反比例二次函数
初中反比例函数与二次函数知识点详解
初中反比例函数与二次函数知识点详解知识点一、反比例函数1、反比例函数的概念一般地，函数xky =（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成1-=kx y 的形式。
自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质4、反比例函数解析式的确定确定及诶是的方法仍是待定系数法。
由于在反比例函数xky =中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数)0(≠=k xky 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM ∙PN=xy x y =∙。
k S k xy xky ==∴=,, 。
知识点二、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
二次函数与反比例函数的对应关系与应用
二次函数与反比例函数的对应关系与应用在数学中，二次函数和反比例函数是常见的数学函数类型之一。
二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0；而反比例函数是指形式为f(x) = k/x的函数，其中k是常数且k ≠ 0。
本文将深入探讨二次函数与反比例函数之间的对应关系以及它们在实际生活中的应用。
一、二次函数与反比例函数之间的对应关系在数学中，二次函数与反比例函数之间存在一定的对应关系。
具体来说，当二次函数的自变量和函数值互换位置时，可以得到一个对应的反比例函数。
例如，对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，可以将自变量x和函数值f(x)互换位置后得到新的函数g(x) = a/f(x)。
通过这种方式，二次函数和反比例函数之间可以建立一种对应的关系。
这种对应关系在数学中是有一定意义的。
通过分析二次函数和反比例函数之间的对应关系，可以深入理解两者之间的性质和特点。
在实际应用中，这种对应关系也为求解二次函数和反比例函数提供了一种有效的方法。
二、二次函数与反比例函数的应用二次函数和反比例函数在实际生活中有着广泛的应用。
下面将介绍它们在几个不同领域的具体应用。
1. 物理学：二次函数和反比例函数在物理学中经常被用来描述物体的运动和变化规律。
例如，通过使用二次函数，可以分析抛物线轨迹下的物体运动情况；反比例函数则可以描述两个变量之间的相对关系，比如在光学中的透镜成像过程中。
2. 经济学：二次函数和反比例函数在经济学领域中有着广泛的应用。
例如，二次函数可以用来描述成本、收益和利润之间的关系，帮助经济学家制定相关政策和决策；反比例函数则可以用来描述供求关系中的价格与需求量或供给量之间的关系。
3. 工程学：在工程学中，二次函数和反比例函数被广泛应用于各种设计和分析中。
例如，通过使用二次函数可以优化车辆行驶的轨迹，降低能耗和成本；反比例函数可用于电路设计中的电阻或电容的选取。
反比例函数、二次函数知识梳理
反比例函数核心知识梳理1.反比例函数的定义：一般地，形如y=k／x（k是常数，且k≠0）的函数叫做反比例函数.其表达式还可写为y=kxˉ¹（k≠0）或xy=k（k≠0）.对此概念要注意以下几点：①k是常数，且k≠0.②自变量x在分母中的指数为1，如y=3／x²就不是反比例函数.③自变量x的取值范围是x≠0的全体实数，函数y 的取值范围是y≠0的全体实数。
2.反比例函数的图像：反比例函数y=k／x（k是常数，且k≠0）的图像由两支曲线组成，称为“双曲线”.其图像具有以下特点：①图像的两个分支分别在不同的象限，不能连接起来.②由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。
③图像既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是y=x或y=－x，对称中心为原点.④画反比例函数的图像时，可先画出一个分支，然后根据对称性画出另一分支。
3.反比例函数的性质：当k＞0时，图像的两个分支在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，图像的两个分支在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
4.反比例函数解析式的确定：由于反比例函数y=k／x只有一个比例系数k，所以只要知道一组x、y的值或图像任意一点的坐标，就可确定反比例函数的解析式，进而解决相关问题。
考点易错点解析反比例函数是中考的必考内容，题型有选择题、填空题和解答题，其考点主要体现在以下几个方面：①求反比例函数的解析式②领悟反比例函数的意义，确定函数图像的位置③已知函数图像，求参数的值或取值范围，以及函数增减性的确定④利用反比例函数解决有关实际应用问题⑤反比例函数与其他函数、方程（组）、不等式（组）的有关综合问题。
有关本部分内容再解题中应注意以下几点，以避免错误的解答：1.注意反比例函数y=k／x的表达式成立的限制条件是k≠0，不要忽视这一点2.正确区分反比例与反比例函数，避免因混淆相关概念而出错。
反比例函数一次函数二次函数性质及图像
反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X 轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。
2、性质：1.当k>0 时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0 时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k>0 时，函数在x<0 上同为减函数、在x>0 上同为减函数；k<0 时，函数在x<0 上为增函数、在x>0 上同为增函数。
定义域为x≠0；值域为y≠0。
3.因为在y=k/x（k≠0）中，x 不能为0，y 也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y 轴相交。
