微分方程的应用举例
微分方程在医学中的应用
微分方程在医学中的应用引言：微分方程是数学中的一种重要工具，广泛应用于各个领域。
在医学领域，微分方程的应用也非常广泛。
本文将探讨微分方程在医学中的应用，并介绍一些具体的例子。
主体：1. 生物医学工程：生物医学工程是将工程学的原理和方法应用于医学领域的学科。
微分方程在生物医学工程中发挥了重要作用。
例如，在心脏起搏器的设计中，可以使用微分方程来描述心脏的电活动和脉冲发放的机制。
这些微分方程可以帮助工程师设计出更加精确和可靠的起搏器，从而提高心脏病患者的生活质量。
2. 癌症治疗：微分方程在癌症治疗中也有重要的应用。
例如，在放射治疗中，可以使用微分方程来描述肿瘤细胞的生长和死亡过程，从而帮助医生确定合适的放射剂量和治疗方案。
此外，微分方程还可以用于预测肿瘤的生长速度和扩散范围，从而帮助医生制定更有效的治疗策略。
3. 心血管疾病：微分方程在研究心血管疾病方面也发挥了重要作用。
例如，在研究血流动力学过程中，可以使用微分方程来描述血液在心血管系统中的流动和压力变化。
这些微分方程可以帮助医生了解心血管疾病的发展机制，并指导治疗和预防措施的制定。
4. 神经科学：微分方程在神经科学中也有广泛的应用。
例如，在研究神经元的电活动和突触传递过程中，可以使用微分方程来描述神经元的动力学行为。
这些微分方程可以帮助科学家理解神经系统的工作原理，从而为治疗神经系统疾病提供理论基础。
结论：微分方程在医学中的应用广泛而重要。
它不仅可以帮助医生和工程师设计更好的医疗设备和治疗方案，还可以为科学家提供理论基础，深入研究人体的生理和病理过程。
通过对微分方程在医学中的应用的探索，我们可以更好地理解和治疗各种疾病，提高人类的健康水平。
参考文献：1. L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Springer, 2001.2. F. Verhulst, Nonlinear Differential Equations andDynamical Systems, Springer, 1996.3. H.W. Hethcote, "The Mathematics of Infectious Diseases," SIAM Review, vol. 42, no. 4, pp. 599-653, 2000.4. S. Busenberg and C. Castillo-Chávez, "A General Solution of the Problem of Mixing of Substances by Several Methods," SIAM J. Appl. Math., vol. 58, no. 5, pp. 1650-1688, 1998.5. E. Beretta and Y. Kuang, "Geometric Stability Switch Criteria in Delayed Differential Systems with Applications to Chemostat Models," SIAM J. Math. Anal., vol. 33, no. 6, pp. 1144-1165, 2002.。
例谈微分方程在实际问题中的简单应用
例谈微分方程在实际问题中的简单应用微分方程是数学领域中一个重要的分支，它研究的是包含未知函数及其导数的方程。
微分方程在物理学、工程学、经济学等实际问题中有着广泛的应用。
本文将以实际问题为例，说明微分方程在实际中的应用。
一、弹簧振子的运动弹簧振子是物理学中的一个经典问题，可以通过微分方程来描述其运动。
假设弹簧的质量为m，弹簧常数为k，弹簧的形变量（位移）为x(t)，则弹簧振子的运动可以描述为二阶线性微分方程：m*x''(t)+k*x(t)=0二、放射性衰变放射性元素的衰变过程可以用微分方程进行建模。
设放射性物质的衰变速率与物质的量成正比，即衰变速率为a（a>0）与物质的量x(t)成正比，可得微分方程：x'(t)=-a*x(t)三、生物种群增长生物种群增长问题也可以通过微分方程进行描述。
设种群数量为N(t)，种群增长速率与种群数量成正比，即增长速率为k（k>0）与种群数量N(t)成正比，可得微分方程：N'(t)=k*N(t)四、空气中的弥散空气中的弥散问题可以用微分方程进行建模。
设空气中其中一种气体的浓度为C(x,t)，C满足浓度的扩散方程：C_t = D*C_xx其中，C_xx表示浓度在x方向上的二阶导数，D为气体的扩散系数。
五、电路中的RLC振荡电路中的RLC振荡是电子学中的一个重要问题，可以通过微分方程进行描述。
设电路的电感L、电阻R和电容C分别为常数，电路的电压为V(t)，则振荡电路的微分方程为：L*V''(t)+R*V'(t)+1/C*V(t)=0以上是几个常见实际问题的微分方程应用，说明了微分方程在实际问题中的简单应用。
通过建立微分方程模型，可以定量地描述和分析复杂的实际问题，从而为问题的解决提供了理论依据。
微分方程在实际问题中的应用不仅帮助人们更好地理解和解决问题，而且还推动了数学理论和方法的发展。
随着科学技术的进步，微分方程将在更多领域中发挥重要作用。
微分方程应用
微分方程应用微分方程是数学中的重要分支，它有着广泛的应用。
本文将介绍微分方程在不同领域的应用，包括物理学、生物学和经济学等。
通过这些应用实例，我们将看到微分方程在解决实际问题中的重要性和价值。
一、物理学中的物理学是微分方程的一个主要应用领域。
许多自然现象可以通过微分方程来描述和解释。
例如，牛顿第二定律将物体的运动与其所受的力联系在一起，可以用微分方程表示为：$$m\frac{{d^2x}}{{dt^2}} = F(x)$$其中，$m$代表物体的质量，$x$代表物体的位置，$t$代表时间，$F(x)$代表作用在物体上的力。
通过解这个微分方程，我们可以预测物体随时间的变化和轨迹。
二、生物学中的微分方程在生物学中也有广泛的应用。
