28.1 第4课时 用计算器求锐角三角函数值及锐角
28.1 锐角三角函数 课件 2024-2025学年数学九年级下册人教版
2 A＝___4___．
感悟新知
知1－练
例 3 如图28.1－3，在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，如果 2AB＝3BC，求∠B 的三个三角函数值.
解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定 义的前提是在直角三角形中”这一特 征，用“构造直角三角形法”求解.
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解：过点A作AD⊥BC于点D，如图28.1－3，
学习目标
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
感悟新知
知识点 1 锐角三角函数
1. 正弦、余弦、正切
名称
定义
符号语言
在Rt△ABC中，∠C＝
90°，∠A的对边与斜 在Rt△ABC
正弦
边的比叫做∠A 的正 中，∠C＝
弦 ，记 作 sin A，即 sin A＝∠A斜的边对边
90°，sin ＝ac
A.
4 3
B.
3 4
C.
3 5
D.
4 5
解题秘方：引入参数，用这个参数表示出三角形的
三边长，再用定义求解.
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知1－练
解：由sin A＝BACB＝45，可设BC＝4k(k>0)，则AB＝5k. 根据勾股定理，得AC＝3k， ∴ tan B＝ABCC＝34kk＝34. 答案：B
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知1－练
技巧点拨：在直角三角形中，给出某一个锐角的三角 函数值，求另一个锐角的三角函数值时，可以用设辅助 元，即引入“参数”的方法来解决，注意在最后计算时要 约去辅助元.
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知1－练
2－1. [期中·盐城射阳县]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 °，
sin
A＝13，则cos
22 A＝___3___，tan
28.1 .1 锐角三角函数
cos 60 1 （3） ； 1 sin 60 tan 30
1 2005 0 （4） 2 sin 45 cos 60 （ 1 ） （ 1 2）. 2
3、在Rt△ABC中，∠C = 90°，若sinA = cosA ，则tanA =
4、如果α是锐角，且sin2α+cos2 35º =1，那么α＝ 5、已知sinα+cosα= ，则sinα·cosα= 2 。
度。
6、若sinA=1/3，则cosA=
。
练习1：
如图,在Rt△DEF中, 若∠F=90°,EF=3，DE=5
则sin∠A=___.
4 5、如图，在△ABC中， AB=CB=5，sinA= ， 5 求△ABC 的面积。
B
5
5
A
C
28.1锐角三角函数（2）
——余弦 正切
复习与探究：
B c A b a C
在 Rt ABC中， C 90
1.锐角正弦的定义
∠A的正弦： s inA
A的 对 边 BC a 斜边 AB c
方法一：从特殊到一般，仿照正弦的研究过程；
方法二：根据相似三角形的性质来说明。
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
余弦（cosine），记作cosA， 即
B 斜边c A 对边a C
A的邻边 b cos A 斜边 c
邻边b
★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 正切（tangent），记作tanA， 即
1 2 3 2 解：原式 ( ) ( ) 2 2
2 sin 2 60表示（sin 60） ，
计算器求三角函数
28.1.4锐角三角函数用计算器求锐角三角函数值和锐角【教学目标】1. 会使用科学计算器求锐角的三角函数值.2. 会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小.3. 熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题.【教学重难点】教学重点：会使用科学计算器求锐角的三角函数值，会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小.教学难点：熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题.【课时安排】 1课时【教学过程】一、导入环节（一）复习导入新课填写下表：锐角a/度数30°45°60°sin acos atan a通过前面的学习，我们知道当锐角A 是30°、45°、60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的锐角三角函数值；如果锐角A 不是这些特殊角，怎样得到它的锐角三角函数值呢？二、先学环节（一）出示自学指导1.用计算器求sin18°的值；2.用计算器求tan30°36′ 的值；解：第一步：按计算器sin键；方法①第二步：输入角度值18；第一步：按计算器 tan键屏幕显示结果sin18°= 0.309 016 994第二步：输入角度值30.6 (因为30°36′ = 30.6°)注意：不同计算器操作的步骤可能不同哦！屏幕显示答案：0.591 398 351方法②：第一步：按计算器 tan键第二步：输入角度值30， (使用 DM’S 键)输入分值36屏幕显示答案：0.591 398 351（二）自学检测反馈1.用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：(1) sin47°；(2) sin12°30′；(3) cos25°18′；(4) sin18°＋cos55°－tan59°.2. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数 (结果精确到0.1°)：(1) sin A＝0.7，sin B＝0.01；(2) cos A＝0.15，cos B＝0.8；(3) tan A＝2.4，tan B＝0.5.三、后教环节合作探究一、通过计算 (可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：① sin30°____2sin15°cos15°；② sin36°____2sin18°cos18°；③ sin45°____2sin22.5°cos22.5°；④ sin60°____2sin30°cos30°；⑤ sin80°____2sin40°cos40°.猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α___2sinαcosα.合作探究二、利用计算器求值，并提出你的猜想：sin20°= ，cos20°= ，sin220°= ， cos220°= ；sin35°= ，cos35°= ，sin235°= ，cos235°= ；猜想：（1）已知0°＜α＜90°，则 sin2α + cos2α = .(2) 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，请验证你在 (1)中的结论.质疑问难：四、训练环节1.用计算器求sin24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是 ( )A． sin，24，DM’S，37 ，DM’S，18，DM’S，=B． 24，DM’S，37 DM’S，18，DM’S，sin，=C． 2ndF，sin，24，DM’S，18，DM’S，=D． sin，24，DM’S，37，DM’S，18 DM’S，2ndF，=2.下列式子中，不成立的是 ( )A．sin35°= cos55°B．sin30°+ sin45°= sin75°C．cos30°= sin60°D．sin260°+ cos260°=13.利用计算器求值：(1) sin40°≈ (精确到0.0001)；(2) sin15°30′≈ (精确到 0.0001)；(3) 若sinα = 0.5225，则α≈ (精确到0.1°)；(4) 若sinα = 0.8090，则α≈ (精确到0.1°).4. 已知：sin232°+ cos2α =1，则锐角α = .5. 用计算器比较大小：20sin87°___tan87°.课堂总结教师总结：已知锐角角度求函数值计算器求函数已知函数值求锐角角度【板书设计】28.1.4 用计算器求锐角三角函数值和角度1.已知锐角角度求函数值2.已知函数值求锐角角度【教学反思】学生在这堂课回答问题比较积极，绝大部分学生都能算出正确答案，而且兴趣都很高，课上已经没有学生再说与学习无关的内容，听课都挺认真，只有几个学生由于网速等原因没有上课，也已经要求去看回放，课下问题的学生比较多，都是单发私信，辅导时间都是一整天，中午都不敢休息。
人教版28.1.4 一般角的三角函数值课件
导引：已知锐角三角函数值，利用计算器求锐 角的度数时要注意先按 2nd F 键．
.
知2－讲
解：(1)依次按键：2nd F sin 0
•
5
1
6
8
=
,
显示结果为：31.117 845 56，即∠A≈31.12°. (2)依次按键： 2nd F cos 0 即 ∠A≈47°31′21″. (3)依次按键： 2nd F tan 0
知3－练
1
4 在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，sin A＝ ， 5
则cos B的值等于(
3 A. 5 4 B. 5
)
3 C. 4
D.
5 5
2
已知α为锐角，若tan (90°－α)＝ 3 ，则
tan α＝________.
知3－练
3
在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列各式中正确 的是( ) B．tan A＝tan B D．cos A＝cos B
cos69°57′ 3″，
cos77°17′ ， cos88°17′25″；
（3）tan27°34′ ， tan43°57′28″ ， tan52°18′15″ ， tan67°， tan78°17′ ， tan85°24′ .
.
知3－讲
1. 猜想：sin α = cos(90°-
α
).
2. （1）猜想：对于锐角A，它的正弦函数 (sinA)的 函数值随自变量锐角A的增大而增大，且 sinA必满足 0 < sinA<1. （2）猜想：对于锐角A，它的余弦函数(cosA)的 函数值随锐角A的增大而减小，且cosA必满 足0 < cosA < 1.
知1－讲
例1
《用计算器求锐角三角函数值及锐角》课件(两套)
6.已知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角a（精确 到1′） （1）sin a=0.2476; （2）cos a=0.4 （3）tan a=0.1890;
(C)45°＜∠A ＜60° (D) 60°＜∠A ＜90°
6.(滨州中考)在△ABC中,∠C=90°,∠A=72°, AB=10,
则边AC的长约为(精确到0.1)（ ）
A.9.1
B.9.5
C.3.1
D.3.5
【解析】选C.AC=ABcos72°≈10×0.309≈3.1
7．（钦州中考）如图，为测量一幢大楼的高度，在地面
3.用计算器求下式的值.(精确到0.0001) sin81°32′17″+cos38°43′47″ 【答案】 1.7692 4.已知tanA=3.1748,利用计算器求锐角A.(精确到1′) 【答案】 ∠A≈72°30′.
5.比较大小:cos30°______cos60°, tan30°______tan60°.
