三角函数全章教案(先学后教)

28 锐角三角函数一、教学目标（一）知识教学点使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实．（二）能力训练点逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．（三）德育渗透点引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．二、教学重点、难点1．重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实．2．难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论．三、教学步骤一、展示学习目标：知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值都固定这一事实二、自学指导：学生认真阅读教材第76——78 页的内容，并思考下列问题在直角三角形中，任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来。

对边与斜边、邻边与斜边的比值都是固定的吗三、学生自学，教师巡视：认真阅读教材第76——78 页的内容，1．请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值．四、自学检测1．如图6-1，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则A、B间距离为多少米？2．长5米的梯子以倾斜角∠CAB为30°靠在墙上，则A、B间的距离为多少？3．若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则A、B间距离为多少？4．若长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2米，则倾斜角∠CAB为多少度？五、学生讨论、更正、教师点拨无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”．学生展开讨论，独立完成．2．学生经过研究，也许能解决这个问题．若不能解决，教师可适当引导：若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其顶点A1，A2，A3重合在一起，记作A，并使直角边AC1，AC2，AC3……落在同一条直线上，则斜边AB1，AB2，AB3……落在另一条直线上．这样同学们能解决这个问题吗？引导学生独立证明：易知，B1C1∥B2C2∥B3C3……，∴△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽……，∴形中，∠A的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值．通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透．六、当堂训练含30°角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的．测量并计算30°、45°、60°角的对边与斜边、邻边与斜边的比值．七、教后反思正弦和余弦(二)一、教学目标(一)知识教学点使学生初步了解正弦、余弦概念；能够较正确地用sinA、表示直角三角形中两边的比；熟记特殊角30°、45°、60°角的正弦值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．(二)能力训练点逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．(三)德育渗透点渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点．二、教学重点、难点1．教学重点：使学生了解正弦、余弦概念．2．教学难点：用含有几个字母的符号组sinA、表示正弦；正弦概念．三、教学步骤(一)明确目标1、正弦和余弦概念．2、正确地用sinA、表示直角三角形中两边的比3、熟记特殊角30°、45°、60°角的正弦值(二)、自学指导：学生认真阅读教材第78——79 页的内容，并思考下列问题三、学生自学，教师巡视：．请学生结合图形叙述正弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力．教师板书：在△ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA，若把∠A的对边BC记作a，邻边AC记作b，斜边AB记作c，则引导学生思考：当∠A为锐角时，sinA、cosA的值会在什么范围内？得结论0＜sinA＜1，0＜cosA＜1(∠A为锐角)．这个问题对于较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，同时这个问题也使学生将数与形结合起来．教材例1的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦，这里不妨增问“cosA、cosB”，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点．四、自学检测1 求出图6－4所示的Rt△ABC中的sinA、sinB的值．五、学生讨论、更正、教师点拨让每个学生画含30°、45°的直角三角形，分别求sin30°、sin45°、sin60学生练习1中1、2、3．让每个学生画含30°、45°的直角三角形，分别求sin30°、sin45°、sin60六、当堂训练2 求下列各式的值：教材习题14.1中A组3．七、教后反思余弦(二)一、教学目标(一)知识教学点使学生初步了解余弦概念；能够较正确地用cosA、表示直角三角形中两边的比；熟记特殊角30°、45°、60°角的余弦值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．(二)能力训练点逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．(三)德育渗透点渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点．二、教学重点、难点1．教学重点：使学生了解余弦概念．2．教学难点：用含有几个字母的符号组co sA表示正弦；正弦概念．三、教学步骤(一)明确目标1、余弦概念．2、正确地用co sA、表示直角三角形中两边的比3、熟记特殊角30°、45°、60°角的余弦值(二)、自学指导：学生认真阅读教材第80——81 页的内容，并思考下列问题三、学生自学，教师巡视：．请学生结合图形叙述正弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力．教师板书：在△ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作co sA，若把∠A的对边BC记作a，邻边AC记作b，斜边AB记作c，则引导学生思考：当∠A为锐角时，sinA、cosA的值会在什么范围内？得结论0＜sinA＜1，0＜cosA＜1(∠A为锐角)．这个问题对于较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，同时这个问题也使学生将数与形结合起来．教材例1的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦，这里不妨增问“cosA、cosB”，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点．四、自学检测1 求出图6－4所示的Rt△ABC中的sinA、sinB、cosA、co sB的值．五、学生讨论、更正、教师点拨让每个学生画含30°、45°的直角三角形，分别求sin30°、sin45°、sin60 cos30°、co s45°、co s60的值学生练习81页中1、2、3．让每个学生画含30°、45°的直角三角形，分别求sin30°、sin45°、sin60六、当堂训练2 求下列各式的值：教材习题14.1中A组4．七、教后反思解直角三角形(一)一、展示学习目标：理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型二、自学指导：学生认真阅读教材第88——89 页的内容，并思考下列问题在直角三角形中除直角外，边与边，角与角之间有什么关系？如何根据它们的关系求出其它未知量？三、学生自学，教师巡视：认真阅读教材第88——89 页的内容四、自学检测一、填空题1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，第1题图①三边之间的等量关系：__________________________________． ②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______； ==B A sin cos _______；==B A tan 1tan _____； ==B Atan tan 1______． ④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．