多目标参数线性规划_赵建中
多目标规划
解:
x2
A B C
x1
Eab = E pa = {B}, Ewp = AB, BC
{
}
O
T 2 2 例2 设 X = {( x1 , x2 ) ( x1 + 1) + 2 x = 4}, 求 X , 的 Eab , E pa , Ewp
2
解:
x2
Eab = φ , E pa = Ewp
= AB
{ }
第二节 多目标规划问题的解 一,向量集的极值 1 多目标规划的标准形式是
min( f1 ( x),..., f p ( x))T , p > 1, x ∈ E n g i ( x) ≥ 0 i = 1,..., m s.t. h j ( x) = 0 j = 1,..., l (2.1)
1
介绍A.M.Geoffrion于1968年提出的—种 真有效解—G-有效解.
�
min f ( x) = ( f1 ( x), f 2 ( x))T
x∈D
f1 ( x) = x1 + 2 x2 , f 2 ( x) = x1 x2 , D = ( x1 , x2 )T 0 ≤ x1 ≤ 1,0 ≤ x2 ≤ 1
的有效解和弱有效解. f1 ( x) = 3 x2 1 B
{
}
R pa = Rwp = {OA, AB}
解: 1 画出 D 及 D 的像 f (D )
f1
x
f1 , f 2 联立消去 x
O 1
得
f1 = f 22 + 2 f 2
f2
1
R pa = Rwp
. .
2
.
f2
x
o
1 2
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将对线性规划的相关知识点进行总结。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常用Z表示。
2. 约束条件：线性规划必须满足一系列线性约束条件，如不等式约束和等式约束。
约束条件用来限制决策变量的取值范围。
3. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，它们的取值会影响目标函数的值。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使得目标函数达到最大或者最小值的解称为最优解。
三、标准形式线性规划问题可以通过转换为标准形式来求解。
标准形式的线性规划问题具有以下特点：1. 目标函数为最小化问题。
2. 所有约束条件均为等式约束。
3. 决策变量为非负数。
四、线性规划的解法线性规划有多种求解方法，下面介绍两种常用的方法：1. 图形法：当问题惟独两个决策变量时，可以使用图形法求解。
首先绘制出目标函数和约束条件所构成的图形，然后通过图形的分析找到最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种迭代求解方法，适合于多个决策变量的线性规划问题。
它通过不断迭代改善目标函数的值，直到找到最优解为止。
五、常见应用线性规划在实际应用中有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 生产计划：线性规划可以用于确定生产计划中各种资源的最优分配，以达到最大化利润或者最小化成本的目标。
2. 运输问题：线性规划可以用于解决货物运输的最优路径和最优运输量的问题，以降低物流成本。
3. 资源分配：线性规划可以用于确定资源的最优分配，如人力资源、物资资源等，以提高资源利用效率。
4. 投资组合：线性规划可以用于确定投资组合中各项投资的最优权重，以最大化投资回报或者最小化风险。
六、总结线性规划是一种常用的数学优化方法，通过最大化或者最小化线性目标函数，在一系列线性约束条件下求解最优解。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学建模技术，用于优化问题的求解。
它在各个领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及常见的应用案例。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常用Z表示，可以是利润、成本等。
2. 约束条件：线性规划问题需要满足一系列约束条件，这些约束条件用一组线性不等式或等式表示。
例如，生产的数量不能超过某个限制，资源的使用量不能超过可用数量等。
3. 决策变量：线性规划问题中需要确定的变量称为决策变量，通常用X1、X2等表示。
决策变量的取值决定了问题的解。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
三、模型建立线性规划问题的建模过程包括确定决策变量、目标函数和约束条件。
以下是一个简单的线性规划模型示例：假设某公司生产两种产品A和B，目标是最大化总利润。
已知每单位A产品的利润为P1，每单位B产品的利润为P2。
同时，公司有两个限制条件：1）每天生产的产品总数不能超过N个；2）每天生产的产品A和B的总数不能超过M个。
现在需要确定每天生产的A和B产品的数量。
决策变量：设每天生产的A产品数量为X1，B产品数量为X2。
目标函数：总利润为Z = P1*X1 + P2*X2。
约束条件：1）生产总数限制：X1 + X2 ≤ N；2）产品总数限制：X1 + X2 ≤ M。
四、求解方法线性规划问题可以使用各种求解方法进行求解，常见的方法包括图形法、单纯形法和内点法等。
以下是单纯形法的基本步骤：1. 初等行变换：将线性规划问题转化为标准形式，即将不等式约束转化为等式约束，并引入松弛变量。
2. 构造初始可行解：通过人工选取初始可行解，使得目标函数值为0。
3. 选择进入变量：选择一个非基变量作为进入变量，使得目标函数值增加最快。
全国大学生数学建模竞赛常用建模方法总结概要
全国大学生数学建模竞赛常用建模方法总结概要第一篇：全国大学生数学建模竞赛常用建模方法总结概要邯郸学院本科毕业论文题目学生指导教师年级专业二级学院（系、部）全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨柴云飞闫峰教授 2009级本科数学与应用数学数学系2013年6月邯郸学院数学系郑重声明本人的毕业论文是在指导教师闫峰的指导下独立撰写完成的．如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督．特此郑重声明．论文经“中国知网”论文检测系统检测，总相似比为5.80%．毕业论文作者（签名）：****年**月**日全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨摘要全国大学生数学建模竞赛作为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，越来越受到人们的重视，所以建模竞赛的方法也就变得尤为重要．随着竞赛的不断发展，赛题的开放性逐步增大，一道赛题可用多种解法，各种求解的算法有时会相互融合，同时也在向大规模数据处理方向发展，这就对选手的能力提出了更高的要求．由于建模方法种类众多，无法一一介绍，所以本文主要介绍了四种比较常用的数学建模竞赛方法，包括微分与差分方程建模方法、数学规划建模方法、统计学建模方法、图论方法，并结合历年赛题加以说明．