高等工程数学试题及参考答案-工程硕士
工程硕士(GCT)数学-98_真题(含答案与解析)-交互
工程硕士(GCT)数学-98(总分100, 做题时间90分钟)一、单项选择1.函数的最大值是．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B当且仅当，即x=±2时等号成立．所以对一切非零的最小值为8，f(x)最大值为．综上，f(x)在(-∞,+∞)上的最大值为．故选B．2.函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是。
•**=0•**+b=0•**=b**+b2=0SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D[解析] 先看必要性，若f(x)是奇函数，则对于x∈R，都有f(-x)=-f(x)即-x|-x+a|+b= -x|x+a|-b，则a=b=0故a2+b2=0，反之，若a2+b2=0，则a=b=0所以f(x)=x|x|，则f(-x)=-x|-x|=-f(x)因此f(x)为奇函数。
故正确答案为D。
3.则n的最小值为。
•**•**•****SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:A[解析]故n的最小值为7，故正确答案为A。
4.一个圆柱底面直径和高都为8，一个圆锥底面直径和高都为4，则圆锥和圆柱的体积比为．•**:2•**:24•**:2**:4SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B[解析] 圆柱的体积为：π×42×8，圆锥的体积为：，则圆锥和圆柱的体积比为。
故选B。
5.已知f(x)对一切x满足，如f'(x0)=0(x≠0)，则( )．• A. f(x0)是f(x)的极小值• B. f(x0)是f(x)是极大值• C. (x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点• D. f(x0)不是f(x)的极值，(x0，f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:A[解析] f'(x0)=0，x=x为驻点，对当x0＜0时，f"(x)>0；x＞0，f"(x)＞0．故f(x)为f(x)的极小值，故选(A)．6.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D7.在Rt△ABC中，∠C为直角，则cosB= ．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D∠C为直角且，则∠A=45°，从而∠B=45°，有选(D)．8.在△ABC中，若c-a等于AC边上的高h，则等于。
中南大学高等工程数学试题及参考答案.docx
中南大学专业硕士“高等工程数学Ⅰ”考试试卷（开卷）考试日期： 2014 年月日时间 100 分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题 ( 本题 24 分，每小题 3 分 )1111324（1）如果Ax b, A 161，矩阵 A 1， A，利用 Gauss-Seidel 迭253113344代法求解此方程组是否收敛；答案：953，收敛，212解析： || A ||1为列范数，等于各列绝对值之和的最大值，||A ||为行范数，等于各行绝对值之和的最大值， A 为严格对角占优矩阵，根据课本P143定理 5.4.12 知， Jacobi 和 G-S 均收敛。
（ 2）利用迭代法求解非线性方程 f ( x) 2x e x0 的根，取初值 x0 0.5 。
给出一个根的存在区间，在该区间上收敛的迭代函数为；答案： [-1 ，0] ，g( x) 1 e x2解析：1 1 xf (1)20,f(0)10 ，故在[-10]g(x)e，根据课本P93定理 4.2.32e1可知迭代函数收敛的条件：（1）在[-1,0] 上一阶导数存在；（ 2）x [1,0] ，均有 | g(x) |[-1,0]；（3）| g' ( x) |max 1 ，2 1e x在[-1,0]上收敛。
故 g( x)2（3）设事件A发生的概率为p，在 n 次重复试验中事件m np近似服A 发生次数为m，当 n 充分大时，m )m(1n从的分布为；答案:N (0,1)解析：课本 P187 定理 7.2.4（4）设x1 , x2 , x3 , x4[ 1,1] ，若数值积分公式1 f (x)dx A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 ) A3 f ( x3 )A4 f ( x4 ) 的代数精度大于11，则A1A2A3A4；答案： 21解析：令 f ( x) 1 ，可得1dx2A1 A2A3A4。
1（ 5）已知y f ( x) 通过点(x i, y i), i0,1,2,3 ，则其Lagrange插值基函数l2( x)；答案： l 2 ( x)(x x0 )( x x1)( x x3 ) ( x2 x0 )( x2x1 )( x2x3 )解析：课本 P20 拉格朗日插值基函数的定义（式 2.3.2）。
高等工程数学考试部分答案1
工程硕士学位课程考试
高等工程数学试题
注意：每位考生只要选做以下两部分试题，答案必须写在答题纸上
矩阵分析部分
一．（6分）设求值。
解：参考试题2第一题
二．（8分）已知函数矩阵：，求矩阵
解：参考试题2第二题
三．（10分）设向量
与，令，
（1）求的一组基和维数；（2）求维数。
解：参考试题2第三题
四．（10分）设，
1．求的Jordan标准形及最小多项式；
解: 矩阵的最小多项式为, Jordan标准形为
2。
求解初值问题
解：参考试题2第四题（2）小题
五．（8分）设与是线性空间的两个基，为从基到的过渡矩阵，为的一个线性变换，在基下的矩阵，求线性变换在基下的矩阵。
解: 由题意有
所以由第一式有
把第二式和第三式代入得到
把第一式代入左边得到
从而有, 所以
六．（8分）设且可逆，，求证：的特征值都是正数。
证明: 因为为正规矩阵, 所以酉矩阵与对角矩阵. 即存在酉矩阵, 使得, 其中为对角矩阵, 从而
所以的元素全为实数. 设为任意一个特征值, 是属于的特征向量, 则有
得证.。
南京理工大学工程硕士高等工程数学题081数值分析部分
数值分析（计算方法）部分一． （8分）求一个次数不高于3的多项式)(x f ，使它满足：,3)1(,4)0(==f f0)1(,8)2(/==f f ，并求差商]3,1,1,3[--f 的值。
解：先用f(0)=4,f(1)=3,f(2)=8求N 2(x) 商差表：0 413-12 8 5 3∴ N 2(x)=4+(-1)(x-0)+3(x-0)(x-1)=4-4x+3x 2∵ f(x)次数≤3∴ 可设f(x)= N 2(x)+k(x-0)(x-1)(x-2)（k 为待定常数）f(x)=4-4x+3x 2+k(x 3-3x 2+2x) ∴ f ’(x)=6x-4+k(3x 2-6x+2)f ’(1)=6-4+k(3-6+2)=2-k=0 ∴ k=2∴ f(x)= 4-4x+3x 2+2(x 3-3x 2+2x)=2x 3-3x 2+4∴ (3)f ()23!f[3,1,1,3]23!3!ξ⨯--===二．（10分）用迭代法求解方程：02010223=-++x x x 的所有实数根（要求判断根的个数及范围，构造收敛的迭代格式，并且求出精确到510-的近似根）。
解：设f(x)=x 3+2x 2+10x-20∵ f ’(x)=3x 2+4x+10=2x 2+(x+2)2+6>0 (x (,)∀∈-∞+∞)∴ f(x)在(-∞,+∞)上单调递增 ∴ 方程最多有一个实根∵ f(1)=-7<0，f(2)=16>0∴ 方程有且仅有一个实根x *，并且x *∈(1,2) 选用Neuton 迭代法32k k k k k 1k k 2k k k f (x )x 2x 10x 20x x x f '(x )3x 4x 10+++-=-=-++ (k=0,1,2,……) 它在单根x *附近至少平方收敛计算，选取x 0=1.5x 1=1.373626，x 2=1.368815，x 3=1.368808 ∵ |x 3-x 2|=0.000007<10-5∴ 1.36881为精确到10-5的近似根1．用列主元素法解方程组： ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13814142210321321x x x 2．写出用Seidel Gauss-迭代法求解线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--13741133403312321x x x 的迭代格式，并讨论其收敛性。
高等工程数学试题及参考答案-工程硕士
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分) 1. 若方程0)(=x f 可表成)(x xϕ=，且在[,]a b 内有唯一根*x ，那么)(x ϕ满足，则由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定收敛于*x 。
