叠加法绘制弯矩图
梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图
2、计算1-1 截面旳内力 FA
3、计算2-2 截面旳内力
M2
F=8kN
FS1
M1 FS1 FA F 7kN M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m
q=12kN/m
FS2
FB
FS2 q 1.5 FB 11kN
M2
FB
1.5 q 1.5 1.5 2
30kN m
2
1
例题
求下图所示简支梁1-1与2-2截面旳剪力和弯矩。
F=8kN
q=12kN/m
A 2m
FA 1.5m
1 1 1.5m
2
B
2
1.5m
3m
FB
解： 1、求支反力
3 M B 0 FA 6 F 4.5 q 3 2 0 FA 15kN
Fy 0 FA FB F q 3 0 FB 29kN
梁任意横截面上旳剪力，等于作用在该截面左边 （或右边）梁上全部横向外力旳代数和。截面左 边向上旳外力(右边向下旳外力)使截面产生正旳 剪力，反之相反。【左上右下为正，反之为负】 梁任意横截面上旳弯矩，等于作用在该截面左 边（或右边）全部外力（涉及外力偶）对该截面 形心之矩旳代数和。截面左边（或右边）向上旳 外力使截面产生正弯矩，反之相反。【左顺右逆 为正，反之为负】
一、梁平面弯曲旳概念
1、平面弯曲旳概念
弯曲变形：作用于杆件上旳外力垂直于杆件旳轴线，使 杆旳轴线由直线变为曲线。
平面弯曲：梁旳外载荷都作用在纵向对称面内时，则梁旳轴 线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线。
q F
Me 纵 向
对称面
B
A
x
y FAy
FBy
以弯曲变形为主旳直杆称为直梁，简称梁。 平面弯曲是弯曲变形旳一种特殊形式。
建筑力学中应用叠加法绘制弯矩图的新探讨
建筑力学中应用叠加法绘制弯矩图的新探讨作者：程晶晶来源：《科技资讯》2023年第16期关键词：建筑力学叠加法矩图探讨中图分类号： G64 文献标识码： A 文章编号： 1672-3791（2023）16-0150-04力学的概念起源于古人对自然现象的观察、在自然界生产活动过程中总结的经验。
16—17 世纪，力学开始发展成为一门相对独立、系统的自然科学门类。
建筑力学是建筑行业的基础课程，它旨在帮助学生们更好地理解建筑结构的客观特征，并掌握结构构件的受力特性，从而为建筑设计和施工提供坚实的基础。
通过应用叠加原理，我们可以使用一种全面的、多维度的分析和综合方法。
通过叠加原理，当结构构件处于弹性范围内，受到多种荷载的共同影响，其反应将会以线性方式发展，也就是说，每种荷载的影响都会相当于它们单独施加的力的总和。
在分析问题和解决问题上，是把复杂的研究问题，分解为若干个简单问题，在分析的基础上分别解决各个简单问题，然后将各个简单问题统一到复杂的研究问题上来，使复杂问题得到解决。
叠加法是一种将建筑物的力学和结构紧密联系起来的方法。
1 相关概念概述弯矩图描绘了杆件在不同截面上的弯曲变形情况。
曲线可以被广泛理解，从简单的直线到复杂的曲线，甚至可以被称为普遍的曲线。
弯矩图可以用来描述结构物的弯曲力，它们通常出现在受力部位，不需要标注正负值。
1.1 弯矩图的特征绘制弯矩图时，有两个关键步骤：首先，要准确描绘出曲线的形状，即确定弯矩图的特征；其次，要确定曲线的位置，即在已知曲线的形状和大小的基础上，确定平面曲线的位置，这就要求先确定曲线上任意两点的位置，这两点的位置就是指某两个截面处的弯矩值[1]。
