6.3.4 留数法
留数的计算方法
留数的计算方法留数的计算方法是复变函数理论中的重要内容，它在复积分的计算中起着关键作用。
在计算留数时，我们需要首先了解什么是留数，然后掌握留数的计算方法。
接下来，我们将详细介绍留数的概念和计算方法。
留数是复变函数在孤立奇点处的一种特殊性质，它可以帮助我们计算复积分。
对于函数f(z)，如果z=a是它的孤立奇点，那么留数Res(f,a)的定义如下：Res(f,a) = 1/(2πi) ∮f(z)dz。
其中积分路径沿着a点的一个小圆周C进行，积分方向是逆时针方向。
这个公式是计算留数的基本公式，但在实际计算中，我们通常会结合留数的性质和定理来简化计算过程。
对于简单极点a，我们有留数的计算公式：Res(f,a) = lim(z→a) [(z-a)f(z)]对于高阶极点，我们可以利用洛必达法则来计算留数。
此外，如果函数f(z)可以分解为g(z)/h(z)，那么我们可以利用h(z)在点a处的零点和极点来计算f(z)在点a 处的留数。
在实际应用中，我们还可以利用留数定理来计算复积分。
留数定理指出，如果f(z)在闭合曲线C内除了有限个孤立奇点外是全纯的，那么沿着曲线C的复积分可以表示为这些孤立奇点处的留数之和。
这为复积分的计算提供了一种简便的方法。
在计算留数时，我们还需要注意一些特殊情况，比如当函数f(z)在点a处有可去奇点时，留数为0；当函数f(z)在点a处有极点但不是孤立奇点时，留数也为0。
因此，在计算留数时，我们需要仔细分析函数在各个点的性质，以便正确计算留数。
综上所述，留数的计算方法是复变函数理论中的重要内容，它在复积分的计算中具有重要作用。
掌握留数的概念和计算方法，对于深入理解复变函数理论和进行相关计算具有重要意义。
希望本文介绍的内容能够帮助读者更好地理解留数的计算方法。
留数理论
cos z dz . 例 3 计算积分 3 |z| 1 z
cos z 解： f ( z ) 3 只有一个三阶极点z 0 . z 由定理 6.2 得
1 1 3 cos z Re s f ( z ) ( z 3 ) z 0 ， z 0 2 ( 3 1)! z
由留数定理得
所以,
Res f ( z ) c1
z a
1 d n 1 lim n1 [( z a )n f ( z )]. ( n 1)! z a dz
[证毕]
注：函数 f ( z ) 在 n 阶极点 a 处的留数也可用下列
极限形式表示：
1 Re s f ( z ) lim[( z a )n f ( z )]. za ( n 1)! z a
推论6.3 如果 a 为 f ( z )的一阶极点, 那末
Res f ( z ) ( z a ) f ( z ) z a .
z a
( 6 .4 )
推论6.4
如果 a 为 f ( z ) 的二阶极点, 那末
Res f ( z ) [( z a )2 f ( z )] z a .
