《系统辨识第三章》PPT课件

y(n) y(n1) y(n2) y(0) u(n1) u(n2) u(0) e(n,)
y(n1) y(n)
y(N)
y(N1)
y(n1) y(1)
y(N2) y(Nn)
u(n) u(N1)
u(n1)
u(N2)
u(N u(1)n)abb12n000ee(n(N ,1,))
表示为:
Y(N) Y Ub a(N,)
bn0
(N)(N, )
h
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Y(N) Y Ub a(N,)
(N)(N,)
其中： Y(N)( 测R 量(向N量n) ，1)1
(测量
R (N n 1)2n
矩阵)， R2n1为参数向量，而
Y R ( N n 1 ) n , U R ( N n 1 ) n , a R n 1 , b R n 1 , ( ,) N R ( N n 1 ) 1
☆ 3-6 适应最小二乘法
h
3
第三章 最小二乘辨识
用来进行系统参数辨识的最小二乘法，是一种经典的数据处理方法，最早的应用可追 溯到18世纪，高斯为了提高天体运动观测的准确性，曾应用了最小二乘法。
本章将介绍一般最小二乘法、加权最小二乘法、递推最小二乘法以及广义最小二乘法 等内容。
由于最小二乘法比较简单实用，而且又可与其他辨识方法相组合，因此最小二乘辨识 是一种基本的、重要的辨识方法。
h
4
§3-1 最小二乘法
一、最小二乘辨识方程
用最小二乘辨识技术辨识系统的数字模型的原理方块图如下：
被辨识系统
测量装置
D/A
u(k )
计算机
（最小二乘辨识 算法)
h数学模型
A/D
y(k )
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被辨识系统
测量装置
D/A
A/D
u(k) 计 算 机
（最小二乘辨识算法)
数学模型
设被辨识系统的脉冲传递函数为
y(k )
为向量方程误差.
h
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二、最小二乘辨识定义 对于最小二乘辨识方程
Y (N ) (N ) (N ,)
寻求一个真实参数向量 的估计值 ，使表示0 方程误差平方和的ˆ性能指标
N
J()T (N , ) (N , ) e2(k, ) k n
取极小，则称 是最小二乘ˆ意义下， 的估值，表示为 。 0
G (z)1 b 1 a 0 1 z 0 z 1 h 1 b 2 a 0 2 z 0 z 2 2 b n a 0n z0 z n nu y 6 ( (z z) )
则当存在观测误差 v (k )及建模误差时，相应的差分方程：
y(k)a10y(k1)a20y(k2) an0y(kn)
2 4 5 8
5.47
1 9
T
1 2
1 4
1 5
1 8
1 9
T258 129800,
(T)1 1166 12980
28
5
ˆLS(T)1TY10..04095883
f(t)1.00580.49h 8t3
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四、病态法方程的H(Householder)变换求解
法方程：
TˆLSTY
若参数众多，法方程常是病态的，不宜采用求逆
系统辨识基础
h
1
系统辨识
☆第一章 模型方法与辨识 ☆第二章 脉冲响应辨识 ☆第三章 最小二乘辨识 ☆第四章 极大似然辨识 ☆第五章 时间序列建模与随机逼近辨识 ☆第六章 模型阶次的辨识 ☆第七章 闭环系统辨识
h
2
第三章 最小二乘辨识
☆ 前言 ☆ 3-1 最小二乘法 ☆ 3-2 加权最小二乘法 ☆ 3-3 递推最小二乘法 ☆ 3-4 辅助变量法 ☆ 3-5 广义最小二乘法
4
589
y(k) 2.01 2.98 3.50 5.02 5.47
试求 及 1 的最小二2乘估计 .
ˆLS
解：可按如下步骤求解
⑴信息量检验
N 5 , n 1 , 3 n 1 2 N 3 n 1
h
16
⑵ 求ˆL取S
ˆ
ˆˆ12
,
2.01 2.98 Y 3.50 , 5.02
1 1 1 1
⑴信息量需求：
为保证 N n 12 n ，数据窗口N的取值应满足：
N3n1
其中n为被辨识系统的阶数。且需要 N个输入信息：u (0 )u ,(1 ) ,,u (N 1 ) (N+1)个输出(测量)信息：y(0 )y ,(1 ) , y(N )
h
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⑵持续激励条件
ˆLS 有解 T0
Y U
TU YT TY
(T 求解)1 。 H变换ˆ是LS一种不用求逆的 解法。
ˆLS
⒈ H变换阵Q的定义
设
Q R 方(N 阵n ， 1 I为)(Nn 1 维) 单位阵，
由充分条件:
2J() 2
2T0
与参数向量 无关。 θ
h
12
⒉ 解ˆL的S 唯一性
因 阵行数大于列数，T为 2n2方n阵。若 存 (T)1
在，则 T必ˆLS正定；反之，若 T 正定，则逆 必 (T)1
存在。因此， 必有解，且满足充分条件
2 J ( ) 2
0
与 无关，所以ˆLS解唯一。
h
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⒊最小二乘法所需信息量与持续激励条件
J () 2 T Y2 T ˆLS 0
TˆLSTY
——最小二乘的法方程
R ( N n 1 ) 2 n T R 2 n 2 n
如果 阵行数>列数,即
,且 满(N 秩 , n1)2n T
即 ran ( k T )2n则 (T存在),故1 解法为: ˆLS
ˆLS( T )1 TY
UU YT TY Y
YTU UTU
由正定矩阵性质：T0，必须保证
UTU 0
——n阶持续激励条件
若输入序列u(k)采用随机序列或M序列，则满足 UTU；0
若输入序列u(k)采用常值序列，则 UTU奇异，不满足持
续激励条件。
h
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例3-1 已知模型方程如下：
f(t)12t
测量值及测量时刻见下表
t(秒) 2
b10u(k1)b20u(k2) bn0u(kn)e(k,)
n
n
aiy(ki)biu(ki)e(k,)
i1
i1
式中，e(k,)称为方程误差，为模型参数向量；若令 0代 表真实参数向量，显然有
e(k,0)v(k) （观测误差）
h
7
令 kn,n1, ,（N数据窗口长度），如下矩阵方程成立：
aa1200
ˆLS
h
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三、最小二乘估计 的求法
⒈ ˆLS 解法
ˆLS
由最小二乘辨识定义，求 的：
ˆLS
必要条件:
J ()
0
ˆLS
充分条件:
2 J ()
0 及
2
ˆ LS
J ()
0
ˆLS
Y
J()T ( Y )T(Y ) Y T Y T T Y Y T T T
h
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பைடு நூலகம்
由 于是得：