分形曲线与面积计算

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Koch分形雪花图的面积计算

Koch 分形雪花图的面积计算一、问题叙述分形几何图形最基本的特征是自相似性，这种自相似性是指局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似。

在具有自相似性的图形中，图形局部只是整体的缩影，而整体图形则是局部的放大。

而本文我们要分析的是Koch 分形雪花图，包含以下三个问题：1.描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图K n 的边数为n 1L 34n -=⨯3.求Koch 分形雪花图的面积（数据），求n n lim A rea (K )→∞二、问题分析在分析Koch 分形雪花图之前，我们首先介绍Koch 分形曲线。

Koch 分形曲线的绘制原理是：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成四条线段的折线，如图2.1所示：图2.1 对一条线段进行第一次Koch 分形然后，对形成的四条直线段的每一条的中间的三分之一部分用等边三角形的两边代替，形成十六条线段的折线。

这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。

在迭代过程中，图形中的点数将越来越多，而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。

设P1和P2分别是原始的两个端点，现在需要在直线段的中间依次插入点Q1，Q2,Q3以产生第一次迭代图形。

显然，Q1位于P1右端直线段的三分之一处，Q3位于P1点右端直线段的三分之二处，而Q2点的位置可以看作由Q3绕Q1逆时针旋转60度而得到的，故可以处理Q Q 13经过正交变换而得到Q Q 12 。

算法如下：（1）Q1P 1+P P Q P 1+P P /3;←←（2-1）/3;32（2-1）（2）TQ 2Q 1+Q 3-Q A ←⨯（1）; （3）P 5P 2P 2Q1P 3Q P Q 3←←←←；；2；4。

在算法中，用正交矩阵A 构造正交变换，其功能作用是对向量作旋转，使之成为长度不变的另一向量。

在绘制Koch 曲线的过程中，取旋转的角度为3π，则正交矩阵A 应取为：c o s ()s in ()33A =s in ()c o s ()33ππππ⎛⎫- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭1.Koch 分形雪花的描述Koch 分形雪花的原始图形是等边三角形，它是由三条相等的线段围成的三角形。

Koch分形雪花图地面积计算

在具有自相似性的图形中，图形局部只是整体的缩影，而整体图形则是局部的放大。

而本文我们要分析的是Koch 分形雪花图，包含以下三个问题：1.描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图K n 的边数为n 1L 34n -=⨯3.求Koch 分形雪花图的面积（数据），求n n lim Area(K )→∞二、问题分析在分析Koch 分形雪花图之前，我们首先介绍Koch 分形曲线。

这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。

在迭代过程中，图形中的点数将越来越多，而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。

设P1和P2分别是原始的两个端点，现在需要在直线段的中间依次插入点Q1，Q2,Q3以产生第一次迭代图形。

算法如下：（1）Q1P1+P P Q P1+P P /3;←←（2-1）/3;32（2-1）（2）T Q2Q1+Q3-Q A ←⨯（1）; （3）P5P2P2Q 1P3Q P Q3←←←←；；2；4。

在算法中，用正交矩阵A 构造正交变换，其功能作用是对向量作旋转，使之成为长度不变的另一向量。

在绘制Koch 曲线的过程中，取旋转的角度为3π，则正交矩阵A 应取为： cos()sin()33A=sin()cos()33ππππ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 1.Koch 分形雪花的描述Koch 分形雪花的原始图形是等边三角形，它是由三条相等的线段围成的三角形。

土地资源学43第四章土地类型(分布、结构演替,备课2012)

