微积分9.5 差分及差分方程的基本概念
差分方程的基本概念
差分方程的应用领域
01
02
03
金融领域
差分方程在金融领域中用 于描述股票价格、债券收 益率等金融变量的动态变 化。
物理学领域
在物理学中，差分方程用 于描述离散系统的动态行 为，如离散的弹簧振荡器、 离散的波动等。
生物学领域
在生态学和流行病学中， 差分方程用于描述种群数 量随时间的变化规律。
差分方程与微分方程的关系
定义
差分方程的稳定性是指当时间步 长趋于无穷大时，差分方程的解 是否收敛到原方程的解。
分类
根据稳定性性质的不同，差分方 程可以分为稳定、不稳定和临界 稳定三种类型。
稳定性判据
判据一
如果对于任意小的正数ε，存在一个正 数δ，使得当|Δt|<δ时，差分方程的 解满足|x(n+1)−x(n)|<ε，则称差分方 程是稳定的。
有限元法的基本思想是将连续的求解区域离 散化为有限个相互连接的子域（即有限元）， 并在每个子域上选择合适的基函数进行近似。 通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离 散的差分方程，从而进行数值求解。
有限体积法
总结词
有限体积法是一种将偏微分方程离散化为差 分方程的数值方法，通过在每个控制体积上 对微分进行离散近似，将微分方程转化为差 分方程。
数值解法
数值解法是一种通过数值计算方法来求解差分方程的方法。常用的数值解法包括 欧拉பைடு நூலகம்、龙格-库塔法等。
数值解法的优点是适用于各种类型的差分方程，特别是一些难以直接求解的差分 方程。数值解法的精度可以通过增加计算步数来提高。然而，数值解法的计算量 大，需要较高的计算能力。
03 差分方程的稳定性
定义与分类
详细描述
有限差分法的基本思想是将连续的空间离散化为有限个离散点，并利用泰勒级数展开式或其它近似方 法，将微分运算转化为差分运算。通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离散的差分方程，从而进 行数值求解。
微分方程差分方程
微分方程差分方程摘要：一、引言二、微分方程的定义与基本概念1.微分方程的定义2.常见微分方程类型三、差分方程的定义与基本概念1.差分方程的定义2.常见差分方程类型四、微分方程与差分方程的关系1.微分方程与差分方程的相似性2.微分方程与差分方程的转换五、微分方程与差分方程的应用领域1.物理、工程领域的应用2.生物、经济领域的应用六、结论正文：一、引言微分方程和差分方程是数学领域中两个重要的概念，它们广泛应用于各个学科领域。
本文将首先介绍微分方程和差分方程的定义及基本概念，然后探讨它们之间的关系以及应用领域。
二、微分方程的定义与基本概念1.微分方程的定义微分方程是一种数学方程，其中包含未知函数及其导数。
它可以表示为：f(x, y") = 0，其中x 是自变量，y 是未知函数，y"表示y 关于x 的导数。
2.常见微分方程类型常见的微分方程类型包括：一阶微分方程、二阶微分方程、线性微分方程、非线性微分方程等。
三、差分方程的定义与基本概念1.差分方程的定义差分方程是一种数学方程，其中包含未知函数及其差分。
它可以表示为：f(x, y[n]) = 0，其中x 是自变量，y 是未知函数，y[n] 表示y 关于x 的n 阶差分。
2.常见差分方程类型常见的差分方程类型包括：一阶差分方程、二阶差分方程、线性差分方程、非线性差分方程等。
四、微分方程与差分方程的关系1.微分方程与差分方程的相似性微分方程和差分方程在形式上具有相似性，它们都包含未知函数及其导数（差分）。
这使得它们之间可以相互转换。
2.微分方程与差分方程的转换通过合适的差分方法，可以将微分方程转换为差分方程；反之，通过合适的积分方法，可以将差分方程转换为微分方程。
五、微分方程与差分方程的应用领域1.物理、工程领域的应用微分方程和差分方程在物理、工程领域具有广泛应用，如电路理论、力学、热力学、波动理论等。
2.生物、经济领域的应用微分方程和差分方程在生物、经济领域也具有重要应用，如生物种群模型、经济波动模型等。
差分与差分方程的概念
5、 证 明 下 列 各 等 式 ：
(1)Δ(U xVx ) U x1Δ Vx VxΔ U x
(2)Δ(U x ) VxΔ U x U xΔ Vx
Vx
VxV x1
6、(1)已 知yt e t是 方 程yt1 α yt1 e1t的 一 个 特 解 ， 求α .
(2)设yt 2t 5是 差 分 方 程yt1 α yt β yt1 20的 一 个 特
求证Vx y x Ux Zx是差分方程
yx1 ayx f1( x) f2 ( x) f3 ( x)的解.
证明 由题设知：yx1 ayx f1( x) U x1 aU x f2 ( x) Z x1 aZ x f3 ( x)
Vx1 aVx yx1 ayx U x1 aU x Z x1 aZ x f1(x) f2(x) f3(x)
的特解,
那么
y* 1
y* 2
就是原方程的特解.
