矩阵的秩与行列式的几何意义

合集下载

线性代数的几何意义

线性代数的几何意义

线性代数的几何意义注解线性代数是优雅和有趣的一门学科,应用也很多,只是目前多数线性代数教材似乎都偏重"代数"而较少涉及"线性"一词包含的几何意义,所以可能给人印象较抽象,不容易让同学产生兴趣,有幸在以前偶然一次看到一位工程师自编的一本小册子叫《线性代数的几何意义》,加上后来阅读matlab 作者的书籍,才发现原来线性代数的几何含义真的印证了“数学之美”,的确很美,所以想借鉴这些零散的阅读,加上自己后来的理解,把它的部分几何意义注解一下,希望以前对线代没有很多兴趣的同学能喜欢上它,同时我也会保持更新,不断完善,一起体会数学无与伦比的美丽矩阵的几何意义1、一个矩阵是由若干向量组成的,矩阵可以看作是这些向量的集合或由这些向量为基张成的空间(在力学分析,向量空间应用时常取此几何含义,后文把此类几何含义称作矩阵的向量空间)如矩阵5673⎛⎫⎪⎝⎭按照行向量可表示为如下形式2、一个矩阵是由若干向量组成的,矩阵可以看作是这些向量终点组成的图形(在计算机图形学中常取此几何表示,后文把此类几何含义称作矩阵的图形),如矩阵579 635⎛⎫ ⎪⎝⎭按照列向量可表示为如下图形如下图是在matlab 中将z=sin(x)*cos(y)算得的离散点组成的矩阵表示成几何图形注1:如果单独查看一个矩阵m n A ⨯,可以有两种解读:矩阵A 由m 个n 维向量组成,或者由n 个m 维向量组成;在使用时会根据实际情或约定选择其中一种,而在参与变换或其他运算时,这两种解读一般不能混淆,一定要确定注2:当我们把矩阵表示成图形时,其作图没有固定标准,并不一定是把所有向量终点连接起来构成一个多边形,规则是使用者制定的,可以是网格,可以是离散面片等行列式的几何意义一个方阵n n A ⨯的行列式的绝对值是其行向量或列向量所张成的平行几何体的空间积,对于二阶行列式,就是向量张成的平行四边形的面积,对于三阶行列式,就是对应平行六面体的体积;如方阵5673⎛⎫ ⎪⎝⎭的行列式绝对值为27,它就是下图平行四边形的面积注:行列式其实是带有符号的,实际上,正负号表征了这些向量作为线性空间基的手性,正号表示右手系,负号表示左手系,在二阶矩阵的向量空间里,其判别方法是,伸出右手和矩阵的第一个列向量或行向量平行,然后调整手的正反使得能从此向量转过小于180度的角到达第二个向量,这时大拇指如果朝上(从纸面指向自己)则为右手系,矩阵的行列式为正,反之则为左手系,对应行列式为负;如果是三阶矩阵,则从第一个向量转向第二个向量时,如果大拇指指向第三个向量方向(不必重合),则为右手系,其行列式为正,反之为左手系,行列式为负;其实这一点上更广义的表述应是向量空间的基相对自然坐标系的顺序性(代数上可用逆序数表达)克拉默法则的几何意义以二维形式为例来说明其几何意义:方程A x =b ,设A=11122122a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,b =12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,待求的x =12x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 将A 的两个列向量分别表示为a1,a2,那么原方程可表示为1x a1+2x a2=b ,这样可以把1x 与2x 看作是列向量a1,a2的伸缩因子,经过伸缩后再叠加即得到和向量b ,故原方程可以看作已知列向量被伸缩并叠加后的向量b ,求伸缩因子i x我们已经知道行列式的几何意义,显然矩阵A 对应的平行四边形的面积就是|A|(这里以带符号的有方向面积表示,因为伸缩因子也是有符号的),当某一个向量被伸缩后,如图将OB 边伸长至OE ,形成新的平行四边形OAFE ,记其面积为OAFE S ,这样a1的伸缩因子1x 可表示为||OAFE S A ,显然只要求出OAFE S 即可解出未知量;图中OG 即向量b ,因为它是1x a1,2x a2的线性叠加,所以G 点必在EF 的延长线上,这样OG 和OE 相对OA 边的高就是相同的,故OA 与OG 组成的平行四边形面积和OAFE 相同,即OAFE S =|b a2|,所以可求得1x =|b a2|/|A|,同理可得2x =|a1 b |/|A|,可以看出此表达式和克拉默法则等价矩阵乘法的几何意义我们知道矩阵是由若干向量组成的,因此可自然地把矩阵乘法看作是两个矩阵的同维向量之间做内积(或点乘),而内积的意义是两向量同向投影的乘积,但这只是一个表面的几何含义,比较抽象(也有应用之处,后面会提到);实际上,对于矩阵乘法C=AB ,作用后得到的新矩阵C 可以看作是矩阵A 经过某种变换得到的,也可以看作是矩阵B 经过某种变换后得到的,而这种变换显然就是乘以另一个矩阵的过程,结合前面提到的矩阵的几何意义,故可以把矩阵乘法C=AB 看作是图形A (或B )经过变换B (或A )后得到新图形C ,或者是向量空间A (或B )经过变换B (或A )后得到新的向量空间C ,对于简单的变换矩阵这一点最容易感性体会到;例如变换矩阵100010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭会把原3D 图形向x-y 面投影,变换矩阵100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭会把原图形对x 轴镜像,变换矩阵cos30sin 30sin 30cos30-⎛⎫ ⎪⎝⎭会把原2D 图形相对原点逆时针旋转30度。