ห้องสมุดไป่ตู้
2.土地类型的空间组合结构
它是指在某个区域内，各类土地的空间位置及彼此间组合而形成的格局或几何图形。土地空间组合结构是所有土地结构类型中最直观的表现形式，它反映了土地类型群体在空间上的有序性，并产生出特定的土地生态功能。根据其土地类型的组合形式，土地空间结构可归纳为以下两大类：
1）条带状递变组合指各种土地类型的空间分布按一定方向和方位发生依次变化，构成随海拔高度增加而变化的垂直系列。
⑥一些水土流失严重地区的放射状构型； ⑦西南石灰岩地区的串珠状构型; ⑧内蒙古高原的一些“塔拉”中出现的镶嵌状构型等。这些土地结构的构型是各地自然环境条件及其综合作用的具体表现，研究土地结构的构型有助于深化对土地类型不同组合规律的认识。
1．盐湖；2．底盐淡灰钙土土质平地；3．丘陵半荒漠地(旱耕地和草地)
土地类型不仅表现出不同地域的空间组合格局，而且在同一地域也表现出时间上的变化和演替过程。这是因为土地是一个动态系统，不断受到自然环境因素和人类活动的影响，当这些影响因素的作用强度达到一定程度或作用效果累积到一定规模时，土地系统就会发生“涨落”，其属性发生变化，而土地类型也随之发生演替。土地类型演替实质上就是土地类型发生发展的动态过程。
二、土地类型结构的类别
土地结构主要包括土地要素组成的数量结构和空间组合结构。
指某个区域各种土地类型组成
数量结构
对比关系。或土地类型在量上的对比关系。
在某个区域内，各类土地的空间位置空间结构及彼此间组合而形成的一定格局。常
见的有：条带状、重复式组合、
环状、扇形、树枝状结构等。
1.土地类型的数量结构

土地类型的空间变异规律包括两种类型：地带性分布规律和非地带性分布规律或区域土地类型分布规律。

分形曲线与面积计算-精品

sinx1 cos x2
cos sin
Asin
cos

(1, 0)
1

0

cos sin

(0, 1)

0 sin

1

cos

5/11
MATLAB代码
function koch0(P,N)
end
plot(P(:,1),P(:,2)),axis off axis image
6/11
Kn的边数: Kn的周长:
Sn 4n
Ln

1 3n
4n
L0
Kn的维数: Dnln4/ln31.2618
Dn

lnN
/
ln
1

相邻两次的边数比和边长比
参考资料: 分形论——奇异性探索,作者:林鸿溢
第 k 条边: x y((tt)) ((1 1 tt))x yk k ttyx kk 11,t(0,1)
1
L kyd 0 x [1 ( t)yk tk y 1](x k 1x k)dt
1 2(xk1xk)(ykyk1)
x L k
9/11
面积计算的数学实验报告(三选一,或题材自选)
一、 Koch分形雪花 1.算法描述Koch分形雪花
2.证明Koch分形雪花图 Kn 的边数为
Ln 34n1
3.求Koch分形雪花图 Kn 的面积
ln im Are(aKn)
10/11
二、竞赛题的实验设 (第一届全国大学生数学夏令营第6题 )
课外作业:完成面积计算的数学实验报告(电子文档)

曲面的面积与曲率

曲面的面积与曲率作为几何学的重要概念，曲面的面积和曲率在数学和物理学中都有广泛的应用。

面积是描述曲面覆盖的大小，而曲率则描述曲面局部的弯曲程度。

本文将从理论和实际应用两个方面来探讨曲面的面积与曲率之间的关系。

一、曲面的面积曲面的面积是指曲面所覆盖的平面区域的大小。

对于平面曲面，我们可以使用常规的计算面积的方法来求解，例如利用直角坐标系下的积分来计算二维平面上的曲线所围成的面积。

然而，对于非平面曲面，例如球面、圆柱面等，计算面积就相对复杂了。

在数学中，我们常常使用参数化的方法来描述曲面。

以球面为例，可以使用球面坐标系来给出球面上每个点的坐标。

然后，通过计算曲面上相邻两点间的距离，再将其累加，即可得到曲面的面积。

这种参数化方法不仅适用于球面，还适用于其他各种曲面。

除了数学领域，曲面的面积在物理学和工程学等应用领域也有着广泛的应用。

例如在工程设计中，计算曲面的面积可以帮助工程师评估材料的使用量，从而进行成本估算。

在物理学中，曲面面积的计算往往与能量、电荷分布等物理量的计算相联系。

二、曲面的曲率曲率是描述曲面局部弯曲程度的量度。

具体而言，曲率可以分为两种，分别是高斯曲率和平均曲率。

高斯曲率是刻画曲面弯曲与平坦程度的量。

如果一个曲面具有正的高斯曲率，说明曲面在该点处向内弯曲，如球面；如果一个曲面具有负的高斯曲率，说明曲面在该点处向外弯曲，如双曲面；如果一个曲面的高斯曲率为零，则说明该点处曲面是平坦的，如平面。

