悖论

当等腰直角三角形边长为 1 时，则 斜边为 根号2。根号2不能用任何整 数比（分数）来表示。————希 帕索斯悖论
他们自己用归谬法证明了这一点：
设斜边可用整数比来表示 设Rt△ABC,两直角边a = b,则 由毕氏定理有： c2=2a2
c2=2a2
设已将a、c中的公约数约去，于是c为
偶数，a为奇数。 设c=2m，则有：(2m)2=2a2 2㎡=a2 于是a为偶数，与题设中a为奇数矛盾。
日常思想悖论：秃头悖论、谷堆
悖论、飞矢不动
悖论特征
作为悖论，它具有以下的特征：
① 以一个公认为真的命题作为前提； ② 以上述真命题为前提，进行正确的逻 辑推理； ③ 结论是一个与前提互相矛盾的命题， 并且也是一个真命题。
悖论矛盾本性:
1、狭义：A——原命题 ┓A——原负命题 这是一对逻辑矛盾。证明了A、 ┓A，就是证明了逻辑矛盾，说明 不协调、不一致。
悖论paradox
悖论定义
悖论是违反常识有悖直观似非而
是的真命题： 无穷小悖论——微积分中的 无穷小似零而非零
悖论定义
与公认的看法或观点相矛盾的命
题或原则。它们似是而非，但其 中蕴藏着深刻的思想或哲理：芝 诺悖论
悖论定义
（人民大学赵总宽、北京大学陈波） 悖论是指以公认命题为前提，依据形式 逻辑推理规则推出原负命题合取式或 等值式的结论。 A →AΛ┓A A →( A↔ ┓ A)
以其自身为元素——P，第二类中的集 合不以自身为元素——Q ： P={A∣A∈A}（非常集） Q={A∣A￠A}（平常集） 问：Q∈P 还是 Q∈Q？
非常集
概念的集合A
：｛A……｝，包含所 有概念为其元素 一切集合所组成的集合B ： ｛B……｝
平常集
自然数的集合：A｛1、2、3、4…｝ 自然数的集合:

请问桑乔· 潘萨是让他在岛上玩，还是把他绞 死呢？
储蓄悖论
通货膨胀率
2% 3% 4% 5% 6%
储蓄减半所需要的时间 36 24 18 14 12
李约瑟悖论
李约瑟博士的问题是“为什么古代中国人 发明了指南针、火药、造纸术和印刷术， 工业革命却没有发端于中国？而哥伦布、 麦哲伦正是依靠指南针发现了世界，用火 药打开了中国的大门，用造纸术和印刷术 传播了欧洲文明！”
第一次数学危机持续了两千多年,促使了
古典逻辑、欧式几何的产生。19世纪数 学家哈密顿、梅雷、代德金、海涅、波 雷尔、康托尔和维尔斯特拉斯等正式研 究了无理数,提出了一个含有有理数和无 理数的新的数类———实数,才完全消除 了第一次数学危机。
芝诺悖论
（爱利亚）芝诺（前490-436）追
随他的老师巴门尼德（前六世纪 末-五世纪初）继续证明世界是 单一的、没有运动的。
我说的这句话是谎话
结论命题：光既是粒子也是波
悖论命题的种类



1、罗素学生在1925年，依据是否含 有语义词项（好或坏、真或假），分 为语义悖论、语法悖论。 语义悖论：说谎者悖论：这句话是假 的（由语言歧义产生） 语法悖论： 芝诺悖论（由论证产生）
2、按悖论命题或悖论出现的学
科领域不同，分为哲学、科学、 日常思想三大悖论。因为人的思 想不外乎哲学、科学、日常思想。
秃头悖论：即使头发长得又多又
密的人也是秃头,所以不是秃头的 人也是秃头的;反之,秃头的人却 不是秃头。
止于目前,关于秃头悖论的消解,人们
已经提出了哲学认识论方案、逻辑 语义学方案、模糊集合论方案、逻 辑哲学方案等诸多解路。但都不令 人满意。
按照马哲观点，谷堆悖论、秃头悖
论不懂得质变和量变的关系，混淆 了精确概念和模糊概念
阿克琉斯问题则可列成这样的加和
数列: 1+1/n+1/n2+1/n3+……=n/(n-1) (n代表阿克琉斯的速度等于乌龟速度 的n倍)。
阿克琉斯可以在有限时间内能够 赶上乌龟:

T = 1 / ( V1—V2)
麦加拉学派的五个悖论
1、说谎者悖论 2、谷堆悖论 3、秃头悖论 4、幕后的人 5、有角者
A｛A、1、2、3、4…｝ 桌子的集合：B｛长的、短的、大的、 小的…… ｝ 桌子的集合：B｛ B、长的、短的、大 的、小的…… ｝
所有平常集当然也组成一个集合，
“所有不包含自身的集合的集合”， 是平常集还是非常集？
如果它包含在自身中，那就不是
“不包含自身的集合”，因此不 应该包含在自身中。如果它是不 包含在自身中，那么正应该包含 在自身中。
说谎者悖论

这个古老的悖论是由欧几里得的学生欧布里 德在公元前四世纪提出来的，是最难解决的 一个悖论， 是“所有逻辑悖论的老祖父”， 但它却有着最简单的形式：
我说的这句话是谎话
传说比欧布里德还早二、三百年，就已经出 现过类似说谎者悖论的问题。 《圣经》：公元前六世纪，古希腊的克里特 岛上有个名叫艾比曼尼迪斯的人，一觉睡了 57年，醒来后成了克里特岛上的先知。他说 过一句话： 克里特岛人都是说谎者
秃头悖论
如果一个人拔去一根头发,不会就
此成为秃头;再拔去一根也不会 成为秃头,如此反复递减拔到一根 头发也没有也不会成为秃头。
Βιβλιοθήκη Baidu 用现代逻辑语言可将秃头悖论反向
塑述为: 命题1：不长头发者是秃头 命题2：比秃头多长1根头发者仍是 秃头
一个人的头发的根数用自然数n
表示, n=0者为秃头，n=k者为秃 头, n=k+1者亦为秃头。所以,头 发根数n等于任意非负整数的人 都是秃头
A
一种时空观认为时间可以无限分割,
因而运动是连续的; 另一种时空观认为时间和空间是由 不可再分的小段组成,因而运动也将 是一连串的小跳动。
这4个悖论揭示了人们思想上的有关
有限与无限、连续与间断等概念之 间的矛盾
从数学角度看,论证涉及到数列求和
的问题。二分法问题可列成加和数 列: 1/2+1/4+1/8+1/16……=1。按常 理,人们是可以在有限时间内走完全 部路程的。

据说有一个叫做柯斯的斐勒塔（前
340-285）的希腊文法家和诗人，为 了研究说谎者悖论积劳而死。
马佩教授:我说的这句话是谎话
S + P=A A是整体,S和P是部分,S和A是根本不同 的,也不可能相等同,而说谎者悖论却正 是由于把A和S相等同而造成的。
谷堆悖论
如果1粒谷子落地不能形成谷堆，2 粒谷子落地不能形成谷堆，3粒谷子 落地也不能形成谷堆，依此类推， 无论多少粒谷子落地都不能形成谷 堆。
-----B---------C A------ ---B---------C------D
飞矢不动： 1、飞箭在每一瞬间只能占据空间上 的一个点，不能同时又在另一个点上 2、每一个点是静止的 3、许多静止的点的集合也是静止的
: OOOO 运动场： B : OOOO C : OOOO A : OOOO B :O O O O C : OOOO
论题：世界是单一的 假定事物的多样性是存在的（反证法）：
1、如果有许多的事物（事物具有多或
多样性）,那么这些事物必然同时既是小 的又是大的；小会小到没有，大会大到 无穷。
2、如果事物是多样性的，那
就必须与实际存在的事物正好 相等，即不多也不少。可是如 果有像这样多的事物，事物在 数目上就是有限的了。
悖论定义
由一个被承认是真的命题为前提，
设为B，进行正确的逻辑推理后，得 出一个与前提互为矛盾命题的结论 非B；反之，以非B为前提，则可推 得B。那么命题B就是一个悖论。当 然非B也是一个悖论。
悖论定义 指自相矛盾的荒谬结论。它包括 一切与人的直觉、经验或客观事 实相违背的种种问题或论述。
悖论也叫逆论或反论,不可解命题，
哲学悖论： A：有人说社会是在冲突中发展 的——冲突论：改革、革命 ┓A：有人说社会是在协调中发 展的——和谐发展观
A:有人提出要恢复繁体字
┓A
:有人说没必要恢复繁体字
愛
爱
科学悖论： 生物学悖论：人类进化是在遗传 中变异 光是粒子还是波？ 实际上光既是粒子又是波，以粒 子的形式组成以波的形式发出
2、广义：永假式
P Λ┓P
理论思维中的四种矛盾命题：


