分配问题与匈牙利算法
分配问题与匈牙利法说课讲解
0 13 11 2
10 4 14 15 4
9 14 16 13 9
7 8 11 9 7
6 0 10 11
0 5 7 4
0 1
4
2
2）试指派（找独立0元素） 4 2
0 13 7 0
6 0 6 9
0 5 3 2
0 1 0 0
0Ø 13 7 ◎0
6 ◎0 6 9
0◎ 5 3 2
0Ø
分配问题与匈牙利法
Page 1
指派问题的数学模型的标准形式： 设n 个人被分配去做n 件工作，规定每个人只做一件工作，
每件工作只有一个人去做。已知第i个人去做第j 件工作的效率 （ 时间或费用）为Cij(i=1.2…n;j=1.2…n)并假设Cij ≥0。问应 如何分配才能使总效率（ 时间或费用）最高？ 设决策变量
若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有两个，比 较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少这个0元素加 圈(表示选择性多的要“礼让”选择性少的)。然后划掉同行同列 的其它0元素。可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。
分配问题与匈牙利法
Page 6
若◎ 元素的数目m 等于矩阵的阶数n（即：m＝n），那么这指
所有0元素的最少直线数 l 。
注：l 应等于m，若不相等，说明试指派过程有误，回到第2步，另行试 指派；若 l＝m < n，表示还不能确定最优指派方案，须再变换当前的系 数矩阵，以找到n个独立的0元素，为此转第4步。
分配问题与匈牙利法
Page 7
4) 变换矩阵(bij)以增加0元素
在没有被直线通过的所有元素中找出最小值，没有被直线通过 的所有元素减去这个最小元素；直线交点处的元素加上这个最小 值。新系数矩阵的最优解和原问题仍相同。转回第2步。
匈牙利法求解指派问题
然后划去所在的列的其他0 元素，记作Ø。
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø1 0 0
➢给只有一个0元素的列的0 元素加圈，记。
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø 1 0
然后划去所在的行的其他0元 素，记作Ø
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø 1 Ø
➢给最后一个0元素加圈， 记。
Ø 13 7 6 6 9 5 3 2 Ø 1 Ø
可见m=n=4,得到最优解。
0001 0100 1000 0010
即甲译俄文、乙译日文、丙 译英文、丁译德文所需时间 最少。Z=28小时
例6 分配问题效率矩阵
任务 A B C D E 人员
甲 12 7 9 7 9 乙8 9 6 6 6 丙 7 17 12 14 9 丁 15 14 6 6 10 戊 4 10 7 10 9
12 7 9 7 9 7 89666 6 7 17 12 14 9 7 15 14 6 6 10 6 4 10 7 10 9 4
50202 23000 0 10 5 7 2 98004 06365
➢从只有一个0元素的行开始，给 这个0元素加圈，记
50202 23000
10 5 7 2
98004 06365
然后划去所在的列的其他0元素，记 作Ø。
70202 4 3 000 Ø 8350 11 8 0 0 4 4 1 4 3
➢从只有一个0元素的行开始，给这个0 元素加圈，记
70202 4 3 000 Ø 8 3 5 11 8 0 0 4 4 1 4 3
然后划去所在的列的其他0元素，记 作Ø。
70202 4 3 00Ø Ø 8 3 5 11 8 0 0 4 4 1 4 3
匈牙利算法详细步骤例题
匈牙利算法详细步骤例题
嘿，朋友们！今天咱就来讲讲这神奇的匈牙利算法。
你可别小瞧它，这玩意儿在好多地方都大有用处呢！
咱先来看个具体的例子吧。
就说有一堆任务，还有一堆人，要把这
些任务分配给这些人，怎么分才能最合理呢？这时候匈牙利算法就闪
亮登场啦！
第一步，咱得弄个表格出来，把任务和人之间的关系都给标上。
比
如说，这个人干这个任务合适不合适呀，合适就标个高分，不合适就
标个低分。
这就好像给他们牵红线似的，得找到最合适的搭配。
然后呢，开始试着给任务找人。
从第一个任务开始，找个最合适的人。
要是这个人还没被别的任务占着，那太好了，直接就配对成功啦！要是已经被占了呢，那就得看看能不能换一换，让大家都更合适。
就好比是跳舞，你得找到最合适的舞伴，跳起来才带劲嘛！要是随
便找个人就跳，那多别扭呀。
这中间可能会遇到一些麻烦，比如好几个人都对同一个任务感兴趣，那可咋办？这就得好好琢磨琢磨啦，得权衡一下，谁更合适。
有时候你会发现，哎呀，怎么这么难呀，怎么都找不到最合适的搭配。
别急别急，慢慢来，就像解一道难题一样，得一点点分析。
