等腰三角形(第一课时)PPT教学课件

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1等腰三角形的性质课件(1)

14.5 等腰三角形的性质（1）
概念巩固
• 等腰三角形的定义是什么？
有两条边相等的三角形是等腰三角形.
• 如图,在△ABC中,AB=AC,我们就说△ABC是等腰三角形
A
顶腰角
相等的两边AB和AC叫做腰，另一边BC叫做底边；
B 底角底边
两腰所夹的角叫做顶角（如∠A），一腰与底边所夹的角叫底角（如∠B、∠C）。
_A_D_⊥__B_C_（__等__腰__三__角_ 形底边上的中线是底边上的高）
等腰三角形的三线合一
等腰三角形的性质二：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“等腰三角形的三线合一”）
A
符号语言3
在△ABC中，
∵AB=AC, AD⊥BC（已知）
B
D
C
∴∠__B_A_D_=_∠__C_AD（等腰三角形底边上的高是顶角平分线）
（条件）已知，在△ABC中，AB=AC，
（结论）说明∠B=∠C的理由.
A
解：取底边BC的中点D，联结AD
∵D是BC的中点（已作）
∴BD=CD（线段中点的意义）.
在△ABD与△ACD中， AB=AC(已知)
B
D
C
BD=CD(已求)
AD=AD(公共边)
∴△ABD≌△ACD（S.S.S）.
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
D
C
∴∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等）
又∵∠ADB+∠ADC=180°（邻补角的意义）
∴2∠ADB=2∠ADC=180°（等量代换）
∴∠ADB=∠ADC=90°（等式性质）
性质探究
思考2：通过这些结论你发现了什么？

等腰三角形的性质(八下优质课件)

等边对等角三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
12
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. B D C
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
典例精析
例1 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
总结归纳
定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角).
A
B
C
推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
证明后的结论,以后可以直接运用.
A 综上可得：如图,在△ABC中,
(1)若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证：
AF⊥BC.
A
A
B
D GE
B C
DF E
C
图①
图②
解析：(1)过A作AG⊥BC于G，根据等腰三角形的性质
得出BG＝CG，DG＝EG即可证明；(2)先证BF＝CF，
再根据等腰三角形的性质证明．
A
A
B
D GE
B C
1.两点确定一条直线；
2.两点之间线段最短； 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线

13. 等腰三角形的性质 PPT课件(华师大版)

分析：由上述操作可以得到启示，即添加
等腰三角形的顶角平分线AD，然
后证明△ABD≌ △ACD.
证明：画∠ABC的平分线AD. 在 △ABD和 △ACD中， ∵ AB＝AC (已知）， ∠ 1 = ∠ 2(角平分线的定义）， AD =AD (公共边）， ∴ △ABD≌ △ACD(S.A.S.). ∴ ∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等）•
2．等腰三角形“三线合一”的性质常常可以用来证明角相等、线段相等和线段垂直．在遇到等腰三角形的问题时，尝试作这条辅助线，常常会有意想不到的效果．
例4 如图 13.3.4，在△ABC中， AB＝AC ，D是BC 边上的中点， ∠B =30°．求：
（1）∠ADC的大小；（2）∠1的大小. 解：（1）∵ AB＝AC ，BD＝DC （已知），
3 (中考·丹东)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30° ，E为BC的延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线交于点D，则∠D的度数为( ) A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
知识点 2 等腰三角形的轴对称性：三线合一
探索
由前面的“做一做”，你还可以发现什么结论？请写出你的发现：
例2 已知：在△ABC中， AB＝AC ， ∠B =80°．求 ∠C和∠A的大小.
解： ∵ AB＝AC （已知）， ∴ ∠C＝∠B ＝ 80°（等边对等角）. 又∵ ∠A + ∠B + ∠C ＝ 180°(三角形的内角和等于 180 °）， ∴ ∠A ＝ 180 °－ ∠B － ∠C (等式的性质）＝ 180°－ 80°－ 80°＝ 20°.
做
一
做
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图13.3.2,把纸片对折，让

