用导数求函数的极值

用导数来求函数的极值例 求下列函数的极值：1．x x x f 12)(3-=；2．x e x x f -=2)(；3．.212)(2-+=x x x f 分析：按照求极值的基本方法，首先从方程0)(='x f 求出在函数)(x f 定义域所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．解：1．函数定义域为R ．).2)(2(3123)(2-+=-='x x x x f令0)(='x f ，得2±=x ．当2>x 或2-<x 时，0)(>'x f ，∴函数在()2,-∞-和()+∞,2上是增函数；当22<<-x 时，0)(<'x f ，∴函数在（－2，2）上是减函数．∴当2-=x 时，函数有极大值16)2(=-f ，当2=x 时，函数有极小值.16)2(-=f2．函数定义域为R ．x x x e x x e x xe x f ----=-=')2(2)(2令0)(='x f ，得0=x 或2=x ．当0<x 或2>x 时，0)(<'x f ，∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是减函数；当20<<x 时，0)(>'x f ，∴函数)(x f 在（0，2）上是增函数．∴当0=x 时，函数取得极小值0)0(=f ，当2=x 时，函数取得极大值24)2(-=e f ．3．函数的定义域为R ． .)1()1)(1(2)1(22)1(2)(22222++-=+⋅-+='x x x x x x x x f令0)(='x f ，得1±=x ．当1-<x 或1>x 时，0)(<'x f ，∴函数)(x f 在()1,-∞-和()+∞,1上是减函数；当11<<-x 时，0)(>'x f ，∴函数)(x f 在（－1，1）上是增函数．∴当1-=x 时，函数取得极小值3)1(-=-f ，当1=x 时，函数取得极大值.1)1(-=f说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性．解答本题时应注意0)(0='x f 只是函数)(x f 在0x 处有极值的必要条件，如果再加之0x 附近导数的符号相反，才能断定函数在0x 处取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误．复杂函数的极值例 求下列函数的极值：1．)5()(32-=x x x f ；2．.6)(2--=x x x f分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定．在函数)(x f 的定义域寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域所有不可导的点．这两类点就是函数)(x f 在定义可能取到极值的全部“可疑点”．解：1．.3)2(533)5(2)5(32)(33323xx x x x x x x x f -=+-=+-=' 令0)(='x f ，解得2=x ，但0=x 也可能是极值点．当0<x 或2>x 时，0)(>'x f ，∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是增函数；当20<<x 时，0)(<'x f ，∴函数)(x f 在（0，2）上是减函数．∴当0=x 时，函数取得极大值0)0(=f ，当2=x 时，函数取得极小值343)2(-=f ．2．⎪⎩⎪⎨⎧<<-++-≥-≤--),32(,6),32(,6)(22x x x x x x x x f 或 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=<<-+->-<-').32(,),32(,12),32(,12)(x x x x x x x x f 或不存在或令0)(='x f ，得21=x ． 当2-<x 或321<<x 时，0)(<'x f ， ∴函数)(x f 在()2,-∞-和⎪⎭⎫⎝⎛3,21上是减函数；当3>x 或212<<-x 时，0)(>'x f ， ∴函数)(x f 在()+∞,3和⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,2上是增函数．∴当2-=x 和3=x 时，函数)(x f 有极小值0， 当21=x 时，函数有极大值425． 说明：在确定极值时，只讨论满足0)(0='x f 的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的．在函数定义域不可导的点处也可能存在极值．本题1中0=x 处，2中2-=x 及3=x 处函数都不可导，但)(x f '在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，函数)(x f 在这些点处仍取得极值．从定义分析，极值与可导无关．根据函数的极值确定参数的值例 已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ．1．试求常数a 、b 、c 的值；2．试判断1±=x 是函数的极小值还是极大值，并说明理由．分析：考察函数)(x f 是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为0)(='x f 的根建立起由极值点1±=x 所确定的相关等式，运用待定系数法求出参数a 、b 、c 的值．解：1．解法一：c bx ax x f ++='23)(2．