信号与系统的概念

f(t)
f(t)
1
0
t
(a)
t2
t1
0
t
(b)
图1.1.6 逆因果信号
3.时限信号
当 t t1和 t t2时（ t2 t1，且t1、t2均为有界量），
若信号
，f (则t) 称0信号为时限信号(finite-
duration signal)。
时限信号强调，在一定的时限范围外，信号值恒为零。
f(t)
对连续时间信号 f (t)，若存在一个非零的最小正数 T ，等式
f (t T ) f (t)对任意时间均成立，则称 f (t) 是周期信号。
T 称为信号 f (t)的基本周期，简称周期。
对离散时间信号 f [n]，若存在一个非零的最小正整数 N，等
式 f [n N] f [n] 对任意时间 n 均成立,则称 f [n]是周期信号。
f2 (t) 1
3 f(t) f1(t) f2(t) 2
0
2t
1
0
1
2t
(b) 信号 f2 (t) 波形 (c) 信号f (t) f1(t) f2 (t) 波形
图1.4.1 两信号的相加
1.4.2 两信号相乘
两信号相乘，是指两信号对应时刻的信号值相乘， 得到一个新的信号。
f (t) f1(t) f2 (t) 或 f [n] f1[n] f2[n]
图1.1.2 频移键控（FSK）信号的波形
例三：周期脉冲信号
f(t) A
T
T1 0 T1
T
t
2
2
图1.1.3 周期脉冲信号的波形
1.1.2 因果信号、逆因果信号的概念
在信号处理中，常将信号值不恒为零的持续时间， 称为信号持续时间（signal duration）。
下面简要给出与信号持续时间有关的几个术语， 这些术语在后面的讨论中将得到应用。
若已知信号 f (t)或 f [n] 的波形，则信号 f (t t0 )或 f [n n0 ]称为信 号 f (t)或 f [n]的时移(time shifting)。
f(t) 1
f(t 1) 1
f(t 1) 2
1
1 0 1 2
t
0 123
t
3 2
01 3 22
t
(a) 信号的波形
(b) 时移
N
2
对离散时间信号f [n] ,信号的能量定义为 E lim f [n] 2 N nN
3 信号的平均功率分别定义为 P lim 1 T f (t) 2 dt T 2T T
和 P lim 1
N
f [n] 2
N 2N 1 nN
能量信号(finite-energy signal)：若信号的能量有界，平
N 称为信号 f [n] 的基本周期，简称周期。
离散时间信号的周期是正整数。
1.2.5 能量信号与功率信号
对连续时间信号 f (t) ,离散时间信号f [n],信号的瞬时功 率分别定义为
p(t) f (t) 2 和 p(n) f [n] 2
1 对连续时间信号f (t),信号的能量定义为 E lim T f (t) 2 dt T T
25 24
23 22
f[n] 21
123 4
31
n
图1.2.2 某地7月份日平均温度是离散时间信号
计算机只能处理离散时间信号，因此，将日常的连续时 间信号(如语音信号等)送给计算机处理之前，应先将其 转换为离散时间信号。简单的方法如图1.2.3所示，以
时间T为间隔对连续时间信号 f (t)进行取样，则可得到
信号与系统 Signals and Systems
第一章 信号与系统的概念 The conception of Signals and systems
1.1 信号的概念 1.1.1 信号的定义
信号（signal）是运载信息的工具，在数学上表示为 一个或多个自变量的函数，自变量通常是时间，信号 表示为函数。
一数组{ , f (2T ), f (T), f (0), f (T), f (2T) } ，可表为
f [n] f (nT )，n , 2, 1,0,1, 2, f [n] 便是一离散时间信号。
f(t)
2T T 0 T 2T
图1.2.3 对连续时间 信号进行取样
t
1.2.3 实信号与复信号
实信号(real signal)，是指可用一实数函数来 描述的信号，即信号的取值是实数。
q (t) 1
0
t
2
2
图1.2.6 三角脉冲信号的波形
(1.2.4)