平均曲率是描述曲面在该点处整体弯曲程度的量。

与高斯曲率不同，平均曲率包括了曲面上方向变化率的信息，因此可以更全面地描述曲面的形状。

平均曲率可以通过计算曲面上所有点处的法曲率的平均值得到。

其中，法曲率是指曲面上一点处法线方向的曲率。

曲率的计算方法多种多样，可以通过微分几何的方法求解。

通过计算曲率，我们可以了解曲面在不同点处的形状，从而应用到不同领域中。

例如在计算机图形学中，曲率常用于曲面细分、曲面光滑等算法中。

曲面面积计算方法

曲面面积计算方法曲面面积计算方法1. 引言在几何学中，曲面面积是一个基本的概念，它用于测量和描述不规则曲面的大小。

曲面面积的计算方法有很多种，本文将介绍几种常见的曲面面积计算方法，并探讨它们的优缺点。

2. 曲面面积的定义和意义曲面面积是指一个曲面所占据的空间大小。

在实际应用中，曲面面积计算被广泛应用于建筑设计、地理信息系统等领域。

它有助于我们理解曲面的形状、结构和特征。

3. 曲面面积计算方法的分类曲面面积计算方法可以分为解析法和数值法两大类。

3.1 解析法解析法是指通过数学分析和推导，得到曲面面积的解析表达式。

常见的解析法包括参数化方法和隐函数法。

3.1.1 参数化方法参数化方法通过将曲面表示为参数方程的形式，然后计算参数方程所对应曲面的面积。

这种方法适用于较简单的曲面，如圆柱体、球体等。

以球体为例，假设球体的参数方程为：x = r * sinθ * cosφy = r * sinθ * sinφz = r * cosθ其中，r为球体半径，θ和φ为参数。

基于该参数方程，可以推导出球体曲面面积的解析表达式。

3.1.2 隐函数法隐函数法是指通过隐函数的形式来表示曲面，然后利用微积分技术计算曲面的面积。

这种方法适用于一些复杂的曲面，如椭球体、双曲面等。

以椭球体为例，假设椭球体的隐函数方程为：(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1其中，a、b、c为参数。

通过对隐函数进行求导和积分，可以得到椭球体曲面面积的解析表达式。

3.2 数值法数值法是指通过数值计算的方式来近似计算曲面的面积。

常见的数值法包括蒙特卡洛法和积分法。

3.2.1 蒙特卡洛法蒙特卡洛法是一种基于随机抽样的数值计算方法。

它通过在曲面上随机投掷一定数量的点，并计算落在曲面上的点的比例来估计曲面的面积。

蒙特卡洛法的优点是简单易实现，但计算结果的精确度取决于随机抽样点的数量。

3.2.2 积分法积分法是一种通过积分计算曲面的面积的数值方法。

费马求曲线面积

费马求曲线面积
费马求曲线面积是一个数学问题，指的是在给定一条曲线和两个固定点的情况下，如何找到一条曲线，使得该曲线与给定曲线和两个固定点之间的面积最小。
具体的求解方法是使用费马原理，即假设最优解存在，那么该最优解一定在曲线的切线上。根据这个原理，可以通过求解给定曲线上每一点的切线与两个固定点连线的夹角，找到使得夹角最小的点，从而得到最优解。
费马求曲线面积
具体求解费马求曲线面积的步骤如下： 1. 给定一条曲线和两个固定点。 2. 在给定曲线上选择一个点，求解该点处曲线的切线。 3. 计算该切线与两个固定点连线的夹角。 4. 重复步骤2和步骤3，直到遍历完给定曲线上的所有点。 5. 找到夹角最小的点，该点即为最优解。 6. 计算最优解与给定曲线和两个固定点之间的面积。
需要注意的是，费马求曲线面积是一个数学问题，具体求解方法可能需要使用微积分等数学工具。

分形理论在无机材料中的应用

分形理论在材料中的应用1 分形理论简介Fractal 一词,源于拉丁文Fractus。

原译为“不规则的”或“破碎的”,但通常把它译为“分形”。

近年来,分形一直是国内外有关学者们的研究热点,它的应用性研究逐渐被渗透至物理、数学、化学、生物、医药、地震、冶金,甚至哲学、音乐与绘画等各个领域。

1. 1 分形理论的提出众所周知,普通的几何对象具有整数维数。

例如:点为零维,线为一维,面为二维,立方体为三维。

然而,自然界中真实的线、面并不总是光滑的,许多物体的形状也是极不规则的,例如连绵起伏的山脉轮廓线、曲折蜿蜒的江河川流、变幻无常的浮云,以及令人眼花缭乱的繁星等等。