咱再说说这算法的奇妙之处。
它就像是一个聪明的红娘，能把最合适的任务和人牵到一起。
你想啊，要是没有它，那咱不得乱点鸳鸯谱呀，那可不行，得把资源都好好利用起来才行呢。
比如说，有五个任务，五个。
【算法题】任务分配问题---匈牙利算法
【算法题】任务分配问题---匈⽛利算法⼀、问题描述问题描述：N个⼈分配N项任务，⼀个⼈只能分配⼀项任务，⼀项任务只能分配给⼀个⼈，将⼀项任务分配给⼀个⼈是需要⽀付报酬，如何分配任务，保证⽀付的报酬总数最⼩。
问题数学描述：⼆、实例分析---穷举法在讲将匈⽛利算法解决任务问题之前，先分析⼏个具体实例。
以3个⼯作⼈员和3项任务为实例，下图为薪酬图表和根据薪酬图表所得的cost矩阵。
利⽤最简单的⽅法(穷举法)进⾏求解，计算出所有分配情况的总薪酬开销，然后求最⼩值。
total_cost1 = 250 + 600 + 250 = 1100; x00 = 1,x11 = 1,x22 = 1;total_cost2 = 250 + 350 + 400 = 1000; x00 = 1,x12 = 1,x21 = 1;total_cost3 = 400 + 400 + 250 = 1050; x01 = 1,x10 = 1,x22 = 1;total_cost4 = 400 + 350 + 200 = 950; x01 = 1,x12 = 1,x20 = 1; //最优分配total_cost5 = 350 + 400 + 400 = 1150; x02 = 1,x10 = 1,x21 = 1;total_cost6 = 350 + 600 + 250 = 1150; x02 = 1,x11 = 1,x22 = 1;对于任务数和⼈员数较少时，可利⽤穷举法计算结果。
若将N任务分配给N个⼈员，其包含的所有分配情况数⽬为N!，N增⼤时，穷举法将难以完成任务。
三、匈⽛利算法下⾯简要介绍匈⽛利算法。
其基本的理论基础是针对cost矩阵，将cost矩阵的⼀⾏或⼀列数据加上或减去⼀个数，其最优任务分配求解问题不变。
算法的基本步骤如下：四、实例分析---匈⽛利算法下⾯结合具体实例，分析匈⽛利算法如何解决任务分配问题。
以N = 4为实例，下图为cost列表和cost矩阵。
§2 分配问题与匈牙利法
第二步：寻找独立0元素
50202 23000 0 10 5 7 2 -2 98004 0 6 3 6 5 -2
+2
最小元素为 min{10,5,7,2,6,3,6,5}=2
70202
43000 08350 11 8 0 0 4 04143
它有5个独立0元，得到最优解相应的解矩阵为
（1）任务E必须完成，其他4项中任选3项 完成；
任务 A B C D E 人员
甲
25 29 31 42 37
乙
39 38 26 20 33
丙
34 27 28 40 32
丁
24 42 36 23 45
戊
0 0 0 0M
（2）其中有一人完成两项，其他每人完成一项；
任务 A B C D E 人员
甲
25 29 31 42 37
第二步：在B中寻找位于不同行、不同列的 0元素。
（1）检查B的每行每列，从中找出未加标 记的0元素最少的一排（即行列的统称）， 在该排用()标出一个0元，若该排有多个0 元，则任意标出一个即可；
（2）把刚得到()号标记的0元所在的行、列中 的其余0元划去，用表示；
（3）凡是(0)， 就成为加了标记的0元，返 回（1）重复（1）、（2）、 （ 3），直到所 有0元都加上标记为止。若得到的加()号的0元 素个数等于n，则结束；否则转第三步
0 13 7 0 6069 0532 0100
0 13 11 2 6 0 10 11 0574 0142
0042
独立0元素
0 13 7 0 6069 0532 0100
得解矩阵
0 0 0 1
X
0
1
1 0
hungarian method
hungarian methodHungarian method是一种经典的解决分配问题的算法。
该算法在二十世纪五六十年代由匈牙利数学家Dénes Kőnig和Jenő Egerváry所发明，用于解决在线性规划中常见的任务分配问题。
这种算法结合了图论和线性规划的技术，是一种非常高效和精准的优化算法。
1. 问题定义在任务分配问题中，我们需要将n项活动分配给n个人，每个人只能完成一项活动。
每项活动有一个与之相关联的成本或权重，我们需要最小化这些权重的总和。
该问题可描述为一个n*n的矩阵，其中每个元素aij代表将任务i分配给人j所需的代价。
2. 算法步骤Hungarian method的实现步骤如下：（1）首先，对原始的代价矩阵进行列减法和行减法，得到一个新的矩阵。
（2）使用最小化（或最大化）算法，将矩阵的元素分组为行和列，并将它们连接起来。
（3）通过在每个组内选择最小的元素并在每个组之间进行替换来得到最优解。
（4）如果问题没有得到解决，则回到步骤1并继续执行算法，直到找到最优解为止。