复信号(complex signal)，是指可用一复函数 来描述的信号，即信号的取值可以是复数。
就像在实际的日常生活中复数不存在一样，复信号 本身也是不存在的。但为了在某些信号处理中描述 问题的方便，常人为地将两个实信号组合在一起， 构成复信号。
dt
dt
(1.4.6)
1.4.4 离散时间信号的差分和累加
一阶后向差分(backward difference) f [n] f [n] f [n 1]
复信号的典型例子是正弦信号。
将正弦信号描述为 f (t) a(t) cos[0t (t)]
Re{a(t )e j0t } j (t ) Re{a(t )e e j (t ) } j0t
令复信号为 v(t) a(t)e j(t)
a(t) cos((t)) ja(t)sin((t))
v(t) i(t) jq(t)
f(t)
0
t2
t
图1.1.7 (c)
逆因果信号一定是左边信号。
6.双边信号
若信号不恒为零值的时间范围延伸到正、负无穷 大，则称信号是双边信号（two-sided signal）。
f(t)
0
t
图1.1.7 (d)
1.2 信号的分类
信号的分类，是指用不同的信号特征去考 察信号得到不同的类型，就好似从不同的 角度去观察人类会得到不同的结果一样， 如，从肤色的角度去观察会得到黄种人、 白种人、黑种人的类别；从财富的角度观 察会有穷人和富人之分；从性别观察有男 人和女人；等等。
图1.3.1 信号 f (t)及其时移
(c) 时移
1.3.2 信号的时间反转
若已知信号 f (t)或 f [n]的波形，则信号 f (t) 或 f [n]称为原信号 的时间反转(time reversal)，即求信号关于纵轴的对称波形。
图1.3.2是图1.3.1(a)中信号f (t) 的时间反转变换 f (t) 。
(1.4.2)
f1(t) 1
1
0
1
t
(a) 信号 f1(t)波形
f2 (t) 1
0
2t
(b) 信号 f2 (t) 波形
f(t) f1(t)f2(t)
1 2
0
1
t
(d) 信号 f (t) f1(t) f2 (t) 波形
图1.4.1 两信号的相乘
1.4.3 连续时间信号的导数和积分
信号 f (t) 的导数，就是对函数 f (t)关于时间变
1.因果信号
当t 0时，若信号 f (t) 0，则称为因果信号 （causal signal） 。
f(t)
f(t)
1
0
(a)
t
0
t1
t2
t
(b)
图1.1.5 因果信号
2.逆因果信号
当时 t 0 ，若信号 f (t) 0 ，则称为逆因果信号
或反因果信号（anticausal signal）。
t1 0
t2
t
图1.1.7 (a)
4.右边信号
对有界量t1，当时 t t1，若信号 f (t) 0，则称 为右边信号（right-sided signal）。
f(t)
t1 0
t
图1.1.7 (b)
因果信号一定是右边信号。
5.左边信号
对有界量 t2 ，当时t t2 ，若信号 f (t) 0，则称 为左边信号(left-sided signal) 。
内的任意值。
f(t)
1
1
0
1
t
图1.2.1 方波信号是连续时间信号
离散时间信号(discrete-time signal)， 是指仅在某些离散的时刻有定义，而在其他时间 无定义的信号，且这些离散时刻通常取整数。
离散时间信号也常被称为离散时间序列 （discrete-time sequence）。
例：
前面给出的有关信号的例子都是实信号。下面再 给出三个经常用到的实信号的例子。
矩形信号（门函数）
g
(t
)
1, 0,
g(t) 1
t /2 t /2
(1.2.2)
函数 g 的下标 表示信号 的宽度，表示该信号在
/ 2 t / 2区间内为1， 其余时间信号值为0。
0
t
2
2
图1.2.4 门函数的波形
(1.2.5)
可以看出，复信号是由两个实信号a(t )和 (t )构成的， 当然也可看成是由两个实信号 和i(t) 构q(成t) 的，且
i(t) a(t) cos((t)) q(t) a(t)sin((t))
或
a(t) i2(t) q2(t) tan[(t)] q(t)