（)(x ϕ满足：1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈, '()1x L ϕ≤<；）2. 已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)Tf x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的最速下降方向为 （最速下降方向为：()4,2Tp =-）； 3．已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)Tf x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的Newton 方向为 （Newton 方向为： ()2,0Tp =-）； 4．已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =L ，则其三次样条插值函数)(x S 是满足 （（1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式，（2）在区间[,]a b 上二阶导数连续，（3）满足插值条件(),0,1,2,,i i S x y i n ==L ）；5．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值12(,,,)n X X X L 落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为________（0.15） ；6．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 大 愈好，而置信区间的长度愈 短 愈好。
但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 变长 ； 7．取步长2.0=h ，解]1,0[,1)0(2'∈⎩⎨⎧=-=x y yx y 的Euler 法公式为：（1(2)0.60.2,0,1,2,,5n n n n n n y y h x y y x n +=+-=+=L ）；8．对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有： （模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差。
工程硕士(GCT)数学-4_真题(含答案与解析)-交互
工程硕士(GCT)数学-4(总分100, 做题时间90分钟)单项选择题1.设，则下列结论中错误的是( )．SSS_SINGLE_SELA (A) 当a≤0时，不存在B (B) 当0＜a≤1时，f(x)在x=0处连续但不可导C (C) 当1＜a＜2时，f(x)在x=0处可导但导函数不连续D (D) 当a=2时，f(x)在，x=0处导函数连续该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[解析] a≤0时，不存在，(A)正确；0＜a≤1时，=不存在，故f(x)在x=0处连续但不可导，B正确；1＜a＜2时，．不存在，故f(x)在x=0处可导但导函数不连续，(C)正确；a=2时，f'(0)=不存在，(D)错误，选(D)．2.一辆汽车从甲地出发匀速行驶，本可准时到达乙地，但在距乙地180km处，意外受阻30分钟，因此需每小时增加5km的时速，才能在原定时间到达乙地，则提速后汽车的速度是每小时( )km．SSS_SINGLE_SELA (A) 40B (B) 45C (C) 50D (D) 52该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[解析] 设汽车原速度为v，则，解得v=40或v=-45(舍去)，故提速后为v=45，选(B)．3.如图63所示，两个等腰直角三角形叠放在一起，AF长3，AC长12，DE长8，重叠部分(阴影部分)五边形AGHID的面积是( )．SSS_SINGLE_SELA (A) 26B (B) 27C (C) 26.5D (D) 以上均不正确该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[解析] AC=12，所以S△ABC=72；AF=3，DE=DF=8，AD=5，即CD=7，所以；AB=12，AG=3，BG=9，故，从而阴影部分面积是S△ABC -S△BGH=S△CDI=，选(D)．4.满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是( )．SSS_SINGLE_SELA (A) 一条直线B (B) 两条直线C (C) 圆D (D) 椭圆该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] |z-i|=|3+4i||z-i|=5，表示圆心在(0，1)，半径为5的圆，选(C)．5.已知A为n阶方阵，E为n阶单位阵，且(A-E)2=3(A+E)2，给出4个结论(1) A+E可逆；(2) A+2E可逆；(3) A+3E可逆；(4) A+4E可逆，以上结论中正确的有( )．SSS_SINGLE_SELA (A) 1个B (B) 2个C (C) 3个D (D) 4个该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[解析] (A-E)2=3(A+E)22A2+8A+E=0，有(A+E)(2A+6E)=5E，故A+E可逆；(A+2E)(2A+4E)=7E，故A+2E可逆；(A+3E)(2A+2E)=5E，故A+3E可逆；2A(A+4E)=-E，故A+4E可逆，选(D)．6.已知点A的坐标为(-1，1)，直线z的方程为3x+y=0，那么直线l关于点A的对称直线l'的方程为( )．SSS_SINGLE_SELA (A) 4x-y+6=0B (B) 4x+y+6=0C (C) x+3y+4=0D (D) 3x+y+4=0该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[解析] 显然两直线平行，在l上取点(0，0)，A的对称点是(-2，2)，故直线方程为y-2=-3(x+2)，即3x+y+4=0，选(D)．7.装台机器需要甲，乙，丙三种部件各一件，现库中存有这三种部件共270件，分别用甲，乙，丙库存件数的装配若干机器，那么原来存有甲种部件( )．SSS_SINGLE_SELA (A) 80B (B) 90C (C) 100D (D) 110该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] 设甲、乙、丙存件数分别为x，y，z，则，解得选(C)．8.设，则( )．SSS_SINGLE_SELA (A) A～BB (B) B～CC (C) A～CD (D) 以上均不正确该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] 对于矩阵B，当特征值为1时对应的线性无关的特征向量只有(1，0，0)T，故不可对角化，同理矩阵C可对角化，从而A～C，选(C)．9.等差数列{an )中，a5＜0，a6＞0，且a6＞|a5|，Sn是前n项之和，则( )．SSS_SINGLE_SELA(A) S1，S2，S3均小于0，而S4，S5……均大于0B(B) S1，S2……，S5均小于0，而S6，S7……，均大于0C(C) S1，S2……，S9均小于0，而S10，S11均大于0D(D) S1，S2……，S10均小于0，而S11，S12……均大于0该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] ，选(C)．10.双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1与F2．设∠F1MF2=120°，则该双曲线的离心率为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[解析] 设双曲线方程为，则取M的坐标为(0，b)，而F1的坐标为(c，0)，又∠OMF2=60°，即，所以，选(B)．11.平面中的4个点P1，P2，P3，P4在某个球面上，P1P2=P2P3=P3P4=P4P1=3，球心到该平面的距离是其半径的一半，则球的体积是( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[解析] P1，P2，P3，P4构成一正方形，且该正方形所在圆面的半径为，设球半径为r，则，即，所以球体积为，选(B)．12.直线ax+b+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形是( )．SSS_SINGLE_SELA (A) 锐角三角形B (B) 直角三角形C (C) 钝角三角形D (D) 等边三角形该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[解析] 根据直线与圆相切，有，所以a2+b2=c2，选(B)．13.A，B为n阶矩阵，k为自然数，如AB=BA，则称A和B可交换，下面命题错误的是( )．SSS_SINGLE_SELA (A) 若A，B都为对称阵，则A，B可交换B(B) 若A，B可交换，则AB k与BA k可交换C (C) 若A-B与A+B可交换，则A与B可交换D (D) 若A，B互为逆矩阵，则A与B可交换该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A[解析] (AB)T=B T A T=BA，选(A)．14.若AB-A-B=E，，则|B|=( )．SSS_SINGLE_SELA (A) 6B (B) 9C (C) -9D (D) 18该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] AB-A-B=E(A-E)B=A+E，由A-E可逆，从而|B|=|(A-E)-1(A+E)|=9，选(B)．15.曲线与直线x=-2，x=2及x轴所围成的平面图形的面积为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A[解析] 如图69所示，由于在(-2，2)内是奇函数，所以=，选(A)．16.设Sn =1-2+3-4…+(-1)n-1n，b=1，2，3…，则S17+S33+S50=( )．