任意角的三角函数(1)

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任意角的三角函数及基本关系与诱导公式

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第三章
任意角的三角函数
及基本关系与诱导公式
1．角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，可分为象限角与轴线角． (3)若 β 与 α 是终边相同的角，则 β 用 α 表示为 β＝2kπ＋α(k∈Z) ．
2 2
[ 答案]
2 5 － 5
【典例 4】
π 0<θ< ，则 4
4 (2014· 镇海中学模拟)已知 sin θ＋cos θ＝ 3 )
sin θ－cos θ 的值为(
2 A. 3 1 C.3
2 B．－ 3 1 D．－3
[ 解析]
4 ∵sin θ＋cos θ＝， 3
2
16 ∴(sin θ＋cos θ) ＝1＋sin 2θ＝， 9 7 ∴sin 2θ＝ . 9 π 又 0<θ< ，∴sin θ<cos θ， 4 ∴sin θ－cos θ＝－ sin θ－cos θ2 2 ＝－ 1－sin 2θ＝－ . 3 [ 答案] B
为
4 αα＝2kπ＋ π， 3
，故所求角的集合为
4 α＝2kπ＋3π，
π α α＝2kπ＋， 3 π αα＝kπ＋， 3
k∈Z
∪ α
k ∈ Z ＝
k∈Z.
3 (2)∵2kπ＋π＜α＜2kπ＋ π(k∈Z)， 2 π α 3 ∴kπ＋＜＜kπ＋ π(k∈Z)． 2 2 4 π α 3 α 当 k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋＜＜2nπ＋ π，是第二象限 2 2 4 2 角， 3π α 7 α 当 k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋＜＜2nπ＋ π，是第四 2 2 4 2 象限角， α 综上知，当 α 是第三象限角时，是第二或第四象限角． 2

1.2.1任意角的三角函数(1)

所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以其终边上的点的坐标比值为函数值的函数，我们将它们称为三角函数.
O
Y
P(a,b)
r
M X
例1 已知角的终边经过点 P0 (3,4)，求角弦和正切值 .(课本12页例2) 解:由已知可得
r (3) 2 (4) 2 5

的正弦、余
1 3 ( , ) 2 2
解：在直角坐标系中，作AOB
5 3 所以 sin 3 2
5 1 cos 3 2
的终边与单位圆的交点坐标为
y
5 tan 3 3
，
5 3
o
﹒
A
x
﹒B
B点的坐标如何求？
点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。
y 4 4 sin r 5 5 x 3 3 cos r 5 5 y 4 4 tan . x 3 3
巩固提高练习1：已知角α 的终边经过点 P( 2 , 2 )，求角α 的正弦、余弦和正切值。 2 2
练习2. 已知角的终边过点 P 角函数值. 解：由已知可得：
复习回顾在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
B
sin
a 对边 c 斜边 b 邻边 c 斜边
a 对边 b 邻边
c
a
cos
tan
AbC Nhomakorabea复习回顾 1.如何把角α放到直角坐标系中？
P
a
(1)把角α 的顶点放在坐标原点； (2)始边OM与x的非负半轴重合； (3)此时它的终边落在第一象限。
(笔记)1.任意角的三角函数定义：
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为P(x,y)，它与原点的距离为r，那么

任意角的三角函数(1)导学案

4-04 §1.2.1 任意角的三角函数（1）姓名 1. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义； 2. 理解任意角的三角函数不同形式的定义方法；α的各三角函数值.一学案（一）课前准备1预习：教材P 11～ P 13，找出疑惑之处。