3. 矩阵的处理在第一步中，我们需要对原始的代价矩阵进行行减法和列减法。
对于每一行和每一列，我们从其中选择一个最小的元素，并将该最小元素从行（或列）的其他元素中减去。
通过这种方式，我们可以得到一个新的矩阵，它的元素最少有一个为0。
该矩阵称为减法矩阵。
4. 匈牙利算法的实现在第二步中，我们使用最小化算法将减法矩阵的元素分组为行和列。
我们将行中的最小元素和列中的最小元素连接起来，并用直线穿过它们。
接下来，我们用相邻线覆盖矩阵的其他元素，直到矩阵的每个元素都被覆盖。
第三步是通过在组内选择最小元素并在组和列之间进行替换来获得最优解的。
如果我们无法替换元素，例如在第二步中，我们没有找到足够的相邻行或列，则需要回到第1步并继续。
5. 求解复杂度的分析Hungarian method是一种精确的分配算法，可以在多项多项任务分配问题上得到最优解。
4.2-分配问题和匈牙利法
❖整数规划的数学模型 ❖设置逻辑变量建立整数规划模型 分配问题与匈牙利法 ❖分支定界法、割平面法 ❖应用举例
§3 分配问题与匈牙利法
分配问题的标准形式及其数学模型
➢ 分配问题也称指派问题(assignment problem),在我们现实 生活中,常有各种性质的分配问题.例如：应如何分配若干 项工作给若干个人(或部门)来完成,以达到总体的最佳效果 等等.由于分配问题的多样性,我们有必要定义分配问题的 标准形式.
❖ 匈牙利法
0 8 2 5
上述例子完成一、二、三步之后如右：11 0 5 4
转向第四步：
2 3 0 0
0
11
4
5
k=2
u1=2 u2=2 u3=0 u4=2
2 6 0 3
9
2 3 2
2 3 0 0
2 9 2 3
回到第三步： 0 8 0 3 11 0 3 2
4 5 0 0
0
11
2
3、一个人可做几项任务的分配问题
4、目标函数为求最大值(最大化的分配问题)
nn
nn
max z
cij xij min w
cij xij
i1 j1
i1 j1
效率矩阵中元素全为负数,根据定理1,让效率矩阵中所有元素变成非负数,再利用匈牙利 法求解.
❖ 不平衡的分配问题
例1.已知下列五名运动员各种姿势的游泳成绩(各 为50m)如下表.试问如何从中选拔一个4×50m混 合泳的接力队,使预期的比赛成绩为最好？
37.7
43.4
C 33.3 29.2
0
32.9 33.1 28.5 26.4
0
38.8 42.2 38.9 29.6
匈牙利算法求解原理的应用
匈牙利算法求解原理的应用什么是匈牙利算法匈牙利算法是一种用于解决二分图最大匹配问题的算法。
所谓二分图，就是一个节点集合可以分为两个不相交的子集，而且每个子集内的节点之间不存在边。
在二分图中，最大匹配问题就是寻找最大的边集合，使得每个节点都和边集合中的某条边相邻接。
匈牙利算法的原理是通过增广路径的方法来求解最大匹配问题。
其中增广路径是指在匹配图中的一条未被匹配的边交替经过未被匹配的节点，最终到达另一个未被匹配的节点的路径。
匈牙利算法的应用匈牙利算法有许多实际应用场景。
以下列举了一些典型的应用案例：1.婚姻匹配问题：假设有n个男人和n个女人，每个人都有一个倾向表，表明他们对各种婚姻选择的偏好程度。
那么如何进行匹配，使得每个人都得到一个满意度最高的选择，同时保证没有不合适的匹配？这就可以使用匈牙利算法进行求解。
2.任务分配问题：假设有m个任务和n个工人，每个任务对于每个工人都有不同的技能要求和报酬。
如何将任务分配给工人，使得任务总报酬最大化，并满足每个任务的要求？这也可以使用匈牙利算法进行求解。
3.运输问题：在某个地区有n个供应点和n个需求点，以及不同供应点到需求点之间的运输成本。
那么如何选择合适的运输方案，使得总运输成本最小？同样可以使用匈牙利算法进行求解。
4.社交网络匹配问题：在一个社交网络中，每个人都有一定的朋友圈和交往偏好。
如何将这些人进行匹配，使得每个人都能够找到最适合的交往对象？匈牙利算法也可以应用于这种情况。
匈牙利算法的实现步骤下面是匈牙利算法的具体实现步骤：1.在匹配图中选择一个未匹配的顶点作为起始点，并为其标记为已访问。
2.对于当前顶点的每一个邻接顶点，如果该邻接顶点未被匹配，则找到一条增广路径。
如果该邻接顶点已被匹配，但可以通过其他路径找到一条增广路径，则将该邻接顶点的匹配权转移到当前顶点的匹配边上。
3.继续选择下一个未匹配的顶点，重复步骤2，直到无法找到增广路径为止。
4.返回当前匹配图的最大匹配。
第五讲分配问题指派问题与匈牙利法
i1 j 1
相关定理
使每行每列 都出现零元素
定理：若将分配问题系数矩阵的每一行及每一列分别 减去各行及各列的最小元素，则新分配问题与原分配 问题有相同的最优解，只有最优值差一常数。
时 工作
时 工作
间
A
B
间C
A
B
C
人员
人员
甲
7 8
甲9
0 10
2
乙
9
12
乙4 5
87
0
丙
8
5
丙4 4
10 0
步骤1：变换系数矩阵，使其每行每列都出现0元素
cn1
cn1
...
