6.3.4 留数法
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留数法：又称反演积分法。 – 由z变换的定义可知
F ( z ) f (kT ) z k
F ( z) z
m 1
k 0
f (kT ) z
k 0
m k 1
包围了
F ( z ) z k 1
的所有极点
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F ( z) z
m 1
m k 1 dz f (kT ) z dz k 0
z 2
所以
f (kT ) 10(2 k 1)
(k 0,1,2,)
3）三种z反变换法的比较
部分分式法通过Z变换表6-1可方便地求得
留数 x(t ,)
* 。 x (t )
计算法可以直接求出 x( nT )序列，因而容易求得 但这两种方法有一个共同的特点，都需要知道
X( z )的全部极点,这意味着要求解高阶代数方程，
这是一件困难的事，因此在应用上有一定的局限性，
一般不宜用于高阶采样系统。
而长除法却没有这种限制，通用性好。它的缺点是 计算起来麻烦，而且往往得不到闭合的表示形式。
F ( z) z
m 1
dz f (kT ) z
k 0
m k 1
dz
Res z
( k 1)
1 d r 1 r k 1 x( z ) lim ( z z ) z x( z ) i r 1 z zi (r 1)! dz
其中Res[]表示函数的留数。 例6-8 已知z变换函数为
10z F ( z) ( z 1)(z 2)
试用围线积分方法求z反变换。
解：
F ( z ) z k 1
10z k ( z 1)(z 2)
res [ F ( z ) z k 1 ,1] lim( z 1) F ( z ) z k 1 10
z 1
res [ F ( z ) z k 1 ,2] lim( z 2) F ( z ) z k 1 10 2 k
F ( z ) f (kT ) z k
F ( z) z
m 1
k 0
f (kT ) z
k 0
m k 1
包围了
F ( z ) z k 1
的所有极点
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F ( z) z
m 1
m k 1 dz f (kT ) z dz k 0
z 2
所以
f (kT ) 10(2 k 1)
(k 0,1,2,)
3）三种z反变换法的比较
部分分式法通过Z变换表6-1可方便地求得
留数 x(t ,)
* 。 x (t )
计算法可以直接求出 x( nT )序列，因而容易求得 但这两种方法有一个共同的特点，都需要知道
X( z )的全部极点,这意味着要求解高阶代数方程，
这是一件困难的事，因此在应用上有一定的局限性，
一般不宜用于高阶采样系统。
而长除法却没有这种限制，通用性好。它的缺点是 计算起来麻烦，而且往往得不到闭合的表示形式。
F ( z) z
m 1
dz f (kT ) z
k 0
m k 1
dz
Res z
( k 1)
1 d r 1 r k 1 x( z ) lim ( z z ) z x( z ) i r 1 z zi (r 1)! dz
其中Res[]表示函数的留数。 例6-8 已知z变换函数为
10z F ( z) ( z 1)(z 2)
试用围线积分方法求z反变换。
解：
F ( z ) z k 1
10z k ( z 1)(z 2)
res [ F ( z ) z k 1 ,1] lim( z 1) F ( z ) z k 1 10
z 1
res [ F ( z ) z k 1 ,2] lim( z 2) F ( z ) z k 1 10 2 k