?2|?0?001? 只要0002.05001.0|2|=<-x ?取??0?0002? 则当0?|x ?2|??时? 就有|x 2?4|?0? 001?4? 当x ??时? 13122→+-=x x y ? 问X 等于多少? 使当|x |?X 时? |y ?1|?0?01? 解要使01.034131222<+=-+-x x x ? 只要397301.04||=->x ? 故397=X ?5? 证明函数f (x )?|x |当x ?0时极限为零?证明因为|f (x )?0|?||x |?0|?|x |?|x ?0|? 所以要使|f (x )?0|??? 只须|x |???因为对???0? ????? 使当0?|x ?0|??? 时有 |f (x )?0|?||x |?0|??? 所以0||lim 0=→x x ?6? 求,)(xx x f = x x x ||)(=ϕ当x ?0时的左﹑右极限? 并说明它们在x ?0时的极限是否存在?证明因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f ?11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ?)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-?所以极限)(lim 0x f x →存在?因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ?1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ?)(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-?所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在?7? 证明? 若x ???及x ???时? 函数f (x )的极限都存在且都等于A ? 则A x f x =∞→)(lim ?证明因为A x f x =-∞→)(lim ? A x f x =+∞→)(lim ? 所以??>0??X 1?0? 使当x ??X 1时? 有|f (x )?A |?? ??X 2?0? 使当x ?X 2时? 有|f (x )?A |?? ?取X ?max{X 1? X 2}? 则当|x |?X 时? 有|f (x )?A |?? ? 即A x f x =∞→)(lim ?8? 根据极限的定义证明? 函数f (x )当x ?x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等?证明先证明必要性? 设f (x )?A (x ?x 0)? 则??>0? ???0? 使当0<|x ?x 0|<? 时? 有 |f (x )?A |<? ?因此当x 0??<x <x 0和x 0<x <x 0?? 时都有 |f (x )?A |<? ?这说明f (x )当x ?x 0时左右极限都存在并且都等于A ? 再证明充分性? 设f (x 0?0)?f (x 0?0)?A ? 则??>0? ??1>0? 使当x 0??1<x <x 0时? 有| f (x )?A <? ? ??2>0? 使当x 0<x <x 0+?2时? 有| f (x )?A |<? ?取??min{?1? ?2}? 则当0<|x ?x 0|<? 时? 有x 0??1<x <x 0及x 0<x <x 0+?2 ? 从而有 | f (x )?A |<? ? 即f (x )?A (x ?x 0)?9? 试给出x ??时函数极限的局部有界性的定理? 并加以证明?解 x ??时函数极限的局部有界性的定理? 如果f (x )当x ??时的极限存在? 则存在X ?0及M ?0? 使当|x |?X 时? |f (x )|?M ?证明设f (x )?A (x ??)? 则对于? ?1? ?X ?0? 当|x |?X 时? 有|f (x )?A |?? ?1? 所以 |f (x )|?|f (x )?A ?A |?|f (x )?A |?|A |?1?|A |?这就是说存在X ?0及M ?0? 使当|x |?X 时? |f (x )|?M ? 其中M ?1?|A |? 习题1?41? 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之? 解不一定?例如? 当x ?0时? ?(x )?2x ? ?(x )?3x 都是无穷小? 但32)()(lim0=→x x x βα? )()(x x βα不是无穷小?2? 根据定义证明?(1)392+-=x x y 当x ?3时为无穷小;(2)xx y 1sin =当x ?0时为无穷小?证明 (1)当x ?3时|3|39||2-=+-=x x x y ? 因为???0? ???? ? 当0?|x ?3|??时? 有 εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y ?所以当x ?3时392+-=x x y 为无穷小? (2)当x ?0时|0||1sin |||||-≤=x xx y ? 因为???0? ???? ? 当0?|x ?0|??时? 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ?所以当x ?0时xx y 1sin =为无穷小?3? 根据定义证明? 函数xx y 21+=为当x ?0时的无穷大? 问x 应满足什么条件? 能使|y |?104？证明分析2||11221||-≥+=+=x x x x y ? 要使|y |?M ? 只须M x >-2||1? 即21||+<M x ?证明因为?M ?0? ?21+=M δ? 使当0?|x ?0|??时? 有M xx >+21?所以当x ?0时? 函数xx y 21+=是无穷大?取M ?104? 则21014+=δ? 当2101|0|04+<-<x 时? |y |?104? 4? 求下列极限并说明理由? (1)xx x 12lim +∞→;(2)xx x --→11lim 20? 解 (1)因为xx x 1212+=+? 而当x ?? 时x 1是无穷小? 所以212lim =+∞→x x x ?(2)因为x xx +=--1112(x ?1)? 而当x ?0时x 为无穷小? 所以111lim 20=--→x x x ?解函数y ?x cos x 在(??? ??)内无界?这是因为?M ?0? 在(??? ??)内总能找到这样的x ? 使得|y (x )|?M ? 例如y (2k ?)?2k ? cos2k ??2k ? (k ?0? 1? 2? ? ? ?)?当k 充分大时? 就有| y (2k ?)|?M ?当x ??? 时? 函数y ?x cos x 不是无穷大?这是因为?M ?0? 找不到这样一个时刻N ? 使对一切大于N 的x ? 都有|y (x )|?M ? 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k ?0? 1? 2? ? ? ?)?对任何大的N ? 当k 充分大时? 总有N k x >+=22ππ? 但|y (x )|?0?M ?7? 证明? 函数xx y 1sin 1=在区间(0? 1]上无界? 但这函数不是当x ?0+时的无穷大?证明函数xx y 1sin 1=在区间(0? 1]上无界? 这是因为?M ?0? 在(0? 1]中总可以找到点x k ? 使y (x k )?M ? 例如当221ππ+=k x k (k ?0? 1? 2? ? ? ?)时? 有22)(ππ+=k x y k ?当k 充分大时? y (x k )?M ?当x ?0+ 时? 函数xx y 1sin 1=不是无穷大? 这是因为?M ?0? 对所有的??0? 总可以找到这样的点x k ? 使0?x k ??? 但y (x k )?M ? 例如可取πk x k 21=(k ?0? 1? 2? ? ? ?)?当k 充分大时? x k ??? 但y (x k )?2k ?sin2k ??0?M ? 习题1?51? 计算下列极限?(1)35lim 22-+→x x x ? 解 9325235lim222-=-+=-+→x x x ? (2)13lim 223+-→x x x ? 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x ?(3)112lim 221-+-→x x x x ? 解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x ? (4)xx x x x x 2324lim2230++-→? 解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x ? (5)hx h x h 220)(lim -+→?解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→?(6))112(lim 2xx x +-∞→? 解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x ? (7)121lim 22---∞→x x x x ? 解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x xx x ? (8)13lim 242--+∞→x x x x x ? 解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数? 极限为零)? 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x ? (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ? 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x ?(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→?解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x ? (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→? 解 2211)21(1lim )2141211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n ?(12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→?解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n ? (13)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→?