运筹学06整数规划

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§4
割平面法
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§4
割平面法
由放松问题的可行 域向整数规划的可 行域逼近 方法—利 方法 利用超平面 切除 要求 整数解保留 放松问题最优值增 加
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每行最小值—— 行位势 每行最小值
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匈牙利法（ 匈牙利法（Konig)
再对列造0 2、再对列造0
0 11 2 0 0 8 0 3 11 0 7 10 5 9 5 5 4 0 5 0 0 11 2 0 8 0 3 11 2 5 0 4 5 4 0 5
每列最小值—— 列位势 每列最小值
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§2
例1
分配(分派 问题 分配 分派)问题 分派
工作分配问题
甲乙丙丁四人翻译把专利说明书译成四种文字，所需 甲乙丙丁四人翻译把专利说明书译成四种文字， 翻译时间如下表。怎样分配最省时？ 翻译时间如下表。怎样分配最省时？
甲 译成英文 译成日文 译成德文 译成俄文 2 15 13 4 乙 10 4 14 15 丙 9 14 16 13 丁 7 8 11 9
B b
−1
b < x < b
r r r
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分支的方法： 分支的方法：
min c Τ x Ax = b s.t. x ≥ 0, x为整数
min c Τ x Ax = b s .t . x r ≥ b r x ≥ 0 , x 为整数
min c Τ x Ax = b s.t . x r ≤ br x ≥ 0, x为整数
2 1 2 3 4 5 6 7 8 3 9 10 4 11 12 7 5 13 13 7 8 6 14 11 8 7 8 7 8 17 12 10 14 10 8 15 14 10 9 16 7 12 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 3 3 3 3 1 6 2 2 4 4 4 4 7 8
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0 约束 i起作用 yi = i = 1,2 1 约束 i不起作用
x1 ≤ 4 + y1 M x2 ≥ 1 − y1 M x1 > 4 − y2 M x2 ≤ 3 + y2 M y1 + y2 = 1
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4、价格系数分段定价 、
K j + c j x j , 若x j > 0 C j(xj ) = 若x j = 0 0
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定界的方法（剪枝） 定界的方法（剪枝） 当前得到的最好整数解的目标函数值 分支后计算放松的线性规划的最优解
整数解且目标值小于原有最好解的值则替代原有最好 解 整数解且目标值大于原有最好解的值则 删除该分支 其中无最优解 非整数解且目标值小于原有最好解的值则继续分支 非整数解且目标值大于等于原有最好解的值则删除该 分支其中无最优解
i = 1 , 2 ,..., p
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例2
急救中心选址问题
某市有八个区， 某市有八个区，救护车从一个区至另一个区的车程用时 如下表所示（单位：分钟）。若要求救护车在8分钟内 ）。若要求救护车在 如下表所示（单位：分钟）。若要求救护车在 分钟内 必须赶到，应建几个救护中心？建于何处？ 必须赶到，应建几个救护中心？建于何处？ 急救中心设在k 救护车在8分钟内能赶到的区 分钟内能赶到的区： 急救中心设在 区，救护车在 分钟内能赶到的区：
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工作分配问题
m 个人完成 m 项任务，每项任务由一人完成， 项任务，每项任务由一人完成， 每人分担一项任务。怎样分派才能效率最高， 每人分担一项任务。怎样分派才能效率最高，或用 时最少 ？ 工作效率（或工时） 工作效率（或工时）矩阵
员工1 员工1 工作1 工作 工作2 工作 。。。 工作m 工作 员工2 员工2 。。。 员工m 员工m
7 5 5 5 5 6 6 6 6 8
急救中心选址问题数学模型
min s .t . z = ∑ xj
j =1 8
x1 + x 2 ≥ 1 x 3 + x4 + x5 + x6 ≥ 1 x1 + x7 ≥ 1 x6 + x8 ≥ 1 x j = 0,1 j = 1,2,...,8
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算法原理 的元素≥ 且有一组不同行不同列的0 设A的元素≥0，且有一组不同行不同列的0， 则分配问题有一组最优解。 则分配问题有一组最优解。 =1， =0， 令：与0对应的xij =1，其余xij =0， 就是一个最优解。 就是一个最优解。 此时：z = 0 达到最优。 达到最优。 此时：
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初始分支为可行解 集，初始界为无穷大
判 定是否 分支集 空
是停止 当前最好解 为优解
选一分支写出并求解 放松问题， 放松问题，同时从分 支集中删除该分支
否
判 定是否 为整数 解
是
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算 例
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第34页 页
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注 释
求解混合整数规划问题，只对整数变量分支， 求解混合整数规划问题，只对整数变量分支， 对非整数变量不分支。 对非整数变量不分支。
∑x
i =1
ij
x ij = 0,1 i = 1,2,..., m
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匈牙利法（ 匈牙利法（Konig)
定理1 定理1 设原效率矩阵 A =[a ij] 每行减去常数ui ，每列减去常数vj 新的效率矩阵 B =[bij ], 的最优解相同。 则 A与Ｂ的最优解相同。
定理2 与非0 定理2 若A的元素可分成 0 与非0，则 盖住0的最小直线数 盖住0 不同行、不同列的0的最大个数。 = 不同行、不同列的0的最大个数。
x j ≤ bi , ( i = 1,2,L , m )
0 约束 i起作用 yi = 1 约束 i不起作用
∑a
j =1
n
ij
x j ≤ bi + M yi , ( i = 1,2,L , m )
y1 + y2 + L + ym = m − k