1±=x Θ是函数)(x f 的极值点，∴1±=x 是方程0)(='x f ，即0232=++c bx ax 的两根，由根与系数的关系，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-）（）（2 ,131 ,032ac a b 又1)1(-=f ，∴1-=++c b a ， （3）由（1）、（2）、（3）解得23,0,21-===c b a ． 解法二：由0)1()1(='=-'f f 得023=++c b a ， （1）023=+-c b a （2）又1)1(-=f ，∴1-=++c b a ， （3）解（1）、（2）、（3）得23,0,21-===c b a ． 2．x x x f 2321)(3-=，∴).1)(1(232323)(2+-=-='x x x x f 当1-<x 或1>x 时，0)(>'x f ，当11<<-x 时，.0)(<'x f∴函数)(x f 在()1,-∞-和()+∞,1上是增函数，在（－1，1）上是减函数．∴当1-=x 时，函数取得极大值1)1(=-f ，当1=x 时，函数取得极小值1)1(-=f ．说明：解题的成功要靠正确思路的选择．本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向．可见出路在于“思想认识”．在求导之后，不会应用0)1(=±'f 的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍．利用导数求函数的极值例 求下列函数的极值：1．x x x f 12)(3-=；2．x e x x f -=2)(；3．.212)(2-+=x x x f 分析：按照求极值的基本方法，首先从方程0)(='x f 求出在函数)(x f 定义域所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．解：1．函数定义域为R ．).2)(2(3123)(2-+=-='x x x x f令0)(='x f ，得2±=x ．当2>x 或2-<x 时，0)(>'x f ，∴函数在()2,-∞-和()+∞,2上是增函数；当22<<-x 时，0)(<'x f ，∴函数在（－2，2）上是减函数．∴当2-=x 时，函数有极大值16)2(=-f ，当2=x 时，函数有极小值.16)2(-=f2．函数定义域为R ．x x x e x x e x xe x f ----=-=')2(2)(2令0)(='x f ，得0=x 或2=x ．当0<x 或2>x 时，0)(<'x f ，∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是减函数；当20<<x 时，0)(>'x f ，∴函数)(x f 在（0，2）上是增函数．∴当0=x 时，函数取得极小值0)0(=f ，当2=x 时，函数取得极大值24)2(-=e f ．3．函数的定义域为R ． .)1()1)(1(2)1(22)1(2)(22222++-=+⋅-+='x x x x x x x x f 令0)(='x f ，得1±=x ．当1-<x 或1>x 时，0)(<'x f ，∴函数)(x f 在()1,-∞-和()+∞,1上是减函数；当11<<-x 时，0)(>'x f ，∴函数)(x f 在（－1，1）上是增函数．∴当1-=x 时，函数取得极小值3)1(-=-f ，当1=x 时，函数取得极大值.1)1(-=f说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性．解答本题时应注意0)(0='x f 只是函数)(x f 在0x 处有极值的必要条件，如果再加之0x 附近导数的符号相反，才能断定函数在0x 处取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误．复杂函数的极值例 求下列函数的极值：1．)5()(32-=x x x f ；2．.6)(2--=x x x f分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定．在函数)(x f 的定义域寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域所有不可导的点．这两类点就是函数)(x f 在定义可能取到极值的全部“可疑点”．解：1．.3)2(533)5(2)5(32)(33323xx x x x x x x x f -=+-=+-=' 令0)(='x f ，解得2=x ，但0=x 也可能是极值点．当0<x 或2>x 时，0)(>'x f ，∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是增函数；当20<<x 时，0)(<'x f ，∴函数)(x f 在（0，2）上是减函数．∴当0=x 时，函数取得极大值0)0(=f ，当2=x 时，函数取得极小值343)2(-=f ．2．⎪⎩⎪⎨⎧<<-++-≥-≤--),32(,6),32(,6)(22x x x x x x x x f 或 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=<<-+->-<-').32(,),32(,12),32(,12)(x x x x x x x x f 或不存在或令0)(='x f ，得21=x ． 当2-<x 或321<<x 时，0)(<'x f ， ∴函数)(x f 在()2,-∞-和⎪⎭⎫⎝⎛3,21上是减函数；当3>x 或212<<-x 时，0)(>'x f ， ∴函数)(x f 在()+∞,3和⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,2上是增函数．