解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同? 极限为最高次项系数之比)?或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n ? (14))1311(lim 31x x x ---→?解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim21-=+++-=→x x x x ? 2? 计算下列极限? (1)2232)2(2lim -+→x x x x ? 解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x ? 所以∞=-+→2232)2(2limx x x x ? (2)12lim 2+∞→x x x ? 解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数)? (3))12(lim 3+-∞→x x x ?解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数)?3? 计算下列极限? (1)xx x 1sin lim 20→?解 01sin lim 20=→xx x (当x ?0时? x 2是无穷小? 而x 1sin 是有界变量)?(2)xx x arctan lim ∞→?解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x ??时? x 1是无穷小?而arctan x 是有界变量)?4? 证明本节定理3中的(2)? 习题1?51? 计算下列极限?(1)35lim 22-+→x x x ? 解 9325235lim 222-=-+=-+→x x x ? (2)13lim 223+-→x x x ? 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x ? (3)112lim 221-+-→x x x x ? 解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x ? (4)xx x x x x 2324lim2230++-→? 解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x ? (5)hx h x h 220)(lim -+→?解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→? (6))112(lim 2x x x +-∞→?解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x ? (7)121lim 22---∞→x x x x ? 解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x ? (8)13lim 242--+∞→x x x x x ? 解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数? 极限为零)? 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x ? (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ?解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x ?(10))12)(11(lim 2xx x -+∞→? 解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x ? (11))21 41211(lim nn +⋅⋅⋅+++∞→?解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n ? (12)2)1( 321limnn n -+⋅⋅⋅+++∞→? 解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n ? (13)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→?解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同? 极限为最高次项系数之比)?或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n ? (14))1311(lim 31x x x ---→?解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim21-=+++-=→x x x x ? 2? 计算下列极限? (1)2232)2(2lim -+→x x x x ? 解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x ? 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x ? (2)12lim 2+∞→x x x ?解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数)? (3))12(lim 3+-∞→x x x ?解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数)?3? 计算下列极限? (1)xx x 1sin lim 20→?解 01sin lim 20=→xx x (当x ?0时? x 2是无穷小? 而x 1sin 是有界变量)?(2)xx x arctan lim ∞→?解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x ??时? x 1是无穷小?而arctan x 是有界变量)?4? 证明本节定理3中的(2)? 习题 1?71? 当x ?0时? 2x ?x 2 与x 2?x 3相比? 哪一个是高阶无穷小？解因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x x x x x ?所以当x ?0时? x 2?x 3是高阶无穷小? 即x 2?x 3?o (2x ?x 2)?2? 当x ?1时? 无穷小1?x 和(1)1?x 3? (2))1(212x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x ? 所以当x ?1时? 1?x 和1?x 3是同阶的无穷小? 但不是等价无穷小?(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x ? 所以当x ?1时? 1?x 和)1(212x -是同阶的无穷小? 而且是等价无穷小?3? 证明? 当x ?0时? 有? (1) arctan x ~x ?(2)2~1sec 2x x -? 证明 (1)因为1tan limarctan lim 00==→→y yxx y x (提示? 令y ?arctan x ? 则当x ?0时? y ?0)? 所以当x ?0时? arctan x ~x ?(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x xx x x x x ? 所以当x ?0时? 2~1sec 2x x -? 4? 利用等价无穷小的性质? 求下列极限? (1)xx x 23tan lim 0→?(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n ? m 为正整数)?(3)x x x x 30sin sin tan lim -→? (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x ?解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x ?(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00? (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x ? (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x ?0)?23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x ?0)? x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=-+(x ?0)? 所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x ?5? 证明无穷小的等价关系具有下列性质? (1) ? ~? (自反性)?(2) 若? ~?? 则?~?(对称性)? (3)若? ~?? ?~?? 则?~?(传递性)? 证明 (1)1lim =αα? 所以? ~? ?(2) 若? ~?? 则1lim =βα? 从而1lim=αβ? 因此?~? ? (3) 若? ~?? ?~?? 1lim limlim =⋅=βαγβγα? 因此?~?? 习题1?81? 研究下列函数的连续性? 并画出函数的图形?(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ?解已知多项式函数是连续函数? 所以函数f (x )在[0? 1)和(1? 2]内是连续的? 在x ?1处? 因为f (1)?1? 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x ? 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ?所以1)(lim 1=→x f x ? 从而函数f (x )在x ?1处是连续的?综上所述，函数f (x )在[0? 2]上是连续函数?(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f ?解只需考察函数在x ??1和x ?1处的连续性? 在x ??1处? 因为f (?1)??1? 并且)1(11lim )(lim 11-≠==---→-→f x f x x ?)1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ?所以函数在x ??1处间断? 但右连续? 在x ?1处? 