3.已知：sin232°+cos2α=1，则锐角α等于（ B ）
A．32°
B．58°
C．68°
D．以上结论都不对
4.下列各式中一定成立的是（ A） A.tan75°＞tan48°＞tan15° B. tan75°＜tan48°＜tan15° C. cos75°＞cos48°＞cos15° D. sin75°＜sin48°＜sin15°
二 利用计算器探索三角函数的性质
探究归纳
你能得出什么 结论？
用计算器求下列锐角三角函数值；
新苏版数学初三下册第28章用计算器求锐角三角函数值及锐角教案
新苏版数学初三下册第28章28第4课时用运算器求锐角三角函数值及锐角1．初步把握用运算器求三角函数值的方法；(重点)2．熟练运用运算器求三角函数值解决实际问题．(难点)一、情境导入教师讲解：通过上面几节课的学习我们明白，当锐角∠A是30°、45°或60°等专门角时，能够求得这些专门角的正弦值、余弦值和正切值；假如锐角∠A不是这些专门角，如何样得到它的三角函数值呢？我们能够借助运算器来求锐角的三角函数值．二、合作探究探究点一：用运算器求锐角三角函数值及锐角【类型一】已知角度，用运算器求函数值用运算器求下列各式的值(精确到0.0001)：(1)sin47°；(2)sin12°30′；(3)cos25°18′；(4)sin18°＋cos55°－tan59°.解析：熟练使用运算器，对运算器给出的结果，依照有效数字的概念用四舍五入法取近似数．解：依照题意用运算器求出：(1)sin47°≈0.7314；(2)sin12°30′≈0.2164；(3)cos25°18′≈0.9041；(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.方法总结：解决此类问题的关键是熟练使用运算器，使用运算器时要注意按键顺序．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】已知三角函数值，用运算器求锐角的度数已知下列锐角三角函数值，用运算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)：(1)sinA＝0.7，sinB＝0.01；(2)cosA＝0.15，cosB＝0.8；(3)tanA＝2.4，tanB＝0.5.解析：由三角函数值求角的度数时，用到sin，cos，tan键的第二功能键，要注意按键的顺序．解：(1)sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；sinB＝0.01得∠B≈0.6°；(2)cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；cosB＝0.8，得∠B≈36.9°；(3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得∠B≈26.6°.方法总结：解决此类问题的关键是熟练使用运算器，在使用运算器时要注意按键顺序．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型三】利用运算器验证结论(1)通过运算(可用运算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：①sin30°________2sin15°cos15°；②sin36°________2sin18°cos18°；③sin45°________2sin22.5°cos22.5°；④sin60°________2sin30°cos30°；⑤sin80°________2sin40°cos40°.猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α________2sinαcosα.(2)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请依照提示，利用面积方法验证结论．解析：(1)利用运算器分别运算①至⑤各式中左边与右边，比较大小；(2)通过运算△ABC 的面积来验证．解：(1)通过运算可知：①sin30°＝2sin15°cos15°；②sin36°＝2sin18°cos18°；③sin45°＝2sin22.5°cos22.5°；④sin60°＝2sin30°cos30°；⑤sin80°＝2sin40°cos40°；sin2α＝2sin αcos α.(2)∵S △ABC ＝12AB ·sin2α·AC ＝12sin2α，S △ABC ＝12×2ABsin α·ACcos α＝sin α·cos α，∴sin2α＝2sin αcos α.方法总结：本题要紧运用了面积法，通过用不同的方法表示同一个三角形的面积，来得到三角函数的关系，此种方法在后面的学习中会经常用到．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题【类型四】 用运算器比较三角函数值的大小用运算器比较大小：20sin87°________tan87°. 解析：20sin87°≈20×0.9986＝19.974，tan87°≈19.081，∵19.974>19.081，∴20sin87°>tan87°.方法总结：利用运算器求值时，要注意运算器的按键顺序．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题探究点二：用运算器求三角函数值解决实际问题如图，从A 地到B 地的公路需通过C 地，图中AC ＝20km ，∠CA B ＝25°，∠CBA ＝37°，因都市规划的需要，将在A 、B 两地之间修建一条笔直的公路．(1)求改直的公路AB 的长；(2)公路改直后比原先缩短了多少千米？解析：(1)作CH ⊥AB 于H.在Rt △ACH 中依照CH ＝AC ·sin ∠CAB 求出CH 的长，由AH ＝AC ·cos ∠CAB 求出AH 的长，同理可求出BH 的长，依照AB ＝AH ＋BH 可求得AB 的长；(2)在Rt △BCH 中，由BC ＝CH sin ∠CBA可求出BC 的长，由AC ＋BC －AB 即可得出结论．解：(1)作CH ⊥AB 于H.在Rt △ACH 中，CH ＝AC ·sin ∠CAB ＝AC ·s in25°≈20×0.42＝8.4km ，AH ＝AC ·cos ∠CAB ＝AC ·cos25°≈20×0.91＝18.2km.在Rt △BCH 中，BH ＝CH tan ∠CBA ≈8.4tan37°＝11.1km ，∴AB ＝A H ＋BH ＝18.2＋11.1＝29.3km.故改直的公路AB 的长为29.3km ；(2)在Rt △BCH 中，BC ＝CH sin ∠CBA ＝CH sin37°≈8.40.6＝14km ，则AC ＋B C －AB ＝20＋14－29.3＝4.7km.答：公路改直后比原先缩短了4.7km.方法总结：依照题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此类问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题三、板书设计1．已知角度，用运算器求函数值；2．已知三角函数值，用运算器求锐角的度数；3．用运算器求三角函数值解决实际问题．备课时尽可能站在学生的角度摸索问题，设计好教学的每一个细节，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验摸索的过程，体验成功的欢乐和失败的挫折．舍得把课堂让给学生，尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，真正提高课堂教学效率，提高成绩.。
利用计算器解三角函数值
28.1锐角三角函数教案四——利用计算器求三角函数值教学内容本节课主要学习28.1利用计算器求三角函数值教学目标知识技能利用计算器求锐角三角函数值，或已知锐角的三角函数值求相应的锐角。
数学思考体会角度与比值之间对应关系，深化对三角函数概念的理解。
解决问题借助计算器求锐角三角函数值以及根据三角函数值求锐角的练习，让学生充分体会锐角与三角函数值之间的关系。
情感态度在解决问题的过程中体验求索的科学精神以及严谨的科学态度，进一步激发学习需求。
重难点、关键重点：借助计算器来求锐角的三角函数值．难点：体会锐角与三角函数值之间的关系。
关键：利用计算器求三角函数值。
教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、复习引入填表当锐角A是30°、45°或60•°等特殊角时，可以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果锐角A•不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值【活动方略】学生思考，小组合作求解，教师诱导．【设计意图】复习特殊三角函数值，引入新课．二、探索新知（一）已知角度求函数值=0.309016994．又如求tan30°36′，•键，并输入角的度、分值，就可以得到答案0.591398351．利用计算器求锐角的三角函数值，或已知锐角三角函数值求相应的锐角时，不同的计算器操作步骤有所不同．因为30°36′=30.6°，所以也可以利用30.6，•同样得到答案0.591398351．（二）已知函数值，求锐角教师讲解：如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角．例如，已知sinA=0.5018；用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：依次按键0.5018，得到∠A=30.11915867°（如果锐角A精确到1°，则结果为30°）．还可以利用A=30°07′08．97″（如果锐角A•精确到1′，则结果为30°8′，精确到1″的结果为30°7′9″）．使用锐角三角函数表，也可以查得锐角的三角函数值，或根据锐角三角函数值求相应的锐角．教师提出：怎样验算求出的∠A=30°7′9″是否正确？让学生思考后回答，•然后教师总结：可以再用计算器求30°7′9″的正弦值，如果它等于0.5018，•则我们原先的计算结果就是正确的．【活动方略】先教师示范，学生观察；再学生尝试，教师指导．【设计意图】指导学生利用计算器求锐角三角函数值，已知锐角的三角函数值求相应的锐角。
28.1.4用计算器求三角函数值和锐角度数教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角函数相关的实际问题，如计算建筑物的斜高。
本节课将结合实际例题，让学生在实际操作中掌握计算器求解三角函数值和锐角度数的方法，提高学生解决问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括：
1.数据处理能力：培养学生运用计算器进行数值计算和数据处理的能力，提高解决实际问题的效率；
2.数学思维能力：通过计算器求解三角函数值和锐角度数，引导学生理解三角函数的定义和性质，发展学生的数学逻辑思维；
3.实践操作能力：让学生在实际操作中掌握计算器的使用方法，培养学生在实际情境中运用数学知识解决问题的能力；
4.团队合作与交流：鼓励学生在课堂上相互交流、探讨，培养学生的团队协作能力和表达能力。
本节课将紧扣核心素养目标，注重培养学生运用计算器解决实际问题的能力，提高学生的数学学科素养。
三、教学难点与重点
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三角函数的基本概念。三角函数是描述角度与边长比例关系的数学函数，它是解决几何问题的关键工具，广泛应用于工程、物理等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们需要计算一个30°角的正弦值，通过计算器我们可以快速得到结果，并了解其在实际中的应用。
1.教学重点
（1）掌握计算器上三角函数键的使用方法；
（2）熟练运用计算器求解锐角三角函数值；
（3）运用计算器求解给定三角函数值的对应锐角度数；
28.1.4锐角三角函数(4)·数学人教版九下-特训班