∴当2-=x 和3=x 时，函数)(x f 有极小值0， 当21=x 时，函数有极大值425． 说明：在确定极值时，只讨论满足0)(0='x f 的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的．在函数定义域不可导的点处也可能存在极值．本题1中0=x 处，2中2-=x 及3=x 处函数都不可导，但)(x f '在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，函数)(x f 在这些点处仍取得极值．从定义分析，极值与可导无关．根据函数的极值确定参数的值例 已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ．1．试求常数a 、b 、c 的值；2．试判断1±=x 是函数的极小值还是极大值，并说明理由．分析：考察函数)(x f 是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为0)(='x f 的根建立起由极值点1±=x 所确定的相关等式，运用待定系数法求出参数a 、b 、c 的值．解：1．解法一：c bx ax x f ++='23)(2．1±=x Θ是函数)(x f 的极值点，∴1±=x 是方程0)(='x f ，即0232=++c bx ax 的两根，由根与系数的关系，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-）（）（2 ,131 ,032ac a b 又1)1(-=f ，∴1-=++c b a ， （3）由（1）、（2）、（3）解得23,0,21-===c b a ． 解法二：由0)1()1(='=-'f f 得023=++c b a ， （1）023=+-c b a （2）又1)1(-=f ，∴1-=++c b a ， （3）解（1）、（2）、（3）得23,0,21-===c b a ． 2．x x x f 2321)(3-=，∴).1)(1(232323)(2+-=-='x x x x f 当1-<x 或1>x 时，0)(>'x f ，当11<<-x 时，.0)(<'x f∴函数)(x f 在()1,-∞-和()+∞,1上是增函数，在（－1，1）上是减函数．∴当1-=x 时，函数取得极大值1)1(=-f ，当1=x 时，函数取得极小值1)1(-=f ．说明：解题的成功要靠正确思路的选择．本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向．可见出路在于“思想认识”．在求导之后，不会应用0)1(=±'f 的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍．利用导数求函数的单调性例 讨论下列函数的单调性：1．x x a a x f --=)(（0>a 且1≠a ）；2．)253(log )(2-+=x x x f a （0>a 且1≠a ）；3．)0,11(1)(2≠<<--=b x x bx x f ． 分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数)(x f '，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间)(x f '的符号，来确定函数)(x f 在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性．解： 1．函数定义域为R ．).(ln )(ln ln )(x x x x a a a x a a a a x f --+='-⋅⋅-='当1>a 时，.0)(,0,0ln >'∴>+>-x f a a a x x∴函数)(x f 在),(+∞-∞上是增函数．当10<<a 时，.0)(,0,0ln <'∴>+<-x f a a a x x∴函数)(x f 在),(+∞-∞上是减函数．2．函数的定义域是31>x 或.2-<x )2)(13(log )56()253(253log )(22+-+='-+⋅-+='x x e x x x x x e x f a a ①若1>a ，则当31>x 时，0)2)(13(,056,0log >+->+>x x x e a ， ∴0)(>x f ，∴函数)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，31上是增函数； 当2-<x 时，0)(<'x f ，∴函数)(x f 在()2,-∞-上是减函数②若10<<a ，则当31>x 时，0)(<'x f ， ∴函数)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，31上是减函数； 当2-<x 时，0)(>'x f ，∴函数)(x f 在()2,-∞-上是增函数3．函数)(x f 是奇函数，只需讨论函数在（0，1）上的单调性 当10<<x 时，2222)1()1()1()(-'-⋅--⋅'⋅='x x x x x b x f222)1()1(-+-=x x b 若0>b ，则0)(<'x f ，函数)(x f 在（0，1）上是减函数；若0<b ，则0)(>'x f ，函数)(x f 在（0，1）上是增函数．又函数)(x f 是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性．