cnn
x11 x12 ... x1n
X
x21
x22
...
x2
n
... ... ... ...
xn1
xn1
...
xnn
系数矩阵
(效率矩阵)
n个人 n件事
解矩阵
(决策变量矩 阵)
定义：在系数矩阵C中，处在不同行不同列的一
组零元素，称为独立零元素组，其中每个元素
称为独立零元素。
圈0个数等于n=55 0 2 0 9
2 3 0 0 8
0 10 5 7 5 9 8 0 0 4
0 6 3 6 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 1多重0最优解
0 0 0 0 1
5 0 2 0 9
2 3 0 0 8
0 10 5 7 5 9 8 0 0 4
0 6 3 6 0
一纵线，即得到覆盖当前0元素的最少直线集。
0 3 0 11 8
0 1 7 7 3
线性规划例题5分配问题及匈牙利算法
直角坐标系。 • （2）对每个约束（包括非负约束）条件，
先取其等式在坐标系中作出直线，通过
判断确定不等式所决定的半平面。各约束半 平面交出来的区域(存在或不存在），若存在， 其中的点表示的解称为此线性规划的可行解。 这些符合约束限制的点集合，称为可行集或 可行域。
同时，我们有一个追求目标，即获
取最大利润。于是可写出目标函数z
为相应的生产计划可以获得的总利
润：z=40x1+30x2 +50x3
【解】设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品 的产量数学模型为：
mZ a 4 x x 1 0 3x 2 0 5x 3 0
3 x1 x 2 2 x3 200
问：如何分配，能使所需的 总时间最少？
人 工作 甲 乙 丙 丁
译英文 2 10 译日文 15 4 译德文 13 14 译俄文 4 15
97 14 8 16 11 13 9
1.1 数学模型 Mathematical Model
线性规划（Linear Programming,缩写为LP）是运筹学的重 要分支之一，在实际中应用得较广泛，其方法也较成熟， 借助计算机，使得计算更方便，应用领域更广泛和深入。
怎样辨别一个模型是线性规划模型？其特征是： 1．解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函 数，通常是求最大值或 最小值； 2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量 的线 性不等式或等式。
书本还例举了诸如合理用料问题;配料问题;投资问题;均衡配 套生产问题等.
• 线性规划的一般模型
max(min)Z c1x1 c2 x2 L cn xn
6
x 1 0 、 x 2 0
人员分配问题的匈牙利算法
案例分析
➢ 则可得二部图如下：
案例分析
由于N{y1, y4, y5} {x2, x5} {y1, y4, y5} 3 N{y1, y4, y5} {x2, x5} 2 则不满足二部图存在完美匹配定理，所以该网络图不存在完美匹配。 因此，该5人不能都得到聘书。
求最多几人能得到聘书？该问题可以转化为最大匹配 问题，及在上述二部图中找一个最大匹配，可以结合 MATLAB编程进行求解。
35.4000 34.7000 28.5000 29.2000
0
t1 = 127.8000
案例分析
结果分析：
s 矩阵保存指派问题求最小解时的指派方案及对应 方案的权值。
t 为指派问题的最小解，也即最小费用。
15
人员1分配任务5 花销35.4
24
32
4 1
53
பைடு நூலகம்总成本：127.8
案例分析
➢ 例5-2 某单位招收懂俄、英、日、德、法文的翻译各一人，有5人 应聘。已知乙懂俄文，甲、乙、丙、丁懂英文，甲、丙、丁懂日文， 乙、戊懂德文，戊懂法文，问这五个人是否都能得到聘书？最多几 人能得到聘书，招聘后每人从事哪方面的翻译工作？ 解：我们可以利用网络图把它作为一个匹配问题来进行求解。
5.2人员分配问题的匈牙利算法
5.2.1 匈牙利算法基本步骤 5.2.2 匈牙利算法的MATLAB实现 5.2.3 案例分析
5.2.1 匈牙利算法基本步骤
➢ 首先给出匈牙利算法的关键概念。 在人员分配问题中，耗费矩阵是指工作 所需要的时间，该矩阵的第i行第j列元素 表示的j 是工人做工作所需要的时间或者 所耗费的原料，即指派问题中的耗费数 值。总耗费是指给定一种指派方案后， 该方案总的耗费数值之和。因此，耗费 矩阵就是匹配问题的权值矩阵，而总耗 费就是给出的一个匹配方案所对应边的 权值之和。
匈牙利算法 描述
匈牙利算法描述匈牙利算法是图论中一种用于解决二分图匹配问题的算法。