因为f (1)?1? 并且1lim )(lim 11==--→→x x f x x ?f (1)? 11lim )(lim 11==++→→x x x f ?f (1)?所以函数在x ?1处连续?综合上述讨论? 函数在(??? ?1)和(?1? ??)内连续? 在x ??1处间断? 但右连续?2? 下列函数在指出的点处间断? 说明这些间断点属于哪一类? 如果是可去间断点? 则补充或改变函数的定义使它连续?(1)23122+--=x x x y ? x ?1? x ?2? 解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y ? 因为函数在x ?2和x ?1处无定义? 所以x ?2和x ?1是函数的间断点?因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x ? 所以x ?2是函数的第二类间断点?因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x ? 所以x ?1是函数的第一类间断点? 并且是可去间断点? 在x ?1处?令y ??2? 则函数在x ?1处成为连续的?(2)x x y tan =? x ?k ? 2ππ+=k x (k ?0? ?1? ?2? ? ? ?)?解函数在点x ?k ?(k ?Z)和2ππ+=k x (k ?Z)处无定义? 因而这些点都是函数的间断点?因∞=→x x k x tan lim π(k ?0)? 故x ?k ?(k ?0)是第二类间断点?因为1tan lim0=→x x x ? 0tan lim2=+→xx k x ππ(k ?Z)? 所以x ?0和2 ππ+=k x (k ?Z) 是第一类间断点且是可去间断点?令y |x ?0?1? 则函数在x ?0处成为连续的?令2 ππ+=k x 时? y ?0? 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的?(3)xy 1cos 2=? x ?0?解因为函数x y 1cos 2=在x ?0处无定义? 所以x ?0是函数x y 1cos 2=的间断点? 又因为xx 1cos lim 20→不存在? 所以x ?0是函数的第二类间断点?(4)⎩⎨⎧>-≤-=1 311x x x x y ? x ?1?解因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x ?2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ? 所以x ?1是函数的第一类不可去间断点?3? 讨论函数x x x x f nnn 2211lim )(+-=∞→的连续性? 若有间断点? 判别其类型? 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1||1|| 01|| 11lim)(22x x x x x x x x x f nn n ? 在分段点x ??1处? 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x ? 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x ? 所以x ??1为函数的第一类不可去间断点?在分段点x ?1处? 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x ? 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x ? 所以x ?1为函数的第一类不可去间断点?4? 证明? 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)?0? 则存在x 0的某一邻域U (x 0)? 当x ?U (x 0)时? f (x )?0?证明不妨设f (x 0)>0? 因为f (x )在x 0连续? 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x ? 由极限的局部保号性定理? 存在x 0的某一去心邻域)(0x U ο? 使当x ?)(0x U ο时f (x )>0? 从而当x ?U (x 0)时? f (x )>0? 这就是说? 则存在x 0的某一邻域U (x 0)? 当x ?U (x 0)时? f (x )?0? 5? 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子?(1)x ?0? ?1? ?2? 21±? ? ? ?? ?n ? n1±? ? ? ?是f (x )的所有间断点? 且它们都是无穷间断点?解函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x ?0? ?1? ?2? 21±? ? ? ?? ?n ? n1±? ? ? ?处是间断的?且这些点是函数的无穷间断点?(2)f (x )在R 上处处不连续? 但|f (x )|在R 上处处连续?解函数⎩⎨⎧∉∈-=Q Qx x x f 1 1)(在R 上处处不连续? 但|f (x )|?1在R 上处处连续?(3)f (x )在R 上处处有定义? 但仅在一点连续?解函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Qx x x x x f )(在R 上处处有定义? 它只在x ?0处连续?习题1?91? 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间? 并求极限)(lim 0x f x →? )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →? 解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f ? 函数在(??? ??)内除点x ?2和x ??3外是连续的? 所以函数f (x )的连续区间为(??? ?3)、(?3? 2)、(2? ??)?在函数的连续点x ?0处? 21)0()(lim 0==→f x f x ?在函数的间断点x ?2和x ??3处? ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x ? 582)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x ?2? 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续? 证明函数?(x )?max{f (x )? g (x )}? ?(x )?min{f (x )? g (x )} 在点x 0也连续?证明已知)()(lim 00x f x f x x =→? )()(lim 00x g x g x x =→?可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ?] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ?因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ?] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ?因为] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++=??(x 0)?所以?(x )在点x 0也连续?同理可证明?(x )在点x 0也连续? 3? 求下列极限? (1)52lim 20+-→x x x ?(2)34)2(sin lim x x π→?(3))2cos 2ln(lim 6x x π→?(4)xx x 11lim 0-+→?(5)145lim 1---→x x x x ?(6)a x a x a x --→sin sin lim ?(7))(lim 22x x x x x --++∞→?解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数? f (x )在点x ?0有定义? 所以 55020)0(52lim 220=+⋅-==+-→f x x x ?(2)因为函数f (x )?(sin 2x )3是初等函数? f (x )在点4π=x 有定义? 所以1)42(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x ?(3)因为函数f (x )?ln(2cos2x )是初等函数? f (x )在点6π=x 有定义? 所以0)62cos 2ln()6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x ?(4))11(lim)11()11)(11(lim 11lim 000++=++++-+=-+→→→x x x x x x x x x x x x 211101111lim=++=++=→x x ?(5))45)(1()45)(45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x x x +--+---=---→→)45)(1(44lim1x x x x x +---=→214154454lim 1=+-⋅=+-=→x x x ? (6)ax ax a x a x a x a x a x --+=--→→2sin 2cos 2limsin sin lim a a a a x ax a x a x a x cos 12cos 22sin lim2cos lim =⋅+=--⋅+=→→? (7))())((lim )(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞→+∞→1)1111(2lim )(2lim 22=-++=-++=+∞→+∞→xx x x x x x x x ?4? 求下列极限? (1)xx e 1lim∞→?(2)x x x sin ln lim 0→?(3)2)11(lim xx x +∞→? (4)x x x 2cot 20)tan 31(lim +→?(5)21)63(lim -∞→++x x xx ? (6)xx x xx x -++-+→2sin 1sin 1tan 1lim?解 (1) 1lim 01lim 1===∞→∞→e ee xx x x ?(2) 01ln )sin lim ln(sin ln lim 00===→→x x xx x x ?(3) []e e xxx x xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim)11(lim ?