SSS_SINGLE_SELA (A) 1B (B) 0C (C) 6D (D) -1该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A[解析] S17=1-2+3-…+17=9，同理S33=17，S50=-25，所以S17+S33+S50=1，选(A)．17.关于x的不等式|3-x|+|x-2|＜a的解集为空集，则实数a的取值范围是( )．SSS_SINGLE_SELA (A) a＞1B (B) a≤1C (C) a＜1D (D) a≥1该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[解析] 根据图像|3-x|+|x-2|的最小值为1，则a≤1时不等式无解，选(B)．18.某人忘记三位号码锁(每位均有0～9共10个数码)的最后一个数码，因此在正确拨出前两个数码后，只能随机地试拨最后一个数码，每拨一次算作一次试开，则他在第4次试开时才将锁打开的概率是( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[解析] 不知道最后一个号码时，前3次错误，第4次正确，故概率为=，选(D)．19.如图62所示，Rt△ABC中，∠C=90°，半圆的圆心O在AB上，AC和BC分别切半圆于E和F，AC=b，BC=a，则的半径为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[解析] 连接OC，有S△ABC =S△OAC+S△OBC，即，选(B)．20.齐次线性方程组若存在3阶非零矩阵B，使得AB=0，则( )．SSS_SINGLE_SELA (A) t=-2，且|B|=0B (B) t=-2，且|B|≠0C (C) t=1，且|B|≠0D (D) t=1，且|B|=0该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[解析] ，显然t=1时，B矩阵只要满足r(B)≤2即可，若t≠1需要B=0，选(D)．21.若曲线y=k-x2与在x＞0的某点处相切，则k=( )．SSS_SINGLE_SELA (A) 1B (B) 2C (C) 3D (D) 4该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] 先求两直线的切线斜率，分别为-2x和，令，即x=1，y=2，所以，两直线过(1，2)点，从而有k=3，选(C)．22.把四封不同的信投入三个不同的邮箱，且每个邮箱至少投一封信，共有( )种投法．SSS_SINGLE_SELA (A) 12B (B) 21C (C) 36D (D) 42该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] 有个信箱至少要投两封信，所以答案为，选(C)．23.设，当x→0时，与f(x)等价的无穷小量是( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[解析] ，有k=6，，即，选(D)．24.设函数，则=( )．SSS_SINGLE_SELA (A) -1B (B) 0C (C) 1D (D) 2该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] ，而-1＜x＜1时f(x)为奇函数，故，又，所以，选(C)．25.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为1/4的等差数列，则|m-n|=( )．SSS_SINGLE_SELA (A) 2B (B) 1C (C)D (D)该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] 假设四个根分别为a，b，c，d．则有，已知四个根为首项为的等差数列，所以末项应为，从而可得中间两项分别为，m，n分别为．从而等差数列为所以|m-n|=．选(C)．1。
最新最全中南大学高等工程数学附答案
生产。工厂规定的经济规模为微型车 1500 辆，中级车 1200 辆，高级车 1000 辆，请建立使
该厂的利润最大的生产计划数学模型。
钢材（吨） 人工（小时） 利润
微型车 1.5 30 2
中级车 2 40 3
高级车 2.5 50 4
资源可用量 6000（吨） 55000（小时）
解：设微型车生产了 x1 辆，中级车生产了 x2 辆，高级车生产了 x3 辆，而钢材、人工均有限 制，所以应满足限制条件：
满足插值条件 S（xi）=yi（i=1，2，…，n）；
5．随机变量 X ~ N(3, 4),(X1, X2,, X10) 为样本， X 是样本均值，则 X ~ N（3，
0.4）；
6．正交表 LN (np mq ) 中各字母代表的含义为 L 表示正交表，N 表示试验次数，n、m
表示因子水平数，p、q 表示试验至多可以安排因素的个数 ；
（(x) 满足：(x) C1[a,b],且 x [a,b] 有(x)[a,b] , ' (x) L 1 ；）
2. 已知二元非线性函数 f (x) x12 x1x2 x22 2x1 4x2 , X0 (2, 2)T ，该函数从 X0 出发
的最速下降方向为（最速下降方向为： p 4, 2T ）；
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）1
考试日期：2010 年 4 月
注：解答全部写在答题纸上
日 时间 110 分钟
一、填空题(本题 24 分，每小题 3 分)
1.若函数(x) C1[a,b],且 x [a,b]有(x) [a,b] 和 '(x) L 1, 则方程
x (x) 在[a, b] 上的解存在唯一，对 任意 x0 a,b为初值由迭代公式 xn1 (xn ) 产生的序列 xn 一定收敛于方程
中南大学高等工程数学试题
中南大学工程硕士“高等工程数学〞考试试卷〔开卷〕考试日期：2021年 4 月 日 时刻110分钟注：解答全数写在答题纸上一、填空题(此题24分，每题3分)1. 假设函数1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈和1)('<≤L x ϕ, 那么方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解存在唯一，对 任意[]b a x ,0∈为初值由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 必然收敛于方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解*x ，且有误差估量式*x x k-≤L-1ε；2. 成立最优化问题数学模型的三要素是： 确信决策变量 、 成立适当的约束条件 、 成立目标函数 ； 3．求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象〞，其缘故是： 最速下降法前后两个搜索方向老是垂直的 ； 4．函数)(x f y =过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，[,]i x a b ∈，设函数)(x S 是()f x 的三次样条插值函数，那么)(x S 知足的三个条件〔1〕在每一个子区间[]i i x x ,1-〔i=1，2，…，n 〕上是不高于三次的多项式；〔2〕S 〔x 〕，S ’〔x 〕，S ’’〔x 〕在[]b a ,上持续；〔3〕知足插值条件S 〔x i 〕=y i 〔i=1，2，…，n 〕； 5．随机变量1210~(3,4),(,,,)X N X X X 为样本，X 是样本均值，那么~X N 〔3，〕；6．正交表()p q N L n m ⨯中各字母代表的含义为 L 表示正交表，N 表示实验次数，n 、m 表示因子水平数，p 、q 表示实验最多能够安排因素的个数 ；7．线性方程组Ax b =其系数矩阵知足 A=LU ，且分解唯一 时，可对A 进展LU 解，选主元素的Gauss 消元法是为了幸免 采纳绝对值很小的主元素 致使误差传播大，按列选取主元素时第k 步消元的主元a kk 为)1,2,......,1(1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+=n i a y a b y iin i j i ij i i 8．取步长0.01h =，用Euler 法解'3,[0,1](0)1y x yx y ⎧=-∈⎨=⎩()1002,1,009.003.01 =+=+n y x y n n n的公式为 。
工程硕士(GCT)数学-172_真题(含答案与解析)-交互