矩阵和行列式的几何意义及其应用

矩阵和行列式的几何意义及其应用

矩阵和行列式的几何意义及其应用矩阵和行列式是数学中重要的概念,它们不仅在代数和线性代数中有着重要的应用,而且在几何中也有着深远的意义和广泛的应用。

本文将从几何角度探讨矩阵和行列式的几何意义以及它们在几何中的应用。

1.1 点、向量和坐标在几何中,我们常常需要描述空间中的点和向量,而矩阵和行列式是描述点和向量的重要数学工具。

在二维空间中,我们可以用一个二维向量来描述点的位置,如(3, 4)表示一个距离原点3个单位向右,4个单位向上的点。

将这个向量表示成一个列向量:```| 3 || 4 |```这个列向量就是一个2×1的矩阵。

同样的,我们也可以用一个2×2的矩阵表示一个二维的旋转或缩放变换。

1.2 点和线性变换在几何中,我们经常需要对空间中的点进行变换,如旋转、缩放、平移等。

这些变换可以用矩阵来表示。

设有一个二维点p(x, y),我们可以用一个2×2的矩阵A来表示一个线性变换,对点p进行变换得到新的点p':p' = Ap1.3 向量和矩阵的运算在几何中,我们经常需要对向量进行加法、数乘等运算,这些运算可以用矩阵来表示。

设有向量v和w,其坐标分别为v=(x1, y1, z1)和w=(x2, y2, z2),则向量的加法和数乘运算可以表示为:v + w = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)kv = (kx1, ky1, kz1)这些运算可以用矩阵加法和数乘来表示,即向量(矩阵)的加法和数乘等运算可以用矩阵来表示。

二、矩阵和行列式在几何中的应用2.1 点的映射2.2 向量的投影v' = nv2.3 坐标变换同样的,对于三维空间中的点,我们可以用一个3×3的矩阵来表示一个坐标变换。