许多生物过程可以用微分方程建模，如人口增长、药物动力学和神经元的激活等。
以人口增长为例，我们可以用以下微分方程描述：$$\frac{{dN}}{{dt}} = rN(1-\frac{{N}}{{K}})$$其中，$N$代表人口数量，$t$代表时间，$r$代表人口的增长率，$K$代表环境的承载能力。
通过解这个微分方程，我们可以了解人口随时间的变化趋势，从而制定相应的政策措施。
三、经济学中的微分方程在经济学中也有重要的应用。
例如，经济增长模型可以用以下微分方程表示：$$\frac{{dY}}{{dt}} = sY - c$$其中，$Y$代表经济产出，$t$代表时间，$s$代表储蓄率，$c$代表消费。
通过解这个微分方程，我们可以预测经济增长的速度和趋势，为经济政策的制定提供依据。
总结：微分方程是数学中的重要工具，具有广泛的应用领域。
无论是在物理学、生物学还是经济学中，微分方程都能用来描述和解释自然现象，并从中得出有用的结论。
通过研究微分方程的应用，我们可以更好地理解和预测现实世界中的各种问题，为解决这些问题提供有效的方法和方案。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的微分方程模型，并结合相关领域的知识和数据进行求解和验证。
数学与微分方程解析微分方程在科学与工程领域中的应用案例
数学与微分方程解析微分方程在科学与工程领域中的应用案例在科学与工程领域中，微分方程是一种重要的数学工具，用于描述物理、化学、生物等领域中的各种现象和问题。
微分方程解析的应用案例有很多，下面将介绍其中一些典型的案例。
案例一：电路中的RLC电路在电路中，RLC电路是一种常见的电路类型，由电阻（R）、电感（L）和电容（C）组成。
我们可以利用微分方程来描述电路中电压和电流的变化情况。
设电容的电压为Vc(t)，电感的电流为I(t)，电阻上的电压为VR(t)。
根据基尔霍夫电压定律和欧姆定律，可以得到如下微分方程：L(dI/dt) + RI + 1/C∫I(t)dt = V(t)通过解这个微分方程，我们可以得到电路中电流和电压随时间的变化规律，从而对电路的稳定性和响应进行分析和预测。
案例二：化学反应动力学在化学反应中，微分方程可以用来描述反应物的浓度随时间的变化规律。
例如，一级反应的速率可以用下面的微分方程来表示：d[A]/dt = -k[A]其中，[A]表示反应物A的浓度，k为反应速率常数。
通过求解这个微分方程，我们可以得到反应物浓度随时间的变化曲线，从而研究反应的速率和影响因素。
案例三：机械振动系统在工程领域中，微分方程可以用来描述机械振动系统的运动规律。
例如，单自由度弹簧振子的运动可以由下面的微分方程表示：m(d2x/dt2) + kx = 0其中，m为质量，k为弹簧的弹性系数，x为位移。
通过求解这个微分方程，我们可以得到振子的运动规律，包括振幅、频率和相位等信息。
案例四：人口增长模型微分方程还可以用来描述人口增长模型。
例如，常见的Logistic增长模型可以用下面的微分方程表示：dP/dt = rP(1-P/K)其中，P表示人口数量，r为人口增长率，K为环境容量。
通过解这个微分方程，我们可以研究人口的增长趋势和极限状态。
总结：微分方程在科学与工程领域中有着广泛的应用，上述案例只是其中的一部分。
数学与微分方程解析的应用可以帮助科学家和工程师更好地理解和预测自然和人工系统的行为，优化设计和控制方案。
高考数学中的微分方程应用及实例题解析
高考数学中的微分方程应用及实例题解析一、微分方程的应用微分方程在数学中有着广泛的应用，而在高考数学中尤为重要。
微分方程可以用来描述各种物理和工程问题中的连续变化。
在高考数学中，微分方程的应用主要包括解决物理和工程问题，并用微分方程模型求解。
下面，我们将以几个实例来解释微分方程的应用。
二、实例题解析1. 一个水箱有一个进水口和一个排水口，进水口的水速是10升/分钟，排水口排水的速度是6升/分钟。
在水箱的初态下，水箱的水量是7升。
求15分钟之后水箱的水量是多少？解答：由于水箱的进水口和排水口都是连续变化的，因此可以用微分方程来模拟。
不妨设水箱的初始状态下的水量为y，当t时间后，进水和排水的水量都为10-6=4升/分钟，因此有：y'(t)=4根据微分方程得：y(t)=4t+C由于初态下，水量为7升，因此C=7。
当t=15时，有：y(15)=4*15+7=67因此，15分钟后水箱的水量是67升。
2. 某商品的回报率为r，市场容量有限，其市场占有率y变化满足dy/dt=ry(1-y)，y初始为0.2，求当市场占有率达到60%时所需的时间。
解答：由于市场占有率随时间的变化是连续变化的，因此可以用微分方程来模拟。
设市场占有率为y，时间为t，有：dy/dt=ry(1-y)将该微分方程分离变量得：1/(y(1-y))dy=rdt两边积分得：ln|y/(1-y)|=rt+C由于当y=0.2时，t=0，因此C=ln(1/4)。
当y=0.6时，有：ln|0.6/(1-0.6)|=0.4r+C代入C得：ln(3/2)=0.4r+ln(1/4)解得r=ln3/16，因此所需的时间为：t=[ln(3/2)-ln(1/4)]/0.4ln3/16≈8.25因此，市场占有率达到60%时所需的时间为8.25。
三、总结微分方程在高考数学中的应用极为广泛，需要考生有扎实的微积分和数学建模的基础。
通过多做微分方程的实例题目，可以帮助考生更好地掌握微分方程的应用方法和技巧。
高中数学中的微分方程应用题
高中数学中的微分方程应用题微分方程是数学中的一个重要分支，也是高中数学的一部分。
它能够描述许多实际问题，并提供解决问题的方法。
本文将聚焦于高中数学中微分方程的应用题，通过一些具体的例子来展示微分方程在实际问题中的应用。
第一节：人口增长模型假设一个城市的人口增长速度与当前人口成正比，可以建立以下微分方程：$\frac{{dp}}{{dt}}=k \cdot p$其中，$p$代表城市的人口数量，$t$代表时间，$k$代表增长率。