关键词：数学建模竞赛统计学方法数学规划图论ICommonly Used Modeling Method ofChina Undergraduate Mathematical Contest in Modeling Chai yunfeiDirected by Professor Yan fengABSTRACTmore people as a basic subject of the largest national college competition.The method of modeling competition has become more and more important.Open questions gradually increased with the development of competition.Most of the games can be solved by lots of solutions.Sometimes these methods can be used together.And there is also a lot of data which puts forward higher requirement on the ability of players.The modeling methods is too numerous to mention, so this article mainly four kinds Commonly used modeling method are introduced that differential and difference equations modeling method, Mathematical programming modeling method, Statistics modeling method, graph theory and interprets with calendar year’s test questions.KEY WORDS：Mathematical contest in modeling Statistics method Mathematical programming Graph theoryII目录摘要........................................................................................................................... ...................I 英文摘要........................................................................................................................... . (II)前言........................................................................................................................... ..................1 1 微分方程与差分方程建模 (2)1.1 微分方程建模 (2)1.1.1 微分方程建模的原理和方法...............................................................................2 1.1.2 微分方程建模应用实例.......................................................................................3 1.2 差分方程建模 (4)1.2.1 差分方程建模的原理和方法...............................................................................4 1.2.2 差分方程建模应用实例.......................................................................................5 数学规划建模........................................................................................................................... ..52.1 线性规划建模的一般理论..............................................................................................6 2.2 线性规划建模应用实例.. (7)3 统计学建模方法 (8)3.1 聚类分析 (8)3.1.1 聚类分析的原理和方法.......................................................................................8 3.1.2 聚类分析应用实例...............................................................................................9 3.2 回归分析.. (9)3.2.1 回归分析的原理与方法.......................................................................................9 3.2.2 回归分析应用实例.............................................................................................10 图论建模方法...........................................................................................................................104.1 两种常见图论方法介绍 (11)4.1.1 模拟退火法的基本原理.....................................................................................11 4.1.2 最短路问题.........................................................................................................11 4.2 图论建模应用实例........................................................................................................12 5 小结........................................................................................................................... ................13 参考文献........................................................................................................................... ............14 致谢........................................................................................................................... . (15)前言全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛．参赛者需要根据题目要求，在三天时间内完成一篇包括模型假设、模型建立和求解、计算方法的设计和实现、模型结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文．通过参加竞赛的训练和比赛，可以提高学生用数学方法解决实际问题的意识和能力，而且在培养团队精神和撰写科技论文等方面都会得到十分有益的锻炼．竞赛题目的涉及面比较宽，有工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等．竞赛选手不一定预先掌握深入的专业知识，而只需要学过高等数学的相关课程即可，并且题目具有较大的灵活性，便于参赛者发挥其创造能力．近年来，竞赛题目包含的数据较多，手工计算一般不能实现，所以就对参赛者的计算机能力提出了更高的要求，如2003年B题，某些问题的解决需要使用计算机软件；2001年A题，问题的数据读取需要计算机技术，并且对于给出的图像，需要用图像处理的方法获得；再如2004年A题则需要利用数据库数据，数据库方法，统计软件包等等．竞赛题目的总体特点可大致归纳如下：（1）实用性不断加强，问题和数据来自于实际，解决方法需要切合实际，模型和结果可以应用于实际；（2）综合性不断加强，解法多样，方法融合，学科交叉；（3）数据结构越来越复杂，包括数据的真实性，数据的海量性，数据的不完备性，数据的冗余性等；（4）开放性也越来越突出，题意的开放性，思路的开放性，方法多样，结果不唯一等．总体来说，赛题向大规模数据处理方向发展，求解算法和各类现代算法相互融合．纵观历年的赛题，主要用到的建模方法有：初等数学模型、微分与差分方程建模、组合概率、数据处理、统计学建模、计算方法建模、数学规划、图论方法、层次分析、插值与拟合、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、计算机模拟法、灰色系统理论、时间序列等．本文不一一列举竞赛题目中涉及的所有方法，只是重点讨论其中一些比较常用的方法，包括微分与差分方程建模方法、数学规划建模方法、统计学建模方法、图论建模方法，并结合案例说明建模方法的原理及应用．微分方程与差分方程建模在很多竞赛题目中，常常会涉及很多变量之间的关系，找出它们之间的函数关系式具有重要意义．可在许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函数关系，但可以得到含有所求函数的导数（或微分）或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程或差分方程.建立微分方程或差分方程的数学模型是一种重要的建模方法.如1996年A题“最优捕鱼策略”，1997年A题“零件参数设计”，2003年A题“SARS的传播”，2007年A题“中国人口增长预测”，2009年A题“最优捕鱼策略”等赛题中，都用到了这种方法．1.1 微分方程建模1.1.1 微分方程建模的原理和方法一般来说，任何时变问题中随时间变化而发生变化的量与其它一些量之间的关系经常以微分方程的形式来表现．例1.1 有一容器装有某种浓度的溶液，以流量v1注入该容器浓度为c1的同样溶液，假定溶液立即被搅拌均匀，并以v2的流量流出混合后的溶液，试建立反映容器内浓度变化的数学模型．解注意到溶液浓度=变化而发生变化．不妨设t时刻容器中溶质质量为s(t)，初始值为s0,t时刻容器中溶液体积为v(t)，初始值为v0，则这段时间(t,t+∆t)内有溶液质量，因此，容器中溶液浓度会随溶质质量和溶液体积溶液体积⎧∆s=c1v1∆t-c2v2∆t，（1）⎨⎩∆V=v1∆t-v2∆t其中c1表示单位时间内注入溶液的浓度，c2表示单位时间内流出溶液的浓度，当∆t很小时，在(t,t+∆t)内有c2≈s(t)s(t)=.（2）V(t)V0+(v1-v2)t对式（1）两端同除以∆t，令∆t→0，则有⎧ds⎪dt=c1v1-c2v2⎪⎪dV.（3）=v1-v2⎨⎪dt⎪s(0)=s0,V(0)=V0⎪⎩即所求问题的微分方程模型．虽然它是针对液体溶液变化建立的，但对气体和固体浓度变化同样适用．实际应用中，许多时变问题都可取微小的时间段∆t去考察某些量之间的变化规律，从而建立问题的数学模型，这是数学建模中微分方程建模常用手段之一．常用微分方程建模的方法主要有：（1）按实验定律或规律建立微分方程模型．此种建模方法充分依赖于各个学科领域中有关实验定律或规律以及某些重要的已知定理，这种方法要求建模者有宽广的知识视野,这样才能对具体问题采用某些熟知的实验定律．（2）分析微元变化规律建立微分方程模型．求解某些实际问题时，寻求一些微元之间的关系可以建立问题的数学模型．如例1.1中考察时间微元∆t，从而建立起反应溶液浓度随时间变化的模型．此建模方法的出发点是考察某一变量的微小变化，即微元分析，找出其他一些变量与该微元间的关系式，从微分定义出发建立问题的数学模型．（3）近似模拟法．在许多实际问题中，有些现象的规律性并非一目了然，或有所了解亦是复杂的，这类问题常用近似模拟方法来建立问题的数学模型．一般通过一定的模型假设近似模拟实际现象，将问题做某些规范化处理后建立微分方程模型，然后分析、求解，并与实际问题作比较，观察模型能否近似刻画实际现象．近似模拟法的建模思路就是建立能够近似刻画或反映实际现象的数学模型，因此在建模过程中经常做一些较合理的模型假设使问题简化，然后通过简化建立近似反映实际问题的数学模型．1.1.2 微分方程建模应用实例例1.2（2003年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题）SARS 传播的预测．2003年爆发的“SARS”疾病得到了许多重要的经验和教训，使人们认识到研究传染病的传播规律的重要性．题目给出了感病情况的三个附件，要求对SARS的传播建立数学模型：（1）对SARS的传播建立一个自己的模型，并说明模型的优缺点；（2）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测．问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[1]中的求解思路分析.传染病的传播模式可近似分为自由传播阶段和控后阶段，然后将人群分为易感者S，感病者I，移出者R三类．由三者之间的关系可得到下列微分方程：⎧dS⎪dt=-kIS⎪dI⎪⎪=kIS-hI，⎨dt⎪dR=hI⎪⎪dt⎪⎩S+I+R=N利用附件中给出的数据，可以将上述方程变形为dI=kNI-hI=λI，dt其中λ=kN-h，其解为I(t)=I0e-λt.其中I0为初始值．但此模型只适用于病例数与总人口数具有可比性的情况，当病例数远小于总人口数时，感病人数将随时间以指数增长.这是按实验定律或规律建立的微分方程模型.为进一步改进模型，用计算机跟踪病毒的个体传播情况，又建立计算机模拟模型．然后用计算机模拟北京5月10日之前SARS的传播情况，并对5月10日以后的传播情况进行预测．但是得到的有效接触率与实际统计数据有所偏差，所以统计数据，为参数的确定寻求医学上的支持，并以随机模拟取代完全确定性的模拟，对原模型进行改进，建立随机模拟模型．通过计算机编程，产生正态分布的随机数，并对传染情况进行500次模拟，即可进行预测，并可得出对SARS疫情控制提出的相应建议．1.2 差分方程建模1.2.1 差分方程建模的原理和方法差分方程在数学建模竞赛中应用的频率极高，所以要对这种方法引起足够的重视．它针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量．具体方法是：根据实际的规律性质、平衡关系等，建立离散变量所满足的关系式，从而建立差分方程模型．