４４１．用计算器计算c o s ４４°的结果是( )．(精确到０．０１) A ．０．９０B ．０．７２(３)３c o s ６２°１５′＋ ３t a n １８°４７″． C ．０．６９ , D ．０．６６２．在 R t △A B C 中 ∠C ＝９０°,a ∶b ＝３∶４．运用计算器计算 课内与课外的桥梁是这样架设的.∠A 的度数约为( )． A ．３０°B ．３７°１３．如图,在坡屋顶的设计图中,A B ＝A C ,屋顶的宽度l 为 １０m ,坡角α 为３５°,则坡屋顶的高度h 为 m ．C ．４５° ,锐角D ．５５° ,则 与 的大 (结果精确到０．１m )３．若锐角A ＝５４°３２′ 小关系为( )．B ＝２５°３２′ s i n A s i n B A ．s i n A ＞s i n BB ．s i n A ＜s i n BC ．s i n A ＝s i n BD ．无法确定４．在下列不等式中,不正确的是( )． A ．s i n ２５°－s i n ２４°＞０B ．c o s ２５°－c o s ２４°＜０(第１３题)C ．t a n ２５°－t a n ２４°＞０D ．t a n ６５°－t a n ６６°＞０ ５．下列式子中,正确的是( )．①０＜c o s α＜１(０°≤α≤９０°); ②s i n ７８°＞c o s ７８°; ③s i n ３５°＝c o s ５５°; ④s i n ０°＞t a n ４５°． A ．①②B ．① ③１４．在一次夏令营活动中,小亮从位于点 A 的营地出发,沿 北偏东６０°方向走了５k m 到达B 地,然后再沿北偏西３０°方向走了若干千米到达C 地,测得 A 地在C 地南偏西３０°方向,则A 、C 两地的距离为( )．C ．② ③ :D ．②④ ６．用计算器求 若s i n A ＝０．６７４９,则锐角 A ＝°;若 c o s B ＝０．０７８９,则锐角B ＝ °;若t a n C ＝３５０６,则锐角C ＝ °．(精确到０．０１°) ７．在 R t △A B C 中,∠C ＝９０°,B C ＝１０m ,∠A ＝１５°,用计算(第１４题)A ．１０ ３k mB ．５ ３k m器算得A B 的长约为m ．(精确到０．１m )８．用计算器计算:３s i n ３８°－ ２≈．(结果保留三个 ３ C ．５ ２ k m ,３ D ．５ ３ k m 有效数字)１５．在△A B C 中 ∠C 为直角,直角边B C ＝３c m ,A C ＝４c m ．９．如果∠A 是锐角,c o s A ＝０．６１８,那么s i n (９０°－A )的值为．１０．用计算器求:s i n ３２°＝ ,c o s ５８°＝,比较大小:s i n ３２° c o s ５８°． １１．用 计算器求:t a n ６４．０７°＝,比 较大小:t a n ６２°(１)求s i n A 的值; (２)若 C D 是斜边 A B 上的高线,与 A B 交于点D ,求 s i n ∠B C D 的值; (３)比较s i n A 与s i n ∠B C D 的大小,你发现了什么?１．１２．利用计算器求下列各式的值 (精确到 ０．００１): (１)s i n ５２°１８′４４″－t a n ４０°７′４８″;(２)c o s ５７°１５′－ ３t a n ７４°３３′;先相信自己,然后别人才会相信你.——— 罗曼罗兰 第４课时 锐角三角函数(４) １．熟识计算器一些功能键的使用．２．会运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角．夯实基础,才能有所突破() ,１３t a n２０°１６．(１)锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定、变化而变化．试探索随着锐角度数的增大,它的正弦值和余弦值变化的规律;(２)根据你探索到的规律,试比较１８°,３４°,５０°,６２°,８８°这些锐角的正弦值和余弦值的大小;(３)比较大小:(填“＞”“＜”或“＝”)若α＝４５°,则s i nαc o sα;若α＜４５°,则s i nαc o sα;若α＞４５°,则s i nαc o sα．４利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系试比较下列正弦值和余弦值的大小:s i n１０°,c o s３０°,s i n５０°,c o s７０°．１８．用计算器计算: (１)c o s１０°,c o s２０°,c o s３０°,,c o s９０°的值; (２)s i n８０°,s i n７０°,s i n６０°,,s i n０°的值; (３)比较(１)(２),你能得到什么规律?对未知的探索,你准行!１７．如图,在△A B C中,A D是边B C上的高,t a n B＝c o s∠D A C．(１)试说明:A C＝B D;(２)若s i n C＝１２,求∠B的大小．(精确到１″)(第１７题)解剖真题,体验情境.１９．(２０１１贵州毕节)如图,将一个R t△A B C形状的楔子从木桩的底端点P 处沿水平方向打入木桩底下,使木桩向上运动,已知楔子斜面的倾斜角为２０°,若楔子沿水平方向前移８c m(如箭头所示),则木桩上升了()．(第１９题)A．８t a n２０°B．８C．８s i n２０°D．８c o s２０°２０．(２０１１山东滨州)在△A B C中,∠C＝９０°,∠A＝７２°,A B＝１０,则边A C的长约为()．(精确到０．１)A．９．１B．９．５C．３．１D．３．５) , ,２１．(２０１２江西如图从点C测得树的顶角为３３°B C＝２０m,则树高AB＝m．(用计算器计算,结果精确到０．１m)(第２１题)读过一本好书,就像交了一个益友.———臧克家第二十八章锐角三角函数A C１３BD A C第４课时 锐角三角函数(４) １ B ２．B ３．A ４ D ５ C ６４２．４５ ８５．４７ ８９．９８７３８．６ ８．０．４３３９０．６１８ 提示:s i n (９０°－A )＝c o s A ＝０．６１８． １００．５２９９ ０．５２９９ ＝ １１２．０５６７ ＞１２ (１)－０．０５２ (２)－２．３５３ (３)１．６５２ １３３．５ １４．As i n ７０°≈０．９３９７,s i n ６０°≈０．８６６０,s i n ５０°≈ ０．７６６０,s i n ４０°≈０．６４２８,s i n ３０°＝０．５, s i n ２０°≈０．３４２０,s i n １０°≈０．１７３６,s i n ０°＝ ０． (３)由(１)(２),得c o s α＝s i n (９０°－α)． １９ A ２０．C ２１１３．０１５ (１)s i n A ＝ ３ (２)s i n ∠B C D ＝ ３(３)s i n A５５BCD() ＝s i n ∠ ,１６ １ 正弦值随着角度的增大而增大 余弦值随着角度的增大而减小．(２)s i n １８°＜ s i n ３４°＜ s i n ５０°＜ s i n ６２°＜ s i n ８８°; c o s ８８°＜c o s ６２°＜c o s ５０°＜c o s ３４°＜c o s １８°． (３)＝ ＜ ＞ (４)s i n １０°＜c o s ７０°＜s i n ５０°＜c o s ３０°． １７ (１)在 R t △A B D 和 R t △A D C 中,∵ t a n B ＝A D ,c o s ∠D A C ＝A D, BD A C 又 t a n B ＝c o s ∠D A C , ∴AD ＝AD ． ∴ AC ＝BD ．(２)在 R t △A D C 中,s i n C ＝ A D＝c o s ∠D A C , ∴ s i n C ＝t a n B ． ∴ t a n B ＝１２． ∴ ∠B ≈４２°４２′３４″．１８ (１)由计算器计算,可得c o s １０°≈０．９８４８, c o s ２０°≈０．９３９７,c o s ３０°≈０．８６６０,c o s ４０°≈０．７６６０,c o s ５０°≈０．６４２８,c o s ６０°＝０．５, c o s ７０°≈０．３４２０,c o s ８０°≈０．１７３６,c o s ９０° ＝０．(２)由计算器计算,可得s i n ８０°≈０．９８４８,。
部编RJ人教版九级数学下册第二学期 同步课堂补习辅导练习题作业 第二十八章 锐角三角函数 (全章电子作业)
28．1锐角三角函数第1课时 正弦函数1．在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，则sin 30︒的值是A ．12 B．2 CD ．2.在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，则sin A 是A ．35 B ．45 C ．34D ．433．在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，则sin B 的值等于 A.34B ．43C ．35D ．454.如图，在Rt ABC ∆ ，90C ∠=︒ ，8AC =，6BC =，则sin B 的值等于A ．34 B ． 34C ．45D ．355.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若ABBC ＝2，则sin B 的值为ABC ．12D ．2 6．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为A.12B.55 C.1010 D.255第6题图 第7题图7．如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边上有一点P (3，4)，则sin α的值是A.25B.55C.35D.45A8.如图，在⊙O 中，过直径AB 延长线上的点C 作⊙O 的一条切线，切点为D ，若AC ＝7，AB ＝4，则sin C 的值为____．9．Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，a ＝15，b ＝8，求 sin A ＋sin B .10．如图所示，△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝13，AC ＝2，求AB ，BC 的长．13．如图，⊙O 的半径为3，弦AB 的长为4，求sin A 的值．28．1锐角三角函数第2课时 余弦函数和正切函数1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则∠A 的余弦值是( ) A.35 B.34 C.45 D.432. 如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是()A.23B.32C.21313D.313133．如图是教学用直角三角板，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为( )．10 3 cm D ．5 3 cm4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝45，则AC ∶BC ∶AB ＝( )A ．3∶4∶5B ．5∶3∶4C ．4∶3∶5D ．3∶5∶45．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cos B ＝23，则BC 的长为( )A ．4B ．2 5 C.181313 D.1213136．如图，P 是∠α的边OA 上一点，点P 的坐标为(12，5)，则tan α等于( )A.513B.1213C.512D.1257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8，AC ＝6，则sin B ＝____，cos B ＝____，sin A ＝___，cos A ＝____，tan A ＝____，tan B ＝____．8. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，现给出下列结论：①sin A ＝32；②cos B ＝12；③tan A ＝33；④tan B ＝3，其中正确的结论是____．(只需填上正确结论的序号) 9. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝43，BC ＝8，则Rt △ABC 的面积为___．