例10 验证：y C 2x 是差分方程yx1 yx 2的通解.
证明 把函数y C 2x代入差分方程yx1 yx 2，
则左边 C 2x 1 C 2x 2 右边，
所以y C 2x是差分方程y x1 y x 2的解，
它又含有一个任意常数，而所给差分方程又 是一阶的，
2(n 1) 1 2n 1) 2
3yn 3 (n2 ) 2 2 0 例2 求(n3 ), 2 (n3 )
例 3 求下列函数的差分
(1)y loga x;
(2)y sinax
解 (1)yx yx1 yx
loga ( x 1) loga x
1
loga (1
); x
(2)Δ y x sina( x 1) sinax 2cos a( x 1 ) sin a . 22
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
第l六节差分与差分方程的概念
机动
目录
上页
下页
返回
结束
当变量被认为是离散或间断地变化而不是连续或瞬时 地变化时，差分方程就适合表示这些变化之间的关 系，而微分方程就不适合。
在企业管理和经济分析中，差分方程常常是有用的。
下面介绍差分与差分方程的一些概念并介绍简单的差
分方程的解法。这对我们研究和解决一些实际问题是 颇有益处的。
yx 4( x2 ) (2) 4(2x 1) 0 8x 4
2 yx yx2 2 yx1 yx
2 4( x 2)2 2 2 4 x 1 2 4 x 2 2 8
或者
2 yx yx 8x 4 8
2 yx 1 ；当 n 2, yx x 则 yx 2x 1.
一般地，若 y xn ，则
k n k yx ( x 1) n x n Cn x k 1 n
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例3 解
已知 y 4x 2 , 求 yx 和 yx .
2 2 3
(yx ) yx 1 yx ( yx 2 yx 1 ) ( yx 1 yx ) yx 2 2 yx 1 yx
称为函数 y y ( x)的二阶差分，记作 2 yx ，即
2 yx yx2 2 yx1 yx
实际上二阶差分是一阶差分的差分。
yx5 4 yx3 3 yx2 2 0
就是 ( x 5) ( x 2) 3 阶的，而不是5阶。事实上，作
x x 2 变换，便可得未知函数 yx 的差分方程
yx3 4 yx1 3 yx 2 0
第九章--微分方程与差分方程简介
于是非齐次方程的一个特解为：y* =kxa x-1 x
例5 求解差分方程 2y x+1 − 4y x = 2
解：原方程可化为 y x+1 − 2y x = 2 x % 则相应齐方程的通解为 y x =C ⋅ 2 x 由于p=2=a, 所以原方程的特解应设为 y* = Ax 2 x x 代入原方程得： A(x+1)2 x +1 − 2 Ax 2 x = 2 x , 1 ⇒A= 2 1 x * y x = x 2 =x 2 x -1 于是 2 所以原方程的通解为： y x =x 2 x -1 +C ⋅ 2 x
(2)∆(cyx ) = c∆y x (c为常数)
(3)∆ (ay x + bz x ) = a∆y x + b∆z x , b为常数) (a
(4)∆ ( yx z x ) = yx +1∆z x + z x ∆yx = y∆z x + z x +1∆yx
yx z x ⋅ ∆y x − y x ⋅ ∆z x (5) ∆( ) = zx z x ⋅ z x +1
23
1、二阶齐次差分方程的通解 由9.6节可知，要求齐次差分方程的通解，只需找出 两个线性无关的特解即可。仿照一阶齐次差分方程， 设二阶齐次差分方程存在指数形式的解： y x = λ x , （λ ≠ 0） 代入原方程得：
λ x+2 + pλ x+1 + qλ x = 0
即：
λ x + pλ + q = 0
11
9.6、常系数线性差分方程 、
9.6.1 n阶 系 线 差 方 的 本 质 常 数 性 分 程 基 性 n阶 系 线 差 方 的 般 式 ： 常 数 性 分 程 一 形 为 yx+n +p1yx+n-1+L+pn-1yx+1+pny1 = f (x) 其 ， 1，， n为 知 数 且 n ≠ 0， (x)为 知 数 中 pL p 已 常 ， p f 已 函 。 当 (x)=0时 上 方 则 n阶 系 齐 线 差 方 。 ， 述 程 为 常 数 次 性 分 程 f 当 (x) ≠ 0时 上 方 则 n阶 系 非 次 性 分 程 ， 述 程 为 常 数 齐 线 差 方 。 f
高考数学中的差分方程及相关概念
高考数学中的差分方程及相关概念在高中数学中，我们学习了许多数学知识，其中差分方程是一个比较重要的概念，在高考中也经常出现。
那么差分方程是什么？有什么用处呢？一、什么是差分方程差分方程，也叫离散微积分方程，是指用有限差分代替导数的微分方程，其本质是一种递推式。
差分方程的一般形式为y[n+1] = f(y[n], y[n-1], ... , y[n-k])，其中y[n]是第n个离散点的函数值，y[n-k]是第n-k个离散点的函数值。
差分方程是一种离散的动态系统，可以用来描述各种离散事件的演化。
它广泛应用于数学、物理、工程、经济等领域中各种动态系统的建模与分析。
二、差分方程的分类根据差分方程的阶数及系数对n的依赖关系，差分方程可以分为以下几类：1.一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为y[n+1] = ay[n] + b，其中a和b 是常数。