可见，弯矩曲线的绘制过程主要是进行如下两个步骤：（1）确定图形特征和特征值；（2）可以得出某两个截面上的弯矩值。
1.2 绘制方式首先，根据单跨梁的特性和规律，绘制出附属部分的弯矩图，然后再将其延伸至基本部分，以获得更准确的结果。
区段叠加法作弯矩图
1、掌握叠加原理； 2、会用叠加法作弯矩图； 3、会用区段叠加法作弯矩图
重 点
1、叠加法绘制弯矩图 2、区段叠加法绘制弯矩图。
难 点
区段叠加法绘制弯矩图
叠加原理： 几个载荷共同作用的效果，等于各个载荷单独作用效果之和 “效果”——指载荷引起的反力、内力、应力或变形 “之和”——代数和 叠加原理成立的前提条件：小变形条件
+
1 Fl 8
+
1 Fl 4
6kN 6kN
A
2kN m
B
2kN m
D
C
2m
2m
4
2m
2m
2m
2m
+
+
4
6
4
-
MA A
q
MB B
l A
q
B A
MA
MB B
l
l
+
MA 1/8qL2
+
MB 1/8qL2 MA
+
MB
区段叠加法——用叠加法作某一段梁弯矩图的方法 原理
任意段梁都可以当作简支梁,并可以利用叠加法来作该段梁 的弯矩图
M x M1 x M 2 x
qx2 M x Fx 2
q
B
A F
X
l
叠加法——用叠加原理绘制弯矩图的方法
叠加时，易先画直线形的弯矩图，再叠加曲线形或折线形 的弯矩图 由于剪力图比较好画，重点介绍用叠加法画弯矩图
步骤：
1. 荷载分解 2. 作分解荷载的弯矩图
3. 叠加作荷载共同作用下 的弯矩图
注意：
弯矩图的叠加， 不是两个图形的简单叠加， 而是对应点处纵坐标的相加。
结构力学 叠加法
2．6叠加法作弯矩图当梁在荷载作用下变形微小，因而在求梁的支反力、剪力、弯矩时可直接代入梁的原始尺寸进行计算，且所得结果与梁上荷载成正比。
在这种情况下，当梁上有几项荷载作用时，由每一项荷载所引起的梁的支反力或内力，将不受其他荷载的影响。
所以在计算梁的某截面上的弯矩时，只需先分别算出各项荷载单独作用时在该截面上引起的弯矩，然后求它们的代数和即得到该截面上的总弯矩。
这种由几个外力共同作用引起的某一参数(内力、位移等)等于每一外力单独作用时引起的该参数值的代数和的方法，称为叠加法。
叠加法的应用很广，它的应用条件是：需要计算的物理量(如支反力、内力以及以后要讨论的应力和变形等)必须是荷载的线性齐次式。
也就是说，该物理量的荷载表达式中既不包含荷载的一次方以上的项，也不包含荷载的零次项。
例题2-9试按叠加原理做例题2-9图(a)所示简支梁的弯矩图。
求梁的极值弯矩和最大弯矩。
解：先将梁上每一项荷载分开(见图(b)、图(c))，分别做出力偶和均布荷载单独作用的弯矩图(见图(d)、图(e))两图的纵坐标具有不同的正负号，在叠加时可把它们画在x 轴同一侧(见图f)。
于是两图共有部分，其正、负纵坐标值互相抵消。
剩下的纵距(见图(f)中阴影线部分)即代表叠加后的弯矩值。
叠加后的弯矩图仍为抛物线。
如将它改画为以水平直线为基线的图，即得通常形式的弯矩图(见图(曲)。
求极值弯矩时，先要确定剪力为零的截面位置。
由平衡方程0Bm =∑可求得支反,剪力方程为Q 即可求出极值弯矩所在截面的位置。
令()0x极值弯矩为由例题2-9图（g)可见，全梁最大弯矩为本例中的极值弯矩并不大于梁的最大值弯矩。
当梁上的荷载较复杂时，也可将梁按荷载情况分段，求出每一段梁两端截面的内力。
这时该段梁的受载情况等效于一受相同荷载的简支梁 (见图2-12(a)、(b))。
因为每一段梁在平面弯曲时的内力，不外是轴力N、剪力Q和弯矩M。
由于轴力N不产生弯矩，故在作弯矩图时可将它略去，剩下的梁端剪力1Q，2Q和梁端弯矩1M、2M，及荷载对梁段的作用，可用图2-12(b)所示的简支梁上相应的荷载来代替(梁段端截面上的剪力可由梁的支反力提供，故图中未画出)。