z a
(6.5)
P(z) , P ( z ) 及 Q( z ) 在 a 都解析， 定理6.5 设 f ( z ) Q( z )
如果 P (a ) 0 , Q(a ) 0 , Q(a ) 0 , 那末 a 为
f ( z ) 的一阶极点, 则有 Res f ( z ) P (a ) . z a Q ( a )
证
因为 a 为 f ( z ) 的一阶极点,
P(z) 所以， Res f ( z ) lim ( z a ) f ( z ) lim z a z a Q( z ) Q(a ) z a za P (a ) . Q ( a )
(完整版)复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
第六章留数理论及其应用§1.留数1.（定理6.1 柯西留数定理）：∫f(z)dz=2πi∑Res(f(z),a k)nk=1C2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点，f(z)=φ(z) (z−a)n,其中φ(z)在点a解析，φ(a)≠0，则Res(f(z),a)=φ(n−1)(a) (n−1)!3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点，φ(z)=(z−a)f(z),则Res(f(z),a)=φ(a) 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点φ(z)=(z−a)2f(z)则Res(f(z),a)=φ′(a)5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6.无穷远点的留数：Res(f(z),∞)=12πi∫f(z)dzΓ−=−c−1即，Res(f(z),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中1z这一项系数的反号7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,…,a n,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。
注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Res(f(z),∞)=0，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则Res(f(z),∞)可以不为零。
8.计算留数的另一公式：Res (f (z ),∞)=−Res (f (1t )1t 2,0)§2.用留数定理计算实积分一.∫R (cosθ,sinθ)dθ2π0型积分 → 引入z =e iθ注：注意偶函数二.∫P(x)Q(x)dx +∞−∞型积分1.（引理6.1 大弧引理）：S R 上lim R→+∞zf (z )=λ则lim R→+∞∫f(z)dz S R=i(θ2−θ1)λ 2.（定理6.7）设f (z )=P (z )Q (z )为有理分式，其中P (z )=c 0z m +c 1z m−1+⋯+c m (c 0≠0)Q (z )=b 0z n +b 1z n−1+⋯+b n (b 0≠0)为互质多项式，且符合条件：（1）n-m ≥2;（2）Q(z)没有实零点于是有∫f (x )dx =2πi ∑Res(f (z ),a k )Ima k >0+∞−∞注：lim R→R+∞∫f(x)dx +R −R 可记为P.V.∫f(x)dx +∞−∞ 三. ∫P(x)Q(x)e imx dx +∞−∞型积分 3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周ΓR :z =Re iθ(0≤θ≤π，R 充分大)上连续，且lim R→+∞g (z )=0在ΓR 上一致成立。
留数的计算方法
留数的计算方法摘 要：本文介绍了常见的几类的留数的计算方法.并通过实例加以阐析. 关键词：留数;极点;零点The Calculation of the ResidueAbstract: This paper presents several commonly solving methods of residue. Based on examples, these solving methods are stated and analyzed. Key W ords: Residue; Poles; Zero-point引言由留数定理得知，计算函数)(z f 沿C 的积分，可归结为计算围线C 内各孤立奇点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数，因此我们只关心该奇点处罗朗级数中的负一次幂系数，也就是说，不必完全求出罗朗级数就可以完全确定该点的留数.下面介绍求留数的几种常用方法，使用时要根据具体条件，选择一个较方便的方法来进行.1. 有限远点留数的计算方法留数定理把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数1-C .在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的. 1.1 若0z 为)(z f 的可去奇点则)(z f 在R z z <-<00内的罗朗展开式中不含负幂项，从而01=-a ，故当0z 为)(z f 的可去奇点时，0Re ()0.s f z = (1.1)1.2 若0z 为)(z f 的一阶极点(1)第一种情形：若0z 为)(z f 的一阶极点，则)(z f 在R z z <-<00内的罗朗展开式为110010()()()f z a z z a a z z --=-++-+显然)()lim (01z f z z a -=-，故当0z 为)(z f 的一阶极点时，00Res ()lim()()z z f z z z f z →=- （1.2）(2)第二种情形： 若0z 为)()()(z Q z P z f =的一阶极点，且0)(0'≠z Q ，则 000()Res ()()P z f z Q z ='. (1.3)1. 