这种差分方程的解可以用递推公式y[n] = ay[n-1] + b求得。
2.二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为y[n+2] + ay[n+1] + by[n] = f[n]，其中a、b是常数，f[n]是已知函数。
这种差分方程的解可以用特征根法或借助于已知解求得通解。
3.非线性差分方程非线性差分方程的一般形式为y[n+1] = f(y[n])，其中f(y[n])是非线性函数。
这种差分方程的解一般需要运用迭代法或数值解法求解。
三、差分方程的应用差分方程是一种用来描述具有离散状态的系统演化的工具，它在许多领域中都有着广泛的应用，例如：1.物理学差分方程在物理学中应用广泛，例如：在天体物理学中，用差分方程描述行星运动的轨迹、研究宇宙星系的演化等；在量子力学中，用差分方程描述粒子的运动状态等。
2.经济学差分方程在经济学中也有着广泛的应用，例如：在货币政策分析中，用差分方程描述货币供应量、利率与物价水平等的变化；在经济增长模型中，用差分方程描述经济增长的变化趋势等。
第六节 差分方程的基本概念
一.差分的概念
函数yn f (n)在n时刻的一阶差分定义为 yn yn1 -yn f (n 1) f (n)
例1 : 设y n C, 求y n
例2 : 设y n n 2 , 求y n
函数yn f (n)在n时刻的二阶差分定义为一阶差 分的差分,记为 2yn 2yn yn1 -yn y n 2 2y n1 y n
定理2 : 如果y * (n)是非齐次方程(2)的一个特解, Y(n) 是相应齐次方程(1)的通解, 则非齐次方程(2)的通解 为 y(n) Y(n) y * (n)
若y1 (n),y 2 (n)是(2)的解,y1 (n) y 2 (n)是(1)的解
定理 3 : 如果y *1 (n),y * 2 (n)分别是 y n 2 a1y n 1 a 2 y n f1 (n), y n 2 a1y n 1 a 2 y n f 2 (n) y *1 (n) y * 2 (n) 的两个特解, 则 y n 2 a1y n 1 a 2 y n f1 (n) f 2 (n)的特解为
三.差分方程的解 四.常系数线性差分方程解的结构(以二阶为例)
标准形式 y n 2 a1y n1 a2y n 0
(1)
y n 2 a1y n1 a2y n f (n) (2)
定理 1：如果 y 1 (n) 与 y 2 (n) 是方程(1)的两个线性无关的 特解, 那么 y C1y 1 (n) C2 y 2 (n) 就是方程(1)的通解.
定义2 : 含有未知函数两个或两个以上函数值y n ,y n1 , 的方程称为差分方程,未知函数的最大下标与最小 下标的差称为差分方程的阶.
差分方程的定义
差分方程的定义差分方程的定义差分方程是一种数学方程，用于描述离散化的动态系统。
它可以被视为微分方程的离散版本，通常用于模拟和预测离散时间下的自然现象和工程问题。
一、差分方程的基本概念1.1 差分方程的定义差分方程是一种数学方程，描述一个序列在相邻时间点之间如何变化。
它通常采用递推公式表示，其中当前时刻的值是前一时刻值和其他参数的函数。
1.2 差分方程的分类根据差分方程中所涉及到变量的类型，可以将其分类为一阶差分方程、二阶差分方程等。
此外，还可以根据其递推公式中所包含的项数进行分类。
1.3 差分运算符在差分方程中，通常使用差分运算符来表示序列在相邻时间点之间发生了什么变化。
最常见的两个运算符是前向差分运算符和后向差分运算符。
二、解差分方程2.1 差分方程求解方法求解差分方程需要使用递推法或转换法等方法。
其中递推法是最基本也是最常见的方法，它通过逐个计算序列中每个时间点的值来得到整个序列的解。
2.2 初始条件和边界条件在求解差分方程时，需要给出初始条件和边界条件。
初始条件是指序列在起始时刻的值，而边界条件则是指序列在某些时间点上的限制。
三、应用领域3.1 差分方程在物理学中的应用差分方程广泛应用于物理学中，例如描述运动物体的速度、加速度等问题。
此外，在热力学和电磁学等领域也有广泛的应用。
3.2 差分方程在经济学中的应用差分方程在经济学中也有广泛的应用，例如描述市场需求和供给之间的关系、货币政策对通货膨胀率的影响等问题。
3.3 差分方程在工程学中的应用差分方程在工程学中也有广泛的应用，例如描述机器人运动轨迹、控制系统稳定性等问题。
四、总结差分方程是一种重要的数学工具，在模拟和预测离散时间下自然现象和工程问题时具有重要作用。
其基本概念包括差分方程定义、分类以及差分运算符等。
求解差分方程需要使用递推法或转换法等方法，并给出初始条件和边界条件。
差分方程在物理学、经济学和工程学等领域都有广泛的应用。
差分方程基本概念和方法
差分方程基本概念和方法差分方程是一种描述离散系统行为的数学模型，与微分方程类似。
差分方程的解描述了系统的演化过程，这使得差分方程在多个领域中有广泛的应用，如物理、生物、经济学等。
差分方程的基本概念：1.序列：差分方程的解是一个序列，即有序数字集合。
通常用{x_n}表示，其中n是自然数。
2.差分算子：在差分方程中，通常使用差分算子△来表示序列的递推关系。
差分算子△的作用是将序列中的元素转化为下一个元素。
3.初始条件：差分方程还需要初始条件。
初始条件是差分方程的一个边界条件，用来确定序列的起点。
差分方程的一般形式为：x_{n+1}=f(x_n)其中，x_{n+1}是序列中的下一个元素，f是一个给定的函数。
差分方程的解法可以分为两种方法：定解条件法和递推法。