工程硕士(GCT)数学-172(总分100, 做题时间90分钟)单项选择每小题所给出的4个选项中，只有一项是正确的．1.______．A．B．2C．D．3SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[解析]类似地所以故选D．2.如果(m 2 +i)(1+mi)是实数，那么实数n=______．SSS_SINGLE_SELA 0B 1C -1D 1或-1该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] 因为(m 2 +i)(1+mi)=m 2 -m+(1+m 3 )i是实数，所以1+m 3 =0，即m=-1．故选C．3.A车以110km/h的速度由甲地驶往乙地，同时B，C两车分别以90km/h和70km/h的速度自乙地驶向甲地．途中A车与B车相遇1h后才与C车相遇，甲、乙两地的距离为______km．SSS_SINGLE_SELA 3800B 3600C 2000D 1800该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[解析] 设甲、乙两地的距离为l(km)，根据题意得其中，200为A，B两车的相对速度，180为A，C两车的相对速度．由上式得知l=1800(km)．故选D．4.某公司参加一次植树活动，平均每人要植树6棵．若只有女员工完成，每人应植树10棵；若只有男员工完成，每人应植树______棵．SSS_SINGLE_SELA 12B 13C 14D 15该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[解析] 假设该公司参加植树的员工总人数为x，其中女员工人数为y．由题设得6x=10y，即故男员工人数为所以每人应植树的棵树为故选D．5.某公司的员工中，拥有本科毕业证、计算机等级证、汽车驾驶证的人数分别为130，110，90．又知只有一种证的人数为140，三证齐全的人数为30，则恰有双证的人数为______．SSS_SINGLE_SELA 45B 50C 52D 65该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[解析] 设恰有双证的人数为x，则根据题意可知140+2x+3×30=130+110+90，解得x=50．故选B．6.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，则甲恰好比乙多击中目标2次的概率是______．A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[解析] 甲恰好比乙多击中目标2次的情况是：甲击中2次而乙没有击中，或甲击中3次而乙只击中1次．甲击中目标2次而乙没有击中目标的概率为甲击中目标3次而乙只击中目标1次的概率为所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为故选B．7.实数a，b满足a＞b＞0，集合A={0，a，b}，B={x|x=uv，u，v∈A}，则集合B 的子集共有______个．SSS_SINGLE_SELA 2B 4C 8D 16该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[解析] 集合B的元素共有4个(不是3×3，也不是)，即B={0，ab，a 2，b 2 }．B的子集数目是2 4 =16．故选D．8.已知不等式ax 2 +bx+2＞0的解集是则a-b等于______．SSS_SINGLE_SELA -4B 14C -10D 10该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] 如果a=0，不等式成为一次不等式或退化为2＞0，其解集不会是由二次函数和不等式的性质，有所以有得a=-12；b=-2．所以a-b=-10．故选C．9.设函数f(x)(x∈ )为奇函数，且f(x+2)=f(x)+f(2)，则f(5)=______．A．0B．1C．D．5SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] 由条件，f(x)为奇函数，f(x+2)=f(x)+f(2)，所以f(1)=f(-1+2)=f(-1)+f(2)=-f(1)+f(2)．即得故选C．10.数列{an }前n项和为Sn．已知点均在直线y=3x-2上，则{an}是______．SSS_SINGLE_SELA 首项为1的等差数列B 首项为2的等差数列C 首项为1的等比数列D 首项为2的等比数列该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A[解析] 点在直线y=3x-2上，故即Sn=3n 2 -2n．当n≥2时an =Sn-Sn-1=(3n 2 -2n)-[3(n-1) 2 -2(n-1)]=6n-5．当n=1时a1 =S1=3×1 2 -2×1=1=6×1-5．所以有an =6n-5 ，{an}是首项为1，公差为6的等差数列．故选A．11.△ABC中，已知AB=20，AC=16，BC=12．以AB上的高CD为直径作一圆，圆与AC交于M，与BC交于N，则MN=______．A．10B．15C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] 由△ABC的边长，可知它是一个直角三角形(见下图)．且所以又∠CMD和∠CND均为直角，四边形CNDM为矩形，所以故选C．12.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a，b，c成等比数列，且c=2a，则cosB等于______．A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[解析] a，b，c成等比数列，满足b 2 =ac．又c=2a，所以b 2 =2a 2，由余弦定理故选B．13.由直线l：y=x+1上一点向圆C：(x-3) 2 +y 2 =1作切线，则切线长的最小值为______．A．1B．C．D．3SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] 如下图所示，圆C的半径为1，圆心为C(3，0)．设A为l：y=x+1上任一点，作圆的切线AB，切点为B，则|AB| 2 =|AC| 2 -1．要使|AB|最小，只要使|AC|最小即可．显然，当AC⊥l时|AC|最小，而圆心C 到l的距离所以当即时，|AB|最小．故选C．14.椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，其一个交点为P，则|PF2|=______．A．B．C．D．4SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х 该问题分值: 4 答案:C[解析] a=2，b=1，所以 设P(x 0 ，y 0 )，则代入椭圆方程得即设由|PF 1 |+|PF 2 |=2a ，得故选C ． 15.某直角三角形中，斜边上的中线长为2.5，周长为12，则此三角形面积为______． A ．12.5 B ．12 C ．D ．6SSS_SIMPLE_SINA B C D 该题您未回答:х 该问题分值: 4 答案:D[解析] 设直角三角形ABC 中，D 为AC 的中点，如下图所示．BD=2.5，BD=CD=AD ，所以AC=AD+CD=2×2.5=5．又三角形周长为12，因此AB+BC=12-AC=12-5=7，(AB+BC) 2 =7 2=49．又(AB+BC) 2 =AB 2 +2AB·BC+BC 2 =AC 2 +2AB·BC，所以故选D ．16.______． A ．不存在B ． 存在，但g[f(x)]在x=0处不连续C ．在x=0处g[f(x)]连续但不可导D ．在x=0处g[f(x)]可导SSS_SIMPLE_SINA B C D 该题您未回答:х 该问题分值: 4 答案:D[解析] 所以故选D．17.设f(x)和g(x)是如下图所示的两个逐段线性函数，u(x)=f[g(x)]，则u"(2)=______．SSS_SINGLE_SELA 2B -2C 1D -1该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[解析] 根据题设可得，当x∈[0，3]时，f(x)=-x+3，g(x)=x，故当x=2时，g(2)=2∈[0，3]．于是得u"(2)是f(x)在[0，3]上的直线斜率，即u"(2)=-1．故选D．注意①本题只需讨论(0，3]内的情形，不需花时间讨论[3，6]上f(x)与g(x)的表达式；②从几何上讨论简单得多，如果求出f[g(x)]，再求u"(2)就复杂了．18.设f(x)在x=1处有连续导数，又则______．SSS_SINGLE_SELA x=1是曲线y=f(x)的拐点的横坐标B x=1是y=f(x)的极小值点C x=1是y=f(x)的极大值点D x=1既不是y=f(x)的极值点，又不是曲线y=f(x)拐点的横坐标该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[解析1] 由f"(x)在x=1处连续及可得f"(1)=0．又所以x=1是函数y=f(x)的极小值点，而不是曲线y=f(x)拐点的横坐标．故选B．注意由题设和极限的保号性质可知，存在δ＞0，当1-δ＜x＜1时，f"(x)＜0；当1＜x＜1+δ时，f"(x)＞0．由取得极值的第一充分条件可得x=1是函数y=f(x)的极小值点．[解析2] 用特殊值代入法．取f(x)=(x-1) 2，则f"(x)=2(x-1)，且从f(x)=(x-1) 2的草图(下图)立即可得x=1是f(x)的极小值点．故选B．19.设曲线则______．SSS_SINGLE_SELA 曲线f(x)，g(x)都有垂直渐近线B 曲线f(x)，g(x)都无垂直渐近线C 曲线f(x)有垂直渐近线，曲线g(x)无垂直渐近线D 曲线f(x)无垂直渐近线，曲线g(x)有垂直渐近线该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析]所以x=0是f(x)的垂直渐近线．所以x=0不是g(x)的垂直渐近线．由此可得出f(x)有垂直渐近线，g(x)无垂直渐近线。
南京理工大学工程硕士高等工程数学题
南京理工大学工程硕士学位课程考试高等工程数学试题注意：每位考生只要选做以下两部分试题，答案必须写在答题纸上矩阵分析部分一．（6分）设，其中1,121,312243122-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-=i X i i i i A 求21,,AX A A ∞值。