3 若0z 为)(z f 的m 阶极点则010011d Res ()lim [()()](1)!d m m m z z f z z z f z m z --→=--. （1.4）一般来讲,公式(1.4)适合计算级数较低的函数的极点的留数.如果极点的级数较高时,计算可能比较复杂,此时可根据具体情况改用其他方法计算留数. 1.4 当0z 为)(z f 的本性奇点时几乎没有什么简捷方法，因此对于本性奇点处的留数，就只能利用罗朗展开式的方法或计算积分的方法来求． 1.5 有限远点留数计算典型实例例 1.5.1 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,1Re 2z ze s z ． 解 容易知道1=z 是函数12-z ze z的一阶极点，所以211Res[(),1]lim(1)lim 112z z z z ze ze ef z z z z →→=-==-+.本题也可用上述方法 设)()()(z Q z P z f =，取z ze z P =)(，1)(2-=z z Q ，显然)(z P ，)(z Q 满足方法1.2中(2)的条件，所以2(1)Res ,11(1)2z ze P e z Q ⎡⎤==⎢⎥'-⎣⎦.例 1.5.2 求函数 2)1)(1()(+-=z z zz f 在1=z 处的留数. 解 由于1=z 是分母的一级零点,且分子在1=z 时不为零,因此, 1=z 是)(z f 的一级极点.由公式(1.2)可以得到=)1),((Re z f s 41))1)(1(1(lim 21=+--→z z z z z . 由于1-=z 是分母的二级零点,且分子在1=z 时不为零,因此, 1-=z 是)(z f 的二级极点.由公式(1.4)得=-)1),((Re z f s ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-→221)1)(1()1(lim z z z z dz d z =41)1(1lim 21-=---→z z .例 1.5.3 求函数)(z f 1sin 4-=z z在1=z 处的留数. 解 因为14-z 以1-=z 为一级零点,而01sin ≠,因此)(z f 以1=z 为一级极点.由公式(1.3)得=)1),((Re z f s 1sin 414sin )1(sin 131'4==-==z z z z z z . 例1.5.4 求函数)(z f zz e 1+=在0=z 处的留数.解 0=z 是)(z f 的本性奇点,因为)(z f zz e1+==⋅=zze e 1))!1(!21(12 +-++++-n z z z n , )0(∞<<z 所以相乘后级数z1的系数1-C 为 1-C +-++++=!)!1(1!3!21!211n n 于是)0),((Re z f s +-++++=!)!1(1!3!21!211n n 2. 无限远点处的留数计算方法2.1 无穷远点留数定义或留数和定理定义 2.1.1[3] 设∞点为函数)(z f 的一个孤立奇点,即)(z f 在+∞<<z R 内解析,则称积分⎰-1)(21C dz z f i π值为)(z f 在∞点的留数,记作 ⎰-=∞1)(21)),((Re C dz z f i z f s π. 其中,C 为圆周R r z >=,1-C 的方向是顺时针的. 设)(z f 在+∞<<z R 内的洛朗展式为)(z f +++++++=--n n mmz C z C C z C zC 10111 上式两端同乘iπ21,沿1-C 逐项积分,并根据定义1，有 ⎰-=∞1)(21)),((Re C dz z f i z f s π121-+∞-∞=-=-=⎰∑C dz z C i Cnn n π. (2.1) 即)(z f 在∞点的留数等于它在∞领域的洛朗展式中负一次幂的系数的相反数.这里需要指出的是,当0z 为)(z f 的有限可去奇点时,必然有0)),((Re 0=z z f s ;但是,如果∞是)(z f 的可去奇点时,则不一定有0)),((Re =∞z f s . 如 )(z f z11+=,∞=z 在是)(z f 的可去奇点;但01)),((Re ≠-=∞z f s . 例 2.1.1 求函数1)(2-=z e z f z在z =∞点处的留数.解 函数1)(2-=z e z f z以1z =及1z =-为一阶极点，而z =∞为本性奇点 又11Res (1),Res (1)22e f f e -=-=-所以1Res ()2e ef --∞=． 关于函数在有限孤立奇点和无穷远点留数之间的关系,有如下定理. 定理2.1.1 若 0)(lim =∞→z f z ，则Res ()lim[()]z f z f z →∞∞=-⋅. (2.2)证明 由条件，故可设)(z f 在z =∞的去心邻域的洛朗级数1()000nnc c f z z z--=+++++++因此1Res ()lim[()]z f c z f z -→∞∞=-=-⋅．公式(2.2)在计算留数时是非常有用的.如果已知函数在所有有限孤立奇点的留数之和,由式(2.2)即可知道函数在无穷远点留数;反之如果知道了函数在无穷远点的留数,则函数在所有有限孤立奇点的留数之和便可以求出.当函数的有限孤立奇点较多时,其留数之和计算比较复杂时,通过求函数在无穷远点的留数来求其在所有有限孤立奇点的历史之和是非常方便的.另外,我们还可以先计算出比较容易计算的函数的部分孤立奇点的留数,然后用公式(2.2)求出比较难计算的另一部分孤立奇点的留数之和.结束语留数定理的应用为一部分积分的计算提供了便利，特别是对某些复杂的积分，它大大缩短求解过程.因此，利用留数计算定积分对理解留数理论和掌握一些特殊积分的计算有很大帮助，在平时的学习生活中留数理论或许能成为求积分与实际应用的有利工具.参考文献[1] 钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2004.[2] 白艳萍等.复变函数与积分变换[M]. 北京：国防工业出版社，2004. [3] 高宗胜等.复变函数与积分变换[M]. 北京：北京航空航天大学出版社, 2006.。
第二节留数的计算方法
证 因为 Q(z0 ) 0, Q(z0 ) 0
所以z0为 Q(z) 的一级零点, 1
z0 为 Q(z) 的一级极点.