差分方程可以分为不同的类型，如一阶和高阶差分方程，常系数和变系数差分方程，线性和非线性差分方程等等．建立差分方程模型一般要注意以下问题：（1）注意题中的离散变化量，对过程进行分析，尤其要注意形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量；（2）通过对具体变化过程的分析，列出满足题意的差分方程，其中入手点是找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程．1.2.2 差分方程建模应用实例例1.3（2007年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题）中国人口增长预测.题目要求从中国的实际情况和人口增长的特点出发，参考附录中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，特别要指出模型中的优点与不足之处.问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[2]中的求解思路分析.通过分析题中相关的数据，考虑到我国近年来人口发展的总趋势，因为涉及到人口的增长和变换，所以可以先用微分方程来建立模型，并对我国人口增长的中短期和长期趋势做出预测．首先，根据灰色系统理论，使用灰色关联分析模型法对人口系统结构进行关联分析，找出影响人口增长的主要因素；其次使用年龄推算法进行短期预测.在建立和求解长期预测模型时，根据人口阻滞增长模型（Logistic模型），可以考虑对中国人口老龄化进程加速、出生人口性别比例持续升高以及乡村人口城镇化等因素建立新的人口增长的差分方程模型.但是它仅给出了人口总数的变化规律，反映不出各类人口的详细信息，所以我们需要建立离散化的模型，并进一步可以得到全面系统地反应一个时期内人口数量状况的差分方程，可以用微分和差分方程理论来表现和模拟人口数量的变化规律．从而对人口分布的状况、变化趋势、总体特征等有更加详细和科学的了解．在模型的求解过程中，用到了MATLAB软件，并做参数估计，利用所得结果和题目给出的近五年来的人口数据，对我国人口发展趋势进行了预测，得到了在老龄化进程加速、出生人口性别比例持续升高以及乡村人口城镇化等因素影响下，未来我国人口发展预测情况.数学规划建模数学规划是指在一系列条件限制下，寻求最优方案，使得目标达到最优的数学模型，它是运筹学的一个重要分支．数学规划的内容十分丰富，包括许多研究分支，如：线性规划、非线性规划、整数规划、二次规划、0-1规划、多目标规划、动态规划、参数规划、组合优化、随机规划、模糊规划、多层规划问题等．在1993年A题“非线性交调的频率设计”，1993年B题“足球队排名”，1995年A题“飞行管理问题”，1996年B题“节水洗衣机”，1997年A题“零件的参数设计”，1998年A题“一类投资组合问题”，1999年B题“钻井布局”，2001年B题“公交车调度问题”，2002年A题“车灯线光源的优化”，2006年A题“出版社书号问题”，2007年B题“城市公交线路选择问题”等赛题中，都用到了规划的方法．在此以线性规划为例，对规划的方法进行探讨．2.1 线性规划建模的一般理论线性规划建模方法主要用于解决生产实际中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法．一般的优化问题是指用“最好”的方式，使用或分配有限的资源即劳动力、原材料、机器、资金等，使得费用最小或利润最大．优化模型的一般形式为:min(或max) z=f(x)(4)s.t.g(x)≤0.(i=1,2,Λ,m)(5)(x=(x1,x2,Λ，xn).T)由（4）、（5）组成的模型属于约束优化．若只有（4）式就是无约束优化．f(x)称为目标函数，g(x)≤0称为约束条件．在优化模型中，如果目标函数f(x)和约束条件中的g(x)都是线性函数，则该模型称为线性规划．建立实际问题线性规划模型的步骤如下：（1）设置要求解的决策变量．决策变量选取得当，不仅能顺利地建立模型而且能方便地求解，否则很可能事倍功半．（2）找出所有的限制，即约束条件，并用决策变量的线性方程或线性不等式来表示．当限制条件多，背景比较复杂时，可以采用图示或表格形式列出所有的已知数据和信息，从而避免“遗漏”或“重复”所造成的错误．（3）明确目标要求，并用决策变量的线性函数来表示，标出对函数是取极大还是取极小的要求．需要特别说明的是，要使用线性规划方法来处理一个实际问题，必须具备下面的条件：（1）优化条件：问题的目标有极大化或极小化的要求,而且能用决策变量的线性函数来表示．（2）选择条件：有多种可供选择的可行方案，以便从中选取最优方案．（3）限制条件：达到目标的条件是有一定限制的（比如，资源的供应量有限度等），而且这些限制可以用决策变量的线性等式或线性不等式表示出来．此外，描述问题的决策变量相互之间应有一定的联系，才有可能建立数学关系，这一点自然是不言而喻的．线性规划模型的求解可用图解法或单纯形法．随着计算机的普及和大量数学软件的出现，可以利用现成的软件MATLAB或LINGO等求解，在此不再叙述．2.2 线性规划建模应用实例例2.1（2006年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题）艾滋病疗法的评价及疗效的预测.题目给出了美国某艾滋病医疗试验机构公布的两组数据，数据涉及到了病人CD4和HIV的浓度含量的测试结果.根据所给的资料需要参赛者完成以下问题：（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间；（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间；（3）如果病人需要考虑4种疗法的费用，对评价和预测有什么影响.问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[3]中的求解思路进行分析.首先对题目所给数据进行分析,考虑到治疗的效果与患者的年龄有关，将患者按年龄分组，如14~25岁,25~35岁,35~45岁及45岁以上4组．每组中按照4种疗法和4个治疗阶段（如0~10周，10~20周，20~30周，30~40周），构造16个决策单元．取4种药品量为输入，治疗各个阶段末患者的CD4值与开始治疗时CD4值的比值为输出.然后建立相应的数学模型,利用相对有效性评价方法，建立分式规划模型并经过变换，转化为线性规划模型求解，对各年龄组患者在各阶段的治疗效率进行评价．计算结果：对第1年龄组疗法2和4在整个治疗中效率较高，在第4阶段仍然有效；对第2年龄组疗法1在第1，2阶段有效；对第3年龄组疗法1，2，3在第1阶段有效；对第4年龄组疗法1，2在第1，2阶段有效．表明只有14~25岁的年4种轻患者，才能在治疗的最后阶段仍然有有效的疗法．随后，由线性规划模型的对偶形式建立预测模型，对各年龄组各种疗法下一阶段的疗效进行预测．若由某决策单元得到的实际输出大于预测输出，则该决策单元相对有效；反之，说明该种疗法对该组患者在治疗的未来阶段不再有效，应该转换疗法．统计学建模方法在数学建模竞赛中，常常会涉及到大量的数据，因此，我们就需要用统计学建模方法对这些数据进行处理．此类方法主要包括统计分析、计算机模拟、回归分析、聚类分析、数据分类、判别分析、主成分分析、因子分析、残差分析、典型相关分析、时间序列等．如2004年A题“奥运会临时超市网点设计问题”，2004年B题“电力市场的输电阻塞管理问题”，2007年A题“人口增长预测问题”，2008年B题“大学学费问题”，2012年A题“葡萄酒的评价”等都用到了这种建模方法．在此选取其中两类方法进行阐述．