定积分与微积分基本定理

定积分与微积分基本定

理

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课题：定积分与微积分定理使用时间：2011-10-11

【使用说明及学法指导】

1.先仔细阅读教材选修2-2：,再思考知识梳理所提问题，有针对性的二次阅读教材，构建知识体系，画出知识树；

2.限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法.

【学习目标】

1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念、几何意义。

2．直观了解微积分基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分。

3．应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值.？

学习重点：正确计算定积分，利用定积分求面积。

学习难点：定积分的概念，将实际问题化归为定积分问题。

学习策略：

①运用“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法，理解定积分的概念。

②求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.

③求导运算与求原函数运算互为逆运算.

【课前预习】

一、基础知识梳理：

知识点一：定积分的概念

如果函数在区间上连续，用分点

将区间分为n个小区间，在每个小区间上任取一点

（i=1,2,3…,n），作和式，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做在区间上的定积分.记作.即＝，这里，与分别叫做积分与积分，区间

叫做，函数叫做，叫做，叫做 .

说明：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.

知识点二：定积分的几何意义：

设函数在区间上连续.

在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的；

在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示曲边梯形面积

的；

在上，当既取正值又取负值时，曲线的某些部分在轴的上方，而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号，在轴下方的图形的面积赋予负号；

在一般情形下，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积 .

知识点三：定积分的性质：

（1）（为常数），

（2），

（3）（其中），

知识点四：微积分基本定理：

微积分基本定理（或牛顿－莱布尼兹公式）:

如果在上连续，且，则

。其中叫做的一个原函数.

注意：

①求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.

②由于也是的原函数，其中c为常数.

知识点五：应用定积分求曲边梯形的面积：

1. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线

()围成的曲边梯形的面积：

2．如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线

()围成的曲边梯形的面积：

3．由三条直线轴及一条曲线（不妨设在区间上，

在区间上）围成的图形的面积：

＝＋.

4. 如图，由曲线及直线，围成图形的面积：？

知识点六：定积分在物理中的应用

①变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数

在时间区间上的定积分，即.

②变力作功物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到

，那么变力所作的功.

规律方法指导

3．利用定积分求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤：

（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；

（2）解方程组求出交点坐标，确定积分的上、下限；

（3）借助图形确定出被积函数；

（4）写出平面图形的定积分表达式；

（5）运用公式求出平面图形的面积.

二、我的知识树：

【我的疑问】

【课内探究】

经典例题精析：

类型一：利用定积分的几何定义求定积分：

1．说明定积分所表示的几何意义，并根据其意义求出定积分的值。【变式】由，，以及轴围成的图形的面积写成定积分是

____________；

类型二：运用微积分定理求定积分

例题：运用微积分定理求定积分：

计算下列定积分的值：

（1），（2），（3）？

类型三：运用积分的性质求定积分：

例题3．求定积分：；

类型四：利用定积分求平面图形面积

例题4．求直线与抛物线所围成的图形面积.

【变式】求由曲线（），，围成的平面图形的面积.

二、总结提升

1.知识方面：

2.数学思想方法：

课题：定积分与微积分定理

【课后训练案】

使用说明：1.限时45分钟完成：2.独立、认真；规范快速。

1.说明下列定积分所表示的几何意义，并根据其意义求出定积分的值。

（1）；（2）；？

2.利用定积分的几何定义求定积分：

（1）；（2）

3.计算下列定积分的值：

（1）；（2）；（3）.

4.已知函数，计算.

5.求由曲线围成的平面图形的面积.

6.求抛物线与直线所围成的图形的面积.

【自主纠错】请珍惜每一次训练的机会，发现自己存在的问题，重视纠错，总结经验，继续前进！