10
因此 1 1 (z),
Q(z) z z0
其中 (z)在 z0 解析且 (z0 ) 0,
f (z) 1 P(z) (z) . z z0 在 z0 解析且 P(z0 ) (z0 ) 0.
第二节 留 数
一、留数的引入 二、利用留数求积分 三、在无穷远点的留数 四、典型例题 五、小结与思考
一、留数的引入
设 z0 为 f (z)的一个孤立奇点;
C .z0
z0的某去心邻域 0 z z0 R C:邻域内包含z0 的任一条正向简单闭曲线
f (z) 在 0 z z0 R 内的洛朗级数: f (z) cn(z z0 )n c1(z z0 )1 c0
C
C1
C2
Cn
C
.zn
两边同时除以 2i 且
z1 . .z2
D
1 2i
C1
f
( z )dz
1 2i
C2
f
( z )dz
1 2i
Cn
f
( z )dz
Res[ f (z), z1] Res[ f (z), z2] Res[ f (z), zn]
n
Res[ f (z), zk ] 即可得.
Res[
f
(z),
z0
]limzz0(zz0
)
f
(z).
7
•规则2 如果 z0为 f (z)的 m 级极点, 那末
有效数字的保留规则是什么？
有效数字的保留规则是什么？
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有效数字的保留规则是什么？
有效数字保留规则
1.当保留n位有效数字，若第n+1位数字≤4就舍掉。
2.当保留n位有效数字，若第n+1位数字≥6时，则第n位数字进1。
3.当保留n位有效数字，若第n+1位数字=5且后面数字为0时，则第n位数字若为偶数时就舍掉后面的数字，若第n位数字为奇数时加1；若第n+1位数字=5且后面还有不为0的任何数字时，无论第n 位数字是奇或是偶都加1。
以上称为“四舍六入五留双”。
如果近似数的绝对误差不超过它某位数字的半个单位，那么从左到右，第一个不为零的数字起，到这位数字止，每一位数字都称为有效数字。
用四舍五入法截得的近似数，其各位数字都是有效数字。
表示同一个量的近似数，其有效数字越多，精确程度就越高。
第六章 Z变换
6.3 z变换的反变换
2π j , 柯西公式： ∫ z dz = C 0,
n
m = −1 m ≠ −1
6.3 z变换的Βιβλιοθήκη 变换6.3 z变换的反变换
6.3 (1)幂级数展开法
6.3 (1)幂级数展开法
6.3 (1)幂级数展开法
例2 、 x[ n] = u[ n]
X ( z) = ∑ z
n =0
+∞
−n
1 = , z >1 −1 1− z
+∞ 1 X (ω ) = + π ∑ δ (ω − 2kπ ) − jω 1− e k = −∞
例3、
x[n] = − a u[− n − 1]
n
−1 n −n
a z X ( z) = − ∑ a z = − ∑ a z = − −1 1− a z n = −∞ n =1 1 = ,z <a −1 1 − az
第6章 Z变换 章 变换
引言
x(n) = z
n
LTI
y(n) = H(z)z
n
h(n)
H (z) =
jω
n = −∞
∑
+∞
h(n ) z −n ,
H ( z ) 为 h ( n )的 z 变换 .