材料力学结构力学弯矩图
qL
(47)
B、A处无水平支反力，直接 作M图
q=20kN/m
25kN.m
25kN.m q
65kN.m 50kN 50kN
L
25kN.m 25kN.m
0.5m
0.5m
2m
(48)
B、A处无水平支反力，AC、 DB无弯曲变形，EC、ED也 无弯曲变形
P
E
L
C N=P/2
D
L
1.5L
4m
2qL2
2qL2
注：P力通过点弯矩为0
第8页/共72页
aa
用“局部悬臂梁法”直接作M图：
P
P
P
Pa
P
2Pa
A Pa
a Ba
a
a
(23)
注：AB段弯矩(2为3)常数。
(33)
2L 2L
LL
用“局部悬臂梁法”直接作M图：
P P
PL PL
3PL
L
L
L
L
((2344))
(24)
2PL 2PL
P P
qa
qa
第9页/共72页
L
L
L
q
2qL2
2qL2
A
L
(50)
(60)
P
利用反对称性，直接作M图
105
105
N=P/2
无弯矩 105 105
L
L
P (51)
P
2
2
(61)
第22页/共72页
a
先计算A或B处支反力，再作M图
B
Pa 2 P Pa 2
A
2a
((6522))
a
(土建施工)教学设计8-5-2区段叠加法绘制梁的弯矩图
8-5-2 区段叠加法绘制梁的弯矩图
一、教学目标
知识目标：
1.掌握分区段叠加法的适用情况及原理；
2.掌握分区段叠加法绘制梁的弯矩图的步骤。
能力目标：
会熟练运用分区段叠加法绘制梁的内力图。
二、教学重难点
重点：分区段叠加法绘制梁的弯矩图的步骤。
难点：分区段叠加法绘制多个荷载作用下的弯矩图。
三、教学方法
采纳线上线下混合式教学法、小组讨论法、案例分析等方法。
四、教学实施
课前：教师利用云课堂APP安排任务，学生在课前复习分荷载叠加法绘制弯矩图的步骤及思路。
课中：首先，创设情境，提出问题：“分荷载叠加法绘制两个以上荷载作用下的弯矩图是否方便？〞，引入新课。
接着，启发式讲授分区段叠加法的原理及适用情况，即梁上某段作用有均布荷载和集中力。
然后，通过例题掌握分区段叠加法绘制梁的弯矩图的步骤和方法。
最后小组合作，通过练习稳固分区段叠加法。
课后：教师通过云课堂APP安排本节课作业，并公布下节课的预习任务，教师对作业进行批改，并及时进行反应。
五、教学小结
学生通过云课堂APP进行本次课程学习效果的评价；教师总结课程内容，并进行下次课程任务安排。
叠加法绘制弯矩图-PPT
AX l
B
F
叠加法——用叠加原理绘制弯矩图的方法
叠加时，易先画直线形的弯矩图，再叠加曲线形或折线形 的弯矩图
由于剪力图比较好画，重点介绍用叠加法画弯矩图
步骤： 注意：
1. 荷载分解 2. 作分解荷载的弯矩图
3. 叠加作荷载共同作用下 的弯矩图
弯矩图的叠加， 不是两个图形的简单叠加， 而是对应点处纵坐标的相加。
叠加法绘制弯矩图
重点
1、叠加法绘制弯矩图 2、区段叠加法绘制弯矩图。
难点
区段叠加法绘制弯矩图
叠加原理：
几个载荷共同作用的效果，等于各个载荷单独作用效果之和
“效果”——指载荷引起的反力、内力、应力或变形
“之和”——代数和
叠加原理成立的前提条件：小变形条件
q
MxFxqx2
2
M x M 1 x M 2 x
kN
190 160
kNm
210 280
340
4
-
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
MA A
MA
q
MB
B
lபைடு நூலகம்
q
A
l
+
