上海市普陀区曹杨二中2017-2018学年高一下学期期中数学试题

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【解析】上海市曹杨二中2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

上海市曹扬二中2018学年第二学期高一年级期终考试数学试卷一、填空题：(1-6题每题4分,7-12题每题5分,共54分)1.已知向量(3,1)a =r，(,1)b x =-r，且a r与b r垂直，则x 的值为______. 【答案】13【分析】根据a r与b r垂直即可得出0a b rr ⋅=，进行数量积的坐标运算即可求出x 的值．【详解】a b ⊥Q rr；310a b x ∴⋅=-=rr ；13x ∴=．故答案为：13．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题．2.若120o 角的终边经过点()1,P a -，则实数a 的值为_______.【分析】利用三角函数的定义以及诱导公式求出a 的值.【详解】由诱导公式得()tan120tan 18060tan 60=-=-=oo oo另一方面，由三角函数定义得tan1201aa ==-=-oa =【点睛】本题考查诱导公式与三角函数的定义，解题时要充分利用诱导公式求特殊角的三角函数值，并利用三角函数的定义求参数的值，考查计算能力，属于基础题.3.已知向量()4,3a =r ，则a r的单位向量0a u u r 的坐标为_______.【答案】43,55⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】由结论“与a r 方向相同的单位向量为0a a a =r u u r r ”可求出0a u u r 的坐标.【详解】5a ==r Q ，所以，0143,555a a a a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭r u u r r r ，故答案为：34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查单位向量坐标的计算，考查共线向量的坐标运算，充分利用共线单位向量的结论可简化计算，考查运算求解能力，属于基础题.4.在等差数列{}n a 中，155a a +=，43a =，则8a 的值为_______. 【答案】5. 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件建立1a 、d 的方程组，求出1a 、d 的值，即可求出8a 的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，所以1514124533a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得13212a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此，813177522a a d =+=+⨯=，故答案为：5. 【点睛】本题考查等差数列的项的计算，常利用首项和公差建立方程组，结合通项公式以及求和公式进行计算，考查方程思想，属于基础题.5.若a r 、b r 为单位向量，且()23a ab ⋅+=r r r ，则向量a r 、b r 的夹角为_______.（用反三角函数值表示）【答案】1arccos 3π-. 【分析】设向量a r 、b r的夹角为θ，利用平面向量数量积的运算律与定义计算出cos θ的值，利用反三角函数可求出θ的值.【详解】设向量a r 、b r的夹角为θ，由平面向量数量积的运算律与定义得()222cos 1cos 3a a b a a b a a b θθ⋅+=+⋅=+⋅=+=r r r r r r r r r ，1cos 3θ∴=-，1arccos 3θπ∴=-，因此，向量a r 、b r 的夹角为1arccos 3π-，故答案为：1arccos 3π-.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量所成的夹角，解题的关键就是利用平面向量数量积的定义和运算律，考查运算求解能力，属于中等题.6.已知向量()cos ,sin a θθ=r，(b =r ，则a b -r r 的最大值为_______.【答案】3 【分析】计算出()22a b a b -=-r r r r ，利用辅助角公式进行化简，并求出2a b -r r 的最大值，可得出a b-r r 的最大值. 【详解】1cos 2cos 2sin cos cos sin 26a b πθθθθθθθ⎫⎛⎫⋅=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭r r Q 2sin 6πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，222cos sin 1a θθ=+=r，22214b =+=r ，所以，()2222212sin 452sin 766a b a ba ab b ππθθ⎛⎫⎛⎫-=-=-⋅+=-++=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r rr r r r ，当且仅当()3262k k Z ππθπ+=+∈，即当()726k k Z πθπ=+∈，等号成立，因此，a b -r r.【点睛】本题考查平面向量模的最值的计算，涉及平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换思想的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7.若4sin25θ=，且sin 0θ<，则θ是第_______象限角. 【答案】三【分析】利用二倍角公式计算出cos θ的值，结合sin 0θ<判断出角θ所在的象限.【详解】由二倍角公式得2247cos 12sin 1202525θθ⎛⎫=-=-⨯=-< ⎪⎝⎭，又sin 0θ<Q ，因此，θ是第三象限角，故答案为：三.【点睛】本题考查利用三角函数值的符号与角的象限之间的关系，考查了二倍角公式，对于角的象限与三角函数值符号之间的关系，充分利用“一全二正弦、三切四余弦”的规律来判断，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.8.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 为BC 边上（含端点）的动点，则AD BC ⋅u u u r u u u r的取值范围是_______. 【答案】[2,2]- 【分析】取BC 的中点O 为坐标原点，BC 、OA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设点D 的坐标为(),0x ，其中11x -≤≤，利用数量积的坐标运算将AD BC ⋅u u u r u u u r转化为有关x 的一次函数的值域问题，可得出AD BC ⋅u u u r u u u r的取值范围. 【详解】如下图所示：取BC 的中点O 为坐标原点，BC 、OA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则点(3A 、()1,0B -、()1,0C ，设点(),0D x ，其中11x -≤≤，(,3AD x =-uuu r ，()2,0BC =uu u r ，[]22,2AD BC x ∴⋅=∈-uuu r uu u r，因此，AD BC ⋅u u u r u u u r的取值范围是[]22-,，故答案为：[]22-,. 【点睛】本题考查平面向量数量积的取值范围，可以利用基底向量法以及坐标法求解，在建系时应充分利用对称性来建系，另外就是注意将动点所在的直线变为坐标轴，可简化运算，考查运算求解能力，属于中等题.9.设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.【答案】25；f(x)＝sin x －2cos x 5525x x ⎫-⎪⎪⎝⎭5－φ)，其中sin 25，5，当x －φ＝2kπ＋2π(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋2π＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以25.10.走时精确的钟表，中午12时，分针与时针重合于表面上12的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于_______. 【答案】211π. 【分析】设时针转过的角的弧度数为α，可知分针转过的角为12α，于此得出122ααπ=+，由此可计算出α的值，从而可得出时针转过的弧度数的绝对值α的值. 【详解】设时针转过的角的弧度数的绝对值为α，由分针的角速度是时针角速度的12倍，知分针转过的角的弧度数的绝对值为12α，由题意可知，122ααπ=+，解得211πα=，因此，时针转过的弧度数的绝对值等于211π，故答案为：211π. 【点睛】本题考查弧度制的应用，主要是要弄清楚时针与分针旋转的角之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.11.如图，P 为ABC ∆内一点，且1135AP AB AC =+uu u r uu u r uuu r ，延长BP 交AC 于点E ，若AE AC λ=uu u r uuu r，则实数λ的值为_______.【答案】310【分析】由AE AC λ=uu u r uuu r，得1AC AE λ=uuu r uu u r ，可得出1135AP AB AE λ=+uu u r uu u r uu u r ，再利用B 、P 、E 三点共线的向量结论得出11135λ+=，可解出实数λ的值. 【详解】由AE AC λ=uu u r uuu r，得1AC AE λ=uuu r uu u r ，可得出1135AP AB AE λ=+uu u r uu u r uu u r ，由于B 、P 、E 三点共线，11135λ∴+=，解得310λ=，故答案为：310.【点睛】本题考查三点共线问题的处理，解题的关键就是利用三点共线的向量等价条件的应用，考查运算求解的能力，属于中等题.12.为了研究问题方便,有时将余弦定理写成: 2222cos a ab C b c -+=,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数,,x y z ，满足229x xy y ++=,2216y yz z ++=，2225z zx x ++=，则xy yz zx ++=_______.【答案】【分析】设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，在ABC ∆内取点O ，使得23AOB BOC AOC π∠=∠=∠=，设OA x =，OB y =，OC z =，利用余弦定理得出ABC ∆的三边长，由此计算出ABC ∆的面积，再利用ABC AOB BOC AOC S S S S ∆∆∆∆=++可得出xy yz zx ++的值.【详解】设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，在ABC ∆内取点O ，使得23AOB BOC AOC π∠=∠=∠=，设OA x =，OB y =，OC z =，由余弦定理得222222cos 9c x xy AOB y x xy y =-⋅∠+=++=，3c ∴=，同理可得4a =，5b =，222a c b ∴+=，则90ABC ∠=o ，ABC ∆的面积为162ABC S ac ∆==，另一方面121212sin sin sin 232323ABC AOB AOC BOC S S S S xy yz zx πππ∆∆∆∆=++=++)64xy yz zx =++=，解得xy yz zx ++=【点睛】本题考查余弦定理的应用，问题的关键在于将题中的等式转化为余弦定理，并转化为三角形的面积来进行计算，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于中等题.二、选择题（每题5分，满分20分）13.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若{}n a 的前10项之和大于前21项之和，则（） A. 0d < B. 0d >C. 160a <D. 160a >【答案】C 【分析】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，由1021S S >并结合等差数列的下标和性质可得出正确选项.【详解】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，由1021S S >，得()112116211011122021161111211022a a a S S a a a a a +⨯-=++++===<L ，可得160a <，故选：C.【点睛】本题考查等差数列性质的应用，解题时要充分利用等差数列下标和与等差中项的性质，可以简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14.已知数列{}n a 满足12a =，()()11nn n n a a a n N *+=+-∈，则42a a 的值为（）A.1615B.43C.13D. 83【答案】B 【分析】由()11nn n n a a a +=+-，得()111nn na a +-=+，然后根据递推公式逐项计算出2a 、4a 的值，即可得出42a a 的值.详解】()11nn n n a a a +=+-Q ，()111nn na a +-∴=+，则211111122a a =-=-=，3211123a a =+=+=，431121133a a =-=-=，因此，4224233a a =⨯=，故选：B.【点睛】本题考查数列中相关项的计算，解题的关键就是递推公式的应用，考查计算能力，属于基础题.15.在非直角ABC ∆中，“A B >”是“tan tan A B >”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】C 【分析】由tan tan A B >得出22tan tan 0A B ->，利用切化弦的思想得出其等价条件，再利用充分必要性判断出两条件之间的关系. 【详解】若tan tan A B>，则222222sin sin tan tan cos cos A BA B A B-=-()()22222222sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos cos cos A B A B A B A B A B A B A B A B -+-==⋅⋅()()()2222sin sin sin sin 0cos cos cos cos A B A B A B CA B A B-+-==>⋅⋅，易知sin 0C >，2cos 0A >，2cos 0B > ，()sin 0A B ∴->， 0A π<<Q ，0B π<<，A B ππ∴-<-<，()sin 0A B ->Q ，0A B π∴<-<，A B ∴>.因此，“A B >”是“tan tan A B >”的充要条件，故选：C.【点睛】本题考查充分必要性的判断，同时也考查了切化弦思想、两角和差的正弦公式的应用，在讨论三角函数值符号时，要充分考虑角的取值范围，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16.在ABC ∆中，若623AC AB AB BC BC CA u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v⋅=⋅=⋅，则角A 的大小为（） A.4πB.3π C.23π D.34π 【答案】D 【分析】由平面向量数量积的定义得出tan B 、tan C 与tan A 的等量关系，再由()tan tan A B C =-+并代入tan B 、tan C 与tan A 的等量关系式求出tan A 的值，从而得出A 的大小.【详解】623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu rQ ，6cos 2cos 3cos bc A ca B ab C ∴=-=-，cos 3cos a B b A ∴=-，由正弦定理边角互化思想得sin cos 3cos sin A B A B =-，tan 3tan A B ∴=-，1tan tan 3B A ∴=-，同理得1tan tan 2C A =-，()11tan tan tan tan 32tan tan 111tan tan 1tan tan 32A AB C A B C B C A A --+∴=-+=-=--⎛⎫⎛⎫--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225tan 5tan 616tan 1tan 6AA A A ==--，0A π<<Q ，则tan 0A ≠，解得tan 1A =±， ABC ∆Q 中至少有两个锐角，且1tan tan 3B A =-，1tan tan 2C A =-，所以，tan 1A =-，0A π<<Q ，因此，34A π=，故选：D.【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算，考查利用正弦定理、两角和的正切公式求角的值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将问题转化为正切来进行计算，属于中等题.三、解答题：共76分.17.设向量(1,1)a =-r ，(3,2)b =r ，(3,5)c =v.（1）若()//a tb c +v v v，求实数t 的值；（2）求c r 在a r方向上的投影.【答案】（1）89t =-；（2）. 【分析】（1）计算出a tb +r r的坐标，然后利用共线向量的坐标表示列出等式求出实数t 的值；（2）求出a c ⋅r r 和a r ，从而可得出c r 在a r方向上的投影为a c a⋅r r r .【详解】（1）()1,1a =-r Q ，()3,2b =r，()31,21a tb t t ∴+=+-r r ，()//a tb c +r r r Q ，()3,5c =r ，()()321531t t ∴⨯-=⨯+，解得89t =-；（2）()13152a c ⋅=⨯+-⨯=-r r Q ，a ==rc ∴r 在a r方向上的投影a c a⋅==r rr 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查共线向量的坐标运算以及投影的计算，在解题时要弄清楚这些知识点的定义以及坐标运算律，考查计算能力，属于中等题.18.已知方程20x mx n ++=有两根1x 、2x ，且1arctan x α=，2arctan x β=.（1）当m =4n =时，求αβ+的值；（2）当sin m θ=-，()cos 0n θθπ=<<时，用θ表示αβ+. 【答案】（1）23π-；（2）22πθ-.【分析】（1）由反三角函数的定义得出1tan x α=，2tan x β=，再由韦达定理结合两角和的正切公式求出()tan αβ+的值，并求出αβ+的取值范围，即可得出αβ+的值；（2）由韦达定理得出12sin x x m θ+=-=，12cos x x θ=，再利用两角和的正切公式得出()tan αβ+的表达式，利用二倍角公式将等式两边化为正切，即可用θ表示αβ+.【详解】（1）由反三角函数的定义得出1tan x α=，2tan x β=，当m =4n =时，由韦达定理可得12x x m +=-=-，124x x n ==，易知1tan 0x α=<，2tan 0x β=<，02πα∴-<<，02πβ-<<，则0παβ-<+<由两角和的正切公式可得()1212tan tan tan 1tan tan 114x x x x αβαβαβ++-+====---，23παβ∴+=-；（2）由韦达定理得12sin x x m θ+=-=，12cos x x n θ==，所以，()122122sin cos costan tan sin 222tan 1tan tan 11cos sin112sin 22x x x x θθθαβθαβθθαβθ+++=====---⎛⎫-- ⎪⎝⎭sin 22tan 22cos 22πθπθπθ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，0θπ<<Q ，0222πθπ∴<-<，又由0θπ<<得sin 0θ>，则120x x +>，则1x 、2x 至少一个是正数，不妨设1>0x ，则02πα<<，又22ππβ-<<，2παβπ∴-<+<，易知()tan 0αβ+>，02παβ∴<+<，因此，22πθαβ+=-.【点睛】本题考查反正切的定义，考查两角和的正切公式的应用，同时涉及了二次方程根与系数的关系以及二倍角公式化简，在利用同角三角函数的基本关系解题时，需要对角的范围进行讨论，考查运算求解能力，属于中等题.19.某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ，现打算用它们和两面成直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB （假设OM 、ON 这两面墙都足够长）已知10PA PB==（米），π4AOP BOP ∠=∠=，OAP OBP ∠=∠，设OAP θ∠=，四边形OAPB 的面积为S .（1）将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；（2）求出S 的最大值，并指出此时所对应θ的值.【答案】（1）5022504S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中30,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）当38πθ=时，S 取得最大值)25021米.【分析】（1）在PAO ∆中，利用正弦定理将OA 、OP 用θ表示，然后利用三角形的面积公式可求出S 关于θ的表达式，结合实际问题求出θ的取值范围；（2）利用（1）中的S 关于θ的表达式得出S 的最大值，并求出对应的θ的值.【详解】（1）在PAO ∆中，由正弦定理得1023sin sinsin 44OA OP PAππθθ===⎛⎫- ⎪⎝⎭所以()32210210210cos sin 422OA πθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 102OP θ=，则PAO ∆的面积为()12sin 10cos sin 102244PAO S OA OP πθθθ∆=⋅⋅=⨯+⨯()()211cos 250sin cos sin 50sin 225sin 2cos 2122θθθθθθθ-⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭2254πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因此，22504PAO S S πθ∆⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，其中30,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）由（1）知，2504S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 30,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，52444πππθ∴-<-<，当242ππθ-=时，即当38πθ=时，四边形OAPB 的面积S 取得最大值)2501米.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的面积公式、两角和与差的正弦公式、二倍角公式以及三角函数的基本性质，在利用三角函数进行求解时，要利用三角恒等变换思想将三角函数解+析式化简，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤<的最小正周期为2π，且其图象的一个对称轴为2x π=，将函数()f x 图象上所有点的橫坐标缩小到原来的12倍，再将图象向左平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象.（1）求()f x 的解+析式，并写出其单调递增区间；（2）求函数()()y f x g x =-在区间[]0,2π上的零点；（3）对于任意的实数t ，记函数()f x 在区间,2t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，求函数()()()h t M t m t =-在区间[]0,π上的最大值. 【答案】（1）()sin f x x =，单调递增区间为()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）6x π=、56π、32π；（3.【分析】（1）由函数()y f x =的最小正周期求出ω的值，由图象的对称轴方程得出ϕ的值，从而可求出函数()y f x =的解+析式；（2）先利用图象变换的规律得出函数()y g x =的解+析式，然后在区间[]0,2π上解方程()()f x g x =可得出函数()()y f x g x =-的零点；（3）对t 分三种情况04t π≤<、42t ππ≤<、2t ππ≤≤分类讨论，分析函数()y f x =在区间,2t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的单调性，得出()M t 和()m t ，可得出()h t 关于t 的表达式，再利用函数()y h t =的单调性得出函数()y h t =的最大值.【详解】（1）由题意可知，212πωπ==，()()sin f x x ϕ=+. 令()2x k k Z πϕπ+=+∈，即()2x k k Z πϕπ=-+∈，即函数()()sin f x x ϕ=+的图象的对称轴方程为()2x k k Z πϕπ=-+∈.由于函数()()sin f x x ϕ=+图象的一条对称轴方程为2x π=，()22k k Z ππϕπ∴=-+∈，()k k Z ϕπ∴=∈，0ϕπ≤<Q ，0k ∴=，则0ϕ=，因此，()sin f x x =.函数()sin f x x =的单调递增区间为()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）将函数sin y x =的图象上所有点的橫坐标缩小到原来的12倍，得到函数sin 2y x =. 再将所得函数的图象向左平移4π个单位长度，得到函数()sin 2sin 2cos 242g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令()()0f x g x -=，即sin cos20x x -=，化简得22sin sin 10x x +-=，得sin 1x =-或1sin 2x =. 由于[]0,2x π∈，当sin 1x =-时，32x π=；当1sin 2x =时，6x π=或56π.因此，函数()()y f x g x =-在[]0,2π上的零点为6x π=、56π、32π；（3）当04t π≤<时，函数()y f x =在,2t π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在,22t ππ⎛⎤+ ⎥⎝⎦上单调递减，所以，()1M t =，由于()2f t f t π⎛⎫<+⎪⎝⎭，()()sin m t f t t ∴==，此时，()()()1sin h t M t m t t =-=-；当42t ππ≤<时，函数()y f x =在,2t π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在,22t ππ⎛⎤+ ⎥⎝⎦上单调递减，所以，()1M t =，由于()2f t f t π⎛⎫>+⎪⎝⎭，()sin cos 22m t f t t t ππ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时，()()()1cos h t M t m t t =-=-；当2t ππ≤≤时，函数()y f x =在区间,2t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以，()()sin M t f t t ==，()sin cos 22m t f t t t ππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时，()()()sin cos h t M t m t t t =-=-.所以，()1sin ,041cos ,42sin cos ,2t t h t t t t t t πππππ⎧-≤<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩.当04t π≤<时，函数()y h t =单调递减，()()01h t h ≤=；当42t ππ≤<时，函数()y h t =单调递增，此时()12h t h π⎛⎫<=⎪⎝⎭；当2t ππ≤≤时，()sin cos 4h t t t t π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当34t π=时，()max h t =综上所述：()max h t =【点睛】本题考查利用三角函数性质求解+析式、考查三角函数图象变换、三角函数的零点以及三角函数的最值，考查三角函数在动区间上的最值，要充分考查函数的单调性，结合三角函数的单调性求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.21.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，R 为ABC ∆的外接圆半径. （1）若2R =，2a =，45B =o ，求c ；（2）在ABC ∆中，若C 为钝角，求证：2224a b R +<；（3）给定三个正实数a 、b 、R ，其中b a ≤，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的ABC ∆不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在ABC ∆存在的情兄下，用a 、b 、R 表示c .【答案】（1（2）见解+析；（3）见解+析. 【分析】（1）利用正弦定理求出b 的值，然后利用余弦定理求出c 的值；（2）由余弦定理得出()222222sin 4a b c R C R +<=<可得证；（3）分类讨论判断三角形的形状与两边a 、b 的关系，以及与直径的大小的比较，分类讨论即可.【详解】（1）由正弦定理得2sin bR B=，所以2sin 4sin 45b R B ===o由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，化简得240c --=.0c >Q ，解得c =（2）由于C 为钝角，则0sin 1C <<，由于222cos 02a b c C ab+-=<，()22222222sin 4sin 4a b c R C R C R ∴+<==<，得证；（3）①当2a R >或2a b R ==时，所求ABC ∆不存在；②当2a R =且2b R <时，90A ∠=o ，所求ABC ∆有且只有一个，此时c ③当2a b R =<时，A B ∠=∠都是锐角，sin sin 2aA B R==，ABC ∆存在且只有一个，2cos c a A ==； ④当2b a R <<时，所求ABC ∆存在两个，B Ð总是锐角，A ∠可以是钝角也可以是锐角，因此所求ABC ∆存在，当90A <o 时，cos A =cos B =，sin 2a A R =，sin 2bB R=，c ====当90A >o 时，cos A =cos B =，sin 2a A R =，sin 2bB R=，c ====【点睛】本题综合考查了三角形形状的判断，考查了解三角形、三角形的外接圆等知识，综合性较强，尤其是第三问需要根据a 、b 两边以及直径的大小关系确定三角形的形状，再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强，难度较大.。