所以当0>b 时，函数)(x f 在（－1，1）上是减函数，当0<b 时，函数)(x f 在（－1，1）上是增函数．说明：分类讨论是重要的数学解题方法．它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了．在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值围，而且要结合函数的定义域来确定)(x f '的符号，否则会产生错误判断．分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力．利用导数求函数的单调区间例 求下列函数的单调区间：1．32)(24+-=x x x f ；2．22)(x x x f -=；3．).0()(>+=b x b x x f 分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误．解：1．函数)(x f 的定义域为R ，x x x x x x f )1)(1(44)(4+-=-='令0)(>'x f ，得01<<-x 或1>x ．∴函数)(x f 的单调递增区间为（－1，0）和),1(+∞；令0)(<'x f ，得1-<x 或10<<x ，∴函数)(x f 的单调递减区间为)1,(--∞和（0，1）．2．函数定义域为.20≤≤x .2122)2()(222x x x x x x x x f --=-'-='令0)(>'x f ，得10<<x ．∴函数)(x f 的递增区间为（0，1）；令0)(<'x f ，得21<<x ，∴函数)(x f 的单调递减区间为（1，2）．3．函数定义域为).)((11)(,022b x b x x x b x f x +-=-='≠ 令0)(>'x f ，得b x >或b x -<．∴函数)(x f 的单调递增区间为),(b --∞和),(+∞b ；令0)(<'x f ，得b x b <<-且0≠x ，∴函数)(x f 的单调递减区间是)0,(b -和),0(b ．说明：依据导数在某一区间的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准．学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式，如将例1函数)(x f 的单调递增区间和递减区间分别写成),1()0,1(+∞-Y 和)1,0()1,(Y --∞ 的错误结果．这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用．求解析式并根据单调性确定参数例 已知c x x f +=2)(，且).1()]([2+=x f x f f1．设)]([)(x f f x g =，求)(x g 的解析式；2．设)()()(x f x g x λϕ-=，试问：是否存在实数λ，使)(x ϕ在()1,-∞-为减函数，且在（－1，0）是增函数．分析：根据题设条件可以求出)(x ϕ的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断．解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数)(x ϕ是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数λ的取值围，使问题获解．解：1．由题意得c c x c x f x f f ++=+=222)()()]([，)1()]([.)1()1(2222+=++=+x f x f f c x x f Θ，∴.1,1,)1()(222222=∴+=+∴++=++c x c x c x c c x∴.1)1()1()]([)(,1)(2222++=+==+=x x f x f f x g x x f2．)2()2()()()(24λλλϕ-+-+=-=x x x f x g x ．若满足条件的λ存在，则.)2(24)(3x x x λϕ-+='∵函数)(x ϕ在()1,-∞-是减函数，∴当1-<x 时，0)(<'x ϕ，即0)2(243<-+x x λ对于)1,(--∞∈x 恒成立．∴.44,1,4)2(222-<-∴-<∴->-x x x λ∴4)2(2-≥-λ，解得4≤λ．又函数)(x ϕ在（－1，0）上是增函数，∴当01<<-x 时，0)(>'x ϕ即0)2(243>-+x x λ对于)0,1(-∈x 恒成立，∴.044,01,4)2(222<<-∴<<--<-x x x Θλ∴4)2(2-≤-λ，解得4≥λ．故当4=λ时，)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数，在（－1，0）上是增函数，即满足条件的λ存在．说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系．因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生很大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决．不善于应用a x f <)(恒成立a x f <⇔max )]([和a x f >)(恒成立a x f >⇔min )]([，究其原因是对函数的思想方法理解不深． 利用导数比较大小例 已知a 、b 为实数，且e a b >>，其中e 为自然对数的底，求证：ab b a >．分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法．