同样,这种现象在材料科学中也很普遍,如:高分子的凝聚体结构、材料固体裂纹、电化学沉积等等,这些都是难于用欧氏几何学加以描述的。

对于诸如具有此类几何结构的体系,如何进行定量表征呢? 随着人类对客观世界认识的逐步深入,以及科学技术的不断进步,象传统数学那样把不规则的物体形状加以规则化,然后进行处理的做法已不能再令人满意了。

于是,在七十年代中期,分数维几何学应运而生[1 ] 。

整数与分数维集合的几何测度理论,早在本世纪初已由纯数学家们发展起来。

但谈到分数维几何学的创始人,则首先当推法国数学家曼德尔布罗,他在总结了自然界中的非规整几何图形后[2 ] ,于1975 年第一次提出分形这个概念。

此后,分形在不同学科领域中被广泛地应用起来; 直至1982 年德尔布罗出版了他的专著《The Fractal Geomet ry of Nature》则表明分形理论已初步形成[3 ] 。

1. 2 自相似性分形结构的本质特征是自相似性或自仿射性。

自相似性是指:把考察的对象的一部分沿各个方向以相同比例放大后,其形态与整体相同或相似。

简单地说,就是局部是整体成比例缩小的性质。

形象地说,就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时,无论放大倍数如何改变,看到的照片都是相似的(统计意义) ,而从相片上也无法断定所用相机的倍数,故又称标度不变性或全息性。

在没有微积分时怎么开普勒算出的面积公式

在没有微积分时怎么开普勒算出的面积公式开普勒（IsaacNewton）是英国数学家、物理学家、天文学家、哲学家和历史学家。

他在1687年出版的著作《自然哲学的数学原理》中提出了微积分学，其中包括用函数求面积所需要的积分技术。

因此，开普勒对计算面积公式具有重要意义。

当时并不存在微积分，那么开普勒如何算出的面积公式呢？在没有微积分时，开普勒算出的面积公式是通过曲线分段法。

具体做法是将曲线分段，然后用有限的二次曲线拟合每一小段曲线。

由于圆弧和椭圆也可以用多段二次曲线表示，所以即使没有微积分，开普勒也能算出圆弧和椭圆几何图形的面积公式。

首先，根据曲线分段法，要想计算出某条曲线的面积，需要将它分成若干小段，每段曲线都被拟合成一个有限的二次曲线，且拟合的误差不超过所设定的容限值。

此时，每一段二次曲线的形状和面积都可以求出来。

据此可以求出曲线的总面积，即由多段二次曲线拟合的曲线面积。

其次，圆弧和椭圆都可以用多段二次曲线拟合表示。

运用多段二次曲线，圆弧可以分成若干段，每段曲线分别由一条有限的二次曲线拟合，拟合误差不超过所设定的精度。

每一小段二次曲线的面积都可以求出，加起来即可求出圆弧的总面积。

此外，椭圆也是如此，只是椭圆拟合的不是每一段，而是椭圆整体，拟合误差也不超过所设定的精度。

最后，求出的椭圆的面积就是面积公式了。

综上所述，在没有微积分时，开普勒算出的面积公式是通过曲线分段法实现的，即将曲线分成若干小段，每段曲线分别由一条有限的二次曲线拟合，拟合误差不超过所设定的精度，求出曲线的总面积。

