高中数学_1.3算法案例教学课件设计
1.3算法案例-秦九韶算法教学设计
1.3算法案例(二)__秦九韶算法一、内容及其解析本节的教学内容是算法案例中的秦九韶算法，它是求一元多项式的值的一种方法.在初中，学生已经学习了多项式的有关知识，那里是把多项式看作代数式.因此在本段内容的教学之前，应当先向学生说明，这里是函数的观点考察多项式，因此，求自变量取某个实数时的函数值问题，即求多项式的值就是一个常规问题.二、教学目标及其解析目标定位知识与技能:了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质.过程与方法:模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙.了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用.情感态度与价值观目标:通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学对世界数学发展的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久.目标解析1 秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作《数书九章》中提出的一种用于计算一元n 次多项式的值的方法.三、问题诊断分析在本节主要存在的问题是学生不能对秦九韶算法的先进性及其程序设计的理解，所以教师要强调当多项式的次数增大时，此种方法的先进性就体现出来了，所以教师要找到规律，让学生体会此种解法的先进性.四、教学支持条件分析的一般模式在本节课的教学中准备使用多媒体辅助教学.五、教学过程设计问题一 什么事了解秦九韶算法？小问题1 怎样求多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 当x=5时的值呢？(设计意图：通过具体的例子引入秦九韶算法.)结论：第一种一共用了10次乘法运算，5次加法运算.而第二种一共用了5次乘法运算，5次加法运算.小问题2 用秦九韶算法求n 次多项式0111...)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--当0x x =（0x 是任意实数）时的值，需要多少次乘法运算，多少次加法运算？小问题 3 如何用秦九韶算法完成一般多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++的求值问题？要求多项式的值，我们可以把它改写成：11101210()(()))n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a x a ----=++++=+++++.首先计算最内层括号内一次多项式的值，即11n n v a x a -=+，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即212n v v x a -=+，323n v v x a -=+，，10n n v v x a -=+.例题1 （课本第38页例2）(设计意图：从实例到一般，先总结实例进而引申到一般) 变式巩固 用秦九韶算法求多项式1432)(2367+-+-=x x x x x f 当x=2时的函数值.小问题4 你是怎么理解秦九韶算法的？结论：秦九韶算法将求n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值.课堂小结(提问方式)秦九韶算法计算多项式的值及程序设计上述的整个过程只需n 次乘法运算和n 次加法运算；观察上述n 个一次式，可发出k v 的计算要用到1k v -的值，若令0n v a =，可得到下列递推公式：01,(1,2,,)n k k n k v a v v x a k n --=⎧⎨=+=⎩. 这是一个反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.【程序框图】：六 目标检测1、利用秦九韶算法求多项式1153723+-+x x x 在23=x 的值时，在运算中下列哪个值用不到（ ）A 、164B 、3767C 、86652D 、851692、利用秦九韶算法求多项式1352.75.38123)(23456-++-++=x x x x x x x f 在2=x 的值，写出详细步骤.七 配餐作业A 组②秦九韶算法计算多项式f(x)=12+35x-8x 2+79x 3+6x 4+5x 5+3x 6，当x=-4时的值时，υ3的值为（ ）A ．-845B ．220C ．-57D ．34③用秦九韶算法，求当x=2时，f(x)=x 5-5x 4+x 3-1的函数值.B 组1．秦九韶算法与直接计算相比较，下列说法错误的是（ ）A 、秦九韶算法与直接计算相比较，大大减少了乘法的次数，使计算量减少，并且逻辑结构简单.B 、秦九韶算法减少了做乘法的次数，在计算机上也就加快了计算的速度.C 、秦九韶算法减少了做乘法的次数，在计算机上也就降低了计算的速度.D 、秦九韶算法避免对自变量x 单独做幂的计算，而是与系数一起逐次增长幂次，从而可提高计算的精度.2.用秦九韶算法和直接算法求当0x x =时()654323126016024019264f x x x x x x x =-+-+-+的值,做的乘法次数分别为( )A.6,20B.7,20C.7,21D.6,21C 组求15.033.016.041.083.0)(2345+++++=x x x x x x f 当x=5时的值.八、教学反思1、学生还是不会分析运算次数的问题，应该给学生详细讲解.2、学生在多项式 11101210()(()))n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a x a ----=++++=+++++按照秦九韶算法写成标准形式是容易出错，且速度很慢，应教会学生快速的写法及检验方法.3、应多给学生介绍一些有关秦九韶算法的背景知识，这样更能吸引学生的注意力和学习兴趣，另外介绍历史名人的大致成就，扩大学生的文化视野.。
高中数学 1.3 第1课时 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法课件 新人教A版必修3
二
②程序框图如图所示．
③程序：
INPUT m，n
DO
r＝m MOD n
m＝n
n＝r
LOOP UNTIL _______
PRINT _______ r＝0
END
m
(2)更相减损术．
算法步骤：
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是 ________．若是，用______约简；若不是，执行第二步．
[答案] 用2约简
[解析] 由于294和84都是偶数，先用2约简．
3．设计程序框图，用秦九韶算法求多项式的值，所选用的结 构是( )
A．顺序结构
B．条件结构
C．循环结构
D．以上都有
[答案] D
4．(2013～2014·云南省景洪一中月考)用秦九韶算法计算多 项式f(x)＝3x6＋2x5＋4x4＋5x3＋7x2＋8x＋1在x＝0.5时的值， 需做乘法和加法的次数分别是________．
序如下：
S＝0 i＝1 WHILE S<＝10^6
i＝i＋1 S＝S＋1/i^2 WEND PRINT i END
新知导学 1．辗转相除法与更相减损术 (1)辗转相除法． ①算法步骤： 第一步，给定两个正整数m，n. 第二步，计算m除以n所得的余数r. 第三步，m＝n，n＝r. 第四步，若r＝______，则m，n的最大公约数等于m；否则返
求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个________多项
式的值，共进行________次乘法运算和____一__次_次加法运 算．其过程是：