2复习（1）：用弧度制写出终边在下列位置的角的集合.① 坐标轴上；②第二、四象限.复习（2）：锐角的三角函数的定义如图，设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ，它与原点的距离0r >. 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为a ，线段MP 的长度为b .则sin MP bOP r α==； cos α= = ； tan MPOMα== . （二）新课导学1任意角的三角函数的定义问题1：将点(,)P x y 取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数为：sin MP OP α== ；cos OMOP α== ；tan MPOMα== .问题2：由上可知，锐角α的三角函数值可以用α终边上一点的坐标表示. 那么角的概念推广以后，任意角的三角函数能不能用其终边上一点的坐标来表示呢？显然，我们只需在角的终边上找到一个点(,)P x y ，使这个点到原点的距离为(0)r r >，然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值.新知：在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆. 问题3：如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?单位圆定义任意角的三角函数定义：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：（1）叫做α的正弦(sine)，记做sin α；（2）叫做α的余弦(cossine)，记做cos α；（3）yx叫做α的正切(tangent)，记做tan α. 即：sin y α=，cos x α=，tan (0)yx xα=≠.试一试：角34π与单位圆的交点坐标为，则3sin 4π= ，3cos 4π= ，3tan 4π= .反思： ①当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于，所以无意义.② 如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ，则：sin yrα=；cos α= ； tan α= . 2例题选讲例1 求53π的正弦、余弦和正切值.例2已知角α的终边经过点P (2，－3)(如图)，的正弦、余弦和正切值.二练习案1. tan()4π-=（）.A. 1B. 1-C.D. 2. 7sin6π=（）.A. 12B. 12-3. 如果角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴重合，终边在函数5(0)y x x =<的图象上，那么tan α的值为（）. A. 5 B. －5 C. 15D. 15-4. cos(30)-︒= .5. 已知点(3,4)P a a -(0)a ≠在角α的终边上，则tan α= .6.角34π与单位圆的交点坐标为，则3s i n 4π= ，3cos 4π= ，3tan 4π= .7. 求下列各角的正弦、余弦和正切值.（1）0 ；（2）π ；. （3）32π；（4）2π8.求56π的正弦、余弦和正切值. 1. 求下列各角的正弦、余弦和正切值：（1）32π； (2) 56π;（3）73π；（4）－94π.9. 已知角α的终边过点0(3,4)P--，求角α的正弦、余弦和正切值.10.已知角α的终边经过P(4,-3)，求2sinα+cosα的值.11. 已知角α的终边在直线y＝2x上，求α的正弦、余弦和正切值.1. 单位圆定义任意角的三角函数；.知识拓展α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,)x y，它与原点的距离为r（1）xy叫做α的余切，记作cotα，即cotxyα=；（2）rx叫做α的正割，记作secα，即secrxα=；（3）ry叫做α的余割，记作cscα，即cscryα=．※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差。

1.2任意角的三角函数((不知年级))全面版

2 若lg(sintan)有意义，则是（C）
A 第一象限角
B 第四象限角
C 第一象限角或第四象限角
D 第一或第四象限角或x轴的正半轴
3 已知的终边过点(3a-9,a+2),且cos0, sin>0,则a的取值范围是 -2<a3 。
例3 若是是第二象限角, 且|cos(/2)|=- cos(/2), 问/2是第几象限角？
公式一：sin(α ＋ k·2π )＝sinα cos(α ＋ k·2π )＝cosα
tan(α ＋ k·2π)＝tanα
(k∈Z)
说明：
1 运用公式时， k∈Z不能省略！ 2 α ＋ k·2π， k∈Z表示任意
与 α终边相同的角。 3 此公式表明求任意角的三角函数
值的问题，可以转化为求0°～360° (0～2π)间角的三角函数值的问题。
练习已知是第三象限角，且sin(/2)<0，则( B ) A cos(/2)<0 B cos(/2)>0 C tan(/2)>0 D cot(/2)>0
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局，或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少，走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！一生有多少属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时

任意角的三角函数1

第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数（1）学习目的：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）.学习重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。

公式一是本小节的另一个重点.学习难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.课堂探究：一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b a sinA cosA tanA c c b===．角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、讲解新课：1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；（2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=；（3）比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan y xα=；说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y xα=无意义；④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r、x r、y x分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数。

