微分方程的应用举例
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无移除的流行病模型：
（1）感染通过一个团体成员之间的接触而传播，
感染者不因死亡、痊愈或隔离而被移除；
（2）团体是封闭的，总人数为N，最初假设只 有一个感染者； （3）团体种各成员之间接触机会均等，因此易 感者转化为感染者的变化率与当时的易感人数 和感染人数的乘积成正比。
解：记时刻t的未感染人数为S，已感染人 数为I，根据以上假设即可建立下面 的微分方程：
因此，有
1 S 1 ln t ln( N 1) N N S N
整理后得：
N ( N 1) S Nt ( N 1) e
当t 时，S 0, 从而有I N.
结论：对于无移除的流行病，最终将导 致团体内全部成员被感染。
微分方程的应用
Leabharlann Baidu
数学模型
根据研究对象的内在规律运用适当
的数学工具建立起来的一种数学结构。
微分方程是建立数学模型时应用
得最为广泛的工具之一。
一、微分方程建模的基本步骤：
1、根据已知规律建立微分方程； 2、根据已知条件找出初始条件； 3、解微分方程(求通解、特解)； 4、用所得结果解释实际问题。
二、生物医药模型举例
例1.（放射性元素的衰变）
放射性元素因不断放射出各种射线 而逐渐减少其质量的现象，称为衰变。
由原子物理学知道，放射性元素镭的衰变
速度与存量成正比，比例系数为k（k>0）。如 果当时间t=0时，镭的质量为M 0 ，求镭的质量
M关于时间t的变化规律M (t ) 。
解：设镭在时刻t的留存量为M(t)，则镭从时 刻0到时刻t的消耗量为 M 0 M (t ) 。 根据导数的定义，镭的衰变速度就是镭 的消耗量关于时间的导数，即 d dM [ M 0 M (t )] dt dt 将“镭的衰变速度与存量成正比”表达成 数学语言，即写成微分方程，得
dx k0 kx dt
dx k0 kx dt
此方程是一个可分离变量的一阶微分方程，
易求得其在初始条件t=0时x=0下的特解为
k0 kt x (1 e ) k
k0 静脉滴注的速率越大，最后体 lim x(t ) t k 内药量的稳定水平越高。
例4.（流行病数学模型）
例如，牛顿冷却定律、化学中的一 级反应、早期肿瘤的生长、药物的分解 等自然现象，都按指数规律变化。
指数生 长模型
例2.（细菌增殖模型） 理想环境：
（1）除系统本身的繁殖外，没有由系统外向 系统内的迁入和由系统内向外迁出等情况； （2）系统本身的繁殖不受空间和营养供应的 限制； （3）温度、湿度等各项环境因素均对系统适 宜。
检验人员对某蓄水池定期抽取单位容积水样
观察，测得该水池中大肠杆菌的相对增殖率为
单位时间内单位数 量的生物的增长。
1 dx r kx x dt
(k、r为正常数)
试分析该水池中大肠杆菌的繁殖规律。
解： 将关于相对增殖率的关系式进行变量
分离，得
dx dt x(r kx)
x rt 两边积分，得： Ce r kx
dS SI dt
其中 S I N , I (0) 1 代入上式，得
dS S ( N S ) dt
分离变量后积分，得
dS S ( N S ) dt
1 S 即 ln t C N N S
再由初始条件 I (0) 1，可得
1 C ln( N 1) N
x x0 . 假设初次取样即t=0时，
代入上式，有
x0 C r kx0
于是有
x0 x rt e r kx r kx0
自然生长方程
或
r x r kx0 rt k e x0
r 当t 时，x . k r 即 是该蓄水池中大肠杆菌密度的极限值。 k
例3.（药物动力学一室模型）
药物动力学是一门研究药物、毒物
及其代谢物在机体内的吸收、分布、代
谢和排泄过程定量规律的科学。
假定药物以恒定的速率 k 0 进行静脉滴 注，试求体内药量随时间的变化规律。
假定药物在体内 解：
k0 按一级速率过程 消除，消除速率
v, x
k
常数为k . 设静脉滴注t时刻体内药量为x(t),则有
dM kM dt
(常数k 0)
分离变量、两边积分，得
ln M kt ln C 或
M Ce
kt
将初始条件 t 0时M M 0 代入，得 C M 0 因此镭的质量M关于时间t 的变化规律为：
M (t ) M 0e .
kt
当变量关于时间的变化率与变量的量成 正比时，这个变量总是按指数规律变化。
（1）感染通过一个团体成员之间的接触而传播，
感染者不因死亡、痊愈或隔离而被移除；
（2）团体是封闭的，总人数为N，最初假设只 有一个感染者； （3）团体种各成员之间接触机会均等，因此易 感者转化为感染者的变化率与当时的易感人数 和感染人数的乘积成正比。
解：记时刻t的未感染人数为S，已感染人 数为I，根据以上假设即可建立下面 的微分方程：
因此，有
1 S 1 ln t ln( N 1) N N S N
整理后得：
N ( N 1) S Nt ( N 1) e
当t 时，S 0, 从而有I N.