n
nHale Waihona Puke 改写多项式为：f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝… ＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0. 设v1＝__________， v2＝v1x＋ana－nx2＋，an－1 v3＝v2x＋an－3， …，
人教课标版高中数学必修三《算法案例（第3课时）》教案（1）-新版
⼈教课标版⾼中数学必修三《算法案例（第3课时）》教案（1）-新版1.3 算法案例第3课时⼀、教学⽬标 1．核⼼素养在学习古代数学家解决数学问题的⽅法的过程中培养严谨的逻辑思维能⼒，在利⽤算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动⼿实践的能⼒． 2．学习⽬标（1）1.3.3.1理解进位制的概念，掌握各种进位制与⼗进制之间的转换规律．（2）1.3.3.2掌握⼗进位制转化为各种进位制的除k 余法. 3．学习重点各种进位制与⼗进制之间的转换规律． 4．学习难点不同进位制之间的转化规律及其思想⼆、教学设计（⼀）课前设计 1．预习任务任务1阅读教材P40－P45，思考：各种进位制与⼗进制之间转换的规律是什么？任务2你可以熟练的进⾏各进位制之间的转换吗？ 2．预习⾃测1．在2进制中，0+0，0+1，1+0，1+1的值分别是多少？【解析】：分别是0，1，1，10 2．把⼆进制数()2110011化为⼗进制数【解析】：()=?+?+?+?+?+?=+++=543210211001112120202121232162151（⼆）课堂设计1．知识回顾（1）⽣活中常见的进位制有哪些（例如时间、钱等）（2）计算机中的2进制和通常的10进制怎么进⾏转换（3）⾮10的两种不同进制之间怎么进⾏转换 2．问题探究问题探究⼀认识进位制，将⼗进制数转化为k 进制数●活动⼀什么是n 进位制？我们常见的数字都是⼗进制的，但是并不是⽣活中的每⼀种数字都是⼗进制的.⽐如时间和⾓度的单位⽤六⼗进位制，电⼦计算机⽤的是⼆进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间⼜⼜什么联系呢？进位制是⼀种记数⽅式，⽤有限的数字在不同的位置表⽰不同的数值.可使⽤数字符号的个数称为基数，基数为n ，即可称n 进位制，简称n 进制.现在最常⽤的是⼗进制，通常使⽤10个阿拉伯数字0-9进⾏记数.对于任何⼀个数，我们可以⽤不同的进位制来表⽰.⽐如：⼗进制数57，可以⽤⼆进制表⽰为111001，也可以⽤⼋进制表⽰为71、⽤⼗六进制表⽰为39，它们所代表的数值都是⼀样的.表⽰各种进位制数⼀般在数字右下脚加注来表⽰,如()2110011表⽰⼆进制数,(5)34表⽰5进制数.●活动⼆如何将10进制数转化为2进制数？解:根据⼆进制数满⼆进⼀的原则,可以⽤2连续去除89或所得商,然后去余数. 具体的计算⽅法如下:=?+=?+=?+=?+=?+892441442220222110112515221()(((())))=+++++=?+?+?+?+?+?+?=654321028922222211001120212120202121011001 这种算法叫做除2取余法,还可以⽤下⾯的除法算式表⽰:把上式中的各步所得的余数从下到上排列即可得到89=1011001(2)●活动三如何将10进制数转化为k进制数？上述⽅法可以推⼴为把⼗进制化为k进制数的算法,这种算法成为除k取余法. ⼗进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤：1.除：把⼗进制数连续去除以k，直到商为0为⽌，同时将各步的余数写出2.取余：将各步所得的余数倒叙写出，即为所求的k进制数3.标基数：写出k进制数后将基数k⽤括号括起来标在右下⾓例1.将⼗进制数458分别转化为四进制数和六进制数.解：算式如下图，则458＝13022(4)＝2042(6)问题探究⼆不同进制数相互转换●活动⼀如何将10进制数与k进制数进⾏相互转换？⼆进制数110 011(2)化为⼗进制数是什么数？110 011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝32＋16＋2＋1＝51.那么如何将⼀个k进制数转换为⼗进制数？将k进制数a n a n－1…a1a0(k)化为⼗进制的⽅法：把k进制数a n a n－1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式，然后计算出结果即为对应的⼗进制数.这样我们就可以进⾏10进制数与k进制数进⾏相互转换●活动⼆如何将⾮10的不同进制数进⾏相互转换？进制的数转化为10进制数后再把10进制的⼗进制是连接其他进制的桥梁.把k1进制数，各个进制数之间就能实现互相转换.数转化为k2例2.1 011 001(2)＝______(10)＝______(5).解：89，324 ⾸先将1011001(2) 化为⼗进制数为1×26＋0＋1×24＋1×23＋0＋0＋1×20＝89，再将89化成五进制数：89除以5的商是17，余数为4,17除以5的商是3，余数为2，所以五进制数为324.3．课堂总结【知识梳理】（1）k进制化成⼗进制，幂积求和法（2）⼗进制化成k进制，除k取余法进制的数转化为10进制数后再把10进制的数转（3）不同进制之间转换：把k1化为k进制数2【重难点突破】（1）进位制之间的转换⽅法：k进制化成⼗进制，幂积求和法；⼗进制化成k 进制，除k取余法．（2）把⼀个⾮⼗进制数转化为另⼀种⾮⼗进制数，通常是把这个数先转化为⼗进制数，然后再利⽤除k取余法，把⼗进制数转化为k进制数．⽽在使⽤除k 取余法时要注意以下⼏点：1.必须除到所得的商是0为⽌；2.各步所得的余数必须从下到上排列；3.切记在所求数的右下⾓标明基数4．随堂检测1．下列各进制数中值最⼩的是( )A．85(9)B．210(6)C．1 000(4)D．111 111(2)【解析】：D 由进位制的知识易得，故选D.2．把189化为三进制数，则末位数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【解析】：A将189除以3得余数为0，所以189化为三进制数的末位数为0. 故选A.3．已知⼀个k进制的数132与⼗进制的数30相等，那么k等于( )A．7或4 B．－7C．4 D．都不对【解析】：C132(k)＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2，∴k2＋3k＋2＝30，即k2＋3k－28＝0，解得k＝4或k＝－7(舍去)．故选C.4．四位⼆进制数能表⽰的最⼤⼗进制数是( )A．4 B．64 C．255 D．15【解析】：D由⼆进制数化为⼗进制数的过程可知，当四位⼆进制数为1 111时表⽰的⼗进制数最⼤，此时，1 111(2)＝15.故选D5．七进制数中各个数位上的数字只能是______中的⼀个．【解析】：0、1、2、3、4、5、6“满⼏进⼀”就是⼏进制．∵是七进制．∴满七进⼀，根本不可能出现7或⽐7⼤的数字，所以各个数位上的数字只能是0、1、2、3、4、5、6中的⼀个．6．已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，将它们按由⼩到⼤的顺序排列为________．【解析】：33(4)<12(16)<25(7)将三个数都化为⼗进制数.12(16)＝1×16＋2＝18，25(7)＝2×7＋5＝19，33(4)＝3×4＋3＝15，∴33(4)<12(16)<25(7)．（三）课后作业基础型⾃主突破1.⼆进制数111.11(2)转换成⼗进制数是( )A．7.3 B．7.5 C．7.75 D．7.125【解析】：C 由题意知⼆进制对应的⼗进制是：1×22＋1×21＋1×20＋1×2－1＋1×2－2＝4＋2＋1＋0.5＋0.25＝7.75. 