+
MB
1/8qL2
1/8qL2
MA BA
l
+
MA
MB B
MB
区段叠加法——用叠加法作某一段梁弯矩图的方法 原理
任意段梁都可以当作简支梁,并可以利用叠加法来作该段梁 的弯矩图
梁分一段： A端截面弯矩：M=MA B端截面弯矩：M=MB
各控制面弯矩分别为：
MA=-12KN MD=8KN MB=-4KN
6KN q=2KN/m
叠加法在绘制弯矩图中的应用
叠加法在绘制弯矩图中的应用作者：詹景元石煜威朱芳振来源：《建材发展导向》2015年第03期摘要：弯矩图是结构力学最为重要和基础的知识点，是后续变形和位移计算的关键内容。
但是现在的大部分教材对于弯矩图的绘制技巧和一些特殊情况的处理方法的介绍并不是很多，只是通过几道例题去将弯矩图的画法展现出来，让学生自己去理解，这便使得不少学生对于弯矩图的绘制感到无从下手。
文章通过对书本上例题的理解分析，总结出叠加法运用在绘制弯矩图中的一些简单的基本理念和分析方法。
关键词：弯矩图；叠加法；静定结构1 叠加法的介绍1.1 叠加法的前提条件材料力学讨论的杆件均满足几个基本假设，其中，小变形假设是指构件在承受荷载作用时，所产生的变形和构件的原始尺寸相比非常微小。
由于变形量微小，我们在研究杆件的支反力、内力、应力、变形等问题时都可以用构件的原始尺寸和形状进行计算，不必考虑构件受荷变形后尺寸变化给计算带来的影响。
同时，采用构件的原始尺寸进行计算所得的支反力、内力、应力、变形均与梁上的荷载保持线性关系。
1.2 叠加法的使用条件叠加法的理论依据就是叠加原理，它不仅可以用来梁的位移，也可用来计算梁的支反力、内力和应力；它不仅可用于梁，也可用于拉（压）杆和其他结构。
一般来说，当构件或结构上同时作用几个荷载时，如果各荷载产生的效果（应力、反力、内力和位移等）互不影响（或影响甚小可忽略不计），则它们所产生的总效果即等于各荷载单独作用时所产生的效果总和（或为代数和，或为矢量和，由所求的物理量的性质而定）。
在土木工程实践中，一般的梁工作时变形很小，由梁上荷载产生的剪力和弯矩与荷载呈线性关系，并且其跨长的改变可以略去不计。
因此当梁上同时受到几个载荷作用时，由每一个载荷所引起的梁的内力将不受其他载荷的影响，满足叠加原理的条件，即可用叠加法来计算梁的内力（包括剪力、弯矩等）。
1.3 叠加法的使用准备梁的内力采用叠加法来求解时，必须要对简单梁承受单个基本荷载时的内力分布比较熟悉，这样叠加计算才会比较简单便捷。
结构力学 叠加法
2．6叠加法作弯矩图当梁在荷载作用下变形微小，因而在求梁的支反力、剪力、弯矩时可直接代入梁的原始尺寸进行计算，且所得结果与梁上荷载成正比。
在这种情况下，当梁上有几项荷载作用时，由每一项荷载所引起的梁的支反力或内力，将不受其他荷载的影响。
所以在计算梁的某截面上的弯矩时，只需先分别算出各项荷载单独作用时在该截面上引起的弯矩，然后求它们的代数和即得到该截面上的总弯矩。
这种由几个外力共同作用引起的某一参数(内力、位移等)等于每一外力单独作用时引起的该参数值的代数和的方法，称为叠加法。
叠加法的应用很广，它的应用条件是：需要计算的物理量(如支反力、内力以及以后要讨论的应力和变形等)必须是荷载的线性齐次式。
也就是说，该物理量的荷载表达式中既不包含荷载的一次方以上的项，也不包含荷载的零次项。
例题2-9试按叠加原理做例题2-9图(a)所示简支梁的弯矩图。
求梁的极值弯矩和最大弯矩。
解：先将梁上每一项荷载分开(见图(b)、图(c))，分别做出力偶和均布荷载单独作用的弯矩图(见图(d)、图(e))两图的纵坐标具有不同的正负号，在叠加时可把它们画在x 轴同一侧(见图f)。
于是两图共有部分，其正、负纵坐标值互相抵消。