高中数学第三章三角函数3.2任意角的三角函数3.2.1任意角三角函数的定义一课件湘教版必修2

没有意义.
2.三角函数在各个象限的符号
3.三角函数的定义域三角函数 sin α,cos α
tan α,sec α
cot α,csc α
定义域 R
{α|α≠kπ＋π2,k∈Z} {α|α≠kπ,k∈Z}
要点一三角函数定义的应用例 1 已知角 α 的终边在直线 y＝－3x 上,求 10 sin α＋co3s α 的值.
解由题意知,cos α≠0. 设角α的终边上任一点为P(k,－3k)(k≠0),则
x＝k,y＝－3k,r＝ k2＋－3k2＝ 10|k|.
(1)当 k>0 时,r＝ 10k,α 是第四象限角,
sin
α＝yr＝－130kk＝－3
10 10 ,
1 cos
α＝xr＝
1k0k＝
10,
∴10sin α＋co3s α＝10×－3 1010＋3 10
规律方法在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意
到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上异于原
点的任意一点坐标 (a,b), 则对应角的正弦值为 sin α ＝
b ,cos α＝ a2＋b2
a ,tan
a2＋b2
α＝ba.
跟踪演练 1 已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半
答锐角A的正弦,余弦,正切依次为：
sin A＝ac,cos A＝bc,tan A＝ab.
[预习导引]
1.三角函数的定义
(1)正弦、余弦、正切
如图,在α的终边上任取一点P(x,y),设OP＝r
y
x
y
(r≠0).定义：sin α＝ r ,cos α＝r ,tan α＝ x ,

任意角的三角函数1

π
0
−1
3π 2
2π
sinα cosα tanα
0
1
3 2 1 2
1
−1
0
1
0
不存在
0
不存在01来自300
已知角 α 终边上一点 P（ − 3 ，y），且 sin α = 2 y，例4 4 求 cos α、tan α 的值。
2 解：由已知得 r = （ − 3 ）+ y 2 = 3 + y 2
y y ∴ sin α = = ，又 sin α = 2 y r 4 3 + y2
x
x cot α = x . cot 叫做α的余切，记作： ④比值叫做的余切，记作： α 即 y y
r sec α 即 sec α = r . 记作：记作正割， ⑤比值 x 叫做α的正割，： x
r csc α 即 csc α = r . 叫做α的余割，记作： ⑥比值叫做的余割，记作： y y
任意角的三角函数定义
是任意角，的终设α是任意角，α的终是任意角边上任意一点 P(x , y) (除端点外，除端点外) 除端点外它与原点的距离为r，则距离为，
r=
x + y
2
2
=
x 2 + y 2 > 0.
定义：
y y 叫做α的正弦，记作： ①比值叫做的正弦，记作： α 即 sin α = . sin r r
x. x cos 记作：记作： α 即 cos α = 余弦， ②比值叫做α的余弦， r r
y y 叫做α的正切，记作： ③比值叫做的正切，记作： α 即 tan α = . tan x x

任意角的三角函数

三角函数定义域
三角函数定义域
sin cos
tan
R
R
k , k z 2
cot
k , k z
sec csc
k , k z

k , k z 2
（二）过关训练
1、角a的终边在直线y=2x上，求a的六个三角函数值。 2、若角a终边上有一点p(-3,0)，则下列函数值不存在的是（）． A sina B cosa C tana D cota 3 , 3、角a的终边上一点p(-3,x),且 cos 5 则x= 。 1 y tan 的定义域为 4、函数。 cos 5、角a的终边经过点p(-4m,3m)(m≠0)，求 sina,cosa,tana,cota的值。

四、小结
本节课我们学习了什么？ (1)任意角的三角函数的定义，它是一个比值，与点 P在角a的终边的上的位置无关，与a 角有关。 (2)三角函数的定义域。 (3)任意角的三角函数的定义的应用。
五、作业

1、《红对勾》P11-12：2、4、6、8、12、 13。 2、书P19练习1、2，P20习题3、4、5、6。
（二）例题讲解
例、求下列角的六个三角函数值：（ 1） 0 （2）3 2
三、学生练习
（一）、基础练习：

1、已知角a的终边经过点P(-2，－3)，求a的六个三角函数值. 2、求 2 的六个三角函数值. 3、函数 y sin x cos x 的定义域为。 4、已知角a的终边经过点P(-2m，－3)，求a 的六个三角函数值.
任意角的三角函数（一）