1.定解条件法：此方法适用于已知一些递推关系的问题。
定解条件法的基本思想是找到满足差分方程的序列，并给出初始条件来解决方程。
步骤如下：a.先猜测一个可能的递推关系，并将其代入差分方程中。
b.解得的递推关系与给定的初始条件进行比较，如果相符，则该递推关系为差分方程的解。
c.如果猜测的递推关系与初始条件不符，可以再次猜测一个新的递推关系，继续以上步骤，直到找到满足条件的递推关系。
2.递推法：此方法适用于无法直接找到递推关系的情况。
递推法的基本思想是通过已知的序列元素来逐步计算下一个元素，以构造出满足差分方程的序列。
步骤如下：a.给出初始条件，即序列的前几项。
b.根据初始条件计算出序列的下一项，再利用这一项计算出下下一项，以此类推。
c.最终得到满足差分方程的序列。
需要注意的是，差分方程的解不一定存在，且可能存在多个解。
此外，解的形式可能是递推公式、闭式公式或者一个序列。
总之，差分方程是一种离散系统行为的数学模型，差分方程的解描述了系统的演化过程。
通过定解条件法和递推法，我们可以解决差分方程问题并得到满足条件的解。
差分与差分方程的概念
第十章 差分方程§ 差分与差分方程的概念常系数线性差分方程解的结构教学目的与要求：1. 了解差分与差分方程，差分方程的阶与解（通解、特解）等基本概念。
2. 了解常系数线性差分方程的通解的结构。
教学重点（难点）：常系数线性齐次差分方程解的结构。
一、差分的概念 1.差分的定义定义1 设函数)(x y y =, 自变量从x 变化到x +1, 称函数的增量)()1(x y x y y x -+=∆为)(x y 在点x 的差分,简称为)(x y 的差分。
记)(),1(1x y y x y y x x =+=+，即x x x y y y -=∆+1 ， 一阶差分称x y 2∆=x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分；称)(2x y ∆∆为x y 3∆为三阶差分；一般，)(1x n x ny y -∆∆=∆为n 阶差分，且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0.例1 已知(0),log ,sin x a y x x x ax α=≠求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(. 特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )=i n ni i nx C-=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m . 例2 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ). 解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x . 例3 求22232(),(),()x x x ∆∆∆。
例4()(0)()(1)(2)(1),1(()).n n x y x x x x x n x y x ==---+=∆∆设，求即[]()()(1)(1)(1)(11)(1)(2)(1)(1)(1)(1)(2)n n x y x x x x x x n x x x n x n x x n x x x n ∆=+-=+-+-+---+-+=+--+--+(1)n nx -=2.差分的四则运算法则(1)()()x x Cy C y C ∆=∆为常数； (2)()x x x x y z y z ∆+=∆+∆；()()113x x x x x x x x x x y z y z z y y z z y ++∆⋅=∆+∆=∆+∆()11114x x x x x x x x xx x x x x y z y y z z y y z z z z z z ++++⎛⎫∆-∆∆-∆∆== ⎪⎝⎭例533.x y x y =∆设，求分析：3y x = (1)(2)3(1)x x x x x x =--+-+ ()()()3213x x x =++ 注意：()(1)n n x nx -∆=解：3()x x y y ∆=∆∆∆ (3)(2)(1)(3)x x x =∆∆∆+∆+∆ (2)(1)(0)[36]x x x =∆∆++(2)(1)[361]x x =∆∆+∆+∆ (1)(0)66 6.x x =∆+∆=例6 22.x x y e y =∆设，求 二、差分方程的概念 1.差分方程与差分方程的阶2,,.x x y y ∆∆定义2：含有未知函数的差分的函数方程称为差分方程2(,,,,,)0n x x x x F x y y y y ∆∆∆=形式：1,,.x x y y +定义3：含有未知函数两个或两个以上时期的符号的方程，称为差分方程 11(,,,,)0(,,,,)0(1)x x x n x x x n F x y y y G x y y y n ++--==≥形式：或 或0),,,,(1=++n x x x y y y x F 或0),,,,(=∆∆x n x x y y y x G ，2.差分方程的解满足差分方程的函数称为差分方程的解．含有阶数个互相独立的任意常数的解称为差分方程的通解． 不含有任意常数的解称为差分方程的特解．同微分方程一样也有初值问题. 初值条件也有如下情形: 一阶的如: 00y y x x x==.二阶的如: 00y y x x x==,00y y x x x∆=∆=等等.