§2 λ-矩阵在初等变换下的标准形
第6讲λ-矩阵及其标准形
第6讲 λ-矩阵及其标准形1 λ-矩阵及其运算 2 λ-矩阵的初等变换 3 λ-矩阵的标准形1 λ-矩阵及其运算 与以数字为元素定义矩 阵一样 , 我们可以定义以多 项式为元素的矩阵 .为讨论方便 , 从本节开始以 λ指代 多项式中的符号 .即以K [λ ]表示数域 K上的多项式环 . 定义6.1 设aij ( λ ) ∈ K [λ ], i = 1, 2,", n, j = 1, 2,", m.称 ⎛ a11 ( λ ) a12 ( λ ) " a1m (λ ) ⎞ ⎟ ⎜ a ( λ )为元素的矩阵 ⎜ a21 ( λ ) a22 ( λ ) " a2 m ( λ ) ⎟ij为数域 K上n × m的λ − 矩阵. 简称为 λ − 矩阵. 用A( λ ), B( λ )等表示. 相应地称仅以数字为元 素的矩阵为 数字矩阵 ,一般用 A, B等表示. 与数字矩阵一样 , λ − 矩阵也有所谓行 , 列, 型等概念 , 可同样地定义加 , 减, 乘, 转置等运算 , 运算法则相同 .# % # ⎟ ⎜ # ⎝ an1 ( λ ) an2 ( λ ) " anm (λ ) ⎠12⎟ λ2 + 1 λ 1 ⎞ ⎜ 例6.1A( λ ) = ⎛ ⎜ λ λ2 λ − 1 ⎟ , B ( λ ) = ⎜ − λ − λ ⎟ ⎠ ⎝ − λ λ ⎝ ⎠ λ + 1 − λ λ − 1 ⎛ ⎞ λ + 1 ⎛ ⎞ C (λ ) = ⎜ A(λ ) B( λ ) = ⎜ λ2 − λ3 λ4 0 λ λ + 1⎟ +λ⎟ ⎝ λ ⎠则 ⎝ ⎠ 2 + + λ λ 2 0 λ ⎛ ⎞ A( λ ) + C ( λ ) = ⎜ 2λ λ2 + λ 2λ ⎟ ⎝ ⎠ 对 n × n的 λ - 矩阵 ( n阶 λ − 矩阵 ) A( λ ) = ( a ij ( λ )) n 也可定义并计算其行列 式, a ij (λ ) n = ∑ ( −1) N ( j1 j2" jn ) a1 j1 (λ )a 2 j2 (λ )" a njn ( λ ). 由定义可知 λ − 矩阵的行列式为多项式 . 因其与 数字行列式有相同的定 义方式 ,因而性质相同 . 同样可定义行列式元素 的余子式和代数余子式 . 以及A(λ )的伴随矩阵 A* ( λ ).⎛ 1λ ⎞⎛λ 1 λ ⎞ ⎛ 2 − λ λ 2 − 1 1 − 2λ ⎞ 2 2 1 ⎟, A* (λ ) = ⎜ − 1 例6.2 A( λ ) = ⎜ λ ⎟. 0 ⎜1 λ 1⎟ ⎜ 2 − − − λ λ λ ⎟ 2 2 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 对λ - 矩阵的伴随矩阵同样可 验证 A( λ ) A* ( λ ) = A* ( λ ) A( λ ) =| A( λ ) | I 同样由行列式还可以定 义λ − 矩阵的子式 . 进而 我们也可以定义 λ - 矩阵的秩 . 定义6.2 如果λ − 矩阵A( λ )中有一个 s( ≥ 1)阶子式 不为0, 而所有 s + 1阶子式(若存在 )全为0, 则称A( λ ) 的秩为 s, 记做r ( A( λ )) = s.规定 : 0矩阵秩为 0.λ + 1 λ 2λ + 2 2λ + 1 ⎟,容易看出 A( λ )的 例6.3 A(λ ) = ⎜ ⎜ 2 2 2 2 ⎟1 2 四个 3阶子式均为 0, 而存在一个 2阶子式 λ + 1 λ ≠ 0 因此r ( A( λ )) = 2.⎛ 1 ⎝ λ223⎞ ⎠λ2λ2λ2与数字矩阵一样 , 我们也可以定义可逆 λ − 矩阵. 定义6.3 设A(λ )是n阶λ − 矩阵, 如果存在 n阶λ − 矩 阵B(λ ), 使得 A( λ ) B( λ ) = B( λ ) A( λ ) = I n 则称A(λ ) 是可逆的, 且称B(λ )为A( λ )的逆矩阵 . 显然, 若A( λ )可逆, 则逆矩阵唯一 . 记之为 A−1 ( λ ). 定理6.1 n阶λ - 矩阵A(λ )可逆当且仅当 | A(λ ) | 为 非0常数. 由A( λ )可逆知存在 B( λ )使 A( λ ) B( λ ) = I n 证明 “⇒” 从而 | A( λ ) || B( λ ) |= 1. 这表明 | A( λ ) | 为0次多项式 即 | A( λ ) | 为非零常数 . “⇐”设d =| A( λ ) | 为非零常数 , 那么 1 A* ( λ ) A( λ ) = A( λ )[ 1 A* ( λ )] = 1 | A( λ ) | I = I n n d d d −1 * 因此A(λ )可逆, 且A (λ ) = A (λ ) / | A(λ ) | .注记 由定理 6.1可知, 若A( λ )可逆则 A−1 ( λ ) = A* ( λ ) / | A( λ ) | 例6.4 判断下列 λ - 矩阵是否可逆 , 若可逆求其逆 . +2 λ ⎞ λ2 − λ ⎞ (1) A( λ ) = ⎛ ⎜λλ ⎟ ⎟ ( 2) B ( λ ) = ⎛ ⎜− λ − 2⎠ ⎝ ⎝ λ λ ⎠ 2 解 (1) | A( λ ) |= λ − λ = λ3 − λ2 −λ λ 不为0, 但也不是非零常数 . 因此A( λ )不可逆. ( 2) | B( λ ) |= λ + 2 λ = −4 λ λ−2 B( λ )可逆. 此时 1 λ −2 −λ ⎞ B −1 ( λ ) = B* ( λ ) / | B( λ ) |= − ⎛ ⎜ ⎟ 4 ⎝ − λ λ + 2⎠3λ − 矩阵也可以写成矩阵多 项式的形式 . 设 A( λ ) = ( a ij ( λ )) n× m 的元素的最高次为 k ,由数字 矩阵的加法和数乘运算 , A(λ )可表示成 (6.1) A( λ ) = λk Ak + λk −1 Ak −1 + " + λA1 + A0 其中Al , l = 0,1,", k , 为n × m数字矩阵 , 其( i , j )位置的 元素为多项式 aij ( λ )的l次系数. 显然Ak ≠ 0.称k为A(λ ) 的次数 , 称表达式(6.1)为A( λ )的自然表示⎛ λ3 − λ λ2 + 1 3λ2 + λ ⎞ 例6.5 λ − 矩阵 A( λ ) = ⎜ 1 λ3 − 2 5λ2 + 1 ⎟ 的次数 ⎜ λ2 −1 0 ⎟ ⎠ 为 3, 其自然表示为 ⎝⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 0 1 3⎞ ⎛ − 1 0 1⎞ ⎛ 0 1 0⎞ A( λ ) = λ3 ⎜ 0 1 0 ⎟ + λ2 ⎜ 0 0 5 ⎟ + λ ⎜ 0 0 0 ⎟ + ⎜ 1 − 2 1 ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎜ 1 0 0⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎜ 0 − 1 0⎟ ⎝ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠λ − 矩阵表示称自然表示后 , 其加减乘等运算就可通过多项式的相关运算实 现, 此时 , 多项式系数是数字 矩阵, 其系数的加减乘运算要 遵循数字矩阵运算规律 特别,由于矩阵乘法不满足消 去律 , 交换律 λ - 矩阵相 乘(矩阵多项式相乘 )不满足次数定理与交换 律. 0⎟ 1 2⎟ ⎞ + λ⎛ ⎞+⎛ ⎜− ⎜ 1 1⎞ ⎟ ⎜1 例6.6 A( λ ) = λ3 ⎛ ⎝ 1 0⎠ ⎝ 0 0⎠ ⎝ 0 0⎠ 0⎟ ⎞+⎛ ⎞ B ( λ ) = λ2 ⎛ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜0 ⎝ 2 1 ⎠ ⎝ − 1 − 2⎠ A( λ ), B( λ )的次数分别为 3和2, 它们的乘积 4⎟ − 1 − 2⎟ 2 1⎟ ⎞ + λ2 ⎛ ⎞ + λ⎛ ⎞ A( λ ) B( λ ) = λ3 ⎛ ⎜0 ⎜− ⎜5 0 0 0 ⎝ ⎝ 1 − 2⎠ ⎠ ⎝ ⎠ 可见A( λ ) B( λ )的次数为 3.42 λ-矩阵的初等变换与初等矩阵 类似与数字矩阵 , 对 λ - 矩阵也可定义初等变换 定义6.4 对 λ - 矩阵进行的如下三种变 换： (1)对调两行(列) ( 2)用不为0的常数乘某行 (列)的所有元素 ( 3)用某行(列)所有元素的 ϕ ( λ )倍加到另一行 (列) 的对应元素上 , 其中ϕ ( λ )是一个多项式 . 统称为 λ - 矩阵的初等变换 . 其中与行(列)有关的变 换被称为初等行 (列)变换 . 对初等变换的记法也与 数字矩阵类似 . ri ↔ rj ( ci ↔ c j ) 对调i , j两行(列) ri × k ( ci × k ) 非零常数 k乘第i行(列) rj + ϕ ( λ )ri 第i行(列)的ϕ ( λ )倍加到第 j行(列) c j + ϕ ( λ )c i定义6.5 称单位矩阵经过一次初 等变换所得到的 矩阵为初等矩阵 . 与数字矩阵一样 , 三种初等变换对应三种 初等矩阵 分别记做 I ( i , j ), I ( i ( k )), I ( i , j (ϕ ( λ ))), 其中 I ( i , j ), I ( i ( k )) 与数字矩阵的对应初等 矩阵相同 i列 j列 而 ⎛1 ⎞⎜ ⎜ I ( i , j (ϕ ( λ ))) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ % ⎟ ⎟ ← 第i行 1 " ϕ (λ ) ⎟ % ⎟ 1 ⎟ ← 第j行 % ⎟ 1⎟ ⎠由 I 经初等行(列)变换ri + ϕ (λ )rj (c j + ϕ (λ )ci )得到. 显然初等矩阵可逆 , 且 I −1 ( i , j ) = I ( i , j ), I −1 ( i ( k )) = I ( i ( k −1 )), I −1 ( i , j (ϕ ( λ ))) = I ( i , j ( −ϕ ( λ ))).5定义6.6 若 λ − 矩阵 A( λ )经过有限次初等变换变 成 B( λ ), 则称A( λ )与B( λ )等价, 记做A( λ ) → B( λ ). λ − 矩阵的等价关系仍满足 (1)反身性 ( 2)对称性 ( 3)传递性 与数字矩阵一样 , 下面结论成立 , 证明类似 , 此略 . 定理6.2 对m × n的λ − 矩阵A( λ )做一次初等行 (列)变 换相当于在 A( λ )的左(右)边乘上相应的 m( n)阶的初 等矩阵. 