它首次由匈牙利数学家Denzel匈牙利在1955年发表，因而得名。
匈牙利算法属于图匹配算法的范畴，在实际应用中有着很强的效率和准确性。
本文将介绍匈牙利算法的原理、实现方法和应用领域等相关内容。
一、匈牙利算法原理匈牙利算法是解决二分图最大匹配问题的经典算法之一。
在二分图中，匈牙利算法的目标是寻找图中的最大匹配，即尽可能多地找到满足匹配条件的边，也就是找到尽可能多的配对节点。
在匈牙利算法中，主要使用了增广路的概念，通过不断地寻找增广路，来不断地扩展匹配。
具体而言，匈牙利算法的核心思想是利用增广路径寻找最大匹配。
在每一次匹配的过程中，首先选择一个未匹配的节点，然后通过交替路径寻找增广路径，直到无法找到增广路径为止。
当无法找到增广路径时，说明找到了最大匹配。
增广路径指的是一条由未匹配的节点和匹配节点交替构成的路径，其中未匹配节点为起点和终点。
通过不断地寻找增广路径，可以逐步扩展匹配。
在匈牙利算法中，为了记录节点的匹配状态和寻找增广路径，通常使用匈牙利标号和匈牙利交错路的方式。
匈牙利标号是为每个节点标记一个代表节点匹配状态的值，而匈牙利交错路则是一种用于寻找增广路径的方法。
借助这些工具，匈牙利算法可以高效地解决最大匹配问题。
二、匈牙利算法实现方法匈牙利算法的实现方法较为复杂，需要结合图论和图匹配的相关知识。
在实际应用中，匈牙利算法通常通过编程实现，以解决特定的二分图匹配问题。
下面简要介绍匈牙利算法的一般实现方法。
1. 初始化匈牙利标号：首先对图中的所有未匹配节点进行初始化标号，即给它们赋予一个初始的匈牙利标号。
2. 寻找增广路径：选择一个未匹配的节点作为起点，通过交替路径和增广路的方法寻找增广路径。
在寻找增广路径的过程中，要根据节点的匈牙利标号来选择下一个节点，从而找到满足匹配条件的路径。
3. 匹配节点：如果成功找到一条增广路径，就可以将路径中的节点进行匹配，即将原来未匹配的节点与匹配节点进行匹配。
分配问题与Hungarian算法
分配问题与Hungarian算法分配问题与Hungarian算法分配问题指派问题匈⽛利算法匈⽛利⽅法是⼀种能够在多项式时间内解决分配问题(assignment problem)的组合优化算法。
它由Harold Kuhn 与1955年发展并提出，由于该算法很⼤程度上依赖于先前两位匈⽛利数学家:Denes Konig 和 Jeno Egervary,所以被命名为“匈⽛利⽅法”。
1957年James Munkres重新审视了这个⽅法，证明发现该⽅法是严格polynomial的，所以之后该⽅法也被称为Kuhn-Munkres 算法或者Munkres分配算法。
原始的匈⽛利算法的时间复杂度是,然⽽之后Edmonds和Karp，以及Tomizawa独⽴发现经过⼀定的修改，该算法能改达到的时间复杂度。
Ford和Fulkerson将该⽅法扩展到⼀般运输问题的求解上。
2006年，研究发现Carl Custav Jacobi在19实际就解决了assignment问题，并且在其逝世后的1890年求解过程被以拉丁语形式发表。
指派问题匈⽛利法解决的指派问题应该具有两个约束条件workes 和tasks的数⽬应该相同，即o2o问题。
求解的是最⼩化问题，如⼯作时间的最⼩化、费⽤的最⼩化等等指派问题⽰例：有三个workers: Jim, Steve和Alan，现在有3个⼯作：clean the bathroom, sweep the floors和wash the windows需要交给这三个⼈，每个⼈只能完成⼀个任务，对应的cost matrix如下---Clean bathroom Sweep floors Wash windowsJim$2$3$3Steve$3$2$3Alan$3$3$2那么如何分配任务是开销最⼩就是⼀个指派问题匈⽛利法步骤问题： 假定某单位有甲、⼄、丙、丁、戊五个员⼯，现需要完成A、B、C、D、E五项任务，每个员⼯完成某项任务的时间如下图所⽰，应该如何分配任务，才能保证完成任务所需要的时间开销最⼩？1476015762594.jpg解：1. 写出系数矩阵2. 更新系数矩阵，使系数矩阵的每⼀⾏每⼀列都减去该⾏该列的最⼩值，保证每⼀⾏每⼀列都有0元素出现,参见定理2.3. 选择只有⼀个0元素的⾏或列将该0元素标注为独⽴0元素，并将该0元素所在的列或⾏中0元素划掉，直⾄找不到满⾜条件的⾏或列，需要注意的是在循环时，划掉的0元素不再视为0元素。
分配问题与匈牙利法
7 8 11 9
第一步：初始变换
2 15 13 4 2 10 4 14 15 4 9 14 16 13 9 7 8 11 9 7
0 13 11 2 6 0 10 11 0574 0142
0042