三、常系数线性差分方程解的结构n 阶线性差分方程： )()()()(110x f y x a y x a y x a x n n x n x =+++-++0)(=x f 时为齐次的. 0)(≠x f 为非齐次的.n 阶常系数齐次线性差分方程的标准形式11110x n x n n x n x y a y a y a y ++--+++++=n 阶常系数非齐次线性差分方程的标准形式()1111x n x n n x n x y a y a y a y f x ++--+++++= （10-1）对于线性差分方程的解的结构有如下结论：定理1 如果)(1x y y =和)(2x y y =都是方程（10-1）的解，则对任意常数C 1, C 2, )()(2211x y C x y C +也是方程（10-1）的解．定理2 设0)(0≠x a ，)()2()1(,.....,,n xx x y y y 是 0)()()(110=+++-++x n n x n x y x a y x a y x a的n 个线性无关的特解，则)()2(2)1(1.....n xn x x x y C y C y C y +++=是它的通解. 定义4：线性相关、线性无关(,)x ∈-∞+∞当时，2,x x x e e e -，线性无关221cos ,sin x x ，线性相关定理 3 设0)(0≠x a ，)()2()1(,.....,,n xx x y y y 是齐次方程 0)()()(110=+++-++x n n x n x y x a y x a y x a的n 个线性无关的特解，*x y 是非齐次方程)()()()(110x f y x a y x a y x a x n n x n x =+++-++的一个特解,则*)()2(2)1(1.....x n x n x x x y y C y C y C y ++++=是非齐次方程的通解. 定理4 设)1(x y 是方程 )()()()(1110x f y x a y x a y x a x n n x n x =+++-++ 的解， )2(xy 是方程 )()()()(2110x f y x a y x a y x a x n n x n x =+++-++ 的解,则)2()1(xx x y y y +=是方程)()()()()(21110x f x f y x a y x a y x a x n n x n x +=+++-++ 的解. 练习：22221122112121..2.2.3.33,2,234,3.4.28320,320,28,28.x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x y a y y x x y A y y a B y y y y C y y y D y y A A y y y B y y y C y y D y y ++--++--++=∆=+∆-=+∆=-+-+===⋅+-+=-+=-=--=设，求设，求下列等式是差分方程的有（）、、、、函数是差分方程（）的通解．、、、、四、小结 1.差分的定义2.差分方程与差分方程的阶3.差分方程的解、定解条件和通解4.常系数线性差分方程解的结构115.(1)()(2)()x x x x x x x x x x x x x x U V U U V U V U V V U V V V ++∆-∆∆=∆+∆∆=证明下列各等式：；111111216.(1).(2)2520.7.()2,()23()()()()t t t t t t t t t t t t t t y e y y e y y y y y t y t t y P t y Q t P t Q t αααβαβ--+-+-+=+==+++===-+=已知是方程的一个特解，求设是差分方程的一个特解，求常数，已知是方程的两个特解，求，．答案：21111.(1);2.2;3.;4.;6.(1)1(2)7,107.()1,()(1)2x t a a C C P t Q t e t tααβ-=-=-==--=-，。
微积分 第十章 第一节 差分方程的基本概念
一般地，k 阶差分定义为
k yt (k1 yt ) k1 yt 1 k1 yt
k
(
1)i
C
i k
yt k i
,
k 1, 2,
i0
例1 设 yt t 2 , 求 yt , 2 yt , 3 yt .
yt yt1 yt (t 1)2 t 2 2t 1,
2 yt (yt ) (2t 1) [2(t 1) 1] (2t 1) 2,
5
三、差分方程的解
定义 若一个函数代入差分方程后,方程两边恒等,则 称此函数为该差分方程的解.
若差分方程的解中含有相互独立的任意常数且个 数恰好等于差分方程的阶数, 则称该解为差分方程的 通解.
差分方程满足初始条件的解称为该问题的特解.
6
第一节
1
微分方程刻划了自变量 x 是连续变化的过程中 变量 y 的变化率,在现代科学技术和经济领域中,有 些自变量往往不是连续变化的, 而是取一系列离散 的值,例如按年、月、日等,此时要描述这种自变量 是离散的变化关系就是本章要介绍的差分方程.
显然微分方程和差分方程是两类不同的方程, 但它们有许多共同点,因此与微分方程对照,采用类 比的方法是学习差分方程有效的方法.
3 yt (2 yt ) (2) 0 .
4
二、差分方程
定义 含有未知函数 yt 在 t 的两个或两个以上的函数值 yt , yt1 , 的函数方程称为差分方程；差分方程中所出现的
未知函数下标的最大值与最小值的差称为差分方程的阶.