定理6.3 m × n矩阵 A( λ )与 B ( λ )等价当且仅当 存在 m阶初等矩阵 P1 ( λ ),", Ps ( λ )及n阶初等矩阵 Q1 ( λ ), ", Ql ( λ )使得A(λ ) = P1 (λ )"Ps (λ ) B(λ )Q1 (λ )"Ql (λ ). 定理6.4 若λ − 矩阵A( λ ), B( λ )等价, 那么 r ( A( λ )) = r ( B( λ )).3 λ-矩阵的标准形 对于 λ − 矩阵在初等变换下的标 准形 , 我们有 定理6.5 设A( λ )是m × n的λ - 矩阵, 且r ( A( λ )) = r > 0, 则A( λ )等价于具有如下形式 的λ − 矩阵： ⎛ Dr ( λ ) 0 ⎞ ( 6.2) ⎜ 0 0⎟ ⎝ ⎠ 其中Dr (λ ) = diag(d1 (λ ), d2 (λ ),", dr (λ )), 而d1 (λ ),", d r ( λ )是首项系数为 1的多项式且 d i ( λ ) | d i +1 ( λ ) i = 1,2,", r - 1. 注记 称形如( 6.2)的λ - 矩阵为A( λ )的Smith标准形 . 引理6.1 如果λ - 矩阵A( λ )的左上角元素 a11 ( λ ) ≠ 0 且A( λ )中至少有一个元素不能 被它整除 , 则可找到 一个与 A( λ )等价的矩阵 B( λ )使得它左上角元素也 不为0, 但次数比 a11 ( λ )低.6证明 : 根据 A( λ )中不能被 a11 ( λ )整除的元素所在位 置 , 分三种情况讨论 . (1)第1行有元素 a1 j ( λ )不能被 a11 ( λ )整除. 由带余除法 a1 j ( λ ) = q( λ )a11 ( λ ) + r ( λ ) 其中 deg( r ( λ )) < deg(a11 ( λ )). 此时对 A( λ )先后做初等 列变换 c j − q( λ )c1 和c j ↔ c1后, 左上角元素变为 r (λ ). 记此λ - 矩阵为 B(λ ). 显然B(λ )即为引理所求 . ( 2)第1列有元素 a j 1 ( λ )不能被 a11 ( λ )整除. 与(1)类似可 证引理成立 . ( 3)第1行与第1列的所有元素都能被 a11 ( λ )整除 , 但存 在aij ( λ )不能被 a11 ( λ )整除. 此时存在 p(λ )使得 a i 1 (λ ) = p(λ )a11 (λ ). 对A( λ )先后做初等变换 ri − p( λ )r1以及r1 + ri 得⎛ a11 ( λ ) ⎜ A( λ ) = ⎜ # ai 1 ( λ ) ⎜ ⎜ " ⎝a11 ( λ ) | (1 − p( λ ))a1 j ( λ ) + aij ( λ ) 此时 转化为情形 (1). 因此引理成立 . 下面证明定理 6.5. 证明 : 因r ( A( λ )) > 0, 经过行列变换后存在 A( λ )等价 矩阵B( λ )使其左上角元素 b11 ( λ ) ≠ 0. 注意到若 b11 ( λ ) 不能整除 B( λ )所有元素,由引理6.1存在与A(λ )等价的⎛ a11 ( λ ) ⎜ ri − p( λ )r1⎜ # 0 r1 + ri ⎜ ⎜ " ⎝" a1 j ( λ ) % # " aij ( λ ) " "" (1 − p(λ ))a1 j ( λ ) + aij ( λ ) % # " aij ( λ ) − p( λ )a1 j ( λ ) " ""⎞ ⎟ # ⎟ "⎟ "⎟ ⎠"⎞ ⎟ # ⎟ = B( λ ) "⎟ ⎟ "⎠7B1 ( λ )使其左上角元素 b1 ( λ ) ≠ 0且 deg(b1 ( λ )) < deg(b11 ( λ )). 若b1 ( λ )也不能整除 B1 ( λ )所有元素, 则又由引理 6.1 存在与 A( λ )等价的 B2 ( λ )使其左上角元素 b2 ( λ ) ≠ 0 且 deg(b2 ( λ )) < deg(b1 ( λ )). 再次检验 b2 (λ )是否能整除 B2 (λ )中所有元素 ,若不能 则再次使用引理 6.1. 如此反复多次 , 由于 b11 ( λ )的 次数有限, 必然在若干次后 , 能找到与 A( λ )等价的矩 阵Bs ( λ )使其左上角元素 bs ( λ ) ≠ 0 且能整除 Bs ( λ )所 有元素. 故不妨设 b11 ( λ )能整除 B( λ )所有元素 bij ( λ ). 即存在 qij ( λ )使得bij ( λ ) = qij ( λ )b11 ( λ ). 对B( λ )做初等列变换 c j − q1 j c1 , j = 2,3,", n , 初等 行变换 ri − qi 1 ( λ ) r1 , i = 2,3,", n 以及r1 × c ( c为b11 ( λ ) 首项系数的倒数 )得由于子块 A1 ( λ )中所有元素都是 B( λ )中元素的组合 , d1 ( λ )首项系数为1且整除A1 ( λ )中所有元素. 若A1 ( λ ) = 0, 则C ( λ )即为定理所求形式 , 否则对 A1 ( λ )重复以上 过程可得0 ⎞ ⎛ d1 ( λ ) 0 A( λ ) → ⎜ 0 d2 ( λ ) 0 ⎟, ⎟ ⎜ 0 A2 ( λ ) ⎠ ⎝ 0d (λ ) 0 ⎞ A(λ ) → B( λ ) → ⎛ ⎜ 1 0 A (λ ) ⎟ = C (λ ). ⎝ ⎠ 1其中d1 ( λ ), d 2 ( λ )首项系数为1,且d2 ( λ ) 整除A2 (λ )所 有元素. 此外注意到 d 2 (λ )为A1 ( λ )中元素的组合 , 故 d 1 (λ ) | d 2 (λ ). 如此继续下去 ,由于A(λ )只有有限行 , 若干步后必然 得到定理所求形式 .8例6.7 用初等变换法化如下 λ - 矩阵为 Smith标准形. ⎛ λ2 + λ − 1 − λ 2 λ2 + 1 ⎞ −λ A( λ ) = ⎜ λ2 λ ⎟ ⎜ 2λ − 1 λ 1− λ ⎟ ⎝ ⎠ 解 2 2 2 2 1 − 1⎞ ⎛ c3 ↔ c1 ⎜ − λ λ + λ c + c ⎛ λ + λ − 1 − λ 1⎞ ⎟ A( λ ) 3 2 ⎜ λ2 0 −λ λ2 − λ 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2λ − 1 2λ − 1 ⎟ λ 1⎠ ⎝1 λ ⎠ ⎝ 2 c2 + λ c1 1 0 0 ⎞ ⎛ c3 − ( λ2 + λ − 1)c1⎜ 0 − λ λ2 ⎟ ⎟ ⎜ 2 3 r3 − r1 ⎝0 λ + λ − λ + λ ⎠ 0 ⎞ ⎛1 0 c3 + λ c2 ⎜0 − λ 0 ⎟ r3 + ( λ + 1)r2 ⎜ 0 0 λ2 + λ ⎟ ⎠ ⎝由定理 6.5可得 定理6.6 λ − 矩阵A( λ )可逆当且仅当 A(λ )的Smith 标 准形为单位矩阵 I . 证明 " ⇒" 记A( λ )标准形为 S ( λ ). 由定理 6.5可知 A( λ ) = P1 ( λ )" Ps ( λ ) S ( λ )Q1 ( λ )"Qt ( λ ) (1) 注意到 A( λ )及Pi ( λ ), Q j ( λ )的行列式均为非 0常数. 由(1)可知 | S ( λ ) | 也是非零常数 . 这表明 S ( λ )对角 线上没有 0元素且 所有d i ( λ ) = 1 即S ( λ ) = I . " ⇐" 由(1)可知 | A( λ ) | 为非零常数 , 从而A( λ )可逆. 推论1 λ − 矩阵A( λ )可逆当且仅当 A( λ )可表示成 初等矩阵的乘积 . 推论2 m × n的λ − 矩阵A(λ ), B(λ )等价当且仅当存 在m 阶可逆 λ - 矩阵P ( λ )以及n阶可逆 λ - 矩阵Q(λ ) 使得A( λ ) = P ( λ ) B( λ )Q ( λ ).9课后练习 ⎛ λ 2λ + 1 1 ⎞ 1.求A( λ ) = ⎜ 1 λ + 1 λ2 + 1 ⎟的秩 ⎜λ −1 λ − λ2 ⎟ ⎠ ⎝ λ 1 0 ⎛ ⎞ 2.求A( λ ) = ⎜ 2 λ 1 ⎟的逆矩阵 ⎜ λ2 + 1 2 λ2 + 1 ⎟ ⎠ ⎝ 3.用初等变换化下列矩阵 为Smith标准形 ⎛ 1 − λ λ2 λ ⎞ 0 ⎞ ⎛1 − λ 0 (1) A( λ ) = ⎜ λ λ − λ ⎟ ( 2) B ( λ ) = ⎜ 0 λ 0 ⎟ ⎜ 0 0 λ − λ2 ⎟ ⎜ 1 + λ 2 λ 2 − λ2 ⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ 4.若λ − 矩阵A(λ )可逆, 试证明 ( A(λ ), I ) → ( I , A−1 (λ )).10第7讲 不变因子与初等因子1 行列式因子 2 不变因子 3 初等因子1 行列式因子 本讲我们主要解决 Smith 标准形的唯一性 , 探讨 λ − 矩阵等价下的不变量以 及得到 Smith标准形的 其它方法 . 定义7.1设λ − 矩阵A( λ )的秩为 r , k为整数且1 ≤ k ≤ r , A( λ )中必有非零的 k阶子式. 称A( λ )的全部 k阶子式 的首项为1的最大公因式为A( λ )的k阶行列式因子, 一般记做 Dk ( λ ). 注记(1)由定义可知 Di ( λ ) | Di +1 ( λ ), i = 1, 2,", r − 1 ( 2) A( λ )与A( λ )的转置有相同的各阶行 列式因子. ⎛ 1 + λ2 2λ2 − λ2 ⎞ 例7.1求A( λ ) = ⎜ λ 2λ − λ ⎟的各阶行列式因子 . ⎜ 1 − λ 2λ2 λ ⎟ ⎠ ⎝ 解 由 | A( λ ) |= 2λ2 (1 + λ ) 因此D3 ( λ ) = λ2 (1 + λ )12 2 A( λ )有个 2阶子式 1 + λ 2λ = 2λ , 因此D2 ( λ ) | λ . λ 2λ 又因为 λ 整除 A( λ )第 2, 3两列所有元素 , 因此λ整除 A( λ )所有二阶子式 , 进而 D2 ( λ ) = λ . 注意到 A(λ )两个1阶子式 λ 及1 − λ , 互素, D1 ( λ ) = 1. A (λ ) 0 ⎞ 例7.2 求A( λ ) = ⎛ ⎜ r0 0 ⎟的各阶行列式因子 , 其中 ⎠ ⎝解 对任意0 < k ≤ r , 注意到 A( λ )不为0的k阶子式只 能包含Ar中k行和k列, 而且行标和列标要完全 相同. 