任意角的三角函数(1)

y sin r
B（x，y）
合作讨论
教学程序设计形成概念
y
B（x，y） r α A C x
合作讨论
教学程序设计形成概念
y
B（x，y） r α A x
合作讨论
教学程序设计形成概念
y B（x，y）
r α A x
合作讨论
教学程序设计形成概念
y B（x，y）（2，4） r （1，2） β α A x
教法、学法分析
1.教学方法根据本节课的内容和学生认知水平，贯彻启发性教学原则，充分体现以教师为主导，以学生为主体，以思维创新为主线的教学思想，本节课的教学方法主要有“问题探究、启发诱导、合作讨论、分层教学”相结合，用“问题”组织教学，激发学生的“求异”思维，通过合作讨论，实现师生互动，生生互动，让学生相互合作，学会总结，在探索中学习，在研究中提高。
2 2
合作讨论
教学程序设计形成概念
概念的理解：问题1. 角的三角函数值与所选的点的位置是否有关? 问题2. 任意角均有对应的三角函数值吗? 设计意图：通过合作讨论，培养学生的合作精神，增强学生的参与意识，充分体现学生的主体地位，提高学生的交流、表达能力
合作讨论
教学程序设计形成概念
y
P o M x
合作讨论
教学程序设计形成概念
y
P
o M
x
合作讨论
教学程序设计形成概念
y P
M
o
x
合作讨论
教学程序设计形成概念
y
P
M
o
x
合作讨论
教学程序设计形成概念
y
P
M
o
x

1.2.1任意角三角函数1

x
正切为正
余弦为正
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
意为：第一象限各三角函数均为正,第二象限只有正弦及与正弦相关的余割为正,其余均为负第三象限正切、余切为正，其余为负，第四象限余弦及与之相关的正割为正，其余皆为负。
例1：
已知角α 的终边经过点p(2，－3)，
求角α 的正弦、余弦和正切值。
例2
确定下列各三角函数值的符号：
自学检测：
P16 练习：1、 2、
锐角三角函数的定义：

sin _____; _____; _____ cos tan
y r
P(x,y)
x
α
o M
y x y sin ; cos ; tan r r x
定义： y y ①比值叫做的正弦，记作 sin ，即 sin ． r r x x ②比值叫做的余弦，记作 cos ，即 cos ． r r y 叫做的正切，记作 ③比值， tan P(x,y) y x y 即 tan ． r
正弦、余弦、正切函数值在各个象限的符号
正弦值y对于第一、二象限的角是正的，对于第三、四象限的角是负的。
余弦值x 对于第一、四象限的角是正的，对于第二、三象限的角是负的。
y 正切值对于第一、三象限的角是正的， x 对于第二、四象限的角是负的。
三角函数值的符号问题
y
正弦为正
o
三角函数全为正
11 (3) tan . 3
7 (1) cos . 12
(2) sin(465);
分层训练
• 必做题 P16 练习：3、4、5 • 选做题 P23 习题：6 • 作业 P23 ：习题：1、5

任意角的三角函数一

任意角的三角函数学习目标：1. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；2. 理解任意角的三角函数不同的定义方法；3. 已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.学习重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义。

学习难点: 任意角的三角函数不同的定义方法；已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.知识链接：1：用弧度制写出终边在下列位置的角的集合.（1）坐标轴上；（2）第二象限.2：锐角的三角函数如何定义？如图，设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b，它与原点的距离0r =. 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为a ，线段MP 的长度为b . 则sin MP b OP rα==；cos α= = ； t a n MP OM α== . 新课导学：1.任意角的三角函数的定义问题1：将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数为：sin MP OP α== ；cos OM OPα== ； tan MP OM α== . 问题2：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示. 那么，角的概念推广以后，我们应该如何推广到任意角呢？显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为，然后就可以类似锐角三角函数求得该角的三角函数值.新知：在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.问题3：如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：（1）叫做α的正弦(sine)，记做sin α；（2）叫做α的余弦(cossine)，记做cos α；（3）_______叫做α的正切(tangent)，记做tan α.即：sin y α=，cos x α=，tan (0)y x xα=≠.试试：角34π与单位圆的交点坐标为，则3s i n 4π= ，3cos 4π= ，3tan 4π= . 反思： ①当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于，所以无意义.② 如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r >，则：sin y rα=；cos α= ； tan α= . 典例解析：例1、求35π角的正弦、余弦和正切值．变式练习：求56π角的正弦、余弦和正切值。

