二次函数及绝对值

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二次函数的知识点

ercihanshu知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y＝ax2+bx+c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次多项式。

（①含自变量的代数式是整式，②自变量的最高次数是2，③二次项系数不为0.）⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. y＝ax2的性质：2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减）3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减）4. y ＝a (x －h)2＋k 的性质：5. y ＝ax 2+bx+c 的性质：三、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a.(a 决定了抛物线开口的大小和方向)二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然a ≠0 ① 当0a >时，抛物线开口向上，当0a <时，抛物线开口向下；②a 的绝对值越大，开口越小，反之a 的绝对值越小，开口越大。

总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b （a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置）.抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；② （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③ （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c(c 决定了抛物线与y 轴交点的位置)⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．四、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）五、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．六、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.七、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．八、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠），适用条件：已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠），适用条件：已知图像上点两坐标，且其中一点为抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶式3. 交点式（两根式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标），适用条件：已知图像上三点坐标，其中两点为抛物线与x 轴的两个交点（1x ，0），（2x ，0），一般选用交点式；九、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当a b x 2-=时，ab ac y 442-=最值。

二次函数中绝对值问题的求解策略

二次函数中绝对值问题的求解策略二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“明珠”，而它与绝对值知识的综合，往往能够演绎出一曲优美的“交响乐”，故成为高考“新宠”。

二次函数和绝对值所构成的综合题，由于知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性，学习解题时往往不得要领，现从求解策略出发，对近年来各类考试中的部分相关考题，进行分类剖析，归纳出一般解题思考方法。

一、适时用分类，讨论破定势分类讨论是中学数学中的重要思想。

它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。

例1 已知f(x)=x 2+bx+c (b,c ∈R),（1）当b<－2时，求证：f(x)在（－1，1）单调递减。

（2）当b<－2时，求证：在（－1，1）至少存在一个x0，使得|f(x0)|≥21. 分析（1）当b<－2时，f(x)的对称轴在（－1，1）的右侧，那么f(x)在（－1，1）单调递减。

（2）这是一个存在性命题，怎么理解“至少存在一个x 0”呢？其实质是能找到一个这样的x 0，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。

当x=0时，|f(0)|=|c|,|c|与21的大小关系如何呢？对|c|进行讨论：（i ）若|c|≥21,即|f(0)|≥21，命题成立。

（ii ）若|c|<21，取x 0=－21,则21432145|||2141||2141||)21(|>=->--≥+-=-c b c b f .故不论|c|≥21还是|c|<21,总存在x 0=0或x 0=－21使得|f(x 0)|≥21成立。

本题除了取x=－21外，x 还可取那些值呢？留给读者思考。

二、合理用公式，灵活换视角公式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|在处理含绝对值问题时的作用有时是不可替代的，常用于不等式放缩、求最值等，思路简洁、明快，解法自然、迅捷。

例2 已知f(x)=x 2+ax+b 的图象与x 轴两交点的横坐标为x 1，x 2若|a|+|b|<1，求证：|x 1|<1且|x 2|<1.解由韦达定理，得⎩⎨⎧=-=+b x x a x x 2121 ⎩⎨⎧==+∴.|||||,|||2121b x x a x x 代入|a|+|b|<1，得|x 1+x 2|+|x 1x 2|<1，又|x 1|－|x 2|≤|x 1+x 2|.1||||||||||21212121<++≤+-∴x x x x x x x x即|x 1|(1+|x 2|)<1+|x 2|。

中考数学二次函数基础知识

中考数学二次函数基础知识
二次函数
正比例函数是：y=kx(k≠0) 两个数的商是常数(x/y=k,k≠0)一次函数是：y=kx+b(k≠0)
反比例函数：两个数的积是常数(xy=k,k≠0)二次函数：y=ax 2+bx+c
1、二次函数y=ax 2+bx+c 一些基本概念①
二次函数是一条关于 x=- 对称的抛物线。

此抛物线有三大特征：有开口方向，有对称轴，有顶点。

考点一、二次函数的概念
a
b
2
考点五、二次函数的解析式的几种应用例1
例2例3
解法1用一般式方法，由于顶点D点的横坐标为-1，所以是以 x=- = -1为对称轴的
解法2知道顶点和交点就可利用顶点式方法：再把BC点代入
a
b
2
解法
知道和x轴的两个交点，可直接用交点式方法：
3
解析：由于抛物线是以D为顶点（-1，？）为对称轴的，又和x轴交于两点AB,因为B点坐标是（-3，0），就可推出A的坐标是（1，0）
例4知道最值和对称轴，可直接用顶点法。