2018-2019学年上海市曹杨第二中学高一上学期期中数学试题(解析版)

【详解】解得.故，故B 选项正确.()10x x x -=-<01x <<,M N N M N M ⋃=⋂=故选：B.【点睛】本小题主要考查集合交集、并集的运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.．设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的( )．充分不必要条件B ．必要不充分条件．充要条件D ．既不充分也不必要条件[来【答案】A【解析】试题分析：|x －2|＜3可化为-1<x<5,所以甲是乙的充分不必要条件【考点】充分条件与必要条件．函数则对任意实数,下列不等式总成立的是( )()2f x x =，12x x 、且，则的上确界为（）R +1a b +=122a b --B ．C ．D ．92-924-【答案】A【解析】因为、且，所以a b R +∈1a b +=（当且仅当，即时取等号）；则，的上确界为.122a b --【考点】基本不等式.故答案为：.{}1,3【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集的运算，属于基础题.6．满足{1，2}A ⊆{1，2，3，4}的集合A 的个数是 ______ ．【答案】3【解析】【详解】∵，∴集合中除了含有1，2两个元素以外，至少必须含有另外一个元素，因此{}{}121234A ⊆ ，，，，A 满足条件的集合为，，共3个，故答案为3.A {}1,2,3{}1,2,4{}1,2,3,47．设若是的充分条件,则实数的取值范围是_______.:14:x x m αβ≤≤≤，，αβm 【答案】(],1-∞【解析】由题意得出，由此可得出实数的取值范围.[][)1,4,m ⊆+∞m 【详解】，，若是的充分条件，，则.:14x α≤≤ :x m β≤αβ[][)1,4,m ⊆+∞1m £因此，实数的取值范围是.m (],1-∞故答案为：.(],1-∞【点睛】本题考查利用充分条件求参数，一般转化为集合的包含关系求解，考查运算求解能力，属于基础题.8．已知，命题“若，则”的否命题是______.x ∈R 25x <<27100x x -+<【答案】若或，则2x ≤5x ≥27100x x -+≥【解析】根据四种命题的形式，直接写其否命题.【详解】【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足，函数定2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤义域为[]3,1-【考点】函数定义域．若则_________.()()233x x x f x g x x x -+==+，，()()f x g x ⋅=【答案】（且）1x -3x ≠-0x ≠【解析】先求得和的定义域的交集，再求得的表达式.()f x ()g x ()()⋅f x g x 【详解】定义域为，的定义域为，所以的定义域为)x {}|3x x ≠-()g x {}|0x x ≠()()⋅f x g x 2．已知正实数满足则的最小值为_________.x y 、31x y +=，x y 【答案】7【解析】用 “1”的代换的方法对所求表达式进行化简，再利用基本不等式求得最小值.【详解】依题意，当且仅当时，取得最133333331127x x y x y x y xx y x y x y x y++=+=++≥+⋅=331,4y x x y xy ===小值为.7故答案为：7【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.．若关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |1＜x ＜2}，则关于x 的不等式cx 2+bx +a ＞0的解集-______ ．1故关于x 的不等式cx 2+bx +a ＞0的解集是，()112⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，故答案为：．()112⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．．二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标分别为且()231y x a x =+-+x 12x x 、，则的取值范围是_________.222x ＜，＞，a 【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】构造函数，根据，求得的取值范围.()()231x a f x x +-=+()20f <a 【详解】，求得的定义域为.由，求得的定义112x ≤+≤12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭11,22A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦1012x ≤-≤12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.而.故的定义域为.13,22B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1|2A B x x ⎧⎫⋂==⎨⎬⎩⎭()h x 1|2x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭故答案为：1|2x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭【点睛】本小题主要考查抽象函数定义域的求法，属于基础题.．定义满足不等式|x A |＜B （A ∈R ，B ＞0）的实数x 的集合叫做A 的B 邻域．若a +b t （t 为正常--数）的a +b 邻域是一个关于原点对称的区间，则a 2+b 2的最小值为______．【答案】22t 【解析】先根据条件求出t ＜x ＜2（a +b ）t ；再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到a +b =t --．记关于的不等式的解集为P,不等式的解集为Q ，若x 1101a x +-+＜11x -≤0a P Q Q ⋂=＞，，的取值范围.a 【答案】()2,+∞【解析】解分式不等式求得集合，解绝对值不等式求得集合，结合，求得P Q 0,a P Q Q >⋂=a 取值范围.【详解】得，由于，所以.由得101a x +-+＜01x a x -<+0a >()1,P a =-11x -≤111,02x x -≤-≤≤≤.由于，所以.也即实数的取值范围是.[]0,2=0,a P Q Q >⋂=2a >a ()2,+∞【点睛】本小题主要考查根据集合交集的结果求参数，考查分式不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题()()()()2322220b a b ab a b a b a b a b +--=--=-+>，332222b ab ab a b ab ab ab+->+-比远离．3+b 22a b ab +2ab ab 【点睛】本题考查不等式的证明，其基本方法有）作差法：利用差的符号判断两个代数式的大小，作差后需利用因式分解、配方法等判断各因式的符号；）作商法：利用商与1的大小关系来判断两个代数式的大小，注意商的分母的符号；）利用基本不等式：根据不等式的代数结构特点选择合适的基本不等式帮助证明．．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。

2018学年上海市普陀区曹杨二中高一年级期中考卷(含答案)

A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 70A 9A 8曹杨二中高一数学期中考试一、填空题1. 已知角α的终边经过点(4,3)P a a ，0a <,则sin α=2. 已知cos cot 0θθ<，则角θ所在的象限为3.函数2sin cos y x x x =+的最小正周期T =4. 化简cos()cos()cos(2)2tan()cot()ππαβαβπαππβ-+-⋅-++--的结果为5. 若(cos )cos 2sin f x x x =+，[]0,x π∈，则(sin)6f π的值为6. 已知1cot 2θ=，则22sin 2sin cos cos 2θθθθ+-+的值为7. 扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =8. 将函数cos y x =，x R ∈的图像向右平移3π个单位，然后保持每个点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的三倍，得到的函数解析式为9. 如图为第七届国际数学教育大会会徽图案，它由一串直角三角形演化而成，其中11289......1OA A A A A =====，112223889A A OA ⊥A A ，OA ⊥A A ，...OA ⊥，它可以形成近似的等角螺线。