故选A2.将⼆进制110 101(2)转化为⼗进制为( )A．106 B．53 C．55 D．108【解析】：B110 101(2)＝1＋1×22＋1×24＋1×25＝53. 故选B3.下列与⼆进制数1 001 101(2)相等的是( )A．115(8)B．113(8)C．114(8)D．116(8)【解析】：A 先化为⼗进制数：1 001 101(2)＝1×26＋1×23＋1×22＋1×20＝77，再化为⼋进制数．所以77＝115(8)，1 001 101(2)＝115(8)故选A．4.下列各数中，与1 010(4)相等的数是( )A．76(9)B．103(8)C．2 111(3)D．1 000 100(2)【解析】：D 1 010(4)＝1×43＋1×4＝68.因为76(9)＝7×9＋6＝69；103(8)＝1×82＋3＝67；2111(3)＝2×33＋1×32＋1×3＋1＝67；1000100(2)＝1×26＋1×22＝68，所以1 010(4)＝1 000 100(2)故选D.．5.⼀个k进制的三位数与某六进制的⼆位数等值，则k不可能是( )A．3 B．4 C．5 D．7【解析】：D k进制的最⼩三位数为k2，六进制的最⼤⼆位数为5×6＋5＝35，由k2≤35得0…a1a0(k)表⽰⼀个k进制数，若21(k)＝9，则321(k)在⼗进制中所表⽰的6.记anan－1数为( )A．86 B．57 C．34 D．17【解析】：B 由已知中21(k)＝9，求出k值，进⽽利⽤累加权重法，可得答案．若21(k)＝9，则2k＋1＝9，解得k＝4，故321(k)＝321(4)在＋进制中所表⽰的数为：3×42＋2×4＋1＝57. 故选B能⼒型师⽣共研7.已知1 0b1(2)＝a02(3)，求数字a，b的值．【解析】：a＝1，b＝1 ∵1 0b1(2)＝1×23＋b×2＋1＝2b＋9，a02(3)＝a×32＋2＝9a＋2，∴2b＋9＝9a＋2，即9a－2b＝7.∵a∈{1，2}，b∈{0，1}，∴当a＝1时，b＝1符合题意，当a＝2时，b＝112不合题意，∴a＝1，b＝1.8.已知44(k)＝36，把67(k)转化为⼗进制数为( )A．8 B．55 C．56 D．62【解析】：B 由题意得，36＝4×k1＋4×k0，所以k＝8.则67(k)＝67(8)＝6×81＋7×80＝55. 故选B9.古时候，当边境有敌⼈来犯时，守边的官兵通过在烽⽕台上举⽕向国内报告，如图，烽⽕台上点⽕，表⽰数字1，不点⽕表⽰数字0，约定⼆进制数对应的⼗进制的单位是1 000，请你计算⼀下，这组烽⽕台表⽰约有多少敌⼈⼊侵？【解析】：27 000 由图可知从左到右的五个烽⽕台，表⽰⼆进制数的⾃左到右五个数位，依题意知这组烽⽕台表⽰的⼆进制数是11 011，改写为⼗进制为：11 011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝16＋8＋2＋1＝27(10)．⼜27×1 000＝27 000，所以这组烽⽕台表⽰边境约有27 000个敌⼈来犯．探究型多维突破10.分别⽤算法步骤、程序框图、程序语句表⽰把k进制数a(共有n位数)转化成⼗进制数b.【解析】：算法步骤：第⼀步，输⼊a，k，n的值.第⼆步，赋值b＝0，i＝1.第三步，b＝b＋a i·k i－1，i＝i＋1.第四步，判断i>n是否成⽴.若是，则执⾏第五步；否则，返回第三步.第五步，输出b的值.程序框图：程序语句：11.若10y1(2)＝x02(3)，求数字x，y的值及与此两数等值的⼗进制数．【解析】：x＝y＝1，11∵10y1(2)＝x02(3)，∴1×23＋0×22＋y×2＋1＝x×32＋0×3＋2，将上式整理得9x－2y＝7，由进位制的性质知，x∈{1，2}，y∈{0，1}，当y＝0时，x＝(舍)，当y＝1时，x＝1.∴x＝y＝1，已知数为102(3)＝1 011(2)，与它们相等的⼗进制数为1×32＋0×3＋2＝11.⾃助餐1.在什么进位制中，⼗进位制数71记为47( )A．17 B．16 C．8 D．12【解析】：B 设为k进制，有：4k＋7＝71，从⽽可解得k＝16.因此是16进制．故选B.2.把⼗进制数20化为⼆进制数为( )A．10 000(2)B．10 100(2)C．11 001(2)D．10 001(2)【解析】：B 利⽤除2取余数可得．故选B3.在⼋进制中12(8)＋7(8)＝21(8)，则12(8)×7(8)的值为( )A．104(8)B．106(8)C．70(8)D．74(8)【解析】：B 12(8)＝1×81＋2×80＝10(10)，7(8)＝7×80＝7(10)，12(8)×7(8)＝70(10)．故70(10)＝106(8)．即12(8)×7(8)＝106(8)．故选B4.将四位⼋进制数中的最⼩数转化为六进制数为( )A．2 120 B．3 120 C．2 212 D．4 212【解析】：C 四位⼋进制中的最⼩数为1 000(8)．所以1 000(8)＝1×83＝512.再将512除以6取余得512＝2 212(6)．故选C5.两个⼆进制数101(2)与110(2)的和⽤⼗进制数表⽰为( )A．12 B．11 C．10 D．9【解析】：B101(2)＝1×22＋0×21＋1×20＝5，110(2)＝1×22＋1×21＋0×20＝6，5+6=11.故选B6.在计算机的运⾏过程中，常常要进⾏⼆进制数与⼗进制数的转换与计算．如⼗进制数8转换成⼆进制数是1 000，记作8(10)＝1 000(2)；⼆进制数111转换成⼗请进制数是7，记作111(2)＝7(10)等．⼆进制的四则运算，如11(2)＋101(2)＝1 000(2)．计算：11(2)×111(2)＝________，10 101(2)＋1 111(2)＝________.【解析】：10 101(2)，100 100(2)由题可知，在⼆进制数中的运算规律是“满⼆进⼀”，∴11(2)×111(2)＝10 101(2)，10 101(2)＋1 111(2)＝100 100(2)．7.1 101(2)＋1 011(2)＝__________(⽤⼆进制数表⽰)．【解析】：11 000(2)1 101(2)＝1×23＋1×22＋1＝13；1 011(2)＝1×23＋1×2＋1＝11，则1101(2)＋1011(2)＝24.即24＝11 000(2)．。
1.3.1《算法案例--辗转相除法和更相减损术》
01.07.2019
93 168 1
75 93 18 75 4 18 72 03
3、利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： 第一步：用较大的数m除以较小的数n得到
一个商q0和一个余数r0；(m=n×q0+r0) 第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约
数. 2. 更相减损术，就是对于给定的两个正
整数，用较大的数减去较小的数，然后将差 和较小的数构成新的一对数，继续上面的减 法，直到差和较小的数相等，此时相等的两 数0即1.07.20为1损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除 法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数 上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字 大小区别较大时计算次数的区别较明显。
教学难点 ：转相除法与更相减损术的方法转 换成程序框图与程序语言。
01.07.2019
问题提出
1.研究一个实际问题的算法，主要从 算法步骤、程序框图和编写程序三方面 展开.在程序框图中算法的基本逻辑结构 有哪几种？在程序设计中基本的算法语 句有哪几种？
2.“求两个正整数的最大公约数” 是数学中的一个基础性问题，它有各种 解决办法，我们以此为案例，对该问题 的算法作一些探究.
