2021新高考第4章 平面向量与复数第3讲

③设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点间的距离|AB|＝|A→B|＝ x1－x22＋y1－y22.
a·b ④夹角：cos θ＝_____|a_|_|b_|__＝
x21x＋1xy2＋21·yx1y22＋2 y22.
⑤已知两非零向量 a 与 b，a⊥b⇔a·b＝0⇔__x_1_x_2＋__y_1_y_2_＝__0____；a∥b⇔a·b＝
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知识点二 平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b 的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝__|_a_||_b|_c_o_s_θ_，规定零向量与任一向量的数量 积为0，即0·a＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
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(5)在等边三角形 ABC 中，向量A→B与B→C的夹角为 60°.( × ) (6)若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0.( × ) (7)(a·b)·c＝a·(b·c)．( × ) (8)若 a·b＝a·c(a≠0)，则 b＝c.( × )
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题组一 走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是0，π2.( × ) (2)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( √ ) (3)a·b>0，则 a 与 b 的夹角为锐角；a·b<0，则 a 与 b 的夹角为钝角．( × ) (4) 两 向 量 的 数 量 积 是 一 个 实 数 ， 向 量 的 加 、 减 、 数 乘 运 算 的 运 算 结 果 是 向 量．( √ )
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
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1．两个向量的数量积是一个实数．∴0·a＝0 而 0·a＝0. 2．数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)． 3．a·b 中的“·”不能省略．a·a＝a2＝|a|2. 4．两向量 a 与 b 的夹角为锐角⇔a·b>0 且 a 与 b 不共线；两向量 a 与 b 的夹角 为钝角⇔a·b<0，且 a 与 b 不共线．当 a、b 为非零向量时 a、b 同向⇔a·b＝|a||b|；a、 b 反向⇔a·b＝－|a||b|. 5．a 在 b 方向上的投影|a|·cos θ＝a|b·b| .
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3．(必修 4P106T5 改编)已知向量 a 与 b 的夹角为π3，|a|＝ 2，则 a 在 b 方向上的
投影为( C )
A． 3
B． 2
C．
2 2
D．
3 2
[解析] ∵a 在 b 方向上的投影为|a|·cos 〈a，b〉＝ 2cos π3＝ 22.选 C．
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4．(必修 4P108T4 改编)在圆 O 中，长度为 2的弦 AB 不经过圆心，则A→O·A→B的值 为_____1_____.
[解析] 设向量A→O，A→B的夹角为 θ，则A→O·A→B＝|A→O||A→B|·cos θ＝|A→O|cos θ·|A→B|＝12 |A→B|·|A→B|＝12×( 2)2＝1.
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题组二 走进教材
2．(必修 4P107T2 改编)(2019·辽宁鞍山一中模拟)向量 a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，
则(2a＋b)·a＝( A )
A．6
B．5
C．1
D．－6
[解析] 由题意知 2a＋b＝(3,0)，∴(2a＋b)·a＝(3,0)·(2，－1)＝6，故选 A．
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知识点三 平面向量数量积的性质及其坐标表示
(1)设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的夹角． ①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝_x_1_x_2＋__y_1_y_2_.
②模：|a|＝ a·a＝____x21_＋__y_21__.
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知识点一 向量的夹角 两个非零向量 a 与 b，过 O 点作O→A＝a，O→B＝b，则__∠__A_O__B___叫做向量 a 与 b 的夹角；范围是___[_0_，__π_]__.
π a 与 b 的夹角为_____2_____时，则 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
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第三讲 平面向量的数量积
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1 知识梳理 • 双基自测 2 考点突破 • 互动探究 3 名师讲坛 • 素养提升
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知识梳理 • 双基自测
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
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±|a||b|.(或|a·b|＝|a|·|b|)．
⑥|a·b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21· x22＋y22.
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(2)平面向量数量积的运算律 ①a·b＝b·a(交换律)． ②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
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题组三 考题再现
5．(2019·全国卷Ⅱ，5 分)(文)已知向量 a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝( A )
A． 2
B．2
C．5 2
D．50
[解析] 依题意得 a－b＝(－1,1)，|a－b|＝ －12＋12＝ 2，因此选 A．