第④小题图在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ． CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________． ⑤直角三角形的主要线段(如图所示)．第⑤小题图直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________，斜边的中点是_________． 若r 是Rt △ABC (∠C ＝90°)的内切圆半径，则r ＝_________＝_________． ⑥直角三角形的面积公式． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， S △ABC ＝_________．(答案不唯一)2．关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_________(其中至少_________)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_________或斜边和_________)及已知一边和一个锐角(_________和一个锐角或_________和一个锐角) 3五、学生讨论、更正、教师点拨交流与讨论、学生与学生互相更正后、教师点拨六、当堂训练解答题4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；(2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ；(3)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；(4)已知：,9,23tan ==b B 求a 、c ；(5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．综合、运用、诊断5．已知：如图，在半径为R 的⊙O 中，∠AOB ＝2α ，OC ⊥AB 于C 点．(1)求弦AB的长及弦心距；(2)求⊙O的内接正n边形的边长a n及边心距r n．6．如图所示，图①中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图②中AB、BC两段)，其中CC′＝BB′＝3.2m．结合图中所给的信息，求两段楼梯AB与BC的长度之和(结果保留到0.1m)．(参考数据：sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82)7．如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，台阶面的宽为30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为12°的斜坡，设原台阶的起点为A，斜坡的起点为C，求AC的长度(精确到1cm)．拓展、探究、思考8．如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m，冬天太阳光与水平面的夹角为30°．(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米?(保留根号)(2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BD＝21m，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层?9．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m 到C地，此时王英同学离A地多少距离?10．已知：如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米?(保留整数)七、教后反思解直角三角形(二)二、展示学习目标：1、能将斜三角形的问题转化为解直角三角形．2、体会问题转化的方法和思路二、自学指导：学生认真阅读教材第88——89 页的内容，并思考下列问题如何把一般的三角形转化为直角三角形？三、学生自学，教师巡视：认真阅读教材第88——89 页的内容四、自学检测1．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠D ＝90°，∠B ＝45°，∠ACD ＝60°．BC ＝10cm ．求AD 的长．3．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ． 求AB 及BC 的长．4．已知：如图，Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，∠BDC ＝60°，BC ＝6cm ．求AD 的长．五、学生讨论、更正、教师点拨交流与讨论、学生与学生互相更正后、教师点拨六、当堂训练1．已知：△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝10，25 BC ，求AB 的长．2、已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号)．3．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M 之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，732.13≈)4．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC ＝60°，∠DAE ＝45°．点D 到地面的垂直距离m 23=DE ，求点B 到地面的垂直距离BC ．5．已知：如图，小明准备测量学校旗杆AB 的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC ＝20m ，斜坡坡面上的影长CD ＝8m ，太阳光线AD 与水平地面成26°角，斜坡CD 与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB 的高度(精确到1m)．6．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走400m，到达一个景点B，再由B地沿山坡BC行走320米到达山顶C，如果在山顶C处观测到景点B的俯角为60°．求山高CD(精确到0.01米)．7．已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一根2m长的竹竿，测得竹竿影长为1m，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为2m．问路灯高度为多少米?3 8．已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A出发，沿北偏东60°方向走了500m 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m，到达目的地C点．求(1)A、C两地之间的距离；(2)确定目的地C在营地A的什么方向?9．已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m的河堤．大堤高5m，坝顶宽4m，迎水坡和背水坡都是坡度为1∶1的等腰梯形．现要将大堤加高1m，背水坡坡度改为1∶1.5．已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石?七、教后反思解直角三角形应用（一）一．教学三维目标(一)知识目标使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．(二)能力训练点通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．(三)情感目标渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．二、教学重点、难点和疑点1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．三、教学过程三、展示学习目标：理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．二、自学指导：学生认真阅读教材第90——92 页的内容，并思考下列问题 直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系 sinA=c a cosA=c b tanA ba(2)三边之间关系a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．三、学生自学，教师巡视：认真阅读教材第90——92 页的内容四、自学检测1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b= 2 a=6，解这个三角形． 2在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b= 20B ∠=350，解这个三角形（精确到0.1）在△ABC 中，∠C 为直角，AC=6，BAC ∠的平分线AD=43，解此直角三角形。