圆弧和椭圆只需要将它们拟合成多段二次曲线，误差不超过所设定的精度，就可以求出圆弧和椭圆的面积公式了。

开普勒的曲线分段法，给我们提供了在没有微积分的情况下，也能求出曲线、圆弧和椭圆的面积公式的方法。

正三角形的两种分形的面积和周长

正三角形的两种分形的面积和周长四川省德阳中学（618000）刘桂林在华师大版数学八年级(下)第85页上有正三角形的两种分形。

学生在阅读这部分材料时，对图形的自相似现象发生了浓厚的兴趣，提出了较多问题。

尤其希望知道等边三角形的外部相似图形（最后得雪花曲线）和内部自相似图形的周长和面积。

下面就此问题作出探讨。

1、将正三角形的每一边三等分，而以其居中的那一条线段为底边再作等边三角形。

然后以其两腰代替底边。

再将六角形的每边三等分，重复上述作法。

如此继续下去，就得到雪花曲线（如下图所示）。

下面求雪花曲线所围图形的面积和雪花曲线的周长。

图1解：①设正三角形的边长为a，原正三角形的面积为2213224S a a a ==，第一次分形后的总面积为1S ，第二次分形后的总面积为2S ，…，第n 次分形后的总面积为n S ，则有： 214221126332212111343()34913443()()34913443()()34913443()()349n n n n n n S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S ---=+=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯因为 …… 2334444[()()()]49999n n S S S =+++++所以　…2244[1()]399441934[1()]593343[1()]55948343[()]559n n n n S S S S a a ⨯-=+-=+-=+-=-所以雪花曲线所围图形的面积为 228lim 5n n S →∞== ．②设正三角形的边长为a ，原正三角形的周长为3a ，第一次分形后的周长为1C ，第二次分形后的周长为2C ，…，第n 次分形后的周长为n C ，则有：1222123332111114333331443()()3331443()()333144443()()3()()33333n n n n n n n C a a a C C a a C C a a C C a a a a ----=+==+⨯==+⨯==+⨯=+=……由分形后的周长通项公式4()33n n C a =可知，数列{}n C 为一个无穷递增数列，所以雪花曲线的周长为无穷大。

高中数学积分应用于曲线与曲面的面积计算

高中数学积分应用于曲线与曲面的面积计算在高中数学中，积分是一个非常重要的概念和工具，它不仅可以用来求解函数的定积分和不定积分，还可以应用于曲线与曲面的面积计算。

本文将通过具体的例题，详细讲解积分在曲线与曲面面积计算中的应用，帮助高中学生更好地理解和掌握这一知识点。

一、曲线的面积计算1. 计算曲线与x轴之间的面积考虑曲线y=f(x)与x轴之间的面积，其中f(x)在[a, b]上连续且非负。

我们可以将曲线下方的面积分割成许多矩形，然后求和逼近曲线下方的面积。

设曲线与x轴的交点为x=a和x=b，将[a, b]区间等分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n，则第i个小区间的宽度为Δx，高度为f(xi)，其中xi为该小区间的任意一点。

因此，第i个小矩形的面积为ΔS=f(xi)Δx，将所有小矩形的面积相加即可得到曲线与x轴之间的面积的近似值。

当n趋向于无穷大时，这个近似值趋向于曲线与x轴之间的面积。

举例：计算曲线y=x^2与x轴之间的面积。

解：首先，我们需要确定曲线与x轴的交点。

当y=0时，得到x=0。

因此，曲线与x轴的交点为x=0。

我们可以将曲线下方的面积分割成许多矩形，然后求和逼近曲线下方的面积。

假设我们将区间[0, 2]等分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx=2/n。

第i个小区间的宽度为Δx，高度为f(xi)=xi^2，其中xi为该小区间的任意一点。

因此，第i个小矩形的面积为ΔS=(xi^2)(2/n)。

将所有小矩形的面积相加，即可得到曲线与x轴之间的面积的近似值。

当n趋向于无穷大时，这个近似值趋向于曲线与x轴之间的面积。

2. 计算曲线与y轴之间的面积类似地，我们也可以计算曲线与y轴之间的面积。

考虑曲线x=f(y)与y轴之间的面积，其中f(y)在[c, d]上连续且非负。

我们可以将曲线左侧的面积分割成许多矩形，然后求和逼近曲线左侧的面积。

设曲线与y轴的交点为y=c和y=d，将[c, d]区间等分为n个小区间，每个小区间的长度为Δy=(d-c)/n，则第i个小区间的宽度为Δy，高度为f(yi)，其中yi为该小区间的任意一点。

不规则面积计算公式

不规则面积计算公式摘要：1.引言2.不规则面积计算的基本原理3.不同形状的不规则面积计算公式4.应用实例5.结论正文：【引言】计算不规则面积是数学中的一个重要领域，它在实际生活中的应用非常广泛，例如建筑、工程、地理、物理等领域。