根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，一般地，证明),(),()(b a x x g x f ∈>，可以等价转化为证明0)()()(>-=x g x f x F ，如果0)(>'x F ，则函数)(x F 在),(b a 上是增函数，如果0)(≥a F ，由增函数的定义可知，当),(b a x ∈时，有0)(>x F ，即)()(x g x f >．解：证法一：e a b >>Θ，∴要证a b b a >，只要证b a a b ln ln >，设)(ln ln )(e b b a a b b f >-=，则ba ab f -='ln )(． e a b >>Θ，∴1ln >a ，且1<ba ，∴.0)(>'b f ∴函数b a a b b f ln ln )(-⋅=在),(+∞e 上是增函数．∴0ln ln )()(=-=>a a a a a f b f ，即0ln ln >-b a a b ，∴.,ln ln a b b a b a a b >∴>证法二：要证a b b a >，只要证)(ln ln b a e b a a b <<>⋅， 即证b b a a ln ln >，设)(ln )(e x x x x f >=，则0ln 1)(2<-='x x x f ， ∴函数)(x f 在),(+∞e 上是减函数．又)()(,b f a f b a e >∴<<Θ，即.,ln ln a b b a bb a a >∴> 说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合．解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出)()()()(x g x f x g x f >⇒'>'的错误结论．判断函数在给定区间上的单调性例 函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y 11log 21在区间),0(+∞上是（ ） A ．增函数，且0>y B ．减函数，且0>yC ．增函数，且0<yD ．减函数，且0<y分析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y 的大小；二是要判断此函数的单调性．解：解法一：令xu 11+=，且1),,0(>∴+∞∈u x ， 则0log 21<=u y ，排除A 、B ．由复合函数的性质可知，u 在 ),0(+∞上为减函数． 又u y 21log =亦为减函数，故⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y 11log 21在 ),0(+∞ 上为增函数，排除D ，选C ． 解法二：利用导数法0log )1(11log 1112221>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅+='e x x x e x y （),0(+∞∈x ），故y 在),0(+∞上是增函数．由解法一知0<y ．所以选C ．说明：求函数的值域，是中学教学中的难关．一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以用函数的单调性求出最大、最小值等（包括初等方法和导数法）．对于复合函数的单调性问题，简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进行判断，但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的．利用公式2求函数的导数例 求下列函数的导数：1．12x y =；2．41xy =；3．53x y =． 分析：根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构施行调整．函数41xy =和53x y =的形式，这样，在形式上它们都满足幂函数的结构特征，可直接应用幂函数的导数公式求导． 解：1．.1212)(1111212x xx y =='='- 2．.44)4()(55144x x xx y -=-=-='='---- 3．.535353)()(52521535353xx x x x y ==='='='-- 说明：对于简单函数的求导，关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，以免求导过程中出现指数或系数的运算失误．运算的准确是数学能力高低的重要标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨，步骤完整的解题习惯，要形成不仅会求，而且求对、求好的解题标准．根据斜率求对应曲线的切线方程例 求曲线122-=x y 的斜率等于4的切线方程．分析：导数反映了函数在某点处的变化率，它的几何意义就是相应曲线在该点处切线的斜率，由于切线的斜率已知，只要确定切点的坐标，先利用导数求出切点的横坐标，再根据切点在曲线上确定切点的纵坐标，从而可求出切线方程．解：设切点为),(00y x P ，则 x x y 4)12(2='-='，∴40='=x x y ，即440=x ，∴10=x当10=x 时，10=y ，故切点P 的坐标为（1，1）．∴所求切线方程为)1(41-=-x y即.034=--y x说明：数学问题的解决，要充分考虑题设条件，捕捉隐含的各种因素，确定条件与结论的相应关系，解答这类问题常见的错误是忽略切点既在曲线上也在切线上这一关键条件，或受思维定势的消极影响，先设出切线方程，再利用直线和抛物线相切的条件，使得解题的运算量变大．