则1245tan()AOA A OA +=∠∠10. cos cos cos ,A B Ca b c==△ABC,若则△ABC 为三角形 11. 若函数()sin sin ,044f x a x b x ab ππ⎛⎫⎛⎫=++-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，则有序实数对（a,b ）可以是（）（写出你认为正确的一组数字即可）12. 已知6sin sin ,cos cos 5αβαβ+=+则取值范围是13. 给出函数()sin |2sin |,f x x x =+有下列四个结论：（1）该函数的值域为[0，3]；（2）当且仅当2()2x k k ππ=+∈Z 时，该函数取得最大值3；（3）函数的单调增区间为,()2k k k πππ⎡⎤+∈Z ⎢⎥⎣⎦；（4）当且仅当1<m<3，方程()2f x m x π=≤≤在0上有两个不同的解；其中正确结论的序号为14. 22cos 30,,,3,,tan 316633cos33x x m x y x y m R x y y y m πππ⎧--=⎪⎡⎤⎛⎫∈-≠∈+-=⎨ ⎪⎢⎥-=⎣⎦⎝⎭⎪⎩且则二、选择题15. “=αβ”是“tan tan αβ= ”成立的何种条件（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 16. 函数sin y x = 与函数tan y x =在[]2,2x ππ∈- 的交点个数为（） A. 3个 B.5个 C.7个 D.9个 17. 定义{},a a bMax a b b a b≥⎧=⎨<⎩ ，则下列关于函数{}sin ,cos y Max x x = 的性质描述错误的选项为（）A. 周期为2πB. 对称轴为,4x k k ππ=+∈ZC.值域为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 单调递增区间为52,22,4k k k ππππ⎡⎤++∈Z ⎢⎥⎣⎦ 18. 对于已知函数cos y x =，若存在实数12,,...,n x x x ，满足120...4n x x x π≤<<<≤，且12231()()()()...()()8n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，*2,n n ≥∈N ，则n 的最小值为（）A.3B.4C.5D.6三、解答题19.已知()0,απ∈，且1sin cos 3αα+=：（1）求sin cos αα-的值；（2）求cos2α的值20.在三角形ABC 中，a b c 、、是它的三条边，且满足222a cb +-=：（1）求角B 的大小；（2）若2b =，求ABC ∆的面积S 的最大值及去的最大值时角A 的大小；21.如图，在宽为20的草坪内修建两个关于DE 对称的直角三角形花坛，其中∠=BCD θ=10BD ；（1）求两个直角三角形花坛的周长y 关于θ的函数关系式；（2）当θ为多少时，周长y 取得最小值，并求此最小值；22.阅读问题；已知点1(,22A 将OA 绕坐标原点逆时针旋转2π至OB ，求点B 的坐标；解：如图，点A 在角α的终边上，且11cos =2OA α=，则，sin 2α=，点B 在角+2πα的终边上，且1OB =，于是点B 的坐标满足：1cos sin sin cos 222B B x y ππαααα⎛⎫⎛⎫=+=-==+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1()22B - ：（1）将OA 绕坐标原点逆时针旋转2π并延长至C 使4OC OA =，求点C 的坐标：（2）将OA 绕坐标原点逆时针旋转θ并延长至ON ，使得(0)ON rOA r => ，求点N 的坐标（用含有r θ、的数学式子表示）；（3）定义()()1122,.,P x y Q x y 的中点为1212,.22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭ 将OA 逆时针旋转β角，并延长至OD ，使2OD OA =，且DA 的中点M 也在单位圆上，求cos β的值答案：1.35- 2.三和四 3.π 4.sin()αβ- 6.175 7.23 8.cos()33x y π=- 9. 3，10. 等腰直角三角形 11. （1.-1）12. 88-55⎡⎤⎢⎥⎣⎦，13. （1）（2）（3）（4）14. 15.D 16.B 17.D 18.C19.(1)3 (2)9- 20.(1)6π (2)S 最大值为14，角A 为512π21（1）1sin cos 20()sin cos y θθθθ++= （2）min =,404y πθ=+22 （1）()（2）()cos(),sin()r r αθαθ++ 或cos(),sin())r r αθαθ--（（3）1-4。

上海市上海中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题

上海中学2017-2018学年高一期中数学卷一. 填空题1. 已知角的终边在射线上，则________【答案】【解析】在射线上任取一点，∴，∴，，∴，故答案为.2. 若，则________【答案】【解析】若，则，故答案为.3. 函数的最小正周期为________【答案】【解析】函数的最小正周期为，故答案为.4. 在△中，若，则△为________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）【答案】直角【解析】中，∵，即，∴，∴，故为直角三角形，故答案为直角.5. 若，，则________【答案】【解析】∵，，∴，，∴联立，解得：，，∴，故答案为.点睛：本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题；由已知利用两角和与差的余弦函数公式可联立解得，，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解.6. 已知，则________（用反正弦表示）【答案】【解析】由于表示上正弦值等于的一个锐角，由，则，故答案为.点睛：本题考查反三角函数的运用，解题的关键理解反三角函数的定义，用正确的形式表示出符号条件的角，本题重点是理解反三角函数定义，难点表示出符合条件的角，反三角函数在新教材省份已经不是高中数学学习内容；本题是一个知道三角函数值及角的取值范围，求角的问题，由于本题中所涉及的角不是一个特殊角，故需要用反三角函数表示出答案.7. 函数，的值域为_______【答案】【解析】令，则，∵，∴，∴当时，取得最小值，当或时，取得最大值，故答案为.点睛：与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值；③型，可化为求最值；④形如可设换元后利用配方法求最值. 8. 将函数的图像向左平移个单位后，所得图像关于原点对称，则实数的最小值为________【答案】【解析】把函数象向左平移个单位，可得的图象，根据所得函数图象关于原点对称，可得，，即，则的最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题；三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由的图象得到的图象时，需平移的单位数应为，而不是．9. 若函数的图像关于对称，则________【答案】【解析】，其中，，，∵函数图象关于对称，∴，即，．∵，∴，∴，∴，解得，故答案为.10. 若函数和定义域均是，则它们的图像上存在________个点关于轴对称【答案】2【解析】在同一坐标系中画出函数和的图象，其中，如图所示；则的图象上存在2个点关于轴对称，分别是和与；的图象上存在2个点关于轴对称，分别是和与，故答案为2.11. 已知是正整数，且，则满足方程的有________个【答案】11【解析】由三角函数的单调性及值域，可知，∴除外只有当等式的左右两边均为时等式成立，则、、、、、、、、、、时等式成立，满足条件的正整数有11个，故答案为11.12. 已知函数，其中、、、均为实数，且，，，写出满足，，，的一个函数________（写出一个即可）【答案】.........二. 选择题13. 已知，则点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】∵，∴，，，∴，∴点在第二象限，故选B.点睛：本题主要考查了由三角函数值的符号判断角的终边位置，属于基础题；三角函数值符号记忆口诀记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正.14. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】满足既是偶函数又在上单调递增，故选C．15. 将函数图像上的点向左平移个单位长度得到点，若点位于函数的图像上，则（）A. ，的最小值为B. ，的最小值为C. ，的最小值为D. ，的最小值为【答案】A【解析】试题分析：由题意得，，故此时所对应的点为，此时向左平移个单位，故选A.考点：三角函数图象平移16. 若、，且，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设，，∴，当时，，∴为减函数，当时，，∴为增函数，且函数为偶函数，∵，∴，∴，∴. 考点：1.函数的单调性；2.函数的奇偶性.三. 简答题17. 求证：.【答案】见解析【解析】sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ.由待证式知sinα≠0，故两边同除以sinα得－2cos(α＋β)＝.在证明三角恒等式时，可先从两边的角入手——变角，将表达式中的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中的函数种类尽量减少，这是三角恒等变换的基本策略．18. 已知，. （1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由，．利用二倍角公式即可出的值；（2）根据的值求出和，利用二倍角和和与差的公式化简可求出的值.试题解析：（1），（2）19. 写出函数的值域、单调递增区间、对称轴方程、对称点坐标（只需写出答案即可），并用五点法作出该函数在一个周期内的图像.【答案】见解析【解析】试题分析：先化简函数的的解析式，根据正弦函数的图象与性质列出不等式或等式得出各结论.试题解析：，值域：；递增区间：，；对称轴：，；对称中心：，；作图：20. 已知集合，.（1）求证：；（2）是周期函数，据此猜想中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；（3）是奇函数，据此猜想中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论.【答案】（1）见解析（2）是；（3）不是，反例：.试题解析：已知集合，. （1）；（2）（3）不是奇函数.21. 已知函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.（1）求函数与的解析式；（2）求实数与正整数，使得在内恰有2017个零点.【答案】（1），；（2），.【解析】试题分析：（1）依题意，可求得，，利用三角函数的图象变换可求得；（2）依题意，，先求出在内零点的个数，在由周期性得结果.试题解析:（1），，所以（2），当时，在内内恰有3个零点.所以。

上海市曹杨二中2017-2018学年高三下开学考数学试题(无答案)word

2018届曹杨二中高三下学期开学考数学试卷2018.2.22一、填空题（54分）1、已知集合},2|{R x y y A x∈==，},|{2R x x y y B ∈-==，则B A =_______2、已知向量)0,1(-=a，)3,4(=b，则a在b方向上的投影是_________3、若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛211321，则该线性方程组的解为_______ 4、一组数据12,11,,9,8x 平均数是10，则这组数据的方差是_______5、若复数231i +-=ω（i 为虚数单位），则12++ωω=______ 6、已知函数⎩⎨⎧∈∈=]3,1(,2]1,0[,2)(x x x x f x，则)(1x f -的最大值是_____ 7、若圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则圆锥的母线与底面所成角的大小为_____ 8、已知点P 在抛物线x y 42=上，如果点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值，那么点P 的坐标是_______9、用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位偶数的概率是______ 10、函数x y a log =在),2[+∞上恒有1||>y ，则实数a 的取值范围是_________ 11、如图在杨辉三角中从上往下数共有n 行，在这些数中非1的数字之和为_____14641133112111112、定义函数}}{{)(x x x f =，其中}{x 表示不小于x 的最小整数，如2}4.1{=，2}3.2{-=-，当()*∈∈Nn n x ],0(时，函数)(x f 的值域为nA，记集合n A 中元素的个数为n a ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n n a a a 111lim 21=_______ 二、选择题（20分）13、已知直线R y x l ∈=-+θθθ,01sin cos :与圆)0(:222>=+r r y x C ，则1=r 是直线与圆相切的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既非充分又非必要条件 14、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A 、37 B 、29 C 、27 D 、49 15、有4张软盘与5张光盘的价格之和不小于20元，6张软盘与3张光盘的价格之和不大于24元，则买3张软盘与9张光盘至少需要（） A 、15元 B 、22元 C 、36元 D 、72元16、设函数的定义域是)1,0(，且满足：（1）对于任意的)1,0(∈x ，0)(>x f ；（2）对于任意的)1,0(,21∈x x ，恒有2)1()1()()(2121≤--+x f x f x f x f 。

上海曹杨二中数学高一下期中经典练习题(专题培优)