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2、右端项有多种选择 、
∑a
j =1
工作分配问题数学模型
min s .t . z =
∑∑a
i=1 j=1
m
m
ij
x ij ( i = 1 , 2 , ... , m ) ( j = 1 , 2 , ... , m )
∑ ∑
m
m
j=1
x ij = 1 x ij = 1
i=1
x ij = 0 ,1
第四章 整数规划与分派问题
整数线性规划
Integer Linear Programming
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§1
整数规划的特点及作用
一、问题的提出
max z = c' x Ax ≥ b x ≥ 0 s .t . x i为整数 , i = 1,2,..., p
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例1
工作分配问题
甲乙丙丁四人翻译把专利说明书译成四种文字，所需 甲乙丙丁四人翻译把专利说明书译成四种文字， 翻译时间如下表。怎样分配最省时？ 翻译时间如下表。怎样分配最省时？
甲 译成英文 译成日文 译成德文 译成俄文 2 15 13 4 乙 10 4 14 15 丙 9 14 16 13 丁 7 8 11 9
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匈牙利法（ 匈牙利法（Konig)
加括号，画直线； 3、加括号，画直线；
(0) 11 2 0 8 (0) 3 11 2 5 (0) 4 5 4 0 5
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匈牙利法（ 匈牙利法（Konig)
再用位势法造0 4、再用位势法造0
(0) 11 2 0 -2 8 (0) 3 11 -2 2 5 (0) 4 0 5 4 0 5 0 2 2 0 2 0 11 4 0 8 0 5 11 0 3 0 2 3 2 0 3
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3、 混合整数规划 、
max
z = c' x
Ax ≥ b x ≥ 0 s .t . 某些 x i 为整数 , i = 1, 2 ,..., p
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三、带逻辑变量的数学规划问题 1、m个约束只有 个起作用 、 个约束只有 个约束只有k个起作用
∑a
j =1
n
ij
a A a
11
21
a a a
12
22
A A a
1m
2m
m1
m2
mm
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工作分配问题数学模型
min s .t . z = ∑ ∑ a ij x ij
i =1 j = 1 m m
∑x
j =1 m
m
ij
= 1 ( i = 1,2, ... , m ) = 1 ( j = 1,2, ... , m )
甲 英 日 德 俄 0 11 4 (0)
乙 8 (0) 5 11
丙 (0) 3 0 2
丁 3 2 (0) 3
甲 乙 丙 丁
俄语 日语 英语 德语
z = 4+4+9+11 = 28(小时) 28(小时) 小时
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§3
分支定界法
0 I
ξN
B N xr = br ∉ Z
−1
Τ c B B −1b
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对0-1整数规划分支 整数规划分支
min c Τ x Ax = b s .t . x = 0 ,1
min c Τ x Ax = b s .t . x r = 0 x = 0 ,1
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min c
Τ
x
Ax = b s .t . x r = 1 x = 0 ,1
有先期投入
min z = ∑ C j ( x j )
j =1
n
0 xi = 0 yi = i = 1,2,L, n 1 xi > 0
min z = ∑ c j x j + K j y j
j =1
n
(
)
j = 1,2,L , n
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0 ≤ x j ≤ y j M 增加约束： 增加约束： y j = 0,1
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二、整数规划模型常见类型： 整数规划模型常见类型：
1、一般整数规划 、
max
z = cΤ x
Ax ≥ b s .t . x ≥ 0 , x 为整数
max z = c' x
2、0-1 整数规划 、
Ax ≥ b s . t . x i = 0 ,1; i = 1 , 2 ,..., n
未划掉数字中的最小值2 未划掉数字中的最小值
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匈牙利法（ 匈牙利法（Konig)
返回3 5、返回3
0 11 4 (0) 8 (0) 5 11 (0) 3 0 2 3 2 (0) 3
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匈牙利法（ 匈牙利法（Konig)
最后，每行每列都有0 得到最优解。 最后，每行每列都有0，得到最优解。 —— —— —— ——
四、 与线性规划的关系
整数规划
松弛问题
Τ
max z = c x Ax = b s .t . x ≥ 0, x为整数
max
z = cΤ x
Ax = b s .t . x ≥ 0
ILP的可行解包含在 的可行解中 的可行解包含在LP的可行解中 的可行解包含在 ILP的最优值小于或等于 的最优值 的最优值小于或等于LP的最优值 的最优值小于或等于
0 11 2 0 8 0 3 11 7 10 5 0 5 4 0 5
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匈牙利法（ 匈牙利法（Konig)
1、先对行造0。 先对行造0
2 15 13 4 10 4 14 15 9 14 16 13 7 8 11 9 2 4 11 4 0 11 2 0 8 0 3 11 7 10 5 9 5 4 0 5
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n
ij
x j ≤ b0 , 或b1 , b2 ,L , br
1 约束值 = bi yi = 0 约束值 ≠ bi
∑a
j =1
n
ij
x j ≤ ∑ bi yi ,
i =1
r
y1 + y2 + L + yr = 1
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3、带条件约束或分段约束 、
若 x 1 ≤ 4 , 则 x 2 ≥ 1, 否则 ( x 1 > 4 ), 则 x 2 ≤ 3