0 13 7 0 6069 0532 0100
找独立0元素
0 13 7 0 6069 0532 0100
（2）操作简单，应用性强。 在当今国际化的市场 竞争中，企业成本和利
润成为衡量其经营绩效的重要参考指标，企业经 营的目标都是以最小化的成本换回最大化的利润 回报。随着现代科技的飞速发展，企业必须适应 时代的潮流，不断进行技术创新和产品研发，在 此过程中，科学合理的决策方案将成为影响企业 发展的重要因素。 匈牙利法不仅可以为企业人事 决策提供可靠的政策建议，同时可以预测和估算 出企业未来一段时期的成本和收益总量，而且操 作方便，应用性强，受到了现代企业管理者的青 睐。
设 1 xij 0
分配第i人完成第j项任务 未分配第i人完成第j项任务
nn
min z
aij xij
i 1 j 1
n
xij 1,
i 1, 2, ..., n
j1
n
s.t . xij 1, j 1, 2, ..., n
i 1
xij
1或0
二
分配问题的匈牙利解法
定义1 效率矩阵
处理方法：用效率矩阵中的最大元素减去矩阵 中的各个元素得到一个新的矩阵，对这个新的 矩阵用匈牙利方法求解。
四
《基于匈牙利法的企业员工任务分配问 题研究》
基金项目：国家社科基金资助项目（06BZZ022） 统计与决策2011年第5期
摘 要： 现代企业的发展，必须依托科学高效的
最佳重分配 匈牙利算法
最佳重分配匈牙利算法
最佳重分配是一种优化问题，它涉及将一组资源分配给一组需求，以最小化分配的总成本或最大化分配的总收益。
匈牙利算法是一种常用的解决这种问题的算法。
匈牙利算法是一种基于图论的算法，用于解决最大匹配问题。
最大匹配问题是指在一个二分图中找到一个最大的匹配，即尽可能多地匹配顶点对。
匈牙利算法的基本思路是从一个顶点开始，通过不断增广路径来找到一个未匹配的顶点。
增广路径指的是一条交替包含未匹配顶点和匹配顶点的路径。
通过不断增广路径，可以增加匹配的数量，直到无法再找到增广路径为止。
最佳重分配问题可以转化为一个最大权匹配问题，其中每个资源和需求之间的权重表示分配的成本或收益。
通过使用匈牙利算法可以找到最大权匹配，从而实现最佳重分配。
总之，匈牙利算法是解决最大匹配问题和最佳重分配问题的常用算法之一，它的基本思路是通过不断增广路径来寻找最大匹配或最大权匹配。
- 1 -。
匈牙利算法 ppt课件
指派问题（分配问题） (Assignment Problem)
例5 有一份中文说明书，需翻译 成英、日、德、俄四种文字，分 别记作E、J、G、R，现有甲、 乙、丙、丁四人，他们将中文说 明书翻译成英、日、德、俄四种 文字所需时间如下，问应该如何 分配工作，使所需总时间最少？
第2页
任务 E
J
98004 06365
第25页
然后划去所在的列的其他0元素， 记作Ø。
50202 23000
10 5 7 2
98004
Ø 6365
第26页
➢从只有一个0元素的列开始， 给这个0元素加圈，记
52 0 2
23000
10 5 7 2
98004
Ø 6365
第27页
然后划去所在的行的其他0元素， 记作Ø。
➢给只有一个0元素的列（或行）的0 元素加圈，记，然后划去所在的 行（或列）的其他0元素，记作Ø。
➢反复进行上述两步，直到所有的0 元素都被圈出和划掉为止。
第13页
➢若还有没有划圈的0元素，且同行 （或列）的0元素至少有二个，从剩有 0元素最少的行（或列）开始，比较这 行各0元素所在列中0元素的数目，选 择0元素少的那列的0元素加圈，然后 划掉同行同列的其他0元素，可反复进 行，直到所有的0元素都被圈出和划掉 为止。
第4页
引入0-1变量xij=1分配第i人去完 成第j 项任务，xij=0不分配第i人去完
成第j 项任务。
分配问题的数学模型：
Min Z= cijxij
s.t. xij =1 (j=1,2……n) xij =1 (i=1,2……n)
xij 0或1
(i=1,2…..n; j=1,2……n)
分配问题匈牙利算法的Matlab实现
