【数理方程】91偏微分方程的建立

（二）热传导方程的建立：
热传导方程： u u u 2 u a（ 2 2 2 ） t x y z
2 2 2
问 题
（1）什么是热传导？
一块热的物体，如果体内每一点的温度 不全一样，则在温度较高的点处的热量 就要向温度较低的点处流动，这种现象 就是热传导。
问 题
（2）热量传导的过程表现是什么？
(2) 弦在某一平面内作微小横振动。即 弦的位置始终在一直线段附近，而弦上 各点均在同一平面内垂直于该直线的方 向上作微小振动。
因此，可以假定振动时弦上的任何点的 位移总是在包含x轴的一个平面内，且 位移在任何时刻都垂直于x轴。
u M
U（ x， t）
N
x
（3）弦是柔软的线。弦上任何一点处 的张力不随时间而变，不受外力影响， 总是沿着该点处弦的切线方向。
【张力：弹性物体拉长时产生的应力。】
u M T
U （ x， t）
N
x
（4）振动是微小的。是指振动的幅 度及弦在任何位置处切线的倾斜角都 很小，即不仅位移很小，而且它对x 的偏导数也很小，以致偏导数的平方 项可以略去，而且偏导数高于一次方 的项都可以略去。
讨论思路
(1) 不受外力作用时弦振动情况； (2) 受外力作用时弦振动情况；
（2）考虑 MM 弧段在t时刻的受力情况： （水平方向）受力分析： 弦只作横向运动，在x轴方向弧段 MM 受力的总和为零，即：
T cos T cos 0
振动是微小的，弦在任何位置处切线的倾 斜角都很小。
0, 0
由公式： cos 1
2
2!