以某城市的人口增长为例，已知该城市当前的人口数量为100万，增长率为10%。
我们可以利用上述微分方程来求解未来几年该城市的人口数量。
解微分方程可得：$\frac{{dp}}{{p}}=0.1 \cdot dt$对上式两边同时积分，可得：$\ln|p|=0.1t+C$其中，$C$为常数。
由已知条件可知，当$t=0$，$p=100$。
代入上式得：$\ln|100|=C$解得$C=\ln 100$。
因此，原微分方程的通解为：$\ln|p|=0.1t+\ln 100$化简得：$\ln|p|=0.1t+\ln 100=0.1t+\ln e^{4.60517}$再次化简得：$\ln|p|=0.1t+\ln(e^{4.60517})$$\ln|p|=0.1t+4.60517$取指数得：$p=e^{0.1t+4.60517}$经过计算可得，当$t=10$时，$p\approx22026$。
即在10年之后，该城市的人口数量约为22万。
第二节：放射性衰变模型放射性衰变是非常常见的物理现象，可以使用微分方程来描述。
某放射性元素的衰变速率与其当前的数量成正比，可以建立以下微分方程：$\frac{{dN}}{{dt}}=k \cdot N$其中，$N$代表放射性元素的数量，$t$代表时间，$k$代表衰变常数。
以某放射性元素的衰变为例，已知初始时刻$t=0$时，放射性元素的数量为1000克，衰变常数为0.1年$^{-1}$。
微分方程应用举例
L23 )C2
Um C
(
2L
C
L23 )C1
(R C
RL 2 )C2
0
解得
C1
1
Um C
(R C
RL2 )
C2
1
Um C
( L2 3
2L )
C
( R RL 2 )2 2 ( 2L L2 2 )2
C
C
变形 i2 Asin(t )
A C12 C22
arctan C2
C1
负载R上的电流 i2 Asin(t )
di2 dt
R C
i2
Um C
sin t
三阶常系数线性非齐次常微分方程。
需要消去i1，只保留i2
解
L2
d 3i2 dt 3
RL
d 2i2 dt 2
2L C
di2 dt
R C
i2
Um C
sin t
所对应其次方程的特征方程为
L2r3 RLr2 2L r R 0 CC
由于特征方程的三个特征根的实部均为负值，因此其次方程的通解是指数 衰减的，所对应的那部分电流将很快消失掉（即瞬态电流）。
Umax R Um C
1
2 (L22 )2
R
CL3
输出电压的最大值比输入电压最大值要小得多， 表明高频电压基本上不能通过这一电路。
因此，如果输入信号中有多种频率时，仅仅低频信号可以通过，而 高频信号被电路耗散掉。 这说明该电路具有滤波作用，故称为滤波电路。
微分方程在电路中的应用举例
例题：假设电源电压为 U Um sin t
i1
i2
试求负载 R 上的电压降，并讨论它与 U
电源电压的关系。
微分方程应用举例
ln M t ln c , 即M ce t ,
代入M
t 0
M 0 , 得 M 0 ce C
0
M M 0e
t
衰变规律
案例3【 物体冷却问题】 将某高温物体置于空气中冷却，假定空气 温度恒为 24o C ，在时刻 t 0时，测得其温度 为 150o C ， 10分钟后测得温度为 100o C ．已知 牛顿冷却定律：物体冷却速率与物体和介质的 温差成正比．求物体的温度与时间的函数关系， 并计算 分钟后该物体的温度． 20
解 设 T T (t ),
则T (t ) 0. 由牛顿冷却定律，有
dT k ( t 24), k 0 dt T (0) 150.
用通解公式法解得 24 126e T
将T (10) 100代入，解得
k t
1 126 k ln 0.051 10 76
R sin t L cos t
代入上式，得
E0 R sin t L cos t Ce i 2 2 2 R L
R t L
又i (0) 0，代入上式，求得
E0 L C 2 ， 2 2 R L
所以
R t E0 R sin t L cos t L e L i (t ) 2 2 2 R L
所以 T 24 126e
0.051t
将t 20代入，解得
T ( 20) 24 126e
0.05120
64(C )
案例4【电路电流问题】 设有一电路如图所示，R 是电阻，L是电感，它们 都是常数，电源的电动 势为 E E0 sin t
R
L E
利用微分方程思想解决物理问题的应用举例
利用微分方程思想解决物理问题的应用举例微分方程是数学中的一个重要分支，不仅在数学中有着广泛的应用，还可以被用于解决物理中的问题。
物理学家们在对物理现象进行建模和分析时经常会遇到微分方程，例如引力、波动、热力学等方面的问题。
利用微分方程的思想，可以对这些问题进行深入研究和分析。
本文将以几个例子来说明微分方程如何被用于解决物理问题。
首先我们将考虑一个经典的物理问题 - 自由落体。
当一个物体在没有任何阻力的情况下自由落下时，它的运动可以由微分方程描述。
假设在运动的过程中，物体在高度为h的位置上以初速度v0开始自由落体。
我们可以通过分析重力的作用和牛顿第二定律来获得微分方程。
该微分方程可以写成如下形式：$$\frac{d^2s}{dt^2}=-g$$其中s是物体的下落距离，t是时间，g是重力加速度。
这个微分方程可以被解析求解，例如，可以通过积分获得物体在任意时间点的速度和位置。
通过这种方式，我们可以对自由落体的运动进行深入分析，并获得许多关于它的性质的重要信息。
下一个例子是关于弯曲的钢铁梁的问题。
当一条长的钢梁弯曲时，它的形状会发生变化，且弯曲的部位会承受压力。
因此，理解弯曲过程的数学模型对于诊断问题和设计解决方案非常重要。
我们可以通过微分方程的方法来解决这个问题。
假设一条长，圆柱形的钢梁沿其长度方向均匀受力，在其任意截面处的弯曲量可以用y(x)表示，其中x是其长度的距离。