z = re , 当r＝1时，即为h( n)的傅立叶变换。
z变换是离散时间傅里叶变换的推广，在连续时 变换是离散时间傅里叶变换的推广， 变换是离散时间傅里叶变换的推广 间域内与拉氏变换相对应。 间域内与拉氏变换相对应。
(3) ZT[δ (n +1)] = ∑δ (n +1)z + ∑δ (n +1)z
n=0
留数的求法及应用总结
留数的求法及应用总结留数是一种在复变函数理论中用于计算复数函数在奇点处的残留的方法。
留数的计算方法有多种，例如通过直接计算留数公式、Laurent级数展开、辅助函数法、计算围道积分等。
留数的应用非常广泛，包括在计算复积分、求解微分方程、计算极限、求解物理问题等方面都有重要的应用。
首先，我们来看留数的求法。
在复变函数中，函数在奇点点处的留数可以通过以下方法求解：1. 直接计算留数公式：对于简单的函数，可以直接使用留数公式计算。
对于一阶奇点，留数可通过函数在该点的极限值计算：Res[f(z), z=a] = lim(z->a) [(z-a) * f(z)]。
对于高阶奇点，留数可以通过多次取导数再计算极限来求解。
2. Laurent级数展开：对于复变函数，在奇点附近可以进行Laurent级数展开。
然后通过观察Laurent级数的形式，可以读出相应奇点的留数。
3. 辅助函数法：对于一些复杂的函数，可以通过引入辅助函数来计算留数。
通过构造辅助函数，可以使得计算留数的过程变得更加简单。
4. 计算围道积分：复平面上的围道积分可以通过计算围道上的奇点处的留数之和来求解。
通过将围道逐步缩小，将围道上的奇点都计算在内，然后将结果相加即可得到围道积分值。
接下来，我们来看留数的应用。
1. 计算复积分：复积分可以通过计算围道上的奇点处的留数之和来进行计算。
通过围道积分的方法，可以将复积分转化为留数的求和问题，从而简化计算过程。
2. 求解微分方程：在微分方程的求解过程中，往往需要对复函数积分。
通过留数的方法，可以将复积分转化为留数的计算，从而简化问题的求解过程。
3. 计算极限：对于一些复杂的极限问题，可以通过计算极限点处的留数来进行求解。
通过将极限问题转化为留数问题，可以简化问题的求解过程。
4. 物理问题求解：在物理学中，通过留数的方法可以求解一些边界值问题、传热问题、电磁问题等。
通过将物理问题转化为留数问题，可以利用留数的性质来求解物理问题。
6.3.4 z反变换
Z变换将分析差分方程的问题转换为分析代数方程问题，然 后通过求x(z)的原函数，可求出离散系统的时域响应。这就 是z反变换。
1、幂级数法：（长除法）
Z变换函数，通常可表示为两个Z的多项式之比，一般可写成：
X ( z)
bm z m bm1 z m1 b0
n n 1
z a1 z nm
an
(m n)
z 1
设
b0 z m b1 z m1 bm1 z bm X(z) a0 z n a1 z n1 an1 z an
b0 z m b1 z m1 bm 1 z bm a0 ( z zi )
z e T K 2 lim z e T z 1 F ( z ) 1 e T
F ( z)
1 z z T T z 1 1 e z e
f (nT )
1 f (t ) 1 e T
1 nT 1 e 1 e T
* 。 x (t )
计算法可以直接求出 x( nT )序列，因而容易求得 但这两种方法有一个共同的特点，都需要知道
X( z )的全部极点,这意味着要求解高阶代数方程，
这是一件困难的事，因此在应用上有一定的局限性，
一般不宜用于高阶采样系统。
而长除法却没有这种限制，通用性好。它的缺点是 计算起来麻烦，而且往往得不到闭合的表示形式。
的所有极点
F ( z) z
m 1
m k 1 dz f (kT ) z dz k 0
F ( z) z
m 1
dz f (kT ) z
6.3 逆Z变换
e
j ( m n 1 )
j Re
j
d
x n
n 0
R
mn
e
j ( m n )
d
只有当n m积分不为零， m时积分为2 n
4
推导
X z z 2 j
c
1
m 1
d z x n
n 0
2 j
R
mn
1
z
n m 1
X z
j Im(z )
0 C
Re(z )
x nz
n 0
n
1