令i1 , i2 ,", ik 表示从1, 2,", r中任意取出的 k个不同⎛ d1 ( λ ) 0 ⎜ Ar = ⎜ 0 d2 ( λ ) # ⎜ # 0 ⎝ 0" 0 ⎞ " 0 ⎟. ⎟ % # ⎟ " dr (λ ) ⎠的数并按增序排列 , 以Di1i2"ik 表示由第 i1 , i2 ,", ik 行和第 i1 , i2 ,", ik 列交叉位置元素构成的 k阶子式, Di1i2"ik = d i1 ( λ )d i2 ( λ )"d ik ( λ ) 那么 从而A( λ )的k阶行列式因子 Dk ( λ )就是 C rk 个形如 d i1 ( λ )d i2 ( λ )" d ik ( λ )多项式的首系数为 1的最大 公因式. 设d i (λ )有不可约分解式 ri 1 ri 2 d i (λ ) = a i p1 ( λ ) p2 (λ )" psris (λ ), i = 1,", r , 那么 r + r +"+ rik 1 d i1 ( λ )d i2 ( λ )"d ik ( λ ) = c[ p1 ( λ )] i1 1 i2 1 ri1 2 + ri2 2 +"+ rik 2 × [ p2 ( λ )] "[ ps (λ )]ri1s + ri2 s +"+ rik s , 其中 c = a i1 a i2 " a ik 为非零常数 . tkj = min ( ri1 j + ri2 j + " + rik j ) (7.1) 令则tk 1 tk 2 tks Dk ( λ ) = p1 ( λ ) p2 ( λ )" ps (λ )i1 , i2 ,", ik(7.2)2特别, 若d1 ( λ ), d 2 ( λ ),", dr ( λ )首系数为1, 且 di ( λ ) | d i +1 ( λ ), i = 1,2,", r − 1 即A( λ )为Smith标准形, 那么 Dk ( λ ) = d1 ( λ )d 2 ( λ )"dk ( λ ). 例7.3 求A( λ ) = ⎜0 ⎛ (1 + λ ) λ ⎜ 0 λ2 (1 + λ ) ⎜ 0 0 ⎝2(7.3)解 由(7.1)及(7.2)可知 D1 ( λ ) = 1, D2 ( λ ) = λ (1 + λ ), D3 ( λ ) = λ3 (1 + λ ) 3 . 定理7.1 等价的 λ - 矩阵具有相同的各阶行 列式因子 证明 只需要证明对任意 λ - 矩阵A( λ )经过一次初等 变换后行列式因子不变 . 又因为转置后行列式因 子 不变. 因此我们只讨论一次初 等行变换的情形 .0⎞ ⎟ 0 ⎟的各阶行列式因子 . 1⎟ ⎠设A( λ )经过一次初等行变换变 成B( λ ), 分别记其 k阶 行列式因子为 f ( λ ), g ( λ ). (1) A( λ ) ri ↔ r j B( λ ). 此时B( λ )的每个 k阶子式或者等 于A( λ )的某个 k阶子式, 或者与之反号 . 因此f ( λ )整除 B( λ )的每个k阶子式 从而f ( λ ) | g ( λ ). (2) A( λ ) ri × cB( λ ). 此时B( λ )的每个 k阶子式或者等 于A( λ )的某个 k阶子式, 或者为之 c倍. 因此f ( λ )整除 B( λ )的每个k阶子式 从而f ( λ ) | g ( λ ). (3) A( λ ) ri + ϕ ( λ ) rj B( λ ). 此时B( λ )中同时含 i , j两行, 或不含第 i行的k阶子式 等于A( λ )中相应 k阶子式. 而 B( λ )中只含第 i行不含第 j行的k阶子式, 按i行分成两 部分 , 等于 A( λ )中对应 k阶子式及另一个 k阶子式的3± ϕ ( λ )倍. 因此f ( λ )整除B( λ )的每个k阶子式 从而 f ( λ ) | g ( λ ). 又因初等行变换可逆 , 且其逆变换仍为初等行 变换 同样方法可证 g ( λ ) | f ( λ ). 因它们首系数均为1, 故 g ( λ ) = f ( λ ). 定理7.2 λ − 矩阵的Smith标准形唯一. 证明 设S1 ( λ ), S2 ( λ )是A( λ )的两个 Smith标准形.因为 它们均与 A( λ )等价 , 故 S1 ( λ )与 S 2 ( λ )等价 , 进而有相 同的秩, 记做r , 及相同的 k阶行列式因子 Dk ( λ ). 分设 S1 ( λ ), S2 ( λ )左上角元素依次为 d11 ( λ ), d12 ( λ ),", d1r ( λ )；d21 ( λ ), d22 ( λ ),", d2 r ( λ ).由(7.3)可知Dk ( λ ) = ∏ d1i ( λ ) = ∏ d 2i ( λ ), k = 1,", r .因此d1i ( λ ) = d 2 i ( λ ), i = 1,", r . 即S1 ( λ ) = S2 ( λ ).i =1 i =1kk2 不变因子 定义7.2 秩为 r的λ − 矩阵 A( λ )的Smith标准形主对 角线上非零元素 d1 ( λ ), d 2 ( λ ), " , d r ( λ )称为 A( λ )的 不变因子. 由(7.3)可知A( λ )不变因子与行列式因子 关系如下 k Dk ( λ ) = ∏ d i ( λ ) 或 d k (λ ) Dk −1 ( λ ) = Dk (λ ) (7.4)其中k = 1, 2,", r; D0规定为1. 定理7.3 λ - 矩阵等价的充要条件是 它们有相同的 行列式因子和 /或不变因子 证明 " ⇒" 由定理7.1及7.2可得. " ⇐"由(7.4)可知, 有相同行列式因子和 /或不变因子 的λ - 矩阵, 有相同的 Smith标准形.由等价的传递性 可知, 它们等价 .i =14公式(7.4)为我们提供了不用初等 变换而得到 Smith 标准形的方法 . 例7.4求下列矩阵的 Smith标准形 0 ⎞ ⎛λ − c 1 0 0 ⎜ 0 λ −c % 0 0 ⎟ (1) A(λ ) = ⎜ # # % % # ⎟ ⎟ ⎜ 0 0 " λ c 1 − ⎜ 0 0 " 0 λ − c⎟ ⎠n ⎝⎞ ⎛ A2 (λ ) I2 ⎟ 其中 ⎜ A2 (λ ) % ⎟ ⎜ (2)B(λ ) = ⎜ % % −a ⎟ A (λ ) = ⎛ ⎜ λ− 2 A ( λ ) I ⎜ ⎝ b 2 2 ⎟ ⎟ ⎜ A ( λ ) ⎠ 2n ⎝ 2λ − a⎟ ⎠b ⎞解 (1)显然 | A( λ ) |= ( x − c )n且容易观察到 A( λ )有一个 n − 1阶子式 = 1. 因此Dn ( λ ) = ( λ − c )n , Dn−1 ( λ ) = 1 因此D1 ( λ ) = D2 ( λ ) = " = Dn−1 ( λ ) = 1. 从而d1 ( λ ) = " = dn−1 ( λ ) = 1, dn ( λ ) = ( λ − c )n . A( λ )的标准形为⎛1 ⎞ ⎜ % ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ n⎟ (λ − c ) ⎠ n ⎝( 2)令p( x ) = ( x − a ) 2 + b 2 = x 2 − 2ax + a 2 + b 2 . 容易看出 | B( λ ) |= p n ( x ) 为得到 D2 n−1 ( λ ) 考察B( λ )的两个 2n − 1阶子式 λ −a 1 0 "" b 1 0 "" λ −a 0 1 "" −b 0 1 "" T2n−1 = 0 λ − a b " ",T2n−1 = 0 λ − a b " " 0 −b λ −a "" 0 −b λ −a "" " " " "" " " " ""5T2n−1 = −(λ − a)T2n−3 + bT2n−3 , T2n−1 = −bT2n−3 − (λ − a)T2n−3 . 由T3 = −2b( λ − a ), T3 = b 2 − ( x − a ) 2 = − p( x ) + 2b 2 . 及数学归纳法可知 , T2n−1与T2 n−1与p( x )做带余除法 必有一个余式为非零常 数, 另一个为 ( λ − a )的非零 常数倍.由辗转相除法 p( λ )与T2 n−1互素, 从而 ( p( λ ), D2 n−1 ( λ )) = 1. 另一方面 由D2 n−1 ( λ ) | D2 n ( λ )可知, D2 n−1 ( λ ) | p n ( λ ) 因此1 = D2 n−1 ( λ ) = " = D2 ( λ ) = D1 ( λ ). 从而d1 ( λ ) = " = d2 n−1 ( λ ) = 1, d2 n ( λ ) = p n ( x ).行列式展开可得B( λ )的标准形为⎛1 ⎞ ⎜ % ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ 2 2 2 n⎟ (λ − 2aλ + a + b ) ⎠ 2n ⎝3 初等因子 定义7.3 把λ − 矩阵A( λ )的所有次数 ≥ 1的不变因子 在数域 K上分解成标准分解式 . 其中所有不可约多 项式的 方幂 (不论是否重复 )称为 A( λ )在数域 K 上 的初等因子. 注记 初等因子与数域有关 . 例7.5 分别在复 /实数域写出矩阵 A( λ )的初等因子.⎛1 ⎞ ⎜ λ ⎟ ⎟ A(λ ) = ⎜ λ2 ( λ − 1)2 ⎜ ⎟ ⎜ λ2 ( λ − 1)2 ( λ2 + 1) 2 ⎟ ⎝ ⎠解 在实数域上初等因子为 λ λ2 ( λ − 1)2 λ2 ( λ − 1)2 ( λ2 + 1)2 在复数域上初等因子为 λ λ2 ( λ − 1)2 λ2 ( λ − 1)2 ( λ − i ) 2 ( λ + i ) 26不变因子可唯一地确定 初等因子, 反之一般不真 . 比如例7.5中的初等因子可能对应 不同的标准形 :⎛λ ⎞ ⎜ λ2 ( λ − 1)2 ⎟ ⎟ A(λ ) = ⎜ 2 2 2 2 λ ( λ − 1) (λ + 1) ⎟ ⎜ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠定理7.4 不变因子由初等因子与 秩唯一确定. 证明 设秩为r .此时不变因子含 r个多项式 . 由定义 初等因式中同一个不可 约因式及其方幂至多出 现 k r次. 设初等因子为 p j ij ( λ ), 其中p j ( λ )不可约, kij ≥ 0 i = 1, 2,", n j , j = 1, 2,", s, n j 为不超过 r的正整数 . 将kij , i = 1, 2,", n j 按从小到大次序排列 , 若n j < r 则在前面补充 r − n j 个0. 记该排列得到的数列为 t1 j ≤ t2 j ≤ t3 j ≤ " ≤ trj j = 1,2,", st t tis ( λ ) i = 1,2,", r . 令 di ( λ ) = p1i 1 ( λ ) p2i 2 ( λ )" ps 容易验证 d i ( λ ), i = 1, 2,", r构成不变因子而且由其 导出的初等因子 与假设相同. 