i(t)
1.2.4 周期信号与非周期信号
t
(a) 信号 f (t)的波形
0 1/ 2 1
t
(b) 信号 f (2t)的波形
0
1
2
3
4
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t
(c) 信号 f (1 t)的波形 2
图1.3.3 信号 f (t)及其尺度变换
2. 离散时间信号的展宽和压缩
设离散时间信号 f [n] 的波形如图1.3.4(a)所示， 其时间展宽 倍的N情况可表示为
f1[n]
电子系统中的噪声信号是一典型的随机信号。
t
1.2.2 连续时间信号与离散时间信号
连续时间信号（continuous-time signal）， 是指自变量是可以连续取值的信号。连续时间信 号有时也称为模拟信号。
注意:
信号
f
(t )
1 t
，尽管在
t
0时信号无定义，但
该信号仍是连续时间信号，因自变量 t 可取包括t 0在
例一： 正弦信号是电子系统和信号处理技术领域常用到的一 种信号，其形式为 f (t) Acos(0t 0)。根据不同的应用 场合和背景，正弦信号的振幅 A 、角频率 0 、初相 0 均可代表（运载）不同的信息。
例二：频移键控（FSK）信号，常用于二进制数 字通信中 。
f(t)
0
t
0 1 T 0 2 2T 0 1 3T 0 2 4T
1.2.1 确定信号与随机信号
确定信号（deterministic signal）是指可以用一个 确定的数学表达式来描述的信号。
f (t) t 2et是确定信号。
随机信号（random signal）是指不能用一个确切 的数学表达式来描述的信号，信号各时刻的值是一个 随机变量，通常只能用统计方法研究其某些特征，如 概率密度函数、均值、方差、相关函数等。
f(t) 1
2 1 0
1
t
图1.3.2 信号的时间 f (t)反转变换
1.3.3 信号的时间尺度变换
1.连续时间信号的时间尺度变换
连续时间信号的时间尺度变换(time scaling)就是
将信号的时间变量 t 替换为变量 a（t a 0）。
f(t) 2
f(2t) 2
f( 1 t)
2
2
1
1
1
0
1
2
均功率趋于零，E , P 0 ,则称该信号为能量信号。
功率信号(finite-power ,signal)：若信号的平均功率有界
能量趋于无穷大, P , E ，则称该信号为功率信号。
若信号的平均功率和能量均趋于无穷大，则称该信号为非能量、 非功率信号。
1.3 信号的自变量变换 1.3.1 信号的时移
f (t)
将求导和积分两种运算统一表示为
f (t)的m阶导数,
f
(m)
(t)
f
(t),
f
(t)的
m
阶积分,
m0 m0 m0
(1.4.5)
根据函数的微积分理论，按式(1.4.4)对信号 f (t) 先积分，再求导，仍为信号 f (t)。
d [ f (1) (t)] d [ t f ( )d ] f (t)
f
[
n N
],
0，
n为N整倍数 其它
1.4 信号的基本运算 1.4.1 两信号相加
两信号相加，是指两信号对应时刻的信号值（函数 值）相加，得到一个新的信号。
f (t) f1(t) f2 (t) 或 f [n] f1[n] f2[n] (1.4.1)
f1(t) 1
1
0
1
t
(a) 信号f1(t)波形
抽样信号（函数）
Sa(t) sin(t) t
抽样信号是信号处理中的一个重要信
号，在t 0时，函数取得最大值1，
而在t k 时（为非零整数），函数
Sa(t)
值为0，如图1.2.5所示。
1
(1.2.3)
4 3 2
0
2 3 4
t
图1.2.5
三角脉冲信号
2t
q
(t
)
1
,
0,
t /2 t /2
量 t求导，为
f (t) df (t) dt
f (t) df (t) dt
…
f (m) (t) df (m1) (t) dt
(1.4.3)
定义信号 f (t)的积分为
f (1) (t) t f ( )d
再积分
f (2) (t) t f (1) ( )d
(1.4.4)
k次积分
f (k) (t) t f (k1) ( )d