第七章 自相关(计量经济学)

n
(e~i e~i1 ) 2
D.W . i2 n
e~i2
i 1
(2.5.5)
• 该统计量的分布与出现在给定样本中的X值有 复杂的关系，因此其精确的分布很难得到。
• 但是，Durbin和Watson成功地导出了临界值的 下量n限和dL解和释上变限量d的U ，个且数这k有些关上，下而限与只解与释样变本量的X容 的取值无关。
e~i
2 1
,
e~i 2
大致相等，则(2.5.6)可以化简为：
i2
i2
i 1
n e~i e~i1
D.W . 2(1 i2
) 2(1 )
n e~i2
i 1
式中，
n e~i e~i1
n e~i2 n e~i e~i1
i2
i 1
i2
为一阶自相关模型
2、自相关产生的原因
（1）惯性 大多数经济时间数据都有一个明显的特点，就是 它的惯性。
GDP、价格指数、生产、就业与失业等时间序列都 呈周期性，如周期中的复苏阶段，大多数经济序列均 呈上升势，序列在每一时刻的值都高于前一时刻的值， 似乎有一种内在的动力驱使这一势头继续下去，直至 某些情况（如利率或课税的升高）出现才把它拖慢下 来。
（2.5.2）
称为一阶自相关，或自相关（autocorrelation）。这 是最常见的一种自相关问题。
自相关往往可写成如下形式：
t t1 t
1 1
（2.5.3）
其 中 ： 被 称 为 自 协 方 差 系 数 （ coefficient of autocovariance ） 或 一 阶 自 相 关 系 数 （ first-order coefficient of autocorrelation）。
如果原模型存在：
i 1i1 2 i2 l il i
可以将原模型变换为：
(2.5.11)
Yi 1Yi1 lYil 0 (1 1 l ) 1 ( X i 1 X i1 l X il ) i
• 具体应用时需要反复试算。
• 回归检验法的优点是： 一旦确定了模型存在自相关性，也就同时知
道了相关的形式；
它适用于任何类型的自相关性问题的检验。
（2）杜宾-瓦森（Durbin-Watson）检验法
• D-W检验是杜宾（J.Durbin）和瓦森(G.S. Watson) 于1951年提出的一种检验序列自相关的方法。 • 该方法的假定条件是：
E() 0
Cov() E() 2
w1 w12 w1n



w21
w2

w2
n




wn1
wn2

wn

• 设 =DD’
用D-1左乘(2.5.7)两边，得到一个新的模型：
D-1 Y=D-1 XB+D-1 N
(2.5.8)
即
Y*=X*B+N*
该模型具有同方差性和随机误差项互相独立性。
E(** ) E(D1D1 )
D 1E ( )D 1
D 1 2 WD 1 D 1 2DDD 1 2I
• 于是，可以用OLS法估计模型(2.5.8)，得
(X * X * ) 1 X * Y *
• 最常用的方法是广义最小二乘法（GLS: Generalized least squares）、一阶差分 法（First-Order Difference)和广义差分 法(Generalized Difference)。
1、广义最小二乘法
• 对于模型
Y=XB+N
(2.5.7)
如果存在自相关，同时存在异方差，即有
(XD 1D 1X) 1 XD 1D 1Y (XΩ1X) 1 XΩ1Y
（2.5.9)
• 这就是原模型(2.5.7)的广义最小二乘估计量(GLS estimators)，是无偏的、有效的估计量。
• 如何得到矩阵？
仍然是对原模型(2.5.7)首先采用普通最小二乘 法，得到随机误差项的近似估计量，以此构成矩 阵的估计量 ，即
对于模型
Yi 0 1 X 1i 2 X 2i k X ki i
i=1,2,…,n
随机误差项互不相关的基本假设表现为：
Cov(i , j ) 0
i≠j，i,j=1,2,…,n
如果对于不同的样本点，随机误差项之间不再是
不相关的，而是存在某种相关性，则认为出现了自 相关性。
自相关性 Serial Correlation
一、自相关性 二、自相关性的后果 三、自相关性的检验 四、具有自相关性模型的估计 五、案例
普通最小二乘法（OLS）要求计量模型 的随机误差项相互独立或序列不相关。
如果模型的随机误差项违背了互相独立的 基本假设的情况，称为自相关性。
一、自相关性
1、自相关的概念
于是在猪肉价格影响牛肉消费量的情况下，这种模 型设定的偏误往往导致随机项中有一个重要的系统性 影响因素，使其呈自相关性。
(3)设定偏误：不正确的函数形式
例如：如果边际成本模型应为： Yt= 0+1Xt+2Xt2+t
其中：Y=边际成本，X=产出。 但建模时设立了如下模型： Yt= 0+1Xt+vt
2、解析法
（1）回归检验法
以e~i 为被解释变量，以各种可能的相关量，
诸如以 e~i1 、e~i2 、 e~i2 等为解释变量，建立各
种方程：
e~i e~i 1 i
e~i 1e~i1 2 e~i2 i
i=2,…,n i=3,…,n
…
对各方程估计并进行显著性检验，如果存在某 一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模 型存在自相关性。
（2）D.W.检验虽然只能检验一阶自相关，但在 实际计量经济学问题中，一阶自相关是出现最多 的一类自相关； （3）经验表明，如果不存在一阶自相关，一般 也不存在高阶自相关。
所以在实际应用中，对于自相关问题一般只进 行D.W.检验。
四、具有自相关性模型的估计
• 如果模型被检验证明存在自相关性，则 需要发展新的方法估计模型。
前面提出的方法，就是FGLS
2、一阶差分法
一阶差分法是将原模型
Yi 0 1 X i i
变换为
Yi 1X i i i1
其中
Yi Yi Yi1
i=1,2,…,n i=2,…,n
(2.5.10)
• 如果原模型存在完全一阶正自相关，即在 i=i-1+i
在其他假设仍成立的条件下，序列相关即意味着
E(i j ) 0 或
1
E(NN T ) E
1




n

n


E
12





n
1

1n


2 n

E(12 )