下设d i ( λ ), i = 1, 2,", r , 也是一组不变因子并导 出 相同的初等因子 . 此时由不变因子性质 t p jrj ( λ ) | dr ( λ ). tr 1 trs 因此dr ( λ ) = p1 ( λ ) " ps ( λ ) = dr ( λ ).若存在 i使得 当i < l ≤ r时d l ( λ ) = d l ( λ ) 但d i ( λ ) ≠ d i ( λ ). 设d i ( λ ) ti 1 ti 2 tis 的标准分解式为 di ( λ ) = p1 ( λ ) p2 ( λ )" ps (λ ) 由于d i ( λ ) | d i +1 ( λ )( = d i +1 ( λ )) 因此 tij ≤ ti +1, j , j = 1,2,", s 而d i ( λ ) ≠ d i ( λ )意味着 存在某个 tij ≠ tij . 若tij > tij t 则由d i ( λ )导出的初等因子中 新出现了 p jij ( λ )或者7p jij ( λ )多出现一次 . 若tij < tij , 则在d i ( λ )导出的初等 t 因子中或者 p jij ( λ )没有出现或者少出现一 次.这都 与假设初等因子相同矛 盾,因此 di ( λ ) = di ( λ ), i = 1,2," r . 注记 定理7.4的证明给出了由初等因 子与秩构造不 变因子以及 Smith标准形的方法 . 由定理7.4立即可得 定理7.5 两个同型 λ - 矩阵等价当且仅当它们 有相 同的初等因子与秩 . 下面的定理说明如何从 对角矩阵 (未必标准形 ) 获得初等因子 . 其证明由(7.1), (7.2)容易得到. A (λ ) 0 ⎞ 定理7.6 设数域K上m × n矩阵A( λ ) = ⎛ ⎜ r0 0 ⎟其中 ⎠ ⎝t且d i (λ )首系数为1且有不可约分解式 ki 1 d i (λ ) = p1 ( x )" pskis ( x ), i = 1," , r k 则所有 p j ij ( x ), kij > 0, i = 1,", r; j = 1,", s 构成A( λ )的初等因子 . ⎛ A1 (λ ) ⎞⎛ d1 ( λ ) 0 ⎜ Ar = ⎜ 0 d2 ( λ ) # ⎜ # 0 ⎝ 0" 0 ⎞ " 0 ⎟. ⎟ % # ⎟ " dr (λ ) ⎠推论 若A(λ )为分块对角矩阵 ⎜ ⎜⎜ ⎝⎜A2 (λ )则A1 (λ ), A2 (λ )," , As (λ )初等因子全部合起来就 是 A(λ )的初等因子 . 证明 将A1 (λ )," , As ( λ )化成对角形 ,由定理 7.6即得.⎟ ⎟ % ⎟ As (λ ) ⎟ ⎠8例7.6 求实系数矩阵 ⎛ λ − 1 λ2 0 ⎜ A( λ ) = ⎜ 2λ λ − 1 02 0 0 λ⎜ 0 ⎝ 0的全部初等因子及标准 形. 1 0 1 λ2 ⎟ ⎞→⎛ ⎞ 解 因为 ⎛ ⎟ ⎜ λ2− ⎜ 2 ⎝ λ λ − 1 ⎠ ⎝ 0 ( 2λ − 1)(λ + 1) ⎠ A( λ )的所有初等因子为 2λ − 1, λ2 + 1, λ2 , λ2 + 1, λ2 因此标准形为⎛1 ⎜0 S (λ ) = ⎜ 0 ⎜ ⎝00 ⎞ ⎟ 0 ⎟ 0 2 2⎟ 0 ( λ + 1)λ ⎠0 0 0 ⎞ ⎟ 1 0 0 2 2 ⎟. 0 λ ( λ + 1) 0 2 2⎟ 0 0 ( 2λ − 1)(λ + 1)λ ⎠课后练习1求下列矩阵的行列式因 子, 不变因子与标准形 0 ⎞ 0 1 λ +2 ⎞ ⎛λ −1 0 ⎛ 0 ⎜0 λ −1 0 ⎟ ⎜ 0 1 λ +2 0 ⎟ (1)⎜ (2)⎜ 0 0 λ −1 ⎟ 1 λ +2 0 0 ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ 0 0 ⎟ ⎝ 5 4 3 λ + 2⎠ ⎝λ + 2 0 ⎠ 2 2 2 ⎛ λ + 2 λ + 1 λ + 1⎞ 2分别在复 /实数域上求 矩阵⎜ 3 λ2 + 1 3 ⎟ ⎜ λ 2 + 1 λ2 + 1 λ 2 + 1 ⎟ 的初等因子与标准形 . ⎝ ⎠3* 试证明定理 7.69第8讲 数字矩阵相似条件及其约当标准形1 特征矩阵与相似条件 2 复约当标准形 3 实约当标准形1 数字矩阵相似条件 本讲我们主要解决如何 判断数字相似 , 探讨数 字矩阵在复数域与实数 域上相似矩阵的标准形 态. 定义8.1 设A为n阶数字矩阵 , 称λ - 矩阵λI − A为A A的特征矩阵 . 注记 数字矩阵 A的特征矩阵总是满秩的 . 引理8.1 设 A, B是数域 K上的 n阶数字矩阵 , 若存在 n阶数字矩阵 P , Q使得 λI − A = P ( λI − B )Q , 那么 A与B相似. 证明 由λI − A = P ( λI − B )Q = λPQ − PBQ可知 PQ = I . −1 进而 A = Q −1 BQ 即A, B相似. Q = P 从而Q可逆且 引理8.2 对于数域 K上的任何不为零的 n阶数字矩1阵A及n阶λ − 矩阵U ( λ ),V ( λ ), 一定存在 n阶λ − 矩阵 T ( λ )与S ( λ )及n阶数字矩阵 U 0 ,V0使得 U ( λ ) = ( λI − A)T ( λ ) + U 0 ; V ( λ ) = S ( λ )(λI − A) + V0 . 证明 把U ( λ )写成自然表示 U ( λ ) = Dm λm + Dm −1λm −1 + " + D1λ + D0 其中Dm ,", D0为n阶数字矩阵且 Dm ≠ 0. 若m = 0, 则令T ( λ ) = 0, U 0 = D0 此时引理显然成立 . 若m > 0, 设 T ( λ ) = Qm −1λm −1 + " + Q1λ + Q0 . 令 Qm −1 = Dm Qk −1 = Dk + AQk k = 1,2,", m − 1 U 0 = D0 + AQ0 容易验证此时 T ( λ ), U 0即满足定理所求 . 类似可以证明另一个等 式.定理8.1 设 A, B是数域 K上的 n阶数字矩阵 , A, B相似 的充要条件是特征矩阵 λI − A, λI − B等价. 证明 “⇒” 由A, B相似可知存在可逆矩阵 P使得 P −1 AP = B − 1 从而 P ( λI − A) P = λP −1 P − P −1 AP = λI − B. 所以 λI − A, λI − B等价. “⇐” λI − A, λI − B等价可得可逆 λ - 矩阵U (λ ),V (λ ) 使得 λI − A = U (λ )(λI − B )V (λ ) 由引理 8.2得 U −1 ( λ )(λI − A) = ( λI − B )V ( λ ) = ( λI − B )[ S ( λ )(λI − A) + V0 ] −1 因此 [U ( λ ) − ( λI − B ) S ( λ )](λI − A) = ( λI − B )V0 比较两边次数知 U −1 ( λ ) − ( λI − B ) S ( λ )为数字矩阵 记其为 P , 则 P ( λI − A) = ( λI − B )V0且2I = U ( λ ) U −1 ( λ ) = )(B λI −( λ B) )S λ ) + U (λ ) P −U ( λ(Iλ− )S =(P −1 −1 =U ( λ(Iλ− )(A λI )V −B () λ V)( S λ () λ V )+ ( (λI) S −(A λ )Q (λ ) P + U 0 P = ( λI − A)[Q ( λ ) P + V −1 ( λ ) S ( λ )] + U 0 P 比较两边次数可知 Q ( λ ) P + V −1 ( λ ) S ( λ ) = 0. 从而由 I = U 0 P可知P可逆, 进而 λI − A = P −1 ( λI − B )V0 . 由引理 8.1可知A, B相似. 定义8.2 设A为n阶数字矩阵 , 称A的特征矩阵 λI − A 的行列式因子 , 不变因子, 初等因子为 A的行列式因 子, 不变因子与初等因子 . 注记 对n阶数字矩阵 A, 其n阶行列式因子 Dn ( λ )为n 次多项式 . 若记A的初等因子为 pi ( λ ), i = 1, 2,", s, 则 deg( p1 (λ )) + deg( p2 (λ )) + " + deg( ps (λ )) = n. ( 8.1)由定理 8.1 定理7.3以及定理 7.5可得 定理8.2 设A, B为数域 K上n阶数字矩阵 , A, B相似的 充要条件是 A, B有相同的初等因子 , 或相同的不变 因子, 或相同的行列式因子 . 例8.1 判断下列矩阵是否相似 .⎛2 0 ⎛ 3 0 8 ⎞ ⎛ − 1 1 0⎞ 0 1 3 −1 6 ⎟ C = ⎜ A = ⎜ − 4 3 0⎟ B = ⎜ ⎜1 0 ⎜ − 2 0 − 5⎟ ⎜ 1 0 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛λ +1 −1 4 λ−3 解 观察A的特征矩阵 λI − A = ⎜ ⎜⎝ −1 00⎞ 1⎟ 1⎟ ⎠容易知道 A的三个行列式因子为 D3 ( λ ) = ( λ − 2)(λ − 1) 2 D2 ( λ ) = D1 ( λ ) = 1. 同样容易观察到 C的三个行列式因子为 D3 ( λ ) = ( λ − 2)(λ − 1) 2 D2 ( λ ) = D1 ( λ ) = 1.0 ⎞ 0 ⎟ λ − 2⎟ ⎠3观察矩阵 B的特征矩阵⎛λ − 3 0 λI − B = ⎜ 3 λ + 1 ⎜ −2 ⎝ 0可知B的3阶行列式因子为 ( λ + 1) 3 . 因为A, C各阶行列式因子相同, 而与B至少3阶行列 式因子不同,因此A, C相似, 而A与B, B与C均不相似 . 2 复约当标准形 ⎞ ⎛c 1 ⎟ ⎜ 的ri阶矩阵 r 为ri阶约当块,称由若干约当块构成的 分块对角矩⎜ ⎜ ⎝8 ⎞ 6 ⎟ λ + 5⎟ ⎠回顾 设 c为任意复数 ,称形如 ⎜⎜c 1 ⎟ % % ⎟ c 1⎟ c⎟ ⎠ iJ=⎛ J1 ⎞ ⎜ J ⎟ 2 ⎜ ⎟ % ⎟ 为约当矩阵 . ⎜ ⎜ Js ⎟ ⎝ ⎠由例7.4(1)可知, 对任意复数 λi , 约当块Ji =的不变因子为 d1 ( λ ) = " = d ri −1 ( λ ) = 1, d ri ( λ ) = ( λ − λi )ri 从而J i的初等因子为 ( λ − λi )ri . 反之 , 给定初等因子 ( λ − λi ) ri 则只能找到唯一的约当 块J i与之对应 . 