解：A ∞=max{|2|+|-1|+|3+4i|,|-2|+|2i|+|-1|,|-i|+|-3|+|i|}=max{8,5,5}=8 1A =max{|2|+|-2|+|-i|,|-1|+|2i|+|-3|,|3+4i|+|-1|+|i|}=max{5,6,7}=734i AX 34i 6+⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2AX二．（8分） 已知函数矩阵：22222222222223332t tt t t t Att t t t t t t t t tt t e e e e e e e e ee e e e e e e e e e ⎛⎫--- ⎪=--- ⎪ ⎪---⎝⎭， 求矩阵.A 解：∵()AtAte Ae'=又 ()2t t2t t t 2t At 2t t 2t t t 2t 2t t 2t tt 2t 4e e 2e e e 2e e 2e e 4e e 2e 4e 6e 3e 2e e 3e 4e ⎛⎫--- ⎪'=--- ⎪ ⎪---⎝⎭∴ A=AE=Ae 0=Ae At |t=0=(e At )’|t=0=311132311-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭三．（10分）设向量)5,1,2,3(),4,1,1,2(),1,0,1,1(321---=-=-=ααα与)3,1,1,2(),1,1,0,1(21-==ββ，令),,,(3211αααL V =),(212ββL V =，（1）求21V V +的一组基和维数； （2）求维数)dim(21V V 。
解：(1) 对下列矩阵施行如下初等行变换()TT TT T 12312A =αααββ1231212312112010111101111011111451302201--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪-- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭1231212312011110111100000000210002100000--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭∴ r(A)=3 ∴ r(α1,α2,α3,β1,β2)=3 ∴ dim(V 1+V 2)=3可选{α1,α2,β1}为V 1+V 2的一组基(2) ∵ dimV 1=r{α1,α2,α3}=2 dimV2=r{β1,β2}=2∴ dim(V 1∩V 2)=dimV 1+dimV 2-dim(V 1+V 2)=2+2-3=1四．（10分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=411301621A ，1． 求A 的Jordan 标准形J 及最小多项式)(λm ；2． 求解初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==114)0(X AX dt dX解： 1.12613E A 131********λ+-λ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪λ-=λ-→λ+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ-λ-⎝⎭⎝⎭210010012330(1)(2)3(1)111011⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→λ+-λ-λλ-→λ-λ+λ- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-λλ-λ-λ-⎝⎭⎝⎭21001000110100(1)(2)3(1)0(1)(2)(1)⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→λ-λ-→λ- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ-λ+λ-λ-λ+-λ-⎝⎭⎝⎭210001000(1)⎛⎫ ⎪→λ- ⎪ ⎪λ-⎝⎭∴ d 1(λ)=1 d 2(λ)=λ-1 d 3(λ)=(λ-1)2∴ A 的初等因子为： λ-1，(λ-1)2∴12100100J A J 010J 110J 011001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 m(λ)=d 3(λ)=(λ-1)22. 设f(z)=e zt （z 为自变量，t 为固定字母），T(λ)=a+b λ 则 f ’(z)=te zt ，T ’(λ)=b令T(1)f (1)T (1)f (1)=⎧⎨''=⎩得t te a b e b ⎧=+⎨=⎩ 解得t a 0b e =⎧⎨=⎩∴ T(λ)=a+b λ=e t λ∴ e At =f(A)=T(A)=aE+bA=t 126e 103114--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭∴ X=X(t)=e At X(0)=tt t t t 126444e e 1031e 1e 11411e ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪--=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭五．（8分） 设},{21αα与},{21ββ是线性空间V 的两个基，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2111P 为从基},{21αα到},{21ββ的过渡矩阵，T 为V 的一个线性变换，T 在基},{21ββ下的矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011A ，求线性变换T 在基},{21αα下的矩阵B 。
工程硕士数学期末考试题目+答案
1、 设A 、B 、C 为三事件，则C B A -+)(等于 （ D ）A )(CB A -+； B. )(C A B -+ ； C. C B A )(+； D. C B A )(+ . 2、 随机变量X 在区间[2，4]上服从均匀分布，则}43{<<X P 等于（ A ） A. }5.35.2{<<X P ； B. }5.25.1{<<X P ； C. }5.45.3{<<X P ； D. }5.55.4{<<X P .3、设Y X 、相互独立，)2,1(~-N X ，)3,1(~N Y ，则Y X 2+服从（ B ） A. )8,1(N ； B. )14,1(N ； C. )22,1(N ； D. )40,1(N .4、已知总体),(~2σμN X ,),,(21n X X X 为样本，X 为 样本均值，2~S 为样本二阶中心矩，则1/~--=n S X T μ服从的分布为（ B ）A. )(n t 分布；B. )1(-n t 分布；C. ),(2σμN ；D. )1,0(N5、设总体),(~2σμN X ，2,σμ均未知，),,,(21n X X X 为其样本，2,S X 分别为总体的样本均值与样本方差，则μ的置信度为95.0的置信区间为（ B ） A ．),(025.0025.0u nX u nX σσ+-; B. ))1(),1((025.0025.0-+--n t nS X n t n S X ;C ．),(975.09755.0u nX u nX σσ+-； D. ))(),((025.0025.0n t nS X n t nSX +-6、已知随机变量X 的数学期望)(X E ，则必有（ B ）A 、)()(22X E X E =；B 、)()(22X E X E ≥；C 、)()(22X E X E ≤；D 、1)()(22=+XE X E .7、设总体X 服从参数为λ的泊松分布，),,(21n X X X 是取自总体的一个样本，则此样本的概率密度函数为（ C ）A 、λλ-=⋅∏∑=e x ni i x ni i1!1； B 、λλ-=⋅∑∏=e xni ix ni i11； C 、λλn ni i x ex ni i-=⋅∑∏=1!1； D 、λλn ni i x e x ni i-=⋅∏∑=1!1.1、已知8.0)|(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P , 则=)(B A P __0.7____.2、设随机变量)3,1(~U X ，则X 的数学期望为______2___.3、设6.0,9)(,4)(===XY Y D X D ρ，则=-)23(Y X D 28.8 .4、已知袋中有3个红球，2个白球，现将袋中之球逐一取出（不放回），则最后一次取得红球的概率为____3/5______.5、在总体X 的数学期望μ的三个无偏估计中)3(≥n X 、213231X X +、321613121X X X ++中最有效的是____)3(≥n X ______.1.设随机变量X 服从指数分布，其概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x λλ，),,,(21n X X X 为其样本，求参数λ的极大似然估计.（P169）2.某车间用一台包装机包装精盐，额定标准为每袋净重500克，设包装机包装出的盐每袋重量),(~2σμN X ，某天随机抽取9袋，称得净重分别为（单位：克）：497, 506, 518, 524, 488, 511, 510, 515, 512问包装机工作是否正常.（P191） 3.二维随机变量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它01,10,6),(2y x x xy y x f 试求X 、Y 的边缘密度函数.（p97）4.同一种产品有甲乙丙三个厂家供应。
工程硕士(GCT)数学-103_真题(含答案与解析)-交互