二次函数绝对值问题

常见绝对值类问题汇总——辽宁数学小丸子编辑【题1】已知32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，当1x ≤时，'()f x M ≤恒成立，求a 的最大值【题2】设1()42(,)x x f x a b a b R +=+⋅+∈，若对于1[0,1],()2x f x ∀∈≤都成立，求b 【题3】2()f x x bx c =++在定区间[,]m n 上的最大值为M ，则M 有一个最小值2()8m n -，当且仅【题4】设,,a b c R ∈,对任意满足1x ≤的实数x ，都有21ax bx c ++≤，则a b c ++的最大可能值为___【题5】设函数(),,f x x ax b a b R =--∈，若对任意实数,a b ，总存在实数0[0,4]x ∈使得不等式0()f x m ≥成立，求实数m 的取值范围【题6】设2()(0)f x ax bx c a =++≠，当1x ≤时，总有()1f x ≤，求证：当2x ≤时，()7f x ≤【推广】设2()(0)f x ax bx c a =++≠，当1x ≤时，总有()f x k ≤，求证：当x n ≤时，2()(21)f x n k≤-【题7】已知二次函数22(),(),(1)1,(0)1,(1)1f x ax bx c g x cx bx a f f f =++=++-≤≤≤求证：当11x -≤≤时，（1）5()4f x ≤（2）()2g x ≤【题8】设函数2()f x ax bx c =++对一切[1,1]x ∈-都有()1f x ≤，求证对一切[1,1]x ∈-都有24ax b +≤【推广】设函数2()f x ax bx c =++对一切[1,1]x ∈-都有()1f x ≤，求证对一切[1,1]x ∈-都有2(*)nax b n n N +≤∈【题9】设,,a b c R ∈,对任意满足01x ≤≤的实数x ，都有21ax bx c ++≤，则a b c ++的最大可能值为___【题10】设函数1()(1,)f x x c b c R x b=++<-∈-，函数()()g x f x =在区间[1,1]-上的最大值为M ，若M k ≥对任意的,b c 成立，求k 最大。

二次函数

二次函数（1）一般性式：y=ax^2+bx+c(a不等于0)b=0、c=0性质：1、“a”的符号当a＜0时，口向下。

当a＞0时，开口向上。

“a”的绝对值：开口度[a]越大开口越小。

2、对称轴：y轴3、顶点：（0,0）4、增减性①a＞0左：x越大，y越小右：x越大，y越大②a＜0左：x越大，y越大右：x越大，y越大5、最大值①a＜0 y最小值=0②a＞0 y最大值=06,、上加下减上（C）下（【c】）y=ax^2+c左加右减左（m）右（【M】）y=a(x+m)^2一般形式直线：y=-b/2a+bx+c= a(x^2+b/a x+c/a)=a[x^2+b/a x+ (b/2a)-b^2/4a^2+c/a]=a [(x+b/2a) ^2+4ac-b^2/4a^2]y=a(x+b/2a) ^2+ 4 ac-b^2/4a对称轴：直线：x=-b/2a顶点（-b/2a,4ac-b^2/4a）求最大（小）值①公式法：y最大（小）值=4ac-b^2/4a②配方法：y=a(x+b/2a)^2+ ac-b^2/4a③代入法：先求顶点坐标x=-b/2a再把x=-b/2a代入表达式“求”y一次函数①一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x 值，那么我们称y和x的函数，其中x是自变量，Y是因变量。

②若二个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，称y式x的正比例函数。

④图像：一次函数y=kx+b的图像是一条直线。

因此做一次函数图象时，只要确定两个点作直线就可以了，一次函数y=kx+b的图像也称为直线y=kx+b.⑤图像：1、正比例函数y=kx的图像是经过原点（0，0）的一条直线。

⑥图像：在一次函数y=kx+b中当k＞0时，y的值随x值的增大而增大；当k＜0时，y的值随x值的增大而减小。

⑦将直线y=kx沿y轴向上平移b(b＞0)个单位长度，可以直线y=kx+b;沿y轴向下平移b个单位长度，可以得到直线y=kx-b.二次函数的三种表达方式①表达式法：将二次函数y用含有自变量x的代数式表示，这个式子就叫做函数表达式，例如y=-2x^2+3x+1等。

二次函数中的a的绝对值

二次函数中的a的绝对值
二次函数是一种有广泛应用的函数，也叫做二次形式。

它由一个参数构成，其中参数a可以是任意数值。

一般来说，a的绝对值能够用来决定一个二次函数的特点。

本文将对a的绝对值的影响进行介绍。

首先，要理解a的绝对值，需要回顾一下标准的二次函数的形式：y=ax²+bx+c。

在这个函数中，参量a就是绝对值。

这样，a的绝对值就决定了函数的特点，也就是
决定了函数图像的一般形状。

如果a是正数，这说明变量x与y成正比，因此函数图像开口朝上，即为凸函数。

而如果a是负数，这就表明变量x与y成反比，函数图像开口就朝下，即为凹函数。

这就是a的绝对值对函数图像的影响。

另外，a的绝对值也影响函数的极限值。

如果a的绝对
值越大，就会使函数的极限值越大，反之亦然，a的绝
对值越小，函数的极限值也越小。

因此，a的绝对值能
够影响函数的极限值，也就是函数曲线的上升或下降。

最后，a的绝对值还能影响函数的极值点，也就是说，
a的绝对值能够决定函数曲线是否具有极大值和极小值。

如果a的绝对值大于0，函数就会具有极大值和极小值，反之亦然，a的绝对值小于0，就不具有极大值和极小值。

总之，a的绝对值对二次函数影响十分重要，它能够决
定函数的特点，以及函数曲线是否具有极大值和极小值。

以下是了解a的绝对值所需知道的几点：它能够决定函数曲线开口朝上还是朝下，它能够决定函数的极限值大小，以及它能够决定函数曲线是否具有极大值和极小值。

二次函数知识点总结

二次函数知识点总结1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a .3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下； a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.13.二次函数在区间上的单调性和最值初中数学知识点总结一、基本知识一、数与代数A、数与式：1、有理数有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。

