基本初等函数的图像与性质专题

考 点 核 心 突 破
－x，－2＜x＜1， ＝ 2 x －2，x≥1或x＜－2，
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菜
单
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第一部分 式
基 础 要 点 整 合
专题一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等
解 题 规 范 流 程
作出图象，
考 点 核 心 突 破
由图象可知函数的最小值在 A 处， 所以最小值为 f(1)＝－1.
单
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1 x－7，x＜0， 2． (2013· 海淀模拟)设函数 f(x)＝2 若 x， x≥0，
f(a)＜1，则实数 a 的取值范围是 A．(－∞，－3) B．(1，＋∞) C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析 若 a＜0，则由 f(a)＜1
1 得2a－7＜1，
考 点 核 心 突 破
1 1－ a 即2 ＜8＝2 3，所以－3＜a＜0.
若 a≥0，则由 f(a)＜1 得 a＜1，所以 0≤a＜1. 综上 a 的取值范围是－3＜a＜1，即(－3,1)，选 C.
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专Baidu Nhomakorabea一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等
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第2讲
函数、基本初等函数的图象性质
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答案 C
菜 单
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考点二：函数的图象
数形结合的思想解决函数问题 [考情一点通]
题型
选择或填空
难度
中档偏下
考 点 核 心 突 破
考查 内容
(1)知式选图、知图选式． (2)利用图象解决函数问题． (3)函数图象的变换.
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1 1 2a ③f(x＋a)＝ 或 f(x＋a)＝－ ，则周期 T＝______ fx fx (a＞0)
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(2)函数图象的对称性 若函数 f(x)满足： ①f(a＋x)＝f(a－x)，即 f(x)＝f(2a－x)，则 f(x)图象的 对称轴为_______. x＝a ②f(a＋x)＝－f(a－x)，即 f(x)＝－f(2a－x)，则 f(x)图
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[自主解答]
(1)易知f(x)为偶函数，故只考虑x＞0时
f(x)＝lg(x－1)的图象，将函数y＝lg x图象向x轴正方向平 移一个单位得到f(x)＝lg(x－1)的图象，再根据偶函数性质
，
，
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所以解得 x＞1，即定义域为(1，＋∞)，选 B.
[答案] (1)D (2)B
菜
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【拓展归纳】(1)求函数值的方法 形如 f(g(x)) 的函数求值时，应遵循先内后外的原则； 而对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准 确地找出利用哪一段求解；特别地，对具有周期性的函 数求值要用好其周期性． (2)求函数定义域的类型及相应方法 ①若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使 解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等 式(组)即可． ②实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外， 还应使实际问题有意义． 【易错提示】 函数的定义域必须写成集合或区间 的形式．
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【考点集训】
1．(2013· 新华中学模拟)若 f(x)＝ 的定义域为________．
1 ，则 f(x) log 1 2x 1
2
解析
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利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项．
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(2)函数图象的应用类型及方法 ①函数的最大值与最小值分别对应于函数图象最高
基础要点整合
一、构建知识网络
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二、梳理基础知识
1．熟练运用指数与对数运算的八个公式 设 a＞0，且 a≠1，b＞0 且 b≠1，M＞0，N＞0，则
[答案] (1)B (2)－1
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【拓展归纳】(1)利用函数的性质解决知式选图问题 ①从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的 值域，判断图象的上下位置． ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势． ③从函数的奇偶性，判断图象的对称性． ④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
m n (1)am· an＝______ amn ； am＋n ；(2)(a ) ＝_____
logaM＋logaN ； (3)loga(MN)＝_____________
M logaM－logaN ； (4)loga N ＝_______________
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nlogaM ；(6)alogaN＝____ N ； (5)logaMn＝_______ n logbN logaN n m (7)logaN＝ ；(8)logamN ＝___________. logba
点和最低点的纵坐标．
②有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函 数图象的交点个数，利用此法也可由交点的个数求参数 的值(范围)．
(a,0) ． 象的对称中心为______
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a＋b x＝ 2 ③f(a＋x)＝f(b－x)， 则 f(x)图象的对称轴为_________.
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【 例 1 】 (1)(2013· 烟 台 一 模 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ πx 2cos ， x≤2 000， 3 则 f[f(2 013)]等于 x－2 008 2 ， x＞2 000， A. 3 B．－ 3 C．1 D．－1
解 题 规 范 流 程
(1)f(2 013)＝22 013－2 008＝25＝32，所以 32π 2π f[f(2 013)]＝f(32)＝2cos ＝2cos ＝－1，选 D. 3 3 [自主解答] x≥0， (2)要使函数有意义，则有 x ＞0 x－1
x≥0 即 xx－1＞0
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3．通盘把握抽象函数的周期性和对称性 (1)函数的周期性 若函数 f(x)满足
|a－b| ①f(x＋a)＝f(x＋b)，则周期 T＝________ 2a (a＞0) ②f(x＋a)＝－f(x)，则周期 T＝____
2x 1 0 要使函数有意义，则有 log (2x 1) 0, ， 1
2
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1 x＞－ 1 2 即 ，所以解得－2＜x＜0， 2x＋1＜1 1 即不等式的定义域为－2，0.
答案
菜
1 － ，0 2
1 x (2)(2013· 临沂一模)函数 f(x)＝ln ＋ x 2 的定义域为 x－1
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A．(0，＋∞) C．(0,1)
B．(1，＋∞) D．(0,1)∪(1，＋∞)
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(2)函数的奇偶性
奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，需注意： ①定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数 或偶函数的必要不充分条件． f(－x)＝f(x) 是定义域上的 f(－x)＝－f(x) ② _______________ 或 _____________ 恒等式． (3)函数的周期性 周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地， 对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值： f(x) (T≠0)，则f(x)是周期函数，____ 若f(x＋T)＝ ______ T 是它的一个周期．
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【例2】
大致图象是
(1)(2013·日照一模)函数f(x)＝lg(|x|－1)的
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(2)(2013· 通州模拟 ) 对任意两个实数 x1 ， x2 ，定义 max(x1，x2)＝若f(x)＝x2－2，g(x)＝－x，则max(f(x)，g(x)) 的最小值为________．
考点核心突破
考点一：函数及其表示
[考情一点通] 题型 选择或填空 难度 中档偏下
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(1)以分段函数为载体，求函数值． 考查 (2)与不等式(组)的解法交汇命题，考 内容 查函数的定义域.
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2．融会贯通函数的三个基本性质 (1)函数的单调性 函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质，除增 函数与减函数的定义外，要注意其等价形式：设 x1，x2∈ [a，b]，且 x1≠x2，则 fx1－fx2 增函数 ， ① ＞0⇔f(x)在[a，b]上是_______ x1－x2 fx1－fx2 减函数 ． ＜0⇔f(x)在[a，b]上是_________ x1－x2 ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数 ______， 减函数 ． (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是________
得到f(x)的图象．
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(2)因为 f(x)－g(x)＝x2－2－(－x)＝x2＋x－2， 所以 x2－2－(－x)＝x2＋x－2≥0 时， 解得 x≥1 或 x≤－2. 当－2＜x＜1 时，x2＋x－2＜0， 即 f(x)＜g(x)，所以 max(f(x)， g(x))