进一步, 对约当矩阵 J⎛ J1 ⎞ ⎟ ⎜ J2 ⎟ =⎜ % ⎟ ⎜ ⎜ Js ⎟ ⎝ ⎠⎞ ⎛ λi 1 ⎟ ⎜ λ 1 i ⎟ ⎜ %% ⎟ ⎜ λi 1 ⎟ ⎜ ⎜ λi ⎟ ⎠ri ⎝由定理7.6推论可知 J的初等因子为 (λ − λ1 )r1 , (λ − λ2 )r2 ,", (λ − λs )rs4反之, 给定初等因子 (λ − λ1 )r1 , (λ − λ2 )r2 ,", (λ − λs )rs (1) ri 由于对每个 ( λ − λi ) 只有唯一的约当块与之 对应, 除去对角线上约当块的 次序外, 只有唯一的阶为 r1 + r2 + " + rs 约当矩阵 J 使其初等因子具有给定 (1)形式 . 定理8.3 复数域上每个 n阶数字矩阵 A都与一个 n阶 约当矩阵 J相似, 而且除去约当块排列次 序外,矩阵 J由A唯一确定.J被称为A(复数域上 )的约当标准形 . 证明 复数域上不可约多项式 都是1次多项式 , 因此 不妨设 A的初等因子为 (λ − λ1 )r1 , (λ − λ2 )r2 ,", (λ − λs )rs 其中λi为任意复数 (可重复 ), ri ≥ 1, 且由( 8.1)可知 r1 + r2 + " + rs = n.因此出约当块的次序外 , 存在唯一 n阶约当矩阵 J 使其初等因子也为 (λ − λ1 )r1 , (λ − λ2 )r2 ,", (λ − λs )rs . 由定理 8.2可知A与J相似. 例8.2 求下列矩阵的约当标准 形. ⎛ 2 − 1 1 − 1⎞ ⎛ 3 1 − 1⎞ ⎜ 2 2 − 1 − 1⎟ ⎜− 2 0 2 ⎟ ( 2 ) B = (1) A = ⎜ 1 2 −1 2 ⎟ ⎜−1 −1 3 ⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎠ ⎝ 0 2 ⎠ ⎝ λ−2 1 −1 1 ⎞ 解 (1) A的特征矩阵为 ⎛ ⎟ ⎜ 直接计算两个 3阶子式得λ −22 λ−2 1 1 λI − A = ⎜ − 1 1 1 2 ⎟ λ − − + − ⎜ 0 0 0 2⎟ λ − ⎠ ⎝λ−2 1 1 1 −1 = − ( λ − 3) − 2 λ − 2 1 = ( λ − 1) 3 − 2 λ − 2 1 × ( 2λ − 5) 1 1 2 − − − −1 −1 λ +15由于这两个 3阶子式互素 ,因此D3 ( λ ) = 1. 进而 D2 ( λ ) = D1 ( λ ) = 1. 又有 D4 ( λ ) =| λI − A |= ( λ − 3)(λ − 1) 3 因此A的不变因子是 d1 ( λ ) = d2 ( λ ) = d 3 ( λ ) = 1, d4 ( λ ) = ( λ − 3)(λ − 1) 3 A的初等因子为 λ − 3, ( λ − 1)3 . A的约当标准形为 ⎛ 1 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ J = ⎜ 0 1 1 0⎟ 0 1 0⎟ ⎜0 ⎝ 0 0 0 3⎠ ( 2)对 B的特征矩阵做初等变换 得 0 0 1⎞ ⎛ 2 + c3 ⎛ λ − 3 − 1 1 ⎞ c c− (λ − 3)c3 ⎜ ⎜ ⎟ 2 − 4 − 2 0⎟ λ λ 1 = 2 − 2 λ λI − B ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ r + 2 r 1 ⎝ (λ − 2)(4 − λ ) λ − 2 0⎠ ⎝ 1 1 λ − 3⎠ 2r3 − ( λ − 3)r1c1 − 2c2 ⎛ ⎜ r3 − r2 ⎜B的初等因子为 λ − 2, ( λ − 2) 2 . 约当标准形为 ⎛ 2 0 0⎞ J = ⎜ 0 2 1⎟ ⎜ 0 0 2⎟ ⎠ ⎝ 由于1阶约当标准形对应一次 初等因子 , 我们有 定理8.4 n阶方阵 A在复数域上可对角化的 充要条 件是 A 的初等因子都是 1次的 . 又由于初等因子是由不 变因子因式分解得到 , 故 定理8.5 n阶方阵 A在复数域上可对角化的 充要条 件是 A的不变因子没有重根 .0 0 λ −2 0 2 0 ⎝ − (λ − 2)0 ⎞ 1⎞ c ↔c ⎛ 1 0 3 ⎜ 0 λ 2 0 ⎟ 0 ⎟ r1 × ( −1 − )⎜ ⎟ 3 2⎟ 0⎠ ⎝ 0 0 (λ − 2) ⎠6下面介绍求相似变换矩 阵的方法 . 设n阶方阵 A与约当矩阵 J相似 , 相似变换矩阵为 P . 设J⎛ J1 ⎞ ⎜ ⎟ J2 ⎟其中 J i =⎜ % ⎜ ⎟ ⎜ Js ⎟ ⎝ ⎠⎛ λi 1 ⎞ ⎟ ⎜ λ 1 i ⎟ =⎜ 1 + "+ rs % 1 ⎟ (r ⎜ ⎟ ⎜ λi ⎠ ri ⎝= n).由P −1 AP = J 可知AP = PJ 设P = (T1 , T2 ,", Ts ) 其中Ti 为n × ri 子块， 由分块矩阵乘法 , 可得 ATi = Ti J i 进一步记 Ti = ( ei 1 , ei 2 ,", eiri ) 则 i = 1,2,", s. ( 8.2) Aei 1 = λi ei 1 , Aeil = λi eil + eil −1 . l = 2,", ri 显然λi是A的特征值 , ei 1是对应的特征向量 . 而向量 eil , l = 2,", ni 称为特征值 λi的广义特征向量 .注记 定理 8.3保证了方程组 ( 8.2)一定有n个线性无 关的解. 为此, 具体求解时要对 eij 有所选择 . 例8.3 求例 8.2中矩阵 B 的相似变换矩阵 P 解 设相似矩阵 P = ( p1 , p2 , p3 )使得⎛ 3 1 − 1⎞ ⎛ 2 0 0⎞ P −1 BP = P −1 ⎜ − 2 0 2 ⎟ P = ⎜ 0 2 1 ⎟ ⎜−1 −1 3 ⎟ ⎜ 0 0 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Bp1 = 2 p1 ⎛ 2 0 0⎞ 因此 BP = P ⎜ 0 2 1 ⎟ 即 Bp2 = 2 p2 ⎜ 0 0 2⎟ Bp3 = 2 p3 + p2 ⎠ ⎝ 可见p1 , p2为B对应特征值 2的特征向量 而广义特征 向量p3满足方程 ( B − 2 I ) x = p2 . 解方程( B − 2 I ) x = 0,由7可得基础解系为 η1 = ( −1,1,0)T , η 2 = (1,0,1)T . 令 p1 = ( −1,1,0)T . 为使方程 ( B − 2 I ) x = p2有解, 令p2 = k1η1 + k2η 2 , 由⎛ 1 1 − 1 k2 − k1 ⎞ ( B − 2 I , p2 ) = ⎜ − 2 − 2 2 k1 ⎟ ⎟ ⎜ k2 ⎠ ⎝−1 −1 1⎛ 1 1 − 1⎞ ⎛ 1 1 − 1⎞ B − 2I = ⎜ − 2 − 2 2 ⎟ → ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜ −1 −1 1 ⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠可知2k2 = k1时方程有解 .取k1 = 2, k2 = 1, 此时 p2 = ( −1, 2,1)T , 广义特征向量 p3可取为( −1,0,0)T . 因此相似变换矩阵 P = ⎜ 1 2 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎝ ⎠⎛ − 1 − 1 − 1⎞⎛ 1 1 − 1 k2 − k1 ⎞ ⎜ 0 0 0 2k − k ⎟ 2 1⎟ ⎜ ⎝ 0 0 0 2k2 − k1 ⎠3 实数域上的约当标准形 定义8.3 令a, b, c为任意实数 , r为任意正整数 . 称形如⎞ ⎛c 1 ⎟ ⎜ c 1 ⎟ ⎜ % % ⎟ ⎜ c 1 ⎟ ⎜ ⎜ c⎟ ⎠r ⎝ ⎛ A2 ( λ ) I 2 ⎞ ⎜ ⎟ A2 ( λ ) % ⎜ ⎟ −a % % ⎜ λ− ⎜ ⎟ 其中 A2 (λ ) = ⎛ ⎝ b A2 ( λ ) I 2 ⎟ ⎜ ⎜ A2 ( λ ) ⎟ ⎝ ⎠ 2r( 2)b ⎞或λ − a⎟ ⎠( 3)的矩阵为实数域上 r阶或 2r阶约当块 . 称由若干实数 域上约当块构成的分块 对角矩阵 J(数域上的 )约当矩阵 .⎛ J1 ⎞ ⎜ J ⎟ 2 ⎟为实 =⎜ % ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ J ⎝ s⎠8与复数域上约当块的分 析一样, 形如( 2)的实约当 块与初等因子 ( λ − c )r 一一对应 . 同样由例7.4( 2)的结论, 形如( 3)的实约当 块的初等 因子为( λ2 − 2aλ + a 2 + b 2 ) r .反之对任意 2阶初等因子 及其方幂 ( λ2 + αλ + β ) r 其中α 2 < 4 β , 可取 a = −α / 2及 b = 4 β − α 2 / 2 使得形如( 3)的2r阶 约当块的初等因子恰为 给定形式 . 因为实数域上不可约多 项式总是1次或 2次多项式 . 任意n阶数字矩阵 A的实数域上初等因子总 可设为 (λ − λ1 ) s1 , (λ − λ2 ) s2 ,", (λ − λ p ) s p , ( λ2 + α 1λ + β 1 ) t1 , ( λ2 + α 2λ + β 2 ) t2 ,", ( λ2 + α q λ + β q ) tq 其中λi , α j , β j 均为实数 , α 2 j < 4 β j , si , t j 为正整数且 s1 + " + s p + 2( t1 + " + tq ) = n.和复数的情形一样我们 有下面的定理 定理8.6 实数域上每个 n阶数字矩阵 A都与一个 n阶 实约当矩阵 J相似 . 注记 若要求( 3)形约当块中常数 b ≥ 0, 那么实约当 J除约当块的次序外由 A唯一确定.− 5 3 2 ⎟ 相似的实约当矩阵 . 例8.4 求与矩阵 A = ⎜ ⎜ 0 0 3 ⎟ ⎠ ⎝ 1 ⎞ ⎛λ +1 −1 5 λ−3 −2 ⎟ 解 由A的特征矩阵 λI − A = ⎜ ⎜ 0 0 λ − 3⎟ ⎠ 可知A的各阶行列式因子为 ⎝ 2 D3 ( λ ) = ( λ − 3)(λ − 2λ + 2), D2 ( λ ) = D1 ( λ ) = 1. 初等因子为 λ − 3, λ2 − 2λ + 2. ⎛ 3 0 0⎞ 0 1 1 ⎟。
第08章 λ-矩阵
注：① diag {d 1 (λ ), ⋯,d r (λ ),0, ⋯,0} 为 A( λ) 的（相抵）标准形。 ②称 r 为 A( λ) 的秩。 ③ r = n ⇒ A (λ )可逆。 ④ A( λ ) 可逆 ⇔ A ≅ E 。 ⑤任一可逆 λ -矩阵可表示为初等 λ -矩阵的乘积。 ⑥ λ E − A ≅ diag{1, ⋯,1, d1 ( λ ), ⋯, d r ( λ )} 。