二次函数与绝对值函数2

【二轮复习】再谈含绝对值的二次函数高考题中的函数解答题目前对同学们来说仍是个难点，尤其当出现含绝对值的“二次”函数时，很多同学感觉无从下手，画不出图、找不出分类讨论的依据，本专题就结合大家所研究过的典型例题，进行归类、对比、体验、感悟，期望大家能总结规律，看透本质，攻克此类题。

绝对值的函数的本质是分段函数，常见的是两段（或三段）均为二次函数或一次、二次组合，就从涉及到的抛物线的对称轴条数，对此类题进行归类。

类型一、同轴型（单轴型）例1、求函数2()|3|f x x ax =--（（a 为常数）在[]0,3x ∈上的最大值变式1、已知函数2()|2|f x x x a =-+在[]0,5上的最大值是8，求a 的值变式2、求()||f x x x a =-在[]2,4x ∈时的最大值类型二、异轴型（双轴型）例2、设a R ∈，求函数2()||1f x x x a =+-+的最小值例3、已知函数()|2|2f x x a x x =-+，a R ∈(1) 若f (x )在R 上是增函数，求a 的范围； (2)试求函数f (x )的单调区间； (3)若存在[]2,2a ∈-使方程f (x )－m =0有三个不同的根，求m 的范围(4)若方程有三个不同的根，记为x 1,x 2,x 3，求x 1+x 2+x 3的取值范围例4、已知函数2()|2|f x x x ax a =-++，求()f x 的最小值类型三、异次混合型例5、定义在R 上的函数2()||(1)f x x x a x =---，1a >-若f (x )在[0,1]上的最大值与最小值分别记为M(a )，N(a )，求g(a )= M(a )—N(a )。

二次函数基础知识梳理

二次函数基础知识梳理二次函数基础知识梳理二次函数是指形如y=ax^2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数。

需要强调的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b，c可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

二次函数的基本形式有y=ax^2和y=ax^2+c。

其中，a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号决定了开口方向。

顶点坐标为（0,0），对称轴为y轴。

当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小；当x=0时，y有最小（或最大）值。

y=ax^2+c的顶点坐标为（0,c），对称轴为y轴。

当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小；当x=0时，y有最小值c。

y=a(x-h)^2的顶点坐标为（h,k），对称轴为x=h。

当x>h 时，y随x的增大而增大；当x<h时，y随x的增大而减小；当x=h时，y有最小（或最大）值。

y=a(x-h)^2+k的顶点坐标为（h,k），对称轴为x=h。

当x>h时，y随x的增大而增大；当x<h时，y随x的增大而减小；当x=h时，y有最小（或最大）值k。

二次函数图象的平移可以通过以下步骤实现：首先将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)^2+k，确定其顶点坐标（h,k）；然后保持抛物线y=ax^2的形状不变，将其顶点平移到（h,k）处，具体平移方法为向上（或向下）平移|k|个单位。

二次函数的平移规律可以概括为“左加右减，上加下减”。

具体来说，如果向右平移$h$个单位，则原来的$x$变成$x-h$；如果向上平移$k$个单位，则原来的$y$变成$y+k$。

同理，向左和向下的平移也可以类比得出。

此外，平移的距离是$|h|$和$|k|$，即绝对值。

对于二次函数$y=a(x-h)^2$，如果向上平移$k$个单位，则变成$y=a(x-h)^2+k$。

这个平移规律可以通过观察解析式得出。

同样地，向下平移也可以类比得出。

含绝对值的二次函数(初三)

含绝对值的二次函数(初三)
一、什么是二次函数
二次函数，又称二次多项式，是一类数学函数，它可以把曲线图形由直线变换为抛物线，如抛物线模型可用二次函数来表达，在概率和统计分析中，二次多项式可用来描述变量数据的曲线关系。

二、包含绝对值的二次函数
这里所谓的二次函数包含绝对值，是指当我们把下面的函数
y = a * x2 + b * x + c
改写为如下形式时：
y = a * x2 + b * |x| + c
就是一个包含绝对值的二次函数，其中a、b和c均为实数。

三、包含绝对值的二次函数的图像
一般来讲，包含绝对值的二次函数会形成一条V状的抛物线，它的y 轴取值范围是从$+a*c^2+b*c$到$-a*c^2-b*c$，其中c是x的取值范围
的中间值。

当x>c时，抛物线的走势是先减后增；当x<c时，抛物线的走势是先增后减。

四、什么是它的应用
一般来讲，包含绝对值的二次函数有可能应用于以下几类问题：
1. 科学、技术、工程以及计算所需求解的方程；
2. 生物或化学实验中两个变量之间的关系；
3. 统计学中，用来表示两个值之间的线性关系等。