工程硕士(GCT)数学-103(总分88, 做题时间90分钟)一、单项选择1.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:A2.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:A3.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:C4.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:C5.设函数在(-∞，+∞)上可导，则有。
SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B[解析] f(x)在不是分段点处是初等函数，因此，只需讨论在分段点x=1处的情形，要使f(x)在x=1处可导，必须使f(x)在x=1处连续，即f(1)，也就是，所以a=0。
要使f(x)在x=1处可导，必须使f'-(1)=f'+(1)，而因此b=1。
故选(B)6.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B7.袋中有5个球，其中白球2个，黑球3个. 甲、乙两人依次从袋中各取一球，记甲取到白球的概率为p1，乙取到白球的概率为p2，则有．• A. p1=p2• B. p1＞p2• C. p1＜p2• D. 无法确定SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:A可以分为放回取与不放回取，放回取：不放回取：选(A)．8.车间共有40人，某次技术操作考核的平均成绩为80分，其中男工平均成绩为83分，女工平均成绩为78分，该车间有女工人。
•**•**•****SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D[解析] 所有男工分数之和加上所有女工分数之和等于全车间40人所得分数之和。
设女工有口人，则男工有40-a人，女工分数之和为78a，男工分数之和为83(40-a)，全车间总分为3200，于是有78a+83(40-a)=3200，解得a=24。
故正确答案为D。
9.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:A10.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C11.若(1+x)8(x≠0)展开式的第4项与第6项的和等于第5项的2倍，则x= ．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:A[解析] ，所以，解得或x=2，选(A)．12.已知abc＜0，且a+b+c=0，ax3+bx2+cx+1的值为．• A. -1• B. 0• C. 1• D. 2SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:C根据题意，应该有a，b，c两正一负，故x=0，ax3+bx2+cx+1=1，那么选(C)．13.一元二次方程x2+bx+c2=0有两个相等的实根，则。
高等工程数学考试部分答案2
工程硕士学位课程考试 高等工程数学试题（2009年3月）注意：每位考生只要选做以下两部分试题，答案必须写在答题纸上矩阵分析部分一．（8分）设202230,0,123i A i X i i i ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭其中，求112,,,A A AX AX ∞值。
解: 由定义:{}{}111max max 3,4,66max max 5,4,45nij ij nij ji A a A a ∞========∑∑因为1643AX i -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭所以11216512ni i AX AXξ===++====∑二．（6分） 已知函数矩阵：22222222222333332t tt t t t Att t t t t t t t t tt t e e e e e e e e ee e e e e e e e e e ⎛⎫--- ⎪=--- ⎪ ⎪---⎝⎭， 求矩阵.A 解: 设2Att t ee B e C =+, 其中211111121,111332333B C ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭利用公式AtAt de Ae dt=以及1()A A e e --=, 可知()12222(2)()22At At At At t t t t t t de de A e e dt dte B e C e B e C B e BC e CB C ----===++=+++ 由计算可知0BC CB ==, 从而222311131331A B C =+-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭三．（10分）设向量123(1,0,2,1),(2,0,1,1),(1,0,1,0)T T T ααα==-=与12(1,1,0,1),(4,1,3,1)T T ββ==，令),,,(3211αααL V =),(212ββL V =，（1）求21V V +的一组基和维数； （2）求维数)dim(21V V 。
《高等工程数学》12级硕士研究生
国防科技大学12级硕士研究生高等工程数学试题一、填空题（本题共10小题，每小题3分，满分30分. 把答案填在题中的横线上）1． 设1234A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则A 在基： 1011000000001011⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭，，， 下的坐标为________．2． 设12αα，是欧氏空间n V 中两个线性无关向量，记{|,0,1,2}i W i ξαξ=<>==．则dim() W =3． 若矩阵T A =⋅11，其中[1,1,,1]T n =∈1 ，则+=A ．4． 设10i 012i 25A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，则12||||||||A A ⋅= ． 5． 将[2,1,2]T x =变换为[3,0,0]T y =的Householder 矩阵H = ．6． 设1210,,,X X X 是来自总体总体(10,10)N 的样本，样本均值101110i i X X ==∑，则1~X X - ． 7． 设总体X 的概率密度函数为0.75, 1,()0.25, 1,0, x f x x others θθθθ<≤+⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩1210,,,X X X 是来自该总体的样本，则未知参数θ的矩估计量ˆθ= ．8． 对一批电子元件随机抽取5只进行寿命试验，测得寿命的样本平均值116()x h =，样本标准差10()s h =.设寿命服从正态分布2(,)N μσ，则该批电子元件寿命均值μ的置信度为95%的单侧置信区间下限为________. 9． 已知随机向量123[,,]T X x x x =的协方差矩阵为5353225210V -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦且1233)y x x x =+-是X 的一个主成分，则主成分y 的贡献率为 . 10．今有某型号的电池3批，它们分别是A 、B 、C 三个工厂所生产，为了考察其质量，分别从3批电池中各抽取5个测量其寿命值，从3组样本观测值算得方差分析表的部分数据如下：在显著性水平0.05下，因为 ，故可认为三批电池存在显著差异.二（10分）设矩阵311221220A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，问A 是否可以对角化？请说明理由，并写出A 的相似标准形.三（10分）定义2222⨯⨯→ 的线性变换如下：2211, 11TA A A ⨯-⎡⎤=∈⎢⎥-⎣⎦（1） 求T 在基123410010000,,,00001001E E E E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦下的矩阵； （2） 求值空间()R T 的一个基.四（10分）已知5117A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求k A (k 为正整数)，并计算A e .五（10分）已知矩阵110111002A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （1） 求矩阵A 的三角分解； （2） 求矩阵A 的正交三角分解.六（10分）设总体X 服从几何分布，其分布律：1{}(1), 1,2,3,k P X k p p k -==-=其中 (01)p p <<为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体X 的样本. （1） 求未知参数1p θ- 的极大似然估计量ˆθ； （2） 证明ˆθ是θ的最小方差无偏估计.七（10分）从城市的A 区中抽取16名小学生测试器智商，平均值为112，修正的样本方差为100，而该城市的B 区中抽取的16名小学生的智商平均值为107，修正的样本方差为64，在显著性水平0.10α=下，可否认为这两组学生来自同一个总体？假设学生的智商服从正态分布.八（10分）设有正态线性回归模型：11234121232312434124222222~(0,),cov(,),,1,2,3,4i i j ij y y y y N i j ββββεβββεβββεββεεσεεδσ=++++⎧⎪=+-+⎪⎪=+-+⎨⎪=-+⎪⎪==⎩其中1234,,,y y y y 是已知的观测值.（1） 求参数1234,,,ββββ的最小二乘估计1234ˆˆˆˆ,,,ββββ； （2） 12ˆˆ(,)ββ与34ˆˆ(,)ββ是否独立？为什么？。