剩下的纵距(见图(f)中阴影线部分)即代表叠加后的弯矩值。
叠加后的弯矩图仍为抛物线。
如将它改画为以水平直线为基线的图，即得通常形式的弯矩图(见图(曲)。
求极值弯矩时，先要确定剪力为零的截面位置。
由平衡方程0Bm =∑可求得支反,剪力方程为Q 即可求出极值弯矩所在截面的位置。
令()0x极值弯矩为由例题2-9图（g)可见，全梁最大弯矩为本例中的极值弯矩并不大于梁的最大值弯矩。
当梁上的荷载较复杂时，也可将梁按荷载情况分段，求出每一段梁两端截面的内力。
这时该段梁的受载情况等效于一受相同荷载的简支梁 (见图2-12(a)、(b))。
因为每一段梁在平面弯曲时的内力，不外是轴力N、剪力Q和弯矩M。
由于轴力N不产生弯矩，故在作弯矩图时可将它略去，剩下的梁端剪力1Q，2Q和梁端弯矩1M、2M，及荷载对梁段的作用，可用图2-12(b)所示的简支梁上相应的荷载来代替(梁段端截面上的剪力可由梁的支反力提供，故图中未画出)。
区段叠加法
1.1.3区段叠加法作直梁弯矩图
在小变形情况下，依据力的独立性原理，复杂荷载引起的弯矩图，可分区段用单一荷载引起的弯矩图叠加的方法，即区段叠加法进行
绘制。
可按以下三个步骤进行：
●一求控制弯矩：首先，求两杆端的弯矩，常可直接判断（对于简支梁两端铰支处、悬臂梁的悬臂端，若无集中力偶作用，其弯
矩均为零；若有集中力偶作用，其弯矩即等于该集中力偶）；其次，求外力不连续点处的弯矩（如集中力作用点、均布荷载的起点和终点、集中力偶作用点两侧的弯矩），用载面法即可方便求得。
●二引直线相连：将相邻二控制弯矩用直线相连（当二控制截面间无横向荷载作用时，用实线连接，即为该区段弯矩图形；当二
控制截面间尚有横向荷载作用时，则用虚线连接，作为新的“基线”，然后再按下面的第“三”步叠加）。
●三叠简支弯矩：在新的“基线”上，叠加该区段按简支梁求得的弯矩图（注意：所叠加的二竖标均应垂直于原杆轴）。
现以图1-3所示简支伸臂梁为例，用区段叠加法绘制其弯矩图。
其计算步骤示于图1-3b-d中（具体计算过程从略）。
图1-3“区段叠加法”分步示意图
（二）对于曲线弯矩图叠加曲线弯矩图的情况
找出一些控制弯矩值（至少三点），中间连以适当曲线，主要是定好弯曲方向，一般为连续光滑曲线。
直杆弯矩图的叠加法
转贴
[解] 此组合结构中，除AC、BC杆为受弯杆件外，其余均为轴力杆。
（1）求支座反力
由整体平衡条件，得VA＝VB＝75kN，HA＝0.
（2）通过铰C作I—I截面，由该截面左边隔离体的平衡条件ΣMc=0，得NDE＝135kN（拉力）；由ΣY=0，Qc＝—15kN；由ΣX=0，得NC ＝—135kN（压力）。
（3）分别由结点D、E的平衡条件，得NDA＝NEB＝151kN（拉力），NDF＝NEG＝67.5kN（压力）。
更多结构工程师好资料！（4）根据铰C处的剪力Qc及轴力Nc，并按直杆弯矩图的叠加法就可绘出受弯杆AFC、BGC的弯矩图。
（5）M、Q、N图分别如图2—17b、c、d所示。
广义力和广义位移
以各种不同方式作用在结构上的力，如集中力、集中力偶、分布力、分布力偶等都称为广义力，它可以是外力，也可以是内力。
与广义力对应的位移称为广义位移。
或能唯一地决定结构几何位置改变的彼此独立的量称为广义位移，如线位移、角位移、相对线位移、相对角位移等。
更多结构工程师好资料！
本节主要介绍静定结构在广义力、温度变化、支座位移等因素作用下的广义位移计算。
直杆弯矩图的叠加法（精品）
转贴
[解] 此组合结构中，除AC、BC杆为受弯杆件外，其余均为轴力杆。
（1）求支座反力
由整体平衡条件，得VA＝VB＝75kN，HA＝0.