求直线方程例 求过曲线x y cos =上点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,3πP 且与过这点的切线垂直的直线方程． 分析：要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点P 处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程．解：x y cos =Θ，∴.sin x y -=' 曲线在点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,3πP 处的切线斜率是.233sin 3-=-='=ππx y ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为32， ∴所求的直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-33221πx y ，即0233232=+--πy x ． 说明：已知曲线上某点的切线这一条件具有双重含义．在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数y '是否为零，当0='y 时，切线平行于x 轴，过切点P 垂直于切线的直线斜率不存在．求曲线方程的交点处切线的夹角例 设曲线21x y =和曲线xy 1=在它们的交点处的两切线的夹角为α，求αtan 的值． 分析：要求两切线的夹角，关键是确定在两曲线交点处的切线的斜率．根据导数的几何意义，只需先求出两曲线在交点处的导数，再应用两直线夹角公式求出夹角即可．解：联立两曲线方程⎪⎩⎪⎨⎧==--12xy x y 解得两曲线交点为（1，1）． 设两曲线在交点处的切线斜率分别为21k k 、，则.111,221121213121-=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛=====x x x x x x k x x k 由两直线夹角公式.31)1()2(1)1(21tan 2121=-⋅-+---=⋅+-=k k k k α 说明：探求正确结论的过程需要灵巧的构思和严谨的推理运算．两曲线交点是一个关键条件，函数在交点处是否要导也是一个不能忽视的问题，而准确理解题设要求则是正确作出结论的前提．求常函数的导数例 设2π=y ，则y '等于（ ）A ．π2B ．2πC ．0D ．以上都不是分析：本题是对函数的求导问题，直接利用公式即可解：因为π是常数，常数的导数为零，所以选C ．根据条件确定函数的参数是否存在例 已知函数1log )(223++++=cx x b ax x x f ，是否存在实数a 、b 、c ，使)(x f 同时满足下列三个条件：（1）定义域为R 的奇函数；（2）在[)+∞,1上是增函数；（3）最大值是1．若存在，求出a 、b 、c ；若不存在，说明理由．分析：本题是解决存在性的问题，首先假设三个参数a 、b 、c 存在，然后用三个已给条件逐一确定a 、b 、c 的值．解：)(x f 是奇函数.1,0log 0)0(3=∴=⇒=⇒b b f又)()(x f x f -=-Θ，即11log 11log 223223++++-=+-+-cx x ax x cx x ax x ， ∴222222222222)1()1(1111x c x x a x axx cx x cx x ax x -+=-+⇔++++=-+-+． ∴c a c a =⇒=22或c a -=，但c a =时，0)(=x f ，不合题意；故c a -=．这时11log )(223+++-=cx x cx x x f 在[)+∞,1上是增函数，且最大值是1． 设11)(22+++-=cx x cx x x u 在[)+∞,1上是增函数，且最大值是3． 222222222)1()1)(1(2)1()1(2)1()1)(2()1)(2()(++-+=++-=+++-+-++-='cx x x x c cx x x c cx x cx x c x cx x c x x u Θ，当1>x 时0)(012>'⇒>-x u x ，故0>c ；又当1-<x 时，0)(>'x u ；当)1,1(-∈x 时，0)(<'x u ；故0>c ，又当1-<x 时，0)(>'x u ，当)1,1(-∈x 时，0)(<'x u ．所以)(x u 在),1()1,(+∞--∞Y 是增函数，在（－1，1）上是减函数．又1>x Θ时，1,1)(,1122-=∴<++<+-x x u cx x cx x 时)(x u 最大值为3． ∴.1,1,31111-===+-++a c c c 经验证：1,1,1==-=c b a 时，)(x f 符合题设条件，所以存在满足条件的a 、b 、c ，即.1,1,1==-=c b a说明：此题是综合性较强的存在性问题，对于拓宽思路，开阔视野很有指导意义． 此题若用相等方法解决是十分繁杂的，甚至无技可施．若用求导数的方法解决就迎刃而解．因此用导数法解决有关单调性和最值问题是很重要的数学方法．切不可忘记．供水站建在何处使水管费最少例 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？分析：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C 的位置．解：解法一：根据题意知，只有点C 在线段AD 上某一适当位置，才能使总运费最省，设C 点距D 点x km ，则222240,50,40+=+=∴-==x CD BD BC x AC BD Θ又设总的水管费用为y 元，依题意有).500(405)50(322<<++-=x x a x a y224053++-='x axa y ．