绝对值的性质及运用(新)

知识精讲

绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.

绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值号. ②一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.

④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值：

①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩

②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.

绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.

例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =

绝对值的其它重要性质：

（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；

（2）若a b =，则a b =或a b =-；

（3）ab a b =⋅；a a b b

=(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；

a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．

a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．

绝对值

【例题精讲】

模块一、绝对值的性质

【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）

A ．±2

B ．2

C ．-2

D ．4

【例2】下列说法正确的有（ ）

①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有

理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．

A ．②④⑤⑥

B ．③⑤

C ．③④⑤

D ．③⑤⑥

【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）

A ．2

B ．-2

C ．±2

D ．12

±

【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）

A ．11a

B ．-11a

C ．-3a

D ．3a

【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）

A ．1，0

B ．正数

C ．非正数

D ．非负数

【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）

A ．7或-7

B ．7或3

C ．3或-3

D ．-7或-3

【例7】若1-=x x

，则x 是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．非正数

【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）

A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞a

B ．1+a ＞a ＞1-b ＞-b

C ．1+a ＞1-b ＞a ＞-b

D ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a

【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）

A ．2

B ．2或3

C ．4

D ．2或4

【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）

A ．6

B ．-4

C ．-2a +2b +6

D ．2a-2b-6

【例11】若|x +y |=y -x ，则有（ ）

A ．y ＞0，x ＜0

B ．y ＜0，x ＞0

C．y＜0，x＜0 D．x=0，y≥0或y=0，x≤0

【例12】已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）A．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号

⑤b

+

-

=

+

-

-．其中正确的有．（请填写番号）c

a

c

b

b

a2

-

当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________；

当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．

模块二 绝对值的非负性

1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0

2. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =

【例1】 若42a b -=-+，则_______a b +=

【巩固】若7

322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋

【例2】()2120a b ++-=，分别求a b ，的值

模块三 零点分段法

1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．

【例1】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()

0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：

⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+

⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=

⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-

综上讨论，原式()()()

211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥

通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：

（1）别求出2x +和4x -的零点值

（2）化简代数式24x x ++-