等腰三角形的性质PPT课件

提高生活质量
等腰三角形的应用还可提高生活质量。例如，在园艺设计中，可利用等腰三角形原理进行花坛、草坪等的布局和设计，以创造美观、舒适的生活环境。
培养数学思维
学习和应用等腰三角形的性质有助于培养数学思维和解决问题的能力。通过分析和解决与等腰三角形相关的生活实际问题，可增强对数学知识的理解和应用能力。
应用举例
用于证明与等腰三角形相关的线段相等问题。
两角相等定理
定理内容
在等腰三角形中，两个底角的大小相等。
证明方法
通过构造高或使用ASA、 AAS全等条件来证明两底角相等。
应用举例
用于求解等腰三角形中的角度问题。
对称性及其推论
对称性
等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边的垂直平分线。
推论1
与其他三角形关系
与等边三角形的关系
等边三角形是特殊的等腰三角形，三边都相等。
与不属于等腰三角形的其他三角形的关系
不属于等腰三角形的其他三角形没有两腰相等这一特性。
实际应用举例
建筑学
在建筑设计中，等腰三角形常被用于构造具有对称美的图形和结
构中，如尖顶建筑、拱门等。
工程学
在桥梁、道路和隧道等工程设计中，等腰三角形可用于计算和分
在等腰三角形中，底边的垂直平分线同时也是底边的中线和高。
推论2
在等腰三角形中，若一条边上的中线与这边所对的角平分线重合，则这个三角形是等边三角形。
应用举例
用于证明与等腰三角形相关的线段、角度相等或求解相关问
题。
03
等腰三角形面积与周长计算
面积计算公式推导
等腰三角形面积公式
S = 1/2 × b × h，其中b为底边长度，h为高。

等腰三角形的性质和判定PPT教学课件

并
S联
分支点：在并联电路中，用电器之间的
连接点M和N叫做电路的分支点。
干路：电源两极到两个分支点的部分
电路是干路。
支路：两个分支点间的各条电路是支路。
观察与实验：小灯泡的并联
S
（1）在你连接的并联电路中，改变开关位置，如分别接在上图中A、B、C的位置，闭合或断开开关，灯泡的发光情况会怎样？（2）如果取下一个小灯泡后闭合开关，另一个小灯泡还能发光吗？
电吹风的开关接触2 、3时吹冷风；如果接触 3、4 时就吹热风；如果
接触1 、 2电吹风就不吹风了。
怎么想
怎么写
要想证明∠B=∠C，
只要证△ABD≌△ACD，
只需有AB=AC， ∠BAD=∠CAD， AD=AD．
A BD C
等腰三角形的两个底角相等．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C．
证明:作∠BAC的平分线AD.
A
在△ABD 和△ACD 中，
AB=AC(已知)，
∠BAD=∠CAD(辅助线画法)，
2、如图，BO平分∠CBA, CO平分∠ABC, 且 MN//BC,设AB=12,BC=24,AC=18,求△AMN 的周长。
学有所获
操作得到的结论
证明
发现操作过程
证明思路逆过来 (怎么想)
等腰三角形的性质定理和判定定理
证明思路(作辅助线的方法)
证明过程 (怎么写)
第十一章电流和电路
求证： AB=AC ．． E
证明：∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠B，
∠DAC=∠C．
Ａ
D
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴∠EAD=∠DAC．Ｂ

等腰三角形 PPT课件

第十三章轴对称
13.3 等腰三角形
第1课时等腰三角形的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点) 2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用
等腰三角形的性质解决有关问题.(难点)
导入新课
情境引入
定义及相关概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
例3 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE； (2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证： AF⊥BC.
图①
图②
证明：(1)如图①，过A作 AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG， ∴BD＝CE； (2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
形的底角的大小是( A )
A．65°或50°
B．80°或40°
C．65°或80°
D．50°或80°
解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是 50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.
方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC 设 ∠C=x，则 ∠DAC=x， ∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x，在△ABC中，根据三角形内角和定理，得
2x+x+26°+x=180°，解得x=38.5°.
∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°.

人教版《等腰三角形》ppt课件初中数学1

一般地，判断三角形形状的关键在于要先求出三角形的三个内角度数或三条边长,或找到角（边）所满足的重要数量关系,然后再利用等腰（等边）三角形的判定方法,进行三角形形状的判断.
初中数学
知识运用
二、运用等腰三角形的判定和性质进行边角等有关计算
初中数学
例如图，在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,DE垂直平分AB
2、特殊的等腰三角形：等边三角形
本课小结
AE=ED=DB=BC
A
D
C
等腰三角形：△AED,△EDB,△BCD.
初中数学
初中数学
变式: 如图,在△ABC中,∠ABC=120°,点D，E分别在AC和
AB上,且AE=ED=DB=BC,若∠A的度数为x°,则用x的代数
式表示∠C为__3_x_°_,并求∠A=_1_5__°.
初中数学
例已知三角形△ABC的三边长为a,b,c.
(4)当满足(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0时,则三角形的形状为等边三角形 .
分析： ∵(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0; (a-b)²,(b-c)²,(c-a)²均具有非负性, ∴(a-b)²=0,且(b-c)²=0,且(c-a)²=0. ∴a=b 且 b=c 且 c=a. 根据等边三角形定义,得△ABC是等边三角形.
初中数学
初中数学
例如图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC,DE⊥AB,垂足分别
为D,E.若AB=8,则BD=____4_,BE=____2_.
分析：
等边三角形△ABC
AB=AC=BC=8 ∠BAC=∠B=∠C=60°
A
AD⊥BC AD: 三线合一
DE⊥AB ∠BED=∠AED=90°