1式两边同乘以 m 1，并进行围线积分 z
1 2
j
X
c
z z
m 1
dz
1 2 j
x n z
c n 0
n
z
m 1
dz
积分与求和互换
x n
n 0
1 2
2 j
1
c
X z z
m 1
d z x n
n 0
2 j
1
z
n m 1
c
2
6
2．用留数定理求围线积分
右边序列
x n
2 j
1
c
X z z
n 1
dz
围线积分等于围线C内(逆时针)所有极点的留数之和 单阶极点
x( n) Re s X ( z ) z
左边序列 围线积分等于围线C外所有极点的留数之和
x( n) Re s X ( z ) z
n 1
武夷岩茶新国家标准
武夷岩茶新国家标准（GB/T18745-2006）被誉为中国十大名茶之一的武夷岩茶新国家标准（GB/T18745-2006）已于2006年12月1日起开始实施。
本次标准修订的主要变化内容为，取消了武夷岩茶原料产区的划分和茶树品种分类，增加了大红袍产品的等级划分。
按照GB2762-2005《食品中污染物限量》、GB2763-2005《食品中农药残留最大限量》和NY5244《无公害食品茶叶》等，修订和细化了卫生指标，取消了对保质期的限定，明确了标志标签必须标注的内容。
修订后的标准内容和形式都更为科学、规范、适用。
而新标准的实施将加快武夷岩茶产业的发展，使武夷岩茶标准逐步趋向完善，更有利于武夷岩茶的发展和对外贸易。
---------------------------------------------------------------------------------------------前言本标准根据国家质量监督检验检疫总局颁布的《地理标志产品保护规定》及GB17924-1999《原产地域产品通用要求》而制定。
本标准自实施之日起代替并废除GB18745-2002《武夷岩茶》。
本标准与原标准相比主要变化如下：——根据国家质量监督检验检疫总局颁布的《地理标志产品保护规定》，修改相关名称；——取消了武夷岩茶原料产区的划分和茶树品种分类；——增加了大红袍产品的登记划分；——按照GB2762-2005《食品中污染物限量》、GB2763-2005《食品中农药最大残留限量》和NY5244《无公害食品茶叶》修订并细化了卫生指标；本标准的附录A为规范性附录。
本标准由全国原产地域产品标准化工作组提出并归口。
本标准主要起草单位：福建省标准化协会、武夷山市茶叶学会、武夷山市质量技术监督局、中国标准化协会。
本标准主要起草人：高清火、叶华生、姚月明、王顺明、修明、陈树明、梁东、周银茂、叶勇、张雯。
本标准所代替标准的历次版本发布情况为：——GB18745-2002武夷岩茶1 范围本标准规定了武夷岩茶的术语和定义、原产地域范围、分类、要求、试验方法、检验规则及标志、标签、包装、运输、贮存。
留数计算规则
故
由留数定理得：
tanzdz 2i
k 1 n 2
z n
Re s(tanz ) 2i(
2n
) 4ni
如
(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留 数，不要死套规则。
P ( z ) z sinz f (z) Q( z ) z6
由 于p(0) 0
2
(cotz )' z k 1 csc2 z 0 1 zk 2 2 1 z k 为一级极点 ,由 法 则 III得 2 1 sinz 1 Re s[tanz , k ] ( k 0,1,) 2 (cosz )' z k
c0 c1 ( z z0 ) , (c m 0)
以( z z0 )m 乘上式两边 ,得
( z z 0 ) f ( z ) c m c m 1 ( z z 0 ) c 1 ( z z 0 )
m m 1
c0 ( z z 0 ) m
cos z dz 例3 计 算 3 z 1 z cos z 解 f (z) 3 有 一 个 z 0的 三 级 奇 点 z 由规则
1 d2 3 Re s[ f ( z ),0] l i m [ z f ( z )] 2 z 0 ( 3 1)! dz 1 1 lim (cosz )'' 2 z 0 2
1 d5 1 1 ( z sinz ) lim( cos z ) 5 5! dz 5! z 0 5!