令0='y ，解得.30=x在（0，50）上，y 只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在30=x （km ）处取得最小值，此时2050=-=x AC （km ）．∴供水站建在A 、D 之间距甲厂20km 处，可使水管费用最省．解法二：设θ=∠BCD ，则).20(,cot 40,sin 40πθθθ<<⋅==CD BC ∴θcot 4050⋅-=AC ．设总的水管费用为)(θf ，依题意，有 θθθθθsin cos 3540150sin 405)cot 4050(3)(-⋅+=⋅+⋅-=a a a a f ∴θθθθθθ2sin )(sin )cos 35(sin )cos 35(40)('⋅--⋅'-⋅='a fθθ2sin cos 5340-⋅=a 令0)(='θf ，得53cos =θ． 根据问题的实际意义，当53cos =θ时，函数取得最小值，此时20cot 4050,43cot ,54sin =-=∴=∴=θθθAC （km ），即供水站建在A 、D 之间距甲厂20km 处，可使水管费用最省．说明：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数．把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解．对于这类问题，学生往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．运算不过关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路，在此正需要我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，并从中进行一番选择．利用导数求函数的最值例 求下列函数的最值：1．)33(,3)(3≤≤--=x x x x f ；2．)22(,2sin )(ππ≤≤--=x x x x f ；3．)0,0,10(,1)(22>><<-+=b a x xb x a x f 4．21)(x x x f -+=．分析：函数)(x f 在给定区间上连续可导，必有最大值和最小值，因此，在求闭区间[]b a ,上函数的最值时，只需求出函数)(x f 在开区间),(b a 的极值，然后与端点处函数值进行比较即可．解：1．233)(x x f -='，令0)(='x f ，得1±=x ，∴2)1(,2)1(-=-=f f ．又.18)3(,0)3(-==-f f∴.18)]([,2)]([min max -==x f x f2．12cos 2)(-='x x f ，令0)(='x f ，得6π±=x ， ∴6236,6236ππππ+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ，又22,22ππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ． ∴.2)]([,2)]([min max ππ-==x f x f 3．2222222222)1()1()1()(x x x a x b x b x a x f ---=-+-='． 令0)(='x f ，即0)1(2222=--x a x b ，解得.b a a x +=当b a a x +<<0时，0)(<'x f ，当1<<+x ba a 时，0)(>'x f ． ∴函数)(x f 在点ba a x +=处取得极小值，也是最小值为 .)(2b a b a a f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+即2min )()]([b a x f +=． 4．函数定义域为11≤≤-x ，当)1,1(-∈x 时，.11)(2x xx f --='令0)(='x f ，解得22=x ，∴222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛f ， 又1)1(,1)1(=-=-f f ，∴.1)]([,2)]([min max -==x f x f说明：对于闭区间[]b a ,上的连续函数，如果在相应开区间),(b a 可导，求[]b a ,上最值可简化过程，即直接将极值点与端点的函数值比较，即可判定最大（或最小）的函数值，就是最大（或最小）值．解决这类问题，运算欠准确是普遍存在的一个突出问题，反映出运算能力上的差距．运算的准确要依靠运算方法的合理与简捷，需要有效的检验手段，只有全方位的“综合治理”才能在坚实的基础上形成运算能力，解决运算不准确的弊病．求两变量乘积的最大值例 已知y x 、为正实数，且满足关系式04222=+-y x x ，求y x ⋅的最大值．分析：题中有两个变量x 和y ，首先应选择一个主要变量，将y x 、表示为某一变量（x 或y 或其它变量）的函数关系，实现问题的转化，同时根据题设条件确定变量的取值围，再利用导数（或均值不等式等）求函数的最大值．解：解法一：222221,0,24x x y y x x y -=∴>-=Θ，∴2221x x x y x -=⋅． 由⎩⎨⎧≥->0202x x x 解得20≤<x ． 设).20(221)(2≤<-==x x x x xy x f 当20<<x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-='222)1(221)(x x x x x x x f 222)23(x x x x --=．