10．(1)在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AB ＝5，求sin A ，cos A ，tan A .(2)在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足BC ∶CA ∶AB ＝5∶12∶13，求sin A ，cos B ，tan A .11．(1)若∠A 为锐角，且sin A ＝35，求cos A ，tan A .(2)已知如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝12，求∠B 的正弦、余弦值．28．1锐角三角函数第3课时 特殊角的三角函数1. 3tan30°的值等于( )A. 3 B ．3 3 C.33 D.322. 计算6tan45°－2cos60°的结果是( ) A ．4 3 B ．4 C ．5 3 D ．53．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，则sin B 的值为( ) A.12 B.22 C.32D ．1第3题图 第5题图 4．如果在△ABC 中，sin A ＝cos B ＝22，则下列最确切的结论是( ) A ．△ABC 是直角三角形B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是锐角三角形5．如图，当太阳光线与水平地面成30°角时，一棵树的影长为24 m ，则该树高为( ) A ．8 3 m B ．12 3 m C ．12 2 m D. 12 m6．(1)3cos30°的值是____．(2)计算：sin30°·cos30°－tan30°＝____(结果保留根号)．(3)cos 245°＋tan30°·sin60°＝____． 7．根据下列条件，求出锐角A 的度数． (1)sin A ＝32，则∠A ＝____；(2)cos A ＝12，则∠A ＝____； (3)cos A ＝22，则∠A ＝____；(4)cos A ＝32，则∠A ＝____． 8．如图是引拉线固定电线杆的示意图，已知CD⊥AB ，CD ＝3 m ，∠CAD ＝∠CBD ＝60°，求拉线AC 的长．9.计算：(1)cos45°sin45°＋2sin60°tan60°－1tan30°＋tan45°； (2)sin45°＋cos30°3－2cos60°－sin60°(1－sin30°).10.已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝32，计算8－4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1的值．28．1锐角三角函数第4课时 用计算器求锐角三角函数值及锐角1．利用计算器求下列各式的值： (1) 43sin ''； (2)6544sin '''；(3) 820348sin '''︒； (4)7575sin57'''︒．2．利用计算器求下列各式的值： (1)01 cos ''； (2)635 cos '''；(3)436253 cos '''︒； (4)253378 cos '''︒．3．利用计算器求下列各式的值： (1)23tan ''；(2)6305tan'''； (3)144567tan'''︒； (4)535185tan'''︒． 4．如图，甲、乙两建筑物之间的水平距离为100 m ，∠α＝32°，∠β＝50°，求乙建筑物的高度(结果精确到0.1 m)．28．2．1 解直角三角形1.如图,在△ABC 中,∠C=900，AB=5,BC=3,则sinA 的值是（ ）A.34 B.43C.35D.45第1题图 第3题图 第4题图 2.在Rt △ACB 中,∠C=900，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，则BC 的长为（ ） A.6 B.7.5 C.8 D.12.53.如图,在△ABC 中,∠C=900，AD 是BC 边上的中线,BD=4,52 AD ,则tan ∠CAD 的值是（ ）A.2B.2C.3D.5 4.如图,在矩形ABCD 中,点E 在AB 边上,沿CE 折叠矩形ABCD,使点B 落在AD 边上的点F 处,若AB=4，BC=5,则tan ∠AFE 的值为（ ） A.43 B.35 C.34 D.455.在△ABC 中,AB=AC=5,sin ∠ABC=0.8，则BC=6.△ABC 中,∠C=900，AB=8,cosA=43,则BC 的长 7.如图,在△ABC 中,∠A=300,∠B=450,AC=32,则AB 的长为 ．第7题图 第8题图8.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=900，D 是AB 的中点,过D 点作AB 的垂线交AC 于点E,BC=6,sinA=35，则DE= ．10.如图,在Rt △ABC 中,∠C=900，∠A 的平分线交BC 于点E ，EF ⊥AB 于点F ，点F 恰好是AB 的一个三等分点（AF ＞BF ）． （1）求证：△ACE ≌△AFE ； （2）求tan ∠CAE 的值．28.2.2 应用举例第1课时 解直角三角形的简单应用1.某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）．A .450a 元B .225a 元C .150a 元D .300a 元15020米30米第1题图 第2题图2.某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，D 是AB 的中点，中柱CD = 1米，∠A=27°， 则跨度AB 的长为 (精确到0.01米).3.如图,从A 地到B 地的公路需经过C 地,图中AC=10km,∠CAB=250,∠CBA=370,因城市规划的需要,将在A 、B 两地之间修建一条笔直的公路． （1）求改直的公路AB 的长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin250≈0.42,cos250≈0.91,sin370≈0.60,tan370≈0.75）4.中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道l 上确定点D ，使CD 与l 垂直,测得CD 的长等于21米，在l 上点D 的同侧取点A 、B ，使∠CAD=300，∠CBD=600． （1）求AB 的长；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A 到B 用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．5.如图,在同一平面内,两条平行高速公路l 1和l 2间有一条“Z ”型道路连通,其中AB 段与高速公路l 1成300角,长为20km ；BC 段与AB 、CD 段都垂直,长为10km ，CD 段长为30km,求两高速公路间的距离．6.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为120，支架AC长为0.8m，∠ACD为800，求跑步机手柄的一端A的高度h （精确到0.1m）．（参考数据：sin120=cos780≈0.21，sin680=cos220≈0.93，tan680≈2.48）28.2.2 应用举例第2课时利用仰俯角解直角三角形1.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为A. 40D. 1602.如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m，≈1.73）．为米含α的代数式表示）．第3题图第4题图4.如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为米．5.如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，那么旗杆的高度AC=米．第5题图第6题图第7题图6.如图,在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为300，底部D处的俯角为何450，则这个建筑物的高度CD= 米（结果可保留根号）7.某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度,如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为600，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为300，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上,已知每层楼的高度为3米,则旗杆AB 的高度为 米．7.如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度,他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为300,然后沿AD 方向前行10m,到达B 点,在B 处测得树顶C 的仰角高度为600（A 、B 、D 三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度．8.为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。
新人教版九年级数学下册《28章锐角三角函数28.1特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值》教案_5
特殊角的锐角三角函数值及用计算器求角的三角函数值一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：本节课前学生已经学习了正切、正弦、余弦的定义学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些统计活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数据收集和处理的必要性和作用，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学目标本节课教学目标如下：知识与技能：1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义。
2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算3．会用计算器求一个角的锐角函数值。
过程与方法：1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力。
2. 经历计算器求三角函数值的过程培养学生的动手能力。
情感态度与价值观：培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
三、教学重难点教学重点：能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小。
教学难点：三角函数值的应用四、教具学具三角尺，直尺，多媒体课件，科学计算器五、教学流程（一）出示学习目标1.自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值。
2.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用。
3.会使用科学计算器求锐角的三角函数值。
4.会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小。
（二）复习巩固1.如图所示在 Rt △ABC 中，∠C=90°。
（1）a 、b 、c 三者之间的关系是，∠A+∠B= 。
人教版九年级数学下册第二十八章28.1第4课时 用计算器计算三角函数值
解：(1)锐角 A≈47°31′21″； (2)锐角 A≈89°20′44″； (3)锐角 A≈27°5′3″.