分配问题匈牙利算法的Matlab实现function [x,fVal]=Hungary(C)% 输出参数：% x--Decision Varables, n*n矩阵% fval--Objective function Value% 输入参数:% C--效益矩阵c=C; %将效益矩阵暂存入c,以下的操作将针对c进行[iMatrixRow,iMatrixCol]=size(c);%求约化矩阵：将效益矩阵的每行每列各减去其最小值c=c-repmat(min(c,[],2),1,iMatrixCol);c=c-repmat(min(c,[],1),iMatrixRow,1);%进行试分配，求出初始分配方案while 1%对所有零元素均已画⊙(inf)或画×(-inf)c=CircleOrCross(c);%划线，决定覆盖所有零元素的最少直线数iIndepentZeroNum=find(c==inf);if length(iIndepentZeroNum)==iMatrixRowbreak;else[Row,Col]=line(c);end%查找没有被直线段覆盖的元素中的最小元素，并存入fMininumVlaue中fMininumVlaue=inf;for i=1:iMatrixRowfor j=1:iMatrixColif Row(i)~=1 && Col(j)~=1 && c(i,j)<fmininumvlaue fMininumVlaue=c(i,j);endendend%修改约化矩阵中的相关数据for i=1:iMatrixRowfor j=1:iMatrixColif c(i,j)==inf||c(i,j)==-infc(i,j)=0;endif Row(i)~=1 && Col(j)~=1c(i,j)=c(i,j)-fMininumVlaue;endif Row(i)==1 && Col(j)==1c(i,j)=c(i,j)+fMininumVlaue;endendendend%返回分配方案及目标函数值fVal=0;for i=1:iMatrixRowfor j=1:iMatrixColif c(i,j)==infx(i,j)=1;fVal=fVal+C(i,j); elsex(i,j)=0;endendend</fmininumvlaue。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
√
第 20页
1 2 4 3 0 ◎
◎
0 6 2 0 Ø
3 0 Ø 3 0 ◎ 3 3 Ø 0 5 3 0 ◎ 0 Ø 2 1 3 1 4
√
l =m=4 < n=5
√ √ √ √
√
√
2016/4/5
第 21页
1 2 4 3 ◎ 0
√
√
√
2016/4/5
第 18页
2 2 4 4 ◎ 0
2016/4/5
◎
0 5 1 Ø 0
4 ◎ 0 3 1 Ø 5 2 3 0 4 Ø 0 ◎ 0 3 2 3 1 5
1 2 4 3 0
0 6 2 0
3 0 3 0 3 3 0 5 3 0 0 2 1 3 1 4
5 1 0 7
9 5 9 6
0 4 3 0
4 0 2 3
5 1 0 7
4 0 4 1
0 4 3 0
－5
第二步，试指派：
4 ◎ 2 3
2016/4/5
5 4 ◎ 1 Ø 4 ◎ 4 3 7 1 Ø
找到 3 个独立零元素 但m=3<n=4
第 19页
1 2 4 3 0
2016/4/5
0 6 2 0
3 0 3 0 3 3 0 5 3 0 0 2 1 3 1 4
1 2 4 3 ◎ 0
◎
0 6 2 Ø 0
3 √ Ø 0 √ 3 √ √ ◎ 0 3 3 Ø 0 5 3 ◎ 0 Ø 0 2 1 3 1 4
分配问题与匈牙利法
2016/4/5
第 1页
1. 分配问题
在实际中经常会遇到这样的问题，有n 项不同的任务，需要n 个人分别完成其中的一项，但由于任务的性质和各人的专长
不同，因此各人去完成不同的任务的效率（或花费的时间或
费用）也就不同。于是产生了一个问题，应指派哪个人去完 成哪项任务，使完成 n 项任务的总效率最高（或所需时间最 少），这类问题称为分配问题或指派问题。
◎
0 5 1 Ø 0
4 ◎ 0 3 1 Ø 5 2 3 0 4 Ø 0 ◎ 0 3 2 3 1 5
第 17页
2 2 4 4 ◎ 0
◎
0 5 1 Ø 0
4 ◎ 0 3 1 Ø 5 2 3 0 4 Ø 0 ◎ 0 3 2 3 1 5
l =m=4 < n=5
2016/4/5
第 4页
例1
任务 人员 甲 乙 丙 丁
A 2 10 9 7
B 15 4 14 8
C 13 14 16 11
D 4 15 13 9
求解过程如下：
第一步，变换系数矩阵：
2 10 9 7
2016/4/5
15 4 14 8
13 14 16 11
4 -2 15 -4 13 -9 -7 9
任务 人员 甲 乙 丙 丁 英语 日语 德语 俄语
6 4 3 5
7 5 1 9
11 9 10 8
2 8 4 2
求解过程如下： 第一步，变换系数矩阵：
6 4 (cij ) 3 5
7 11 2 2 5 9 8 4 1 10 4 1 9 8 2 2
4 0 2 3
0 13 11 2 6 0 10 11 0 5 7 4 0 1 4 2
第 6页
0 13 11 2 6 0 10 11 0 5 7 4 0 1 4 2
-0
