高等工程数学试题及参考答案-工程硕士

中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷

考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟

注：解答全部写在答题纸上

一、填空题(本题24分，每小题3分) 1. 若方程0)(=x f 可表成)(x x

ϕ=，且在[,]a b 内有唯一根*x ，那么)(x ϕ满足

，则由迭代公式)(1

n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定收敛于*x 。

（)(x ϕ满足：1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈, '()1x L ϕ≤<；）

2. 已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)T

f x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的最速下降方

向为 （最速下降方向为：()4,2T

p =-）

； 3．已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)T

f x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的Newton 方

向为 （Newton 方向为： ()2,0T

p =-）

； 4．已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =L ，则其三次样条插值函数)(x S 是满足 （（1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式，（2）在区间[,]a b 上二阶导数连续，（3）满足插值条件(),0,1,2,,i i S x y i n ==L ）；

5．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值12(,,,)n X X X L 落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为________（0.15） ；

6．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 大 愈好，而置信区间的长度愈 短 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 变长 ； 7

．

取

步

长

2

.0=h ，解

]1,0[,1

)0(2'∈⎩⎨

⎧=-=x y y

x y 的Euler 法公式为：

（1(2)0.60.2,0,1,2,,5n n n n n n y y h x y y x n +=+-=+=L ）；

8．对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有： （模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差。） 。

二、（本题8分）某钢铁公司生产一种合金，要求的成分是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍介于35%到55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如下表。矿石杂质在冶炼中废弃，并假设矿石在冶炼过程中金属含量没有发生变化。

（1）建立线性优化模型，安排最优矿物冶炼方案，使每吨合金产品成本最低。（不要求计算出结果）； （2）写出所建立的模型的对偶形式。

（1）设 ,1,2,5)j x j =L （

是第j 种矿石的数量，目标是使成本最低，得线性规划模型如下： 123451245124513512345123451min 340260*********..0.250.40.20.080.280.10.150.20.050.150.10.050.150.1

0.250.30.20.40.170.550.250.30.20.40.170.350.70Z x x x x x s t

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++≥+++≤++=++++≤++++≥+2345.70.40.80.4510,

1,2,5

j x x x x x j +++=≥=L 4分

（2）上述线性规划模型的对偶形式如下：

1234561234561456234561245612max 0.280.150.10.550.35..0.25-0.1

0.10.250.250.73400.40.30.30.7260

0.150.050.20.20.41800.20.20.40.40.8230

0.080.050.1f y y y y y y s t

y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =-+-+++-++≤-++≤-+-++≤--++≤-+345611

12453650.170.170.451900,0,0,0,,y y y y y y y y y R y R -++≤≥≥≥≥∈∈ 4分

三、（本题8分）已知)(x f 的数据如表：

试求三次插值多项式P(x)，求(4)f 的近似值，并给出相应的误差估计式。 解：

用Newton 插值法求)(x f 的插值多项式，由所给数据如表可得差商表如下：

由差商表得出)(x f 的三次插值多项式为：

30.25 1.375

()0.5(1)(1)(3)342

N x x x x x x x =+

---- 3分 于是有

30.25 1.375

(4)(4)0.5443431342

2.7518.25

2177

f N ≈=⨯+

⨯⨯-⨯⨯⨯=+-=

2分

相应的误差估计式为：

3()[0,1,3,7,](1)(3)(7)

[0,1,3,7,4]431(0.000075(36)3)0.0027

R x f x x x x x f -⨯-==---=⨯⨯⨯⨯-≈ 2分

四、（本题12分）为了考察硝酸钠NaNO 3的可容性温度之间的关系，对一系列不同的温度（C 0

），观察它在100的水中溶解的NaNO 3的重量（g ），得观察结果如下：

温度x 20 30 33 40 15 13 26 38 35 43 重量y 7 9 8 11 5 4 8 10 9 10

（1） 求Y 对X 的线性回归方程。（结果保留小数点后两位。）

29310

1

=∑=i i

x

,

8110

1

=∑=i i

y

,

∑==10

1

2574i i i

y x

,

957710

1

2

=∑=i i

x

,

70110

1

2=∑=i i

y

（2）对回归方程的显著性进行检验。（取显著水平为0.05，0.01），0.05(1,8)=5.32F 0.01(1,8)11.26F =，

0.050.01(8) 1.8595

(8) 2.8965t t ==。

解：

（１）29.38.1x y ==

25741029.38.1200.7xY i i L x y nx y =-⋅=-⨯⨯=∑ 2

2225741029.3992.1xx i L x nx =-=-⨯=∑