《高等工程数学》试题+解答
《高等工程数学》试题解答 （工程硕士及进修生用 2003.1）考生注意：1、可不抄题,答案必须写在统一配发的专用答题纸上； 2、本试题可能用到的常数：5752961 64199509750950 . ,. ,....===u u u . 一、填空题 (每空3分,共30分)。
(1) ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=010100001H ；(2) 1)(Cond 2=U ；(3) 7 3 , ；(4) )1 1 (~)()(221221,F X X X X -+；(5) X 2ˆ=θ； (6) 664≥n ；(7) e A SS SS SS +=.二、(10分)[解] 记)(21A A diag A ,=，则21A A ,的特征多项式为2)1()()(21-==λλλA A f f ， ∵ O I A ≠21 -，O I A ≠22 -，∴ 2)1()()(21-==λλλA A m m ， 取)( )(21λλA A m m ,的最小公倍式，得 2)1()(-=λλA m ，故A 的Jordan 标准形为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 111111 , diag . 三、(10分)[解一] 记⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=πππ021 A ,其特征值为πλ-=1 (二重根),记 则令 ⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=-⇒⎩⎨⎧'='=t t a t t t a t t a t a a g f g f 1 0 1 101 1 1 1 c o s sin cos cos sin )()()()(πππππππλλλλ ∴ . ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==t t t t t A f g A g g A g At sin 00cos sin 000sin )()()()()(sin 2 11πππππππ[解二] ∵ J A 2 2001200022ππ∆⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--= ∴ . ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==t t t t t t t t t t J t At sin 00cos 2sin 000sin )2(2sin 00)2(2cos 2)2(2sin 00022sin )2sin(sin πππππππππππ 四、(10分)[解] 对A 进行行初等变换故⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==--21 12 121 1 211 121)(11 R L L , 从而A 有Doolittle 分解：五、(10分)[证] 将ω扩充为nV 的一个标准正交基 B } {n ααω,,,2 =则∴ T B =-==} {} {n n T T T ααααωω,,,,,,22 B P 其中} 1 1 1 {,,, -=diagP 为对称和正交矩阵，故T 是对称变换和正交变换。
工程硕士(GCT)数学-108_真题(含答案与解析)-交互
工程硕士(GCT)数学-108(总分82, 做题时间90分钟)一、单项选择1.一批货物要进仓库，由甲、乙两队合运9h可运进全部货物的50%，乙队单独运则要30h能运完，又知甲队每小时可运进3t，则这批货物共有。
•**•**•****SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:A[解析] 设这批货物共有xt，则有解得x=135，故选A。
2.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D3.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D4.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D5.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D选(D)．6.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:B7.等差数列{an }，{bn}的前n项和分别为An，Bn，若的值为．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D选(D)．8.参数方程(0＜θ＜2π)表示。
A．双曲线的一支，这支过点 B．抛物线的一部分，这部分过点C．双曲线的一支，这支过点 D．抛物线的一部分，这部分过点SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B[解析] ，所以曲线方程为该参数方程表示抛物线的一部分，而x≥0，故D应予排除，因此B为正确答案。
9.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B10.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:A11.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B12.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:C13.设A为三阶矩阵，且|A|=5；B为二阶矩阵，且|B|=3，则= ．• A. 120• B. -120• C. 30• D. -30SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B[解析]故正确的选择为(B)．14.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:A15.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:A16.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:A17.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B18.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:B19.某厂加工一批零件，甲车间加工这批零件的20%，乙车间加工剩下的25%，丙车间加工再余下的40%，还剩3600个零件没有加工，这批零件一共有．• A. 9000个• B. 9500• C. 9800个• D. 10000个SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D(1-25%)(1-40%)=0.8××0.6=0.36，总零件10000个，选(D)．20.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C21.25．• A. 2• B. 0• C. 1• D. -1SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B方法一型，当原式方法二令原式选(B)．22.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量∞(万件)近似地满足。
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中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分) 1. 若方程0)(=x f 可表成)(x xϕ=，且在[,]a b 内有唯一根*x ，那么)(x ϕ满足，则由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定收敛于*x 。
（)(x ϕ满足：1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈, '()1x L ϕ≤<；）2. 已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)Tf x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的最速下降方向为 （最速下降方向为：()4,2Tp =-）； 3．已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)Tf x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的Newton 方向为 （Newton 方向为： ()2,0Tp =-）； 4．已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =L ，则其三次样条插值函数)(x S 是满足 （（1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式，（2）在区间[,]a b 上二阶导数连续，（3）满足插值条件(),0,1,2,,i i S x y i n ==L ）；5．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值12(,,,)n X X X L 落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为________（0.15） ；6．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 大 愈好，而置信区间的长度愈 短 愈好。