一、选择题1．(0分)[ID ：12421]设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥2．(0分)[ID ：12420]若四棱锥的三视图如图，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大值为（）A ．3B ．13C ．32D ．333．(0分)[ID ：12411]已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（） A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥4．(0分)[ID ：12409]如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202π+B ．203π+C ．242π+D ．243π+5．(0分)[ID ：12376]设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//；②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（） A ．①② B ．②④ C ．③④ D ．①③6．(0分)[ID ：12353]已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（）A ．2B ．32C 322D ．227．(0分)[ID ：12351]已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（）A ．3πB ．23πC ．43πD ．12π8．(0分)[ID ：12349]已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（） A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π9．(0分)[ID ：12343]在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面1202,2ABC BAC AP AB ∠=︒==，，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 长度最小值为3，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（） A ．92π B ．92πC ．18πD ．40π10．(0分)[ID ：12333]已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（） A ．||αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．||m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭ C ．||||||m m n n γγ⎫⇒⎬⎭D ．||m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭11．(0分)[ID ：12369]某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（）A ．13B ．12C ．16D ．112．(0分)[ID ：12367]如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2a C ．2aD ．22a 13．(0分)[ID ：12406]圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（） A ．22(1)(1)5x y ++-= B ．22(1)(1)5x y -++= C ．22(1)(1)5x y -++=D ．22(1)(1)5x y ++-=14．(0分)[ID ：12338]某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A ．3B 1033C ．23D 83315．(0分)[ID ：12363]若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A ．1∶2 B ．13C ．15D 32二、填空题16．(0分)[ID ：12477]已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ； ②l ⊥AC ；③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直； ④当x 变化时，l 不是定直线.其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)17．(0分)[ID ：12460]正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1CC 上的动点，Q 为1BD 上的动点，则线段PQ 的长度的最小值为______.18．(0分)[ID ：12527]如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是_____19．(0分)[ID ：12511]在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____． 20．(0分)[ID ：12480]已知α∈R ，()ππ2k k Z α≠+∈，设直线:tan l y x m α=+，其中0m ≠，给出下列结论：①直线l 的方向向量与向量()cos , sin a αα=共线； ②若π04α<<，则直线l 与直线y x =的夹角为π4α-；③直线l 与直线sin cos 0x y n αα-+=（n m ≠）一定平行；写出所有真命题的序号________ 21．(0分)[ID ：12471]若圆1C ：220x y ax by c 与圆2C ：224x y +=关于直线21y x =-对称，则c =______.22．(0分)[ID ：12470]已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则 ①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)． 23．(0分)[ID ：12459]已知直线40Ax By A +-=与圆O ：2236x y +=交于M ，N 两点，则线段MN 中点G 的轨迹方程为______． 24．(0分)[ID ：12520]如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，90ABC ∠=，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是__________.25．(0分)[ID ：12450]已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点．如果2AB AC ==，22BC =，则球心到平面ABC 的距离为__________．三、解答题26．(0分)[ID ：12623]如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点．（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,AB BC CF DE ⊥=，45BAC ∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．27．(0分)[ID ：12583]如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24=-l y x ，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围. 28．(0分)[ID ：12543]在正方体1111ABCD A B C D -中，AB=3，E 在1CC 上且12CE EC =．（1）若F 是AB 的中点，求异面直线1C F 与AC 所成角的大小；（2）求三棱锥1B DBE -的体积．29．(0分)[ID ：12533]如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形．（1）求证：BD PC ⊥；（2）若平面PBC 与平面PAD 的交线为l ，求证：//BC l ．30．(0分)[ID ：12609]在平面直角坐标系xOy 中，已知两直线1:330l x y --=和2:10l x y ++=，定点(1,2)A .（1）若1l 与2l 相交于点P ，求直线AP 的方程；（2）若1l恰好是△ABC的角平分线BD所在的直线，2l是中线CM所在的直线，求△ABC 的边BC所在直线的方程.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．C3．C4．B5．B6．B7．C8．C9．C10．D11．A12．D13．A14．B15．C二、填空题16．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P＝A1Q＝x∴PQ∥B1D1∥BD∥EF则PQ∥平面MEF 又平面MEF∩平面MPQ＝l∴PQ∥ll∥EF∴l∥平面ABCD故①成立；又EF⊥AC∴l⊥AC故17．【解析】【分析】首先根据数形结合分析可知线段的长度的最小值转化为在平面上投影线段的最小值然后转化为点到直线的距离的最小值【详解】当平面时线段与其在平面上投影相等当与平面不平行时是斜线段大于其在平面上18．【解析】设球半径为则故答案为点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体锥体或台体则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出则常19．【解析】【分析】先确定轨迹再根据射线上点与圆的位置关系求最值即得结果【详解】所以为以为圆心为半径的圆及其内部设射线的端点为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系考查数形结20．①②【解析】【分析】①求出直线l的方向向量判断它与向量共线;②求出直线l和直线y＝x的斜率与倾斜角即可得出两直线的夹角;②根据两直线的斜率与在y轴上的截距得出两直线不一定平行【详解】对于①直线l的方21．【解析】【分析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称则两圆的圆心的连线与直线垂直且中点在直线上圆的半径也为即可求出参数的值【详解】解：因为圆：即圆心半径由题意得与关于直线对称则解得圆的半径解得故答案为22．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m可以和面β成任意角度①不正确；l⊂γl⊥m 所以l⊥α②正确；③显然不对；④因为l⊂βl⊥α23．【解析】【分析】直线过定点设代入方程利用点差法计算得到答案【详解】直线过定点设则两式相减得到即故整理得到：故答案为：【点睛】本题考查了轨迹方程意在考查学生对于点差法的理解和掌握24．【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形且BD⊥平面PCD求出三棱锥P﹣BDC的外接球半径R＝由此能求出该球的表面积【详解】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形且BD⊥平25．【解析】设球的半径为表面积解得∵在中∴从圆心作平面的垂线垂足在斜边的中点处∴球心到平面的距离故答案为点睛：本题考查的知识点是空间点线面之间的距离计算其中根据球心距球半径解三角形我们可以求出所在平面截三、解答题26．27．28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内. 【考点定位】点线面的位置关系2．C解析：C 【解析】【分析】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，可证得,CD PD ⊥CB PB ⊥，分别计算四个侧面三角形的面积，比较即得解. 【详解】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，其中底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD由于,,CD AD CD PA AD PA A CD ⊥⊥=∴⊥平面PAD ，CD PD ∴⊥同理可证：CB PB ⊥1111222,2332222PAB PAD S PA AB S PA AD ∆∆∴=⨯=⨯⨯==⨯=⨯⨯= 1111322222PBC PCD S PB BC S CD PD ∆∆=⨯=⨯==⨯=⨯=故四棱锥的四个侧面的面积中最大值为故选：C 【点睛】本题考查了利用三视图还原几何体，侧面三角形面积的计算，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.3．C解析：C 【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误. 故选C.4．B解析：B 【解析】该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为2215221122032S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．5．B解析：B 【解析】【分析】【详解】①a ∥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故①错误； ②若a ∥b ，a ⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b ⊥α，故②正确； ③a ⊥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故③错误； ④若a ⊥α，b ⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a ∥b ，故④正确．故选B ．6．B解析：B 【解析】【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -,所以圆心为()0,0.=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=.又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值.223416,故m =故选：B 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型.7．C解析：C 【解析】【分析】的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得结论【详解】由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为∴三棱锥的外接球体积为343π⨯=故选C 【点睛】本题主要考查了三视图，几何体的外接球的体积，考查了空间想象能力，计算能力，属于中档题．8．C解析：C 【解析】【分析】根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案.【详解】SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6SBA π∠=，故4SA =. ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，设球O 的半径为R ，则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得25R =，故球O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C . 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9．C解析：C 【解析】【分析】首先确定三角形ABC 为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积．【详解】解：如图所示：三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面2,2ABC AP AB ==，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 3 则：当AM BC ⊥时，线段PM 达到最小值，由于：PA ⊥平面ABC ，所以：222PA AM PM +=，解得：1AM =，所以：3BM =，则：60BAM ∠=︒，由于：120BAC ∠=︒，所以：60MAC ∠=︒ 则：ABC 为等腰三角形．所以：23BC =在ABC 中，设外接圆的直径为2324120r sin ==︒，则：2r =，所以：外接球的半径2229222R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，则：94182S ππ=⋅⋅=，故选：C ．【点睛】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用．10．D解析：D 【解析】试题分析：A.}r rααββ⊥⇒⊥不正确，以墙角为例，,αβ可能相交；B.}m l l m ββ⇒⊥⊥不正确，,l β有可能平行；C.}m rm n n r⇒不正确，m,n 可能平行、相交、异面；故选D 。

2017-2018学年上海市曹杨二中高三10月月考数学试卷

2017-2018学年上海市曹杨二中高三10月月考数学试卷2017.10一. 填空题1. 已知集合2{|230}A x x x =--≤，{||2|2}B x x =-<，则A B = 2. 已知1sin()23πα+=，则cos()πα-=3. 若(12)n x +（*n N ∈）展开式中各项系数和为243，则n =4. 满足方程2lg lg 1121x x -=的实数解x =5. 若x R ∈，则不等式||(1)0x x +>的解集是6. 函数12()12xx f x -=+的值域是 7. 若线性方程组(3)305(3)30a x y x a y ++-=⎧⎨-+-+=⎩有解，则实数a 的取值范围是8. 若函数2()21f x ax x =-+在[0,1]x ∈上存在唯一零点，则实数a 的取值范围是 9. 已知一个球的球心O 到过球面上A 、B 、C 三点的截面的距离等于此球半径的一半，若 3AB BC CA ===，则球的体积为10. 从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则关于x 的方程2220x ax b ++=有两个虚根的概率是11. 已知121122sin 2sin αα+=++，其中12,R αα∈，则12|10|παα--的最小值为12. 已知数列{}n a 的通项公式为52n n a -=，数列{}n b 的通项公式为n b n k =+，设n n n n n n n b a b c a a b ≤⎧=⎨>⎩，若在数列{}n c 中，5n c c ≤对任意*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围是二. 选择题13. 已知a 、b 为实数，则22a b >是22log log a b >的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14. 数列{}n a 的通项22(cos sin )33n n n a n ππ=-，其前n 项和为n S ，则10S 为（）A. 0B. 1- C. 12 D. 12-15. 已知集合{(,)|log log 0}a a A x y x y =+>，{(,)|}B x y y x a =+<，若A B =∅ ，则a 的取值范围是（）A. ∅B. 0a >且1a ≠C. 02a <≤且1a ≠D. 12a <≤16. 已知函数()1||x f x x =+（x R ∈）时，则下列结论：①()f x 是R 上的偶函数；②()f x 是R 上的增函数；③不等式|()|1f x <在R 上恒成立；④函数()()g x f x x =-在R 上有三个零点；其中错误的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4三. 解答题17. 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，且满足2c o s 3(c o s c o s )b Ac A a C =+；（1）求A 的大小；（2）若2a =，c =b c >，求ABC ∆的面积；18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，90BAD ∠=︒，PA 垂直于底面ABCD ，22PA AD AB BC ====，M 、N 分别为PC 、PB 的中点；（1）求证：M 、N 、A 、D 四点共面，并证明PB M D ⊥；（2）求直线PC 与平面MNAD 所成角的大小（用反三角函数值表示）；19. 已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点；（1）若0OA OB ⋅=，求实数k 的值；（2）是否存在实数k ，使得A 、B 两点关于12y x =对称？若存在，求k 的值，若不存在，说明理由；20. 已知点列11(1,)B y 、22(2,)B y 、⋅⋅⋅、(1,)n n B y 、⋅⋅⋅（*n N ∈）为函数x y a =（1a >）图像上的点，点列11(,0)A x 、22(,0)A x 、⋅⋅⋅、(,0)n n A x 、⋅⋅⋅（*n N ∈）顺次为x 轴上的点，其中1x m =（01m <<），对任意*n N ∈，点n A 、n B 、1n A +构成以n B 为顶点的等腰三角形；（1）证明：数列{}n y 是等比数列；（2）若数列{}n y 中任意连续三项能构成等边三角形的三边，求a 的取值范围；（3）求证：对任意*n N ∈，2n n x x +-是常数，并求数列{}n x 的通项公式；21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的1x 、2x R ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤；（1）若3()1f x ax =+，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）若(0)0f =，()(1)1f x f x +-=，1()()52x f f x =， ①记1()5n n a f =（*n N ∈），求数列{}n a 的通项公式；②求1()2017f 的值；参考答案一. 填空题1. (0,3]2. 13-3. 54. 105. (1,0)(0,)-+∞6. (1,1)-7. 2a ≠-，a R ∈8. (,1]-∞9. 323π10. 15 11. 4π12. [5,3]--二. 选择题13. B 14. D 15. D 16. B三. 解答题17.（1）6A π=；（2）18.（1）证明略；（2）arctan19.（1）1k =±；（2）不存在；20.（1）证明略；（2）112a +<<；（3）22n n x x +-=，当n 为偶数时，n x n m =-，当n 为奇数时，1n x n m =+-；21.（1）0a ≥；（2）证明略；（3）①1()2nn a =；②11()201732f =；。

上海市曹杨第二中学2017-2018学年高二下期中考试数学试题(无答案)

曹杨二中2017-2018学年第二学期高二年级期中考试数学试卷一、填空题(1至6题毎题4分,7至1题每题5分,共54分)1.直线1+=x y 的倾斜角大小为_________.2.过()()42，、，m Q m P -两点的直线斜率为1,那么m 的值为________.3.若椭圆1422=+my x 的焦距为2,则=m ______. 4.过点()，，124P ,且平行于直线013:0=+-y x l 的直线的一般方程为__________. 5.两条直线023:1=++y x l 和032:2=--y x l 的夹角大小为__________.6.已知双曲线，12222=-y a x 其右焦点与抛物线x y 342=的焦点重合,则该双曲线方程为____________.7.若()022222=++++a ax y a x a 表示圆,则实数a 的值为_______. 8.设椭圆13422=+y x 的左、右焦点分别为，、21F F 过焦点1F 的直线交椭圆于M 、N 两点,若 2MNF △的内切圆的面积为π,则=2MNF S △________.9.若直线b x y +=和曲线21x y -=有两个交点,则实数b 的取值范围为_______.10.已知F 是抛物线C:x y 82=的焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交y 轴于点N,若M 为FN 的中点,则=FN ______. 11.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线()0012222＞，＞b a by a x =-的右支与焦点为F 的抛物线()022＞p py x =交于A 、B 两点,若，OF BF AF 4=+则该双曲线的渐近线方程为__.12.已知椭圆()101222＜＜b b y x =+的左、右焦点分别为，、21F F 记，c F F 221=若此椭圆上存在点P,使P 到直线cx 1=的距离是1PF 与2PF 的等差中项,则b 的最大值为________. 二、选择题(每题5分,共20分)13.双曲线122=-my x 的实轴长是虚轴长的2倍,则=m A.41 B.21 C.2 D.4 14.关于双曲线141622=-y x 和141622=-x y 焦距和渐近线,下列说法正确的是 A.焦距相等,渐近线相同 B.焦距相等,渐近线不同C.焦距不相等,渐近线相同D.焦距不相等,渐近线不相同15.过抛物线()022＞p px y =的焦点作一条直线交抛物线于()()，，、，2211y x B y x A 则2121x x y y 为 A.4 B.4- C.2p D.2p -16.已知曲线2:1=-x y C 与曲线4:222=+y x C λ怡好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是A.(][)101，， -∞-B.(]11--，C.[)11，- D.[]()∞+-，，101 三、解答题(共76分)17.已知△ABC 的三个顶点坐标分别为()()().011331，、，、，-C B A (1)求边AB 边所在直线的方程；(2)求△ABC 的面积.18.已知椭圆()11:222＞a y ax C =+焦距为.32 (1)求椭圆的标准方程；(2)求椭圆中斜率为1的平行弦的中点的轨迹方程.19.已知双曲线，134:22=-y x C 其右顶点为P. (1)求以P 为圆心,且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；(2)设直线l 过点P,其法向量()，，11-=若在双曲线C 上恰有三个点321P P P 、、到直线l 的距离均为，d 求d 的值.20.已知抛物线px y C 2:2=过点()，，11P 过点⎪⎭⎫ ⎝⎛210，D 作直线l 与抛物线C 交于不同两点M 、N ，过M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A 、B ，其中O 为坐标原点.(1)求抛物线C 的方程；(2)写出抛物线的焦点坐标和准线方程；(3)求证:A 为线段BM 的中点.21.已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x C =+长轴的两顶点为A 、B ，左、右焦点分别为，、21F F 焦距为c 2且，c a 2=过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的弦长为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)在双曲线13422=-Γy x ：上取点Q 异于顶点)，直线OQ 与椭圆C 交于点P ，若直线AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别为，、、、4321k k k k 试证明:4321k k k k +++为定值；(3)在椭圆C 外的抛物线x y K 4:2 上取一点E ，若21EF EF 、的斜率分别为，、21k k 求211k k 的取值范围.。