G(t, yt , yt1 ,, ytn ) 0, F (t, yt , yt , 2 yt ,, n y为定义在整数集上的函数,简记yt , 一阶差分：yt yt1 yt 一阶差分的差分称为 yt 的二阶差分,
差分方程的概念
微积分Calculus差分方程的概念一差分的概念1定义()y f x =的增量1x x xy y y +∆=− 称为函数()y f x =在点x 的一阶差分，x y ∆记为。
当自变量从变到时，函数x 1x + (1)x a a =−()(1)n n nx x x ∆=+-分别求()x a ∆与()n x ∆由定义知：1()x x xa a a +∆=-例解2()0c ∆= （1）（为常数）c ()x x cy c y ∆=∆（为常数）c （2）由定义容易证明，差分具有以下性质：()x x x x ay bz a y b z ∆+=∆+∆（3）（为常数）,a b 11()x x x x x x x x x y z y z z y y z z y ++∆=∆+∆=∆+∆（4）1()(0)x x x x xx x x x y z y y z z z z z +⋅∆−⋅∆∆=≠⋅（5）113[cos(1)cos ]cos (33)x x x x x x ++=+−+−13cos(1)3cos x x x x+=+−求的一阶差分3cos x y x =(3cos )xx y x ∆=∆13(cos )cos 3x xx x +=∆+⋅∆按照差分的定义，我们可以继续求二阶及其它各阶差分。
例解二阶差分：x x x x y y y y ∆−∆=∆∆=∆+12)()(112x x x x y y y y −−−=+++x x x y y y +−=++122xx x x y y y y 21223)(∆−∆=∆∆=∆+三阶差分：32(2)x x x y y y ++=−+xx x x y y y y −+−=+++1233321(2)x x x y y y ++−−+反之x x x y y y ∆+=+1x x x x y y y y 222∆+∆+=+xx x x x y y y y y 32333∆+∆+∆+=+22x =−2()x x y y ∆=∆∆(22)x =∆−2()(2)2x =∆−∆=32()x x y y ∆=∆∆0312+−+=x 已知231y x x =−+，求x y ∆2x y ∆3和2()3()(1)x y x x ∆=∆−∆+∆(2)0=∆=例解二差分方程的概念含有自变量、未知函数及未知函数差分的方程称为差分方程。
差分与差分方程的概念
y x 3 3 y x 2 3 y x 1 y x
y x y x 4 4 y x 3 6 y x 2 4 y x 1 y x
2
x 1 x 1! x x!
x x 1 x!
2
微积分十④
12/28
例5 设y x ( n ) x( x 1)( x 2)( x n 1),
x
(0)
1，求y x (即 ( x )).
( n)
( n) ( n) y ( x 1 ) x 解： x
参照导数的四则运算法则学习
微积分十④
9/28
4、高阶差分 ⑴二阶差分: 差分△yx在 x 处的差分称为 yx 在 x 处 的二阶差分,记为△2yx
2 y x (y x ) ( y x1 y x ) y x 1 y x
( y x 2 y x 1 ) ( y x 1 y x ) y x 2 2 y x 1 y x
微积分十④
18/28
例7
确定下列方程的阶
(1) y x 3 x 2 y x 1 3 y x 2
解 (1) x 3 x 3，
( 2) y x 2 y x 4 y x 2
(1)是三阶差分方程；
(2) x 2 ( x 4) 6，
也是 y x 3 3 y x 2 0 的解
规定：标准差分方程中最小下标为x。 应将差分方程化成标准方程, 然后再求解。 例如： y x 4 y x 1 x
y x 1 4 y x x 1
差分方程讲解
解 特征方程为
2 4 + 16 = 0.
方程的根为
1,2 2 2 3i , r 4, .
3
原方程的通解为
y x C1 cos x C 2 sin 3 3
x x4 .
代入初始条件 y0=0, y1=1得
C1 cos 0 C 2 sin 0 40 0, 1 C1 cos C 2 sin 4 1, 3 3
其中 B 为待定系数.
例11 求差分方程 yx+2 3yx+1 + 2yx = 2x的一个特解.
解 对应的齐次方程的特征方程为 方程的根为
2 3 + 2 = 0. 1 = 1, 2 = 2,
因为 q = 2 =2, 设特解为 y Bx 2 x ,
x
代入原方程, 得 B(x+2)2x+23B(x+1)2x+1+2Bx2x = 2x, 1 B , 2 1 x x 所求特解为 yx x 2 x 2 . 2
设特解的待定式为 m y x B0 B1 x Bm x (a 1)
或
(6)
(7)
y x ( B0 B1 x Bm x m ) x (a 1)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 的一个特解.
为二阶差分, 记为2 yx, 即
2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
同样可定义三阶差分3yx, 四阶差分4yx, 即
3yx = (2yx), 4yx = (3yx) .