(4) []33tan 3120cot 2022)tan 31(lim)tan 31(lim e x x x x x x =+=+→→?(5)21633621)631()63(-+-⋅-+-+-+=++x x x x xx x ? 因为 e x x x =+-+-+∞→36)631(lim ? 232163lim -=-⋅+-∞→x x x ?所以2321)63(lim --∞→=++e xx x x ?(6))sin 1tan 1)(1sin 1()1sin 1)(sin 1tan 1(limsin 1sin 1tan 1lim 22020x x x x x x x x x x x x x x +++-++++-+=-++-+→→ 21)2(2lim 320=⋅=→xx x x ? 5? 设函数⎩⎨⎧≥+<=0 0)(x x a x e x f x ? 应当如何选择数a ? 使得f (x )成为在(??? ??)内的连续函数？解要使函数f (x )在(??? ??)内连续? 只须f (x )在x ?0处连续? 即只须 a f x f x f x x ===+→-→)0()(lim )(lim 0?因为1lim )(lim 0==-→-→x x x e x f ? a x a x f x x =+=+→+→)(lim )(lim 00? 所以只须取a ?1?习题1?101? 证明方程x 5?3x ?1至少有一个根介于1和2之间?证明设f (x )?x 5?3x ?1? 则f (x )是闭区间[1? 2]上的连续函数?因为f (1)??3? f (2)?25? f (1)f (2)?0? 所以由零点定理? 在(1? 2)内至少有一点? (1???2)? 使f (?)?0? 即x ?? 是方程x 5?3x ?1的介于1和2之间的根? 因此方程x 5?3x ?1至少有一个根介于1和2之间?2? 证明方程x ?a sin x ?b ? 其中a ?0? b ?0? 至少有一个正根? 并且它不超过a ?b ? 证明设f (x )?a sin x ?b ?x ? 则f (x )是[0? a ?b ]上的连续函数? f (0)?b ? f (a ?b )?a sin (a ?b )?b ?(a ?b )?a [sin(a ?b )?1]?0?若f (a ?b )?0? 则说明x ?a ?b 就是方程x ?a sin x ?b 的一个不超过a ?b 的根?若f (a ?b )?0? 则f (0)f (a ?b )?0? 由零点定理? 至少存在一点??(0? a ?b )? 使f (?)?0? 这说明x ?? 也是方程x =a sin x ?b 的一个不超过a ?b 的根?。

高等数学上册第六版课后习题图文详细答案第六章（可编辑）

高等数学上册第六版课后习题详细答案第六章习题62 1 求图621 中各画斜线部分的面积1 解画斜线部分在x轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为2解法一画斜线部分在x轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为解法二画斜线部分在y轴上的投影区间为[1 e] 所求的面积为3解画斜线部分在x轴上的投影区间为[3 1] 所求的面积为4解画斜线部分在x轴上的投影区间为[1 3] 所求的面积为2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积1 与x2y28两部分都要计算解 2与直线yx及x2解所求的面积为3 yex yex与直线x1解所求的面积为4yln x, y轴与直线yln a, yln b ba0解所求的面积为3 求抛物线yx24x3及其在点0 3和3 0处的切线所围成的图形的面积解 y2 x4过点0, 3处的切线的斜率为4 切线方程为y4x3过点3, 0处的切线的斜率为2 切线方程为y2x6两切线的交点为所求的面积为4 求抛物线y22px及其在点处的法线所围成的图形的面积解2yy2p 在点处法线的斜率k1法线的方程为即求得法线与抛物线的两个交点为和法线与抛物线所围成的图形的面积为5 求由下列各曲线?所围成的图形的面积?12acos 解所求的面积为a22xacos3t, yasin3t; 解所求的面积为 32a2+cos 解所求的面积为6 求由摆线xatsin t ya1cos t 的一拱0t2与横轴?所围成的图形的面积解所求的面积为 7 求对数螺线ae及射线所围成的图形面积解所求的面积为8 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积13cos 及1cos 解曲线3cos 与1cos?交点的极坐标为由对称性所求的面积为 2及解曲线与的交点M的极坐标为M 所求的面积为 9 求位于曲线yex下方??该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积解设直线ykx与曲线yex相切于Ax0 y0点则有求得x01 y0e ke所求面积为10 求由抛物线y24ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值解设弦的倾角为由图可以看出抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为显然当时 A10 当时 A10因此抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为11 把抛物线y24ax及直线xx0x00所围成的图形绕x轴旋转计算所得旋转体的体积解所得旋转体的体积为12 由yx3 x2 y0所围成的图形分别绕x轴及y轴旋转计算所得两个旋转体的体积解绕x轴旋转所得旋转体的体积为绕y轴旋转所得旋转体的体积为13 把星形线所围成的图形绕x轴旋转计算所得旋转体的体积解由对称性所求旋转体的体积为14 用积分方法证明图中球缺的体积为证明 15 求下列已知曲线所围成的图形按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积1 绕y轴解 2 x0 xa y0 绕x轴解 3 绕x 轴解4摆线xatsin t ya1cos t的一拱 y0 绕直线y2a解 16 求圆盘绕xbba0旋转所成旋转体的体积解17 设有一截锥体其高为h 上、下底均为椭圆椭圆的轴长分别为2a、2b和2A、2B 求这截锥体的体积解建立坐标系如图过y轴上y点作垂直于y轴的平面则平面与截锥体的截面为椭圆易得其长短半轴分别为截面的面积为于是截锥体的体积为18 计算底面是半径为R的圆而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积解设过点x且垂直于x轴的截面面积为Ax 由已知条件知它是边长为的等边三角形的面积其值为所以 19 证明由平面图形0axb 0yfx绕y轴旋转所成的旋转体的体积为证明如图在x处取一宽为dx的小曲边梯形小曲边梯形绕y轴旋转所得的旋转体的体积近似为2xfxdx 这就是体积元素即dV2xfxdx于是平面图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积为20 利用题19和结论计算曲线ysin x0x和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积解 21 计算曲线yln x上相应于的一段弧的长度解令即则22 计算曲线上相应于1x3的一段弧的长度解所求弧长为23 计算半立方抛物线被抛物线截得的一段弧的长度解由得两曲线的交点的坐标为所求弧长为因为所以24 计算抛物线y22px 从顶点到这曲线上的一点Mx y的弧长解 25 计算星形线的全长解用参数方程的弧长公式26 将绕在圆半径为a上的细线放开拉直使细线与圆周始终相切细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线它的方程为计算这曲线上相应于t从0变到的一段弧的长度解由参数方程弧长公式 27 在摆线xatsin t ya1cos t上求分摆线第一拱成1 3的点的坐标解设t从0变化到t0时摆线第一拱上对应的弧长为st0 则当t02时得第一拱弧长s28a 为求分摆线第一拱为1 3的点为Ax y 令解得因而分点的坐标为横坐标纵坐标故所求分点的坐标为28 求对数螺线相应于自?0到??的一段弧长解用极坐标的弧长公式29 求曲线1相应于自至的一段弧长解按极坐标公式可得所求的弧长30 求心形线a1cos?的全长解用极坐标的弧长公式习题63 1 由实验知道弹簧在拉伸过程中需要的力F单位 N 与伸长量s单位 cm成正比即Fks k为比例常数如果把弹簧由原长拉伸6cm 计算所作的功解将弹簧一端固定于A 另一端在自由长度时的点O为坐标原点建立坐标系功元素为dWksds 所求功为 k牛厘米2 直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽设温度保持不变要使蒸汽体积缩小一半问需要作多少功? 解由玻马定律知设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变高度减小x厘米时压强为Px牛/厘米2 则功元素为所求功为 J3 1证明把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是其中g是地面上的重力加速度 R是地球的半径2一颗人造地球卫星的质量为173kg 在高于地面630km处进入轨道问把这颗卫星从地面送到630的高空处克服地球引力要作多少功?已知g98m/s2 地球半径R6370km证明 1取地球中心为坐标原点把质量为m的物体升高的功元素为所求的功为2kJ4 一物体按规律作直线运动媒质的阻力与速度的平方成正比计算物体由x0移至xa时克服媒质阻力所作的功解因为所以阻力而所以功元素dWfxdx 所求之功为5 用铁锤将一铁钉击入木板设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比在击第一次时将铁钉击入木板1cm 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等问锤击第二次时铁钉又击入多少? 解设锤击第二次时铁钉又击入hcm 因木板对铁钉的阻力f与铁钉击入木板的深度xcm成正比即fkx 功元素dWf dxkxdx击第一次作功为击第二次作功为因为所以有解得cm6 设一锥形贮水池深15m 口径20m 盛满水今以唧筒将水吸尽问要作多少功? 