上海市曹杨第二中学2018-2019学年高一上学期期中数学试卷及解析

上海市曹杨第二中学2018-2019学年高一上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设集合}{}2|0|2M x x x N x x =-=＜，＜，则( ) A.M N ⋂=∅B.M N M ⋂=C.M N M ⋃=D.MN R =2.设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[来3.函数()2f x x =，则对任意实数12x x 、,下列不等式总成立的是( )A.()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭B.()()121222f x f x x x f ++⎛⎫⎪⎝⎭＜C.()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭ D.()()121222f x f x x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭＞4.对于使()f x M ≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做()f x 的上确界，若a 、b R +∈且1a b +=，则122a b--的上确界为（） A.92-B.92C.D.4-第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）5.设全集{}(){}123424U M C N ⋂=，，，，，，则N =_______.6.满足{1，2}⊈A⊆{1，2，3，4}的集合A 的个数是 ______ ．7.设:14:x x m αβ≤≤≤，，若α是β的充分条件,则实数m 的取值范围是_______. 8.已知x ∈R ，命题“若25x <<，则27100x x -+<”的否命题是______.9.若()()233x x x f x g x x x-+==+，，则()()f x g x ⋅=_________. 10.已知00220x y x y +=＞，＞，，则xy 的最大值是_______.11.已知正实数x y 、满足31x y +=，则13xx y+的最小值为_________. 12.若关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |-1＜x ＜2}，则关于x 的不等式cx 2+bx +a ＞0的解集是______ ．13.二次函数()231y x a x =+-+的图像与x 轴的两个交点的横坐标分别为12x x 、，且1222x x ＜，＞，则a 的取值范围是_________.14.设()f x 的定义域是[]01，，则函数()1122h x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为_______.15.定义满足不等式|x -A |＜B （A ∈R ，B ＞0）的实数x 的集合叫做A 的B 邻域．若a +b -t （t 为正常数）的a +b 邻域是一个关于原点对称的区间，则a 2+b 2的最小值为______．三、解答题（题型注释）16.记关于x 的不等式1101a x +-+＜的解集为P,不等式11x -≤的解集为Q ，若0a P Q Q ⋂=＞，，求实数a 的取值范围.17.若实数x 、y 、m 满足x m y m ->-，则称x 比y 远离m ．（1）若21x -比3远离0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33+a b 比22a b ab +远离2． 18.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。

上海市曹杨二中2018-2019学年高一下学期期中数学试题

曹杨二中2018-2019学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷一、填空题1.已知一扇形弧长43π，所在圆半径为2,则扇形面积为________. 2.已知()815P -，为角α终边上的一点,则cos α=_______. 3.化简:()()tan cos 3sin cot 22πααππαα-⋅-=⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________. 4.函数tan 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为________. 5.若当x θ=时,函数()sin cos y x x x R =-∈取最大值,则tan θ=______.6.若α是第三象限角,且()()5sin cos sin cos 13αβββαβ-+-=-，则tan 2α=_______. 7.已知()0απ∈，，若1sin cos 5αα+=，则cot tan cos 2ααα-=______. 8.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，)cos cos c A a C -=，则cos A =____ 9.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a b c 、、，已知430a B ==︒，，要使该三角形有唯一解，则b 的取值范围为________.10.函数()tan (0)f x x ωω=>的相邻两支截直线4y π=所得线段长4π，则4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值________. 11.函数()[]3sin sin 02f x x x x π=+∈，，的图象与直线y k =至少有三个不同的交点，则k 的取值范围是__________. 12.若对任意实数x ，不等式2sin 2cos 3x a x a -≤+恒成立，则实数a 的取值范围是______.二、选择题13.在ABC ∆中，“sin sin A B ≠”是“A B ≠”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 14.在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判定15.已知函数()22cos sin f x x x =-，下列说法错误的是（） A. ()cos 2f x x =B. 函数()f x 的图象关于直线0x =对称C. ()f x 的最小值正周期为πD. ()f x 的对称中心为()0k k Z π∈，， 16.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（）A.B. C .D. 三、解答题17.(1)若α是第二象限的角,化简2sec 1sin αα-；(2)已知43sin 252πααπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，，，求tan 32πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 18.在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足a b c <<，2sin b a B =.（1）求A 的大小；（2）若2,23a b ==ABC ∆的面积.19.如图,学校升旗仪式上，主持人站在主席台前沿D 处，测得旗杆AB 顶部的仰角为α，俯角最后一排学生C 的俯角为β，最后一排学生C 测得旗杆顶部的仰角为γ，旗杆底部与学生在一个水平面上，并且不计学生身高.(1)设CD x =米,试用αβγ、、和x 表示旗杆的高度AB (米)；(2)测得56x =301560αβγ=︒=︒=︒，，，若国歌长度约为50秒，国旗班升旗手应以多大的速度匀速升旗才能是国旗到达旗杆顶点时师生的目光刚好停留在B 处?20.已知函数()cos sin 3.333x x x f x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭(1)将()f x 化为()sin 0022A x H A ππωφωφ⎛⎫⎛⎫++∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞，＞，，的形式,并写出其最小正周期和图象对称轴方程,并判断函数的奇偶性(不需证明)；(2)若三角形三边a b c 、、满足2b ac b =，所对为B ，求B 的范围；(3)在(2)的条件下，求()f B 的取值范围.21.已知函数()sin 210.3f x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，＞ (1)当12ω=时,求函数()f x 的单调递减区间； (2)对于(]x a a a π∈+，，为任意实数，关于x 的方程()1f x =-恰好有两个不等实根，求实数ω的值；(3)在(2)的条件下,若不等式()1f x t +＜在03x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，内恒成立，求实数t 的取值范围.。

2017学年曹杨二中高一数学学科月考试卷分析

2017学年曹杨二中高一数学学科月考试卷分析（考试时间：90分钟，满分100分）2017.12一、试卷结构（题型、题量、分值）：试卷分析题型题量分值填空题12道每题4分，共48分选择题4道每题4分，共16分解答题4道6+8+10+12，共36分二、模块分析模块：1、集合与命题2、不等式3、函数的基本性质4、幂函数、指数函数和对数函数分析内容：1、整体评析2、测量目标3、考查内容4、难度系数5、备考战略整体评价测量目标考察内容整体难度备考战略1.集合与命题主要分布在填空题和选择题的第一题集合及其表示法、充分条件、必要条件集合的性质、充分条件、必要条件易熟练掌握集合的运算、集合的性质2.不等式主要分布在填空题和解答题其他不等式的解法、基本不等式及其应用分式不等式的解法、基本不等式应用题易熟练掌握基本不等式、其他不等式的解法及相关应用3.函数的基本性质分布在填空题、选择题、解答题函数的概念、函数的基本性质函数的定义域、函数的值域、函数的奇偶性、函数的单调性、函数的零点、函数的图像及其平移难掌握求函数的定义域、值域的一般方法、会判断函数的单调性、奇偶性、零点以及函数的平移4、幂函数、指数函数和对数函数分布在填空题、选择题、解答题幂函数的图像与性质、指数函数的图像与性质、对数的概念及运算、反函数的概念、对数函数的图像与性质幂函数单调性、指数函数的图像、对数函数的图像与性质、对数的运算、求反函数难掌握幂函数、指数函数、对数函数的图像与性质，会求反函数，掌握对数的运算和相关性质三、逐题分析题型题号分值测量目标考察内容填空题14 1.1集合及其表示法24 3.1函数的概念34 2.3其他不等式的解法44 4.2指数函数的图像和性质54 4.7简单的指数方程64 4.1幂函数的性质与图像743.44.5函数的基本性质（1）反函数的概念843函数的基本性质94 4.6对数函数的图像与性质104 4.2指数函数的图像与性质1143函数的基本性质1243函数的基本性质选择题134 1.5充分条件、必要条件144 3.1函数的概念154 3.4函数的基本性质164 4.2指数函数的图像与性质解答题176 4.4对数的概念及其运算188 2.3基本不等式及其应用1910 4.2指数函数的图像与性质201234.2函数的基本性质指数函数的图像与性质一、填空题（共12小题，每小题3分，共计36分）1、已知集合},1{},,1{2x B x A ==且B A =，则=x .【测量目标】1.1集合及其表示法【考查内容】两个集合相等，集合的互异性【评析】集合有确定性、无序性和互异性，本题考查集合的互异性.【解答】-1.2、函数xx x f -++=112)(的定义域是.（用区间表示）【测量目标】3.1函数的概念【考查内容】函数的定义域【评析】根据函数的概念，根式里面的数是非负数，分母不为0，解出x 的取值范围.【解答】),1()1,2[+∞⋃-3、不等式132-≥+x x的解集为.【测量目标】2.3其他不等式的解法【考查内容】分式不等式的解法【评析】分式不等式的基本解题步骤是：移项，同分，最后化简为一元一次或一元二次不等式，进而求得不等式的解集.【解答】),1[)3,(+∞⋃--∞4、函数12)21(+=x y 的值域是.【测量目标】4.2指数函数的图像和性质【考查内容】指数函数的值域【评析】这道题是求指数函数的值域问题，由于12+x 本身大于等于1，再根据指数函数的图像与性质求出函数的值域.【解答】]21,0(5、电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，若每隔一年计算机的价格降低二分之一，现在价格为8100元的计算机3年后价格可降为元.【测量目标】4.7简单的指数方程【考查内容】指数函数的应用题【评析】本题属于指数函数的应用，根据条件列出关系式求出结果.【解答】1012.56、不等式22)23()2(--+>-x x 的解集为.【测量目标】4.1幂函数的图像与性质【考查内容】幂函数的不等式【评析】由于函数2)(-=xx f 是),0()0,(+∞⋃-∞上的偶函数，在)0,(-∞上单调递增，在),0(+∞上单调递减，因此可列出式子x x 2320+<-<，据此求出x 的取值范围.【解答】),2()2,31()5,(+∞⋃-⋃--∞.7、已知函数)(x f y =是奇函数，当0>x 时，131)(+=x x f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)10(g .【测量目标】3.44.5函数的基本性质（1）反函数的概念【考查内容】奇函数的性质、反函数的相关概念【评析】根据奇函数的性质写出)(x f 在R 上的函数关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>+=0,1310,00,131)(x x x x x x f ，然后求出在每段上的值域写出)(x g 的对应法则⎪⎩⎪⎨⎧-<+=>-=1,330,01,33)(x x x x x x g ，最后把10-=x 带入关系式求出)10(-g 的取值.【解答】-278、若函数c b x a x f +-=)(满足①函数)(x f 的图像关于1=x 对称；②在R 上有大于零的最大值；③函数)(x f 的图像过点)1,0(；④Z c b a ∈,,，试写出一组符合要求的c b a ,,的值.【测量目标】3函数的基本性质【考查内容】绝对值函数的图像与平移【评析】函数)(x f 的图像关于1=x 对称，根据x x f =)(的图像可知1=b ，)(x f 在R 上有大于零的最大值，因此0<a ，又由于Z c b a ∈,,,且图像过）（1,0，0,1<=+a c a ，据此写出满足条件的c b a ,,的值.【解答】2,1,1==-=c b a 9、设21,x x 是方程0lg lg 2=++b x a x （b a ,为常数）的两个根，则21x x ⋅的值是.【测量目标】4.6对数函数的图像和性质【考查内容】对数函数的运算、韦达定理【评析】本题属于一个类二次函数，因此a x x -=+21lg lg ，所有a x x -=21lg ，据此求出21x x ⋅的值.【解答】a10110、若函数m x f x +=+-13)(的图像存在零点，则实数m 的取值范围是.【测量目标】4.2指数函数的图像与性质【考查内容】指数函数的值域【评析】函数031=++-m x 有根，把m -移到等式的右边，本题就转化为求指数函数13+-x 的值域问题.【解答】)0,31[-11、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=1,11,11)(x x x x f ，且关于x 的函数c x bf x af x F ++=)()()(2恰有三个零点321,,x x x ，则=++232221x x x .【测量目标】3函数的基本性质【考查内容】类二次函数的图像问题【评析】先画出)(x f 的函数图像，根据函数解的情况，若0=a ，则只有可能1)(=x f ，解出321,,x x x ；若0≠a 时，根据函数的性质若方程无解时不成立；若方程只有一个根，那么1)(=x f ；若方程有两个不相等的实数根，则只有0)(,1)(21≤=x f x f 时成立。