m=n
否
输出m 结束
INPUT m，n WHILE m<>n
k=m-n IF mn=>nk THEN
n=k ELSEm=k END IF WEND PRINT m
01.07.2019
n=k
END
例2 分别用更相减损术和辗转相除法求98
与63的最大公约数。
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，
【成才之路】高中数学 算法案例第1课时辗转相除法与更相减损术学案课件 新人教A必修3
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(2)辗转相除法的算法分析： 由以上辗转相除法的原理可以发现，辗转相除法的基 本步骤是用较大的数除以较小的数，考虑到算法中的赋值 语句可以对同一变量多次赋值，我们可以把较大的数用变 量m表示，把较小的数用变量n表示，这样式子m＝n·q＋ r(0≤r<n)就是一个反复执行的步骤，因此可以用循环结构实 现算法．如图．
用更相减损术： 80－36＝44， 44－36＝8， 36－8＝28， 28－8＝20， 20－8＝12， 12－8＝4， 8－4＝4. ∴80和36的最大公约数是4.
[点评] (1)辗转相除法是当大数被小数除尽时，结束 除法运算，较小的数就是最大公约数；更相减损术是当大 数减去小数的差等于小数时停止减法运算，较小的数就是 最大公约数．
二、解答题 5．写出从键盘任意输入两个正整数a，b，输出这两个 数的最小公倍数的算法，画出程序框图，写出算法语句．
[解析] 从键盘输入两数 a，b 后，先求两数的最大公 约数 k，再计算两数的最小公倍数 p＝ak·b，输出 p 即可．
程序框图如右图． 程序为： INPUT “正整数 a，b＝”；a，b
3．辗转相除法与更相减损术有着相同的算法依据，但 要注意运算过程的差别，辗转相除法的上一次运算的除数 和余数分别作为下一次运算的被除数和除数，其结果直至 余数为零得出．更相减损术在上一次运算结束后，比较减 数和差的大小，将大的作为下一次运算的被减数，小的作 为减数，直至出现相等数时得到结果．
由此可见，二者算法是相似的．主要区别在于，辗转 相除法进行的是除法运算，即辗转相除，更相减损术进行 的是减法运算，即辗转相减，但其实质都是一个不断的递 归过程．另外两者在算法设计上有一个重要的区别点，辗 转相除法，下一次进行相除时，由上一次的除数和余数直 接相除即可．而更相减损术下一次相减前必须有一个判断 大小的过程，以区别谁做被减数．这些内容都是应特别注 意的关键环节．
(人教a版)必修三同步课件：1.3算法案例
故加法次数要减少一次，为5－1＝4.故选D.
要点三 进位制
例3 (1)把二进制数1110011(2)化为十进制数．
(2)将8进制数314706(8)化为十进制数．
解
(1)1110011(2)＝1×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋
1×21＋1＝115. (2)314706(8)＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81＋6×80 ＝104902.所以，化为十进制数是104902.
所以80与36的最大公约数为4.
要点二
例2
秦九韶算法
已知一个5次多项式为f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求这个
多项式当x＝5时的值．
解
将f(x)改写为f(x)＝((((4x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－
0.8， 由内向外依次计算一次多项式当x＝5时的值： v0＝4；
2．注意：当多项ห้องสมุดไป่ตู้中n次项不存在时，可将第n次项看作0· xn.