差分方程的概念与定义
差分方程的概念与定义差分方程是一种描述离散时间变量之间关系的数学方程，它在许多领域中发挥着重要作用，如物理学、经济学、生物学和工程学等。
差分方程的研究不仅有助于了解系统的动态行为，还可以预测未来的趋势和进行系统的控制和优化。
差分方程的定义可以理解为，给定一个递推序列{x_n}，其中n表示时间的离散变量，差分方程描述了序列中相邻两个时间点的关系。
一般来说，差分方程可以表示为：x_{n+1}=f(n,x_n)其中x_{n+1}表示下一个时间点的值，f(n,x_n)是一个给定的函数，描述了当前时间点和上一个时间点之间的关系。
这个函数可以是线性的、非线性的、离散的或连续的，具体取决于问题的特性和所研究系统的动态行为。
差分方程有两种常见的形式：一阶差分方程和高阶差分方程。
一阶差分方程是指只涉及到一个变量的差分方程，通常可以表示为：x_{n+1}=f(n,x_n)这种形式的差分方程描述了序列中每个时间点的值如何由前一个时间点的值计算而得。
高阶差分方程涉及到多个变量，可以表示为：x_{n+k}=f(n,x_n,x_{n-1},...,x_{n-k+1})这种形式的差分方程描述了序列中每个时间点的值如何由前面k个时间点的值计算而得。
高阶差分方程通常用于描述更复杂的系统，其中多个变量之间存在相互作用和依赖关系。
差分方程的解可以通过迭代和递推来获得。
给定一个初始条件x_0，根据差分方程的定义，我们可以通过递推计算出序列中的其他时间点的值。
这种递推计算可以用来分析系统的长期行为和稳定性，预测未来的发展趋势，并进行系统的控制和优化。
差分方程是离散时间系统的重要数学工具，它可以描述和分析许多实际问题。
例如，在经济学中，差分方程可以用来描述经济变量之间的关系，如消费、投资和就业等。
在物理学中，差分方程可以用来描述粒子在离散时间点上的位置和速度的变化。
在生物学中，差分方程可以用来描述种群数量的变化和生物进化等现象。
总之，差分方程的概念与定义为我们研究和理解离散时间系统的动态行为提供了重要的数学工具。
微积分II课程第20次课 差分方程简介
本章仅研究一元函数的常微(差)分方程. 一般形式为:
F(x,y,y,…...,y(k) )=0 F (x, yx , yx ,, n yx ) 0 (x, yx , yx1,, yxn ) 0
§9.5 差分方程的概念
微分方程研究连续变量问题 差分方程研究离散变量问题
n阶差分n yx (n1 yx ) n1 yx1 n1 yx
yxn Cn1 yxn1 Cn2 yxn2 (1)n yx
n
(1)k Cnk yxnk k 0
其中Cnk
n！ k!(n k
)!
;
规定0
y
x
yx
f
(x)
(1)式称为n阶常系数非齐次线性差分方程；
(2)式称为n阶常系数齐次线性差分方程。
二、n阶常系数线性差分方程的基本性质
定理1 若y1(x), y2 (x),, yk (x)是齐次方程(2)的解, 则yx C1 y1(x) C2 y2 (x) Ck yk (x)也是(2)的解。 其中，C1,C2 ,,Ck为任意常数。 定理2 n阶齐次方程(2)有且仅有n个线性无关的解。
函数值用差分表示
yx f (x) yx1 yx yx yx2 yx1 yx1 yx 2yx 2 yx yx3 yx2 yx2 yx 3yx 32 yx 3 yx
yxn yx Cn1yx Cn22 yx Cnn 1 n1 yx n yx
1,
求2
y
x与3
y
。
x
解 由差分的性质与定义，有
yx (x2 3x 1) (x2 ) 3(x) (1)
高等数学B微分方程与差分方程差分与差分方程概念
y0 , y1 , y2 , , yx , yx1 ,
当自变量从 x 变到 x + 1 时 , 函数的改变量 yx1 yx 称为函数 y 在点 x 的差分(或一阶差分) , 记为 yx 即
yx yx1 yx ( x 0, 1, 2, )
由差分的定义及性质可知 , 差分方程的不同表达形
式之间可以互相转化 .
例如 , 差分方程 yx2 2 yx1 yx 3x , 可转化成
yx 2 yx1 yx2 3x2 ;
若将原方程的左边写成
( yx2 yx1) ( yx1 yx ) 2 yx
yx1 yx 2 yx 2 yx 2 yx 则原方程又可化为
第六节 差分与差分方程的概念 、 常系数线性差分方程解的结构
在科学技术和经济管理的许多实际问题中，经济变 量的数据大多按等间隔时间周期统计。因此，各有关 变量的取值是离散变化的，如何寻求它们之间的关系 和变化规律呢 ?
差分方程是研究这类离散数学模型的有力工具。
一、差分的概念
设变量 y 是时间 t 的函数 , 如果函数 y = y(t) 不仅连 续而且还可导 , 则变量 y 对时间 t 的变化速率用 dy/dt 来刻画 ;
yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx 0 (an 0) (2)
关于 n 阶常系数线性差分方程 (2) 的解有如下一些 结论 :
定理 1 若函数 y1( x) , y2( x) , , yk ( x)
都是常系数齐次线性差分方程 (2) 的解 , 则它们的线性 组合
y( x) C1 y1( x) C2 y2( x) Ck yk ( x) 也是方程 (2) 的解 , 其中 C1 , C2 , , Ck 为常数 .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定义2’ 函数yt的n 1阶差分的差分称为n阶差分，
记为 n yt ,即 n yt n 1 yt 1 n 1 yt .