通过平衡方程和几何关系，可以得到如下微分方程：$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{M}{EI}$$其中M是弯矩，E是钢的弹性模量，I是截面结构的惯性矩。
这个微分方程可以用于预测钢梁弯曲的形状，并确定承受弯曲的部位。
最后一个例子是关于热传导方程的问题。
当一个材料被加热或冷却时，它的温度分布会发生变化。
我们可以通过微分方程的方法来预测材料温度随时间和空间的变化。
假设我们要研究一个均匀的材料，其平均温度可以用u(y,t)表示，其中y是其在空间中的位置，t是时间。
微分方程数学模型应用举例
微分方程数学模型应用举例
1. 生物学模型：微分方程可以用于描述生物系统中的各种动态过程。
例如，Lotka-Volterra模型是一种描述捕食者和被捕食者之间相互作用的微分方程模型，可以用于研究食物链中物种的数量和相互关系。
2. 经济学模型：微分方程可以用于描述经济系统中的各种变化和趋势。
例如，Solow增长模型是一种描述经济增长和资本积累的微分方程模型，可以用于分析国家经济发展的长期趋势。
3. 物理学模型：微分方程可以用于描述物理系统中的各种动态过程。
例如，带有阻尼和驱动力的简谐振动可以用二阶线性常微分方程来描述，可以用于研究机械系统中的振动现象。
4. 化学反应动力学模型：微分方程可以用于描述化学反应中物质浓度随时间变化的关系。
例如，化学反应速率方程可以用一阶或二阶线性微分方程来描述，可以用于研究化学反应速率的变化规律。
5. 环境科学模型：微分方程可以用于描述环境系统中的各种变化和相互作用。
例如，Black-Scholes模型是一种描述金融市场中期权价格变化的微分方程模型，可以用于分析金融市场的波动和风险。
6. 工程科学模型：微分方程可以用于描述工程系统中的各种动态过程。
例如，控制系统中的传递函数可以用微分方程表示，可以用于研究系统的稳定性和响应特性。
这些只是微分方程在数学模型中的一些应用举例，实际上微分方程在各个学科领域中都有广泛的应用。
微分方程在物理学和工程学中的应用案例
微分方程在物理学和工程学中的应用案例微分方程是数学中的一个重要分支，它在物理学和工程学中有着广泛的应用。
本文将介绍一些微分方程在物理学和工程学中的应用案例，展示微分方程的重要性和实际价值。
1. 流体力学中的Navier-Stokes方程流体力学是研究流体运动规律的学科，而Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程。
该方程是一个偏微分方程，包含了流体的质量守恒、动量守恒和能量守恒等方面的信息。
通过求解Navier-Stokes方程，可以研究流体的流动特性，如流速、压力分布等。
这对于设计飞机、汽车和水利工程等领域非常重要。
2. 电路中的RC电路方程在电路中，RC电路是一种常见的电路结构，它由电阻（R）和电容（C）组成。
RC电路方程是描述电路中电压和电流关系的微分方程。
通过求解RC电路方程，可以分析电路中电压和电流的变化规律，预测电路的响应和性能。
这对于电子设备的设计和故障诊断具有重要意义。
3. 热传导方程在热学中的应用热传导是研究热量传递和温度分布的学科，热传导方程是描述热传导过程的微分方程。
通过求解热传导方程，可以分析材料的热传导性能，预测温度分布和热量传递速率。
这对于热工设备的设计和优化具有重要意义，如锅炉、换热器等。
4. 力学中的运动方程力学是研究物体运动规律的学科，运动方程是描述物体运动的微分方程。
牛顿第二定律是力学中的基本方程，它描述了物体的质量、加速度和受力之间的关系。
通过求解运动方程，可以研究物体的运动轨迹、速度和加速度等特性。
这对于机械设计、航天工程等领域非常重要。
5. 电磁学中的麦克斯韦方程组电磁学是研究电磁现象和电磁场的学科，麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程。
麦克斯韦方程组包含了电场和磁场的分布、变化和相互作用等信息。
通过求解麦克斯韦方程组，可以研究电磁波的传播、辐射和干涉等现象。
这对于通信技术、电磁波设备等领域具有重要意义。
综上所述，微分方程在物理学和工程学中有着广泛的应用。
利用微分解决实际问题
利用微分解决实际问题微分作为数学的一个分支，广泛应用于解决实际问题。
通过微分的方法，我们可以揭示事物的变化趋势，从而能够更好地理解和探索自然界的规律。
本文将通过具体的案例来说明如何利用微分解决实际问题。
案例一：物体的运动问题假设有一辆汽车以匀速v的速度行驶在直线上，我们想要知道汽车的位移随时间的变化关系。
在这种情况下，可以通过微分的方法求解。
设汽车行驶的时间为t，位移为s，则有如下关系：s = vt通过对位移s关于时间t求导即可得到汽车的速度v。
案例二：人口增长问题假设某城市的人口增长率与当前的人口数量成正比。
我们想要知道在未来某个时间点的人口数量。
设人口数量为P，时间为t，则有如下微分方程：dP/dt = kP其中k为比例常数。
通过对该微分方程进行求解，可以得到人口数量随时间的变化规律。
案例三：求解极值问题某企业的年销售额与广告投入成正比。
我们想要确定什么样的广告投入能够使得销售额达到最大值。
设广告投入为x，销售额为y，则有如下关系：y = kx其中k为比例常数。
为了求解销售额的最大值，可以通过微分的方法来实现。
对销售额关于广告投入求导，并将导数等于0的解代入原方程，即可得到销售额的最大值对应的广告投入。
总结：微分作为数学的一个重要工具，在解决实际问题中发挥着重要作用。
通过微分的方法，我们可以揭示事物的变化趋势，探索事物的内在规律。
通过以上几个具体案例的介绍，可以看出微分在求解物体的运动问题、人口增长问题以及求解极值问题中的应用。
相信在实际问题中，微分仍然有着广泛的应用前景，帮助我们更好地理解和解决问题。
2.6微分方程应用举例
.
2
时，正交轨线满足的微分方程是 :
1 y . y' x
求解上的微分方程得通积分 — —正交轨线 x2 y 2 C.