跟踪演练2
用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或减法)与乘法运算 ( )
的次数分别为
A．5，4 B．5，5 C．4，4 D．4，5 答案 D
解析
n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进
行n次加法，缺一项就减少一次加法运算．f(x)中无常数项，
v2x＋an－3
vn－1x＋a0 n个一次多项式
4．进位制
运算方便 进位制是人们为了_____和_________ k进一”就是k进制，k进 计数 而约定的记数系统，“满
制的基数是k.把十进制转化为k进制数时，通常用除k取余法．
高中数学 1.3 中国古代数学中的算法案例配套课件 新人
设
基
计
质，从已知到未知逐步形成概念的学习方法，有利于发展学
达 标
课
前 自
生抽象思维能力和逻辑推理能力．通过各种教学媒体(计算机)
课
主
时
导 学
调动学生参与课堂教学的主动性与积极性．
作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
教
学
教 法
●教学流程
分
析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
方
堂
案 设
数学对世界数学发展的贡献．
双 基
计
达
课
(2)在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养 标
前
自 严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培 课
主
时
导 学
养理性的精神和动手实践的能力．
作 业
课 堂 互 动 探 究
(3)在合作学习的过程中体验合作的愉快和成功的喜悦． 教
师 备 课 资 源
主
时
导 学
与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用．
作 业
课 堂 互 动 探 究
(3)领会数学算法并与计算机处理相结合式，初步掌握把 数学算法转化成计算机语言的一般步骤．
教 师 备 课 资 源
菜单
RB ·数学 必修3
教
学
易
教
错
法
易
分 析
3．情感、态度与价值观
误 辨 析
教 学
(1)通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代 当
菜单
RB ·数学 必修3
教 学
割圆术
易
教
高中数学算法案例-进位制(公开课)教案 新人教A版必修3
必修3第一章1.3算法案例:案例3进位制[教学目标]：（1）了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
（2）学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k 去余法，并理解其中的数学规律。
[教学重点]各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换[教学难点]除k取余法的理解[情感态度价值观] 学生通过合作完成任务，领悟十进制，二进制的特点，了解计算机与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系,培养他们的合作精神和严谨的态度。
[教学方法] 讲解法、尝试法、归纳法、讨论法、[教学用具]多媒体电脑[学法] 学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k取余法。
[教学过程]一、创设情景，揭示课题辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的算法，秦九韶算法是求多项式的值的算法，将这些算法转化为程序，就可以由计算机来完成相关运算。
人们为了计数和运算方便，约定了各种进位制，本节课我们来共同学习《进位制》你都了解那些进位制？比如说？在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进位制，据说这与古人曾以手指计数有关；由于计算机的计算与记忆元件特点，计算机上通用的是二进位制；一周七天是七进位；一年十二个月〔生肖、一打〕是十二进制；旧式的称是十六进制；〔老称一斤为16两，故而有了半斤八两之说〕、24进制〔节气〕一小时六十分、角度的单位是六十进位制。
二进制是有德国数学家莱布尼兹发明的。
第一台计算机ENIAC〔埃尼阿克〕用的就是十进制。
计算机之父冯·诺伊曼研究后，提出改进意见，用二进制替代十进制。
主要原因①二进制只有0和1两个数字，要得到两种不同稳定状态的电子器件很容易，而且制造简单，可靠性高；②各种计数法中，二进制运算规那么简单。
如：十进 制乘法叫九九表，二进制只有4句。
人教版高中数学必修三课件：1.3 算法案例(共55张PPT)
解:用辗转相除法求最大公约数:612=468×1+144,468=144×3+36,144=36×4,即612
和468的最大公约数是36. 用更相减损术检验:612和468均为偶数,两次用2约简得153和117,153-117=36,11736=81,81-36=45,45-36=9,36-9=27,27-9=18,18-9=9,所以612和468的最大公约数为
转化为求n个一次多项式的值.
预习探究
知识点二 进位制
1.进位制:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统,约定“满k进一”就 是 k进制 ,k进制的基数(大于1的整数)就是 k . 2.将k进制数化为十进制数的方法:先把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和 的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果. 3.将十进制数化为k进制数的方法是 除k取余法 .即用k连续去除十进制数所得 的 商 ,直到商为零为止,然后把各步得到的余数 倒序 写出.所得到的就是相应的k 进制数. 4.k进制数之间的转化:首先转化为十进制数,再转化为 k进制数.
第一章 算法初步
1.3 算法案例 第2课时 秦九韶算法与进位制
预习探究
知识点一 秦九韶算法
1.秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出的一 个用于计算多项式值的方法. 2.秦九韶算法的方法: 把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 改写成下列的形式: f(x)=(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0= ((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =…=
高中数学必修三1.3算法案例-辗转相除法
1734=816×2＋102
816=102×8
2）再求102与1343的最大公约数
1343=102×13＋17
102=17×6
所以17为102与1343的最大公约数
所以17为1734、816、1343这三个数的最大公约数
板
书
设
计
第1.3节算法案例-----辗转相除法
............................... ................................... ...............
课后作业
P45练习：1.
P48习题1.3A组：1.
课
后
反
思
1.辗转相除法的思想2.辗转相除法算法框图3.例题讲解
................................ ................................... ...............
............................... ................................... ...............
2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
（b）过程与方法
在辗转相除法求最大公约数的学习过程中体会我们常见的约分求公因式的方法，，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
（c）情态与价值
1.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
PRINT m
END
课堂练习：1.求两数4081与20723的最大公约数.
高中数学人教A版必修3第一章1.3算法案例课件
去
9－ 3= 6
6 － 3 = 3 减数与差相等
3×2=6
78与36的最大公约数为6.
更相减损术
问题6.根据更相减损术的过程，设计求两个正整数m，n最 大公约数的算法，需要用到什么逻辑结构？为什么？
第一步：任意给定两个正整 算法分析：
数，判断它们是否都是偶数。第一步，给定两个正整数m，n(m>n).
更相减损术
例2. 用更相减损术求78与36的最大公约数.
解： 78与36都是偶数
“可半”
78 ÷ 2 = 39 36 ÷ 2 = 18
“可半者半之”
除 完
39 － 18 = 21 大减小 21 － 18 = 3
再
18 － 3 = 15
乘
15 － 3 = 12
“更相减损”（辗转相减）
回
12 － 3 = 9
2 18 30 3 9 15 35
18与30的最大公约数为2 3 6 .
问题1. 求8251与6105的最大公约数. 可以使用短除法吗？
困难：两数比较大、公约数不易视察。 （辗转相除法、更相减损术）
知问
思考1：辗转相除法与更相减损术可以用来解 决什么问题？ 可以解决求两个正整数最大公约数的任何问题。
《九章算术》——更相减损术
“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少 减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”
《九章算术》
刘徽
《九章算术》其作者已不可 考，现今流传的大多是在三 国时期刘徽为《九章》所作 的注本。它是中国古代第一 部数学专著，系统总结了战 国、秦、汉时期的数学成绩， 收录了246个数学问题及其 解法，是当时世界上最简练 有效的应用数学，它的出现 标志中国古代数学形成了完 整的体系。
高中数学人教A版必修三第一章1.3.1辗转相除法、更相减损术-算法案例精品课件
所以，98和63的最大公约数等于7
练习
用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数．
先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的因数4
21－18＝3
6105=2146×2+1813
18－3＝15 思考：当两个数较大时，除了用这种方法外还有没有其它方法？
利用更相减损术求下列两数的最大公约数.
15－3＝12 所以，25和35的最大公约数为5
6105=2146×2+1813
12－3＝9 先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.
1、回顾算法的三种表述： 318=265×1+53;
9－3＝6 用“更相减损术”求225与135的最大公约数为( ) 6－3＝3
试求8251和6105的最大公约数
（1）5 25 35 57
所以，25和35的最大 公约数为5
（2）7 49 63 79
思考：当两个数较大时，除了用这 种方法外还有没有其它方法？
所以，49和63的最大 公约数为7
一、辗转相除法（欧几里得算法）
所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除 以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一 对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的 数就是原来两个数的最大公约数。
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是 否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则 执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所 得的差与较小的数比较，并以大数减小数。 继续这个操作，直到所得的减数和差相等为 止，则这个等数就是所求的最大公约数。
高中数学人教A版必修三第一章1.3.3进位制-算法案例课件
把89化为五进制的数.