①逻辑矛盾：永假A∧┓A， A↔┓A ②辩证矛盾：一个整体中存在正 反性质

③怪论矛盾命题：可证，合乎逻辑推理规 则，却违背事实。 实质蕴涵怪论：α→（β→α） 合取怪论：光是粒子，也是波 析取怪论：A→A∨B
④悖论命题
毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
任何整体固然都有若干部分组成,
但不论对整体如何划分,部分都不 会直接具有整体的性质,而且各个 部分也不是因为具有某一共同性 质才成为某个整体的部分
3、我的观点：混淆了集合词项
和非集合词项 自然数集合、桌子的集合是平常 集，集合词项 概念的集合、一切集合所组成的 集合是非常集，非集合词项

的逻辑矛盾不同之处在于后者的思 维混乱比较明显,因而容易被人们发 现,而前者的思维混乱则是比较隐蔽 的,有时要经过很长的时间,经过人类 知识体系的某种更新之后才能发现。
3、如果有多，存在物在数目
上就是无穷的。因为在各个个 别事物之间永远有一些别的事 物，而这些事物之间又有别的 事物。这样一来，存在物就是 无穷的了。
论题：事物是没有运动的 1、二分法 2、阿基里斯追乌龟 3、飞矢不动 4、运动场
阿基里斯追乌龟： A----------B A----

李约瑟（英国人， 1900-1995）
我的观点：要区分真正的逻辑悖
论和貌似的逻辑悖论。真正的逻 辑悖论是一种特殊的逻辑矛盾。
其一,一般的逻辑矛盾表现在同一
时间、同一关系下肯定两个相互 矛盾的命题,公式为 P∧ ┓P,而 悖论则表现为一个命题与其自身 的否定等值,公式为 P ↔ ┓P
其二,悖论这种特殊逻辑矛盾与普通
悖论定义

沈跃春：悖论就是指在某种理论系
统或认知结构中，由某些公认正 确或可接受的前提出发，合乎逻 辑地推导出以违反逻辑规律的逻 辑矛盾或违背常理的逻辑循环作 为结论的思维过程。
我的观点：要区分悖论和 悖论命题
悖 论：一种思维过程 悖论命题：是指悖论的前提 命题或悖论的结论命题。
前提命题：说谎者悖论:
集合悖论错误根源
1、原来康托尔提出集合论时对“集
合”的概念没有做必要的限制,以至 于可以构造“一切集合的集合”这 种过大的集合产生了悖论,动摇了数 学的基础,导致了第三次数学危机。
2、我的观点：集合与其元素的关系
是整体与部分的关系,根据唯物辩证 法原理,整体不可能是自己同时又是 自己的一部分,因而把一个集合同时 看做是自己本身的一个元素,这正是 把整体与部分相混淆,罗素悖论就是 这种思维混乱的产物。
德国数学家策梅罗认为,适当的公理体系可以 限制集合的概念,从逻辑上保证集合的纯粹性, 他首次提出了集合论公理系统,经费兰克尔、 冯· 诺伊曼等人的补充形成了一个完整的集合 论公理体系(ZFC系统),矛盾得到回避。第三 次危机表面上解决了,实质上更深刻地以其它 形式延续, 促进了数学基础研究及现代数理逻 辑的产生
早在公元前500年,在古希腊学术界
占统治地位的毕达哥拉斯学派把对 宇宙的理解数字化,认为“万物皆 数”,而数只有两种,就是正整数和可 公约的数(两个整数的比、分数),不 再有别的数。
毕达哥拉斯发现并证明了毕达哥拉
斯定理(勾股定理)，并设百牛宴进行 庆祝。但希帕索斯（Hippasus）发 现:“当直角三角形的两条边相等时, 斜边是存在的,但斜边的长度是不可 公约的数”。
微积分与第二次数学危机
牛顿与莱布尼兹同时发明了微积
分，引起了第二次数学危机。
罗素悖论与第三次数学危机
在前两次数学危机解决后不到30
年即19世纪70年代,德国数学家 康托尔创立了集合论。一串串数 学悖论却冒了出来,其中影响最大 的是英国数学家罗素1902年提出 的“罗素悖论”
罗素悖论
把所有集合分为2类，第一类中的集合
罗素悖论例子

唐· 吉诃德的仆人桑乔· 潘萨跑到一个小岛上， 成了这个岛的国王。他颁布了一条奇怪的法 律：每一个到达这个岛的人都必须回答一个 问题：“你到这里来做什么？”如果回答对 了，就允许他在岛上游玩，而如果答错了， 就要把他绞死。
一天，有一个胆大包天的人来
了，他照例被问了这个问题， 而这个人的回答是：“我到这 里来是要被绞死的。”