4.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2 则S1＝S2=|K|5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
6.若设正比例函数y=mx 与反比例函数y=n/x 交于A、B 两点（m、n 同号），那么A B 两点关于原点对称。
7.设在平面内有反比例函数y=k/x 和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥ （不小于）0。
8.反比例函数y=k/x 的渐近线：x 轴与y 轴。
9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x 轴对称,并且关于原点中心对称.10.反比例上一点m 向x 、y 分别做垂线，交于q 、w ，则矩形mwqo （o 为原点）的面积为|k|11.k 值相等的反比例函数重合，k 值不相等的反比例函数永不相交。
12.|k| 越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
二次函数与反比例函数交点个数
二次函数与反比例函数交点个数文章标题：深度剖析二次函数与反比例函数交点个数的规律一、引言在数学中，二次函数和反比例函数是两种常见且重要的函数类型，它们在图像和性质上有着许多不同之处。
然而，我们是否曾经思考过二次函数和反比例函数在图像上的交点个数呢？这似乎是一个简单而又深远的问题，但其中隐藏着许多规律和变化，值得我们深入研究和思考。
二、二次函数与反比例函数的定义和性质让我们简单回顾一下二次函数和反比例函数的定义和性质。
二次函数的一般形式为：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$不等于0。
它的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线，具有顶点、对称轴和轴线等性质。
而反比例函数的一般形式为：$f(x) = \frac{k}{x}$，其中$k$不等于0。
它的图像通常是由一条过原点并且斜率减小的曲线所组成，具有渐近线和反比例关系等性质。
三、二次函数与反比例函数的交点规律探究接下来，让我们来探讨二次函数和反比例函数在图像上的交点规律。
以简单的二次函数$f(x) = x^2 - 4$和反比例函数$f(x) =\frac{16}{x}$为例，我们可以通过求解它们的交点来找出规律。
我们需要将两个函数相等，即$x^2 - 4 = \frac{16}{x}$。
将方程整理后得到$x^3 - 4x = 16$，进一步得到$x(x^2 - 4) = 16$。
解得$x_1= -2, x_2 = 2$，那么在此例中，二次函数与反比例函数有两个交点。
通过这个简单的例子，我们可以初步观察到：当二次函数与反比例函数相交时，可能有一个、两个或者零个交点存在。
接下来，我们可以尝试通过改变二次函数和反比例函数的系数来观察交点的变化规律。
当二次函数变为$f(x) = 2x^2 - 4$，反比例函数变为$f(x) = \frac{16}{x}$时，我们发现两个函数再次相交于$x_1 = -\sqrt{2}, x_2 = \sqrt{2}$处。
二次函数与反比例函数初步总结
题型7:二次函数与二次方程与二次不等式的关系 1.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121例1,画出y=2x 2+3x -2与 y ＇= -2x +1的图象并解答下列问题： ①试写出方程2x 2+3x -2=0的解：②试写出不等式2x 2+3x -2＞0的解：③试写出不等式2x 2+3x -2＜0的解：④试根据图象写出方程2x 2+3x -2= -2x +1的解：⑤试写出不等式2x 2+3x -2＞-2x +1的解： ⑥试写出不等式2x 2+3x -2＜-2x +1的解：例2.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精确到1米）．解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 1092＋＝ax y ． 因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ．因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－． （2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 所以109125182092＋－x =，得245±＝x ．所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）．所以225)245(245＝－＝-DE ． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）．题型8:二次函数对称轴的应用8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：设A(x 1，y a），B (x 2，y b）是抛物线上的两点，且y a=y b，则抛物线的对称轴为直线122x x x +=用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.例1(2010年浙江省金华)若二次函数k x x y ++-=22的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程:022=++-k x x 的一个解31=x ，另一个解=2x -1 ；（2010年日照市）如图，是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x =1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2+bx+c＜0的解集是 .(第15题图)答案：－1＜x＜3 ;题型9:二次函数与平面几何的构建与再创造15. 如图，在△ABC中，90B∠= ，12mmAB=，24mmBC=，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒，四边形APQC的面积最小．3.