15. 在 Rt△ ABC 中， ∠C＝90° ， ∠A＝42°24′， ∠A 的平分线 AT＝14.7 cm，用科学计算器求 AC 的长(结 果精确到 0.001)．
解：∵AT 平分∠BAC，且∠BAC＝42°24′， 1 ∴∠CAT＝2∠BAC＝21°12′. AC 在 Rt△ ACT 中，cos∠CAT＝ AT ， ∴AC＝AT· cos∠CAT ＝14.7×cos21°12′≈13.705(cm)．
16. 用计算器探究： (1)tan1° · tan89° ＝ tan2° · tan88° ＝ … tan44° · tan46° ＝ ； ， ； ， ，
(2)tan13°25′·tan76°35′＝ tan72°21′·tan17°39′＝
(3)根据(1)(2)运算的结果，你发现了什么规律？ 请用一个等式表示出来； (4) 利 用 上 面 发 现 的 规 律 计 算 ： tan41°·tan42°·tan43°·tan44°·…·tan48°·tan49°.
7. 如图，若 45° <A<90° ，则下列各式成立的是 ( B )
A．sinA＝cosA C．sinA>tanA
B．sinA>cosA D．sinA<cosA
8. 根据图中信息，经过估算，下列度数与 α 最接 近的是( B )
A．10°
B．20° C．30°
D．40°
9. (2018· 烟台)利用计算器求值时，小明将按键顺 序 （ sin 3 0 ） yx － 4 ＝ 的显示结果记为 a ， 6 x2 ab/c 3 ＝ 的显示结果记为 b，则 a，b 的大小关系为 ( B ) A．a＜b C．a＝b B．a＞b D．不能比较
九年义务教育 九年级(下册)数学 《锐角三角函数》--司马义.苏来曼
C B ACBCBA新课标人教版初中数学九年级下册第28章《锐角三角函数》新疆巴州库尔勒市和什力克乡中学 司马义.苏来曼第一课时 课题：第28章 锐角三角函数28．1锐角三角函数（1） ——正弦【学习目标】⑴: 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
⑵: 能根据正弦概念正确进行计算 【学习重点】理解正弦（sinA ）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 【学习难点】当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
【导学过程】 一、自学提纲：1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，•求AB2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，•求BC二、合作交流：问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，•在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ；结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？•斜边c对边abC B (2)1353CB A(1)34CB A如果是，是多少？结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值三、教师点拨：从上面这两个问题的结论中可知，•在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于12，是一个固定值；•当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，•它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a ，那么''''BC B C AB A B 与有什么关系．你能解释一下吗？结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，•∠A 的对边与斜边的比 正弦函数概念：规定：在Rt △BC 中，∠C=90，∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ．在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记作sinA ，即sinA= =a c ． sinA ＝A aA c∠=∠的对边的斜边 例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=；当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ． 四、学生展示：例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．随堂练习 （1）： 做课本第79页练习．随堂练习 （2）：1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是﹙ ﹚A ．43 B ．34 C ．53 D ．542．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（ ）A ．35B ．45C ．34D ．433． 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=23，则边AC 的长是( )A ．13B ．3C ．43D ． 54．如图，已知点P 的坐标是（a ，b ），则sin α等于（ ）A ．a bB ．ba CD五、课堂小结：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A •的对边与斜边的比都是 ．在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A •的 ，•记作 ，六、作业设置：课本 第85页 习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与正弦函数有关的部分）七、自我反思：本节课我的收获: 。
281第4课时用计算器求锐角三角函数值及锐角
281第4课时用计算器求锐角三角函数值及锐角锐角三角函数指的是在单位圆上，对应锐角的正弦、余弦、正切和余切的值。
本文将介绍如何使用计算器来计算锐角三角函数的值和锐角。
首先，我们需要明确什么是锐角。
锐角是指角度小于90度的角。
在单位圆上，锐角位于第一象限，即角度范围为0到90度。
计算器通常有一个三角函数按钮，可以通过这个按钮来计算锐角的三角函数值。
首先，将计算器置于角度模式（degree mode）或弧度模式（radian mode），具体选择哪种模式取决于你要计算的是角度还是弧度。
在本文中，我们选择角度模式。
然后，按下相应的三角函数按钮，例如sin、cos、tan或cot。
以计算sin 30°为例，首先确认计算器处于角度模式。
然后，按下sin按钮，输入30，最后按下等于（=）按钮。
计算器将显示0.5，这是sin 30°的值。
同样地，我们可以使用计算器来计算cos 45°、tan 60°和cot 75°的值。
具体的计算步骤如下：1. 计算cos 45°：按下cos按钮，输入45，最后按下等于（=）按钮。
计算器将显示0.707，这是cos 45°的值。
2. 计算tan 60°：按下tan按钮，输入60，最后按下等于（=）按钮。
计算器将显示1.732，这是tan 60°的值。
3. 计算cot 75°：首先按下tan按钮，输入75，最后按下等于（=）按钮。
计算器将显示0.267、由于cot 75°是tan 75°的倒数，我们可以通过计算1除以tan 75°来获得cot 75°的值。
1除以0.267约等于3.743，即cot 75°的值。
通过这种方式，我们可以使用计算器轻松地计算任意锐角的三角函数的值。
接下来，我们将讨论如何通过三角函数的值来确定锐角。
通常情况下，我们使用反函数（反三角函数）来计算锐角。
人教版初中数学九年级下册第二十八章：锐角三角函数(全章教案)
第二十八章锐角三角函数教材简析本章的内容主要包括：锐角三角函数的概念；30°，45°，60°角的三角函数值；利用计算器求任意锐角的三角函数值及根据三角函数值求出相应的锐角；利用锐角三角函数解直角三角形及三角函数的应用．在学生掌握了直角三角形边、角之间的关系的基础上，引入了锐角三角函数的概念，进而学习解直角三角形，是中学几何的重点与难点．本章是中考的必考内容，主要考查特殊锐角三角函数值的计算和解直角三角形及其应用．教学指导【本章重点】锐角三角函数的概念和直角三角形的解法．【本章难点】综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解决实际问题．【本章思想方法】1．体会数形结合思想．如：在理解和应用锐角三角函数解决实际问题时，注意数形结合思想的应用，即需根据实际问题画出几何图形，并根据图形寻找直角三角形中边、角之间的关系．2．体会转化思想．如：(1)把实际问题转化成数学问题：把实际问题的情境转化为几何图形；把题中的已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系．(2)把数学问题转化为解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，需要添加适当的辅助线构造出直角三角形．3．体会方程思想．如：在解决直角三角形的实际问题中，经常设出未知数来表示某一个量，并利用直角三角形的边、角关系建立方程，将几何问题转化为求方程的解．课时计划28．1锐角三角函数4课时28．2解直角三角形及其应用3课时28．1 锐角三角函数第1课时 正弦教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．利用相似的直角三角形，探索直角三角形的锐角确定时，它的对边与斜边的比是固定值，从而引出正弦的概念．2．理解锐角的正弦的概念，并能根据正弦的概念进行计算． 【过程与方法】通过探究锐角的正弦的概念的形成，体会由特殊到一般的数学思想方法，培养学生的归纳、推理能力．【情感态度与价值观】让学生在通过探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的快乐，感悟数学的实用性，培养学生学习数学的兴趣．二、重难点目标 【教学重点】理解正弦的意义，会求锐角的正弦值． 【教学难点】理解直角三角形的锐角确定时，它的对边与斜边的比是固定值．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P61～P63的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半.2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦 ，即sin A ＝a c.3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，b ＝4，则sin B ＝45.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求sin A 和sin B 的值．【互动探索】(引发学生思考)要求sin A 和sin B 的值，需要分别找出∠A 、∠B 的对边和斜边的比．【解答】详细解答过程见教材P63例1.【例2】已知等腰三角形的一腰长为25 cm ，底边长为30 cm ，求底角的正弦值． 【互动探索】(引发学生思考)转化法：将已知条件转化为几何示意图，再作出辅助线构造出直角三角形求解．【解答】如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D. ∵AB ＝AC ＝25 cm ，BC ＝30 cm ，AD 为底边上的高， ∴BD ＝12BC ＝15 cm ，∴在Rt △ABD 中，由勾股定理，得AD ＝AB 2－BD 2＝20 cm ， ∴sin ∠ABC ＝AD AB ＝2025＝45.即底角的正弦值为45.【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角函数值一定要在直角三角形中求，当图形中没有直角三角形时，要通过作高构造直角三角形解答．活动2 巩固练习(学生独学) 1．如图，sin A 等于( C )A ．2B ．55C.12D ． 52．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( B )A.83 B ．6 C ．12D ．83．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B 24．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，若AD ＝9，DC ＝5，E 为AC 的中点，求sin ∠EDC 的值．解：∵AD ⊥BC ， ∴∠ADC ＝90°. ∵AD ＝9，DC ＝5，∴AC ＝AD 2＋DC 2＝92＋52＝106. ∵E 为AC 的中点， ∴DE ＝AE ＝EC ＝12AC ，∴∠EDC ＝∠C ，∴sin ∠EDC ＝sin C ＝AD AC ＝9106＝9106106.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC ＝6，AC ＝8，求sin ∠ABD 的值．【互动探索】首先根据垂径定理得出∠ABD ＝∠ABC ，然后由直径所对的圆周角是直角，得出∠ACB ＝90°，从而由勾股定理算出斜边AB 的长，再根据正弦的定义求出sin ∠ABC 的值，进而得出sin ∠ABD 的值．【解答】∵AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ， ∴AC ︵ ＝AD ︵， ∴∠ABD ＝∠AB C. ∵AB 为直径， ∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，∵BC ＝6，AC ＝8， ∴AB ＝BC 2＋AC 2＝10， ∴sin ∠ABD ＝sin ∠ABC ＝AC AB ＝45.【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角函数值时必须在直角三角形中．在圆中，由直径所对的圆周角是直角可构造出直角三角形．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 1．如图，sin A ＝∠A 的对边斜边.2．求一个锐角的正弦值一定要放到直角三角形中，若没有直角三角形，可通过作垂线构造直角三角形．练习设计请完成本课时对应练习！第2课时锐角三角函数教学目标一、基本目标【知识与技能】1．掌握余弦、正切的定义．2．了解锐角∠A的三角函数的定义．3．能运用锐角三角函数的定义求三角函数值．【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．【情感态度与价值观】通过观察、思考、交流、总结等数学活动，体验数学学习充满着探索与发现，培养学生积极思考，勇于探索的精神．二、重难点目标【教学重点】余弦、正切的概念，并会求指定锐角的余弦值、正切值．【教学难点】利用锐角三角函数的定义解决有关问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P64～P65的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.