4
二、偏微分方程的建立 (一）弦的振动方程的建立：
问 题
给定一根两端固定的拉紧的均匀 柔软的弦，长为l，在平衡位置附近 作微小的横向振动，求弦上各点的 运动规律。
考察弦振动时的基本假设:
(1) 弦是均匀的。弦的截面直径与弦 的长度相比可以忽略，因此弦可以视 为一根曲线，它的（线）密度 是常 数。
其中ds为小弧段上的质量， gds为小弧段上的重力。
u 可得： T sin T sin gds ds 2 t
2
由 0, 0 可得：
u( x , t ) sin tan 2 x 1 tan
tan
u( x dx, t ) sin tan 2 x 1 tan
(1) u u t x
2 2
为一阶常系数线性偏 微分方程
为二阶常系数线性 偏微分方程
u u ( 2) 2 u 2 t xt
3 u u 2 2 u ( 3) ( ) 2 3 x t x
为三阶常系数非线性 偏微分方程
偏微分方程的通解
即为满足偏微分方程的函数。
2
二维热传导微分方程
（９）推导的热传导温度的微分方程为：
u 2 u a 2 t x
2
k 这里a , 物体是一根细杆，或者 即使 c 不是细杆, 而其中的温度u只与x , t有关，
2
上面方程称为:
一维热传导微分方程。
（１０）推导的热传导温度的微分方程为：
u u u 2 u a（ 2 2 2 ） f ( x, y, z , t ) t x y z
总是表现为温度随时间和点的位置的变化。
即在每一点M（x，y，z）某一时刻t的温度u， 为点M与时刻t的函数。 即在t时刻点M（x，y，z）的温度为
u （x，y，z， t ）。
问 题
（3）解决热量传导问题归结为什么？
归结为求物体内温度的分布，即推导均 匀且各向同性的导热体，在传热过程中 温度所满足的微分方程。
2 2
u 2 u a 2 2 t x
2 2
说
明
强迫振动方程比振动方程多一个与未知 函数u无关的项f（x，t），这个项称为 自由项。
非齐次方程 包含非零自由项的方程
例如：强迫振动方程即是非齐方程。 也为非齐次一维波动方程。 齐次方程
自由项恒为零的方程
例如：振动方程即是齐次方程。 为齐次一维波动方程。
可用微分近似代替方法：
u( x , t ) u( x dx, t ) u u u( x, t ) dx dx 2 x x x x x
2
（3）当小弧段趋于0时：
由结论2可知：
2 2u u T 2 g dx 2 dx t x
第三章 偏微分方程
第一节 偏微分方程的建立1.1 第二节 偏微分方程的定解问题 1.2-1.3 第三节 有界弦的自由振动2.1 第四节 有界长杆上的热传导2.2 第五节 有界弦的强迫振动2.4
第一节
偏微分方程的建立
第三章
机动
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结束
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一、一般概念
二、偏微分方程的建立 1、弦的振动方程的建立： 2、热传导方程的建立：
偏微分方程的特解
即为满足偏微分方程的函数，同时又满足附加 条件的解。
偏微分方程的定解条件
在偏微分方程的问题中，附加条件可分为初 始条件和边值条件，统称为定解条件。
导出数学物理方程的一般方法：
(1) 确定所研究的物理量； (2) 建立适当的坐标系； (3) 划出研究单元，根据物理定律和实 验 资料写出该单元与邻近单元的相互作用， 分析这种相互作用在一个短时间内对所研 究物理量的影响，表达为数学式； (4) 简化整理，得到方程。
讲授内容
第一章 无穷级数
第二章 常微分方程 第三章 偏微分方程
偏微分方程理论是数学中最庞大、应用最广的分支之一。由于 有很强的物理背景，又被称为数理方程。数学物理方程是自然现象 或社会现象规律的数学描述。 十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来， 当时应用常微分方程，解决几何与理学中的新问题。结果是在天体 理学中不仅能得到并解释早先已经知晓的那些事实，而且得到了新 的发现（例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出 的）。 偏微分方程的研究要晚得多，对物理学中出现的偏微分方程研 究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支------数学物理方 程的建立。 偏微分方程理论产生于那些归结为考察某些具体偏微分方程的 具体物理问题的研究，这些方程便得到数学物理方程的称谓。本课 程主要研究的典型的偏微分方程有波动方程和热传导方程。
第一节 偏微分方程的建立
一、一般概念
常微分方程 包含有未知函数的导数（或微分） 的方程。当未知函数为一元函数 时的微分方程。
偏微分方程 包含有多元函数的偏导数（或偏 微分）的微分方程。
偏微分方程例子：
(1) u u t x
2u 2u ( 2) 2 u 2 t xt
问 题
（4）均匀且各向同性的导热体应有什么特征？
物体内部没有热源，物 体的热传导系数为常数 。 即是各向同性的，物体 的密度及比热是常数。 设c为物体的比热，为物体的密度。
问 题
（5）推导热传导温度的微分方程采用什么 方法？
与上例类似，不是先讨论一点处的温度， 而应该考虑一个区域的温度，再用极限 方法，研究一点处的温度。
2 2 2
物体是一个几何体，或 者即使不是，而其中的 温度u只与x，y，z，t有关，上面方程称为:
三维热传导微分方程
（８）推导的热传导温度的微分方程为：
u u 2 u a（ 2 2 ） t x y
2 2
k 这里a , 物体是一块薄板，或者 即使不是薄板， c 而其中的温度u只与x，y，t有关，上面方程称为:
u 2 u a 2 2 t x T 2 这里a ，上面的方程称为一维 波动方程。
2 2
2. 受外力作用时弦振动方程的推导
若弦是柔软的线，弦上任何一点处的张力不随 时间而变，总是沿着该点处弦的切线方向。弦 上另外还受一个与振动方向平行的外力影响。 （1）假定在时刻t弦上x点处的外力密度为 F(x,t). （2）考虑 MM 弧段在t时刻的受力情况：
4!

当我们略去 和 高于一次方的项时，有
cos 1, cos 1
结论1
弧段上两端的张力大小相等，即： T
T
（竖直方向）受力分析：
在u方向上弧段 MM 受力的总和为：
T sin T sin gds
根据牛顿运动定律，作用于弧段上任意方向 上的力的总和，等于这段弧的质量乘以该方 向上的加速度。
结论1
弦只作横向运动，在x轴方向弧段 受力的总和为零，即：
T cos T cos 0
结论2
在u方向上弧段 MM 受力的总和为：
Fds T sin T sin gds
其中ds为小弧段上的质量，
gds为小弧段上的重力。
可得：
u Fds T sin T sin gds ds 2 t
1. 不受外力作用时弦振动方程的推导
u ds
M
U（ x， t） T
M

T

gds
N x
N
x+dx
x
（1 ）设弦上具有横坐标为 x的点，在时刻 t时的位置为 在弦上任取一弧段 ，其长为 ds 。 M M 把弦上点的运动先看成小弧段的运动，然后在考 M，位移为MN，记为u。这里，在振动过程中位移u是变 虑小弧段趋于零的极限情况。 T 和T 。 量 x和 的函数 u（x，t）。 弧段两端所受的张力 Mt M
（6）推导热传导温度的微分方程的过 程的基础知识较多，证明不做要求。
（７）推导的热传导温度的微分方程为：
k 这里的比热，为物体的密度。
2