（2）通过铰C作I—I截面，由该截面左边隔离体的平衡条件ΣMc=0，得NDE＝135kN（拉力）；由ΣY=0，Qc＝—15kN；由ΣX=0，得NC ＝—135kN（压力）。
（3）分别由结点D、E的平衡条件，得NDA＝NEB＝151kN（拉力），NDF＝NEG＝67.5kN（压力）。
更多结构工程师好资料！（4）根据铰C处的剪力Qc及轴力Nc，并按直杆弯矩图的叠加法就可绘出受弯杆AFC、BGC的弯矩图。
（5）M、Q、N图分别如图2—17b、c、d所示。
广义力和广义位移
以各种不同方式作用在结构上的力，如集中力、集中力偶、分布力、分布力偶等都称为广义力，它可以是外力，也可以是内力。
与广义力对应的位移称为广义位移。
或能唯一地决定结构几何位置改变的彼此独立的量称为广义位移，如线位移、角位移、相对线位移、相对角位移等。
更多结构工程师好资料！
本节主要介绍静定结构在广义力、温度变化、支座位移等因素作用下的广义位移计算。
区段叠加法
1.1.3区段叠加法作直梁弯矩图
在小变形情况下，依据力的独立性原理，复杂荷载引起的弯矩图，可分区段用单一荷载引起的弯矩图叠加的方法，即区段叠加法进行
绘制。
可按以下三个步骤进行：
●一求控制弯矩：首先，求两杆端的弯矩，常可直接判断（对于简支梁两端铰支处、悬臂梁的悬臂端，若无集中力偶作用，其弯
矩均为零；若有集中力偶作用，其弯矩即等于该集中力偶）；其次，求外力不连续点处的弯矩（如集中力作用点、均布荷载的起点和终点、集中力偶作用点两侧的弯矩），用载面法即可方便求得。
●二引直线相连：将相邻二控制弯矩用直线相连（当二控制截面间无横向荷载作用时，用实线连接，即为该区段弯矩图形；当二
控制截面间尚有横向荷载作用时，则用虚线连接，作为新的“基线”，然后再按下面的第“三”步叠加）。
●三叠简支弯矩：在新的“基线”上，叠加该区段按简支梁求得的弯矩图（注意：所叠加的二竖标均应垂直于原杆轴）。
现以图1-3所示简支伸臂梁为例，用区段叠加法绘制其弯矩图。
其计算步骤示于图1-3b-d中（具体计算过程从略）。
图1-3“区段叠加法”分步示意图
（二）对于曲线弯矩图叠加曲线弯矩图的情况
找出一些控制弯矩值（至少三点），中间连以适当曲线，主要是定好弯曲方向，一般为连续光滑曲线。
理论力学-叠加法
2a
(h)
a
1 1 M C ( 291 ) 122 ( 215 ) 131KN m 2 2
绘出叠加后的弯矩图如图 e 所示。
P1
D
P2
A C B
P3
E D
P1
A B
E
a
a
a
a
(f)
a
2a
(e)
E3 P D A B D
P2
A C B E
a
(h)
a
(g)
2a
a
+
P
x q
(c)
x
叠加原理：由几个外力共同作用时所引起的某一参数 （内力，应力，位移），就等于每个外力单独作用时所 引起的该参数值的代数和。 例题4-17 试按叠加原理作图 a 所示简支梁的弯矩图， 设 m
ql ，求梁的极值弯矩和最大弯矩。 8
m q
A
2
x
l
m
m
q
A
q
B
A B A B
x
l
l
l
+
+
D
a
a
(a)
a
a
a
2a
(b)
P2
A C B
E D
P3
A B E
a
(C)
a 例题4-18图
2a
(d)
a
P1
D
A B
P2
E D
A C B
E
a
2a
(g)
a
a
(f)
+
P3
D A B E
M A 291 0 0 291KN m M B 0 0 215 215KN m
叠加法绘制弯矩图
确定梁的剪力方程
绘制剪力图
确定剪力图的比例 尺