两边求 m 1阶 导 数 得 d m 1 m {( z z ) f ( z )} ( m 1)!c1 m! ( z z0 ) 0 m 1 dz m 1 d lim m 1 {( z z0 )m f ( z )} ( m 1)!c1 , 移 项 得 (5)式. z z dz
6.3.2 z变换表达式的求法
1 1 e
aT
z
1
z , aT ze
(| z | e
aT
)
2 部分分式法
① ② 先求出已知连续时间函数e(t)的拉氏变换E (s)； 将E (s)展开成部分分式之和的形式；
③
求拉氏反变换，再求Z变换E(z)。
例6-6 设
F ( s)
1 s( s 1)
，求 f (t的 ) z变换。
解：
1 1 F (s) s s 1
f (t ) 1 e t , (t 0)
上式两边求Laplace反变换，得
再由例6-4和练习有
z z F ( z ) z [ 1( t ) e ] z 1 z e T z( 1 e T ) ( z 1 )( z e T )
6.3.2 z变换表达式的求法
求采样信号的 Z 变换方法很多，常用的方法有： 按定义求，部分分式法，留数计算法。
1、级数求和法 知道连续函数x(t)在各采样时刻的离散值x*(t)，按定义求。 例6-4 求 x1 (t ) 1(t ) 和
k 0
x2 (t ) (t kT的 ) Z变换表达式。 1 z 1 1 z z1 z 1 2 1 z z z1
X ( z ) Z x( t ) x( kT )z k kTz k Tz 1 2Tz 2 3Tz 3
k 0
1
k 0
Tz (1 2 z 3 z
1
2
1 z 1 z 2 ) Tz ( ) 1 1 1 1 z 1 z 1 z
k 0
【解】 X 1 ( z ) x1 ( kT ) z k 1 z 1 z 2
留数定理
∫
C
z d z = 2 π i{Res[ f (1)] + Res[ f (1)] 4 z 1 + Res[ f (i)] + Res[ f (i)]}
∫
C
P(z) z 1 = 3 = 2, Q′(z) 4z 4z z 1 1 1 1 d z = 2 π i( + ) = 0 4 4 4 4 4 z 1
例6 计算积分 解
∫
C
ez d z , C为正向圆周|z|=2. C为正向圆周 |=2. 为正向圆周| 2 z ( z 1)
z=0为被积函数的一级极点, z=1为二级极点, 而 为被积函数的一级极点, 为二级极点, 为被积函数的一级极点 为二级极点
ez ez Res[ f (0 )] = lim z = lim = 1. 2 2 z→0 z → 0 ( z 1) z ( z 1)
1 1 f (z) = n = z 1 ( z 1)( z n 1 + z n 2 + + 1)
是函数的单极点。 可见，z=1是函数的单极点。 是函数的单极点 Resf(1)= lim( z 1) f ( z ) = lim
z →1
1 ( z n 1 + z n 2
z →1
1 = + …… + 1) n
包围多个孤立奇点时： （2）l 包围多个孤立奇点时：
∫ f (z)d z = ∫ f (z)d z + ∫ f (z)d z ++ ∫ f (z)d z.
l l1 l2 ln
∫ f (z)d z = 2πi[Res f (z ) + Res f (z ) ++ Res f (z )]
留数
chz 0 e e
z
z
z k i(k 0,1,2,...) 2 仅z i在 | z | 2内 2
Re s[ f ( z ),
2
0, e 2 z 1
2
shz i]
z i 2
1
(chz )
z i 2
例5
z 计算 dz | z| 2 sin z
(1)
C为在z0解析的去心邻域内绕0的正向简单闭曲线 z
e 例求 在0点的留数. z
z z n1 e z 1 z n z n1 1 1 z n0 n! n0 n! z 2! n! z
Res [f (z), 0]=1
z
2. 留数定理
定理
设f ( z )在区域D内除有限个孤立奇点 1 , z2 ,, zn外处处解析 z , C是D内包围诸奇点的一条正 向简单闭曲线 则有 ,
z z0
规则II
若z0是f ( z )的m级极点
1 d m1 m Re s[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z ) z z0 dzm 1 (m 1)!
注：
当m=1时，规则（I)即为规则(II).
P( z ) P( z ), Q( z )在z0处解析, 规则III 设f ( z ) Q( z ) P( z0 ) 0, Q( z0 ) 0, Q' ( z0 ) 0 P( z0 ) z0是f ( z )的一级极点, 且 Re s[ f ( z ), z0 ] Q' ( z0 ) 证明： Q( z 0 ) 0及Q' ( z 0 ) 0
第六章 留数理论及其应用
例题6.5
计算积分： e
1 z2 z 1
dz
分析：z 0是本质奇点，在该点的 去心领域 内有洛朗展式：
1
e
z2
1 1 1 1 2 4 z 2! z
z 1
e z dz 2 i Re s f ( z ) 2 i.c1 0
2
1
z 0
由此例可以看出可去奇点处留数为零，但是留数为零 的点不一定是可去奇点
( z a) f ( z ) (a) Re s f ( z ) lim z a z a (n 1)! (n 1)!