结论：对于无移除的流行病，最终将导 致团体内全部成员被感染。
微分方程的应用
Leabharlann Baidu
数学模型
根据研究对象的内在规律运用适当
的数学工具建立起来的一种数学结构。
微分方程是建立数学模型时应用
得最为广泛的工具之一。
一、微分方程建模的基本步骤：
1、根据已知规律建立微分方程； 2、根据已知条件找出初始条件； 3、解微分方程(求通解、特解)； 4、用所得结果解释实际问题。
二、生物医药模型举例
例1.（放射性元素的衰变）
放射性元素因不断放射出各种射线 而逐渐减少其质量的现象，称为衰变。
由原子物理学知道，放射性元素镭的衰变
速度与存量成正比，比例系数为k（k>0）。如 果当时间t=0时，镭的质量为M 0 ，求镭的质量
M关于时间t的变化规律M (t ) 。
解：设镭在时刻t的留存量为M(t)，则镭从时 刻0到时刻t的消耗量为 M 0 M (t ) 。 根据导数的定义，镭的衰变速度就是镭 的消耗量关于时间的导数，即 d dM [ M 0 M (t )] dt dt 将“镭的衰变速度与存量成正比”表达成 数学语言，即写成微分方程，得
dx k0 kx dt
dx k0 kx dt
此方程是一个可分离变量的一阶微分方程，
易求得其在初始条件t=0时x=0下的特解为
k0 kt x (1 e ) k
k0 静脉滴注的速率越大，最后体 lim x(t ) t k 内药量的稳定水平越高。
例4.（流行病数学模型）
例如，牛顿冷却定律、化学中的一 级反应、早期肿瘤的生长、药物的分解 等自然现象，都按指数规律变化。
指数生 长模型
例2.（细菌增殖模型） 理想环境：
（1）除系统本身的繁殖外，没有由系统外向 系统内的迁入和由系统内向外迁出等情况； （2）系统本身的繁殖不受空间和营养供应的 限制； （3）温度、湿度等各项环境因素均对系统适 宜。
检验人员对某蓄水池定期抽取单位容积水样
观察，测得该水池中大肠杆菌的相对增殖率为
单位时间内单位数 量的生物的增长。
1 dx r kx x dt
(k、r为正常数)
试分析该水池中大肠杆菌的繁殖规律。
解： 将关于相对增殖率的关系式进行变量
分离，得
dx dt x(r kx)
x rt 两边积分，得： Ce r kx
dS SI dt
其中 S I N , I (0) 1 代入上式，得
dS S ( N S ) dt
分离变量后积分，得
dS S ( N S ) dt
1 S 即 ln t C N N S
再由初始条件 I (0) 1，可得
1 C ln( N 1) N
x x0 . 假设初次取样即t=0时，
代入上式，有
x0 C r kx0
于是有
x0 x rt e r kx r kx0
自然生长方程
或
r x r kx0 rt k e x0
r 当t 时，x . k r 即 是该蓄水池中大肠杆菌密度的极限值。 k
例3.（药物动力学一室模型）
药物动力学是一门研究药物、毒物
及其代谢物在机体内的吸收、分布、代
谢和排泄过程定量规律的科学。
假定药物以恒定的速率 k 0 进行静脉滴 注，试求体内药量随时间的变化规律。
假定药物在体内 解：
k0 按一级速率过程 消除，消除速率
v, x
k
常数为k . 设静脉滴注t时刻体内药量为x(t),则有
dM kM dt
(常数k 0)
分离变量、两边积分，得
ln M kt ln C 或
M Ce
kt
将初始条件 t 0时M M 0 代入，得 C M 0 因此镭的质量M关于时间t 的变化规律为：
M (t ) M 0e .
kt
当变量关于时间的变化率与变量的量成 正比时，这个变量总是按指数规律变化。