等腰三角形PPT课件(1)

小结与复习
本节课你学习了等腰三角形的哪些重要性质?
探究
我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来，两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB 与AC之间有什么关系吗？
我测量后发现AB与AC相等
3cm
3cm
事实上，如图，在△ABC中，∠B=∠C 沿过点A的直线把∠BAC对折，得∠BAC的平
结论
由此得到另一条等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
例3 已知：如图，△ABC是等边三角形，点 D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE。求证： △ADE是等边三角形。
证明 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠B=∠C= 60° ∵∠EAD=∠BAC= 60° 又 AD=AE， ∴△ADE是等边三角形
腰和底边的夹角叫做底角。
探究
任意画一个等腰三角形其中AB =AC，如图, 作△ABC 关于顶角平分线AD 所在直线的轴反射，由于∠1 =∠2，AB=AC，因此：
射线AB的像是射线AC，射线AC的像是射线 AB ；线段AB的像是线段AC，线段AC的像是线段 AB ；点B的像是点C，点C的像是点 B ；线段BC的像是线段CB。从而等腰三角形ABC关于直线 AD 对称。
例1 已知：如图,在△ABC中,AB=AC,点D, E 在边BC上, 且AD=AE，求证：BD=CE.
证明：作AF⊥BC,垂足为点F, 则AF是等腰三角形ABC 和等腰三角形ADE 底边上的高, 也是底边上的中线。 ∴ BF = CF， DF=EF， ∴ BF－DF=CF－EF，即BD=CE
（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
作业

初中数学课件等腰三角形的性质(几何)ppt课件

接求出等腰三角形的面积。
利用三角函数
通过已知角度和边长，利用三角函数求出高或底，再代入公式计算面积。
利用向量
在平面直角坐标系中，可以利用向量表示三角形的顶点，通过向量的运算求出三角形的面积。
案例分析：不同类型题目解法
01
02
03
04
已知等腰三角形的底和高，直接代入公式求解。
已知等腰三角形三边长度，利用海伦公式求解。
勾股定理在等腰三角形中的推广
对于非直角的等腰三角形，可以通过作高将其分为两个直角三角形，再利用勾股定理求解相关问题。
相似三角形与等腰三角形关系探讨
相似三角形定义
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
等腰三角形的相似性质
对于两个等腰三角形，如果它们的顶角相等，则这两个三角形相似。此外，如果两个等腰三角形的底边和腰成比例，则这两个三角形也相似。
实际应用：测量、作图等问题
01
测量
在实际生活中，等腰三角形的性质可以应用于测量问题。例如，在无法
直接测量某一边长时，可以通过测量等腰三角形的底角和腰长来间接计
算。
02
作图
在几何作图中，等腰三角形的性质也有广泛应用。例如，可以通过作等
腰三角形的高来平分底边，或者通过作等腰三角形的角平分线来得到对
称的图形。
初中数学课件等腰三角形的性质(几何)ppt课件
目录
• 等腰三角形基本概念与性质 • 等腰三角形判定方法 • 等腰三角形面积计算 • 等腰三角形在生活中的应用 • 等腰三角形相关定理和推论 • 练习题与课堂互动环节
01
等腰三角形基本概念与性质
等腰三角形定义及特点
定义
有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

冀教版八年级上册数学《等腰三角形》PPT(第1课时)

【跟踪训练】
根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
不是
（1）不一定是
（4）
是（2）
是（5）
是（3）
是（6）
例题讲解
例如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,分别交AB，AC
于点D，E .
求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵ △ABC是等边三角形，
A
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
质
底边上的中线、高和顶角每一边上的中线、高和这一边
的平分线互相重合
所对的角的平分线互相重合
对称轴（1条）
对称轴（3条）
情景导入
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
A
B
C
D
（2）指出图中有几个等腰三角形？
△ABC, △ABD, △BCD.
B
C
（3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？
∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD, ∠ABC=∠BDC=2∠A, ∠C=∠BDC=2∠A. （4）设∠A=x°,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来.
7.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE=∠BAD. 证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC， ∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°， ∴∠CBE=∠CAD. 又∵∠CAD=∠BAD， ∴∠CBE=∠BAD.
课堂小结
等腰三角形的性质
A
⌒
x
2x B