但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 变长 ； 7．取步长2.0=h ，解]1,0[,1)0(2'∈⎩⎨⎧=-=x y yx y 的Euler 法公式为：（1(2)0.60.2,0,1,2,,5n n n n n n y y h x y y x n +=+-=+=L ）；8．对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有： （模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差。
） 。
二、（本题8分）某钢铁公司生产一种合金，要求的成分是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍介于35%到55%之间，不允许有其他成分。
钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如下表。
矿石杂质在冶炼中废弃，并假设矿石在冶炼过程中金属含量没有发生变化。
（1）建立线性优化模型，安排最优矿物冶炼方案，使每吨合金产品成本最低。
（不要求计算出结果）； （2）写出所建立的模型的对偶形式。
（1）设 ,1,2,5)j x j =L （是第j 种矿石的数量，目标是使成本最低，得线性规划模型如下： 123451245124513512345123451min 340260*********..0.250.40.20.080.280.10.150.20.050.150.10.050.150.10.250.30.20.40.170.550.250.30.20.40.170.350.70Z x x x x x s tx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++≥+++≤++=++++≤++++≥+2345.70.40.80.4510,1,2,5j x x x x x j +++=≥=L 4分（2）上述线性规划模型的对偶形式如下：1234561234561456234561245612max 0.280.150.10.550.35..0.25-0.10.10.250.250.73400.40.30.30.72600.150.050.20.20.41800.20.20.40.40.82300.080.050.1f y y y y y y s ty y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =-+-+++-++≤-++≤-+-++≤--++≤-+34561112453650.170.170.451900,0,0,0,,y y y y y y y y y R y R -++≤≥≥≥≥∈∈ 4分三、（本题8分）已知)(x f 的数据如表：试求三次插值多项式P(x)，求(4)f 的近似值，并给出相应的误差估计式。
解：用Newton 插值法求)(x f 的插值多项式，由所给数据如表可得差商表如下：由差商表得出)(x f 的三次插值多项式为：30.25 1.375()0.5(1)(1)(3)342N x x x x x x x =+---- 3分 于是有30.25 1.375(4)(4)0.54434313422.7518.252177f N ≈=⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=+-=2分相应的误差估计式为：3()[0,1,3,7,](1)(3)(7)[0,1,3,7,4]431(0.000075(36)3)0.0027R x f x x x x x f -⨯-==---=⨯⨯⨯⨯-≈ 2分四、（本题12分）为了考察硝酸钠NaNO 3的可容性温度之间的关系，对一系列不同的温度（C 0），观察它在100的水中溶解的NaNO 3的重量（g ），得观察结果如下：温度x 20 30 33 40 15 13 26 38 35 43 重量y 7 9 8 11 5 4 8 10 9 10（1） 求Y 对X 的线性回归方程。
（结果保留小数点后两位。
）293101=∑=i ix,81101=∑=i iy,∑==1012574i i iy x,95771012=∑=i ix,7011012=∑=i iy（2）对回归方程的显著性进行检验。
（取显著水平为0.05，0.01），0.05(1,8)=5.32F 0.01(1,8)11.26F =，0.050.01(8) 1.8595(8) 2.8965t t ==。
解：（１）29.38.1x y ==25741029.38.1200.7xY i i L x y nx y =-⋅=-⨯⨯=∑ 22225741029.3992.1xx i L x nx =-=-⨯=∑222701108.144.9YY i L y ny =-=-⨯=∑ 4分200.7ˆ0.20230.20992.1xy xx L b L ==≈≈ ˆˆ8.10.202329.3 2.17a y bx =-≈-⨯≈ 回归函数为 ˆ() 2.170.20x x μ=+ 4分 （２）211ˆˆ()(44.90.2023200.7)0.5428YY xYL bL n σ=-=-⨯=- 222ˆ0.2023200.715.21ˆ0.54xYb L F σ⨯===，或 3.9T == 2分 0.050.01(1,8)(1,8)F F F F >> 故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的 或0.050.01(8)(8)T t T t >> 故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的。
12分五、（本题10分）利用单纯形方法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：12121212max 300400..2401.5300,Z x x s tx x x x x x =++≤+≤≥≥解：第一步： 化为标准型，……………… ……………………..(2分) 第二步： 列出是单纯形表，…………………………… …..(2分) 第三步： 第一次单纯形迭代计算，…………………………..(3分) 第四步： 列出是单纯形表，…………………………… ……..(3分)第五步： 正确写出结果，最优解**(15,10),8500Tx f ==…(2分)六、（本题10分）试确定求积公式⎰--++-≈h h h f A f A h f A dx x f 101)()0()()(中的待定系数，使其代数精度尽量高。
解：算出系数6分，验证3次2分，给出结论2分七、（本题12分）设有4种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗效。
假定将24个病人分成4组，每组6人，令同组病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到痊愈所需时间，得到下面的记录：试检验不同药物对病人的痊愈时间有无差别？（05.0=α，0.05(3,20) 3.10F =） 解：222161129124()21124ij SST x nx =-=-⨯=∑∑222221234666612911090.5200.5ij SSE x x x x x =----=-=∑∑ 10.5SSA AAT SSE =-=由于0.05(3,20) 3.10F F <=，故接受假设，即不同药物对病人的痊愈时间无显著差别 （正确算出F 值给10分，结论正确给2分） 八、（本题16分）设方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-7989783213121x x x x x x x（1）对方程组进行适当调整，使得用高斯—塞德尔迭代法求解时收敛；（2）写出对应的高斯－塞德尔迭代格式； （3）取初始向量T x )0,0,0()0(=，用该方法求近似解)1(+k x，使3)()1(10-∞+≤-k k x x 。
解：（1）将原方程组调整为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=--8978793121321x x x x x x x ，此方程组系数矩阵按行严格对角占优，故用高斯—塞德尔迭代法求解时收敛。
5分 （2）高斯－塞德尔迭代格式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=++=+++++98918791979191)1(1)1(3)1(1)1(23)(2)1(1k k k k k k k x x x x x x x 5分（2）取T )0()0,0,0(=x ，用上述迭代格式计算得k )(1k x )(2k x )(3k x1 0.7777778 0.9722222 0.9753086 2 0.9941701 0.9992713 0.9993522 3 0.9998471 0.9999809 0.99998304 0.9999960 0.9999995 0.9999996因(4)(3)30.000148910x x -∞-=<，故取近似解*(4)(0.9999960,0.9999995,0.9999996)T xx ≈=。
6分*(4)(0.9999960,0.9999995,0.9999996)T x x ≈=。
6分。