(1)∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，即cos A ＝bc ；(2)∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，即tan A ＝ab .2．锐角A 的正弦、余弦、正切叫做∠A 的锐角三角函数.3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，b ＝4，则cos B ＝35，tan B ＝43.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，求sin A 、cos A 、tan A.【温馨提示】详细解答过程见教材P65例2.【例2】如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求cos C 的值．【互动探索】(引发学生思考)观察图形，cos C ＝DC AC ，所以需要通过tan ∠BAD ＝34和已知条件求出DC 、AC 的长度，再代入求值．【解答】∵在Rt △ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝34，∴BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝12×34＝9，∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5， ∴AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13， ∴cos C ＝DC AC ＝513.【互动总结】(学生总结，老师点评)在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义分清它们的边角关系，再根据勾股定理解答．活动2 巩固练习(学生独学)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，则cos A ＝( C ) A.513 B ．512C.1213D ．1252．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝43，BC ＝8，则AC 等于( A )A ．6B ．323C ．10D ．123．如图所示，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB ＝12.4．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，AC ＝2，CD ＝1，设∠CAD ＝α.(1)求sin α、cos α、tan α的值； (2)若∠B ＝∠CAD ，求BD 的长．解：在Rt △ACD 中，∵AC ＝2，DC ＝1， ∴AD ＝AC 2＋CD 2＝ 5.(1)sin α＝CD AD ＝15＝55，cos α＝AC AD ＝25＝255，tan α＝CD AC ＝12.(2)在Rt △ABC 中，∵tan B ＝AC BC， 而∠B ＝∠CAD ， ∴tan α＝2BC ＝12，∴BC ＝4，∴BD ＝BC －CD ＝4－1＝3. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据三角函数定义尝试说明： (1)sin 2A ＋cos 2A ＝1； (2)sin A ＝cos B ； (3)tan A ＝sin A cos A.【互动探索】用定义表示出sin A 、cos A 、cos B 、tan A →计算等式的左边与右边→得出结论．【证明】(1)由勾股定理，得a 2＋b 2＝c 2，而sin A ＝a c ，cos A ＝bc ，∴sin 2A ＋cos 2A ＝a 2c 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1. (2)∵sin A ＝a c ，cos B ＝ac ，∴sin A ＝cos B.(3)∵tan A ＝a b ，sin A cos A ＝a c b c ＝ab，∴tan A ＝sin Acos A.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．题目中的三个结论应熟记．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 锐角三角函数⎩⎪⎨⎪⎧正弦→对比斜余弦→邻比斜正切→对比邻练习设计请完成本课时对应练习！第3课时 特殊角的三角函数值教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．掌握30°，45°，60°角的三角函数值，能够用它们进行计算． 2．能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应锐角的大小． 【过程与方法】1．通过探索特殊角的三角函数值的过程，培养学生观察、分析、发现的能力． 2．通过推导特殊角的三角函数值，了解知识间的联系，提升综合运用数学知识解决问题的能力．【情感态度与价值观】在探索特殊角的三角函数值中，学生积极参与数学活动，培养学生独立思考问题的能力． 二、重难点目标 【教学重点】根据30°，45°，60°角的三角函数值进行有关计算． 【教学难点】正确理解与记忆30°，45°，60°角的三角函数值．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P65～P67的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．sin 30°＝12，cos 30°2tan 30°32．sin 60°2cos 60°＝12，tan 60°3．sin 45°2cos 45°2tan 45°＝1. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】求下列各式的值： (1)cos 260°＋sin 260°； (2)cos 45°sin 45°－tan 45°. 【互动探索】(引发学生思考)熟记特殊角的三角函数值→代入算式求值．【解答】(1)cos 260°＋sin 260°＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1. (2)cos 45°sin 45°－tan 45°＝22÷22－1＝0. 【互动总结】(学生总结，老师点评)特殊角的三角函数值必须熟练记忆，既能由角得值，又能由值得角，记忆这个结果，可以结合直角三角形三边的大小关系，也可以结合数值的特征，30°，45°，60°的正弦值分母都是2，分子分别为1，2，3，而它们的余弦值分母都是2，分子正好相反，分别为3，2，1；其正切值分别为1÷3，1,1× 3.【例2】数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B 、C 、E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．【互动探索】(引发学生思考)根据正切的定义求出AC →根据正弦的定义求出CF →AF ＝AC －F C.【解答】在Rt △ABC 中，∵BC ＝2，∠A ＝30°， ∴AC ＝BC tan A ＝23，∴EF ＝AC ＝2 3. ∵∠E ＝45°，∴FC ＝EF ·sin E ＝6， ∴AF ＝AC －FC ＝23－ 6.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是特殊角的三角函数值的应用，掌握锐角三角函数的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．活动2 巩固练习(学生独学)1．若3tan (α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( A ) A ．20° B ．30° C ．40°D ．50°2．若∠A 为锐角，且tan 2A ＋2tan A －3＝0，则∠A ＝45度． 3．计算．(1)2sin 30°－2cos 45°； (2)tan 30°－sin 60°·sin 30°； (3)(1－3tan 30°)2. 解：(1)0. (2)312. (3)3－1. 4．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，D 是边AB 上一点，∠BDC ＝45°，AD ＝4，求BC 的长．解：∵∠B ＝90°，∠BDC ＝45°， ∴△BCD 为等腰直角三角形， ∴BD ＝B C.在Rt △ABC 中，∵tan A ＝tan 30°＝BC AB ，∴BC BC ＋4＝33，解得BC ＝2(3＋1)． 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1－tan A )2＋⎪⎪⎪⎪sin B －32＝0，试判断△ABC 的形状．【互动探索】根据非负性的性质求出tan A 及sin B 的值→根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的度数→判断△ABC 的形状．【解答】∵(1－tan A )2＋⎪⎪⎪⎪sin B －32＝0， ∴1－tan A ＝0，sin B －32＝0， ∴tan A ＝1，sin B ＝32， ∴∠A ＝45°，∠B ＝60°， ∴∠C ＝180°－45°－60°＝75°， ∴△ABC 是锐角三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 特殊角的三角函数值：练习设计请完成本课时对应练习！第4课时用计算器求锐角三角函数值及锐角教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能利用计算器求锐角三角函数值．2．已知锐角三角函数值，能用计算器求相应的锐角．3．能用计算器辅助解决含三角函数的实际问题．【过程与方法】使用计算器可以解决部分复杂问题，通过求值探讨三角函数问题的某些规律，提高学生分析问题的能力．【情感态度与价值观】通过计算器的使用，了解科学在人们日常生活中的重要作用，激励学生热爱科学、学好文化知识．二、重难点目标【教学重点】运用计算器处理三角函数中的值或角的问题．【教学难点】用计算器求锐角三角函数值时的按键顺序．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P67～P68的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．用计算器求sin 24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是(A)A.sin24°′″37°′″18°′″＝B.24°′″37°′″18°′″sin＝C.2ndF sin24°′″37°′″18°′″＝D.sin24°′″37°′″18°′″2ndF＝2．使用计算器求下列三角函数值．(精确到0.0001)(1) sin 24°≈0.4067；(2)cos 35°≈0.8192；(3)tan 46°≈1.0355.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】按要求解决问题：(1)求sin 63°52′41″的值；(精确到0.0001)(2)求tan 19°15′的值；(精确到0.0001)(3)已知tan x＝0.7410，求锐角的值．(精确到1′)【互动探索】(引发学生思考)熟悉用科学计算器求锐角三角函数值的操作流程．【解答】(1)在角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：sin 63°′′′52°′′′41°′′′＝显示结果为0.897 859 012.所以sin 63°52′41″≈0.8979.(2)在角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：tan 19°′′′15°′′′＝显示结果为0.349 215 633 4.所以tan 19°15′≈0.3492.(3)在角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：SHIFT tan 0.7410＝显示结果为36.538 445 77.再按°′′′，显示结果为36°32′18.4″.所以x≈36°32′.【互动总结】(学生总结，老师点评)不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，再按数字键；或先输入数字后，再按三角函数键，因此使用计算器时一定先要弄清输入顺序．【例2】如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°.求：(1)AB边上的高(精确到0.01)；(2)∠B的度数(精确到1′)．【互动探索】(引发学生思考)观察图形→作辅助线→利用相似锐角三角函数解直角三角形．【解答】(1)作AB 边上的高CH ，垂足为H . ∵在Rt △ACH 中，sin A ＝CHAC ，∴CH ＝AC ·sin A ＝9sin 48°≈6.69. (2)∵在Rt △ACH 中，cos A ＝AH AC ，∴AH ＝AC ·cos A ＝9cos 48°，∴在Rt △BCH 中，tan B ＝CH BH ＝CH AB －AH ＝9sin 48°8－9cos 48°，∴∠B ≈73°32′.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用三角函数求非直角三角形的边或角，一般情况下要构造直角三角形．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2，AC ＝3，若用科学计算器求∠A 的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是( )A.tan 2÷3＝B.tan 2÷3DMS ＝C.2ndF tan (2÷3)＝D.2ndF tan (2÷3)DMS ＝2．用计算器求下列锐角的三角函数值．(精确到0.0001) (1)tan 63°27′； (2)cos 18°59′27″； (3)sin 67°38′24″； (4)tan 24°19′48″. 解：(1)2.0013. (2)0.9456. (3)0.9248. (4)0.4521. 3．根据下列条件求锐角A 的度数．(精确到1″) (1)cos A ＝0.6753； (2)tan A ＝87.54； (3)sin A ＝0.4553； (4)sin A ＝0.6725.解：(1)47°31′21″. (2)89°20′44″. (3)27°5′3″. (4)42°15′37″. 环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)用计算器求锐角三角函数值⎩⎪⎨⎪⎧求已知角的三角函数值由锐角三角函数值求锐角练习设计请完成本课时对应练习！28．2 解直角三角形及其应用 28．2.1 解直角三角形(第1课时)教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．