3.1 聚类分析3.1.1 聚类分析的原理和方法该方法说的通俗一点就是，将n个样本，通过适当的方法选取m 聚类中心，通过研究各样本和各个聚类中心的距离，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法来聚类，从而可以得到聚类．结果利用sas 软件或者spss 软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图．这种模型的的特点是直观，容易理解．聚类分析的类型可分为：Q型聚类（即对样本聚类）和R型聚类（即对变量聚类）．通常聚类中有相似系数法和距离法两种衡量标准.聚类方法种类多样，有可变类平均法、中间距离法、最长距离法、利差平均和法等.在应用时要注意,在样本量比较大时，要得到聚类结果就显得不是很容易,这时需要根据背景知识和相关的其他方法辅助处理．主要的方法步骤大致如下：（1）首先把每个样本自成一类；（2）选取适当的衡量标准，得到衡量矩阵；（3）重新计算类间距离，得到衡量矩阵；（4）重复第2步，直到只剩下一个类.3.1.2聚类分析应用实例例3.1（2012年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题）葡萄酒的评价.题目的附件中给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，和该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据.要求参赛者建立数学模型解决以下问题：（1）分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信；（2）根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级；（3）分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系；（4）分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量.问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[4]中的求解思路分析.由于给定了酿酒葡萄的理化指标，首先可将附录2和附录3中的一些数据进行处理.并可以据此对各种酿酒葡萄进行聚类分析，但是，由于题目中所给的数据庞大，所以可通过主成分分析法，简化并提取大部分有效信息，再用聚类分析对酿酒葡萄进行分级．最后根据酿酒葡萄对应葡萄酒质量的平均值大小进行比较，排序分级．接下来针对问题中分析酿酒葡萄与葡萄酒理化指标之间的联系，及上面整理好的数据，采用回归分析原理，在SPSS中得到酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系．再通过相关分析，得出相应的相关系数，从而得到相应的判断结论．在分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系时，还用到了多元线性回归分析．该模型用于生活实践中，也可以解决很多实际问题．3.2 回归分析回归分析是利用数据统计原理，对大量数据进行数学处理，并确定因变量与某些自变量的相关关系，建立一个相关性较好的回归方程，并加以外推，用于预测今后的因变量的变化的分析方法．3.2.1回归分析的原理与方法回归分析是在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型；对回归模型的可信度进行检验；判断每个自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制．回归分析主要包括一元线性回归、多元线性回归、非线性回归．回归分析的主要步骤为：（1）根据自变量和因变量的关系，建立回归方程．（2）解出回归系数．（3）对其进行相关性检验，确定相关系数．（4）当符合相关性要求后，便可与具体条件结合，确定预测值的置信区间.需要注意的是，要尽可能定性判断自变量的可能种类和个数，并定性判断回归方程的可能类型．另外，最好应用高质量的统计数据，再运用数学工具和相关软件定量定性判断．3.2.2 回归分析应用实例例3.2（2006年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题）艾滋病疗法的评价及疗效的预测.题目同例2.1．问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[3]中的求解思路进行分析.问题2的解决就用到回归模型.首先分析数据知，应建立时间的一次与二次函数模型，并经过统计分析比较，确定哪种较好．所以可建立一个统一的回归模型，也可对每种疗法分别建立一个模型．以总体回归模型为例，分别用一次与二次时间函数模型进行比较，可知疗法1~3用一次模型较优，且一次项系数为负，即CD4在减少，从数值看疗法3优于疗法2和1；疗法4用二次模型较优，即CD4先增后减，在t 20左右达到最大．可以通过4条回归曲线进行比较，显示疗法4在30周之前明显优于其它．最后再用检验法作比较，结果是疗法1与2无显著性差异，而疗法1与3，2与3，3与4均有显著性差异．图论建模方法图论建模方法在建模竞赛中也经常涉及，应用十分广泛，并且解法巧妙，方法灵活多变．如1990年B题“扫雪问题”，1991年B题“寻找最优Steiner树”，1992年B题“紧急修复系统的研制”，1993年B题“足球队排名”，1994年A题“逢山开路问题”，1994年B题“锁具装箱问题”，1995年B题“天车与冶炼炉的作业调度”，1997年B题“截断切割的最优排列”，1998年B题“灾情巡视最佳路线”，1999年B题“钻井布局”，2007年B题“城市公交线路选择问题”等都应用到了图论的方法．图论近几年来发展十分迅速，在物理、化学、生物学、地理学、计算机科学、信息论、控制论、社会科学、军事科学以及计算机管理。
ch19-多目标规划
第19章 多目标规划19.1 算法前面介绍的最优化方法只有一个目标函数，是单目标函数最优化方法。
但是，在许多实际工程问题中，往往希望多个指标都达到最优值，所以就有多个目标函数。
这种问题称为多目标最优化问题。
多目标最优化问题的数学模型为：u l e i e i Rx x x x m m i x G m i x G x F n ≤≤+====∈,...,10)(,...,10)()(m in式中F (x ) 为目标函数向量。
由于多目标最优化问题中各目标函数之间往往是不可公度的，因此往往没有惟一解，此时引进非劣解的概念（非劣解又称为有效解或帕累托解）。
定义 若,)*(,)*(*Ω∈∆+∆Ω∈x x x x x 使得的邻域内不存在 且j x F x x F m i x F x x F j j i i 对于某些*)()*(,...,1*)()*(<∆+=≤∆+则称x* 为非劣解.多目标规划有许多解法，下面列出常用的几种。
1. 权和法该法将许多目标向量问题转化为所有目标的加权求和的标量问题，即∑⋅=Ω∈2)()(m in x F x f i i x ω 加权因子的选取方法很多，有专家打分法、α方法、容限法和加权因子分解法等。
该问题可以用标准的无约束最优化算法进行求解。
2. ε 约束法ε 约束法克服了权和法的某些凸性问题。
它对目标函数向量中的主要目标 进行最小化， 将其他目标用不等式约束的形式写出：p i m i x F sub x F i i p x ≠=≤Ω∈,...,1)(.)(m in ε3. 目标达到法目标函数系列为)},(),...,(),({)(21x F x F x F x F m = 对应地有其目标值系列*}*,...,*,{*21m F F F F =。