因此，包含绝对值的二次函数还可以用来模拟实际问题，如地形图上的折线，以及建筑物的设计中的曲线等。

二次函数

定义与定义表达式一般的，形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数叫二次函数。

自变量（通常为x）和因变量（通常为y）.右边是整式，且自变量的最高次数是2。

注意，―变量‖不同于―未知数‖，不能说―二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数‖。

未知数只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），变量可在一定范围内任意取值。

在方程中适用―未知数‖的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。

从函数的定义也可看出二者的差别。

二次函数的解法二次函数的通式是y= ax⒉+bx+c如果知道三个点将三个点的坐标带入也就是说三个方程解三个未知数如题方程一8=a2+b2+c 化简8=c 也就是说c就是函数与Y轴的交点方程二7=a×62+b×6+c 化简7=36a+6b+c 方程三7=a×(-6)2+b×(-6)+c化简7=36a-6b+c 解出abc 就可以了上边这种是老老实实的解法对(6,7)(-6,7)这两个坐标可以求出一个对称轴也就是X=0 通过对称轴公式x=-b/2a 也可以算如果知道过x轴的两个坐标(y=0的两个坐标的值叫做这个方程的两个根)也可以用对称轴公式x=-b/2a算或者使用韦达定理一元二次方程ax+bx+c=0 (a≠0 且△=b-4ac≥0)中设两个根为X1和X2 则X1+X2= -b/a X1·X2=c/a一般式y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为（-b/2a,4ac-b²/4a)顶点式y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线，即b2-4ac≥0] 由一般式变为交点式的步骤：二次函数(16张)∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴y=ax^2+bx+c=a（x2+b/ax+c/a）=a[﹙x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。

二次函数知识点汇总(全)