解在水深x处水平截面半径为功元素为所求功为 1875吨米57785.7kJ7 有一闸门它的形状和尺寸如图水面超过门顶2m 求闸门上所受的水压力解建立x轴方向向下原点在水面水压力元素为闸门上所受的水压力为吨205 8kN8 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体尺寸如图所示当水箱装满水时计算水箱的一个端面所受的压力解建立坐标系如图则椭圆的方程为压力元素为所求压力为吨17.3kN提示积分中所作的变换为 9 有一等腰梯形闸门它的两条底边各长10m和6m 高为20m 较长的底边与水面相齐计算闸门的一侧所受的水压力解建立坐标系如图直线AB的方程为压力元素为所求压力为吨14388千牛10 一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片铅直地沉没在水中顶在上底在下且与水面平行而顶离水面3cm 试求它每面所受的压力解建立坐标系如图腰AC的方程为压力元素为所求压力为克?牛 11 设有一长度为l、线密度为的均匀细直棒在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M 试求这细棒对质点M的引力解建立坐标系如图在细直棒上取一小段dy 引力元素为dF在x轴方向和y轴方向上的分力分别为12 设有一半径为R、中心角为的圆弧形细棒其线密度为常数在圆心处有一质量为m的质点F 试求这细棒对质点M的引力解根据对称性 Fy0引力的大小为方向自M点起指向圆弧中点总习题六 1 一金属棒长3m 离棒左端xm处的线密度为kg/m 问x为何值时 [0 x]一段的质量为全棒质量的一半解 x应满足因为所以 m2 求由曲线asin acossina0所围图形公共部分的面积解 3 设抛物线通过点0 0 且当x[0 1]时 y0 试确定a、b、c的值使得抛物线与直线x1 y0所围图形的面积为且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小解因为抛物线通过点0 0 所以c0 从而抛物线与直线x1 y0所围图形的面积为令得该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为令得于是b24 求由曲线与直线x4 x轴所围图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积解所求旋转体的体积为5 求圆盘绕y轴旋转而成的旋转体的体积解 6 抛物线被圆所需截下的有限部分的弧长解由解得抛物线与圆的两个交点为于是所求的弧长为7 半径为r的球沉入水中球的上部与水面相切球的比重与水相同现将球从水中取出需作多少功解建立坐标系如图将球从水中取出时球的各点上升的高度均为2r 在x处取一厚度为dx的薄片在将球从水中取出的过程中薄片在水下上升的高度为rx 在水上上升的高度为rx 在水下对薄片所做的功为零在水上对薄片所做的功为对球所做的功为8 边长为a和b的矩形薄板与液面成??角斜沉于液体内长边平行于液面而位于深h处设ab 液体的比重为? 试求薄板每面所受的压力解在水面上建立x轴使长边与x轴在同一垂面上长边的上端点与原点对应长边在x轴上的投影区间为[0 bcos] 在x处x轴到薄板的距离为hxtan 压力元素为薄板各面所受到的压力为9 设星形线上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方在原点O处有一单位质点求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力解取弧微分ds为质点则其质量为其中设所求的引力在x轴、y轴上的投影分别为Fx、Fy 则有所以。

同济大学工程数学线性代数第六版答案（全）.

第一章行列式1利用对角线法则计算下列三阶行列式(1)381141102解3811411022(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1) 2481644(2)b a c ac b c b a 解ba c a cbc b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3(3)222111c b a cb a 解222111c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2(a b)(b c)(c a)(4)y x y x xy x yyx yx 解yx y x x y x yyx yx x(x y)y yx(x y)(x y)yx y 3(x y)3x 33xy(x y)y 33x 2y x 3y 3x 32(x3y 3)2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数(1)1 2 3 4解逆序数为0(2)4 1 3 2解逆序数为441 43 42 32(3)3 4 2 1解逆序数为53 2 3 14 2 4 1, 2 1(4)2 4 1 3解逆序数为32 1 4 1 4 3(5)1 3 (2n 1) 2 4(2n)解逆序数为2)1(n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个)(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)(6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2解逆序数为n(n1)3 2(1个)5 2 5 4 (2个)(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)4 2(1个)6 2 6 4(2个)(2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个)3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项解含因子a11a23的项的一般形式为(1)t a11a23a3r a4s其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子a11a23的项分别是(1)t a11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44(1)t a11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a424计算下列各行列式(1)71100251020214214解711025102021421410014231020211021473234c c c c 34)1(14310221101414310221101401417172001099323211c c c c (2)2605232112131412解2605232112131412260503212213041224c c 041203212213041224r r 0000003212213041214r r (3)ef cf bf decd bd ae ac ab 解efcf bf de cd bd ae ac ab ec b ec b ec b adf abcdefadfbce 4111111111(4)dc b a 100110011001解d c b a100110011001dc b a ab ar r 10011001101021d c a ab 101101)1)(1(1201011123cd c ad a ab dc c cd adab 111)1)(1(23abcd ab cd ad 15证明:(1)1112222b b a a b ab a (a b)3;证明1112222b b a a b ab a 00122222221213ab a b a a b a ab ac c c c ab ab a b a ab 22)1(2221321))((ab a a b a b (a b)3(2)y x z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by axbz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a bz ay y x by ax x z bx az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a 22z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33y x z x z y z y x b y x z x z y z y x a 33yx z x z y z y x b a )(33(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(d d d dc c c c b b b b a a a a (c 4c 3c 3c 2c 2c 1得) 5232125232125232125232122222ddddc c c c b b b b a a a a (c 4c 3c 3c 2得)022122212221222122222d d c c b b a a (4)444422221111dcb a dc b ad c b a (a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d); 证明444422221111dc b ad c b a d c b a )()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a d a c a b )()()(111))()((222a d d a c c a b b dc b ad a c a b ))(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c bd b c a d a c a b )()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b =(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d)(5)12211000010001a x a a a a x xxn n n x na 1xn 1a n 1x a n证明用数学归纳法证明当n 2时2121221ax a x a x a x D 命题成立假设对于(n 1)阶行列式命题成立即D n1xn 1a 1xn 2a n 2x a n1则D n 按第一列展开有1110010001)1(11x x a xD D n n nn xD n1a n x na 1xn 1a n 1x a n因此对于n 阶行列式命题成立6设n 阶行列式D det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转依次得nnn n a a a a D 1111111112n nn na a a a D 11113a a a a D n n nn 证明D D D n n 2)1(21)1(D 3D证明因为D det(a