E
(
n
1
采用其它检验也是如此。
3、模型的预测失效
区间预测与参数估计量的方差有关，在方差有 偏误的情况下，使得预测估计不准确，预测精度 降低。所以，当模型出现自相关性时，它的预测 功能失效。
三、自相关性的检验
1、基本思路
• 自相关性检验方法有多种，但基本思路是相同 的。
• 首先采用普通最小二乘法估计模型，以求得随 机误差项的“近似估计量”：
因此，由于vt= 2Xt2+t, ，包含了产出的平方对随机 项的系统性影响，随机项也呈现自相关性。
(4)蛛网现象
例如，农产品供给对价格的反映本身存在一个 滞后期：
供给t= 0+1价格t-1+t 意味着，农民由于在年度t的过量生产（使该期价 格下降）很可能导致在年度t+1时削减产量，因此 不能期望随机干扰项是随机的，往往产生一种蛛 网模式。


e~e~21e~21
e~1e~2 e~22

e~1e~n e~2 e~n


e~ne~1 e~ne~2
e~n2

• 可行的广义最小二乘法（FGLS, Feasible Generalized Least Squares）
文献中常见的术语
如果能够找到一种方法，求得到Ω的估计量， 使得GLS能够实现，都称为FGLS
(5)数据的“编造”
例如，季度数据来自月度数据的简单平均，这 种平均的计算减弱了每月数据的波动而引进了数 据中的匀滑性，这种匀滑性本身就能使干扰项中 出现系统性的因素，从而出现自相关。
还有就是两个时间点之间的“内插”技术往往 导致随机项的自相关性。
二、自相关性的后果
1、参数估计量非有效
• OLS参数估计量仍具无偏性
• OLS估计量不具有有效性 • 在大样本情况下，参数估计量仍然不具有渐近有 效性，这就是说参数估计量不具有一致性
2、变量的显著性检验失去意义
在关于变量的显著性检验中，当存在自相关时， 参数的OLS估计量的方差增大，标准差也增大， 因此实际的 t 统计量变小，从而接受原假设i=0 的可能性增大， 检验就失去意义。
中，=1。 (2.5.10)可变换为：
Yi= 1Xi+I 由于i不存在自相关，该差分模型满足应用OLS法 的基本假设，用OLS法估计可得到原模型参数的无 偏的、有效的估计量。
• 即使对于非完全一阶正相关的情况，只要存在 一定程度的一阶正相关，差分模型就可以有效地 加以克服。
3、广义差分法
e~i yi ( yi ) 0ls
• 然后，通过分析这些“近似估计量”之间的相 关性，以达到判断随机误差项是否具有自相关性 的目的。
ຫໍສະໝຸດ Baidu、图示法
由于残差e~i 可以作为i 的估计，因此如果i 存在序列相关，必然会由残差项e~i 反映出来， 因此可利用e~i 的变化图形来判断随机项的序 列相关性。
)

E(1n )


2 1


E
(

2 n
)


E
(

n
1
)

E(1n )


2 n

2



E
(
n
1
)

E
(1

n
)



2Ω


2I
2

（2.5.1）
如果仅存在
E (i i1 ) 0
i=1,2,…,n-1
• 检验步骤 ①计算该统计量的值，
②根据样本容量n和解释变量数目k查D.W.分 布表，得到临界值dL和dU， ③按照下列准则考察计算得到的D.W.值，以判 断模型的自相关状态。
若 0<D.W.<dl dl <D.W.<du d u <D.W.<4 - d u 4 - du <D.W.<4 - dl 4 - dl <D.W.<4
n e~i2
i2
t t1 t
1 1
的参数估计，
如果存在完全一阶正相关，即 =1， 则 D.W. 0
如果存在完全一阶负相关，即 = -1， 则 D.W. 4
如果完全不相关，即 =0， 则 D.W.2
•注意：
（1）从判断准则看到，存在一个不能确定的 D.W.值区域，这是这种检验方法的一大缺陷。
（1）解释变量 X非随机； （2）随机误差项i为一阶自回归形式：
i=i-1+i （3）回归模型中不应含有滞后应变量作为解释变 量，即不应出现下列形式：
Yi=0+1X1i+kXki+Yi-1+i
（4）回归含有截距项； （5）没有缺落数据。
• D.W.统计量
Durbin 和 Watson 假设： H 0 : 0 ， 即i 不存在一阶自回归； H1 : 0 ， 即i 存在一阶自回归 并构如下造统计量：
（2）设定偏误：模型中遗漏了显著的变量
例如：如果对牛肉需求的正确模型应为
Yt=0+1X1t+2X2t+3X3t+t 其中：Y=牛肉需求量，X1=牛肉价格，X2=消费者收入， X3=猪肉价格。
如果模型设定为：
Yt= 0+1X1t+2X2t+vt 那么该式中的随机误差项实际上是：vt= 3X3t+t,
则存在正自相关 不能确定 无自相关 不能确定 存在负自相关
• 可以看出，当D.W.值在2左右时，模型不存在
一阶自相关。
证明：展开 D.W.统计量：
n
n
n
e~i2
e~i
2 1

2
e~i e~i1
D.W. i2
i2 n
i2
e~i2
i 1
(2.5.6)
n
n
n
当
n
较大时， e~i2 ,