二次函数知识点（第一讲）、二次函数概念:1. 二次函数的概念：一般地，形如y=aχ2∙bx ∙c （ a , b , C是常数，a =O ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a = 0 ,而b ,c可以为零•二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数y =aχ2∙bx C的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量X的二次式，X的最高次数是2 .⑵a ,b ,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，C是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y =aχ2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. y =aχ2 C的性质：（上加下减）23. y =a (x —h )的性质：(左加右减)a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >0向上(h ,0) X=hx>h 时，y 随X 的增大而增大；Xeh 时，y 随X 的增大而减小；X = h 时，y 有最小值0 .a cθ向下(h ,0) X=hx>h 时，y 随X 的增大而减小；XVh 时，y 随X 的增大而增大；X = h 时，y 有最大值0 .24. y=a(x —h)+k 的性质:a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >0向上(h, k ) X=hx>h 时，y 随X 的增大而增大；XCh 时，y 随X 的增大而减小；x=h 时，y 有最小值k .a v0向下 (h, k ) X=hXAh 时，y 随X 的增大而减小；XVh 时，y 随X 的增大而增大；X = h 时，y 有最大值k .三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y =a X -∙h j 亠k ，确定其顶点坐标 h , k ； ⑵ 保持抛物线y =aχ2的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上 h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减, 上加下减”.y=ax 2* y=ax 2+k向上(k>0)【或下(k<0)] y=a (x-h)2向右(h>0)【或左(h<0)] 平移|k|个单位y=a(x-h)2+k向上(k>0)【或向下(k<0)】平移Ikl 个单位向上(k>0)【或下(k<0)]平移|k 个单位向右(h>0)【或左(h<0)] 平移Kl 个单位向右(h>0)【或左(*0)] 平移Ikl 个单位平移∣k ∣个单位方法二：⑴y = ax 2 bx c 沿y 轴平移：向上(下)平移 m 个单位，y = ax 2 ∙ bx ∙ c 变成2 卜 2y = ax bx C m (或 y = ax bx c - m )⑵y =ax 2 ∙ bx C 沿轴平移：向左(右)平移 m 个单位，y = ax 2 bx C 变成2 卜 2y = a(x m) b(x m) c (或 y = a(x _ m) b(x _ m) c )四、二次函数y =a X _h i 亠k 与y =aχ2 bx c 的比较2从解析式上看，y =a X _h ］亠k 与y =aχ2 ∙ bx C 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到五、二次函数y =aχ2 bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y =aχ2 bx C 化为顶点式y=a(x-h)2 ∙k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 •一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点O, c 、以及O,c 关于对称轴对称的点 2h ，C 、与X 轴的交点x 1, 0，X 2，O (若与X 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点)画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 X 轴的交点，与y 轴的交点•六、二次函数y =ax 2 bx c 的性质随X 的增大而增大；当 ^-―时，y 随X 的增大而减小；当X b 时,2a2a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y =ax bx c ( a , b , C 为常数，a =O )；2.顶点式： y =a(x-h) k ( a , h , k 为常数，a =O )；3.两根式： y =a(x -x ι)(x -X 2) ( a =O , X i , X 2是抛物线与X 轴两交点的横坐标)前者，即y =a,其中Ta24ac — b 4a1.当a O 时，抛物线开口向上，对称轴为X b,顶点坐标为2ab 4ac-b 2— ，2a 4a当X 时，y 随X 的增大而减小；当X^ 时,2a2a最小值4ac "2 .4ay随X 的增大而增大；当X=E 时，y 有2.当a ：：：0时，抛物线开口向下, X =-b,顶点坐标为( b 4ac-b 2•当X ：：」时,I ■—, 2a2a 4a2ay 有最大值4ac - b 2 4a对称轴为 y注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与X 轴有交点，即b 2_4ac_o 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化•八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数y =aχ2 ∙ bx ∙ c 中，a 作为二次项系数，显然 a 厂0 .⑴当a 0时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当a ：：：0时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大. 总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小.2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴. ⑴在a 0的前提下，当b 0时，一卫：：：0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧;2a当b =0时，一丄=0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2a当b <0时，—b .0,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧.2a⑵ 在a <0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0时，—卫∙0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；2a当b =0时，—b =O ,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2a当b <0时，一P ：：： 0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧.2a总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置.Kab 的符号的判定：对称轴X —在y 轴左边则ab • 0,在y 轴的右侧则ab ：：： 0 ,概括的说就2a是“左同右异” 总结： 3. 常数项C总结起来，C 决定了抛物线与y 轴交点的位置.总之，只要a, b , C 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法•用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便•一般来说，有如下几种情况：⑴当C 0时，抛物线与 y 轴的交点在X 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正; ⑵当C =0时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ; ⑶当C <0时，抛物线与 y 轴的交点在X 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负.1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与X轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于X轴对称y = aX ∙ bx关于X轴对称后，得到的解析式是y - -aχ2 -bx -C ;2 2y=ax-h］亠k关于X轴对称后，得到的解析式是y - -a X -h k ;2. 关于y轴对称^aX bx关于y轴对称后，得到的解析式是y =aχ2 -bx ∙ c ;2 2y=ax-h「k关于y轴对称后，得到的解析式是y = a X^i ^k ;3. 关于原点对称y = ax2 bx C关于原点对称后，得到的解析式是y =-aχ2∙ bx-c ;2 2y = a X- h ■关于原点对称后，得到的解析式是y - -a X ∙ h k ;4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）y=aX ∙ bx关汙顶点对称后，得到的解析式是y»bx c 卫;2a2y =a x-h k关于顶点对称后，得到的解析式是2y = -a X - h j 亠k •5. 关于点m, n对称2 2y =a X -h i亠k关于点m , n 对称后，得到的解析式是y = -a x ■ h —2m i亠2n —k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变•求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程:1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与X轴交点情况）：一元二次方程ax2 bx C 0是二次函数y=aχ2 bx G当函数值y =O时的特殊情况• 图象与X轴的交点个数：①当厶-b2 -4ac 0时，图象与X轴交于两点Axl，0 , B X2 , 0 （X^-X2），其中的X i，X2是一元次方程ax2 bx C =0 a十0的两根.这两点间的距离②当=0时，图象与X轴只有一个交点；③当.—：：0时，图象与X轴没有交点•1'当a 0时，图象落在X轴的上方，无论X为任何实数，都有y ∙0 ;2'当a ：：：0时，图象落在X轴的下方，无论X为任何实数，都有y：：：0 .2.抛物线y =aχ2 bx C的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，C）;3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与X轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数y =aχ2∙ bx ∙ c中a，b，C的符号，或由二次函数中a，b，C的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与X轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx C（^--=0）本身就是所含字母X的二次函数；下面以a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：Δ>0抛物线与X轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根A =0抛物线与X轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根A <0抛物线与X轴无交占二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.AB = X2 - X i I =b 4ac二次函数考查重点与常见题型1. 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如:已知以X为自变量的二次函数y = (m「2)x2∙ m2「m「2的图像经过原点，则m的值是___________2 .综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y =kx ∙ b的图像在第一、二、三象限内，那么函数3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：5已知一条抛物线经过(0,3) , (4,6)两点，对称轴为X ,求这条抛物线的解析式。

中学数学二次函数及绝对值课件

y = a(x – h)2 + k 的图像之性质
(1) 当 a > 0 时，曲线的开口向上；当a < 0 時，曲线的开口向下
(2) 先把曲线 y = ax2沿水平方向移动h单位，再沿垂直方向移动k单位，即可得出 y = a (x – h)2 + k 的图像 (当h > 0 时，先向右移动；当k > 0 時，则向上移动。当 h 、 k 为负数时，则以相反方向移动 )
已知 () 的根是 x b b2 4ac 2a
表达式 b2 4ac 为二次方程的判別式，并以符号來表示，即 b2 4ac
(1) 若 0 ，則二次方程 ax2 bx c 0 有两个不等的实根
(2) 若 0 ，則二次方程 ax2 bx c 0 有兩个相等的实根（或二次方程有二重根）
2
4ac 4a
b2
(1) 当 a 0 时，曲线的开口向上；当 a 0 时，曲线的开口向下
(2)
顶点位于
b 2a
,
4ac 4a
b2
若 a 0 ，y 在 x b 处取得其极小值 2a
若 a 0 ，y 在 x b 处取得其极大值 2a
(3) 直线 x b 是这条曲线的对称轴 2a
1 二次方程、二次函数及绝对值
1.3 二次方程的根之和与积
例 1.12
若二次方程 x2 mx ( m 5) 0 的根是和 1 ，试求 m 的实数值
解：
两根之和： 1 m 2 1 m....................(1)
两根之积： ( 1) m 5................( 2 )
x 4 12 2
2 3
1 二次方程、二次函数及绝对值
1.1 二次方程的解法例 1.4