(2010年山东聊城)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（—1，0）、B（0，—3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M 的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x＝1上的一动点，求使∠PCB＝90°的点P的坐标．第25题【关键词】二次函数【答案】⑴设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--==+-1230ab c c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a ，所以抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3. ⑵令x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－１，x 2＝3,所以B 点坐标为（3，0）. 设直线BC 的解析式为y ＝kx 2＋b, 则⎩⎨⎧-==+303b b k ，解得⎩⎨⎧-==31b k ，所以直线解析式是y ＝x －3. 当x ＝1时，y ＝－2.所以M 点的坐标为（1，－2）.⑶方法一：要使∠PBC ＝90°，则直线PC 过点C ，且与BC 垂直， 又直线BC 的解析式为y ＝x －3，所以直线PC 的解析式为y ＝－x －3，当x ＝1时，y ＝－4， 所以P 点坐标为（1，－4）.方法二：设P 点坐标为（1，y ），则PC 2＝12＋（－3－y ）2,BC 2＝32＋32；PB 2＝22＋y 2由∠PBC ＝90°可知△PBC 是直角三角形，且PB 为斜边，则有PC 2＋BC 2＝PB 2. 所以：[12＋（－3－y ）2]＋[32＋32]＝22＋y 2；解得y ＝－4， 所以P 点坐标为（1，－4）.题型10: 反比例函数的应用① 物理学中，电压一定时，电阻R 与电流强度I 成反比例函数，RU I =②当在一个可以改变体积的容器中装入一定质量的气体时，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m 3）是体积v 的反比例函数，解析式可以表达为vk =ρ ③收音机刻度盘的波长l 与频率f 关系式: fk l =④压力F 一定时，压强P 与受力面积S 成反比例关系，即SF P =⑤当汽车输出功率P 一定时，汽车行驶速度v 与汽车所受的负载即阻力F 成反比例关系，FPv =⑥反比例函数在日常生活中的应用：路程问题、工程问题等。
二次函数和反比例函数的知识点
二次函数知识点1：二次函数的概念形如y=ax2＋bx＋c (a≠0, a,b,c是常数)的函数叫做二次函数．知识点2：在理解二次函数的定义时，应注意下述问题：(1) 在解析式中最高项是ax2项且系数a≠0，而b，c可以不为零，也可以为零。
(2) 自变量x的取值范围是任何实数．(3) 如果a=0，则该函数一定不是二次函数，但不一定是一次函数，如果a=0，b≠0才是一次函数。
知识点3：用二次函数描述有关实际问题中的变量间的关系在实际生活中，变化规律，解决实际问题，如何建立实际问题中的二次函数关系式（1）审清题意，找出实际问题中的已知量（定量），未知量（变量）并分析它们之间的关系，将文字或图形语言转化为数学符号语言．（2）建立函数关系式，根据前面的思考和分析，得到函数关系，即用自变量解析式来表示函数，并判断它是否为二次函数．(3) 确定函数的定义域，在实际问题中，变量都有一定的实际意义，要受到一定的条件限制，所以在求出二次函数解析式时，还要指明它的定义域．知识点4：二次函数的画法：（1）先列表；（2）描点，（3）连线．2函数开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大(小)值y=ax2 a＞向上(0,0) y轴x＞0时，y随x增大而增大x＜0时，y随x增大而减小当x=0时，y最大=0y=ax2 a＜向下(0,0) y轴x＞0时，y随x增大而减小x＜0时，y随x增大而增大当x=0时y最大=0知识点6：.二次函数y=ax2＋k的图象二次函数y=ax2＋k的图象是由函数y=ax2的图象上、下平移得到的，当k＞0时，抛物线y=ax2向上平移︱k︱个单位得到y=ax2＋k的图象；当k＜0时，抛物丝y=ax2向下平移︱k︱个单位得到y=ax2＋k的图象.注意：抛物线y=ax2＋k与抛物丝y=ax2形状完全相同，开口方向相同，对称轴都是y轴，但顶点位置不同，y=ax 2的顶点是（0，0），y=ax 2＋k 的顶点是（0，k ），，顶点在y 轴上. 知识点7：.二次函数y=a （x －h ）2的图象二次函数y=a （x －h ）2的图象可由抛物线y=ax 2向左（或向右）平移而得到，当n ＞0时，抛物线y=ax 2向右平称︱n ︱个单位，得到y=a （x －n ）2的图象；当n ＜0时，抛物线y=ax 2向左平移︱n ︱个单位得到y=a （x －n ）2的图象.注意：抛物线y=a （x －n ）2与抛物线y=ax 2的形状完全相同，开口相同只是在坐标系中的位置不同，抛物线y=a （x －n ）2的对称轴是x=n ，顶点是（n ，0），顶点在x 轴上. 知识点8：.二次函数y=a （x －n ）2＋k 的图象1）二次函数y=a （x －h ）2＋k （a ≠0）与二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象都是抛物线，在a 相等的情况下，形状相同，只是位置不同。
二次函数及反比例函数知识点
二次函数及反比例函数知识点二次函数和反比例函数是初中和高中数学中经常涉及的函数。
它们在数学上有着重要的应用，同时也具有一定的难度。
下面我们来详细介绍二次函数和反比例函数的知识点。
一、二次函数1. 定义：二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数，且a≠0。
2.二次函数的图像：二次函数的图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
3.二次函数的性质：(1) 顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)=ax^2 + bx + c。