1.2.1任意角的三角函数(1)

y sin α r x cos r
y tan x
的终边
P(ｘ，ｙ)
y

r
2
o
2
x
( r x y
)
练习
已知
的终边经过点 P0 (12,5)
求角的正弦,余弦和正切值。
若点P（ m, 3m） (m 0)在角的终边上，求 sin 、 cos、 tan的值。
推广——利用单位圆定义任意角三角函数
设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则: y 叫做α 的正弦 P ( x, y )
y
sin α y
x 叫做α的余弦
O
y 叫做α的正切 x
cos x
y tan x
x
说明：
2 在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都 y 等于0，所以tan 无意义；同理当 x x k ( k Z ) 时， cot 无意义； y
-
(+ )
(+ )
( )
-
确定下列三角函数值的符号：
(1) cos 250
0
(3) tan(672 )
0
(2) sin( ) 4 (4) tan3

例3：
求证:当且仅当下列不等式组成立时, 角为第三象限角.

sin 0
tan 0
终边相同的角的同一三角函数的值是否相等?
x
当a

k ( k Z )时，的终边
任意角三角函数的定义:
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。 ————三角函数
y sin x y cos x y tan x

1.2.1.1任意角三角函数

第1课时任意角的三角函数(一)任意角的三角函数的定义sin α，即sin α＝y cos α，即cos α＝x ，即tan α＝yx(x ≠0) 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数到一个比值的集合的函数．三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合．Z }三角函数值在各象限的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦状元随笔对三角函数值符号的理解三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离总是正值．根据三角函数定义知：正弦值符号取决于纵坐标y 的符号；．sin 750°＝________.类型一三角函数的定义及应用1(1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________ 2x”其他条件不变，结果又如何？的值为；（1）将本例中条件“x＞0”改为“x＜0”，结果如何？（2）将本例中条件“x＞0”改为“x≠0”，结果又怎样？（3）将本例中“P(x，3)”改为“P(x，3x)”，且把“cos θ＝10x10”去掉，结果又怎样？A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)判断下列各式的符号：①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.方法归纳判断三角函数值正负的两个步骤(1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．注意：若sin α>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y 轴的非负半轴上. 跟踪训练1 判断下列各式的符号：(1)sin 145°cos(－210°)；(2)sin 3·cos 4·tan 5.2．已知角α的终边过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是． 3．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第象限角．(2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 125π·tan 4π.7．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是________．8．已知角α的终边经过点P (3,4t )，且sin(2k π＋α)＝－35(k ∈Z )，则t ＝________.三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知角α的终边为射线y ＝－34x (x ≥0)，求角α的正弦、余弦和正切值．10．判断下列各式的符号：(1)sin 105°·cos 230°；(2)cos 3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3.11．若α是第一象限角，则－α2是( )A ．第一象限角B ．第四象限角C ．第二或第三象限角D ．第二或第四象限角 12．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________. 13．计算：(1)sin 390°＋cos(－660°)＋3tan 405°－cos 540°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－7π2＋tan π－2cos 0＋tan 9π4－sin 7π3.14．已知角α的终边过点(a,2a )(a ≠0)，求角α的正弦、余弦和正切值．第2课时任意角的三角函数(二)1.相关概念(1)单位圆：以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆． (2)有向线段：带有方向(规定了起点和终点)的线段．规定：方向与x 轴或y 轴的正方向一致的为正值，反之为负值． 2．三角函数线状元随笔 (1)三角函数线的方向．正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点．(2)三角函数线的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的，为正值，与x 轴或y 轴反向的，为负值． (1)角的三角函数线是直线．( )(2)角的三角函数值等于三角函数线的长度．( )(3)第二象限的角没有正切线．( )2．有下列四个说法：①α一定时，单位圆中的正弦线一定；②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边相同．不正确说法的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．如图所示，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT 4．已知sin α>0，tan α<0，则α的( )A ．余弦线方向向右，正切线方向向下B ．余弦线方向向右，正切线方向向上C ．余弦线方向向左，正切线方向向下D ．余弦线方向向上，正切线方向向左类型一三角函数线的作法【例1】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)－π4；(2)17π6；(3)10π3.类型二利用三角函数线比较大小【例2】 (1)已知A ．若α、β是第一象限角，则sin α＞sin β B ．若α、β是第二象限角，则tan α＞tan β C ．若α、β是第三象限角，则sin α＞sin β D ．若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β (2)利用三角函数线比较sin2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π5的大小．方法归纳利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．跟踪训练1．已知a ＝sin 2π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c2 设π4<α<π2，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果π2<α<3π4，上述长度关系又如何？类型三利用三角函数线解不等式(1)cos α＞－22；(2)tan α≤33；(3)|sin α|≤12.1．将本例(1)的不等式改为“cos α＜22”，求α的取值范围 2．将本例(3)的不等式改为“－12≤sin θ＜32”，求α的取值范围3．利用本例的方法，求函数y ＝2sin x －1的定义域．方法归纳利用三角函数线解三角不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点．一般来说，对于sin x ≥b ，cos x ≥a (或sin x ≤b ，cos x ≤a )，只需作直线y ＝b ，x ＝a 与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x 的范围；对于tan x ≥c (或tan x ≤c )，则取点(1，c )，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．跟踪训练3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．(1) sin α≥32；(2)cos α≤－12.一、选择题(每小题5分，共25分)1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在D ．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在2．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．OM >0>MPC ．OM <MP <0D ．MP >0>OM3．有三个命题：①π6和5π6的正弦线长度相等；②π3和4π3的正切线相同；③π4和5π4的余弦线长度相等．其中正确说法的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．04．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－3π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 C.⎣⎡⎦⎤－π4，3π4 D.[]0，π5．如果π4<θ<π2，那么下列各式中正确的是( )A ．cos θ<tan θ<sin θB ．sin θ<cos θ<tan θC ．tan θ<sin θ<cos θD ．cos θ<sin θ<tan θ二、填空题(每小题5分，共15分)6．比较大小：sin 1________sin π3(填“>”或“<”)．7．不等式tan α＋33>0的解集是________________________．8．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________．三、解答题(每小题10分，共20分)9．做出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)5π6；(2)－2π3.10．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合：(1)tan α＝－1；(2)sin α≤－22.11．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( )A ．第一象限的角平分线上B ．第四象限的角平分线上C ．第二、第四象限的角平分线上D ．第一、第三象限的角平分线上12．若cos θ>sin 7π3，利用三角函数线得角θ的取值范围是________．13．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，试利用三角函数线证明sin α＋cos α>1.。