二次函数知识点归纳总结

二次函数知识点归纳总结二次函数知识点总结二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。

与一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b和c可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

二次函数的根本形式是y=ax²。

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号决定开口方向。

当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

顶点坐标是（0,0），对称轴是y轴。

当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x=0时，y有最小值。

当二次函数的形式为y=ax²+c时，顶点坐标是（0,c），对称轴是y轴。

其他性质与y=ax²相同。

当二次函数的形式为y=a(x-h)²时，顶点坐标是（h,0），对称轴是以顶点为中心的垂直于x轴的直线。

当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x=h时，y有最小值。

当二次函数的形式为y=a(x-h)²+k时，顶点坐标是（h,k），对称轴是以顶点为中心的垂直于x轴的直线。

其他性质与y=a(x-h)²相同。

平移二次函数的图像，可以将抛物线的顶点平移到（h,k）处。

具体方法是保持抛物线形状不变，将其顶点平移到（h,k）处。

如果k>0，则向上平移|k|个单位；如果k<0，则向下平移|k|个单位。

y=ax^2+k向右移动h个单位（h>0）或向左移动|h|个单位（h0）或向下移动|k|个单位（k<0）。

y=a(x-h)^2向上移动k个单位（k>0）或向下移动|k|个单位（k<0），平移规律为“左加右减，上加下减”，概括为八个字。

另一种方法是对于y=ax^2+bx+c，沿y轴平移m个单位向上（下）为y=ax^2+bx+c+m（或y=ax^2+bx+c-m），沿轴平移m个单位向左（右）为y=a(x+m)^2+b(x+m)+c（或y=a(x-m)^2+b(x-m)+c）。

对于二次函数y=a(x-h)^2+k和y=ax+bx+c，两者是不同的表达形式，通过配方可以得到y=ax^2+bx+c，其中h=-b/2a，k=a(h^2)+b(h)+c。

二次函数与绝对值函数1

二轮复习专题（二次函数）一、二次函数的解析式=)(x f ______________(a ≠0）=______________=______________作二次函数图象的要素：1. 2. 3. 4.二、课前热身1. 二次函数f(x)=ax 2+bx+c,f(0)=f(4)>f(1),则（）A . a>0,4a+b=0B a<0,4a+b=0 C. a>0,2a+b=0 D. a<0,2a+b=02. 二次函数()f x 的二次项系数为负，对任意实数x ，有()(4)f x f x =-，若22(13)(1)f x f x x -<+-，则x 的取值范围是____________.3. 已知二次函数f(x)=x 2-4x+3,求函数在下列区间上的值域。

（1） [-2,1] (2) [0,3] (3) [2,6]变式：已知二次函数f(x)=x 2-4x+3在[0,m]上的值域为[-1,3],则m 的取值范围是三、典例分析例题1.求函数34-2+=x x y 在区间[]3,0上的最大值。

变式1.已知t 为常数，函数t x x y -=2-2在区间[]3,0上的最大值为2，则.______=t变式2.求函数32-2+=ax x y 在区间[]3,0上的最大值。

例题2.已知函数4)(-=x x x f ，[]m x ,0∈，其中R m ∈，且0>m 如果函数)(x f 的值域是[]4,0，求实数m 的取值范围.思考：如果函数)(x f 的值域是[]2,0m λ，求实数λ的最小值.小结：1.研究二次函数问题步骤：2.本节课所用到的数学思想：二轮复习专题（二次函数）作业1.函数2()||f x x x t =+-在区间[-1，2]上最大值为4，则实数t =_________.2.已知函数1)(2-+-=m mx x x f .若函数)(x f 在区间[]0,1-上单调递减，则实数m 的取值范围是_______.3.求函数f(x)=x 2-2ax+3在区间[-1,1]上的最小值。

与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题

与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富的内容，它对近代数仍至现代数学影响深远，这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，经久不衰，以它为核心内容的高考试题，形式上也年年有变化，此类试题常常有绝对值，充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系，往往采用直接法，利用绝对值不等式的性质进行适当放缩，常用数形结合，分类讨论等数学思想，以下举例说明。