【数学】2015-2016年上海市普陀区曹杨二中高一(上)数学期中试卷带答案

2015-2016学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共13小题、每小题3分）1．（3分）设全集U=R．若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x＜3}，则A∩（∁U B）=．2．（3分）不等式的解集为．3．（3分）命题“若x＞2且y＞3，则x+y＞5”的否命题是命题．（填入“真”或“假”）4．（3分）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则xy的最大值为．5．（3分）已知函数，若f（x0）=8，则x0=．6．（3分）若x＞0，y＞0，且，则x+2y的最小值为．7．（3分）已知函数f（x）=x2+2ax﹣3在[2，3]上单调，则实数a取值范围是．8．（3分）定义在R 上的奇函数f（x）在[0，+∞）上的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0 的解集是．9．（3分）已知集合，其中m ＞0，全集U=R．若“x∈∁U P”是“x∈∁U Q”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为．10．（3分）若关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|≤a的解集为∅，则实数a的取值范围是．11．（3分）已知函数的定义域是全体实数，那么实数a的取值范围是．12．（3分）设函数f（x），g（x）的定义域分别为D f，D g，且D f⊂D g．若对于任意x∈D f，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D g上的一个延拓函数．设f（x）=x2+2x，x∈（﹣∞，0]，g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则g（x）=．13．（3分）定义区间（a，d），[a，d），（a，d]，[a，d]的长度为d﹣a（d＞a），已知a＞b，则满足的x构成的区间的长度之和为．二、选择题（本大题共4小题，每小题4分）14．（4分）如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪S C．（M∩P）∩∁U S D．（M∩P）∪∁U S15．（4分）下列各式中，最小值为2的是（）A．B．C．D．16．（4分）设f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上为减函数，若x1＜0，x1+x2＞0，则（）A．f（x1）＞f（x2）B．f（x1）=f（x2）C．f（x1）＜f（x2）D．不能确定f（x1）与f（x2）的大小17．（4分）已知函数f（x）=，则下列说法中正确的是（）A．若a≤0，则f（x）≤1恒成立B．若f（x）≥1恒成立，则a≥0C．若a＜0，则关于x的方程f（x）=a有解D．若关于x的方程f（x）=a有解，则0＜a≤1三、解答题（10分+10分+12分+13分）18．（10分）已知集合A={x|（m﹣1）x2+3x﹣2=0}．（1）若集合A为两个元素的集合，试求实数m的范围；（2）是否存在这样的实数m，使得集合A有仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由．19．（10分）对于集合A、B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫做集合A与B的差集，记作A﹣B．（1）若集合M={{x|y=}，N={y|y=1﹣x2}，求M﹣N；（2）若集合A={x|0＜ax﹣1≤5}，B=，且A﹣B=∅，求实数a的取值范围．20．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（1≤x≤10），设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．21．（13分）设函数，函数，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）•h（x）．（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数f（x）的值域；（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由．2015-2016学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共13小题、每小题3分）1．（3分）设全集U=R．若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x＜3}，则A∩（∁U B）={1，3，4} ．【解答】解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x＜3}，∴（∁U B）={x|x≥3或x＜2}，∴A∩（∁U B）={1，3，4}，故答案为：{1，3，4}．2．（3分）不等式的解集为（．【解答】解：≤0，可化为或，解得：﹣＜x≤1，则原不等式的解集为（﹣，1]．故答案为：（﹣，1]3．（3分）命题“若x＞2且y＞3，则x+y＞5”的否命题是假命题．（填入“真”或“假”）【解答】解：若x＞2且y＞3，则x+y＞5”的逆命题为：若x+y＞5，则x＞2且y ＞3，此命题为假命题，原因：若x=4，y=1，此时x+y＞5，但是x＞2且y＞3不成立而命题的逆命题与否命题的真假相同可知原命题的否命题为假命题故答案为：假4．（3分）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则xy的最大值为．【解答】解：，当且仅当x=4y=时取等号．故应填．5．（3分）已知函数，若f（x0）=8，则x0=2或4．【解答】解：∵函数，f（x0）=8，∴当0≤x0≤2时，f（x0）=+4=8，解得x0=2或x0=﹣2（舍），当x0＞2时，f（x0）=2x0=8，解得x0=4，∴x0的值为2或4．故答案为：2或4．6．（3分）若x＞0，y＞0，且，则x+2y的最小值为19+6．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且，则x+2y=（x+2y）=19++≥19+2=19+6，当且仅当3x==3+9时取等号．其最小值为19+6，故答案为：19+6．7．（3分）已知函数f（x）=x2+2ax﹣3在[2，3]上单调，则实数a取值范围是a ≤﹣3，或a≥﹣2．【解答】解：函数f（x）=x2+2ax﹣3的图象是开口朝上，且以直线x=﹣a为对称轴的抛物线，若函数f（x）=x2+2ax﹣3在[2，3]上单调，则﹣a≤2，或﹣a≥3，解得：a≤﹣3，或a≥﹣2，故答案为：a≤﹣3，或a≥﹣28．（3分）定义在R 上的奇函数f（x）在[0，+∞）上的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0 的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【解答】解：（1）x＞0时，f（x）＜0，∴x＞2，（2）x＜0时，f（x）＞0，∴x＜﹣2，∴不等式xf（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．9．（3分）已知集合，其中m ＞0，全集U=R．若“x∈∁U P”是“x∈∁U Q”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为[9，+∞）．【解答】解：由“x∈∁U P”是“x∈∁U Q”的必要不充分条件，可得∁U P⊋∁U Q，即P⊊Q，P={x||1﹣|≤2}={x|﹣2≤x≤10}，Q={x|x2﹣2x+（1﹣m2）≤0}={x|1﹣m≤x≤1+m}，则，即，解得m≥9，故实数m的取值范围[9，+∞），故答案为：[9，+∞）．10．（3分）若关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|≤a的解集为∅，则实数a的取值范围是a＞3．【解答】解：因为|x+1|﹣|x﹣2|≤|x+1﹣x+2|=3，由题意得a＞3，故答案为a＞3．11．（3分）已知函数的定义域是全体实数，那么实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．【解答】解：若函数的定义域是全体实数，则a=1时，显然成立，a=﹣1时，f（x）=，不成立，若a2﹣1≠0，则，解得：a≥1或a≤﹣，故答案为：（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．12．（3分）设函数f（x），g（x）的定义域分别为D f，D g，且D f⊂D g．若对于任意x∈D f，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D g上的一个延拓函数．设f（x）=x2+2x，x∈（﹣∞，0]，g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则g（x）=x2﹣2|x| ．【解答】解：由题意可得当x≤0时，g（x）=f（x）=x2+2x由函数g（x）为偶函数可得，g（﹣x）=g（x）当x＞0时，则﹣x＜0，g（﹣x）=x2﹣2x，则g（x）=x2﹣2x∴g（x）=x2﹣2|x|故答案为：x2﹣2|x|13．（3分）定义区间（a，d），[a，d），（a，d]，[a，d]的长度为d﹣a（d＞a），已知a＞b，则满足的x构成的区间的长度之和为2．【解答】解：∵，∴≥1，即﹣1≥0，则≤0，设x2﹣（2+a+b）x+ab+a+b=0的根为x1和x2．则有求根公式得x1=∈（a，b），x2=＞a，x1+x2═2+a+b，则由穿根法得不等式的解集为[b，x1]∪[a﹣x2]，则构成的区间的长度之和x1﹣b+x2﹣a=x1﹣x2﹣a﹣b=2+a+b﹣a﹣b=2，故答案为：2二、选择题（本大题共4小题，每小题4分）14．（4分）如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪S C．（M∩P）∩∁U S D．（M∩P）∪∁U S【解答】解：由图知，阴影部分在集合M中，在集合P中，但不在集合S中故阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩C U S故选：C．15．（4分）下列各式中，最小值为2的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．x＜0时，＜0，因此不成立；B.+≥2=4，当且仅当x=时取等号，不成立．C．若＜0，＜0，则不成立．D．∵x≥0，∴+3=+2≥2，当x=1时取等号，因此其最小值为2．正确．故选：D．16．（4分）设f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上为减函数，若x1＜0，x1+x2＞0，则（）A．f（x1）＞f（x2）B．f（x1）=f（x2）C．f（x1）＜f（x2）D．不能确定f（x1）与f（x2）的大小【解答】解：若x1＜0，x1+x2＞0，即x2＞﹣x1＞0，∵f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上为减函数，∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则f（x2）＞f（﹣x1）=f（x1），故选：C．17．（4分）已知函数f（x）=，则下列说法中正确的是（）A．若a≤0，则f（x）≤1恒成立B．若f（x）≥1恒成立，则a≥0C．若a＜0，则关于x的方程f（x）=a有解D．若关于x的方程f（x）=a有解，则0＜a≤1【解答】解：对于A，若a≤0，则f（x）≤1恒成立；当a=﹣1时，f（x）=，x∈（﹣1，0）时，f（x）＞1，∴A不正确；对于B，若f（x）≥1恒成立，即，可得|x|﹣|x﹣a|≥a，当a≥0时，x＜0，不等式不成立．∴B不正确；对于C，若a＜0，则关于x的方程f（x）=a有解，即=a有解，显然不等式不成立，∴C不成立．对于D，若关于x的方程f（x）=a有解，当a≤0时，f（x）＞0，等式不成立，当a＞1时，f（x）≤1，不等式不成立，当0＜a≤1，f（x）∈（0，1）．∴D正确．故选：D．三、解答题（10分+10分+12分+13分）18．（10分）已知集合A={x|（m﹣1）x2+3x﹣2=0}．（1）若集合A为两个元素的集合，试求实数m的范围；（2）是否存在这样的实数m，使得集合A有仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）若集合A为两个元素的集合，则关于x的方程（m﹣1）x2+3x ﹣2=0有实数解，则m﹣1≠0，且△=9+8（m﹣1）＞0，∴且m≠1；（2）集合A且仅有两个子集，∴关于x的方程恰有一个实数解，讨论：①当m=1时，x=，满足题意；②当m≠1时，△=8m+1=0，∴m=﹣．综上所述，m=1或m=﹣．∴M的集合为{﹣，1}．19．（10分）对于集合A、B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫做集合A与B的差集，记作A﹣B．（1）若集合M={{x|y=}，N={y|y=1﹣x2}，求M﹣N；（2）若集合A={x|0＜ax﹣1≤5}，B=，且A﹣B=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）集合M={{x|y=}={x|2x﹣1≥0}={x|x≥}，N={y|y=1﹣x2}={y|y≤1}，M﹣N={x|x＞1}；（2）集合A={x|0＜ax﹣1≤5}={x|1＜ax≤6}，B=，且A﹣B=∅，∴A⊆B；当a=0时，不满足题意；当a＞0时，A={x|＜x≤}，应满足，解得a≥3；当a＜0时，A={x|≤x＜}，应满足，解得a＜﹣12；综上，a的取值范围是a＜﹣12或a≥3．20．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（1≤x≤10），设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．【解答】解：（I）每年能源消耗费用为C（x）=，建造费用为6x，∴f（x）=20C（x）+6x=．（1≤x≤10）．（II）f′（x）=6﹣，令f′（x）=0得x=5或x=﹣（舍）．∴当1≤x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x≤10时，f′（x）＞0．∴f（x）在[1，5）上单调递减，在[5，10]上单调递增．∴当x=5时，f（x）取得最小值f（5）=70．∴当隔热层修建5cm厚时，总费用最小，最小值为70万元．21．（13分）设函数，函数，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）•h（x）．（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数f（x）的值域；（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由．【解答】解：（1），其定义域为[0，a]；（2分）（2）令，则且x=（t﹣1）2∴（5分）∴∵在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，∴在上递增，即此时f（x）的值域为（8分）（3）令，则且x=（t﹣1）2∴∵在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，∴y=在[1，2]上递增，上递减，（10分）t=2时的最大值为，（11分）∴a≥1，又1＜t≤2时∴由f（x）的值域恰为，由，解得：t=1或t=4（12分）即f（x）的值域恰为时，（13分）所求a的集合为{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．（14分）。

上海曹杨第二中学附属学校数学高一下期中经典题(培优提高)