由于不规则形状的复杂性，计算其面积需要用到一些特殊的公式和方法。

本文将为大家介绍不规则面积计算的基本原理以及不同形状的不规则面积计算公式。

【不规则面积计算的基本原理】不规则面积计算的基本原理是将不规则形状分解成若干个简单的几何形状，然后分别计算这些几何形状的面积，最后将这些面积相加得到总面积。

这个过程需要运用到数学中的分割、平移、旋转等技巧。

【不同形状的不规则面积计算公式】1.梯形：梯形的面积计算公式为：(上底+ 下底) × 高÷ 2。

2.矩形：矩形的面积计算公式为：长× 宽。

3.圆形：圆形的面积计算公式为：π × 半径。

4.梯形和圆形的组合：可以先将梯形和圆形分别计算面积，然后按照一定的比例进行缩放，最后将两个面积相加得到总面积。

5.其他不规则形状：对于其他复杂的不规则形状，可以通过将其分割成简单的几何形状，然后分别计算面积，最后相加得到总面积。

【应用实例】假设有一个不规则的房间，其形状为梯形，上底长为4 米，下底长为6 米，高为3 米。

此外，房间内部还有一个半径为1 米的圆形区域。

我们可以使用上述公式计算出房间的总面积：(4 + 6) × 3 ÷ 2 + π × 1 = 21 + 3.14 ≈ 24.14 平方米。

【结论】不规则面积计算是数学中的一个重要领域，它在实际生活中的应用非常广泛。

通过将不规则形状分解成简单的几何形状，并运用相应的面积计算公式，可以方便地计算出不规则形状的面积。

电子科技大学数学实验实验报告(含详细程序和实验数据)-Koch分形雪花,计算瑞典国土,计算我国海岸线长度

Koch 分形雪花面积计算的数学实验报告2012年4月6日绘制Koch 分形雪花，分析其边数及面积规律实验内容取周长为10的正三角形为初始元。

第一步（N=1）：将边长三等分，并以中间的一份为底边构造正三角形，去掉该三角形的底边，将两腰与剩下的两份相连，得到生成元。

原三角形每条边都用生成元替换,得到具有6个凸顶点的12边形。

第二步（N=2）：对第1步得到的图形，同样将其边长三等分，并以中间的一份构造正三角形，去掉该三角形的底边，将两腰与两边的两份相连，得到生成元。

原12边形的每条边都用生成元替换，得到24个凸顶点的48边形。

如此方法，一直做下去，当∞→N 时便得到了Koch 分形雪花。

实验目的1.算法描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图Kn 的边数为143-⨯=n n L3.求Koch 分形雪花图Kn 的面积)(lim n N K area ∞→实验原理1. Koch 分形雪花的绘制过程与Koch 曲线的构造过程类似。

事实上，Koch 分形雪花是由三条三次Koch 曲线组成的。

Koch 曲线的构造：由一条线段产生四条线段，由n 条线段迭代一次后将产生4n 条线段，算法针对每一条线段逐步进行，将计算新的三个点。

第一个点位于线段的三分之一处，第三个点位于线段的三分之二处，第二个点以第一个点为轴心，将第一和第三个点形成的向量正向旋转ο60而得，正向旋转由正交矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-3cos 3sin 3sin3cos ππππ完成。

三条三条三次Koch 曲线由初始向量P 构造。

流程图如下：⑴)/3P －2(P + P ←Q )/3;P －(P + P ← Q 121 31211 ⑵;A ×)Q －(Q + Q ← Q T1312 ⑶．Q ← P ;Q ← P ;Q ← P ;P ← P 342312252.由于Koch分形雪花是封闭的凸多边形，所以边数=顶点数=P矩阵的行数-1。