1．设()c bx ax x f ++=2，当1≤x 时，总有()1≤x f ，求证当2≤x 时，()7≤x f . 证明：由于()x f 是二次函数，()x f 在[]2,2-上最大值只能是()()2,2-f f ，或⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b f 2，故只要证明()()72;72≤-≤f f ；当22≤-a b 时，有72≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b f ，由题意有()()()11,11,10≤≤-≤f f f .由()()()⎪⎩⎪⎨⎧+-=-++==c b a f c b a f c f 110 得()()()[]()()[]()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=01121021121f c f f b f f f a()()()()()()()0311303113242f f f f f f c b a f +-+≤--+=++=∴7313=++≤.()()()()()()()0313103131242f f f f f f c b a f +-+≤--+=+-=-7331=++≤.()()()()()()1112111211121=+≤-+≤--=f f f f b . ∴ 当22≤-a b 时，22444222b a b c a b c a b ac a b f ⋅-=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 72212122<=⨯+≤⋅+≤b a b c . 因此当2≤x 时，()7≤x f . 点评：从函数性质的角度分析，要证2≤x 时，()7≤x f ，只要证当2≤x 时，()x f 的最大值M 满足7≤M . 而()x f 又是二次函数，不论a 、b 、c 怎么取值()x f 在[]2,2-上的最大值只能是()()2,2f f -，或⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b f 2，因而只要证明()()72,72≤-≤f f ，72≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b f ，这里需要特别指出的是要将()()2,2-f f 与()()()1,1,0-f f f 建立联系，将二次函数中的系数b a ,c ,用()1f 、()1-f 、()0f 表示：()()(),20211f f f a --+=()()()0,211f c f f b =--=，然后用含有绝对值不等式的性质，进行适当放缩。

二次函数绝对值的若干性质

二次函数绝对值的若干性质二次函数绝对值定义为y=|ax^2+bx+c|，其中a、b、c是常数，它是一个单调函数。

下面介绍二次函数绝对值的若干性质：一、总体极值1．若a>0，则二次函数绝对值的极值为：P = -b/ (2a)，yP = |aP^2 + bP + c|局部极大值；2．若 a<0，则无极值，二次函数绝对值永不等于0。

二、拐点若a>0，b^2 - 4ac>0，则二次函数绝对值在拐点处是变程函数的拐点，其拐点为：P1 =(-b+√(b^2-4ac))/2a；P2 =(-b-√(b^2-4ac))/2a；y1 = |aP1^2 + bP1 + c|；y2 = |aP2^2 + bP2 + c|三、泰勒级数展开设φ(x)=|ax^2 + bx + c|，当x=x0时：φ(x) = |a(x-x0)^2 + (bx0 + c)|= |(bx0 + c) + a(x-x0)^2|= |bx0 + c| + a(x-x0)^2 +…= |φ(x0)| + a(x-x0)^2 +…四、微分当x=P时，且a>0，则二次函数绝对值在拐点处的导数计算如下：P = -b/ (2a)，yP = |aP^2 + bP + c|=>y'P= |2aP + b|五、函数的奇偶性二次函数绝对值的奇偶性如下：1．若a>0，则二次函数绝对值在任一点上取值都为正，它是一个偶函数。

2．若a<0，则二次函数绝对值在任一点上取值都为负，它是一个奇函数。

六、函数的对称性二次函数绝对值函数有以下三种对称性：1．若a>0，b=0，则该函数关于y轴对称；2．若a<0，b=0，则该函数关于原点对称；3．关于直线x=1/a垂直于y轴的对称性。

综上所述，二次函数绝对值的若干性质有：总体极值、拐点、泰勒级数展开、微分、函数的奇偶性、函数的对称性。

熟悉了二次函数绝对值的性质，就能较为准确的求解二次函数绝对值函数的函数图像与正确值，从而得到更好的数学求解方案。

word完整版二次函数图像以及性质完整归纳,文档

适用标准文档二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式： y ax 2的性质：a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质0，0 x 0时，y 随x 的增大而增大；x0时，y 随向上y 轴x0时，y 有最小值0．x 的增大而减小；a0，0 x 0时，y 随x 的增大而减小；x 0时，y 随向下 y 轴x0时，y 有最大值0．x 的增大而增大；的绝对值越大，抛物线的张口越小。

yax 2c 的性质：上加下减。

a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质a0，c x 0时，y 随x 的增大而增大；x0时，y 随向上y 轴x0时，y 有最小值c ．x 的增大而减小；a 00，c x 0时，y 随x 的增大而减小；x 0时，y 随向下y 轴x0时，y 有最大值c ．x 的增大而增大；3.yax 2h 的性质：左加右减。