B (λ ) ≅ diag {d 2 (λ ),⋯ , d r (λ ), 0,⋯ , 0} P( λ ) B (λ )Q (λ ) = diag {d 2 (λ ),⋯ , d r (λ ),0,⋯ ,0}
0 ⎞ ⎛ b11 (λ ) A (λ ) ≅ ⎜ ⎟ ≅ diag {d1 ( λ), d 2 (λ ),⋯ , d r (λ ), 0,⋯ , 0} 0 B ( λ )⎠ ⎝ d 1 ( λ ) = c −1b11 ( λ )， d i ( λ ) | d i+1 (λ )， i = 2,⋯ , r 例 设 A =⎜ 3 ⎜
⎛0 ⎜ −1 ⎝ 1 −2 1 −1⎞ ，求 0⎟ ⎟ ⎟ −1⎠
λ矩阵
例1 设12级矩阵A 的不变因子组是（λ－1）2，（λ－1）2（λ＋1），（λ－1）2（λ＋1）（λ2＋1）2． 由初等因子的定义，A 的初等因子组是（λ－1）2,（λ－1）2，（λ－1）2，λ＋1，λ＋1，（λ－i ）2，（λ＋i ）2． 其中（λ－1）2出现三次，λ＋1出现二次．注意：所有初等因子次数的和等于该矩阵的阶数例2 已知矩阵A 的初等因子组为λ，λ，λ2，λ＋i, λ－i ，（λ＋i ）2，（λ－i ）2，λ＋1 (1) 求A 的不变因子组.解 由初等因子组的次数之和为11，从而A 是11阶矩阵．先求最高次不变因子d 11(λ),由关系式（1），不变因子应是不同的初等因子的乘积，最高次的不变因子d 11（λ）是其余不变因子的倍式，故它是次数最高的不同初等因子的乘积，从而d 11（λ）＝λ2（λ＋i ）2（λ－i ）2（λ＋1）类似地，剩下的次数最高的初等因子相乘，并继续下去d 10（λ）＝λ（λ＋i ）（λ－i ），d 9（λ）＝λ．由于初等因子已用完，剩下的不变因子都是1，d 8(λ)=…=d 1(λ)=1．例 1 求矩阵126103114A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的若当标准形．解 对λE －A 用初等变换21261001301011400(1)λλλλλ+-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦故A 的初等因子是λ－1，（λ－1）2，因此A 的标准形是100010011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第八章 λ-矩阵教学目的：使学生熟练掌握λ矩阵的基本理论，会求λ矩阵的标准形、初等因子、不变因子、行列式因子等，掌握矩阵相似的条件，并能利用λ矩阵理论解决若当标准形的问题。
教学重点：λ-矩阵基本理论；λ矩阵的标准形、初等因子、不变因子、行列式因子等求法；矩阵相似的条件。
教学难点：λ矩阵基本理论；λ矩阵的标准形、初等因子、不变因子、行列式因子等求法；矩阵相似的条件。
教学方法：讲授，习题与讨论。
兰姆达矩阵等价标准型
兰姆达矩阵等价标准型
—.λ-矩阵
定义1∶
设λ是数域F上的一个未定元，f(λ)，g(λ)，...，是F上λ的多项式。
用未定元λ的多项式为元素组成的矩阵
称为λ-矩阵，记作(fij(λ))。
可用A(λ)，B(λ)，C(λ)等来表示λ-矩阵。
定义2∶
λ-矩阵A(X)中不为零的子式的最高阶数r称为A(X)的秩，记作rankA(λ) =r，简写成r[A(λ)]=r。
规定零矩阵的秩为零。
定义3:
对于n阶λ-矩阵A(λ)，若有n阶λ-矩阵B(λ)，使得
A(λ)B(λ)= B(λ)A(λ)=In
则称A(λ)为可逆的λ-矩阵，并称B(λ)为A(λ)的逆矩阵。
定理1:
n阶λ-矩阵A(λ)可逆的充分必要条件是
|A(λ)|= d
其中，d是一个非零常数。
定义4:
若λ-矩阵A(λ)经过有限次数的初等变换，可以化成B(λ)，则称B(λ)与A(A)等价，记作A(λ)≌B(λ)。
λ-矩阵的等价关系与数字矩阵一样，也满足自反性、对称性和传递性。
若两个λ-矩阵等价，则它们的秩必定相等。
二.λ-矩阵的标准型
定义5:
对角形λ-矩阵
若满足:
(1) d;(λ)(i = 1,2,...,r)是首项系数为1的λ-多项式;
(2)d;(A)|d;闻1(λ)(i= 1,2,.... T)，表示d;+1(λ)能被d;(λ)整除;则称D(λ)为λ-矩阵的法式或标准式，也可称D(λ)为法λ-
矩阵。
定理2:
任一λ-方阵A()都可经过若干次初等变换化为标准型，即任何一个λ-方阵都可与一个法λ-方阵等价。
不变因子
（2）若 的 矩阵n 可逆n，则 的不变
A( )
因子全部为1， 的标准形为单位A矩(阵 ，) 即
A( )
E
A( ) 与 等价E.
证：若 可逆，A( )
则 ，A为(一非)零常数d. d
的A第n(个行)列式因子
Dn 1.
§8.3 不变因子
又 的An个(行列)式因子满足:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
于是
d1( ) D1( ),
d2( )
D2 ( ) , D1( )
,
dr ( )
Dr ( ) Dr 1( )
即 d1 ( ),由 ,的d行r列(式因)子所唯一确A定(. )
所以 的标A准形(唯一).
§8.3 不变因子
（4）秩为 的 矩阵的 r个行列式因子满足：
在 中D，(若一个) 级子式包含的行、列指标k不
完全相同，则这个 级子式为零.
k
所以只需考虑由 行与 列组成i1的, i2 , ik
i1 , i2 , ik
k
级子式
(1 i1 , i2 , ik r ),
即 di1 ( ) dik ( ).
§8.3 不变因子
而这种 级子式的k最大公因式为
r
A( )中必有非零的 级子式， 中全k部 级子式
的首项系数为1的最大公因式 称为 的
k 级行列式因子（determinant divisor）.
注意
若秩 ，则A(有 )个行列式r因子.
A( )
§8.3 不变因子
A( ) Dk ( ),
r
k 1 k r, k
A( )
2、有关结论
d1( )d2 ( ) dk ( ). 所以， 的 级A行(列式)因子 k Dk ( ) d1( )d2 ( ) dk ( ), k 1, 2, r .
λ―矩阵标准型的定义
λ―矩阵标准型的定义
嘿，朋友们！今天咱来唠唠λ―矩阵标准型这玩意儿。
你说这λ―矩阵标准型啊，就像是一个独特的密码本。
咱平时用的那些数字矩阵就像是各种锁，而λ―矩阵标准型就是能打开这些锁的关键钥匙。
它能把复杂的矩阵给拆解清楚，让咱能明白矩阵背后的小秘密。
就好比咱整理房间，把乱七八糟的东西都归置得整整齐齐。
λ―矩阵标准型就是那个帮我们把矩阵里的元素都安排得明明白白的好帮手呀！它能让我们一眼就看清矩阵的本质结构。
你想想看，要是没有这个标准型，咱面对那些密密麻麻的矩阵元素，不就像在迷宫里打转一样，晕头转向的嘛！但有了它，就好像有了一盏明灯照亮前路。
它能告诉我们矩阵的特征值是什么，这可太重要啦！就像一个人的性格特点一样，特征值就是矩阵的个性标签呀。
通过这些特征值，我们能更好地理解矩阵的行为和作用。
而且啊，λ―矩阵标准型还特别稳定可靠，就跟咱的老朋友似的，不管啥时候找它，它都在那，不离不弃。
它不会因为矩阵变得复杂一点就撂挑子不干了，总是能给出准确的答案。
你说这是不是很神奇？一个小小的λ―矩阵标准型，居然有这么大的能耐。
它就像一个隐藏在矩阵世界里的超级英雄，默默地守护着我们，帮助我们解决一个又一个难题。
咱在学习线性代数的时候，可千万不能小瞧了它呀！得好好研究，把它的奥秘都给挖出来。
这样我们在面对各种矩阵问题的时候，才能胸有成竹，游刃有余。
反正我是觉得，λ―矩阵标准型真的是个宝，谁用谁知道！咱可得好好珍惜它，利用它来让我们的数学学习之路更加顺畅呀！。
8[1].1λ矩阵
![8[1].1λ矩阵](https://img.taocdn.com/s3/m/61e5a204de80d4d8d15a4fbe.png)
二、λ－矩阵的秩
定义：
级子式不为零， 若 λ ―矩阵 A(λ ) 中有一个 r ( r ≥ 1) 级子式不为零， 矩阵 级的子式（若有的话）皆为零， 而所有 r + 1 级的子式（若有的话）皆为零，则称
A(λ ) 的秩为r . 秩为
零矩阵的秩规定为0. 零矩阵的秩规定为
回想： 回想：数字矩阵的秩
矩阵行秩和列秩的定义 定义 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向 就是指矩阵 矩阵的行向
量组的秩； 量组的秩； 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 的秩 就是矩阵的列向量组的秩.
例 1 设有矩阵
1 0 A= 0 0 1 1 2 −1 4 , 0 0 5 0 0 0 3
β1 = (1, 0, 0, 0), β2 = (1, 2, 0, 0), β3 = (3, -1, 0, 0), β4 = (1, 4, 5, 0).
用同样的方法可证， 线性无关， 用同样的方法可证， β1 , β2 , β4 线性无关，而
7 1 β 3 = β1 − β 2 , 2 2
线性相关， 所以向量组β1 , β2 , β3 , β4 线性相关，其秩为 3 .
列，相应的 3 级子式就是
1 0 0
1 2 0
1 4 = 10 . 5
由于行和列的选法有很多，所以 k 级子式也是 由于行和列的选法有很多， 很多的. 很多的 s × n 矩阵的 k 级子式共有
C C
k s
k 个. n
矩阵的秩与行列式的关系表现为： 矩阵的秩与行列式的关系表现为：
定理
一矩阵的秩是 r 的充分必要条件为
第8章 λ─矩阵 λ─矩阵
§1 λ－矩阵 λ－ §2 λ－矩阵的 λ－ 标准形 §3 不变因子 §4 矩阵相似的条件 §5 初等因子
2.1 λ-矩阵及标准形
←第i 行
←第 j行
第i列
第二章
第j列
λ-矩阵
10
λ-矩阵在初等变换下的标准形
(2) 初等倍乘变换 以数 k ≠ 0 乘某行或某列 以数 k ≠ 0乘单位矩阵的第 i 行 ( ri × k ), 得 初等矩阵 E ( i ( k )).
1 1 E( i ( k ))= 1 k ←第i 行 1 1
第二章
λ-矩阵
13
λ-矩阵在初等变换下的标准形
定义4 λ-矩阵A(λ)称为与B(λ)等价, 如果可以经一系 列初等变换将A(λ)化为B(λ). 记为A(λ) ≅ B(λ).
λ-矩阵之间的等价具有下列的性质: (1) 反身性 A ≅ A;
(2) 对称性 若A ≅ B , 则B ≅ A; (3) 传递性 若A ≅ B , B ≅ C , 则A ≅ C . 数学中把具有上述三条性质的关系称为等价关系.