一、选择题1．(0分)[ID ：12427]已知三棱锥A BCD -中，AB CD ==2==AC BD ，AD BC == ）A ．32π B ．24πCD ．6π2．(0分)[ID ：12423]已知三棱锥D ABC -的外接球的表面积为128π，4,AB BC AC ===D ABC -体积的最大值为（）A ．2732B C D3．(0分)[ID ：12408]已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,∞∞--⋃+ C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+4．(0分)[ID ：12400]若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（） A ．2B ．4C ．3D ．65．(0分)[ID ：12399]设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( ) A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 6．(0分)[ID ：12372]已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （） A ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在7．(0分)[ID ：12349]已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（） A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π8．(0分)[ID ：12331]矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（） A ．12512π B ．1259π C ．1256π D ．1253π 9．(0分)[ID ：12366]已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( ) A ．153B ．53C ．64D ．10410．(0分)[ID ：12364]已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（）A ．[]4,10B ．[]3,5C ．[]8,10D ．[]6,1011．(0分)[ID ：12418]如图，正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是线段BD 的动点，则( )A ．存在点G ，使PG EF ⊥成立B ．存在点G ，使FG EP ⊥成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立12．(0分)[ID ：12419]陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（）A ．1073πB ．32453π+ C ．16323π+ D ．32333π+13．(0分)[ID ：12402]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．的是( )A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行D ．MN 与11A B 平行14．(0分)[ID ：12337]若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（）A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离15．(0分)[ID ：12368]α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（）A ．m ，n 是平面α内两条直线，且//m β，//n βB ．α内不共线的三点到β的距离相等C ．α，β都垂直于平面γD ．m ，n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α二、填空题16．(0分)[ID ：12458]已知圆22(1)16x y ++=，点(1,0),(1,0)E F -，过(1,0)E -的直线1l 与过(1,0)F 的直线2l 垂直且圆相交于,A C 和,B D ，则四边形ABCD 的面积的取值范围是_________.17．(0分)[ID ：12524]已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.18．(0分)[ID ：12470]已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则 ①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．19．(0分)[ID ：12464]如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .20．(0分)[ID ：12455]已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1BB 的中点，则点1B 到平面ADE 的距离为__________.21．(0分)[ID ：12454]如图，在ABC 中，AB BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于点D ，E ，又SA AB =，SB BC =，则二面角E BD C --的大小为_______________.22．(0分)[ID ：12447]在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是． 23．(0分)[ID ：12456]已知四面体ABCD 的外接球球心O 在棱CD 上，AB=3，CD=2，则A 、B 两点在四面体ABCD 的外接球上的球面距离是________.24．(0分)[ID ：12459]已知直线40Ax By A +-=与圆O ：2236x y +=交于M ，N 两点，则线段MN 中点G 的轨迹方程为______．25．(0分)[ID ：12448]已知直线:0l x my m ++=，且与以A (-1,1)、B (2,2)为端点的线段相交，实数m 的取值范围为___________.三、解答题26．(0分)[ID ：12559]如图，在直三棱柱111ABCA B C 中，AC BC ⊥，14CC =，M 是棱1CC 上的一点．（1）求证：BC AM ⊥；（2）若N 是AB 的中点，且//CN 平面1AB M ，求CM 的长．27．(0分)[ID ：12551]已知以点C （1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y ﹣1=0相切．（1）求圆C 的标准方程；（2）求过圆内一点P （2，﹣）的最短弦所在直线的方程．28．(0分)[ID ：12621]在平面直角坐标系xOy 中，直线2210x y +--=与圆C 相切，圆心C 的坐标为()2,1- （1）求圆C 的方程；（2）设直线y =x +m 与圆C 交于M 、N 两点. ①若22MN ≥，求m 的取值范围； ②若OM ⊥ON ，求m 的值.29．(0分)[ID ：12534]如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，且2PA AB BC ===,2 2.AC =（1）证明：三棱锥P ABC -为鳖臑；（2）若D 为棱PB 的中点，求二面角D AC P --的余弦值.注：在《九章算术》中鳖臑是指四面皆为直角三角形的三棱锥.30．(0分)[ID ：12579]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，1AC BC CC ==，M ､N 分别是1A B ､11B C 的中点.（1）求证：MN ⊥平面1A BC ；（2）求直线1BC 和平面1A BC 所成角的大小.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．D3．D4．B5．B6．A7．C8．C9．D10．D11．C12．D13．D14．B15．D二、填空题16．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与17．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键18．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m可以和面β成任意角度①不正确；l⊂γl⊥m所以l⊥α②正确；③显然不对；④因为l⊂βl⊥α19．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因20．【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于证得平面利用等面积法求得点到平面的距离也即点到平面的距离【详解】由于是的中点故点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于由于故平面在直角三角21．60°【解析】【分析】首先证得是二面角的平面角解直角三角形求得的大小【详解】由于是的中点所以由于所以平面所以由于平面所以而所以平面所以所以是二面角的平面角设则所以所以在中所以所以故答案为：【点睛】本22．【解析】【分析】【详解】试题分析：如图正方体ABCD-EFGH此时若要使液面不为三角形则液面必须高于平面EHD且低于平面AFC而当平面EHD平行水平面放置时若满足上述条件则任意转动该正方体液面的形状23．【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O为CD的中点且OA＝OB＝OC＝OD进而在△A0B中利用余弦定理求得cos∠AOB的值则∠AOB可求进而根据弧长的计算方法求得答案【详解】解：球心24．【解析】【分析】直线过定点设代入方程利用点差法计算得到答案【详解】直线过定点设则两式相减得到即故整理得到：故答案为：【点睛】本题考查了轨迹方程意在考查学生对于点差法的理解和掌握25．【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率数形结合求得实数的取值范围【详解】解：由直线可知直线过定点又如图∵∴由图可知直线与线段相交直线的斜率或斜率不存三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积. 【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=，上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z++=++=++=，2226x y z ++=6R =，因此，此球的体积为346632ππ⎛⨯= ⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.2．D解析：D 【解析】【分析】先求出球心O 到底面距离的最大值，从而可求顶点D 到底面的距离的最大值，利用该最大值可求体积的最大值. 【详解】设外接球的球心为O ，半径为R ，则24128R ππ=，故42R =设球心O 在底面上的投影为E ，因为OA OC OB ==，故E 为ABC ∆的外心. 因为4AB BC ==，42AC =222AC AB BC =+，故ABC ∆为直角三角形，故E 为AC 的中点，所以2226OE OA AE =-=，设D 到底面ABC 的距离为h ，则2642h OE R ≤+= 所以三棱锥D ABC -的体积的最大值为(1132216644264232+⨯⨯⨯⨯=. 故选：D. 【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中，注意球心在底面上的投影为底面外接圆的圆心．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．3．D解析：D 【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ， ∵PA 的斜率为4031--- =﹣1，PB 的斜率为2031--=1，∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1，故选：D ．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.4．B解析：B 【解析】试题分析：222430x y x y ++-+=即22(1)(2)2x y ++-=，由已知，直线260ax by ++=过圆心(1,2)C -，即2260,3a b b a -++==-，由平面几何知识知，为使由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小，只需圆心(1,2)C -与直线30x y --=2123()242----=，故选B .考点：圆的几何性质，点到直线距离公式.5．B解析：B 【解析】【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QOOPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO ，即满足2PO ，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的．【详解】由分析可得：22200PO x y =+又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO故2222000103634PO x y y y ==+-+ 解得0825y ，0605x 即0x 的取值范围是6[0,]5，故选：B ．【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO ，从而得到不等式求出参数的取值范围．6．A解析：A 【解析】【分析】根据正四面体的对称性分析到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点的轨迹，与BCM ∆所在平面的公共部分即符合条件的点P . 【详解】在正四面体ABCD 中，取正三角形BCD 中心O ，连接AO ，根据正四面体的对称性，线段AO 上任一点到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点都在AO 所在直线上，AO 与BCM ∆所在平面相交且交于BCM ∆内部，所以符合题意的点P 只有唯一一个.故选：A 【点睛】此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.7．C解析：C 【解析】【分析】根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案.【详解】SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6SBA π∠=，故4SA =. ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，设球O 的半径为R ，则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得R =O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C . 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8．C解析：C 【解析】【分析】由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC 的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解. 【详解】因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且球的半径为AC 长度的一半，即1522r AC ===，所以334451253326V r πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.故选：C 【点睛】本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.9．D解析：D 【解析】【分析】取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，在1BNC ∆中，利用余弦定理，即可求解．【详解】由题意，取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N , 所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，设正三棱柱的各棱长为2,则115,22,3C N BC BN ===，设直线AM 与1C N 所成角为θ，在1BNC ∆中，由余弦定理可得222(5)(22)(3)10cos 42522θ+-==⨯⨯，即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值为104，故选D ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．D解析：D 【解析】【分析】由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ，当CP l ⊥时弦长最短，此时2222AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得min 6AB =，再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =，所以弦长AB 的取值范围是[]6,10. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11．C解析：C 【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证，即可得答案．【详解】正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是直线BD 的动点，在A 中，不存在点G ，使PG EF ⊥成立，故A 错误；在B 中，不存在点G ，使FG EP ⊥成立，故B 错误；在C 中，不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立，故C 正确；在D 中，存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立，故D 错误. 故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．12．D解析：D 【解析】【分析】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积. 【详解】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成. 所以该陀螺模型的体积222113242333233333V πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：D . 【点睛】本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.13．D解析：D 【解析】【分析】先利用三角形中位线定理证明//MN BD ，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN 与1CC 垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN 与AC 垂直，即可得出结论.【详解】如图：连接1C D ，BD ，在三角形1C DB 中，//MN BD ，故C 正确．1CC ⊥平面ABCD ，1CC BD ∴⊥，MN ∴与1CC 垂直，故A 正确；AC BD ，//MN BD ，MN ∴与AC 垂直，B 正确；∵//MN BD ，MN ∴与11A B 不可能平行，D 错误故选：D ．【点睛】本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键.14．B解析：B 【解析】【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交．【详解】根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为33(1)22102519d -⨯--==<+，即直线与圆相交. 故选A. 【点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.15．D解析：D 【解析】【分析】A 中，根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．B 中，根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．C 中，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m ′，所以m ′与n 是两条相交直线，m ′⊂β，n ⊂β，且m ′∥β，n ∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，即可得到答案．【详解】由题意，对于A 中，若m ，n 是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，则根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．所以A 错误．对于B 中，若α内不共线的三点到β的距离相等，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以B 错误．对于C 中，若α，β都垂直于平面γ，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以C 错误．对于D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m′，所以m′与n 是两条相交直线，m′⊂β，n ⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以D 正确．故选D ．【点睛】本题主要考查了平面与平面平行的判定与性质的应用，其中解答中灵活运用平面与平面平行额判定与性质进行判定是解答的关键，着重考查学生严密的思维能力和空间想象能力，属于基础题．二、填空题16．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与解析：⎡⎤⎣⎦【解析】【分析】由题可知8AC =,而过(1,0)F 的弦BD 过圆心时最长,与EF 垂直时最短,据此则可以确定四边形ABCD 的面积的取值范围. 【详解】由题知,直线1l 过圆心(1,0)E -,故8AC =,设圆心(1,0)E -到直线2l 的距离为d ,则02d EF ≤≤=,所以BD ⎡⎤=⎣⎦,所以四边形ABCD的面积12S AB CD ⎡⎤=⋅⋅∈⎣⎦; 故答案为:⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题主要考查直线与圆相交时的弦长､面积问题,解题关键是明确:过圆内一点的作弦,弦过圆心时最长,与最长的弦垂直时弦最短.17．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键解析：27310x y -+=【解析】【分析】计算()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()15,3A -，计算直线1A B 得到答案.【详解】设()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()1,A x y ，故51335022y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+=⎪⎩，故()15,3A -. 故反射光线为1A B ：()532525y x -=-++，化简得到27310x y -+=. 故答案为：27310x y -+=.【点睛】本题考查了直线的反射问题，找出对称点是解题的关键.18．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m 可以和面β成任意角度①不正确；l ⊂γl ⊥m 所以l ⊥α②正确；③显然不对；④因为l ⊂βl ⊥α解析：②④ 【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解. 【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度，和面α必垂直．所以直线m 可以和面β成任意角度，①不正确；l ⊂γ，l⊥m，所以l⊥α，②正确；③显然不对；④因为l ⊂β，l⊥α，所以α⊥β，④正确．故答案为②④ 【点睛】本题主要考查空间线面垂直和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.19．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因解析：12【解析】 ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠=，所以30BAD BCA ∠==.由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2222222cos12012=+-⨯⨯=，所以23AC =.设AD x =，则023t <<，23DC x =-.在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅22222cos30x x =+-⋅2234x x =-+.故2234BD x x =-+.在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得2222222(234)3cos 2222PD PB BD x x x BPD PD PB x +-+--+∠===⋅⋅⋅，所以30BPD ∠=.过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d = 则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠， 2112342sin 3022x x d x -+=⋅，解得2234d x x =-+.而BCD ∆的面积111sin (23)2sin 30(23)222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=. 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=. 故四面体PBCD 的体积11111sin )33332BcD BcD BcD V S h S d S d x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯=设t ==0x ≤≤12t ≤≤.则x -=（1）当0x ≤≤时，有x x ==故x =此时，16V t =21414()66t t t t-=⋅=-. 214()(1)6V t t=--'，因为12t ≤≤，所以()0V t '<，函数()V t 在[1,2]上单调递减，故141()(1)(1)612V t V ≤=-=. （2x <≤x x =-=故x =此时，V =21414()66t t t t-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12. 20．【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于证得平面利用等面积法求得点到平面的距离也即点到平面的距离【详解】由于是的中点故点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于由于故平面在直角三角【解析】【分析】点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，证得BF ⊥平面ADE ，利用等面积法求得点B 到平面ADE 的距离，也即点1B 到平面ADE 的距离. 【详解】由于E 是1BB 的中点，故点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，由于BF AD ⊥，AD AE E ⋂=，故BF ⊥平面ADE .在直角三角形ABE 中，151,,22AB BE AE ===，所以1122AB BE AE BF ⋅⋅=⋅⋅,解得55BF =.【点睛】本小题主要考查点到面的距离，考查等面积法求高，考查线面垂直的证明，属于基础题.21．60°【解析】【分析】首先证得是二面角的平面角解直角三角形求得的大小【详解】由于是的中点所以由于所以平面所以由于平面所以而所以平面所以所以是二面角的平面角设则所以所以在中所以所以故答案为：【点睛】本解析：60° 【解析】【分析】首先证得EDC ∠是二面角E BD C --的平面角，解直角三角形求得EDC ∠的大小. 【详解】由于SB BC =，E 是SC 的中点，所以SC BE ⊥，由于,SC DE DE BE E ⊥⋂=，所以SC ⊥平面BDE ，所以SC BD ⊥.由于SA ⊥平面ABC ，所以SA BD ⊥，而SA SC S ⋂=，所以BD ⊥平面SAC ，所以,BD DC BD DE ⊥⊥，所以EDC ∠是二面角E BD C --的平面角.设1SA AB ==，则2SB BC ==，所以2SC =，所以在Rt SAC ∆中，12SA SC =，所以30SCA ∠=，所以60EDC ∠=. 故答案为：60 【点睛】本小题主要考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.22．【解析】【分析】【详解】试题分析：如图正方体ABCD-EFGH 此时若要使液面不为三角形则液面必须高于平面EHD 且低于平面AFC 而当平面EHD 平行水平面放置时若满足上述条件则任意转动该正方体液面的形状解析：15,66⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】【详解】试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH ，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ．而当平面EHD 平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD 的体积16，并且＜正方体ABCD-EFGH 体积-三棱柱B-AFC 体积15166-=考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法23．【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点且OA ＝OB ＝OC ＝OD 进而在△A0B 中利用余弦定理求得cos∠AOB 的值则∠AOB 可求进而根据弧长的计算方法求得答案【详解】解：球心解析：23π【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ，进而在△A 0B 中，利用余弦定理求得cos ∠AOB 的值，则∠AOB 可求，进而根据弧长的计算方法求得答案．【详解】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O 在CD 中点，则OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝1，再由AB =A 0B 中，利用余弦定理cos ∠AOB 11312112+-==-⨯⨯，则∠AOB 23π=，则弧AB 23π=•123π=．故答案为：23π．【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等，考查了学生观察分析和基本的运算能力．24．【解析】【分析】直线过定点设代入方程利用点差法计算得到答案【详解】直线过定点设则两式相减得到即故整理得到：故答案为：【点睛】本题考查了轨迹方程意在考查学生对于点差法的理解和掌握解析：()2224x y -+=【解析】【分析】直线40Ax By A +-=过定点()4,0，设()()1122,,,M x y N x y ，(),G x y ，代入方程利用点差法计算得到答案. 【详解】直线40Ax By A +-=过定点()4,0，设()()1122,,,M x y N x y ，(),G x y ，则221136x y +=，222236x y +=，两式相减得到()()()()121212120x x x x y y y y +-++-=，即220x ky +=. 故2204y x y x +=-，整理得到：()2224x y -+=. 故答案为：()2224x y -+=. 【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生对于点差法的理解和掌握.25．【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率数形结合求得实数的取值范围【详解】解：由直线可知直线过定点又如图∵∴由图可知直线与线段相交直线的斜率或斜率不存解析：21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点，再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率，数形结合求得实数m 的取值范围．【详解】解：由直线:0l x my m ++=可知直线过定点()0,1P -，又()1,1A -，()2,2B ，如图∵()11201PA K --==---，123022PB K --==-，∴由图可知，直线与线段相交，直线l 的斜率(]3,2,2k ⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，或斜率不存在，∴(]13,2,2m ⎡⎫-∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，或0m =，即203m -≤<或102m <≤，或0m =， ∴21,32m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 故答案为：21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查直线系方程的应用，考查了直线的斜率计算公式，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．三、解答题 26．（1）证明见解析；（2）2CM =. 【解析】【分析】（1）由已知可得1CC BC ⊥，结合AC BC ⊥，可得BC ⊥平面11AAC C ，即可证明结论；（2）取1AB 中点D ，连,MD ND ，则//ND CM ，由//CN 平面1AB M ，可证//CN MD ，得到四边形CMDN 为平行四边形，即可求CM 的长.【详解】。