(2)对称轴：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))的直线称为二次函数的对称轴，方程为x=-b/2a。
(3)开口方向：二次函数的开口方向取决于系数a的正负。
(4) 判别式：二次函数ax^2 + bx + c的判别式为Δ = b^2 - 4ac，当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ = 0时，有两个相等的实根；当Δ < 0时，无实根。
4.二次函数的平移：二次函数的横向平移和纵向平移可以通过对函数的自变量和因变量进行平移操作实现。
5.二次函数的解析式：通过给定的定点和顶点坐标，可以确定一条与x轴相交的二次函数。
6.二次函数的应用：二次函数在数学和物理等领域有着广泛的应用，如碰撞问题、抛物线运动等。
二、反比例函数1.定义：反比例函数是指形如y=k/x的函数，其中k为非零实数。
2.变化规律：反比例函数的特点是随着x的增大，y的值会逐渐减小；反之，随着x的减小，y的值会逐渐增大。
3.反比例函数的性质：(1)零点：当x≠0时，y=0称为反比例函数的零点。
(2)渐近线：反比例函数y=k/x的图像有两个渐进线x=0和y=0。
(3)对称性：反比例函数的图象关于坐标轴对称。
(4)奇函数：反比例函数是一个奇函数，满足f(-x)=-f(x)。
反比例函数与二次函数
4
龙文教育·教务管理部
中小学 1 对 1 课外辅导专家 A． N 处 B． P 处 C． Q 处 D． M 处
例 11、我们把分子为 1 的分数叫做理想分数，如 不同理想分数的和，如 果理想分数
1 n
1 2
， ，
3
1
1 4
，„，任何一个理想分数都可以写成两个
1 2
1 3
1 6
；
3
1
1 4
M
（填 a， b， c 的大小关系）． ”证
2 x
y 2， x 2 y， x y m in 2 x y 2， x 2 y， x y ，则 x y 2 2
2
．
（3）在同一直角坐标系中作出函数 y x 1 ， y ( x 1) ， y 2 x 的图象（不需列表描点） ．通过观察图象，填
2 2 2
联，并说明理由。 (2)抛物线 C 1 : y
1 8 ( x 1) 2 ，动点
2
P 的坐标为（t，2） ，将抛物线绕点 P（t，2）旋转 180 得到抛物线 C 2 ，若
抛物线 C 1 与 C 2 关联，求抛物线 C 2 的解析式。
(3)A 为抛物线 C 1 : y
1 8
③
D
②
C （第 10 题）
3、对于三个数 a， b， c ，用 M a， b， c 表示这三个数的平均数，用 m in a， b， c 表示这三个数中最小的
23 1，， 1 2 3 3 4 3
数．例如： 解决下列问题：
M
23 ； m in 1，， 1 ；
例 5、如图，抛物线 y=ax2 与反比例函数 y 则关于 x 的不等式 a x 2
反比例函数与二次函数
反比例函数与二次函数在数学中，反比例函数和二次函数都是常见的函数类型，它们在不同的数学问题中具有不同的应用和特点。
本文将从定义、图像、性质、应用等方面介绍反比例函数和二次函数的相关知识。
一、反比例函数1. 定义：反比例函数是指两个变量之间的关系，其中一个变量的值与另一个变量的值成反比。
一般而言，反比例函数的形式可以表示为 y = k/x (其中k ≠ 0)，x 和 y 分别表示两个变量，k 为常数。
2. 图像：反比例函数的图像呈现出一条从第一象限原点 (0, 0) 开始的曲线，并向 x 轴和 y 轴无限延伸。
其特点是随着 x 的增大，y 的值逐渐减小；反之，随着 x 的减小，y 的值逐渐增大。
这种关系如同两个变量的“倒数”关系。
3. 性质：（1）反比例函数的定义域为除了 x = 0 的所有实数，值域为除了 y= 0 的所有实数。
（2）反比例函数的图像关于 y 轴和 x 轴对称。
（3）反比例函数的渐近线分别为 x 轴和 y 轴。
当 x 趋向于正无穷大或负无穷大时，y 趋向于 0。
4. 应用：反比例函数在实际问题中具有广泛的应用，如电阻与电流的关系、速度与时间的关系等。
反比例函数的特性使得在一些情况下，两个变量之间的变化趋势可以用反比例函数来表示和计算。
二、二次函数1. 定义：二次函数是指一个变量的平方与另一个变量之间的关系。
一般而言，二次函数的形式可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 为常数，且a ≠ 0。
2. 图像：二次函数的图像呈现出一个开口向上或向下的抛物线。
开口的方向由二次项系数 a 的正负决定。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
3. 性质：（1）二次函数的定义域为所有实数，值域视图像的开口方向而定。
（2）二次函数的顶点为抛物线的最高点或最低点，其 x 坐标为 -b/2a，y 坐标可以通过代入计算得出。
（3）二次函数的对称轴为通过顶点的直线。
一次函数反比例函数及二次函数课件
考点 2 含参数问题的讨论 师生互动 考向 1 区间固定对称轴动型 [例 1]已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，求 f(x)在[－5，5]上的最 大值与最小值. 解：f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2，x∈[－5，5]，对称 轴为直线 x＝－a. (1)当－a＜－5，即 a＞5 时，函数 f(x)在[－5，5]上单调递 增，如图 2-8-2(1)， ∴f(x)max＝f(5)＝52＋2a×5＋2＝27＋10a，
根据图象知，A 选项 b＝0 不对 ； B 选项，若 g(x)成立，则 a>0，b>0，－ 2ba<0，此时 f(x)图 象不对；
C 选项，若 g(x)成立，则 a<0，b>0，－ b >0，此时 f(x)图 2a
象不对；
D 选项显然是正确的，故选 D. 答案：D
2. 设 abc ＞0，二次函数 f(x) ＝ax2 ＋bx ＋c 的图象可能是 ()
∴f(10)－f(t)＝12－t，即 t2－17t＋72＝0.
解得 t＝8(舍去)或 t＝9.∴t＝9. 综上所述，存在常数 t＝15－2 17或 t＝8 或 t＝9 满足条件.