例7 设yt t 2，求2 yt ，3 yt .
解 从例2已经得到yt 2t 1.于是
yt 2t 1 ［2 t 1 1］ 2t 1 2,
2
3 yt (2 yt ) 2 2 0.
目录
上页
下页
返回
结束
例8 设yt t 2，求2 yt ，3 yt .
解 yt ［ t 1 2 t 1］ t 2 2t 2t 3，
2
yt 2t 3 2,
差分的基本运算性质： （1）Δ(Cyt)=CΔyt(C为常数); （2）Δ(yt±zt)=Δyt±Δzt; （3）Δ(yt· zt)=ztΔyt+yt+1Δzt;
目录 上页 下页 返回 结束
例6 求yt t 2 · 2t的差分.
解 由差分的性质，有
yt (t 2 2t ) 2t t 2 (t 1)2 (2t )
项在方程中出现.
未知函数的最大下标与最小下标的差称为差分 方程的阶.
目录 上页 下页 返回 结束
例10 将差分方程3 yt 2 yt 0表示成不含 差分的形式.
解 因2 yt yt 2 2yt 1 yt， 3 yt yt 3 3yt 2 3yt 1 yt，
2 2
例3 已知阶乘函数t
0
( n)
n
t (t 1)(t 2)(t n 1)，
t 1.求t 解 设yn t ( n ) t (t 1)(t 2)(t n 1)，则
yt t 1
(n)
t
n
t 1 t (t 1) (t 1 n 1) t (t 1) (t n 1) ［ t 1 (t n 1)］t (t 1) (t n 2) nt
符号称为差分符号，也称为差分算子.
yt yt 1 yt或
例 1 设yt C(C为常数)，求 yt .
解 yt yt 1 yt C C 0.
目录
上页
下页
返回
结束
例2 设yt t ，求 yt .
2
解 yt yt 1 yt t 1 t 2t 1.
解 我们已知 yt at (a 1)，
2 yt ［at 1 (a 1)］［ at (a 1)］ at (a 1)2
3 yt ［at 1 (a 1)2］［ at (a 1)2］ at (a 1)3 .
NOTE：若f t 为n次多项式，则n f t 为常数， 则m f t 0 m n
第5节 差分及差分方程的基本概念
一、 差分的概念与性质
二、差分方程的概念
第9章
目录
上页
下页
返回
结束
迄今为止，我们所研究的变量基本上是属 于连续变化的类型，称为连续型变量. 而在经济管理的许多实际问题中，经济变量 的数据大多按等间隔时间周期统计，这些变量为 离散型变量. 描述各离散变量之间关系的数学模型称为离 散型模型. 本节将介绍在经济学和管理科学中最 常见的一种离散型数学模型——差分方程.
目录
上页
下页
返回
结束
二、差分方程的概念
2 n 形如 F ( t ， y ， y ， y ， ， yt ) 0， 定义3 t t t n yt 一定要在方程中出现. 称为差分方程.
形如 G(t，yt，yt 1，yt 2， ，yt n ) 0， 定义3′ ，yt n中至少有两 也称为差分方程. 但yt，yt 1，
目录 上页
( n－1)
.
结束
下页
返回
例4 设yt at (其中a 0且a 1)，求 yt .
解 yt yt 1 yt a a a ( a 1).
t t
t 1
例5 设yt sint，求 yt .
1 1 解 yt sin(t 1) sin t 2cos(t )sin . 2 2
2t (2t 1) (t 1)2 2t (2 1) 2t (t 2 4t 2).
定义2 当自变量从t变到t 1时，一阶差分的差分
称为二阶差分，记为 2 yt
yt (yt ) yt 1 yt
2
( yt 2 yt 1 ) ( yt 1 yt ) yt 2 2 yt 1 yt .
或者记为 y0，y1， ，yt，yt 1， .
目录 上页 下页 返回 结束
当自变量从t变到t 1时，函数的改变量yt 1 yt 称 为函数yt 在点t的差分，也称为函数yt的一阶差分， 记为yt，
y t y t 1 y t .(t 0， 1，， 2
一、差分的概念与性质
在连续变化的时间范围内,
dy 变量y关于时间t的变化率是 用来刻画的; dt
在时间t是离散型变量时,
y 变量y关于时间t的变化率是 用来刻画的. t
定义1 设函数yt=y(t).当自变量t依次取遍非负整数 时，相应的函数值可以排成一个数列
y 0，y 1， ，y t ，y t 1， ，
2
3 yt (2 yt ) 2 2 0.
NOTE：若f t 为n次多项式，则n f t 为常数， 则m f t 0 m n
目录
上页
下页
返回
结束
例9 设yt at (其中a 0且a 1)，求2 yt ，3 yt .