5 89 5 17 53
0
余数
4 2 3
∴ 89=324(5)
练习：把3282化为16进制的数.
10
11
12
13
14
15
A
B
C
D
E
F
思考 你会把三进制数10221(3)化为二进制数吗?
解:第一步:先把三进制数化为十进制数: 10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31+1×30
51
把89化为二进制的数.
2 89
2 44 2 22 2 11 25
22 21
0
余数
1 0 0 1 1 0 1
把算式中各步所得的余 数从下到上排列,得到
89=1011001(2) 可以用2连续去除89或所得 商(一直到商为0为止),然后 取余数---除2取余法.
这种方法也可以推广为把 十进制数化为k进制数的 算法,称为除k取余法.
=81+18+6+1=106. 第二步:再把十进制数化为二进制数:
106=1101010(2). ∴10221(3)=106=110就是几，基数都是大于1的数.
按照十进制数的运算规则计算出结果， 结果就是十进制下该数的大小了.
1.3算法案例
进位制
十进制数3721中的3表示3个千,7表示7个百,2表示2个 十,1表示1个一,从而它可以写成下面的形式:
3721=3×103+7×102+2×101+1×100.
同理: 3421(5)= 3×53+4×52+2×51+1×50.
每一位上的数都是整数.
《算法案例(第2课时)》教学设计
1.3 算法案例第2课时（李雪）一、教学目标1．核心素养在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力．2．学习目标通过对变形前后的多项式进行计算，进而理解秦九韶算法的数学原理及其意义；3．学习重点掌握秦九韶算法的数学原理及其计算过程，理解它的实质4．学习难点深刻理解秦九韶算法的对多项式计算的意义二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材P37－P39，你可以熟练的求解多项式吗？理解秦九韶算法的原理吗？任务2用不同方法计算多项式，感知二者有什么不同？2．预习自测1. 秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶提出的一种用于计算________的值的方法．【解析】：多项式考查秦九韶算法的定义.2．秦九韶算法与直接计算多项式的值相比有什么优越性？【解析】：秦九韶算法在计算多项式的值时，减少了乘法的运算次数，提高了运算效率．（二）课堂设计1．知识回顾（1）对于一元n次多项式的计算（2）本课的秦九韶算法对于求解多项式有什么意义？2．问题探究问题探究 什么是秦九韶算法？●活动一 回顾旧知在初中，我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算一下多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数.当5=x 时，f (x )x x x x x =+++++=+++++=+++++=543254321555551312562512525513906根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算. 这是一个这是一个相对复杂的运算过程，有没有简便的方法呢？●活动二 尝试探索我们不妨把多项式变形为：1)))1(1(1()(2+++++=x x x x x x f 再统计一下计算当5=x 时的值时需要的计算次数，可以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果.显然少了6次乘法运算.我们就可以发现，在变形之后再进行计算减少了乘法的运算次数，提高了运算效率●活动三 拓广总结将上述求多项式的方法推广至一般，以上计算多项式的方法就是秦九韶算法. 秦九韶计算多项式的方法：把一个一元n 次多项式改写成如下形式1210123120132211012211)))((())(()()(a a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a x f n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++==+++++=+++++=+++++=--------------求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即n n a x a v -+11＝，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 =n n n n v v v x a ,v x a ,v v x a .---+++12323102…＝＝，这样，求n 次多项式f (x )的值就转化为求n 个一次多项式的值．所以秦九韶算法在计算多项式的值时，减少了乘法的运算次数，提高了运算效率. 例1 用初中的方法和秦九韶算法分别求多项式f (x )＝6x 7＋5x 6＋3x 4＋2x ＋1当x ＝2时的值．解：当x ＝2时，f (x )x x x x =++++=⨯+⨯+⨯+⨯+=++++=7647646532162523222176832048411141秦九韶算法：f (x )＝6x 7＋5x 6＋0·x 5＋3·x 4＋0·x 3＋0·x 2＋2x ＋1＝((((((6x ＋5)x ＋0)x ＋3)x ＋0)x ＋0)x ＋2)x ＋1，v 0＝6，v 1＝6·2＋5＝17，v 2＝v 1·2＋0＝34，v 3＝v 2·2＋3＝71，v 4＝v 3·2＋0＝142，v 5＝v 4·2＋0＝284，v 6＝v 5·2＋2＝570，v 7＝v 6·2＋1＝1 141，∴x ＝2时，f (x )＝1 141.3．课堂总结【知识梳理】①秦九韶算法是一种用于计算一元二次多项式的值的方法，它的特点在于，它通过一次式的反复运算，逐步得到高次多项式的值.具体的说，它将一个n 次多项式的求解问题，归结为重复计算n 个一次式k k n k v v x a --=+1来实现.②用秦九韶算法求多项式的值时，要正确将多项式的形式进行改写．然后依次由内到外计算，当多项式函数中间出现空项时，要以系数为零的齐次项补充． ③秦九韶算法在计算多项式的值时，减少了乘法的运算次数，提高了运算效率.【重难点突破】在秦九韶算法的数学模型中，计算k v 时要用到k v -1的值，若令n v a =0，我们可以得到下面的递推公式：),2,1(10n k a x v v a v k n k k n ⋅⋅⋅=⎩⎨⎧+==--这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现.4．随堂检测1．当x ＝0.4时，用秦九韶算法计算f (x )＝3x 6＋4x 5＋5x 4＋6x 3＋7x 2＋8x ＋1的值，需要进行的乘法和加法的次数分别是( )A ．6，6B ．5，6C ．5，5D ．6，5【解析】：A 秦九韶算法中最多需用加法和乘法的次数，由多项式的次数n 可知，故选A.2.利用秦九韶算法求多项式f (x )＝11-5x +3x 2＋7x 3在x ＝23时的值时，下列数中用不到的是（ ）A.164B.3767C.86652D.85169 【解析】：D 由秦九韶算法的运算过程可知：f (x )((x )x )x ,v v v =+-+=⨯+==⨯-==⨯+=12373511723316416423537673767231186652所以选项D 中的值用不到.（三）课后作业基础型自主突破 1.用秦九韶算法计算多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6在x ＝－4时的值时，v 3的值为________．【解析】：－57 将多项式按降幂排列得f (x )＝3x 6＋5x 5＋6x 4＋79x 3－8x 2＋35x ＋12，所以v 0＝3，v 1＝v 0x ＋5，v 2＝v 1x ＋6，v 3＝v 2x ＋79，逐层代入可得v 3＝－57.2.用秦九韶算法计算f (x )＝3x 4＋2x 2＋x ＋4当x ＝10时的值的过程中，v 1的值为________．【解析】：30 改写多项式为f (x )＝(((3x ＋0)x ＋2)x ＋1)x ＋4.则v 0＝3，v 1＝3×10＋0＝30.3.用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 的值，当x ＝3时，v3的值为( )A．27 B．86 C．262 D．