第二章
λ-矩阵
14
λ-矩阵在初等变换下的标准形
例 计算下列矩阵与 初等矩阵的乘积
0 0 1 a11 (1) 0 1 0 a21 1 0 0 a 31 1 0 0 a11 (2) 0 k 0 a21 0 0 1 a 31 a12 a11 = ka21 ka22 a a32 31
d1 ( λ ) d 2 (λ ) d r (λ ) , 0 0
其中r≥1,
di(λ)为
首一多项式, 且 di(λ) | di+1(λ), (i = 1, 2, , r -1).
上述形式的对角矩阵称为A(λ)的(Smith)标准形, 而 d1(λ), d2(λ), , dr(λ) 称为A(λ)的不变因子.
λ―矩阵标准型求法过程
λ―矩阵标准型求法过程
嘿，朋友们！今天咱就来唠唠λ―矩阵标准型求法这档子事儿。
咱先说说啥是λ―矩阵吧，这就好比是一个神秘的大盒子，里面装着各种奇妙的元素。
而求它的标准型呢，就像是给这个大盒子来个大变身，让它变得整整齐齐、清清爽爽。
你想想看，就像你整理房间一样，把乱七八糟的东西归归类，摆摆好。
那怎么整理这个“大盒子”呢？
第一步呢，就是要搞清楚它里面都有些啥。
这就需要我们瞪大眼睛，仔细瞧瞧每个元素的模样。
然后呢，我们要对这些元素进行一些操作，就像玩拼图一样，把它们拼凑出一个大概的样子。
比如说，有时候我们要把一些行或者列进行变换，这就好比你把桌子上的东西从左边挪到右边，或者从上面挪到下面。
这一挪可就有讲究了，挪得好，后面就顺顺利利；挪得不好，那可就麻烦咯！
还有啊，有时候我们要找一些关键的元素，就像在一堆杂物里找到那个最特别的宝贝一样。
找到了这些关键元素，我们就能顺着它们找到标准型的线索啦。
这过程中会不会遇到困难呢？那肯定会呀！就像你走路可能会遇到小石子绊脚一样。
但咱可不能怕呀，得鼓起勇气，想办法迈过去。
有时候你可能会觉得怎么这么复杂呀，怎么弄都弄不好。
别急别急，慢慢来，就像学骑自行车一样，一开始摇摇晃晃的，但多练几次不就会了嘛！
等你真的掌握了这个求法，你就会发现，哇，原来这个神秘的大盒子也没那么难搞嘛！你就能像个大师一样，轻松地把它变成标准型啦。
所以啊，朋友们，别害怕这个λ―矩阵标准型求法，它其实没那么可怕。
只要你有耐心，肯花时间去研究，去尝试，就一定能搞定它！相信自己，加油吧！。
第2章 Jordan标准型 λ-矩阵
推论： 若i是单特征值，则dimVi =1 V1+V2++Vs= V1V2Vs V1V2Vs Vn（F）
设 是线性变换T 的任一特征值，记
V { | T ( ) , V }
称 则V 是线性空间V的一个子空间。 V 为
例题1 下列矩阵哪些是Jordan块？
2 1 1 1 0 2 0 2
4 1 0 0 1 0 0 4 0 0 0 1 0 0 4 0 0 0
J1( 1 ) 1) 形式： J 1 ( 2 ) 2) Jordan矩阵举例 3) 特点 元素的结构 J m ( m )
对线性变换也有类似的结论.
二、线性变换矩阵对角化的充要条件
f ( ) I A ( 1 )k1 ( 2 )k2 ( s )k s
T可以对角化T有n个线性无关的特征向量。 dimVi =n dimVi =ki
定理2. 4(p39) T可以对角化T的变换矩阵A可以对角化。
A( ) 1
2
1
其中Ai , B j 都是m n数字矩阵，则A( ) B ( )的
λ-矩阵的运算：
• 加法 • 减法 • 数量乘法 • 乘法 • 转置 n 阶λ-矩阵的行列式
3.1 λ-矩阵的基本概念
定义3.1 设 aij ( )(i 1,2,, m, j 1,2,, n)是数域F 上的多项式，以 aij ( )为元素的 m n 矩阵
a11 ( ) a12 ( ) a21 ( ) a22 ( ) A( ) a ( ) a ( ) m2 m1 a1n ( ) a2 n ( ) amn ( )
高等代数第八章 Lamda-矩阵(小结)
一、基本概念 λ-矩阵，可逆的λ-矩阵，秩； λ-矩阵的初 -矩阵，可逆的 -矩阵， -矩阵的 等变换及 标准形， -矩阵的等价； 等变换及(Smith)标准形， λ-矩阵的等价；行列式 标准形 因子，不变因子，初等因子；若当标准形， 因子，不变因子，初等因子；若当标准形，(矩阵 的有理标准形*).
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12*.
数域P上 × 方阵 在上相似于 方阵A在上相似于唯一的一个 数域 上n×n方阵 在上相似于唯一的一个
有理标准形，称为 的有理标准形. 有理标准形，称为A的有理标准形. 13*. 是数域P上 维线性空间V的线性变换， 设A是数域 上n维线性空间 的线性变换， 是数域
则在V中存在一组基，使A在该基下的矩阵是有理 则在 中存在一组基， 在该基下的矩阵是有理 标准形，并且这个有理标准形由A唯一决定的， 唯一决定的 标准形，并且这个有理标准形由 唯一决定 称为A的有理标准形. 称为 的有理标准形.
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每个n级的复数矩阵A都与一个若当形矩阵相似， 级的复数矩阵 若当形矩阵相似 9. 每个 级的复数矩阵 都与一个若当形矩阵相似， 这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是 这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是 若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外 被矩阵A唯一决定的，它称为A的若当标准形. 被矩阵 唯一决定的，它称为 的若当标准形. 唯一决定的 10. 是复数域上n维线性空间V的线性变换， 10 设A是复数域上 维线性空间 的线性变换， 是复数域上 在V中必定存在一组基，使A在这组基下的矩阵是 中必定存在一组基， 在这组基下的矩阵是 若当形，并且这个若当形矩阵除去其中若当块的 若当形，并且这个若当形矩阵除去其中若当块的 排列次序外是被A唯一决定的 唯一决定的. 排列次序外是被 唯一决定的. 11. 复数矩阵A与对角矩阵相似 相似的 ＝ 是 的 11 复数矩阵 与对角矩阵相似的<＝>是A的初等 因子全为一次的( 因子全为一次的(或A的不变因子都没有重根). 全为一次的 的不变因子都没有重根).
高等代数 第八章 2第二节 Lamda-矩阵在初等变换下的标准形
次数是非负整数，不可能无止境地降低. 但次数是非负整数，不可能无止境地降低 因此在有限步以后，我们将终止于一个 将终止于一个λ因此在有限步以后，我们将终止于一个 -矩阵 左上角元素b 可以除尽B Bs(λ)，它的左上角元素 s(λ)≠0，而且可以除尽 s(λ) ，它的左上角元素 ，而且可以除尽 全部元素b ， 的全部元素 ij(λ)，即 bij(λ)=bs(λ)qij(λ) ， 对Bs(λ)作初等变换 作
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定义4 -矩阵A(λ)称为与 称为与B(λ)等价，如果可以经 等价， 定义4 λ-矩阵 称为与 等价 化为B(λ). 过一系列初等变换将A(λ)化为 一系列初等变换将 化为 . 等价是 -矩阵之间的一种关系 之间的一种关系， 等价是λ-矩阵之间的一种关系，这个关系显 然具有下列三个性质 三个性质： 然具有下列三个性质： 反身性：每一个λ-矩阵与它自身等价 与它自身等价. (1) 反身性：每一个λ-矩阵与它自身等价. 对称性： 等价， (2) 对称性：若A(λ)与B(λ)等价，则B(λ)与A(λ)等 与 等价 与 等 这是由于初等变换具有可逆性的缘故. 初等变换具有可逆性的缘故 价. 这是由于初等变换具有可逆性的缘故 传递性： 等价， 等价， (3) 传递性：若A(λ)与B(λ)等价，B(λ)与C(λ)等价， 与 等价 与 等价 等价. 则A(λ)与C(λ)等价 与 等价
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定理2 任意一个非零的 非零的s× 的 -矩阵A(λ)都等价 定理2 任意一个非零的 ×n的λ-矩阵 都 于下列形式的矩阵
d 1 (λ ) d 2 (λ ) O d r (λ ) 0 O 0
其中r≥1, 其中 ,di(λ)(i=1,2, …,r)是首项系数为1的多项式， 是首项系数为1的多项式， 且 di(λ)| di+1(λ), (i=1,2, …,r-1). 这个矩阵称为A(λ)的标准形 的标准形. 这个矩阵称为
λ- 矩阵
2022/8/29
34
2022/8/29
35
此时
上面右端矩阵B(λ)即为所求。
(2) 若A(λ)的第一行有一个元素a1ｊ(λ)不能被a11(λ) 整除，则这种情况的证法与情况(1)类似。
返回
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(3) 若A(λ)中第一行与第一列的元素都能被a11(λ)整 除，但A(λ)中另有元素aij(λ)(i>1,j>1)不能被a11(λ)整除， 此时可设ai1(λ)=a11(λ)φ(λ),则有
不为零，而所有的 r +1级子式（假若有的话）全为零，
则称A(λ)的秩为r. 零矩阵的秩规定为０。
例如，数字矩阵
的特征矩阵λE-A的秩
为n，因为
定义３ 对于n 阶λ-矩阵A(λ), 如果有一个n阶λ-矩阵
B(λ),使得 A(λ)B(λ)= B(λ) A(λ)=En， (7-2)
则称
A(λ)是可逆的，此时B(λ)就称为A(λ)的逆矩阵，记为A-1(λ)。
202关2/8/系29 ，更可以赢得家长和社会的尊重和信 27
二、班级安全及校园危机的成因
1.学校外在因素
（1）政治与社会变迁；
（2）大众传媒的压力；
（3）不法分子的破坏行动。
2.学校内在因素
①学校文化
②教师专业自主
③学生争取权益
④管理特质
⑤人员结构
2022⑥/8/2组9 织结构
28
三、班级安全与校园危机的特性
(1) 自反性 每一个λ－矩阵与自己等价，
(2) 对称性 若A(λ) ≌ B(λ),则B(λ) ≌ A(λ)，
(3) 传递性 若A(λ) ≌ B(λ)，且B(λ) ≌ C(λ)，则 A(λ) ≌ C(λ)。
6、若尔当标准形的理论推导
0 0 0 0 0 0. 故 A的若尔当标准形为 0 0 2
§8.6 若尔当标准形的理论推导
例2 已知12级矩阵A的不变因子为
1,1,
9个
,1,( 1) ,( 1) 1 , 1 1 ( 2 1)2
, ( s )ks .
ki ( ) , i 1,2, , s J 证： i i 的初等因子是 1 1 等价. E J i 与矩阵 1 ki i
E J1 E J2 E J 于是
块完全被它的级数与主对角线上的元素 0 所刻划，而
这两个数都反应在它的初等因子 ( 0 )n 上. 因此，若尔当块被它的初等因子唯一决定.从而, 若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排序外被它的初等因 子唯一确定.