a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质a 0 向上 h ，0 X=h x h 时，y 随x 的增大而增大； xh 时，y随x 的增大而减小； x h 时，y 有最小值0．a 0 向下 h ，0 X=h x h 时，y 随x 的增大而减小； xh 时，y随x 的增大而增大； x h 时，y 有最大值0．4.yax 2hk 的性质：a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质a0h，k xh时，y随x的增大而增大；xh时，y向上X=hx h时，y有最小值k．随x的增大而减小；a0h，k xh时，y随x的增大而减小；xh时，y向下X=hx h时，y有最大值k．随x的增大而增大；文案大全适用标准文档二、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线分析式转变为极点式yaxh 2h ，k ；k ，确立其极点坐标 ⑵保持抛物线yax 2的形状不变，将其极点平移到h ，k 处，详细平移方法以下：向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0) 【或左(h<0) 】平移|k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移 ”．归纳成八个字“左加右减，上加下减” ．方法二：⑴y ax 2 bx c 沿y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位，y ax 2 bx c 变为yax 2 bx c m （或y ax 2 bx cm ）⑵y ax 2 bx c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，yax 2 bx c 变为ya(x m)2 b(x m) c （或y a(x m)2 b(x m) c ）三、二次函数yax h 2k 与y2bx c 的比较ax从分析式上看， y a x 2k 与y ax 2 bxc 是两种不一样的表达形式，后者经过配hb 24ac b 2b，k4ac b 2方能够获得前者，即y a x，此中h ．2a4a2a4a四、二次函数yax 2 bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax 2 bx c 化为极点式y a(x h)2k ，确立其张口方向、对称轴及极点坐标，而后在对称轴双侧，左右对称地描点绘图.一般我们选用的五点为：极点、与 y 轴的交点0，c 、以及 0，c 对于对称轴对称的点 2h ，c 、与x 轴的交点x 1，0 ，x 2，0（若与x 轴没有交点，则取两组对于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：张口方向，对称轴，极点，与 x 轴的交点，与y 轴的交点.文案大全五、二次函数yax2bxc的性质1.当a0时，抛物线张口向上，对称轴为x b，极点坐标为b，4ac b2．2a2a4a当x b时，y随x的增大而减小；当x b时，y随x的增大而增大；当x b 2a2a2a 2时，y有最小值4acb．4a2.当a0时，抛物线张口向下，对称轴为x b，极点坐标为b，4ac b2．当2a2a4ax b时，y随x的增大而增大；当xb时，y随x的增大而减小；当x b时，y 2a2a2a 2有最大值4ac b．4a六、二次函数分析式的表示方法1.一般式：y ax2bxc（a，b，c为常数，a0）；2.极点式：y a(x h)2k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式：y a(x x1)(x x2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的分析式都能够化成一般式或极点式，但并不是全部的二次函数都能够写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的分析式才能够用交点式表示．二次函数分析式的这三种形式能够互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数a二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，明显a0．⑴当a0时，抛物线张口向上，a的值越大，张口越小，反之a的值越小，张口越大；⑵当a0时，抛物线张口向下，a的值越小，张口越小，反之a的值越大，张口越大．总结起来，a决定了抛物线张口的大小和方向，a的正负决定张口方向，a的大小决定张口的大小．一次项系数b在二次项系数a确立的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在a0的前提下，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左边；2a当b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b0时，b0，即抛物线对称轴在y轴的右边．2a文案大全⑵在a0的前提下，结论恰好与上述相反，即当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴右边；2a当b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b0时，b0，即抛物线对称轴在y轴的左边．2a总结起来，在a确立的前提下，b决定了抛物线对称轴的地点．ab的符号的判断：对称轴xb0，在y轴左边则ab0，在y轴的右边则ab2a归纳的说就是“左同右异”总结：常数项c⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的地点．总之，只需a，b，c都确立，那么这条抛物线就是独一确立的．二次函数分析式确实定：依据已知条件确立二次函数分析式，往常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的分析式一定依据题目的特色，选择适合的形式，才能使解题简易．一般来说，有以下几种状况：已知抛物线上三点的坐标，一般采用一般式；已知抛物线极点或对称轴或最大（小）值，一般采用极点式；已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般采用两根式；已知抛物线上纵坐标同样的两点，常采用极点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种状况，能够用一般式或极点式表达对于x轴对称y ax2bx c对于x轴对称后，获得的分析式是y ax2bx c；y a x h 2yax h2 k对于x轴对称后，获得的分析式是k；对于y轴对称y ax2bx c对于y轴对称后，获得的分析式是y ax2bx c；y a x h 2y ax h2 k对于y轴对称后，获得的分析式是k；文案大全适用标准文档对于原点对称y ax2bx c对于原点对称后，获得的分析式是y ax2bx c；y ax h 2y a x h2k；k对于原点对称后，获得的分析式是4.对于极点对称（即：抛物线绕极点旋转180°）y ax2bx c对于极点对称后，获得的分析式是y ax2bx c b2；2ay ax h 2y a x h2k．k对于极点对称后，获得的分析式是5.对于点m，n对称y ax h 2y a x h22nk k对于点m，n对称后，获得的分析式是2m依据对称的性质，明显不论作何种对称变换，抛物线的形状必定不会发生变化，所以a永久不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，能够依照题意或方便运算的原则，选择适合的形式，习惯上是先确立原抛物线（或表达式已知的抛物线）的极点坐标及张口方向，再确定其对称抛物线的极点坐标及张口方向，而后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参照：y=2x 2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=x2y=2x2y=2(x-4)2x2十y=2y=2(x-4)2-3一、y=2x2+2y=2x2y=2x2-4x2y=-2y=-x2y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2y=-2x2文案大全适用标准文档【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数y1x24x6的图象1x221(x2【解】y4x68x12)22 1[(x24)2-4]1(x24)2-222以x4为中间值，取x的一些值，列表以下：x-7-6-5-4-3-2-1y 53-2352222【例2】求作函数y x24x3的图象。

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