5
x2 y2 例2：试求曲线族 2 2 =1的正交轨线 a a C (其中a为已知常数，C为参数）。
例3：（人口模型）某国的人口增长与全国人口成
正比，如果连年后人口增加一倍，三年之后人口 总数为20，000，试估计该国最初人口数量。
400
300
200
100
0
MATLAB命令求解:
Y0=[100,20]; [t,Y]=ode23('fox',[0,20],Y0); x=Y(:,1);y=Y(:,2); figure(1),plot(t,x,'b',t,y,'r') figure(2),plot(x,y)
0
5
10
15
20
----y1
从而可求出等角轨线l：y1 = y1(x)满足的微分方程 y1/ k F ( x, y1 , ) 0. ( ) / 1 y1 k 2
时，正交轨线满足的微分方程是 1 F ( x, y1 , / ) 0. y1
而
2
为简单起见，常用y来取代y1。
4
例１ 求直线束y Cx的等角轨线和正交轨线.
14
dw 令w(t)为t时刻的含水量（单位：千克），则 dt 是t时刻的蒸发速度。 题设 空气饱和湿度 = 0.12千克/米 3， 开始时室内湿度 = 0.12×25% = 0.03千克/米 3， 故t时刻的差值为 3-w(t) 1 0.12 （0.03+ ）= ( w 6). 100 100
微分方程的应用解决实际问题
微分方程的应用解决实际问题微分方程（differential equation）是研究自变量与其导数之间关系的方程，它在物理、工程、经济等各个领域具有广泛的应用。
通过对微分方程的求解，我们可以获得关于变量的函数，并使用这些函数解决实际问题。
本文将探讨微分方程在实际问题中的应用，并介绍其中一些经典的例子。
一、人口增长模型人口增长模型是微分方程在生物学和人口统计学中的重要应用之一。
假设一个封闭的人口系统，不考虑人口迁移和死亡，仅考虑人口的出生与人口的自然增长，可以建立如下微分方程：dp/dt = rp其中，p表示人口数量，t表示时间，r表示人口的增长速率。
这个简单的微分方程描述了人口的变化率和人口数量之间的关系。
通过解这个微分方程，我们可以预测未来的人口数量，进行人口规划。
二、弹簧振动模型弹簧振动是物理学中经典的问题，通过微分方程可以精确描述。
考虑一个带质量的弹簧系统，弹簧的位移与时间的关系可以由如下的二阶微分方程表示：m(d^2x/dt^2) + kx = 0其中，m表示质量，k表示弹簧的劲度系数，x表示位移。
这个微分方程描述了弹簧振动的力学原理。
通过求解这个微分方程，我们可以得到弹簧的振动频率和振幅等信息，以及在真实的弹簧系统中进行振动控制和设计。
三、放射性衰变问题放射性衰变是核物理学中的重要研究内容，也可以通过微分方程来描述。
放射性核素的数量随时间的变化满足以下微分方程：dp/dt = -λp其中，p表示放射性核素的数量，t表示时间，λ表示衰变常数。
这个微分方程描述了放射性核素的衰变速率与剩余核素数量之间的关系。
通过求解这个微分方程，我们可以计算出放射性核素的衰变速率、半衰期等相关信息，为核能研究和核工业提供重要的理论支持。
四、热传导问题热传导是热力学和材料科学中的重要问题，在微分方程的框架下可以得到精确的解析解。
考虑一个一维热传导问题，热传导方程可以表示为：d^2u/dx^2 = α(du/dt)其中，u表示温度场，x表示空间坐标，t表示时间，α表示热传导系数。
微分方程的应用举例
1 kt C ， az
C1， a
z a2kt ． akt 1
微分方程的应用举例
例 4 某湖泊的水量为V ，每年排入湖泊内的含污染物 A 的污水量为 V ，流出湖泊的 6
污水量为 V 3
．已知
2017
年底湖中
A 的含量为 5m0
，超出了国家规定指标．为了治理污染，
从 2018 年初起，限定排入湖中含 A 的污水浓度不超过 m0 ，问至多需多少年，湖中污染 V
高等数学
微分方程的应用举例
例 1 设曲线经过点 (1，1) ，且其上任一点 P 的切线在 y 轴的截距是切点纵坐标的 3 倍，求此曲线方程．
解 设所求曲线方程为 y y(x) ，P(x ，y) 为其上任一点，则过点 P 的切线方程为
Y y y(X x) ，
其中 (X ，Y) 是切线上的动点， (x ，y) 是曲线上任意固定的点．
物 A 的含量降至 m0 以内？（注：设湖中 A 的浓度是均匀的．）
流出湖中 A 的量为 因此，在[t ，t dt] 内污染物 A 的改变量为 用分离变量法解此微分方程得
m V dt m dt ， V3 3
dm
m0 6
m 3
dt
，
m
m0
Ce
t 3
，
2
微分方程的应用举例
例 4 某湖泊的水量为V ，每年排入湖泊内的含污染物 A 的污水量为 V ，流出湖泊的 6
令 X 0 ，则切线在 y 轴上的截距为
Y y yx ，
且由题设知
y yx 3y ，
yx 2y ，
即
x dy 2y ．
dx
微分方程的应用举例
例 1 设曲线经过点 (1，1) ，且其上任一点 P 的切线在 y 轴的截距是切点纵坐标的 3 倍，求此曲线方程．
微分方程应用举例
即 dx 2x 6 ， dt 100t
通解为
x
e
2 100t
dt
[
6
e
2 100t
dt
dt
C
]
1 (100
t
)2
[2(100
t
)3
C
]
2(100
t
)
C (100
t
)2
.