分形几何概述

整理课件
分形几何的应用
图像，数据压缩方面的研究。如：对某一个静态场景的分形压缩。
自然景物的模拟如：雪花，海岸线，分形山，分形树叶
分形生长模型
整理课件
对某一个静态场景的分形压缩
原图
分形压缩得到的图形
整理课件
分形山
整理课件
分形树叶
整理课件
分形树叶(续1)
整理课件
整理课件
Koch曲线的生成过程 —第0步、第1步
整理课件
Koch曲线的生成过程 —第2步、第3步
整理课件
Koch曲线与雪花曲线
—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线
整理课件
Koch曲线的一些基本性质
Koch曲线具有与Cantor集，Sierpinski垫片类似的性质.
长度等于无穷.
一般地，E的“分形维数”（以某种方式定义）大于它的拓扑维数。
在大多数令人感兴趣的情形下，E以非常简单的方式定义，可能由迭代产生。
整理课件
分形几何的研究方法 ——维数和测度
我们仅讨论维数传统意义下的维数：
点是0维的，线是1维的，平面是2维的，立方体是三维的，… 用这个维数去刻画分形集合时的困难：
空紧子集所组成的集合。 H(X)上的度量h如下定义：
d ( x , B ) m d ( x , y ) |y i B n ,x X , B H ( X ).
d(x,B )0 x B
d ( A , B ) m d ( x , B ) | a x A , x A , B H ( X ).
是“不规则的或者断裂的”拉丁语“fractus”派生
出来.
整理课件
分形几何的历史(续)
发展期：二十世纪八十年代至今. 1. Hutchinson, 1981, 分形与自相似. 给出了自相似集合的数学理论基础. 2. Mandelbrot, 1982, 《自然界的分形几何》. 3. Barnsley, 1988, 《Fractal everywhere》. 4. Falconer, 1990, 《分形几何——数学基础及其应用》.

hausdorff分形导数

hausdorff分形导数
Hausdorff分形导数是一种用于描述分形几何形状的数学工具。

它是由德国数学家Hausdorff在20世纪初提出的。

Hausdorff分形导数可以用来计算分形曲线的长度、面积和体积等几何量，因此在分形几何学中具有重要的应用价值。

Hausdorff分形导数的定义比较复杂，但可以简单地理解为对分形曲线进行缩放后，曲线长度与缩放比例的对数之比的极限。

这个极限值就是Hausdorff分形导数。

例如，对于一条分形曲线，如果它的Hausdorff分形导数为1.5，则说明这条曲线的长度与缩放比例的对数之比的极限为1.5。

Hausdorff分形导数的应用非常广泛。

在图像处理中，可以用Hausdorff分形导数来描述图像的纹理特征。

在地理信息系统中，可以用Hausdorff分形导数来计算地形的复杂度。

在金融学中，可以用Hausdorff分形导数来分析股票价格的波动性。

此外，Hausdorff分形导数还被广泛应用于自然科学、社会科学等领域。

Hausdorff分形导数的计算方法比较复杂，需要使用数学软件进行计算。

常用的数学软件包括MATLAB、Python等。

在计算Hausdorff 分形导数时，需要先将分形曲线进行离散化处理，然后计算曲线上各
个点之间的距离，最后根据距离的分布情况计算Hausdorff分形导数。

总之，Hausdorff分形导数是一种重要的数学工具，可以用来描述分
形几何形状的特征。

它在各个领域都有广泛的应用，是现代科学技术
发展中不可或缺的一部分。

分形几何

度量Koch曲线（续）
现在，长度为１／3的无刻度的尺子来度量 Koch曲线。此时Koch曲线的近似长度为 L1 = 4/3. 于是 Koch 的长度大于 4/3.
度量Koch曲线（续）
进一步，在每两个相邻的节点间加入三个节点，这样用由16条长度为1/9的线段组成的折线逼近Koch曲线。同样发现Koch曲线的长度大于折线长度 L2 = 16/9 = (4/3)2.
分形几何的提出
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
分形几何的提出
当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量海岸线的长度时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不精确的。
Ａ
则称子集类
i 1 为Ａ的一个
Ｕ
i

｛U i｝

―覆盖。
豪斯道夫(Hausdorff)维数
Hausdorff测度 d ) 设Ａ是度量空间 ( R , 的任一有界子集ｓ≥0，对于任意的 >0，定义：
H ( A) inf{ | U i | : {U i } A的－覆盖}
分形的定义（续）分形看作具有下列性质的集合F：
１）F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内着复杂的结构。２）F是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。
分形的定义（续）
3）F通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计意义下的。 4）F在某种方式下定义的“分维数” 通常大于F的扑维数。 5）F的定义常常是非常简单的，或许是递归的。
Mandelbrot集(4)