【考法全练】 2.(多选题)一般地，若函数 f(x)的定义域为[a，b]，值域为[ka， kb]，则称[a，b]为 f(x)的“k 倍跟随区间”；特别地，若函数 f(x) 的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为 f(x)的“跟随
(2)二次函数在给定区间[m，n]上的最值求解，常见的有以 下四种情况：
①对称轴与区间
③定轴动区间，即对称轴是确定的，区间[m，n]不确定；
二次函数与反比例函数的组合与应用
二次函数与反比例函数的组合与应用在数学中，二次函数和反比例函数是两个重要的函数类型，它们拥有不同的特点和应用场景。
本文将探讨二次函数和反比例函数的组合，并介绍它们在实际问题中的应用。
一、二次函数与反比例函数的概念与性质1. 二次函数的概念与性质二次函数是指函数表达式中含有二次项的函数，一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像为抛物线，开口的方向由a的正负决定，顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
二次函数的性质包括：- 对称性：关于直线x = -b/2a对称；- 零点：方程ax^2 + bx + c = 0的解即为二次函数的零点；- 极值点：当a > 0时，函数图像有最小值；当a < 0时，函数图像有最大值。
2. 反比例函数的概念与性质反比例函数是指函数表达式中含有两个变量的比例关系，一般形式为：f(x) = k/x，其中k为常数且k ≠ 0。
反比例函数的图像通常为一个双曲线，开口的方向由k的正负决定。
反比例函数的性质包括：- 反比例关系：函数值的乘积为常数，即f(x) * x = k；- 特殊点：当x = 0时，函数值无定义，即不存在f(0)；- 渐近线：x轴和y轴分别为反比例函数的水平和垂直渐近线。
二、二次函数与反比例函数的组合在实际问题中，我们常常需要使用多个函数相互结合来描述事物的变化规律。
二次函数与反比例函数的组合可以用于更加精确地描述实际情况。
1. 二次函数与反比例函数的叠加当二次函数和反比例函数进行叠加时，可以得到更加复杂的函数表达式。
例如，可以将二次函数的顶点作为反比例函数的原点，将二次函数的零点作为反比例函数的水平渐近线。
2. 反比例函数的平移与缩放对于反比例函数，我们可以通过平移和缩放来改变其图像的位置和形状。
平移操作可以改变函数图像的水平和垂直位置，而缩放操作可以改变函数图像的大小和开口程度。
反比例函数一次函数二次函数性质及图像
在工程学中，反比例函数、一次函数和二次函数可以用来描 述各种工程问题的数学模型，如结构优化、路径规划等。利 用这些函数的性质和图像，可以进行工程设计和优化，提高 工程质量和效率。
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THANKS
顶点
二次函数的顶点坐标为 $left(frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
04
图像特征
01
02
03
04
形状
二次函数的图像是一条抛物线 。
位置
根据 $a$、$b$、$c$ 的取值 ，抛物线的位置会有所不同。
与坐标轴的交点
令 $y = 0$ 可求得与 $x$ 轴 的交点，令 $x = 0$ 可求得
05
函数图像比较
图像的平移与伸缩
平移
函数图像在平面直角坐标系中的位置可以通过平移来改变。对于一次函数和二次函数，图像可以沿x轴或y轴进 行平移，而对于反比例函数，图像可以沿原点进行平移。
伸缩
函数图像的形状可以通过伸缩来改变。对于一次函数，图像的伸缩表现为斜率的改变；对于二次函数，图像的 伸缩表现为开口大小或方向的改变；对于反比例函数，图像的伸缩表现为离原点的远近。
单调性
反比例函数
反比例函数的单调性取决于其定义域。在每个象限内，反比例函数都是单调的，但在整个 定义域内不是单调的。
一次函数
一次函数的单调性取决于其斜率。当斜率大于0时，函数在整个定义域内单调递增；当斜 率小于0时，函数在整个定义域内单调递减。
二次函数
二次函数的单调性取决于其二次项系数的正负和对称轴的位置。当二次项系数为正时，函 数在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增；当二次项系数为负时，函数在对称轴 左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减。
初中数学 反比例函数和二次函数的图像有何区别
初中数学反比例函数和二次函数的图像有何区别反比例函数和二次函数是两种不同的函数类型，它们的图像具有一些显著的区别。
在下文中，我将详细介绍这些区别。
反比例函数的图像通常是曲线，而二次函数的图像则是一条曲线。
1. 反比例函数的图像：反比例函数的一般形式为y = k/x，其中k 是非零常数。
反比例函数的图像通常是一条曲线，曲线的形状取决于函数的参数k。
具体来说，反比例函数的图像是一个通过原点的双曲线。
当x 趋近于零时，y 的值趋近于无穷大或无穷小。
随着x 的增大，曲线逐渐趋近于x 轴。
反比例函数的图像具有原点对称性和轴对称性。
2. 二次函数的图像：二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 是常数且a 不等于零。
二次函数的图像通常是一条抛物线。
抛物线的开口方向取决于二次项的系数 a 的正负。
当a 大于零时，抛物线开口向上；当 a 小于零时，抛物线开口向下。
二次函数的图像关于一个对称轴对称，这个对称轴被称为抛物线的轴。
抛物线的轴与y 轴的交点称为顶点。
下面是一些具体的区别：1. 形状：反比例函数的图像是一条通过原点的双曲线，而二次函数的图像是一条抛物线。
2. 对称性：反比例函数的图像具有原点对称性和轴对称性，而二次函数的图像具有关于抛物线的轴对称性。
3. 开口方向：反比例函数的图像没有固定的开口方向，而二次函数的图像的开口方向由二次项的系数a 的正负决定。
4. 零点：反比例函数的图像与x 轴相交于x 不等于零的点，而二次函数的图像与x 轴相交于零点。
总的来说，反比例函数和二次函数的图像具有明显的区别。
反比例函数的图像是一条通过原点的双曲线，而二次函数的图像是一条抛物线。
它们的对称性、形状和开口方向都不相同。
这些区别是我们在学习和理解这两种函数时需要注意的重要特征。
初中数学(4)--函数(2)--反比例函数与二次函数
6．（2005 徐州） 已知正比例函数 1).求这两个函数关系式.