把初始条件 x t0 50 代入通解，
得
50
2100
C 1002
，C 1002150
，
从而
x
2(100 t
)
1500000 (100 t )2
1 z2 z C1 ， 1 x
代入初始条件 y(0)0 ，得C11 ，
从而 1 z2 z 1 ，即 1 x
1 y2 y 1 ，
①
1 x
亦即 1 y2 y 1 x ，
②
①- ②得 y 1 1 1 x ，
2 1 x 2
3
再积分得 y
1
x
1(1 3
x)2
C2
，
代入初始条件
y(0)0
，得C2
2 3
，
x t30 26015103000200171( g) 。
即 30 min后 容器内含盐 171g。
3．我缉私艇雷达发现，正东 1 海里处一艘走私船正以常 速 v向北方向逃窜，缉私艇立即以 2v 的速度追赶，借助 于雷达，缉私艇航行的方向始终对准走私船。试求缉私艇 的航行曲线方程，并问走私船航行多远时被我缉私艇追上。
解：如图建立坐标系。设缉私艇的航行曲线方程为y f ( x) ，
在时刻 t 缉私艇位于 P( x, y), y
微分方程应用举例
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有的时候用拉氏变换求解常系数线性微分方程比较方便
下面通过举例说明用拉氏变换求解常系数线性微分方程的方法步骤．
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例1（冷却问题）物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温度 （冷却问题） 之差成正比，已知空气温度为20℃ 如果物体在20分钟内由 分钟内由100℃ 之差成正比，已知空气温度为 ℃，如果物体在 分钟内由 ℃ 降至60℃ 问要使物体温度降至30℃ 需用多长时间？ 降至 ℃，问要使物体温度降至 ℃，需用多长时间？
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其中含盐50（ ），现将浓 例2（流体混合问题）一容器盛盐水 （流体混合问题）一容器盛盐水100（升），其中含盐 （克），现将浓 （ ），其中含盐 度为2（ 升 的盐水以3（ 分钟 的速度注入容器内， 分钟） 度为 （克/升）的盐水以 （升/分钟）的速度注入容器内，假设流入的盐水与 原有的盐水因搅拌而迅速成为均匀的混合物，同时此混合物有以2（ 分钟 分钟） 原有的盐水因搅拌而迅速成为均匀的混合物，同时此混合物有以 （升/分钟） 的速度流出，试求60分钟后容器中盐的含量 分钟后容器中盐的含量. 的速度流出，试求 分钟后容器中盐的含量
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微分方程应用举例
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微分方程在科学技术和实际生活中都有着广泛 的应用，用微分方程解决实际问题的一般步骤 为： 1.分析问题，设出未知函数，建立微分方程， 并确定初始条件； 2.求出微分方程的通解； 3.利用初始条件，求出微分方程的特解.再根据 特解解决一些相关的问题.
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下面通过一些具体例子介绍微分方程的实际应用问题的解法.
数学建模微分方程的应用举例
数学建模——微分方程的应用举例分布图示★衰变问题 ★逻辑斯谛方程 ★价格调整问题 ★人才分配问题模型 ★追迹问题内容要点一、衰变问题例1 镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量, 这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知, 衰变速度与现存物质的质量成正比, 求放射性元素在时刻t 的质量.解 用x 表示该放射性物质在时刻t 的质量, 则dtdx表示x 在时刻t 的衰变速度, 于是“衰变速度与现存的质量成正比”可表示为.kx dtdx-= (8.1) 这是一个以x 为未知函数的一阶方程, 它就是放射性元素衰变的数学模型, 其中0>k 是比例常数, 称为衰变常数, 因元素的不同而异. 方程右端的负号表示当时间t 增加时, 质量x 减少.解方程(8.1)得通解.ktCex -=若已知当0t t =时, ,0x x =代入通解kt Ce x -=中可得,00kt e x C -= 则可得到方程(8.1)特解,)(00t t k e x x --=它反映了某种放射性元素衰变的规律.注: 物理学中, 我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期, 不同物质的半衰期差别极大. 如铀的普通同位素(U 238)的半衰期约为50亿年;通常的镭(Ra 226)的半衰期是上述放射性物质的特征, 然而半衰期却不依赖于该物质的初始量, 一克Ra 226衰变成半克所需要的时间与一吨Ra 226衰变成半吨所需要的时间同样都是1600年, 正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳-14测验的基础.二、 逻辑斯谛方程:逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型, 下面我们借助树的增长来建立该模型.一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型.如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度,又与最大高度与目前高度之差成正比.设树生长的最大高度为H (m), 在t (年)时的高度为h (t ), 则有)]()[()(t h H t kh dtt dh -= (8.2) 其中0>k 是比例常数. 这个方程为Logistic 方程. 它是可分离变量的一阶常数微分方程.下面来求解方程(8.2). 分离变量得,)(kdt h H h dh=-两边积分,)(⎰⎰=-kdt h H h dh得 ,)]ln([ln 11C kt h H h H+=-- 或,21kHt H C kHt e C e hH h ==-+故所求通解为,11)(22kHtkHt kHt CeH e C He C t h -+=+= 其中的⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>==-0112H C e C C C 是正常数. 函数)(t h 的图象称为Logistic 曲线. 图8-8-1所示的是一条典型的Logistic 曲线, 由于它的形状, 一般也称为S 曲线. 可以看到, 它基本符合我们描述的树的生长情形. 另外还可以算得.)(lim H t h t =+∞→这说明树的生长有一个限制, 因此也称为限制性增长模式.注: Logistic 的中文音译名是“逻辑斯谛”. “逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”, 因此许多现象本质上都符合这种S 规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染、在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.