上海市普陀区曹杨第二中学2017-2018学年高三上学期8月月考数学试题

上海市普陀区曹杨第二中学2020-2021学年高三上学期8月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若集合1,0,1,,{}23A =-，3|1B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B =__________. 2．求值：12lim 1n n C n →∞=+____________. 3．在二项式1022x ⎛ ⎝的展开式中，常数项为____________. 4．已知函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，若()y f x =的图像过点()1,2，则1(1)1y f x -=++图像恒过点_____________.5．已知z C ∈，z 为z 的共轭复数，若10z z iz =（其中i 是虚数单位），则z =_____________.6．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，若13a =，1053S S =，则n a =________________. 7．方程cos2sin 0x x -=在[]0,π的解为__________. 8．已知点(),P x y 满足10302x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，O 为坐标原点，则||OP 的最大值为_____________.9．已知P 为抛物线24y x =上一点，若点P 到直线y x =的距离为，则P 点坐标为____________.10．若向量(1,)d x y =-是直线230x y +-=的一个方向向量，则93x y +的最小值是____________.11．从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有_______个．(用数字作答)12．已知函数1,01(){12,12x x x f x x +≤<=-≥，设0a b >≥，若()()f a f b =，则()bf a 的取值范围是____．二、单选题13．使得()20x y -=成立的一个充分不必要条件是（）A ．20x y +-=B ．22(2)0x y +-=C ．221x y +=D ．0x =或2y = 14．有8个半径为2a 的球，它们的体积之和为1V ，表面积之和为1S ；另一个半径为a 的球，其体积为2V ，表面积为2S ，则（）A ．12V V >且12S S >B ．12V V <且12S S <C ．12V V =且12S S >D ．12V V =且12S S15．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若1a =且2B A =，则b 的取值范围是（）A． B．( C．)2 D ．()0,2 16．将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的，，有，则ϕ=（） A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，且PA ⊥平面ABCD ，又已知BC AD ∥，AB BC ⊥，1AB AP ==，3AD =，45ADC ∠=︒.（1）求异面直线PB 与CD 所成角的大小；（2）求四棱锥P ABCD -的体积.18．已知定义在R 上的函数()221xx b f x -=+是奇函数．（1）求b 的值，并判断函数()f x 在定义域中的单调性（不用证明）；（2）若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围． 19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆的右焦点F 作直线l ，与椭圆相交于A ，B 两点，求OAB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.20．已知数列{}n a 的首项135a ≠-，且1325nn n a a +=-，*n N ∈. （1）证明：35n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）若125a =，{}n a 中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在，请说明理由；（3）若{}n a 是递减数列，求1a 的取值范围.21．我们把定义在R 上，且满足()()f x T af x +=（其中常数a ，T 满足1a ≠，0a ≠，0T ≠）的函数叫做似周期函数.（1）若某个似周期函数()y f x =满足1T =且图像关于直线1x =对称，求证：函数()f x 是偶函数；（2）当1T =，2a =时，某个似周期函数在01x ≤<时的解析式为()(1)f x x x =-，求函数()y f x =，[,1)()x n n n z ∈+∈的解析式；（3）对于确定的0T >且当0x T <≤时，()21f x x =+，试研究似周期函数()y f x =在区间()0,∞+上是否可能是单调函数？若可能，求出a 的取值范围；若不可能，请说明理由.参考答案1．{}1,2【解析】【分析】先解分式不等式得{}|03B x x =<<，再求交集即可.【详解】解：解分式不等式31x>，解得30x x -<，得03x <<，即{}|03B x x =<< ，又1,0,1,,{}23A =-，则A B ={1,2}，故答案为：{}1,2.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，重点考查了集合交集的运算，属基础题.2．2【分析】先求组合数122n C n =，再求数列极限即可.【详解】解：因为12lim 1n n C n →∞=+2lim 1n n n →∞=+2lim(2)21n n →∞-=+，故答案为：2.【点睛】本题考查了数列的极限，属基础题.3．180【分析】由二项式1022x⎛- ⎝的展开式通项公式为40521010211010(2)(2(1)r r r r r r r r T C x C x ---+==-，再令40502r -=，然后求解即可. 【详解】解：由二项式1022x⎛ ⎝的展开式通项公式为40521010211010(2)(2(1)r rr r r r r r T C x C x ---+==-，令40502r -=，解得：8r =，即展开式中常数项为1088102C -=22102180C =，故答案为：180.【点睛】本题考查了二项式定理及二项式展开式通项公式，重点考查了运算能力，属基础题. 4．()1,2【分析】先由原函数过点()1,2，则可得其反函数图像过点()2,1，再结合函数图像的平移变换即可得解.【详解】解：由()y f x =的图像过点()1,2，则其反函数()1y fx -=的图像过点()2,1，又函数1(1)1y f x -=++图像是由函数()1y f x -=的图像向左平移一个单位，再向上平移一个单位得到，则1(1)1y fx -=++图像恒过点()1,2，故答案为：()1,2.【点睛】本题考查了原函数与反函数图像的关系及函数图像的平移变换，属基础题.5．i -或0【分析】先由行列式的运算可得0iz z z -⋅=，再解方程组220a b a b =⎧⎨-=+⎩，求解即可得解. 【详解】解：设,,z a bi a b R =+∈, 由10z z iz =，则0iz z z -⋅=，所以22b ai a b -+=+，即220a b a b =⎧⎨-=+⎩，即00a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩，即0z =或z i =-，故答案为：i -或0.【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了行列式的运算，属基础题.6．2n a n =+【分析】先由等差数列的前n 项和求等差数列的公差，再求等差数列的通项公式即可.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，又13a =，1053S S =，则10954103353322d d ⨯⨯⨯+=⨯⨯+⨯，解得：1d =，则 1(1)3(1)12n a a n d n n =+-=+-⨯=+，故答案为：2n a n =+.【点睛】本题考查了利用等差数列的前n 项和求等差数列的基本量及通项公式，属基础题. 7．5,66ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】先由余弦的二倍角公式变形可得22sin sin 10x x +-=，再解关于sin x 的二次方程，再在[]0,x π∈求解即可.【详解】解：因为cos2sin 0x x -=，所以22sin sin 10x x +-=，解得sin 1x =-或1sin 2x =，又[]0,x π∈，所以6x π=或56x π=，故答案为：5,66ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式，重点考查了解三角方程，属基础题.8【分析】先作出不等式组10302x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域，再结合||OP 的几何意义运算即可.【详解】解：由点(),P x y 满足10302x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，作出不等式组表示的平面区域，由图可知，当点P 为直线2x =与10x y -+=的交点()2,3时，||OP 取最大值，即||OP=【点睛】本题考查了简单的线性规划，主要考查了作图能力，重点考查了数形结合的数学思想方法，属简单题.9．()4,4-或()16,8【分析】先设2(,2)P t t ，再由点到直线的距离公式运算即可得解.【详解】解：设2(,2)P t t= ，解得：2280t t --=或2280t t -+=，即4t =或2t =-，故(16,8)P 或(4,4)P -【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，重点考查了运算能力，属基础题.10．6【分析】先由直线的方向向量运算可得22y x +=，再结合重要不等式求最小值即可得解.【详解】解：因为直线230x y +-=的一个方向向量为()1,2-，又向量(1,)d x y =-是直线230x y +-=的一个方向向量，则22y x +=，又93236x y +≥==⨯=，当且仅当93x y =，即1,12x y ==时取等号，故答案为：6.【点睛】本题考查了直线的方向向量，重点考查了重要不等式，属中档题.11．36【解析】【分析】由题意知能被5整除的三位数末位必为0或5．当末位为0的三位数其百位十位只需从1～5的5个数中任取2个排列；当末位为5的三位数，百位从非0，5的4个数中选1个，再挑十位，相加得到结果．【详解】其中能被5整除的三位数末位必为0或5．当末位为0时，百位、十位要从1～5的5个数中任取2个排列而成，方法数为A52＝20，当末位为5时，百位从非0，5的4个数中选1个，有C41种挑法，再挑十位，还有C41种挑法，∴合要求的数有C41•C41＝16种．∴共有20+16＝36个合要求的数．故答案为36.【点睛】本题考查了分类计数原理与分步计数原理的应用，考查了排列组合的应用，主要抓住能被5整除的三位数的特征（末位数为0，5），还要注意分类讨论及排数字时对百位非0的限制，属于中档题．12．3()2 4bf a≤<【解析】试题分析：由图可知，112b≤<，3()22f a≤<，且,()b f a的值依次增大，均为正值，所以3()2 4bf a≤<．考点：分段函数的图象. 13．B 【分析】先求出“()20x y -=”的充要条件为“0x =或2y =”，再逐一检验即可得解. 【详解】解：由“()20x y -=”的充要条件为“0x =或2y =”，对于选项A,C ，“20x y +-=”，“221x y +=”是“()20x y -=”即不充分也不必要条件，即A ，C 不合题意；对于选项B ，“22(2)0x y +-=”的充要条件为“0x =且2y =”，又“0x =且2y =”是“0x =或2y =”的充分不必要条件，则“22(2)0x y +-=”是“()20x y -=”的一个充分不必要条件；对于选项D ，显然“0x =且2y =”是“()20x y -=”的充要条件，即D 不合题意，故选：B. 【点睛】本题考查了充要条件，重点考查了命题的恒等变换，属基础题. 14．C 【分析】由球的体积公式343V R π=，球的表面积公式24S R π=，代入运算求解即可.解：由球的体积公式可得313448()323V a a ππ=⨯⨯⨯=， 3324433a a V ππ=⨯⨯=，由球的表面积公式可得21284()82a S a ππ=⨯⨯⨯=，21244a a S ππ=⨯⨯=，即12V V =且12S S >，故选：C. 【点睛】本题考查了球的体积公式及球的表面积公式，重点考查了运算能力，属基础题. 15．A 【分析】先由正弦定理可得2cos b A =，再结合ABC 为锐角三角形可得64A ππ<<，代入求解即可. 【详解】解：因为1a =且2B A =，由正弦定理sin sin a b A B=可得：sin sin 2a bA A =，则2cos b A =，又ABC 为锐角三角形，则0202222A A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<+<⎪⎩，解得：64A ππ<<，即cos 2A ⎛∈ ⎝⎭，即b ∈，故选：A. 【点睛】本题考查了正弦定理及正弦的二倍角公式，重点考查了三角函数的值域的求法，属中档题.【解析】试题分析：向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨，，∴，又∵，∴，故选D.考点：三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等. 17．（1）3π（2）56【分析】（1）由已知条件，在线段AD 上取1AE = 连接,PE BE ，则四边形BCDE 为平行四边形,则PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角，再求解即可；（2）由棱锥的体积公式求解即可. 【详解】解：（1）过点C 作CF AD ⊥交AD 于点F ，由1AB AP ==，3AD =，45ADC ∠=︒，可得1CF AB DF ===,即2BC =，在线段AD 上取1AE = 连接,PE BE ，则四边形BCDE 为平行四边形,则PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角，又PB PE BE ====，则3PBE π∠=，故异面直线PB 与CD 所成角的大小为3π；（2）由（1）可得点P 到平面ABCD 的距离为1，由棱锥的体积公式可得115(23)11326P ABCD V -=⨯⨯+⨯⨯=，故四棱锥P ABCD -的体积为56.【点睛】本题考查了异面直线所成角的作法及求法，重点考查了棱锥的体积的求法，属中档题.18．⑴1a b ==；⑵13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，. 【解析】试题分析：(1)根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可求a b ，的值；(2)根据函数奇偶性和单调性的性质,将不等式进行转化进行求解即可. 试题解析：⑴∵()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴，∴1b =．∴()122xxf x a -=+，()()1122212212x x x x x x f x f x a a a ------===-=+⋅++，∴212x x a +=+，即()2121xxa -=-对一切实数x 都成立． ∴1a =，∴1ab ==．⑵不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()2222f t t f k t -<-．又()f x 是R 上的减函数，∴2222t t k t ->-．∴221132333k t t t ⎛⎫<-=-- ⎪⎝⎭对t R ∈恒成立， ∴13k <-．即实数k 的取值范围是13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，．考点：函数的奇偶性和单调性.【方法点晴】本题属于对函数单调性应用的考察，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中的易错点是容易忽视定义域[0,)+∞.19．（1）2214x y +=；（2）max 1S =，此时直线l的方程为：x =+【分析】（1）由题意列方程组242a a b =⎧⎨=⎩，求解即可；（2）设过椭圆的右焦点F 作直线l的方程为x ky =+2214x ky x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，再结合1212OAB S OF y y ∆=⨯-=. 【详解】解：（1）由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，可得242a a b =⎧⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，即椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）由（1）可得椭圆的右焦点F ，设过椭圆的右焦点F 作直线l的方程为x ky =+联立2214x ky x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消x得：22(4)10k y ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12y y +=12214y y k -=+，则1212OAB S OF y y ∆=⨯-=== 令21,1t k t =+≥，则1==≤=，当且仅当9t t=，即3t =，即k = 故OAB 面积的最大值为1,此时直线l的方程为x =+【点睛】本题考查了椭圆方程的求法及直线与椭圆的位置关系，重点考查了三角形的面积公式，属中档题.20．（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析；（3）333,,555⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证；（2）由等差中项可得122n n n a a a ++=+，再运算即可得解；（3）由{}n a 是递减数列，则1n n a a +<恒成立，再利用最值法即可得解. 【详解】解：（1）由1325n n n a a +=-，所以113532()5nn n n a a ++=++，又135a ≠-，所以1305a +≠，故数列35n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以135a +为首项，2为公比的等比数列；（2）当125a =时，由（1）得11323()22555n n n n a --+=+=⨯，所以1325nn n a --=，设{}n a 中存在连续三项成等差数列，则122n n n a a a ++=+，即121133322222555n n n nn n ++-+-⨯=--⨯+，化简得：2835n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又 ()20,13n⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即此方程无解，故不存在连续三项成等差数列；（3）由（1）得1133()255nn n a a -=+-，由{}n a 是递减数列，则1n n a a +<，即11113333()2()25555n nn n a a +-+-<+-恒成立，即1433()525n a <-恒成立，又当1n =时，433()525n -取最小值35，即135a <，又135a ≠-，故1a 的取值范围为：333,,555⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查了利用定义法证明等比数列及等差中项的应用，重点考查了数列的单调性，属中档题.21．（1）证明见解析；（2）()2()(1)nf x x n n x =-+-；（3）可能，21a T ≥+【分析】（1）先阅读新定义，再利用偶函数的定义证明即可；（2）由01x ≤<时的解析式为()(1)f x x x =-，结合函数的周期求解即可；（3）由分段函数在各段上的单调性，研究函数在整体上的单调性，从而得解. 【详解】解：（1）因为函数()y f x =的图像关于直线1x =对称，则()1(1)f x f x -=+，又函数()y f x =满足1T =，则(1)()f x af x +=，用x -替换x 得(1)()f x af x -+=-，则()()af x af x -=，又1a ≠，0a ≠，所以()()f x f x -=，故函数()f x 是偶函数；（2）似周期函数在01x ≤<时的解析式为()(1)f x x x =-，当[,1),()x n n n z ∈+∈时，[,1),()x n n n n z -∈+∈，()22(1)2(2)...2()n f x f x f x f x n =-=-==-=2()(1)n x n n x -+-，故()2()(1)nf x x n n x =-+-，[,1)()x n n n z ∈+∈；（3）当(1)nT x n T <≤+时，0x nT T <-≤，()()...()[2()1]n n f x af x T a f x nT a x nT =-==-=-+，显然当0a <时，函数()y f x =在区间()0,∞+上不是单调函数，又当0a >时，()[2()1]nf x a x nT =-+，(],(1)x nT n T ∈+是增函数，此时()(,(21)nnf x a a T ⎤∈+⎦，若似周期函数()y f x =在区间()0,∞+上是单调函数，则只能是增函数，即1(21)n n aa T +≥+，即21a T ≥+，故a 的取值范围为21a T ≥+. 【点睛】本题考查了对新定义函数的理解及分段函数的解析式的求法，重点考查了阅读能力及计算能力，属中档题.。