y k1 x 与反比例函数 y
k2 x
的图象都经过点(2，
7． （2004 贵阳）如图，一次函数
y ax b 的图象与反比例函数 y
k 的图象交于 M 、 N 两点 . x
17 已知关于ｘ的一次函数ｙ＝（ｍ－１）ｘ＋７，如果ｙ随ｘ的增大而减小，则ｍ的取值范围是 18 某乡粮食总产值为ｍ吨，那么该乡每人平均拥有粮食ｙ（吨） ，与该乡人口数ｘ的函数关系式是 19、函数ｙ＝ ｘ－５ 中，自变量ｘ的取值范围 (Ａ)ｘ＞５ (Ａ)第一象限 (Ａ)０ (Ｂ)ｘ＜５
２
（ （
） (Ｄ)ｘ≥５ ） (Ｄ) 第四象限 （ ） ） （D） （3，－5）
y O
3/5
y x O x
y O x
y O x
数学复习
版权所有，翻版必究
By fangjiyong
y 4． （2005 安徽）任意写出一个图象经过二、 四象限的反比例函数的解析式:__________ M（2，m） O N（-1，-4） x
k 2 5． （2005 苏州）已知反比例函数 y ，其图象在第一、第三象限内，则 k 的值 x
28．某幢建筑物，从 10 米高的窗口 A 用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平 面与墙面垂直， （如图）如果抛物线的最高点 M 离墙 1 米，离地面 距离 OB 是（ （A）2 米 ） （B）3 米 （C）4 米 （D）5 米 40 米，则水流下落点 B 离墙 3
29．求下列函数的最大值或最小值． （1）
x1 x2 2 y1 y2 2
2、函数平移规律（中考试题中，只占 3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮 助，可以大大节省做题的时间）左加右减、上加下减 随堂练习：
九年级 反比例函数与二次函数
第一章 反比例函数一、反比例函数的定义：若两个变量x ，y 可以表示成为x k y =（k ≠0）的形式，则我们称y 是x 的反比例函数。
二、反比例函数的判定方法：1、函数解析式满足形如xk y =（k ≠0）的形式； 2、如果两个变量的积为常数，则两个变量建立的是反比例函数；3、如果函数的图像是双曲线或双曲线的某一支，则这两个变量建立的是反比例函数。
三、反比例函数的图像：反比例函数的图像是双曲线，并且位于坐标系的一三象限或二四象限；当k ＞0时，在一三象限；k ＜0，则在二四象限四、反比例函数的性质：当k ＞0时，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大。
五、函数表达式的确定：反比例函数的解析式的确定，只需确定k 值即可，所以一般只需在图像找任意一点带进去求k 值即可。
第二章 二次函数一、二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（a ≠0，a 、b 、c 为常数）的函数叫做x 的二次函数。
二次函数的另一种形式：ab ac a b x a y 44)2(22-++=二、二次函数的特殊形式：1、当b ＝c ＝0时，函数解析式形如2ax y =；2、当b ＝0时，函数解析式形如c ax y +=23、当c ＝0时，函数解析式形如bx ax y +=2三、二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线。
二次函数是轴对称图形。
四、二次函数的开口问题：二次函数的开口方向和开口大小只与a 值有关。
a ＞0时，开口向上；a ＜0时，开口向下。
五、二次函数的对称轴问题：二次函数的对称轴为ab x 2-= 六、二次函数的交点问题：二次函数的交点与判别式ac b 42-=∆有关。
当△＞0时，有两个交点；当△＝0时，有一个交点；△＜0时，没有交点。
七、二次函数的最值问题：当a ＜0时有最大值，当a ＞0时有最小值。
八、顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a ac b a b 4422，；当x ＝0时的坐标为（0，c ） 九、韦达定理：044)2(0222=-++⇒=++a b ac a b x a c bx ax aac b b x a ac b b x 24242221---=-+-=， ac x x a b x x =-=+2121，十、二次函数的三种表达式：1、一般式：c bx ax y ++=22、顶点式：()k m x a y ++=23、交点式：()()21x x x x a y --=十一、二次函数与二次不等式：（难点，根据图像去理解）。
二次函数及反比例函数知识点
二次函数及反比例函数知识点二次函数是一种重要的数学函数形式，其形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数，且a ≠ 0。
这种函数在数学和科学中有广泛的应用。
反比例函数也是常见的函数形式，其形式为 f(x) = k/x，其中 k 是非零常数。
本文将介绍二次函数和反比例函数的基本性质和应用。
一、二次函数的基本性质1. 定义域和值域：二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的定义域为全体实数，值域的范围取决于二次函数的开口方向和 a 的正负性。
当 a > 0 时，二次函数的开口向上，值域为[f(c), ∞)。
当 a < 0 时，二次函数的开口向下，值域为 (-∞, f(c)]。
2. 对称轴和顶点：二次函数的对称轴为 x = -b/2a，对称轴将二次函数分成两个对称的部分。
二次函数的顶点为 (-b/2a, f(-b/2a))，是二次函数的最值点。
3. 最值点和开口方向：当二次函数的开口向上时，顶点是最小值点，当二次函数的开口向下时，顶点是最大值点。
4. 零点与判别式：二次函数的零点是函数的解，即满足 ax^2 + bx + c = 0 的 x 值。
二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac 可以用来判断二次函数的零点情况：a) 当Δ > 0 时，二次函数有两个不相等的实数根；b) 当Δ = 0 时，二次函数有两个相等的实数根；c) 当Δ < 0 时，二次函数没有实数根。
二、二次函数的应用1. 抛物线运动：抛物线运动是二次函数的经典应用，它可以描述抛射物体的运动轨迹。
通过控制二次函数的参数，可以调节抛射物的抛射角度和最远射程。
2. 优化问题：二次函数经常被用于解决优化问题，如寻找函数的最大值或最小值。
例如，在生产制造中，可以利用二次函数来确定产品的最佳产量和成本。
三、反比例函数的基本性质1. 定义域和值域：反比例函数 f(x) = k/x 的定义域为除了 x = 0 外的全体实数，值域也为除了 k = 0 外的全体实数。
二次函数与反比例函数初步总结
二次函数与反比例函数初步总结二次函数和反比例函数是高中数学中重要的内容，而且在实际生活中也有广泛的应用。
本文将对二次函数和反比例函数进行初步总结，主要包括定义、特点、图像、性质等方面的内容。