了解什么叫解直角三角形． 2．掌握解直角三角形的根据． 3．能由已知条件解直角三角形． 【过程与方法】在探索解直角三角形的过程中，渗透数形结合思想． 【情感态度与价值观】在探究活动中，培养学生的合作交流意识，让学生在学习中感受成功的喜悦，增强学习数学的信心．二、重难点目标 【教学重点】 解直角三角形的方法． 【教学难点】会将求非直角三角形中的边角问题转化为解直角三角形问题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P72～P73的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.2．在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c . (1)两锐角互余，即∠A ＋∠B ＝90°； (2)三边满足勾股定理，即a 2＋b 2＝c 2；(3)边与角关系sin A ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sin B ＝b c ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a .3．Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，sin A ＝45，AB ＝10，那么BC ＝8，tan B ＝34.环节2 合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】见教材P73例1.【例2】见教材P73例2.活动2巩固练习(学生独学)1．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是(A)A．c sin A＝a B．b cos B＝cC．a tan A＝b D．c tan B＝b2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，则AB的长为3．根据下列条件解直角三角形．(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝4，c＝8；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＝12.解：(1)a＝43，∠B＝30°，∠A＝60°.(2)∠B＝30°，b＝43，c＝8 3.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．【互动探索】过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，在△EFD中求出∠EDF＝60°，再解直角三角形即可．【解答】如题图，过点B作BM⊥FD于点M.在△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，∴BC＝AC＝12 2.∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠CBA＝45°，∴BM＝BC sin 45°＝122×22＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∵∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BMtan 60°＝43，∴CD＝CM－MD＝12－4 3.【互动总结】(学生总结，老师点评)解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应练习！28．2.2应用举例第2课时利用仰角、俯角解直角三角形教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题．2．了解仰角、俯角等有关概念，会利用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题．【过程与方法】通过探索用解直角三角形知识解决仰角、俯角等有关问题，经历将实际问题转化为数学问题的探究过程，提高应用数学知识解决实际问题的能力．【情感态度与价值观】通过探索三角函数在实际问题中的应用，感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探索的创新精神．二、重难点目标【教学重点】利用解直角三角形解决有关仰角、俯角的实际问题．【教学难点】建立合适的三角形模型，解决实际问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P74～P75的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.2．如图所示，在建筑物AB的底部a米远的C处，测得建筑物的顶端点A的仰角为α，则建筑物AB的高可表示为a tan α米．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行，如图所示，当组合体运行到地球表面点P的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与点P的距离是多少？(地球半径约为6400 km，π取3.142，结果取整数)【温馨提示】详细分析与解答见教材P74例3.【例2】如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)?【温馨提示】详细分析与解答见教材P75例4.活动2巩固练习(学生独学)如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21 m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上)，则河的宽度AB 约是多少？(精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：由题易知，∠DAC＝∠EDA＝30°. ∵在Rt△ACD中，CD＝21 m，∴AC＝CDtan 30°＝2133＝213(m)．∵在Rt△BCD中，∠DBC＝45°，∴BC＝CD＝21 m，∴AB＝AC－BC＝213－21≈15.3(m)．即河的宽度AB约是15.3 m.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，某大楼顶部有一旗杆AB，甲、乙两人分别在相距6米的C、D两处测得点B和点A的仰角分别是42°和65°，且C、D、E在一条直线上．如果DE＝15米，求旗杆AB的长大约是多少米？(结果保留整数，参考数据：sin 42°≈0.67，tan 42°≈0.9，sin 65°≈0.91，tan 65°≈2.1)【互动探索】要求AB ，先求出AE 与BE →解直角三角形：Rt △ADE 、Rt △BCE . 【解答】在Rt △ADE 中，∵∠ADE ＝65°，DE ＝15米， ∴tan ∠ADE ＝AE DE，即tan 65°＝AE15≈2.1，解得 AE ≈31.5米．在Rt △BCE 中，∵∠BCE ＝42°，CE ＝CD ＋DE ＝6＋15＝21(米)， ∴tan ∠BCE ＝BE CE，即tan 42°＝BE21≈0.9，解得 BE ≈18.9米．∴AB ＝AE －BE ＝31.5－18.9≈13(米)． 即旗杆AB 的长大约是13米．【互动总结】(学生总结，老师点评)先分析图形，根据题意构造直角三角形，再解Rt △ADE 、Rt △BCE ，利用AB ＝AE －BE 即可求出答案．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应练习！第3课时 利用坡度、方向角解直角三角形教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能运用解直角三角形解决航行问题．2．能运用解直角三角形解决斜坡问题．3．理解坡度i ＝坡面的铅直高度坡面的水平宽度＝坡角的正切值． 【过程与方法】1．通过探究从实际问题中建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力，提高应用数学知识解决实际问题的能力．2．通过将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系，增强应用意识，体会数形结合思想的应用．【情感态度与价值观】在运用三角函数知识解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的应用价值．二、重难点目标【教学重点】用三角函数有关知识解决方向角、坡度、坡角等有关问题．【教学难点】准确分析问题并将实际问题转化成数学模型．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P76～P77的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】(一)方向角1．方向角是以观察点为中心(方向角的顶点)，以正北或正南为始边，旋转到观察目标的方向线所成的锐角，方向角也称象限角．2．如图，我们说点A 在O 的北偏东30°方向上，点B 在点O 的南偏西45°方向上，或者点B 在点O 的西南方向．(二)坡度、坡角1．坡度通常写成1∶m的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝hl＝tan α.2．一斜坡的坡角为30°，则它的坡度为(三)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程1．将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的函数模型)；2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用解直角三角形的有关性质解直角三角形；3．得到数学问题的答案；4．得到实际问题的答案．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)(一)解直角三角形，解决航海问题【例1】如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？【互动探索】(引发学生思考)构造直角三角形→解直角三角形求出AD 的长并与10海里比较→得出结论．【解答】如题图，过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D.在Rt △ABD 中，∵tan ∠BAD ＝BD AD， ∴BD ＝AD ·tan 55°.在Rt △ACD 中，∵tan ∠CAD ＝CD AD， ∴CD ＝AD ·tan 25°.∵BD ＝BC ＋CD ，∴AD ·tan 55°＝20＋AD ·tan 25°，∴AD ＝20tan 55°－tan 25°≈20.79(海里)． 而20.79海里>10海里，∴轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险．【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．应先求出点A 距BC 的最近距离，若大于10海里则无危险，若小于或等于10海里则有危险．(二)解直角三角形，解决坡度、坡角问题【例2】如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD ，AD ∥BC ，路基顶宽BC ＝9.8 m ，路基高BE ＝5.8 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.6，斜坡CD 的坡度i ′＝1∶2.5，求铁路路基下底宽AD 的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β的值(精确到1°)．【互动探索】(引发学生思考)将坡度i＝1∶1.6和i′＝1∶2.5分别转化为正切三角函数→求出AE、DF的长→由AD＝AE＋EF＋DF求出AD的长→利用计算器求得坡角α和β的值．【解答】如题图，过点C作CF⊥AD于点F，则CF＝BE，EF＝BC，∠A＝α，∠D＝β.∵BE＝5.8 m, i＝1∶1.6, i′＝1∶2.5，∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m)，DF＝2.5×5.8＝14.5(m)，∴AD＝AE＋EF＋DF＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)．由tan α＝i＝1∶1.6，tan β＝i′＝1∶2.5，得α≈32°，β≈22°.即铁路路基下底宽AB为33.6 m，斜坡的坡角α和β分别为32°和22°.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用坡度与坡角解决实际问题的关键是将坡度与坡角放入可解的直角三角形中，没有直角三角形一般要添加辅助线(垂线)构造直角三角形．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，防洪大坝的横断面是梯形，坝高AC为6米，背水坡AB的坡度i＝1∶2，则斜坡AB的长为2．“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C 村村民欲修建一条水泥公路，将C 村与区级公路相连．在公路A 处测得C 村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500 m ，在B 处测得C 村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短，画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足落在AB 的延长线上，CD 即为所修公路，CD 的长度即为公路长度．在Rt △ACD 中，根据题意，有∠CAD ＝30°.∵tan ∠CAD ＝CD AD， ∴AD ＝CD tan 30°＝3C D. 在Rt △CBD 中，根据题意，有∠CBD ＝60°.∵tan ∠CBD ＝CD BD，∴BD＝CDtan 60°＝33C D.又∵AD－BD＝500 m，∴3CD－33CD＝500，解得CD≈433 m.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，小明于堤边A处垂钓，河堤AB的坡比为1∶ 3 ，坡长为3米，钓竿AC的倾斜角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角为60°，求浮漂D与河堤下端B之间的距离．【互动探索】将实际问题转化为几何问题→作辅助线，构造直角三角形→延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥EB→解直角三角形得AE长→得△CDE是等边三角形，DE＝CE＝AC＋AE→求得BD长．【解答】如图，延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥EB，交EB于点F，则∠。
28,1 锐角三角函数 第四课时-九年级数学下册课件(人教版)
(2)tan 3°8′≈0.054 7，tan 80°25′43″≈5.930 4.