2016/4/5
0 13 7 0 6 0 6 9 0 5 3 2 0 1 0 0
例1
任务 人员 甲 乙 丙 丁
A 2 10 9 7
B 15 4 14 8
C 13 14 16 11
D 4 15 13 9
2. 匈牙利法
第一步：变换指派问题的系数矩阵（cij）为(bij)，使在(bij) 的各行各列中都出现0元素
第二步：进行试分配，以寻求最优解。如果得到最优解，
运算结束，否则转到第三步。 第三步：作最少的直线覆盖所有0元素。 第四步：变换矩阵(bij)以增加0元素，转到第二步。
-0
-4
-2
第 7页
第二步，试分配：
Ø 13 7 ◎ 0 0 6 0 ◎ 6 9 ◎ 0 5 3 2 ◎ Ø Ø 1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
2016/4/5
第 8页
任务 人员 甲
A 2
B 15
2016/4/5
第 12页
4 ◎ 2 3
5 4 ◎ √ Ø 1 4 ◎ 4 3 7 1 Ø√ √
3 ◎ 2 2
4 3 ◎ 1 Ø 5 ◎ 4 4 6 0 Ø
3 4 3 0 0 1 0 5 2 0 4 4 2 6 0 0
2016/4/5
Ø 0
3
Ø 0 ◎ 0 2
◎
0 2 0 Ø 3
Ø 0
6 2 ◎ 0 4
4
3 ◎ 0 3 Ø 0 6
总时间为28
第 25页
6 2 5 3 2 3 1 7 4 0 0 3 3 4 2 6
-1 -2
第 16页
2 2 4 4 0
2016/4/5
0 5 1 0
4 0 3 1 2 3 0 5 4 0 0 3 2 3 1 5
2 2 4 4 ◎ 0
◎
0 6 2 Ø 0
3 Ø 0 3 ◎ 0 3 3 Ø 0 5 3 ◎ 0 Ø 0 2 1 3 1 4
√ √
√ √ √ √
0 1 3 2 0
3 0 3 0 4 4 0 6 0 6 2 0 3 0 0 2 0 2 0 3
√
2016/4/5
德语
11 9 10 8
俄语
2 8 4 2
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
此分配问题的最优时间：2+4+1+8=15
2016/4/5
第 14页
例3 费 用 人员 甲 工作 A 7 B 5 C 9 D 8 E 11
乙 丙
丁 戊
9 8
7 4
12 5
C 13
D 4
乙
丙 丁
10
9 7
4
14 8
14
16 11
15
13 9
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
此分配问题的最优时间：4+4+9+11=28
例 2 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字。现有甲、乙、丙、丁四人，他们 将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分配任务，使总时间最少？
第 22页
0 1 3 2 0
3 0 3 0 4 4 0 6 0 6 2 0 3 0 0 2 0 2 0 3
Ø 0 1 3 2 ◎ 0
◎
0 6 2 Ø 0
3 Ø 0 3 ◎ 0 Ø 6 4 4 0 3 ◎ 0 0 Ø 2 0 Ø 2 0 ◎ 3
3 6
7 4
6 7
11 6
9 5
9
9 6 11
7 9 8 7 4
2016/4/5
5 9 8 11 5 12 7 11 9 7 5 4 6 94 3 6 9 63 6 7 5 11 4
2 2 4 4 0
0 5 1 0
总时间为28
此问题有多个最优解
2016/4/5
第 23页
◎ 0 1 3 2 Ø 0
Ø 0
3
Ø 0 ◎ 0 2
Ø 0
6 2 ◎ 0 42 0 Ø 3Fra bibliotek◎ 0
4
3 ◎ 0 3 Ø 0 6
总时间为28
第 24页
2016/4/5
0 Ø 1 3 2 ◎ 0
第 11页
第三步，作最少的直线覆盖所有0元素：
4 ◎ 2 3
5 4 ◎ √ 1 Ø 4 ◎ 4 3 √ Ø 7 1 √
独立零元素的个数m等于最少直线数l，即l＝m=3<n=4； 第四步，变换矩阵(bij)以增加0元素：没有被直线覆盖的所有元素中的最小元素为1，然后 打√各行都减去1；打√各列都加上1，得如下矩阵，并转第二步进行试指派：
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0
第 13页
3 ◎ 2 2
2016/4/5
4 3 1 Ø ◎ 4 6 ◎
◎
5 4 Ø
得到4个独立零元素， 所以 最优解矩阵为：
任务
人员 甲 乙 丙 丁
英语
6 4 3 5
日语
7 5 1 9