下面举两个例子说明逻辑斯谛的应用.人口阻滞增长模型 1837年, 荷兰生物学家V erhulst 提出一个人口模型00)(),(y t y by k y dtdy=-= (8.3)其中b k ,的称为生命系数.我们不详细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果.有生态学家估计k 的自然值是0.029. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数33.4亿这两个数据, 计算得,2=b 从而估计得:(1)世界人口总数将趋于极限107.6亿. (2)到2000年时世界人口总数为59.6亿.后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿. 新产品的推广模型 设有某种新产品要推向市场, t 时刻的销量为),(t x 由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 因此, t 时刻产品销售的增长率,dtdx与)(t x 成正比, 同时, 考虑到产品销售存在一定的市场容量N , 统计表明dtdx与尚未购买该产品的潜在顾客的数量)(t x N -也成正比, 于是有)(x N kx dtdx-= (8.4)其中k 为比例系数. 分离变量积分, 可以解得kNtCeNt x -+=1)( (8.5)由,)1()1(,)1(2322222kNt kNt kNt kNt kNt Ce Ce e N Ck dt x d Ce ke CN dt dx -----+-=+= 当N t x <)(*时, 则有,0>dt dx 即销量)(t x 单调增加. 当2)(*N t x =时, ;022=dt x d 当2)(*N t x >时, ;022<dt x d 当2)(*Nt x <时, 即当销量达到最大需求量N 的一半时, 产品最为畅销, 当销量不足N 一半时, 销售速度不断增大, 当销量超过一半时, 销售速度逐渐减少.国内外许多经济学家调查表明. 许多产品的销售曲线与公式(8.5)的曲线(逻辑斯谛曲线)十分接近. 根据对曲线性状的分析, 许多分析家认为, 在新产品推出的初期, 应采用小批量生产并加强广告宣传, 而在产品用户达到20%到80%期间, 产品应大批量生产; 在产品用户超过80%时, 应适时转产, 可以达到最大的经济效益.三、价格调整模型在本章第一节例3已经假设, 某种商品的价格变化主要服从市场供求关系. 一般情况下,商品供给量S 是价格P 的单调递增函数, 商品需求量Q 是价格P 的单调递减函数, 为简单起见, 分别设该商品的供给函数与需求函数分别为P P Q bP a P S βα-=+=)(,)( (8.6)其中βα,,,b a 均为常数, 且.0,0>>βb当供给量与需求量相等时, 由(8.6)可得供求平衡时的价格baP e +-=βα 并称e P 为均衡价格.一般地说, 当某种商品供不应求, 即Q S <时, 该商品价格要涨, 当供大于求, 即Q S >时, 该商品价格要落. 因此, 假设t 时刻的价格)(t P 的变化率与超额需求量S Q -成正比, 于是有方程)]()([P S P Q k dtdP-= 其中,0>k 用来反映价格的调整速度.将(8.6)代入方程, 可得)(P P dtdPe -=λ (8.7) 其中常数,0)(>+=k b βλ方程(8.7)的通解为t e Ce P t P λ-+=)(假设初始价格,)0(0P P =代入上式, 得,0e P P C -=于是上述价格调整模型的解为t e e e P P P t P λ--+=)()(0由于0>λ知, +∞→t 时, .)(e P t P →说明随着时间不断推延, 实际价格)(t P 将逐渐趋近均衡价格e P .四、人才分配问题模型每年大学毕业生中都要有一定比例的人员留在学校充实教师队伍, 其余人员将分配到国民经济其他部门从事经济和管理工作. 设t 年教师人数为),(1t x 科学技术和管理人员数目为),(2t x 又设1外教员每年平均培养α个毕业生, 每年人教育、科技和经济管理岗位退休、死亡或调出人员的比率为βδδ),10(<<表示每年大学生毕业生中从事教师职业所占比率),10(<<δ于是有方程111x x dt dx δαβ-= (8.8) 212)1(x x dtdx δβα--= (8.9) 方程(8.8)有通解t e C x )(11δαβ-=(8.10)若设,)0(101x x =则,101x C =于是得特解te x x )(101δαβ-= (8.11)将(8.11)代入(8.9)方程变为tex x dtdx )(1022)1(δαββαδ--=+ (8.12) 求解方程(8.12)得通解t te x eC x )(122)1(δαβδββ---+= (8.13)若设,)0(202x x =则,110202x x C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=ββ于是得特解 tt ex e x x x )(101020211δαβδββββ--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= (8.14) (8.11)式和(8.14)式分别表示在初始人数分别为)0(),0(21x x 情况, 对应于β的取值, 在t 年教师队伍的人数和科技经济管理人员人数. 从结果看出, 如果取,1=β即毕业生全部留在教育界, 则当∞→t 时, 由于,δα>必有+∞→)(1t x 而,0)(2→t x 说明教师队伍将迅速增加. 而科技和经济管理队伍不断萎缩, 势必要影响经济发展, 反过来也会影响教育的发展. 如果将β接近于零. 则,0)(1→t x 同时也导致,0)(2→t x 说明如果不保证适当比例的毕业生充实教师选择好比率β, 将关系到两支队伍的建设, 以及整个国民经济建设的大局.五、追迹问题设开始时甲、乙水平距离为1单位, 乙从A 点沿垂直于OA 的直线以等速0v 向正北行走; 甲从乙的左侧O 点出发, 始终对准乙以)1(0>n mv 的速度追赶. 求追迹曲线方程, 并问乙行多远时, 被甲追到.解 设所求追迹曲线方程为).(x y y =经过时刻t , 甲在追迹曲线上的点为),,(y x P 乙在点).,1(0t v B 于是有,1tan 0xyt v y --='=θ (8.15) 由题设, 曲线的弧长OP 为,1002t nv dx y x='+⎰解出t v 0代入(8.15), 得.11)1(02⎰'+=+'-x dx y ny y x 两边对x 求导, 整理得.11)1(2y ny x '+=''- 这就是追迹问题的数学模型.这是一个不显含y 的可降阶的方程, 设p y x p y ''=''='),(, 代入方程得211)1(p np x +='- 或 ,)1(12x n dxp dp -=+两边积分, 得|,|ln |1|ln 1)1ln(12C x np p +--=++即 .1112nxC p p -=++ 将初始条件00||==='x x p y 代入上式, 得.11=C 于是,1112nxy y -='++' (8.16) 两边同乘,12y y '+-'并化简得,112n x y y --='+-' (8.17)(8.16)与(8.17)式相加, 得,11121⎪⎭⎫ ⎝⎛---='n n x x y两边积分, 得.)1(1)1(121211C x n n x n ny nn nn +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++---=+-代入初始条件0|0==x y 得,122-=n nC 故所求追迹曲线方程为 ),1(11)1(1)1(2211>-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+-=-+n n n n x n x n y n n n n甲追到乙时, 即曲线上点P 的横坐标,1=x 此时.12-=n n y 即乙行走至离A 点12-n n个单位距离时被甲追到.。