接写出其相应的角的度数；若不是特殊角的三角函数值，应 利用计算器求角的度数．求角的度数要先按 2nd F 键， 将 sin 、 cos 、 tan 转化成它们的第二功能键；当三角 函数值为分数时，应先化成小数．
例2 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：
(1)sin A＝0.516 8(结果精确到0.01°)； (2)cos A＝0.675 3(结果精确到1″)； (3)tan A＝0.189(结果精确到1°)．
2 已知α 为锐角，且tan α＝3.387，下列各值中与α 最接
近的是( A )
A．73°33′
B．73°27′
C．16°27′
D．16°21′
3 在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，用科学计算
器求∠A 约等于( D )
A．24°38′
B．65°22′
C．67°23′
D．22°37′
(1)sin A= 0. 627 5，sin B= 0.054 7; (2)cos A= 0. 625 2，cos B= 0. 165 9； (3)tan A= 4. 842 5，tan B= 0.881 6.
解：(1)∠A≈38°51′57″，∠B≈3°8′8″； (2)∠A≈51°18′11″，∠B≈80°27′2″； (3)∠A≈78°19′56″，∠B≈41°23′58″.
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不同计算器操作的 步骤可能不同哦！
(2) 用计算器求 tan30°36′ 的值； 解：方法①：
第一步：按计算器 tan 键； 第二步：输入角度值30.6 (因为30°36′ = 30.6°)； 屏幕显示答案：0.591 398 351.
答案：(1) 0.7314 (2) 0.2164 (3) 0.9041 (4) －0.7817
2. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角 ∠A， ∠B的度数 (结果精确到0.1°)： (1) sinA＝0.7，sinB＝0.01； (2) cosA＝0.15，cosB＝0.8； (3) tanA＝2.4，tanB＝0.5.
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数 第4课时 用计算器求锐角三角函数值及锐角
学习目标
1. 会使用科学计算器求锐角的三角函数值. (重点) 2. 会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角
的大小. (重点) 3. 熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题. (难点)
复习引入
填写下表：
锐角a 三角 函数
6. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠BAC = 42°24′， ∠A 的平分线 AT = 14.7cm，用计算器求 AC 的长 (精确到0.001).
解：∵ AT 平分∠BAC，且∠BAC = 42°24′， ∴ ∠CAT = 1 ∠BAC = 21°12′. 2 在 Rt△ACT 中 cos∠CAT = AC ， AT
(2) 如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α， 请利用面积方法验证 (1) 中的结论．
证明：∵ S△ABC =
1 AB · sin2α · AC = 1
2
2
sin2α，
1
S△ABC
= 2
×2ABsinα
·
ACcosα
=
sinα·cos来自，∴sin2α＝2sinαcosα.
练一练
(1) 利用计算器求值，并提出你的猜想： sin20°= 0.3420， cos20°= 0.9397 ， sin220°= 0.1170 ， cos220°= 0.8830 ； sin35°= 0.5735，cos35°= 0.8192 ， sin235°= 0.3290，cos235°= 0.6710 ； 猜想： 已知0°＜α＜90°，则 sin2α + cos2α = 1 .
的是
(A )
A． sin 2 4 D.M′S 3 7 D.M′S 1 8
D.M′S =
B． 2 4 D.M′S 3 7 D.M′S 1 8 D.M′S
sin =
C．2nd F sin 2 4 D.M′S 1 8 D.M′S =
D．sin 2 4 D.M′S 3 7 D.M′S 1 8 D.M′S 2nd F =
屏幕显示答案： 30.119 158 67°(按实际需要进 行精确).
还可以利用 2nd F D.M′S 键，进一步得到 ∠A = 30°07′08.97 ″ (这说明锐角 A 精确到 1′ 的结果为 30°7′，精确到 1″ 的结果为 30°7′9″).
练一练
1. 用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)： (1) sin47°；(2) sin12°30′； (3) cos25°18′；(4) sin18°＋cos55°－tan59°.
2. 下列式子中，不成立的是 A．sin35°= cos55° B．sin30°+ sin45°= sin75° C． cos30°= sin60° D．sin260°+ cos260°=1
(B )
3. 利用计算器求值：
(1) sin40°≈ 0.6428 (精确到0.0001)； (2) sin15°30′≈ 0.2672 (精确到 0.0001)；
sin a
cos a
tan a
30° 45° 60°
1
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
1
3
3
通过前面的学习，我们知道当锐角 A 是 30°、 45°、60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的 锐角三角函数值；如果锐角 A 不是这些特殊角， 怎样得到它的锐角三角函数值呢？
用计算器求锐角的三角函数值或角的度数
答案：(1) ∠A ≈ 44.4°；∠B ≈ 0.6°. (2) ∠A ≈ 81.4°；∠B ≈ 36.9°. (3) ∠A ≈ 67.4°；∠B ≈ 26.6°.
利用计算器探索三角函数的性质
例2 通过计算 (可用计算器)，比较下列各对数的大小， 并提出你的猜想： ① sin20°_=___2sin10°cos10°； ② sin38°__=__2sin19°cos19°； ③ sin43°__=__2sin21.5°cos21.5°； ④ sin60°__=__2sin30°cos30°； ⑤ sin82°__=__2sin41°cos41°. 猜想： 已知0°＜α＜45°，则sin2α_=__2sinαcosα.
方法②： 第一步：按计算器 tan 键；
第二步：输入角度值30，分值36 (使用 D.M′S 键)；
屏幕显示答案：0.591 398 351.
(3) 已知 sinA = 0.501 8，用计算器求 ∠A 的度数. 解：第一步：按计算器 2nd F sin－1 键；
第二步：然后输入函数值0. 501 8；
(2) 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，请验证你在 (1)
中的结论.
B
证明：在 Rt△ABC中，a2 + b2 = c2，
c
sin a，cos b，
a
c
c
α
∴
sin2
+ cos2
a c
2
+
b c
2
A
b
C
a2 b2 c2
1.
当堂练习
1. 用计算器求sin24°37′18″的值，以下按键顺序正确
(3) 若sinα = 0.5225，则 α ≈ 31.5 (精确到 0.1°)； (4) 若sinα = 0.8090，则 α ≈ 54.0 (精确到 0.1°).
4. 已知：sin232°+ cos2α =1，则锐角 α = 58°. 5. 用计算器比较大小：sin87°_<__ tan87°.