微积分3习题答案

一、填空题

1．设A x f =)('0，则=∆-∆-→∆x

x f x x f x )

()3(lim

000 A 3-

2．函数()x x x f 3=在点0=x 处的导数()=0'f 0

3．根据导数定义，函数()1-=x x x f 在点1=x 处的导数()=1'f 不存在 4．函数()x x f sin =在点0=x 处的导数()=0'f 不存在 5．设函数)()3)(2)(1()(n x x x x x f ++++=Λ（其中n 为正整数），则=)0('f

6．曲线()x

e x y +=1在点0=x 处的切线方程为=y 12+x ∑=n

k k n 1

1

!

↑ 7．设()2x x f =，则()[]=x f f ' 2

2x

8．设)(x f y =，且36)

2()(lim

000=+-→h

h x f x f h ，则==0|x x dy dx 9- 9．x

e x y -+=2，则=)0("y 3

10．设)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=，则=2

2dx

y d 2)cos 1(1

t a -- 11．设10<

x x )121arcsin 21(-+ 12．求曲线⎩⎨⎧=+=3

2

1t

y t x 在2=t 处的切线方程 )5(38-=-x y 13．设12+=x y ，则其反函数)(y x x =的导数=')(y x 2

1

14．设x x y 2

arctan )1ln(+-=，则导数dx dy 在点4=x 处的值为 4arctan 17

241+

15．设需求函数bP a Q -=，则边际收益()=Q R ' ()Q a b

21

-

16．某商品的需求量Q 与价格P 的关系为5

P Q =，则需求量Q 对价格P 的弹性是 5 17．设某商品的需求函数为P Q 21000-=，其中P 为价格，Q 为需求量，则该商品的收

益弹性=EQ ER Q

Q

--100021000 18．某商品的需求函数为P Q 21000-=，其中P 为价格，Q 为需求量，则销售该商品的

边际收益为()=Q R ' Q -500 bP

a bP

a --2

19．某商品的需求量Q 与价格P 之间的关系为bP a Q -=，则该商品的收益弹性=EP

ER

二、单项选择题

1．设)(x f 是可导函数，且12)

()(lim

000=--→h

x f h x f h ，则)('0x f 为 ④ ①1 ②2 ③－1 ④－2 2．设)(x f 在1=x 处可导，且2)1('=f ，则=--+→x

x f x f x )

1()1(lim

0 ③

①1 ②2 ③4 ④3

3．函数()3

x x f =在0=x 处满足下列哪个结论 ④

①极限不存在 ②极限存在，不连续 ③连续，不可导 ④可导 4．函数()x f 在区间()b a ,连续是()x f 在()b a ,可导的 ② ①充分但非必要条件 ②必要但非充分条件 ③充分必要条件 ④既非充分又非必要条件

5．设)(x f 为奇函数，则其导数)(x f '的奇偶性为 ② ①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶 ④奇偶性不定

6．设函数)(x f 可导，记)()()(x f x f x g -+=，则导数()x g '为 ① ①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶 ④奇偶性不定

7．设函数)(x f y =有2

1

)('0=

x f ，则当0→∆x ，该函数在点0x x =处的微分dy 是 ② ①与x ∆等价的无穷小 ②与x ∆同阶的无穷小，但不等价 ③与x ∆低阶的无穷小 ④与x ∆高阶的无穷小

8．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00

01)(1

x x e x

x f x ，在0=x 处 ②

①不连续 ②连续但不可导 ③可导，且0)0('=f ④可导，且1)0('=f 9．设x x x f ln )(=在0x 处可导，且2)(0='x f ，则=)(0x f ②

①0 ②e ③1 ④2

e 10．设x

e 2为)(x

f 的导函数，则='')(x f ②

①x e

2 ②x e 22 ③x e 24 ④0

11．设(0)2f '=，则当0x →时，()(0)f x f -是x 的 ② ①低阶无穷小量 ②同阶无穷小量 ③高阶无穷小量 ④等价无穷小量

三、求下列导数或微分

1．设x x x y ++=，求dx

dy

（

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+++⋅++x

x x x x x 2112121） 2．设x x y 1sin

=

，求dx dy （x x x x

1cos 211sin 21-） 3．()x x e y x

cos sin +=，求

0'=x y （=2）

4．()x x x y ln cos ln sin +=，求dy （xdx ln cos 2） 5．21arccos x y -=，求dy (2

1x

x xdx -)

6．设x

x

x

x y 3sin 3

3++=，求y ' （⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+++='x x x x x

x y x

x

3sin ln 3cos 333ln 33sin 2

）

7．设2

1ln 1arctan x x x y ++⋅=，求'y （x

1arctan ）

8．设111

1-++--+=x x x x y （1>x ），求dy （dx x x x x ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--+--+121121)11(）

9．设)100()2)(1()(---=x x x x x f Λ，求)0(f ' （=100！）