( n 1) n
( n 1)
1 ( z) ( n1) (a) 证明： s f ( z ) Re ( z a)n dz (n 1)! z a 2i
2
再设z u, 注意当z绕一周，u在上面绕两周
2du 于是I 2 i (u 2 6u 1) 4 1 2i. Re s 2 2 i u 3 8 u 6u 1
详细参考P236--237
例题6.10 计算积分：I
0
cos mx dx 5 4 cos x
( n 2 )( n 1) 2
1 1 1 f( ) 2 2 n t t t (1 t )(1 2t ) (1 nt)
以 t 0 为一级极点。
所以
1 1 1 1 Re s f ( ) 2 lim t f ( ) 2 1 t 0 t 0 t t t t
I 2i ( Re s f ( z )) 2i.
Re s f ( z ) lim z1 f ( z )
z 0 z 0
自动控制原理--z变换理论部分例题讲解
jn
j0
znE(z) 右
6.3 z变换理论
2. 实位移定理
② 超前定理
Ze(t
nT
)
zn
E(z)
n1
e(kT
)
z
k
k0
证：左 e(kT nT ) zk zn e(kT nT ) z(kn)
k0
k0
jkn
zn
e( jT ) z j
z
n
e( jT ) z j
n1
e(
E(z) 8 z 1 z 7 (z 0.8) 7 (z 0.1)
t
t
e(t ) (8 0.8T 0.1T ) / 7 e(nT ) (8 0.8n 0.1n ) / 7
e*(t ) (8 0.8n 0.1n ) / 7 (t n E(z)
e(0) e(1) z1 e(2) z2 e(3) z3
lim E(z) e(0)
z
例8
0.792 z2 E(z) (z 1)[z2 0.416z 0.208]
e(0) lim E(z) 0 z
6.3 z变换理论
5. 终值定理
lime(nT) lim (z 1) E(z)
e j nT e j nT
zn
1 (e jT z 1 )n (e jT z 1 )n 2 j n0
1 2j
1 1 e jT z 1
1
e
1
j T
z
1
1 2j
z z e jT
z z e jT
1
z(e jT e jT )
z sinT
2 j z 2 (e jT e jT )z 1 z2 2 cos T z 1
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F ( z) z
m 1
dz f (kT ) z
k 0
m k 1
dz
Res z
( k 1)
1 d r 1 r k 1 x( z ) lim ( z z ) z x( z ) i r 1 z zi (r 1)! dz
其中Res[]表示函数的留数。 例6-8 已知z变换函数为
这是一件困难的事，因此在应用上有一定的局限性，
一般不宜用于高阶采样系统。
而长除法却没有这种限制，通用性好。它的缺点是 计算起来麻烦，而且往往得不到闭合的表示形式。
留数法：又称反演积分法。 – 由z变换的定义可知
F ( z ) f (kT ) z k
F ( z) z
m 1
k 0
f (kT ) z
k 0
m k 1
包围了
F ( z ) z k 1
的所有极点
F ( zf (kT ) z dz k 0
z 2
所以
f (kT ) 10(2 k 1)
(k 0,1,2,)
3）三种z反变换法的比较
部分分式法通过Z变换表6-1可方便地求得
留数 x(t ,)
* 。 x (t )
计算法可以直接求出 x( nT )序列，因而容易求得 但这两种方法有一个共同的特点，都需要知道
X( z )的全部极点,这意味着要求解高阶代数方程，
10z F ( z) ( z 1)(z 2)
试用围线积分方法求z反变换。
解：
F ( z ) z k 1
10z k ( z 1)(z 2)
res [ F ( z ) z k 1 ,1] lim( z 1) F ( z ) z k 1 10
z 1
res [ F ( z ) z k 1 ,2] lim( z 2) F ( z ) z k 1 10 2 k