七数培优竞赛讲座第讲 列方程解应用题设元的技巧

第十一讲 列方程解应用题——设元的技巧
应用题联系生活实际，反映实际生活中的数量关系，列方程解应用题是从具体问题中抽象归纳出所需要的数量关系，根据数量间的关系，依照题意合理选择未知数、找出隐含的等量关系，列方程进行求解．
恰当地设元是列方程解应用题的关键步骤之一，设什么为元，需要根据具体问题的条件来确定．
对未知元的选择，有时可将要求的量设为未知元(即问什么设什么)，称此为直接设元；有时需要将要求的量以外的其他量设为未知元(即所设的不是所求的，则更易找出符合题意的数量关系)，称此为间接设元；有些应用题中隐含一些未知的常量，这些量对于求解无直接联系，但如果不指明这些量的存在，则难求其解，因此需把这些未知的常量设为参数，以便建立等量关系，称此为辅助设元．
【例1】 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个长方形色块图的面积为 ． (济南市中考题)
思路点拨 要求长方形的面积需求出务正方形的边长，为便于求出长方形长与宽，故不宜直接设元，由于6个正方形边长有一定的依存关系，所以，可以从间接设某个正方形边长入手．
注： 列方程解应用题又一关键是：找寻能够表示应用题全部意义的相等关系，找寻相等关系的基本方法有：
(1)运用基本公式找寻相等关系； (2)从关键词中找寻基本关系；(3)运用不变量找寻相等关系；(4)对一种“量”，从不同的角度进行表述(即计算两次)，得到相等关系．
【例2】一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行( )．
A ．0.5小时
B ．1小时
C ． 1.,2小时
D ．1.5小时
(2001年武汉市选拔赛试题)
思路点拨 要求从乙港返回甲港所需的时间，需求甲、乙两港的距离及顺水速度，考虑增设辅助未知数．
【例3】某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，
其中团体票占总票数的
3
2，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的53；零售票每张16元，共售出零售票数的—半，如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平?
(北京市东城区中考题)
思路点拨 票款与票数、票价有关，既要用字母表示六月份零售价，又要用字母表示总票数．
【例4】 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率．
(全国初中联赛试题)
思路点拨 因售出价=进货价×(1+利润率)，故还需设出进货价，利用售出价不变，辅助建立方程．
【例5】 有一片牧场，草每天都在匀速地生长(即草每天增长的量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问：
(1) 如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草?
(2) 要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛?
(全国通讯赛试题)
思路点拨 需要考虑草每天的增长量、每头牛每天的吃草量及牧场原有的草量之间的关系，故需增设一些辅助未知数，便于把这些关系表示出来．
注： 应用数学知识和方法解决实际问题是学习数学的重要目的之一．而列方程解应用题对初一同学来说是一个困难所在，学习列方程解应用题应注重两个方面：(1)促使综合型思维向分析型思维的转轨．从各个侧面分析列方程的来龙去脉，突破小学形成的固有的综合思维模式(从已知出发列综合算式求未知数，形成分析思维模式． (2)善于把应用题中的生活语言转换成数学语言．应留心生活，多看报刊杂志电视，注意生活常识的积累．有些应用题，它所涉及到的量比较多，量与量之间的关系也不明显，需增设一些表知敷辅助建立方程，辅助表知数的引入，在已知条件与所求结论之间架起了一座“桥梁”，对这种辅助未知量，并不能或不需求出，可以在解题中相消或相约，这就是我们常说的“设而不求”．
学力训练
1．一个6位数abcde 2的3倍等于9abcde ，则这个6位数等于 ．
2．有人问一位老师：他教的班有多少学生，老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩不足六位学生正在操场踢足球．”则这个“特长班”共有学生 人．
3．一轮船从甲地到乙地顺流行驶需4小时，从乙地到甲地逆流行驶需6小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需 小时． ( “希望杯”邀请赛试题)
4．某种产品是由A 种原料x 千克、B 种原料y 千克混合而成，其中A 种原料每千克50元，B 种原料每千克40元，后来调价，A 种原料价格上涨l0％，B 种原料价格减少15％，经核算产品价格可保持不变，则y x :的值是( )．
A ．32
B ．65
C ．56
D ．34
55 5．从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是( )．
A ．5千克
B ．6千克
C ．7千克
D ．8千克
6．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费，已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么，4月份这位用户应交煤气费( )．
A ．60元
B ．66元
C ．75元
D ．78元 (全国初中数学联赛试题)
7．某企业生产一种产品，每件成本价是400元，销售价为510元，本季度销售了m 件．为进一步扩大市场，该企业决定在降低销售价的同时降低生产成本，经过市场调研，预测下季度这种产品每件销售价降低4％，销售量将提高lo ％，要使销售利润(销售利润＝销售价一成本价)保持不变，该产品每件的成本价应降低多少元?
(陕西省中考题)
8．如图，几块大小不等的正方形纸片A 、B 、……,I ，无重叠地铺满了
一块长方形．已知正方形纸片E 的边长为7，求其余务正方形的边长．
9．某人购买钢笔和圆珠笔各若干支，钢笔的价格是圆珠笔价格的2倍，
付款时，发现所买两种笔的数量颠倒了，因此，比计划支出增加了50%，
则此人原计划购买钢笔与圆珠笔数量的比为 ．
10．电影胶片绕在盘上，空盘的盘心直径为60毫米．现有厚度为0.15
毫米的胶片，它紧绕在盘上共有600圈，那么这盘胶片的总长度约为 米(π≈3.14)． (江苏省竞赛题)
11．为使某项工程提前20天完成任务，需将原定工作效率提高25％，则原计划完成这项工程需要 天．
12．完成某项工程，甲、乙合做要2天，乙、丙合做要4天，丙、甲合做要2.4天，则甲单独完成此项工程需要的天数是( )．
A ．2.8
B ．3
C ．6
D ． 12
13．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 立方米的，按每立方米m 元水费收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m ，则该职工这个月实际用水为( )立方米．
A ．13
B ．14
C ．18
D ．26
(广西省中考题)
14．某种商品若按标价的八折出售，可获利20％，若按原标价出售，可获利( )．
A ．25％
B ．40％
C ．50％
D ．66.7％
15．某水库共有6个相同的泄洪闸，在无上游洪水注入的情况下，打开一个水闸泄洪使水库水位以a 米／时匀速下降．某汛期上游的洪水在未开泄洪闸的情况下使水库水位以b 米／时匀速上升，当水库水位超警戒线^米时开始泄洪．
(1)如果打开n个水闸泄洪x小时，写出表示此时相对于警戒线的水面高度的代数式；
(2)经考察测算，如果只打开一个泄洪闸，则需30个小时水位才能降至警戒线；如果同时打开两个泄洪闸，则需10个小时水位才能降至警戒线．问该水库能否在3个小时内使水位降至警戒线?
(连云港市中考题)
16．一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别用2a次、a次船运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨，若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨．问：
(1)乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍?
(2)现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各
多少元?(按每运1吨运费20元计算)
(天津市中考题)
17．某同学想用5个边长不等的正方形，拼成如图所示的正方形，请问该
同学的想法能实现吗?如果能实现，试求这5个正方形的边长；如果不能，
请说明理由．
( “希望杯”邀请赛试题)
18．山脚下有一池塘，山泉以固定的流量(即单位时间里流人池中的水量
相同)不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完? (江苏省竞赛题)
参考答案。