令0)(='x f ，得23=x 或0=x （舍）． ∴83323=⎪⎭⎫⎝⎛f ，又0)2(=f ，∴函数)(x f 的最大值为833． 即y x ⋅的最大值为833． 解法二：由04222=+-y x x 得)0,0(14)1(22>>=+-y x y x ， 设)0(sin 21,cos 1πααα<<==-y x ， ∴)cos 1(sin 21αα+=⋅y x ，设)cos 1(sin 21)(ααα+=f ， 则[]ααααcos )cos 1(sin 21)(2⋅++-='f .21cos )1(cos )1cos cos 2(212⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=αααα 令0)(='αf ，得1cos -=α或21cos =α． 3,0παπα=∴<<Θ，此时.43,23==y x ∴.8333,8333max=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππf f 即当43,23==y x 时，[].833max =⋅y x 说明：进行一题多解训练，是一种打开思路，激发思维，巩固基础，沟通联系的重要途径，但要明确解决问题的策略、指向和思考方法，需要抓住问题的本质，领悟真谛，巧施转化，方可快捷地与熟悉的问题接轨，在实现转化的过程中，关键是要注意变量的取值围必须满足题设条件，以免解题陷于困境，功亏一篑．直接利用导数的运算法则求导例 求下列函数的导数：1．65324+--=x x x y ； 2．x x y tan ⋅=3．)3)(2)(1(+++=x x x y ； 4．.11+-=x x y 分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成．解：1．)653(24'+--='x x x y.564)6(5)(3)(324--='+'-'-'=x x x x x 2．x x x x x x x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )sin (cos sin )tan ('⋅-⋅'='⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅='⋅=' xx x x x x x x x x x x x 22222cos )sin (cos cos sin cos sin cos )cos (sin ⋅+⋅=+⋅+= .cos 222sin cos sin cos 2sin 212222xx x x x x x x x +=++= 3．解法一：)3)(2)(1()3(])2)(1[('+++++'++='x x x x x x y)2)(1()3]()2)(1()2()1[(++++'++++'+=x x x x x x x)2)(1()3)(12(+++++++=x x x x x)2)(1()3)(32(+++++=x x x x.111232++=x x解法二：611623+++=x x x y ，∴ .111232++='x x y 4．解法一：2)1()1)(1()1()1(11+'+--+'-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='x x x x x x x y.)1(2)1()1()1(22+=+--+=x x x x 解法二：121+-=x y ， 2)1()1(2)1()2()12(121+'+-+'-='+-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='x x x x x y .)1(22+=x 说明：理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件，运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法同．求导过程中符号判断不清，也是导致错误的因素．从本题可以看出，深刻理解和掌握导数运算法则，再结合给定函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，才能充分调动思维的积极性，在解决新问题时举一反三，触类旁通，得心应手．化简函数解析式在求解例 求下列函数的导数．1．xx x x y 975++=；2．4cos 4sin 44x x y +=； 3．x x x x y +-+-+=1111；4．).4cos 21(2sin 2x x y --= 分析：对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使问题求解过程繁琐冗长，且易出错．可先对函数解析式进行合理的恒等变换，转化为易求导的结构形式再求导数．解：1．432975x x x xx x x y ++=++=， ∴.43232x x x y ++='2．4cos 4sin 24cos 4sin 22222x x x x y ⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+= x x x cos 41432cos 12112sin212+=-⋅-=-= ∴ .sin 41cos 4143x x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=' 3．.2141)1(21)1(1)1(22--=-+=--+-+=xx x x x x x y。