ij )所以nnn n n n nnn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1()1()1(331122111121n nn n n n n n a a a a a a a a DD n n n n 2)1()1()2(21)1()1(同理可证nnnn n n a a a a D )1(11112)1(2DDn n Tn n 2)1(2)1()1()1(DD D D D n n n n n n n n )1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式)(1)aaD n11, 其中对角线上元素都是a 未写出的元素都是0解aa a a a D n10000000000001000(按第n 行展开))1()1(100000000000010000)1(n nn a a a )1()1(2)1(n nn a aann nnn aa a)2)(2(1)1()1(a n an 2an 2(a 21)(2)xa a a x a a a x D n ; 解将第一行乘(1)分别加到其余各行得ax xa a x x a ax x a a a ax D n0000000再将各列都加到第一列上得ax ax a x a aa a n x D n000000000)1([x (n 1)a](x a)n 1(3)1111)()1()()1(1111n a a a n a a an a a a D nnn n n n n;解根据第6题结果有nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1此行列式为范德蒙德行列式112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D 112)1()]([)1(j i n n n j i1121)1(2)1()()1()1(j in n n n n j i11)(j in j i(4)nnnnnd c d c b a b a D 11112;解nnnnnd c d c b a b a D 11112(按第1行展开)nn n nnnd d c d c b a b a a 000111111110)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n nnnn 再按最后一行展开得递推公式D 2n a n d n D 2n2b nc n D 2n2即D 2n (a n d n b n c n )D 2n2于是ni i i i i nD c b d a D 222)(而111111112c b d a d c b a D 所以ni i i i i nc bd a D 12)((5) D det(a ij )其中a ij |i j|; 解a ij |i j |043214123310122*********)det(n n n n n n n n a D ij n 04321111111111111111111112132n n n n r r r r15242321022210022100021000011213n n n n n c c c c (1)n 1(n 1)2n 2(6)nna a a D 11111111121, 其中a 1a 2a n 0解nna a a D 11111111121nn n n a a a a a a a a a c c c c 1010001000100010000113322121321111312112111000011000001100001100001nn na aa a a a a ani in na aa a a a a a 11111312112110000010000001000001000001)11)((121niin a a a a 8用克莱姆法则解下列方程组(1)1123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解因为14211213513241211111D142112105132412211151D 284112035122412111512D 426110135232422115113D 14202132132212151114D 所以111DD x 222DD x 333DD x 144DD x(2)150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x 解因为6655100065100065100065100065D150751001651000651000650000611D 114551010651000650000601000152D 70351100650000601000051001653D 39551000601000051000651010654D 21211000051000651000651100655D 所以66515071x 66511452x 6657033x 6653954x 6652124x 9问取何值时齐次线性方程组200321321321x x x x x x x x x 有非零解？解系数行列式为1211111D令D 0得0或1于是当0或1时该齐次线性方程组有非零解10问取何值时齐次线性方程组)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x 有非零解？解系数行列式为101112431111132421D(1)3(3)4(1)2(1)(3)(1)32(1)23令D 0得2或3于是当2或3时该齐次线性方程组有非零解第二章矩阵及其运算1已知线性变换3213321232113235322y y y x y y y x y y y x 求从变量x 1x 2x 3到变量y 1y 2y 3的线性变换解由已知221321323513122y y y x x x 故3211221323513122x x x y y y 321423736947y y y 321332123211423736947x x x y x x x y x x x y 2已知两个线性变换32133212311542322y y y x y y y x y y x 323312211323z z y z z y z z y 求从z 1z 2z 3到x 1x 2x 3的线性变换解由已知221321514232102y y y x x x 321310102013514232102z z z 321161109412316z z z 所以有3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x 3设111111111A150421321B求3AB 2A 及A TB 解1111111112150421321111111111323A AB 2294201722213211111111120926508503092650850150421321111111111BA T 4计算下列乘积(1)127075321134解127075321134102775132)2(7111237449635(2)123)321(解123)321((132231)(10)(3))21(312解)21(31223)1(321)1(122)1(2632142(4)20413121013143110412解204131210131431104126520876(5)321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x 解321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x (a 11x 1a 12x 2a 13x 3 a 12x 1a 22x 2a 23x 3a 13x 1a 23x 2a 33x 3)321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a xa xa xa 5设3121A2101B 问(1)AB BA 吗? 解AB BA因为6443AB8321BA所以AB BA(2)(A B)2A 22AB B 2吗? 解(A B)2A 22AB B2因为5222BA 52225222)(2B A 2914148但43011288611483222BAB A27151610所以(A B)2A 22AB B2(3)(A B)(A B)A 2B 2吗? 解(A B)(A B)A 2B2因为5222BA 1020BA 906010205222))((B A B A 而718243011148322BA故(A B)(A B)A 2B26举反列说明下列命题是错误的(1)若A 20则A 0解取0010A则A 2但A 0(2)若A 2A 则A 0或A E 解取0011A则A 2A 但A 0且A E(3)若AX AY 且A 0则X Y解取0001A1111X1011Y则AX AY 且A0但X Y 7设101A 求A2A 3Ak解12011011012A1301101120123AA A101k Ak8设001001A求Ak解首先观察0010010010012A 22220123232323003033AA A43423434004064AA A 5453454550105AA AkAkk kkk kkk k k02)1(121用数学归纳法证明当k 2时显然成立假设k 时成立，则k 1时，01001002)1(1211kk kk k kk kkk k kAA A111111)1(02)1()1(k k k k k k k k k k 由数学归纳法原理知kk kkk kkkk k kA02)1(1219设A B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B TAB 也是对称矩阵证明因为A TA 所以(B TAB)TB T(B TA)TB T A T B B TAB从而B TAB 是对称矩阵10设A B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA证明充分性因为A TABTB 且AB BA 所以(AB)T(BA)TA TB TAB即AB 是对称矩阵必要性因为A TAB TB 且(AB)TAB 所以AB (AB)TB T ATBA11求下列矩阵的逆矩阵(1)5221解5221A |A|1故A 1存在因为1225*22122111A A A A A 故*||11A A A1225(2)cos sin sin cos 解c o s s i n s i n c o s A |A|10故A 1存在因为cos sinsin cos *22122111A A A A A 所以*||11A A Acossinsin cos (3)145243121解145243121A|A|20故A 