等腰三角形的判定课件(共21张PPT)

复习回顾
等腰三角形的性质定理
1、从边看：等腰三角形的两腰相等。（定义）
2、从角看：等腰三角形的两底角相等。（性质定理1）
3、从重要线段看：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高三线合一。（性质定理2）
如何判定一个三角形是等腰三角形？
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
还有其他方法吗？
A
B
D C
例2：已知：AD交BC于点O，AB∥CD，OA=OB
求证：OC=OD
问题：
1、若已知AB∥ CD，OC=OD，能
A
否证明OA=OB？
2、若已知OA=OB，OC=OD，能否
证明AB ∥ CD？
C
B O
D
规律：
AB ∥ CD，OA=OB，OC=OD中已知任两个可推出第三个。
例3、如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,
已知：△ABC中，∠B=∠CBAC的平分线AD
A
在△ BAD和△ CAD中， 1 2
∠B=∠C，
∠1=∠2，
B
AD=AD
C
D
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
∠ABC= ∠A’B’C’=90°，
AB=A’B’,AC=A’C’，
区别:条件和结论互换。
3、已知：ED ∥ OB，EO=ED
求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ 求证：OD平分 AOB。
例1 :已知：如图，∠CAE是△ABC的外角∠1=∠2，

17.1 等腰三角形 - 第1课时课件(共23张PPT)

等边三角形的性质定理
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于６０°．
例题解析
例１已知：如图，在△ABC中，AB=BC，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线．求证：BD＝CE．
证明：∵BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABD＝½∠ABC，∠ACE＝½∠ACB．∵∠ABC＝∠ACB（等边对等角）∴∠ABD＝∠ACE（等量代换）．∵AB＝AC（已知），∠A＝∠A（公共角），∴△ABD≌△ACE（ ASA ）.∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝５０°，则∠C的度数为（）．A．８０° B．６０°C．５０° D．４０°
C
3.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（）A.25° B.60° C.85° D.95°
（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC =BC，CD =CE，∠ACB =∠DCE=60°，又∵∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DBC，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC =BC，∠ACD=∠BCE，CD =CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD=BE.
三边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是等腰三角形的特例.
定义
知识点3 等边三角形的定义及性质定理
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC．求证：∠A=∠B=∠C＝６０°．
证明：∵在△ABC中，AB=BC=AC，∴∠A=∠B=∠C（等边对等角）．∵∠A＋∠B＋∠C＝１８０°，∴∠A=∠B=∠C＝６０°．
（2）解：在等边△ECD中，∠CDE=∠CED=60°，∴∠ADC=120°，∵△ACD≌△BCE，∴∠BEC=∠ADC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°.

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∵ ∠1＋∠B ＋∠ADB=180°
A 12
（三角形的内角和等于180°） B
D
C
∴ ∠1＝180°－∠B －∠ADB
＝180°－30°－90°＝60°
试一试：
如果一个三角形的三条边都相等，那是什么三角形呢？等边三角形的三个角有什么特点呢？
A
等边三角形的各个内
角都相等，并且每一
个内角都等于60°。
求∠C和∠A的度数．
ABAC NhomakorabeaB
C
观察归纳，形成性质
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
简称“三线合一”
B
A C
例题分析
例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，求∠ADC和∠1的度数．
解 ∵AB＝AC，BD＝DC ∴ AD⊥BC，∠1＝∠2，（等腰三角形的三线合一） ∴ ∠ADC＝∠ADB＝90°
B
C
例题分析
例1 已知：在△ABC中，AB＝AC， ∠B ＝80°．求∠C和∠A的度数．
解：∵AB＝AC
A
∴∠C＝∠B＝80° （等边对等角）
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°
（三角形的内角和等于180°）
∴ ∠A＝180°－∠B－∠C
＝180°－80°－80°＝20° B
C
例1。已知：在△ABC中，∠B＝80°．
A
B
C
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
12
10.3.1等腰三角形
A
观察回顾旧知
什么是等腰三角形？
B
C
有两条边相等的三角形，叫等腰三角形，相等的边叫做腰，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
旧知应用，随堂操练
指出图中两个等腰三角形的顶角、腰、底边和底角。
A
C
B
B
C
A
猜想归纳，形成性质 A 等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”）
等边三角形（又称正三角形）
B
C
1.如图，在△AFG中， ∠ AFG＝90°，点C， E在线段AG上，点B，D在线段AF上，且AB ＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，求∠ A的度数。
EG C
A B
DF
2.请你在等边三角形ABC所在的平面内找一点P，使得△PABC，△PBC，△PAC均为等腰三角形，请问满足条件的P有多少中可能？