789【解析】：C 多项式变形为：f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4) x＋3)x＋2)x＋1)x，v0＝7，v1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v3＝86×3＋4＝262.故选C.4.已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为( )A．27 B．11 C．109 D．36【解析】：D将函数式化成如下形式．f(x)＝((((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1，由内向外依次计算：v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋2＝11，v3＝11×3＋3＝36.故选D.5.已知函数f(x)＝x3－2x2－5x＋6，用秦九韶算法，则f(10)＝________.【解析】：756 f(x)＝x3－2x2－5x＋6＝(x2－2x－5)x＋6＝((x－2)x－5)x＋6.当x ＝10时，f(10)＝((10－2)×10－5)×10＋6＝(8×10－5)×10＋6＝75×10＋6＝756. 6.用秦九韶算法求函数f(x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4，当x＝－1时的值时，v2的结果是________．【解析】：6 此题的n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1，由秦九韶算法的递推关系式(k＝1，2，…，n)，得v1＝v0x＋a3＝2×(－1)－3＝－5，v2＝v1x ＋a2＝－5×(－1)＋1＝6.能力型师生共研7.当x＝9时，用秦九韶算法计算f(x)＝12x6＋5x5＋8x4＋11x3＋18x2＋52x＋99的值，需要进行的乘法和加法的次数分别是( )A．12，12 B．6，7 C．21，6 D．6，6【解析】D f(x)＝(((((12x＋5)x＋8)x＋11)x＋18)x＋52)x＋99，所以需要6次乘法运算和6次加法运算.故选D.8.用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先算的是( ) A．4×4＝16 B．7×4＝28 C．4×4×4＝64 D．7×4＋6＝34 【解析】D 因为f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x ＋…＋a1)x＋a0，所以用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先算的是7×4＋6＝34.故选D.9.用秦九韶算法求一元n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0当x＝x0时的值时，一个反复执行的步骤是( )[注：k ＝1，2，…，n ]A.0010k k n k v a v v x a --=⎧⎨=+⎩B.010n kk n k v a v v x a --=⎧⎨=+⎩ C.010n k k k v a v v x a -=⎧⎨=+⎩ D.0010k k kv a v v x a -=⎧⎨=+⎩ 【解析】B 由秦九韶算法的执行过程可知选B.10.已知多项式f (x )＝3x 5＋9x 4＋x 3＋kx 2＋4x ＋11，当x ＝3时的值为1616，则k ＝________.【解析】12 f (x )＝((((3x ＋9)x ＋1)x ＋k )x ＋4)x ＋11，f (3)＝((((3×3＋9) ×3＋1) ×3＋k ) ×3＋4)×3＋11＝1616，∴k ＝12.探究型多维突破11.利用秦九韶算法判断方程x 5＋x 3＋x 2－1＝0在[0，2]上是否存在实根.【解析】利用秦九韶算法求出当x ＝0及x ＝2时，f (x )＝x 5＋x 3＋x 2－1的值. f (x )＝x 5＋x 3＋x 2－1可改写成如下形式：f (x )＝((((x ＋0)x ＋1)x ＋1)x ＋0)x －1. 当x ＝0时，v 0＝1，v 1＝0，v 2＝1，v 3＝1，v 4＝0，v 5＝－1，即f (0)＝－1. 当x ＝2时，v 0＝1，v 1＝2，v 2＝5，v 3＝11，v 4＝22，v 5＝43，即f (2)＝43.由f (0)f (2)<0知f (x )在[0，2]上存在零点，即方程x 5＋x 3＋x 2－1＝0在[0，2]上存在实根．12.用秦九韶算法求多项式f (x )＝1－5x －8x 2＋10x 3＋6x 4＋12x 5＋3x 6，当x ＝－4时，值v 0、v 1、v 2、v 3、v 4中最大值与最小值的差是________．【解析】：62 多项式变形为f (x )＝3x 6＋12x 5＋6x 4＋10x 3－8x 2－5x ＋1＝(((((3x ＋12)x ＋6)x ＋10)x －8)x －5)x ＋1，v 0＝3，v 1＝3×(－4)＋12＝0，v 2＝0×(－4)＋6＝6，v 3＝6×(－4)＋10＝－14，v 4＝－14×(－4)－8＝48，所以v 4最大，v 3最小，所以v 4－v 3＝48＋14＝62.自助餐1.用秦九韶算法计算多项式f (x )＝x 5＋2x 4＋3x 3＋4x 2＋5x ＋6在x ＝5时需要进行的乘法和加法的次数分别是( )A．6，6 B．5，6 C．5，5 D．6，5【解析】：C 秦九韶算法中最多需用加法和乘法的次数，由多项式的次数n可知，故选C.2.用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋6x4＋5x5＋3x6，在x＝－4时的值时，v3的值为( )A．－144 B．－136 C．－57 D．34【解析】： B 根据秦九韶算法，把多项式变形为f(x)＝(((((3x+5)x+6)x+0)x+8)x+35)x+123.利用秦九韶算法计算f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6在x＝5时的值为( ) A．4881B．220C．975D．4818【解析】：A 依据秦九韶算法，把多项式改写为f(x)＝((((x＋2)x＋3)x＋4)x＋5)x ＋6.按照从内到外的顺序，依次计算x＝5时的值：v0＝1；v1＝1×5＋2＝7；v2＝7×5＋3＝38；v3＝38×5＋4＝194；v4＝194×5＋5＝975；v5＝975×5＋6＝4 881.故f(5)＝4 881. 故选A.4.用秦九韶算法求多项式f(x)＝2x4－6x3－5x2＋4x－6在x＝5时的值．【解析】：389 由于f(x)＝2x4－6x3－5x2＋4x－6＝(((2x－6)x－5)x＋4)x－6.根据秦九韶算法，v0＝2，v1＝2x－6＝2×5－6＝4，v2＝4x－5＝4×5－5＝15，v3＝15x＋4＝15×5＋4＝79，v4＝79x－6＝79×5－6＝389.5.用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1当x＝2时的值．【解析】：1397 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝8x7＋5x6＋0·x5＋3·x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.而x＝2，所以有v0＝8，v1＝8×2＋5＝21，v2＝21×2＋0＝42，v3＝42×2＋3＝87，v4＝87×2＋0＝174，v5＝174×2＋0＝348，v6＝348×2＋2＝698，v7＝698×2＋1＝1 397.所以当x＝2时，多项式的值为1 397.6.已知一个五次多项式为f(x)＝5x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8用秦九韶算法求这个多项式当x＝5的值．【解析】：17255.2 将多项式变形：f(x)＝((((5x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－0.8按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x＝5时的值：v0＝5，v1＝5×5＋2＝27，v2＝27×5＋3.5＝138.5，v3＝138.5×5－2.6＝689.9，v4＝689.9×5＋1.7＝3 451.2，v5＝3 451.2×5－0.8＝17 255.2，所以，当x＝5时，多项式的值等于17 255.2.。
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第三步算ati,==b=法i=aa+bM步\1+1O骤0aDi 1如·k0下i-1,:i=i+1.
