高中数学必修四《两角差的余弦公式》优秀教学设计

3.1.1两角差的余弦公式

一、教材分析

《两角差的余弦公式》是人教A 版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。

二、教学目标

1.引导学生建立两角差的余弦公式。通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。

2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。

3.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。 三、教学重点难点

重点 两角差余弦公式的探索和简单应用。 难点 探索过程的组织和引导。 四、学情分析

之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角αβ，的正弦余弦值来表示cos()αβ-，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。

五、教学方法

1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.

2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.

3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距 六、课时安排：2课时 七、教学过程

（一）创设情景，揭示课题

以文峰塔高度测量为背景素材（见课件）引入问题。并针对问题中的0cos15用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。

问题：（1）能不能不用计算器求值 ：0cos 45 ，0cos30 ，0cos15

（2）0

cos(4530)cos 45cos30-=-是否成立？

(3)如何用450和300求0cos15?

设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。

（二）、研探新知 1.三角函数线法：

问：①怎样作出角α、β、αβ-的终边。 ②怎样作出角αβ-的余弦线OM

③怎样利用几何直观寻找OM 的表示式。 设计意图：尽量用动画课件把探索过程展示出来，

加强对公式结构形式的认识。

（1） 设角α终边与单位圆地交点为P 1，1,POP POx

βα∠=∠=则（2） 过点P 作P M ⊥X 轴于点M ，那么OM 就是 αβ-的余弦线。

（3） 过点P 作P A ⊥OP 1于A ，过点A 作AB ⊥x 轴于B ，过点P 作PC ⊥AB 于C

那么

OA 表示

cos β

，AP 表示sin β，并且1

.PAC

POx α∠=∠= 于是 OM=OB+BM =OB+CP =OA cos α+AP sin α =cos cos sin sin βαβα+ 最后要提醒学生注意，公式推导的前提条件：

α、β、αβ-都是锐角，且αβ>

2.向量法：

问：①结合图形，应选哪几个向量，它们怎么表示？

② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。

③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。

设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性。 1．当(0,)αβπ-∈时

如图，(cos ,sin ),(cos ,sin )OB OA ββαα== 则cos cos sin sin OA OB αβαβ•=+

又OA OB •=||||cos()OA OB αβ-=cos()αβ- ∴cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ 2．当(0,)αβπ-∉时

思考：上面图中向量,OB OA 的夹角是怎样的？，范围是怎样的？

（αβ-，且αβ-(0,)π∈）正与向量夹角的范围相符，所以我们自然地列出了表达式OA OB •=

||||cos()OA OB αβ-，但是αβ-的范围可不可能超出(0,)π呢？

探究：将OA 旋转到下图的位置，显然此时αβ-已经不是向量,OB OA 的夹角， 在[0,2]π范围内，是向量夹角的补角. 我们设夹角为θ，则

θ＋()αβ-＝2k π

此时，OA OB •=||||cos OA OB θ＝cos[2()]cos(

k παβα--=- ∴cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+

综上，对任意角,αβ都有cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ 例1. 利用差角余弦公式求0

cos15的值

（求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题） 变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式： （1）ααπ

sin )2

cos(=-； （2）cos(2)cos παα-=

（三）、质疑答辩，排难解惑，发展思维 1.利用两角差的余弦公式，求0

cos 75,cos105 2.求值 0

000cos75

cos30sin 75sin 30+

3．cos75°cos15°－sin75°sin195°的值为( ) A ．0 B.12 C.32 D ．－12

（设计意图：通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、逆用，还可变

用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。）

（四）小结与作业布置

本节我们学习了两角和与差的余弦公式，要求同学们掌握公式()C αβ-的推导，能熟练运用公式()C αβ-，注意公式()C αβ-的逆用。在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.课下完成本