例系统的开环传递函数为

令实部和虚部分别为零，有
5 k 10k 0 2 5 k 0 解得 k 5, 5 由图可知当 k 5 时直线OB与圆相切，系统的阻 1 尼比 2 ，特征根为 5 j5 。
对于分离点 2.93 ，由幅值条件可知
k1 2.93 5 2.93 10 2.93 0.858
k * s ( s 3) 1 等效为： 2 s 2s 3
等效开环零点为：0，-3
等效开环极点为： 1 j 2
例4-3（续1）
Root Locus
1
0.5
Imag Axis
0
-0.5
-1
-3
-2.5
-2
-1.5 Real Axis
-1
-0.5
0
例4-3（续2） 其分离回合点计算如下：
Gk ( s) k g [例4-1]系统的开环传递函数为：
As 1 s( s 2)(s 3)
当A和kg取不同值时，绘出的根轨迹是什么类型的根轨迹。
[解]分以下几种情况说明：
Kg为常数，A为变数时，为参量根轨迹； A为常数，kg为变数时，为常规根轨迹（包括180度和 0度根轨迹）； 当kg>0时，若A>0，则为180度根轨迹；若A<0，为0 度根轨迹。
画根轨迹 分离（会合）点 分别为-2.93和-17.1， 分离（会合）角为90 度。根轨迹为圆，如 右图所示。
45
当 时，阻尼角 45，表示 45 角的直线为 2 OB,其方程为 ，代入闭环特征方程整理后得：
2
5 k 10k j2 2 5 k 0
当kg<0时，若A>0，则为0度根轨迹；若A<0，为180 度根轨迹。
k s 10 [例4-2]已知单位反馈系统的开环传递函数为 Gs ss 5 （1）画出系统的根轨迹；（2）计算当增益k为何值时， 1 系统的阻尼比 是 2 ，并求此时系统的闭环特征根；（3 ）分析k对系统性能的影响。
Gk ( s) [例4-4]控制系统的开环传递数： (1 s)(s 2) 。 试绘制当kg从0到正无穷大时的根轨迹。 kg kg Gk (s) [解] (1 s)(s 2) (s 1)(s 2)
kg
当kg从0 变化时，相当于正反馈 根轨迹（ 0度根轨迹）
[例4-3]控制系统的结构图如下图所示。试绘制以a为参变 量时的根轨迹Байду номын сангаас [解] ①系统的闭环传递函数为：
1 ( s) s( s 2) as 1
R( s )
1 s( s 2)
Y ( s)
as 1 闭环系统的特征方程为： D(s) s(s 2) as 1 0 ②用不含参数a的项去除闭环特征方程的两边，有： as s 1 2 0, 即a 1 2 s 2s 1 ( s 1) ③画出以a为参变量的根轨迹：
45
对于会合点 17.07 ，有
k2 17.07 5 17.0 10 17.07 29.14
由根轨迹图可知，当0 k 0.858 时，闭环系统有一对 不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 0.858 k 29.14 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬 态响应呈欠阻尼状态。当 29 .14 k 时，闭环系统又有一 对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。
N ( s) s 2 3s, N ' ( s) 2s 3 D( s) s 2 2s 3, D ' ( s) 2s 2 根据： N (s) D' (s) N ' (s) D(s) 0
整理得： s 2 6s 9 0, s1, 2 3 3 2 由根轨迹图可以看出，分离回合点在[-3，0]区间，所 以分离回合点为-1.243。对应的根轨迹增益k*为： D( s ) s 2 2s 3 * k |s 1.243 2 0.95 N ( s) s 3s 当k*在[0，0.95]范围内，闭环系统呈现欠阻尼状态。
a a 0 a 1
[例4-3]系统的结构图如图所示。试绘制 k 0 的根 轨迹。并说明闭环系统呈现欠阻尼状态是的开环增益范 围。 R( s ) s 3 C (s) *
*
k s 1
s( s 1)
[解]这里要画以k*参量根轨迹。系统的闭环传递函数为： k * s 2 3k * s s 3 ( s ) 2 s s k * s 2 3k * s s 3 s 2 s k *s 2 3k *s s 3 0 闭环特征方程为：