第四L步O第O,一P判U步断N,i输T>InL入是ai否,>kn和成n立的.值若.是,
b=b+t·ki-1
则执P行RI第NT五步b ;否则,返回第三步.
EN第D二步,将b的值初始化为0,i的值初始化为1.i=i+1
3721 3103 7 102 2101 1100
类比十进制数，k进制数也可以表示成各数位上的数字与 基数的幂的乘积之和的形式，如： 110011（2）= 1×25+1 ×24+ 0×23+0 ×22 +1×21+1 ×20
7342（8）= 7×83+3×82+4×81+2×80 即：
anan1 a1a0(k) ankn an1kn1 a1k1 a0k0
1.3 算法案例
半斤=八两？
学习目标： 1、理解进位制的概念、表达式、
展开式 2、能进行不同进位制数的互化 3、了解进位制数互化的算法及
程序设计
探究一、进位制的相关概念
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统.
“满二进一”就是二进制，“满十进一”就是十进制等等， “满k进一”就是k进制（k叫做基数,k是大于1的整 数）. 一小时有六十分用的是六十进制 一个星期有七天用的是七进制 一年有十二个月用的是十二进制
探究四、如何将十进制数转化为二进制数？
例2 把89化为二进制数
这解种：算8法9＝叫2做×除442＋取1余法,4还4＝可2以×用2下2＋面0的除法22算＝式2表×示11:＋0
11＝ 2× 5＋21 859＝ 2×余数2＋1
2＝ 2× 1＋0
1＝ 2× 0＋21 44 1
所以89＝2×（2×（22×（22×2（2 ×0 2 ＋1）＋1）＋0）＋0）＋1
第五步第,输三出步b,b的=b值+.ai ·ki-1,i=i+1.
否
第四步,判断i>n是否成立.若是,则执行第五步i>;n否? 则,返回第三步.
第五步,输出b的值利用. 1101（2）
是 输出b
化成十进制验
证该程序。
结束
课堂小结：
1．本节课所学知识： K进制的定义、表达式、展开式
2．本节课获得题型方法：
＝＝＝＝2222××××（（（（2222×××5＋（（（23222＋××42＋22（（222222＋＋1×352＋102（＋＋2＋2002））＋1101）＋＋1）＋10）＋0）＋1）＋1＋0）0）＋＋1 0）＋1 ＝26＋24 ＋ 23＋0＋2 0＋120 0
89＝1×26＋0×25＋1×240＋1×213＋0×22＋0×21＋1×20
anan1 a1a0(k ) (0 an k,0 an1, , a1, a0 k ).
如:10212 (3) 193
2376 (8)
练习1：判断下列进制数表达是否 正确？
(1) 12(2) (2) 061(7) (3) 291(8)
探究三、k进制数的展开式
我们再回忆一下刚才的例子：
将所上以式：各8步9=所1得01的10余0数1（从2）下到上按从左到右的顺序排列，得到：
89=1011001（2）
注意：除法算式最后一步商为0
探究五、十进制转化为k进制
上述方法也可以推广为把十进制数 化为k进制数的算法，称为除k取余法.
例3：把89化为五进制数.
解：
5 89
5 17
53 0
余数
4 2 3
所以2b+9=9a+2，即9a-2b=7. 故a=1，b=1.
设计一个程序，把k进制数化为十进制数.
开始
设计一个算法,把k 进制数a(共有n位)化为十进制数b. 输入a,k,n
算法步骤如下:
INPUT“a,k,n=”;a,k,n
第一bi步==算10,输法入分a析,k：和n的值.
b=0
第值字以二 初,aTD步 始可i=O从与ba化,以=将M前k为用biOb面-+1D的1循的t.的1*值环0乘k例^初结积(题i始构-a1的i化来)计·为构算k0造i-,过1i算，的程法再可.将以其看累出加，把，a计的这算右是数k进一第i制个i=位1数重数a复字的赋操右给作t数的第步i位骤数.所
例1:把二进制数110011(2)化为十进制数.
分析:先把二进制数写成展开式的形 式,再按照十进制的运算规则计算出结果.
解:110011(2) =1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20 =1×32+1×16+1×2+1 =51.
练习2：把下列数化为十进制数
(1) 1011010(2) =90 (2) 10212(3) =104 (3) 2376(8) =1278
所以，89=324（5）
练习3：将十进制数2008转化为二进制数和八进制数.
拓展提升1、
５３（８）= 101011 （２）
八进制
十进制
二进制
拓展提升2 、已知10b1（2）=a02（3）,求数字a，b
的值.
解：10b1（2）=1×23+b×2+1=2b+9. a02（3）=a×32+2=9a+2.
K进制数与十进制数的互化以及它们的 算法设计
3．本节课运用数学思想： 类比； 化归转化
作业： 1、课下探究：设计一个程序，实现 “除k取余法”(2≤k≤9的整数).
2、习题1.3 A组第3题
谢谢！再见！
3721 3103 7 102 2101 1100
于每一与种十进进位制制类的似常在基,其k数进为他制不了的数区同的进分,右不所位下同用制角的标的也进明数位可基制字以数,k个按, 数照也位不置同原.则如计二数进.制由 用0和1两个数字,七十进进制制用数一0～般不6七标注个基数数字. .
一般地，以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一 起的形式：
电子计算机用的是二进制
探究二、K进制数的表达式
十进制使用0～9十个数字,计数时,几个数字排成一行, 从右起,第一个是个位,个位上的数字是几,就表示几个一;第二位 是十位,十位上的数字是几,就表示几个十;接着依次是百位,千位, 万位……
例如,十进制数3721表示有：1个1，2个10， 7个百即7个10 的平方，3个千即3个10的立方