§8.6 若尔当标准形的理论推导
三、若尔当标准形存在定理
1、
（定理10）每一个复矩阵A都与一个若尔当形矩阵 相似，且这个若尔当形矩阵除去若尔当块的排序外 是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形.
一、若尔当块的初等因子
0 1 若尔当块 J 0 0 0
0
0 0
n
0
0 0 0 0 0 0 1 0 nn
的初等因子是 0 .
§8.6 若尔当标准形的理论推导
证：
0 0 1 0 E J0 0 0 0 0 0 0 1 0 nn 0 0 0 0
由不变因子与初等因子的关系知，
k1 k2 d n ( ) ( ) , ( ) , 1 2
若尔当标准形的理论推导
§8.6 若当标准形的理论推导
∴ J 0 的不变因子是 的不变因子是:
d1 ( λ ) = L = d n−1 ( λ ) = 1, d n ( λ ) = ( λ − λ0 ) .
n
的初等因子是: 故 J 0 的初等因子是
( λ − λ0 )
n
.
§8.6 若当标准形的理论推导
若当形矩阵的初等因子 二、若当形矩阵的初等因子
则 J 的初等因子也是（*）， 的初等因子也是（ ）， 有相同的初等因子. 即J与A有相同的初等因子 与 有相同的初等因子 相似. 故J与A相似 与 相似
§8.6 若当标准形的理论推导
2、定理 换成线性变换的语言即为 、定理10换成线性变换的语言即为
（定理11）设 σ 是复数域上 维线性空间 的线性 定理11 11） 是复数域上n维线性空间 维线性空间V的线性 变换，在 V中必定存在一组基，使 σ 在这组基下 中必定存在一组基， 变换， 中必定存在一组基 的矩阵是若当形矩阵， 的矩阵是若当形矩阵，并且这个若当形矩阵除去 唯一确定的. 若当块的排序外是被 σ 唯一确定的
(λ
− λ1 )
k1
1 O 1
D(λ ) =
(λ
− λ2 )
k2
1 O 1
(λ − λ s )
ks
等价. 等价
§8.6 若当标准形的理论推导
由定理9， 的全部初等因子是： 由定理 ，J 的全部初等因子是：
(λ − λ1 )k1 , (λ − λ2 )k2 , L , (λ − λ s )ks .
§8.6 若当标准形的理论推导
λ E − J1 λ E − J2 于是 λ E − J = O λ E − Js
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例 用初等变换化 λ − 矩阵 2λ − 1 λ 1− λ λ 2 A(λ ) = λ −λ 1 + λ 2 λ 3 + λ + 1 −λ 2 为标准形. 解：A(λ ) 第三列加上第一列
1− λ → λ 1 + λ 2
d1 (λ ) d 2 (λ ) O d r (λ ) , 0 O 0
其中 r ≥ 1, di (λ )(i = 1,2,L, r ) 为首项系数为1的多项式， 且
di (λ ) | di +1 (λ ) (i = 1,2,L, r − 1).
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0 0 1 → 0 λ λ2 0 λ2 + λ λ3 − λ 0 1 → 0 λ 0 λ2 + λ
第三列加上第二列 −λ倍
0 0 第三行加上第二行 −(λ +1)倍 −λ 2 − λ
第三列乘以（－ （－1） 0 第三列乘以（－ ） 1 0 → 0 λ 0 = B(λ ). 0 0 λ2 + λ
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其中余式 r (λ ) ≠ 0, 且次数必 a11 (λ ) 的次数低. 对 A(λ ) 作初等行变换. 把 A(λ ) 的第i行减去第 j 行的 q (λ ) 倍，再将此矩阵的第1行与第i行互换，得
r (λ ) L M M a11 (λ ) L M M = B (λ ). B (λ ) 左上角元素 r (λ ) 符合引理的要求， a11 (λ ) L M M A(λ ) = ai1 (λ ) L M M a11 (λ ) L M M r (λ ) L M M
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初等矩阵都是可逆的，且有
P (i, j ) −1 = P(i, j ), P (i (c)) −1 = P (i (c −1 )), P (i, j (ϕ )) −1 = P (i, j (−ϕ )).
规定某行（ 规定某行（列）只能乘以一个非零常数，这是为了使 只能乘以一个非零常数， P(i(c))可逆 可逆. 可逆
第三行减去第一行
0 0 第二列加上第一列的1− 2λ倍 1 → 0 λ2 λ 第三列加上第一列的 λ −1 倍 0 λ3 − λ λ2 + λ 0 0 1 → 0 λ λ2 0 λ2 + λ λ3 − λ
第一列与第二列互换
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故 B (λ ) 即为所求的矩阵.
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2）在 A(λ ) 的第一行中有一个元素 a1i (λ ) 不能被 a11 (λ ) 除尽，这种情况的证明与（1）类似，但对A(λ ) 进行的是初等列变换. 3） A(λ ) 的第一行与第一列中的元素都可以被 a11 (λ ) 除尽，但 A(λ ) 中有另一个元素aij (λ )(i > 1, j > 1) 不能被 a11 (λ ) 除尽. 设ai1 (λ ) = a11 (λ )ϕ (λ ). 对 A(λ ) 作下述初等行变换：
1 2λ − 1 1− λ 1 λ2 0 → 0 λ2 λ 3 3 2 1 λ + λ +1 1+ λ λ + λ +1 1 第一列与第三列互换
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2λ − 1
2λ − 1 1− λ 1 1 2λ − 1 1 − λ 0 → 0 2 2 → λ λ λ λ 1 λ3 + λ +1 1+ λ2 0 λ3 − λ λ2 + λ
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a1 j (λ )
矩阵 A1 (λ ) 的第一行中，有一个元素
aij (λ ) + [1 − ϕ (λ )]a1 j (λ )
不能被左上角元素 a11 (λ ) 除尽，此时化为已经证明了 的情况（2）.
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定理2 定理2
任意一个非零的s×n的λ − 矩阵 A(λ ) 都等价于下 列形式的矩阵
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注2 应用初等变换与初等矩阵的关系可知，
矩阵 A(λ ) 与 B (λ ) 等价
⇔ 存在一系列初等矩阵 P , P2 ,L, Pl , Q1 , Q2 ,L, Qt 使 1
A(λ ) = PP2 L PB(λ )Q1Q2 LQt . 1 l
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引理
设λ − 矩阵 A(λ ) 的左上角元素 a11 (λ ) ≠ 0, 并且 A(λ )中至少有一个元素不能被它除尽，则一定可以 找到一个与A(λ ) 等价的矩阵B (λ ), 它的左上角元素 也不为零，但是次数必a11 (λ ) 的次数低. 证明： 证明：根据 A(λ ) 中不能被a11 (λ ) 除尽的元素所 在的位置，分三种情形来讨论： 1）若在 A(λ ) 的第一列中有一个元素 a (λ ) 不能 i1 被 a11 (λ ) 除尽，则有 ai1 (λ ) = a11 (λ )q (λ ) + r (λ ),
§2 λ－矩阵在初等变换 下的标准形
定义3 定义3
下面的三种变换称为λ －矩阵的初等变换： （1）矩阵的两行（列）互换位置； （2）矩阵的某一行（列）乘以非零常数c； （3）矩阵的某一行（列）加另一行（列）的ϕ (λ ) 倍， (λ ) 是一个多项式. ϕ
为什么不能乘以多项式？ 为什么不能乘以多项式？
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证明： 证明： 经过行列调动之后，可以使得 A(λ ) 的左上角元素
a11 (λ ) ≠ 0, 如果 a11 (λ ) 不能除尽 A(λ ) 的全部元素， 由引
理，可以找到与 A(λ ) 等价的B1 (λ ), 它的左上角元素
b1 (λ ) ≠ 0, 并且次数比 a11 (λ ) 低.
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P (i, j (ϕ ))
类似于数字矩阵，对λ − 矩阵作初等行变换相当 于左乘一个初等矩阵. 如果要对s×n的 λ − 矩阵作何种初等变换，就先 将这种初等变换施行于初等矩阵Es，得到一个初等矩 阵，再将所得到的初等矩阵左乘原来的λ − 矩阵就相 当于直接在原来的 λ − 矩阵作初等变换. 对 λ − 矩阵作初等列变换相当于右乘一个初等矩 阵，并有相类似的结果. 与数字矩阵完全类似，此处不再赘述.
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定义4 定义4
λ − 矩阵 A(λ ) 称为 B (λ ) 等价，如果可以经过一
系列初等变换将 A(λ ) 化为B (λ ).
注1 等价是 λ − 矩阵之间的一种关系，这个关系
显然具有下列三个性质： （1）反身性：每一个 λ − 矩阵与自己等价； （2）对称性：若 A(λ ) 与 B (λ ) 等价，则 B (λ ) 与 A(λ ) 等价. （因为初等变换是可逆的） （3）传递性：若A(λ ) 与 B (λ ) 等价， (λ ) 与C (λ ) B 等价，则 A(λ ) 与C (λ ) 等价.
如果 b1 (λ ) 还不能除尽 B1 (λ ) 的全部元素，由引理 又可以找到与 B1 (λ ) 等价的B2 (λ ), 它的左上角元素 b2 (λ ) ≠ 0, 并且次数比 b1 (λ ) 低. 如此下去，将得到一系列彼此等价的 λ − 矩阵 A(λ ), B1 (λ ), B2 (λ ),L,
a11 (λ ) L a1 j (λ ) L M M M M A(λ ) = ai1 (λ ) L aij (λ ) L M M M M
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a11 (λ ) L a1 j (λ ) L M M M M 第i行加上第一行的ϕ (λ )倍 A(λ ) = ai1 (λ ) L aij (λ ) L M M M M a11 (λ ) M 0 M a11 (λ ) M 0 M L M M M 第1行加上第i行 L aij (λ ) − a1 j (λ )ϕ (λ ) L M M M L aij (λ ) + [1 − ϕ (λ )]a1 j (λ ) L M M M = A (λ ). 1 L aij (λ ) − a1 j (λ )ϕ (λ ) L M M M L
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和数字矩阵的初等变换一样，可以引入 λ − 矩阵 的初等矩阵： 1）交换E的两行或两列 P(i, j)； 2）E的某一行（列）乘以非零常数c得 P(i(c))； 3）将单位矩阵的第j行的 ϕ (λ ) 倍加到第i行上得
1 O 1 L ϕ (λ ) = O M . 1 O 1
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bs (λ ) L b1 j (λ ) L M M Bs (λ ) = L L bi1 (λ ) L M M
bs (λ ) 0 0 M 0
0 A1 (λ ) L
在右下角的 λ − 矩阵 A1 (λ ) 中，全部元素 都可以被 bs (λ ) 除尽， 因为它们都是 Bs (λ ) 中元素的组合.
如果 A1 (λ ) ≠ O, 则对于 A1 (λ )可以重复上述过程， 进而把矩阵化成
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0 0 d1 (λ ) 0 d 2 (λ ) 0 0 0 M M 0 0
0 L 0 A2 (λ ) L
其中 d1 (λ )与 d 2 (λ ) 都是首项系数为1的多项式（ d1 (λ ) 与bs (λ ) 只差一个常数倍数）， 而且 d1 (λ ) | d 2 (λ ), 而且 d 2 (λ ) 能除尽 A2 (λ ) 的全部元素. 如此下去，A(λ ) 最后就化成了所要求的形式. 最后化成的这个矩阵称为 A(λ ) 的标准形.