微分方程及其应用举例分析
微分方程及其应用举例分析微分方程是数学中一种重要的工具，它描述了物理、工程、生物等领域中各种自然现象的变化规律。
无论是极简单的指数函数、正弦函数，还是较为复杂的天文学和经济学中的模型，微分方程都能够对其进行求解和描述。
本文将围绕微分方程及其应用展开探讨。
一、微分方程的定义和分类微分方程是指包含未知函数及其导数等于已知函数的方程，其中未知函数是一种确定其变化规律的函数。
微分方程分为常微分方程和偏微分方程两种。
常微分方程是由自变量和未知函数的一阶或高阶导数组成的方程，常常用于描述自变量是时间的一些物理或经济现象，可以解出函数在每个时间点的取值。
例如，余弦函数的求解：$$y''+y=0$$该方程的通解为$y=A\cos(x)+B\sin(x)$。
偏微分方程描述的是多个自变量的函数中各自对其它自变量的偏导数和未知函数之间的关系。
偏微分方程对于描述空间中的物理现象，如导热、扩散、波动等，具有重要的作用。
二、微分方程的应用及其举例微分方程广泛应用于各行各业，从天文学到生物学到经济学，无所不包。
下面将以几个例子来说明微分方程在实际应用中的作用。
1. 生物学中的SIR模型SIR模型是一种流行病学模型，常用于描述疾病的传染情况。
该模型中假设人群分为易感染者（Susceptible）、感染者（Infected）和康复者（Recovered）三类，对每一类人群的数量变化建立微分方程模型。
令$S$表示易感染者的数量、$I$表示感染者的数量、$R$表示康复者的数量，则该模型的微分方程为：$$\frac {dS}{dt} = −βSI$$$$\frac {dI}{dt} = βSI − γI$$$$\frac {dR}{dt} = γI$$其中，参数$β$和$γ$分别表示感染率和恢复率。
2. 物理学中的振动问题振动在无数学科和技术领域中都有着广泛的应用。
物理学中的振动有着很多形式，比如弹簧振子、摆锤等。
假设有一个弹簧振子，弹性系数为$k$，质量为$m$，初始位置为$x_0$，初速度为$v_0$。
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dS SI dt
其中 S I N , I (0) 1 代入上式，得
dS S ( N S ) dt
分离变量后积分，得
dS S ( N S ) dt
1 S 即 ln t C N N S
再由初始条件 I (0) 1，可得
1 C ln( N 1) N
例如，牛顿冷却定律、化学中的一 级反应、早期肿瘤的生长、药物的分解 等自然现象，都按指数规律变化。
指数生 长模型
例2.（细菌增殖模型） 理想环境：
（1）除系统本身的繁殖外，没有由系统外向 系统内的迁入和由系统内向外迁出等情况； （2）系统本身的繁殖不受空间和营养供应的 限制； （3）温度、湿度等各项环境因素均对系统适 宜。
dx k0 kx dt
dx k0 kx dt
此方程是一个可分离变量的一阶微分方程，
易求得其在初始条件t=0时x=0下的特解为
k0 kt x (1 e ) k
k0 静脉滴注的速率越大，最后体 lim x(t ) t k 内药量的稳定水平越高。
例4.（流行病数学模型）
dM kM dt
(常数k 0)
分离变量、两边积分，得
ln M kt ln C 或
M Ce
kt
将初始条件 t 0时M M 0 代入，得 C M 0 因此镭的质量M关于时间t 的变化规律为：
M (t ) M 0e .
kt
当变量关于时间的变化率与变量的量成 正比时，这个变量总是按指数规律变化。
因此，有
1 S 1 ln t ln( N 1) N N S N
整理后得：
N ( N 1) S Nt ( N 1) e
当t 时，S 0, 从而有I N.
结论：对于无移除的流行病，最终将导 致团体内全部成员被感染。
x x0 . 假设初次取样即t=0时，
代入上式，有
x0 C r kx0
于是有
x0 x rt e r kx r kx0
自然生长方程
或
r x r kx0 rt k e x0
r 当t 时，x . k r 即 是该蓄水池中大肠杆菌密度的极限值。 k
例3.（药物动力学一室模型）
药物动力学是一门研究药物、毒物
及其代谢物在机体内的吸收、分布、代
谢和排泄过程定量规律的科学。
假定药物以恒定的速率 k 0 进行静脉滴 注，试求体内药量随时间的变化规律。
假定药物在体内 解：
k0 按一级速率过程 消除，消除速率
v, x
k
常数为k . 设静脉滴注t时刻体内药量为x(t),则有
微分方程的应用
数学模型
根据研究对象的内在规律运用适当
的数学工具建立起来的一种数学结构。
微分方程是建立数学模型时应用
得最为广泛的工具之一。
一、微分方程建模的基本步骤：
1、根据已知规律建立微分方程； 2、根据已知条件找出初始条件； 3、解微分方程(求通解、特解)； 4、用所得结果解释实际问题。
二、生物医药模型举例
检验人员对某蓄水池定期抽取单位容积水样
观察，测得该水池中大肠杆菌的相对增殖率为
单位时间内单位数 量的生物的增长。
1 dx r kx x dt
(k、r为正常数)
试分析该水池中大肠杆菌的繁殖规律。
解： 将关于相对增殖率的关系式进行变量
分离，得
dx dt x(r kx)
x rt 两边积分，得： Ce r kx
无移除的流行病模型：
（1）感染通过一个团体成员之间的接触而传播，
感染者不因死亡、痊愈或隔离而被移除；
（2）团体是封闭的，总人数为N，最初假设只 有一个感染者； （3）团体种各成员之间接触机会均等，因此易 感者转化为感染者的变化率与当时的易感人数 和感染人数的乘积成正比。
解：记时刻t的未感染人数为S，已感染人 数为I，根据以上假设即可建立下面 的微分方程：
例.（放射性元素的衰变）
放射性元素因不断放射出各种射线 而逐渐减少其质量的现象，称为衰变。
由原子物理学知道，放射性元素镭的衰变
速度与存量成正比，比例系数为k（k>0）。如 果当时间t=0时，镭的质量为M 0 ，求镭的质量
M关于时间t的变化规律M (t ) 。
解：设镭在时刻t的留存量为M(t)，则镭从时 刻0到时刻t的消耗量为 M 0 M (t ) 。 根据导数的定义，镭的衰变速度就是镭 的消耗量关于时间的导数，即 d dM [ M 0 M (t )] dt dt 将“镭的衰变速度与存量成正比”表达成 数学语言，即写成微分方程，得