一、二次函数1. 定义：二次函数是形如y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的函数，其中a、b、c是已知的实数，a表示二次项的系数，b表示一次项的系数，c 表示常数项。
2.特点：(1)曲线的形状：二次函数的图像是一条平滑的曲线，且开口方向由二次项系数a的正负决定。
-当a>0时，开口向上，形如"U"形；-当a<0时，开口向下，形如"倒U"形。
(2) 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，即满足y = 0的x值。
二次函数的零点个数与判别式Δ（即b²-4ac）有关：-当Δ>0时，二次函数有两个不同的零点；-当Δ=0时，二次函数有两个相等的零点；-当Δ<0时，二次函数没有实数解，无零点。
(3)对称轴：二次函数的对称轴是函数图像的中心线，也是二次函数图像的对称轴。
对称轴的方程为x=-b/2a。
(4)极值点：二次函数的极值点是函数图像的最高点或最低点，也是对称轴上的点。
极值点的纵坐标为y轴上的最小值或最大值。
3.图像：通过画出对称轴、极值点、零点等关键点，可以得到二次函数的图像。
通过连接关键点，就能画出完整的二次函数曲线。
二、反比例函数1.定义：反比例函数是形如y=k/x的函数，其中k是常数，x≠0。
2.特点：(1)曲线的形状：反比例函数的图像是一条拱形曲线，且通过原点(0,0)。
当x趋近于正无穷或负无穷时，函数值趋于0。
(2)反比例关系：反比例函数表达了两个变量之间的反比关系，即一个变量的增大导致另一个变量的减小，反之亦然。
(3)单调性：反比例函数在定义域内是单调的，即x增大导致y减小，x减小导致y增大。
(4)随x趋于0的变化：当x趋近于0时，y的绝对值趋近于无穷大，即y趋于正无穷或负无穷。
二次函数与反比例函数二次函数与反比例函数的综合应用
二次函数与反比例函数二次函数与反比例函数的综合应用随着数学的发展，二次函数与反比例函数的综合应用在现实生活中扮演着重要的角色。
本文将探讨二次函数与反比例函数的基本概念，并通过实际案例来说明它们在应用中的价值。
二次函数是一种以x的平方为最高次的多项式函数。
它的一般形式为：y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数，且a不等于0。
二次函数的图像通常呈现为一条抛物线，其开口的方向取决于a的正负。
反比例函数，也被称为倒数函数，是指两个变量之间的关系满足乘积为常数的特性。
反比例函数的一般形式为：y=k/x，其中k为常数。
二次函数与反比例函数的综合应用可以广泛应用于物理学、经济学和工程学等实际领域。
下面将分别介绍它们在这些领域中的应用。
一、物理学中的应用二次函数在物理学中常用于描述抛体运动的轨迹。
例如，当一个物体被抛出时，它的运动轨迹可以用一个二次函数来表示。
其中，抛物线的开口方向与抛出的物体的初速度和抛出角度有关。
反比例函数在物理学中也有着重要的应用，特别是在描述压力和容积之间的关系时。
根据波义耳定律，一个封闭系统中的气体压力与其容积成反比。
因此，我们可以使用反比例函数来表示它们之间的关系，从而帮助我们理解气体的性质和行为。
二、经济学中的应用二次函数在经济学中被广泛应用于成本函数和利润函数的建模。
在生产过程中，成本往往与生产规模和产量呈二次函数关系。
通过分析二次函数的图像和性质，经济学家可以研究如何最大化利润或最小化成本，从而为企业的经营决策提供依据。
反比例函数在经济学中的一个重要应用是供求关系的建模。
根据经济学原理，供求关系可以用反比例函数来表示。
市场上的物品价格往往与供给量和需求量成反比。
通过解析反比例函数，经济学家可以预测市场价格的变化趋势，并为政府和企业的决策提供参考。
三、工程学中的应用二次函数在工程学中常用于描述材料的应力-应变关系。
通过对材料的试验数据进行拟合，可以得到二次函数模型，从而推导出材料的力学性质和特点。
第22章：二次函数与反比例函数知识点总结
第22章:二次函数与反比例函数强化记忆知识点知识点1：二次函数的图象与系数的关系.二次函数2y ax bx c =++中图象与系数的关系:（1）二次项系数a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． a>0时，开口向上，a<0时，开口向下。
a 越大，开口越小。
a 越小，开口越大。
（2）一次项系数b ，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．若0>ab ，则对称轴a b x 2-=在y 轴左边，若0<ab ，则对称轴a bx 2-=在y 轴的右侧。
若b=0，则对称轴abx 2-=＝0,即对称轴是y 轴.概括的说就是“左同右异,y 轴0” （3）常数项c ，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．当0c >时，交点在y 轴的正半轴上 ;当0c =时，抛物线经过原点，;当0c <时，交点在y 轴的负半轴上, 简记为“上正下负原点0”(4) △=b 2－4ac 决定了抛物线与x 轴交点的个数. ① 当0∆>时，抛物线与x 轴有两个交点 ② 当0∆=时，抛物线与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，抛物线与x 轴没有交点.另外当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．注：a +b +c 表示x=1时，对应的函数值。
a -b +c 表示x= －1时，对应的函数值.4a +2b +c 表示x=2时，对应的函数值。
9a -3b +c 表示x= －3时，对应的函数值.等知识2：一次函数的图象与系数的关系.一次函数:y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0) 中图象与系数的关系:（1）走向：k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限 （2）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（3）截距: 当b>0时，图象交于y 轴正半轴, 当b<0时，图象交于y 轴负半轴,当b=0时，图象交于原点.（4）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.知识3：反比例函数的图象与系数的关系以及反比例函数性质. 反比例函数:y ＝xk（k 为常数，k ≠0）中图象与系数的关系: （1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”这一条件。
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命题点 反比例函数与一次函数综合题
1. (2016安徽20题10分)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象分别与反比例函数y ＝a
x 的图象在第一象限交于点A (4，3)，与y 轴的负半轴交于点B ，且OA ＝OB .