标注剪力图的坐标 轴和单位
确定梁的截面尺寸和材料属性 计算梁的支反力 根据支反力计算弯矩 根据弯矩计算截面的应力
绘制剪力图
将剪力图叠加到弯矩图上
添加标题
添加标题
绘制弯矩图
添加标题
添加标题
调整线条粗细和颜色以区分不同受 力情况
剪力正负规定：顺时针 为正，逆时针为负
弯矩正负规定：上侧受 压为正，下侧受拉为负
剪力正负规定：顺时针为正，逆时针为负 弯矩正负规定：使梁段发生下凹变形为正，反之为负
剪力和弯矩的叠加原则是绘制弯矩图的基础，必须严格遵守。 在叠加过程中，需要注意剪力和弯矩的方向和大小，确保正确地表示结构的受力情况。 在实际应用中，需要注意剪力和弯矩的叠加原则在不同情况下的适用性，避免出现错误。 掌握剪力和弯矩的叠加原则对于正确绘制弯矩图至关重要，需要认真学习和实践。
确定各段梁的跨度、截面尺寸和材料属性 计算各段梁的弯矩值 根据弯矩值绘制各段梁的弯矩图 将各段梁的弯矩图叠加在一起形成整体弯矩图
确定梁的支座反力 是叠加法绘制弯矩 图的第一步
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
支座反力的大小和 方向可以通过平衡 方程求解
支座反力在弯矩图 上表现为直线段的 起点和终点
确定支座反力是绘 制弯矩图的关键步 骤之一
叠加法适用于各 种类型的梁，包 括简支梁、连续 梁和悬臂梁等。
弯矩图是表示梁的截面弯矩沿轴线的变化规律的图形。 弯矩图是结构分析中常用的一种工具，通过弯矩图可以直观地了解结构的受力情况。 弯矩图可以用来分析结构的稳定性、刚度和承载能力等，为结构设计提供重要的参考依据。 弯矩图可以通过叠加法、剪力法等方法进行绘制，其中叠加法是最常用的一种方法。
分段叠加法作弯矩图
l/2
q 1 ql2 16
l/2
q
1 ql2 16
分段叠加法作弯矩图的方法：
（1）计算控制截面的弯矩值: 选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、
分布荷载的始点和终点）为控制截面，
（2）分段叠加作弯矩图： 当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯矩值
的直线； 当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作
M图 FQ图
A支座的反力 大小为多少, ql2 / 2 M图 方向怎样? FQ图
M图
FQ图
1.无荷载分布段(q=0),FQ图为水平线,M图为斜直线. 2.均布荷载段(q=常数),FQ图为斜直线,M图为抛物线,且 凸向与荷载指向相同. 3.集中力作用处,FQ图有突变,且突变量等于力值; M图 有尖点,且指向与荷载相同;从左向右看，剪力图突变 方向与力的方向相同。 4.集中力偶作用处, M图有突变,且突变量等于力偶值; FQ图无变化;从左向右看，顺时针力矩，M图向下突变。
1m
1m
7kN
练习2
本章重点： 梁和刚架的内力图
60kN
24kN
A
D0
B
E
0.2m
18kN
0.2m
0.2m
66kN
M图
FQ图
例: 作内力图
铰支座有外 力偶,该截面弯矩 等于外力偶.
M图 FQ图
无剪力杆的 弯矩为常数.
M图
自由端有外
力偶,弯矩等于外
FQ图 力偶
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
5.叠加法作弯矩图
注意:
是竖标相加,不是 图形的简单拼合.