§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)

§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
教学目标：
1.理解并掌握任意角三角函数的定义.
2.理解三角函数是以实数为自变量的函数.
3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.
教学重、难点：
1.任意角三角函数的定义.
§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
4) 例3.已知角的终边经过点 P0 (3,，求角的正弦、余弦和正切值 .
解:由已知可得 OP0 (3) 2 (4) 2 5 设角的终边与单位圆交于 P( x, y ) ， M 分别过点 P 、 0 作 x 轴的垂线 MP、 0 P0 P
2013-1-11
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
9
§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
⑤定义域：
y y 1)对于正弦函数 sin ，因为ｒ＞0，所以 r 恒有 ry
意义，即取任意实数，恒有意义，也就是说sin r 恒有意义，所以正弦函数的定义域是R； 2)类似地可写出余弦函数的定义域R ； y y 3)对于正切函数 tan ，因为x＝0时，无意义，即 x x tan 无意义，又当且仅当角的终边落在纵轴上时， y 才有x＝0，所以当的终边不在纵轴上时，恒有意 x 义，即tan 恒有意义，所以正切函数的定义域是: k ( k Z) 2 2013-1-11 10 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
b 邻边 cos A r 斜边 a 对边 tan A b 邻边
A (0, ) 2

思考：角的范围已经推广，那么对任意角是否也能像锐角一样定义其三种三角函数呢？

任意角的三角函数(1)

任意角的三角函数及基本关系与诱导公式

1.2.1任意角的三角函数(1)

任意角的三角函数(1)导学案

1.2任意角的三角函数((不知年级))全面版

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高中数学第三章三角函数3.2任意角的三角函数3.2.1任意角三角函数的定义一课件湘教版必修2

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1.2.1任意角三角函数1

任意角的三角函数一

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1.2.1.1任意角三角函数

§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)

任意角的三角函数(1)