211189556_1985—2020年京津冀平原水面面积演变特征及归因分析

（１．流域水循环模拟与调控国家重点实验室中国水利水电科学研究院，北京１０００３８；２．水利部水利水电规划设计总院，北京１００１２０；３．北京市水科学技术研究院，北京１０００４８）
摘要：在国家复苏河湖生态环境的要求下，分析京津冀平原区长序列水面面积变化特征及变化原因，有助于科学
制定区域生态补水量及预测补水效果。研究通过３期土地利用数据融合确定了京津冀平原区的水域面积，基于
ＧＥＥ（ＧｏｏｇｌｅＥａｒｔｈＥｎｇｉｎｅ）云平台提取了１９８５—２０２０年京津冀平原区长序列水面面积，并分析了水域面积填充率
地把 “盛水的盆” 全部提取到。
水面面积提取在ＧＥＥ（ＧｏｏｇｌｅＥａｒｔｈＥｎｇｉｎｅ）云平台上操作，数据源为Ｌａｎｄｓａｔ５?７?８系列多光谱遥感
数据，数据分辨率为３０ｍ，直接调用云平台算力批量操作实现１９８５—２０２０年逐月水面数据的提取。研究采用改进的归一化水体指数ＭＮＤＷＩ［２２－２３］和地表水体指数ＬＳＷＩ［２４］组合方法提取水面面积，进一步利用ＡＷＥＩｎｓｈ和ＡＷＥＩｓｈ两个指标作［２５］为阈值，去除建筑物阴影干扰、提高水面面积提取精度，具体流程见图２，相关公式如下：
（３）
ＡＷＥＩｓｈ＝ρｂａｎｄ２＋２．５×ρｂａｎｄ３－１．５×（ρｂａｎｄ５＋ρｂａｎｄ６）－０．２５×ρｂａｎｄ７
本研究通过多期土地利用数据融合确定京津冀平原区的水域面积，基于ＧＥＥ平台分析京津冀平原１９８５—２０２０年水面面积变化特征，进一步研究水域填充率及水面蒸发损失消耗量，可为京津冀平原复苏河湖生态环境制定规划方案提供科技支撑。

建筑曲面形面积计算公式

建筑曲面形面积计算公式在建筑设计和工程中，曲面形是一种常见的形式，如圆顶、拱形等。

计算曲面形的面积是建筑设计和工程中常见的问题之一。

本文将介绍建筑曲面形面积计算的公式和方法。

首先，我们来看一下常见的曲面形状及其面积计算公式。

1. 圆顶。

圆顶是建筑中常见的曲面形状，其面积计算公式为：S = πr²。

其中，S为圆顶的面积，r为圆顶的半径，π为圆周率，约为3.14。

2. 椭圆顶。

椭圆顶是一种椭圆形状的圆顶，其面积计算公式为：S = πab。

其中，S为椭圆顶的面积，a和b分别为椭圆顶的长轴和短轴。

3. 拱形。

拱形是一种常见的曲面形状，其面积计算公式为：S = 2πr²(1+1/2√2sin⁻¹(1/2√2))。

其中，S为拱形的面积，r为拱形的半径。

以上是一些常见的曲面形状及其面积计算公式，接下来我们将介绍一些计算曲面形面积的一般方法。

1. 数值积分法。

数值积分法是一种常用的计算曲面形面积的方法。

该方法通过将曲面形分割成小块，然后对每个小块的面积进行数值积分求和，从而得到整个曲面形的面积。

这种方法适用于各种曲面形状，但需要进行复杂的数值计算，计算量较大。

2. 参数方程法。

参数方程法是一种通过参数方程描述曲面形状，然后计算参数方程所描述曲面形的面积的方法。

该方法适用于各种曲面形状，但需要对曲面形状进行参数化描述，计算过程较为复杂。

3. 几何法。

几何法是一种通过几何图形的性质计算曲面形面积的方法。

该方法适用于一些简单的曲面形状，如圆顶、椭圆顶等，计算过程相对简单。

综上所述，建筑曲面形的面积计算是建筑设计和工程中常见的问题之一。

通过了解常见曲面形状的面积计算公式和方法，可以更好地应用于实际工程中。

在实际工程中，可以根据具体情况选择合适的计算方法，以确保计算结果的准确性和可靠性。

希望本文对建筑曲面形面积计算有所帮助。