(1)求函数y ＝kx ＋b 和y ＝a
x 的表达式；
(2)已知点C (0，5)，试在该一次函数图象上确定一点M ，使得MB ＝MC .求此时点M 的坐标．
第1题图 第2题图
2. (2015安徽21题12分)如图，已知反比例函数y ＝k 1
x 与一次函数y ＝k 2x ＋b 的图象交于A (1，8)，B (－4，m )．
(1)求k 1、k 2、b 的值；
【补充设问1】设一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于点C 、D ，求线段CD 的长． (2)求△AOB 的面积；
【补充设问2】求点O 到线段AB 的距离
3. (2017镇江)a 、b 是实数，点A (2，a )、B (3，b )在反比例函数y ＝－2
x 的图象上，则( ) A. a <b <0 B. b <a <0 C. a <0<b D. b <0<a
4. (2017宜昌)某学校要种植一块面积为100 m 2的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m ，则草坪的一边长y (单位：m)随另一边长x (单位：m)的变化而变化的图象可能是( )
第6题图
5. (2017青岛)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象经过A (－1，－4)，B (2，2)两点，P 为反比例函数y ＝kb
x 图象上一动点，O 为坐标原点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为C ，则△PCO 的面积为( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 不确定
6. (2017长沙)如图，点M 是函数y ＝3x 与y ＝k
x 的图象在第一象限内的交点，OM ＝4，则k 的值为________．
7. (10分)(2017重庆B 卷)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象与反比例函数y ＝k
x (k ≠0)的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于点C .过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，点O 是线段CH 的中点，AC ＝45，cos ∠ACH ＝5
5，点B 的坐标为(4，n )．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△BCH 的面积．
第7题图 第8题图
8. (2017衡阳)如图，已知点A 、B 分别在反比例函数y ＝1x (x ＞0)，y ＝－4
x (x ＞0)的图象上，且OA ⊥OB ，则OB
OA 的值为( )
A. 2
B. 2
C. 3
D. 4
9. (2017安徽9题4分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与反比例函数y ＝b
x 的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y ＝bx ＋ac 的图象可能是( )
10. (2016安徽22题12分)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A (2，4)与B (6，0)． (1)求a ，b 的值；
(2)点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x (2<x <6)．写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．
11. 如图，已知抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(3，0)，顶点为M .
(1)m 的值为________，A 点的坐标为________，对称轴为________，抛物线的顶点M 为________，C 点的坐标为________；
(2)点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当P A ＋PC 的值最小时，求点P 的坐标．
(3)求四边形ABMC 的面积．
12. (2017宁波)抛物线y ＝x 2－2x ＋m 2＋2(m 是常数)的顶点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
13. (2017广州)a ≠0，函数y ＝a
x 与y ＝－ax 2＋a 在同一直角坐标系中的大致图象可能是( )
14. (12分)(2017合肥蜀山区模拟)已知二次函数y ＝2x 2－4x －6.
(1)用配方法将y ＝2x 2－4x －6化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，并写出对称轴和顶点坐标； (2)当0<x <4时，求y 的取值范围；
(3)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积．
15. (12分)(2017南京)已知函数y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m (m 为常数)． (1)该函数的图象与x 轴公共点的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2
(2)求证：不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数y ＝(x ＋1)2的图象上； (3)当－2≤m ≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．
16. (2017贵港)将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )
A. y ＝(x －1)2＋1
B. y ＝(x ＋1)2＋1
C. y ＝2(x －1)2＋1
D. y ＝2(x ＋1)2＋1
17. (2017乐山)已知二次函数y ＝x 2－2mx (m 为常数)，当－1≤x ≤2时，函数值y 的最小值为－2，则m 的值是( )
A. 3
2 B. 2 C. 32或 2 D. －3
2或 2
18. (2017鄂州)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于A (－2，0)和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB ＝OC ，下列结论：①2b －c ＝2；②a ＝1
2；③ac ＝b －1；④a ＋b c >0.
其中正确的个数有( )
第18题图 第19题图
19. (12分)(2017安庆一模)如图，直线y ＝－12x ＋9
4与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，抛物线y
＝x 2＋bx ＋c 过点B ，C .
(1)求b 、c 的值；
(2)若点D 是抛物线在x 轴下方图象上的动点，过点D 作x 轴的垂线，与直线BC 相交于点E ，当线段DE 的长度最大时，求点D 的坐标．
20. (14分)(2017温州)如图，过抛物线y ＝14x 2
－2x 上一点A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点B ，交y 轴于点C ，已知点A 的横坐标为－2.
(1)求抛物线的对称轴和点B 的坐标；
(2)在AB 上任取一点P ，连接OP ，作点C 关于直线OP 的对称点D . ①连接BD ，求BD 的最小值；
②当点D 落在抛物线的对称轴上，且在x 轴上方时，求直线PD 的函数表达式．
第20题图。