允许目标函数有正负偏差，偏差的大小由加权系数向量},...,,{21m W W W W =控制，于是目标达到问题可以表达为标准的最优化问题：m i F x F sub i i i x R ,...,1*)(.m in ,=≤-Ω∈∈γωγγ指定目标*}*,{21F F ，定义目标点P 。
多目标协同下的即时配送路径优化
多目标协同下的即时配送路径优化目录一、内容概要 (3)1. 研究背景 (4)2. 研究意义 (5)3. 研究目的与问题 (6)二、相关理论基础 (6)1. 即时配送概述 (8)2. 路径优化技术 (9)3. 多目标协同理论 (10)4. 智能算法在路径优化中的应用 (11)三、即时配送路径优化模型构建 (12)1. 模型假设与前提条件 (14)2. 模型参数与变量定义 (15)3. 目标函数构建 (16)4. 约束条件设定 (17)四、多目标协同下的路径优化策略 (18)1. 客户需求与路径优化的协同 (19)2. 配送中心与收货地址的协同 (21)3. 多种运输方式的协同 (22)4. 人力资源与时间管理的协同 (24)五、智能算法在路径优化中的应用实践 (25)1. 遗传算法 (26)2. 蚁群算法 (27)3. 神经网络算法 (28)4. 其他智能算法的应用与比较 (30)六、即时配送路径优化实施方案 (31)1. 数据收集与处理 (33)2. 模型参数标定 (34)3. 路径规划与实施 (35)4. 实时调整与优化策略 (36)七、案例分析 (37)1. 典型案例介绍 (38)2. 路径优化实施过程 (39)3. 优化效果评估 (40)4. 经验总结与启示 (41)八、研究结论与展望 (42)1. 研究结论 (44)2. 研究创新点 (44)3. 研究不足与展望 (46)4. 对未来研究的建议 (47)一、内容概要研究背景及意义：分析当前即时配送行业的发展现状，阐述路径优化在提升配送效率、减少成本、提升客户满意度等方面的重要性。
多目标协同理论：介绍多目标协同理论的基本思想及其在即时配送路径优化中的应用，强调在优化过程中需要兼顾速度、成本、服务质量等多个目标。
路径优化技术：探讨当前即时配送路径优化的主要技术手段，包括智能算法、大数据分析、地理信息系统等，并分析其在实际应用中的优缺点。
路径优化策略：提出具体的即时配送路径优化策略，包括基于客户需求的动态调度、智能路线规划、实时交通信息利用等，阐述这些策略在提高配送效率、降低运营成本等方面的实际应用效果。
基于多目标线性规划的会议统筹安排模型
基于多目标线性规划的会议统筹安排模型赵红艳【摘要】线性规划是运筹学中应用最广泛的方法之一,它的一个主要应用是大型会议的统筹安排.本文分别从与会代表人住宾馆问题,选择会议室和安排车辆问题中进行了分析与研究,利用多目标线性规划的相关理论知识将问题抽象成两个完整的数学模型,从经济角度,与会代表的满意度基础上,为会议筹备组制定了一个预订宾馆客房、租借会议室和车辆的合理方案.【期刊名称】《山东轻工业学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(025)004【总页数】4页(P50-53)【关键词】会议统筹;多目标线性规划;数学模型;lingo程序【作者】赵红艳【作者单位】山东英才学院计算机学院,山东,济南,250104【正文语种】中文【中图分类】O221.61 提出问题随着时代的发展，在市场经济条件下，我们与外界的交流越来越密切，各种各样的研讨会给我们提供了一个交流信息的平台，同时也伴随着一定规模的人员流动和消费。
而随着会议规模的增大，会议安排统筹的难度也越来越大，越来越复杂，做好统筹安排具有非常重要的意义。
对筹备方来说，如何节省经费一直是重点考虑的问题，那么如何在安排会议的过程中，不仅要满足各方代表的需求，而且使费用支出尽可能的减少。
本文在整个会议安排过程中，分别从与会代表入住宾馆问题，选择会议室和安排车辆问题中进行分析与研究，利用多目标线性规划的相关理论知识将问题抽象成两个明确完整的数学模型，满足代表在价位、满意度等方面需求的基础上，为会议筹备组制定了一个预订宾馆客房、租借会议室和车辆的合理方案。
2 分析问题在实际调查中我们发现，由于预计会议规模庞大，而适于接待这次会议的几家宾馆的客房和会议室数量均有限，所以只能让与会代表分散到若干家宾馆住宿。
与会代表对客房的要求也不同，有的喜欢独住，也有的喜欢合住。
虽然客房房费由与会代表自付，但是如果预订客房的数量大于实际用房数量，筹备组需要支付一天的空房费，而若出现预订客房数量不足，则将造成非常被动的局面，引起代表的不满。
多目标线性规划在运输问题中的应用
摘要铁路运输在运输业的地位日益提高，为了满足我国用铁路运输货物的需求，也为了增强铁路运输在交通运输业方面的竞争力，铁道部提出了建设铁路大型装车点的战略。
铁路大型装车点的合理建设，是铁路货运集中化的重要举措，同时也推进了铁路货运的发展进程。
因此，解决铁路大型装车点选址问题对于铁路运输业的发展具有深远的现实意义。
从数学的角度出发，铁路大型装车点选址问题可转化为多目标最优化问题。
本文主要通过多目标规划法解决铁路大型装车点选址问题，在多目标规划理论基础上，建立选址模型后，运用Lingo软件求解，得出了该模型可行的结论。
研究表明，若使用本文中的模型对铁路大型装车点的选址进行规划，可以减少铁路货物运输的费用，促进铁路货运业务的发展，解决了运输业一大难题。
关键词：多目标规划；数学模型；分层序列法AbstractThe status of railway transportation in the transportation industries increasing day by day . In order to meet the needs of our country's railway transportation of goods, and in order to enhance the competitiveness of railway transportation in the transportation industry, the Ministry of Railways has put forward the strategy of building a large railway loading point. The reasonable construction of large-scale railway loading point is an important measure of railway freight centralization,and also promotes the development process of railway freight transportation. Therefore,it is of far-reaching practical significance of the development of railway transportation to solve the location problem of large-scale loading point.From the mathematical point of view, the location problem of larger railway loading point can be transformed into a multi-objective optimization problem. Based on the theory of multi-objective programming , the location model of large-scale railway loading point is established and solved by Lingo software, and a feasible conclusion is obtained.The research shows that if we use the model in this paper to plan the location of the large-scale loading point,we can reduce the cost of railway freight transportation, promote the development of railway freight transportation, and solve a big problem in the transportation industryKey words：Multi-objective-programming; Methematical model;Hierarchical sequence method1 导论1.1选题背景及意义选题背景：本课题是学校提供的自选课题。