用叠加法作直杆M 图的步骤
结构力学第三章叠加法作弯矩图
作业
3-1 a d e
f h
二、内力的计算方法
1.截面法
截取----将指定截面切开，任取一部分作为隔离体。 代替----用相应内力代替该截面的应力之和。 平衡----利用隔离体的平衡条件，确定该截面的内力。
2.直接计算法
轴力等于该截面一侧所有的外力沿杆轴切线方向的投影代数和； 剪力等于该截面一侧所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和； 弯矩等于该截面一侧所有外力对截面形心的力矩的代数和。 以上结论是解决静定结构内力的关键和规律，应熟练掌握和应用。
2kN· m
（3）叠加得弯矩图
4kN· m
4kN· m
MA A
MB
B
l
MB
MA
MA A
q B
MB
l
MA
ql 8
2
MB
8kN· m
2kN/m
3m
3m
2m
（1）悬臂段分布荷载作用下
4kN· m
2kN· m
（2）跨中集中力偶作用下
4kN· m
4kN· m
（3）叠加得弯矩图
6kN· m
4kN· m
2kN· m
q
A
ql2 8
B
l
F A B
a
l Fb l
＋
Fab l
b
－
Fa l
ql 2 / 2
M图
FQ图
A支座的反力 大小为多少, 方向怎样?
M图
FQ图
a m l m A
b m l
a b l
B
m l m l
－
m l
M图
FQ图
自由端有外 力偶,弯矩等于外 力偶
无剪力杆的 弯矩为常数.
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L
3
30
ql2 40 16 80 KN m
8
8
130
40kN m
40kN
BF
310kN
4m
2m
120
40
kN
190 160
kNm
210 280
340
C
B
FA 10kN
1m 2m
2m
7
3
x 1.56 2
3
2
2.44 2
E FB 2kN 1m
kN
kNm
20kN
20kN
qP
2m
2m
2m
q=50kN/m P=100kN
275kN
125kN
80kN m 160kN
C A
DE 130kN
1m 1m 2m
130
Fab 1601 2 107
1
4
支座反力RA=15KN RB=11KN
梁分CA、AD、DB BF段。
各控制面弯矩分别为：
MA=-12KN MD=8KN MB=-4KN
6KN q=2KN/m
C 2m
A 4m
RA
12
8KN q=2KN/m
D
E
2m 2m
BF 2m
RB
4
8
10
作图示梁的内力图
3kN 4.5kN m
2kN m
D
A
叠加法作弯矩图
教学目的：
1、掌握叠加原理； 2、会用叠加法作弯矩图； 3、会用区段叠加法作弯矩图
重点
1、叠加法绘制弯矩图 2、区段叠加法绘制弯矩图。
难点
区段叠加法绘制弯矩图
叠加原理：
几个载荷共同作用的效果，等于各个载荷单独作用效果之和
“效果”——指载荷引起的反力、内力、应力或变形
“之和”——代数和
叠加原理成立的前提条件：小变形条件
q
M x Fx qx2
2
Mx M1x M2x
AX l
B
F
叠加法——用叠加原理绘制弯矩图的方法
叠加时，易先画直线形的弯矩图，再叠加曲线形或折线形 的弯矩图
由于剪力图比较好画，重点介绍用叠加法画弯矩图
步骤： 注意：
1. 荷载分解 2. 作分解荷载的弯矩图
3. 叠加作荷载共同作用下 的弯矩图
弯矩图的叠加， 不是两个图形的简单叠加， 而是对应点处纵坐标的相加。
叠加法作弯矩图
F
q
F
q
A
BA
＋
B
A
B
l
l
l
1/2qL2+FL
1/2qL2
FL
F A
m 1 Fl
4A
F
C
B
B
l2 l2
1 Fl 4
-
+ 1 Fl 8
l2 l2
+
1 Fl 4
A C
m 1 Fl 4 C
梁分一段： A端截面弯矩：M=MA B端截面弯矩：M=MB
MA A
A
MA
q
MB
B
l
B
MB
1/8qL2
梁分两段：AB段和BD段。 AB段A端弯矩MAB=0， B端弯矩MBA=-4KN•m BD段B端弯矩MBD=-4KN•m D端弯矩MDB=0
6kN 2kN mACBD2m 2m 2m
4 B 2
A
D
l
1 Fl
-4
6kN
6kN 2kN m
AC
B
D
2m 2m 2m
4
+
-
6
+
4
2kN m
2m 2m 2m
4
-
MA A
MA
q
MB
B
l
q
A
l
+
+
MB
1/8qL2
1/8qL2
MA BA
l
+
MA
MB B
MB
区段叠加法——用叠加法作某一段梁弯矩图的方法 原理
任意段梁都可以当作简支梁,并可以利用叠加法来作该段梁 的弯矩图