1存在因为214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A 所以*||11A A A1716213213012(4)n a a a 0021(a 1a 2a n 0)解na a a A21由对角矩阵的性质知na a a A 1001121112解下列矩阵方程(1)12643152X解126431521X1264215380232(2)234311111012112X 解1111012112234311X332321012343113132538122(3)101311022141X解11110210132141X2101101311421212101036612104111(4)021102341010100001100001010X 解1110100001021102341100001010X1010000102110234110000101020143101213利用逆矩阵解下列线性方程组(1)3532522132321321321x x x x x x x x x 解方程组可表示为321153522321321x x x 故013211535223211321x x x从而有01321x x x (2)05231322321321321x x x x x x x x x 解方程组可表示为012523312111321x x x 故3050125233121111321x x x 故有305321x x x 14设A kO (k 为正整数)证明(E A)1E A A2Ak 1证明因为A kO所以E A kE又因为E A k(E A)(E A A2A k 1)所以(E A)(E A A2Ak 1)E由定理2推论知(E A)可逆且(E A)1E A A2Ak 1证明一方面有E (E A)1(E A)另一方面由A kO有E (E A)(A A 2)A 2Ak 1(Ak 1A k)(E A A2Ak 1)(E A)故(E A)1(E A)(E A A2Ak 1)(E A)两端同时右乘(E A)1就有(E A)1(E A)E A A2Ak 115设方阵A 满足A 2A 2E O 证明A 及A 2E 都可逆并求A 1及(A 2E)1证明由A 2A 2E O 得A2A 2E 即A(A E)2E或E E A A )(21由定理2推论知A 可逆且)(211E A A由A 2A 2E O 得A2A 6E 4E 即(A 2E)(A 3E)4E或E A E E A )3(41)2(由定理2推论知(A 2E)可逆且)3(41)2(1A E E A 证明由A 2A 2E O 得A 2A 2E 两端同时取行列式得|A 2A|2即|A||A E|2故|A|所以A 可逆而A 2E A2|A 2E||A 2||A|2故A 2E 也可逆由A 2A 2E OA(A E)2EA 1A(A E)2A 1E)(211E A A又由A 2A 2E O(A 2E)A 3(A 2E)4E(A 2E)(A 3E)4 E所以(A 2E)1(A 2E)(A 3E)4(A 2 E)1)3(41)2(1A E E A 16设A 为3阶矩阵21||A 求|(2A)15A*|解因为*||11A A A 所以|||521||*5)2(|111A A A A A |2521|11A A |2A 1|(2)3|A 1|8|A|1821617设矩阵A 可逆证明其伴随阵A*也可逆且(A*)1(A 1)*证明由*||11A A A得A*|A|A1所以当A 可逆时有|A*||A|n|A 1||A|n 1从而A*也可逆因为A*|A|A1所以(A*)1|A|1A又*)(||)*(||1111A A A A A 所以(A*)1|A|1A |A|1|A|(A 1)*(A 1)*18设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*证明(1)若|A|0则|A*|0(2)|A*||A|n 1证明(1)用反证法证明假设|A*|0则有A*(A*)1E 由此得A A A*(A*)1|A|E(A*)1O所以A*O这与|A*|0矛盾，故当|A|0时有|A*|0(2)由于*||11A A A则AA*|A|E 取行列式得到|A||A*||A|n若|A|0则|A*||A|n 1若|A|0由(1)知|A*|0此时命题也成立因此|A*||A|n 119设321011330AAB A 2B 求B解由AB A 2E 可得(A 2E)B A 故321011330121011332)2(11AE A B 01132133020设101020101A 且AB E A 2B求B解由AB E A 2B 得(A E)B A 2E即(A E)B (A E)(A E)因为01001010100||E A 所以(A E)可逆从而201030102E A B 21设A diag(121)A*BA 2BA 8E求B解由A*BA 2BA 8E 得(A*2E)BA 8EB8(A*2E)1A 18[A(A*2E)]18(AA*2A) 1 8(|A|E 2A) 1 8(2E 2A) 14(E A)14[diag(212)]1)21,1,21(diag 42diag(121)22已知矩阵A 的伴随阵8030010100100001*A 且ABA1BA 13E求B解由|A*||A|38得|A|2由ABA1BA13E 得AB B 3AB 3(A E)1A 3[A(E A 1)]1A 11*)2(6*)21(3A E A E 103006060060000660300101001000016123设P 1AP 其中1141P2001求A11解由P 1AP 得A P P 1所以A11A=P 11P 1.|P|31141*P 1141311P而11111120012001故31313431200111411111A6846832732273124设AP P其中111201111P511求(A)A 8(5E 6A A 2)解()8(5E 62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)] diag(1158)diag(1200)12diag(100)(A)P ()P1*)(||1P P P 1213032220000000011112011112111111111425设矩阵A 、B 及A B 都可逆证明A1B 1也可逆并求其逆阵证明因为A 1(A B)B1B1A1A1B1而A 1(A B)B 1是三个可逆矩阵的乘积所以A 1(A B)B 1可逆即A1B 1可逆(A 1B 1)1[A 1(A B)B 1]1B(A B)1A 26计算3003200121013013000120010100121解设10211A 30122A 12131B 3322B 则2121B O B E A O EA 222111B A O B B A A 而4225303212131021211B B A 9034332301222B A 所以2121B O B E A O E A 222111B A O B B A A 90340042102521即30320012101301300012001010012190034004210252127取1001DC B A 验证||||||||D C B A DC B A解4100120021010*********0021010010110100101DC B A 而01111||||||||D C B A 故||||||||D C B A DC B A 28设22023443O O A 求|A 8|及A4解令34431A 22022A 则21A O O A A 故8218A O O A A8281A O OA 1682818281810||||||||||A A A A A 464444241422025005OO A O O A A29设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆求(1)1OB A O 解设43211C C C C OB AO 则O B A O 4321C C C C sn E O O E BC BC AC AC 2143由此得sn E BC O BC O AC E AC 2143121413BC O C O C A C 所以OA B O OB A O 111(2)1B C O A 解设43211D D D D BC OA 则sn E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321由此得sn E BD CD O BD CD OAD E AD 42312114113211B D CA B D OD A D 所以11111BCA B O A B C O A 30求下列矩阵的逆阵(1)2500380000120025解设1225A2538B则5221122511A8532253811B于是8532000052002125003800001200251111BABA (2)4121031200210001解设2101A4103B2112C则1111114121031*********BCA B O A B C O A 411212458103161210021210001第三章矩阵的初等变换与线性方程组1把下列矩阵化为行最简形矩阵(1)340313021201解340313021201(下一步r 2(2)r 1r 3(3)r 1)~020031001201(下一步r 2(1)r 3(2))~010*********(下一步r 3r 2)~30031001201(下一步r 33)~100031001201(下一步r 23r 3)~100001001201(下一步r 1(2)r 2r 1r 3)~100001000001(2)174034301320解174034301320(下一步r 22(3)r 1r 3(2)r 1 )~31031001320(下一步r 3r 2r 13r 2 )~0000310010020(下一步r 12 )~000031005010(3)12433023221453334311解12433023221453334311(下一步r 23r 1r 32r 1r 43r 1 )~1010500663008840034311(下一步r 2(4)r 3(3) r 4(5) )~22100221002210034311(下一步r 13r 2r 3r 2r 4r 2 )~0000000002210032011(4)34732038234202173132解34732038234202173132(下一步r 12r 2r 33r 2r 42r 2 )~118771298804202111110(下一步r 22r 1r 38r 1r 47r 1 )~41000410002020111110(下一步r 1r 2r 2(1)r 4r 3 )~0000410001111020201(下一步r 2r 3 )~000004100030110202012设987654321100010101100001010A 求A解100001010是初等矩阵E(12)其逆矩阵就是其本身100010101是初等矩阵E(12(1))其逆矩阵是E(12(1))100010101100010101987654321100001010A2872212541000101019873216543试利用矩阵的初等变换求下列方阵的逆矩阵(1)323513123解100010001323513123~101011001200410123~1012002110102/102/3023~2/102/11002110102/922/7003~2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为21021211233267(2)121232112201023解10000100001000011210232112201023~001030110000100122594012102321~20104301100001001200110012102321~10612430110000100100110012102321~10612631110`1022111000010000100021~10612631110104211100010*********故逆矩阵为106126311101042114(1)设113122214A 132231B求X 使AX B解因为132231113122214),(B A 412315210100010001~r 所以4123152101BA X(2)设433312120A 132321B 求X 使XA B解考虑A T X TBT因为134313*********),(TTB A 411007101042001~r 所以417142)(1TT T B A X 从而4741121BAX 5设101110011AAX 2X A求X解原方程化为(A 2E)X A 因为101101110110011011),2(A E A 011100101010110001~所以11101110)2(1AE A X 6在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r 1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解在秩是r 的矩阵中可能存在等于0的r 1阶子式也可能存在等于0的r 阶子式例如10000100001AR(A)30000是等于0的2阶子式010001000是等于0的3阶子式7从矩阵A 中划去一行得到矩阵B问AB 的秩的关系怎样?解R(A)R(B)这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式故A 的秩不会小于B 的秩8求作一个秩是4的方阵它的两个行向量是(1010)(110)解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵000001000001010001100001此矩阵的秩为4其第2行和第3行是已知向量9求下列矩阵的秩并求一个最高阶非零子式(1)443112112013; 解443112112013(下一步r 1r 2 )~443120131211(下一步r 23r 1r 3r 1 )~564056401211(下一步r 3r 2 )~000056401211矩阵的2秩为41113是一个最高阶非零子式(2)815073131213123解815073131223123(下一步r 1r 2r 22r 1r 37r 1 )~15273321059117014431(下一步r 33r 2 )~00059117014431矩阵的秩是271223是一个最高阶非零子式(3)02301085235703273812解2301085235703273812(下一步r 12r 4r 22r 4r 33r 4 )~02301024205363071210(下一步r 23r 1r 32r 1 )~0230114000016000071210(下一步r 216r 4r 316r 2 )~02301000001000071210~0000100007121002301矩阵的秩为3070023085570是一个最高阶非零子式10设A 、B 都是m n 矩阵证明A~B 的充分必要条件是R(A)R(B)证明根据定理3必要性是成立的充分性设R (A)R (B)则A 与B 的标准形是相同的设A 与B 的标准形为D 则有A~DD~B由等价关系的传递性有A~B11设32321321k k k A问k 为何值可使(1)R(A)1(2)R(A)2(3)R(A)3解32321321k k k A)2)(1(0011011~k k k k k r (1)当k 1时R(A)1(2)当k2且k 1时R(A)2(3)当k 1且k2时R(A)312求解下列齐次线性方程组:(1)02220202432143214321x x x x x x x x x x x x 解对系数矩阵A 进行初等行变换有A212211121211~3/410013100101于是4443424134334x x x x x x x x 故方程组的解为1343344321kx x x x (k 为任意常数)(2)05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x 解对系数矩阵A 进行初等行变换有A5110531631121~000001001021于是4432242102x x x x x x x x 故方程组的解为10010012214321k k x x x x (k 1k 2为任意常数)(3)7420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解对系数矩阵A 进行初等行变换有A7421631472135132~1000010000100001于是00004321x x x x 故方程组的解为00004321x x x x (4)3270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解对系数矩阵A 进行初等行变换有A3127161311423327543~0000001720171910171317301。

(完整版)高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析

高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1—11. 设A=(-, —5)(5, +)，B=［-10， 3), 写出A B，A B, A\B及A\(A\B）的表达式。

解A B=（-, 3）（5, +)，A B=[-10，—5）,A\B=（—， -10)(5， +），A\（A\B）=[-10, -5）.2. 设A、B是任意两个集合，证明对偶律： (A B）C=A C B C。

证明因为x(A B）C x A B x A或x B x A C或x B C x A C B C，所以（A B)C=A C B C。

3. 设映射f : X Y, A X, B X。

证明（1)f(A B)=f(A）f（B）;（2）f（A B)f(A)f（B）.证明因为y f(A B）x A B, 使f（x）=y(因为x A或x B) y f（A）或y f（B)y f(A）f（B),所以f(A B）=f（A)f(B).(2）因为y f(A B）x A B, 使f(x）=y（因为x A且x B） y f(A)且y f（B)yf (A ）f (B ），所以 f (A B ）f （A )f (B )。

4。

设映射f ： XY , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = ， Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个xX , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y 。

证明：f 是双射，且g 是f 的逆映射： g =f —1.证明因为对于任意的yY ，有x =g （y )X , 且f （x ）=f [g （y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又因为对于任意的x 1x 2, 必有f (x 1)f (x 2), 否则若f (x 1）=f (x 2)g [ f （x 1)]=g [f (x 2）］x 1=x 2。

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|sin x | | x | 3 求 ( ) ( ) ( ) (2) 并作出函数 y(x) 8 设 ( x) 4 6 4 | x | 0 3
的图形解 ( ) |sin | 1 ( ) |sin | 2 ( ) |sin( )| 2 (2) 0 6 6 2 4 4 2 4 4 2 9 试证下列函数在指定区间内的单调性 (1) y x ( 1) 1 x (2)yxln x (0 ) 证明 (1)对于任意的 x1 x2( 1) 有 1x10 1x20 因为当 x1x2 时
同济六版高等数学课后答案全集第一章习题 11 1 设 A( 5)(5 ) B[10 3) 写出 AB AB A\B 及 A\(A\B)的表达式解 AB( 3)(5 ) AB[10 5) A\B( 10)(5 ) A\(A\B)[10 5) 2 设 A、B 是任意两个集合证明对偶律 (AB)CAC BC 证明因为 x(AB)CxAB xA 或 xB xAC 或 xBC xAC BC (AB)CAC BC 所以 3 设映射 f X Y AX BX 证明 (1)f(AB)f(A)f(B) (2)f(AB)f(A)f(B) 证明因为 yf(AB)xAB 使 f(x)y (因为 xA 或 xB) yf(A)或 yf(B) 所以 yf(A)f(B) f(AB)f(A)f(B) (2)因为 yf(AB)xAB 使 f(x)y(因为 xA 且 xB) yf(A)且 yf(B) y f(A)f(B) f(AB)f(A)f(B) 所以 4 设映射 f XY 若存在一个映射 g YX 使 g f I X f g IY 其中 IX、 IY 分别是 X、Y 上的恒等映射即对于每一个 xX 有 IX xx 对于每一个 yY 有 IY yy 证明 f 是双射且 g 是 f 的逆映射 gf 1 证明因为对于任意的 yY 有 xg(y)X 且 f(x)f[g(y)]Iy yy 即 Y 中任意元素都是 X 中某元素的像所以 f 为 X 到 Y 的满射又因为对于任意的 x1x2 必有 f(x1)f(x2) 否则若 f(x1)f(x2)g[ f(x1)]g[f(x2)] x1x2 因此 f 既是单射又是满射即 f 是双射