目标规划求解方法
x1 d1 d1 30
x2d2d215
s.t. 8x11x 22d3 d3 1000
迭代步骤:
x12x2d4 d4 40
x1,x2 0 dj ,dj 0
(2) 建立 P2 级目标的单目标线性规划：
minZ2 d3
x1d1d130 x2d2d215
s.t. 8x11x 22d3 d3 1000
d1
x2d2d215
s.t. 8x11x 22d3 d3 1000
迭代步骤:Biblioteka x12x2d4 d4 40
x1,x2 0 dj ,dj 0
(1) 建立 P1 级目标的单目标线性规划：
mZ i1n d1 d2 x1d1d130
s.t. x2d2d215 x1,x2 0 dj ,dj 0
多目标规划6-4
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x1,x2 0 dj ,dj 0
0 miZn2d3580
d
3
0
0 d 1
,
d 2
,
d 3
的检验数
1 分别是8, 12, 1> 0 1 所以如果它们进基做
基变量将会使P2 级目标已得的最优值 minZ2 = 580
为了不使 min Z2 , 必须令这些非基变量的取值永远为 0
即 d1 d2 d3 0
序列法是按照优先级别去极小化各级目标的偏差变量的 ，即极小化该级目标偏差变量是在不破坏上级目标已经 达到的最优值的前提下进行的，所以该级目标的偏 差变量未必能达到极小值0。那么该级目标偏差变量 极小化的程度就是该级目标在不破坏前级目标最优 值的前提下被实现的程度。
多目标规划6-4
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多目标函数
单位 产品 资源 消耗
甲
乙
资源限制
钢材 煤炭
9
4
4
5
3600 2000
设备台时
3
10
3000
单件利润
70
120
设：甲，乙产品的产量分别为X1 , X2
一般有：
同时：
maxZ=70 x1 + 120 x2 9 x1 +4 x2 ≤3600 4 x1 +5 x2 ≤ 2000 3 x1 +10 x2 ≤3000 x1 ， x2 ≥0
d
j
,
d
j
4 x1 +5 x2 ≤ 2000
3 x01 +10(xj2 ≤30100.2.3) x1 ， x2 ≥0
②将原约束条件转化为目标约m束ax。Z1=70 x1 + 120x2
maxZ2= x1
若规定3600的钢材必须用完，maxZ3= x2
原式9 x1 +4 x2 ≤3600
9 x1 +4 x2 ≤3600 4 x1 +5 x2 ≤ 2000
目标规划的目标函数(准则函数)
是按各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优 先因子及权系数而构造的。
当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小 偏离目标值。
因此目标规划的目标函数只能是一个使总偏差量为 最小的目标函数，
记为 minZ = f（d＋、d－）。
一般说来，对于达成函数有以下三种情况， 但只能出现其中之一：
??求解线性规划问题首先要求约束条件必须相求解线性规划问题首先要求约束条件必须相容如果约束条件中由于人力设备等资源条容如果约束条件中由于人力设备等资源条件的限制使约束条件之间出现了矛盾就得不件的限制使约束条件之间出现了矛盾就得不到问题的可行解到问题的可行解但实际中出现矛盾时生产还得继续进行这将但实际中出现矛盾时生产还得继续进行这将给人们进一步应用线性规划方法带来困难
运筹学-第十章-多目标决策
d
m
1
ax
k p
(
d
k
d
k
)
s.t. fk dk dk fk*
xX, dk,dk 0 (dkgdk 0)
k1,2,L,p
可以略去
A
47
r = 1 距离定义下的目标规划模型
m in
p
(
d
+ k
+
d
k
)
k=1
s.t. x X
fk
(x)
d
+ k
+
d
k
=
f
* k
d
+ k
,
d
k
0
第十章 多目标决策
多目标决策问题及其有效解 偏爱和多目标决策问题的求解 评价函数法 目标规划 层次分析法 软件应用
A
1
10.1 多目标决策问题及其有效解
多目标决策问题引例 多目标决策问题的有效解
A
2
例1（投资决策问题）
公司有50万元资金，打算向两个项目投资。已知项 目1的利润为投资额的10%，但风险小；项目2的利 润为投资额的20%，但风险大。由于其他原因，公司 对项目1的投资不能少于10万元。试问：如何投资， 才能兼顾利润和风险？
分层求解法－－分层模型 完全分层法，分层评价法，分层单纯形法
目标规划法
A
39
10.4 目标规划
目标规划的产生与发展 目标规划模型
A
40
目标规划的产生与发展
目标规划由美国学者查恩斯与库伯于1961年首次提出，基 本思想是求尽可能接近某个目标值的解
1965年，艾吉里在处理多目标问题、分析各类目标的重要 性时，引入了赋予各目标一个优先因子及加权系数的概念， 进一步完善了目标规划的数学模型
多目标线性规划的若干解法及MATLAB实现
多目标线性规划的若干解法及MATLAB 实现一．多目标线性规划模型多目标线性规划有着两个和两个以上的目标函数,且目标函数和约束条件全是线性函数,其数学模型表示为：11111221221122221122max n n n nr r r rn nz c x c x c x z c x c x c x z c x c x c x =+++⎧⎪=+++⎪⎨ ⎪⎪=+++⎩ （1）约束条件为：1111221121122222112212,,,0n n n n m m mn n mn a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x bx x x +++≤⎧⎪+++≤⎪⎪ ⎨⎪+++≤⎪≥⎪⎩ （2） 若（1）式中只有一个1122i i i in n z c x c x c x =+++ ，则该问题为典型的单目标线性规划。
我们记:()ij m n A a ⨯=,()ij r n C c ⨯=,12(,,,)T m b b b b = ,12(,,,)T n x x x x = ，12(,,,)T r Z Z Z Z = .则上述多目标线性规划可用矩阵形式表示为:max Z Cx =约束条件：0Ax bx ≤⎧⎨≥⎩ （3）二．MATLAB 优化工具箱常用函数[3]在MA TLAB 软件中，有几个专门求解最优化问题的函数，如求线性规划问题的linprog 、求有约束非线性函数的fmincon 、求最大最小化问题的fminimax 、求多目标达到问题的fgoalattain 等,它们的调用形式分别为：①.[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)f 为目标函数系数,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束系数, lb,ub 为x 的下限和上限, fval 求解的x 所对应的值。
算法原理：单纯形法的改进方法投影法 ②.[x,fval ]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub ）fun 为目标函数的M 函数, x0为初值,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束系数, lb,ub 为x 的下限和上限, fval 求解的x 所对应的值。
第五章_多目标规划
朝向 地段 楼层 评价值 0.15 0.2 0.1 1.0 0.4 0.9 0.690 0.4 1.0 0.6 0.580 0.7 0.7 1.0 0.695* 南 丙 四层 西 甲 七层 东 乙 三层
由图解可以看出，加权以后的 单目标问题的最优解必定是多 目标规划的一个Pareto解。
012345
多目标的线性加权转化为单目标规划问题
一、多目标规划转化为单目标规划问题 1、评价函数法
F(X)=U{f1(X)，f2(X)，…，fK(X)} 将多目标规划问题转化为单目标规划问题。最简单的 评价函数是线性加权。
当前的解(x1,x2,x3,x4,x5)=(2,4,0,2,0), z1=14, z2=6是 Pareto解。对应于C点。
x3进基，x1离基，z1会变差，z2会改善，进到Pareto解D。 x5进基，x4离基，z1会改善，z2会变差，回到Pareto解B。
多目标线性规划单纯形表(6)
z1 z2 x1 x2 x3 x4 x5 RHS z1 1 0 2 0 0 0 -1 -10 z2 0 1 -2 0 0 0 -1 -8 x2 0 0 1/2 1 0 0 1/2 5 x3 0 0 1/2 0 1 0 -1/2 1 x4 0 0 3/2 0 0 1 -1/2 5
两个目标的规划问题的劣解和非劣解
第一个目标取定一 个值z1A，作为约束条 件，优化第二个目标，
第一个目标
得到第二个目标的最优
值Z2A，得到A点。……
用同样的方法得到B点。
依次进行，得到两个目 z2B
B
标之间关系的曲线AB
和相应的区域。
M P’
区域内部的点N和M称为
N
“劣解”，劣解的两个 z2A
目标同时可以改进。曲
第6章_多目标规划方法
max(min) fk ( X )
1 ( X )
g1
( X
)
2
(X
)
G
g2
m ( X )
gm
（6.1.1） （6.1.2）
式中：X [x1, x2 ,, xn ]T 为决策变量向量。
如果将（6.1.1）和（6.1.2）式进一步缩写，
即：
max(min)Z F ( X )
（6.1.6）
式中：X 为n维决策变量向量；
A为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵；
B 为m×n矩阵，即约束方程系数矩阵；
b 为m维的向量，约束向量。
二、多目标规划的非劣解
对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做 出如下的复合选择： ▲每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最 满意的解决？ ▲每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最 满意的解决 ？
二、罚款模型 三、约束模型 四、目标规划模型 五、目标达到法
一、效用最优化模型
建摸依据：规划问题的各个目标函数可以通过 一定的方式进行求和运算。这种方法将一系列 的目标函数与效用函数建立相关关系，各目标 之间通过效用函数协调，使多目标规划问题转 化为传统的单目标规划问题：
max Z ( X )
当目标函数处于冲突状态时，就不会存 在使所有目标函数同时达到最大或最小值的 最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非 支配解或帕累托解）。
§6.2 多目标规划求解技术简介
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将多目标 规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现这种转化， 有如下几种建模方法。
▪一、效用最优化模型
（6.2.1）
(X ) G
（6.2.2）
2022年数学建模算法与应用第16章 多目标规划和目标规划
0 w j 1, j 1, 2, , m;
m
第二步：写出评价函数 w j f j 。 j 1
m
w j 1.
j 1
第三步：求评价函数最优值
m
min wi fi ( x)， i 1
s.t. x .
航空基础学院数学第教15研页室
数学建模算法与应用
第16章 多目标规划和目标规划
该方法应用的关键是要确定每个目标的权重，它反 映不同目标在决策者心中的重要程度，重要程度高的权 重就大，重要程度低的权重就小。权重的确定一般由决 策者给出，因而具有较大的主观性，不同的决策者给的 权重可能不同，从而会使计算的结果不同。
航空基础学院数学第教16研页室
数学建模算法与应用
第16章 多目标规划和目标规划
2.ε约束法
根据决策者的偏好，选择一个主要关注的参考目标，
例如 fk ( x)，而将其他m 1个目标函数放到约束条件中。 具体地，
min fk ( x)，
s.t
.
fi ( x) x
.
i
,
i 1, 2,
, k 1, k 1,
航空基础学院数学第教25研页室
数学建模算法与应用
第16章 多目标规划和目标规划
第四步：以第一、第二级单目标等于其最优值为约 束，求第三级目标最优。依次递推求解。
优先级解法也称为序贯解法。该方法适用于目标有 明显轻重之分的问题，也就是说，各目标的重要性差距 比较大，首先确保最重要的目标，然后再考虑其他目标。 在同一等级的目标可能会有多个，这些目标的重要性没 有明显的差距，可以用加权方法求解。
航空基础学院数学第教21研页室
数学建模算法与应用
第16章 多目标规划和目标规划
多目标规划求解方法介绍
一、约束法
1.基本思想：在多个目标函数中选择一个主要目标作为 目标函数，其它目标处理为适当的约束。
(VP)V s.t.
min F (x) gi (x) 0, i
f1 ( x), , 1,, m
f p (x)
T
S x gi (x) 0,i 1,,m
无妨设 f1(x)为主要目标，对其它各目标 f2(x),, f p (x) 可预先
(LVP)
g2 (x) x1 x2 8 0 g3 (x) x1 6 0
g4 (x) x2 4 0
g5 (x) x1 0
g6 (x) x2 0
用约束法求解。设 f1(x) 为主目标。
第一步：分别求解
f1
min s.t.
f1 ( x) xS
得
x(1) (6,0)T
x(1) -30 x(2) 3
f p (x) x S p1
得最优值
f
* p
则 Sp
x
f p (x)
f
* p
Sp1 是在分层序列意义下的最优解集合。
3.
性质：
Sp
S
* pa
，即在分层序列意义下的最优解是有
效解。
证明：反证。设
~
xSp
，但
~
x
S
* pa
，则必存在
~
yS
使
~
~
F(y) F(x)
即至少有一个j0 ，使
~
~
f j ( y) f j (x), j 1,, j0 1,
考虑上述(VP)问题， 为主目标。
fk (x)
第一步： （1）对 j 1,2,, p ，求解单目标问题：