这些坐标变换可以表示从一个坐标系变换到另一个坐标系。

三、结语矩阵和行列式不仅在代数和线性代数中有着重要的应用,而且在几何中也有着深远的意义和广泛的应用。

矩阵可以用来描述点、向量和坐标的几何意义,可以用来表示点和线性变换、向量投影和坐标变换等几何应用。

矩阵秩跟行列式的关系

矩阵秩跟行列式的关系

矩阵秩跟行列式的关系嘿,朋友们!今天咱们来聊聊矩阵秩和行列式那点事儿。

你可以把矩阵想象成一个超级战队,每个元素都是战队里的成员。

那矩阵的秩呢,就像是这个战队里真正能发挥核心作用的小团队规模。

而行列式啊,就像是这个超级战队的一种特殊力量值。

当矩阵是方阵的时候,行列式的值要是不等于零,那就好比这个战队处于满员且全员高能的状态,这时候矩阵的秩就达到了最大值,就像战队里每个成员都在最佳状态,没有一个是打酱油的。

假如把矩阵看成一个拼图,秩就是这个拼图里能够完整拼凑出有意义图案的块数。

行列式呢,就像是这个拼图是否能严丝合缝的一个标志。

要是行列式为零,就像这个拼图少了关键的几块,怎么都拼不出完整的图,矩阵的秩也就没有达到它可能的最大值啦。

再把矩阵比作一个大家庭。

矩阵的秩就是这个家里真正管事、能顶梁柱的人数。

行列式就像这个家庭的一种特殊运势。

如果行列式的值是零,就好像这个家庭遭遇了什么大危机,少了主心骨,矩阵的秩也会受到影响,就像家里干活的人少了一样。

矩阵的秩和行列式还像一场音乐会呢。

矩阵是整个乐队,秩就是乐队里真正能和谐演奏的小组规模。

行列式就像是这场音乐会是否能顺利进行的一个神秘信号。

如果行列式为零,那就如同音乐会现场乱了套,乐器出问题了,能好好演奏的小组规模也大打折扣,也就是矩阵的秩变小了。

想象矩阵是一个魔法阵。

矩阵的秩就是魔法阵里能够成功释放魔力的小魔法圈的数量。

行列式就像这个魔法阵的魔力源是否稳定。

当行列式为零的时候,就好像魔力源干涸了,能有效释放魔力的小魔法圈数量也就是矩阵的秩就没法达到最大值了。

矩阵秩和行列式又像是一场厨艺大赛。

矩阵是参赛队伍,秩就是队伍里能做出拿手好菜的厨师数量。

行列式呢,就像这个队伍是否有资格继续比赛的评判标准。

要是行列式为零,就像这个队伍犯了大错被取消参赛资格,能做好菜的厨师数量也就是矩阵的秩就不会是理想的状态了。

要是把矩阵当成一个篮球队,矩阵的秩就是球场上真正能得分、防守的核心球员数量。

考研数学面试题目(3篇)

考研数学面试题目(3篇)

第1篇一、面试题目1. 请简述数学分析中极限的定义和性质。

解析:数学分析中,极限是指当自变量x趋向于某一点a时,函数f(x)的值趋向于某一点L。

具体来说,如果对于任意给定的正数ε,都存在一个正数δ,使得当0<|x-a|<δ时,有|f(x)-L|<ε,则称函数f(x)当x趋向于a时极限为L,记作lim(x→a)f(x)=L。

2. 请解释数学中的导数的概念及其几何意义。

解析:导数是描述函数在某一点处的局部变化率。

对于函数y=f(x),在点x0处的导数表示为f'(x0)。

几何意义上,导数表示曲线在该点的切线斜率。

3. 请简述多元函数偏导数的概念及其几何意义。

解析:多元函数偏导数是指多元函数在某一点处,仅考虑一个变量变化时,函数的导数。

对于多元函数z=f(x,y),在点(x0,y0)处的偏导数表示为f_x'(x0,y0)和f_y'(x0,y0)。

几何意义上,偏导数表示曲线在该点的切线斜率。

4. 请解释定积分的概念及其物理意义。

解析:定积分是指将一个函数在一个区间上的无穷小分割,然后求和并取极限的过程。

物理意义上,定积分可以表示曲线下方的面积、物理量在某段时间内的累积量等。

5. 请简述多元函数的积分概念及其物理意义。

解析:多元函数的积分是指将一个多元函数在一个区域上的无穷小分割,然后求和并取极限的过程。

物理意义上,多元函数的积分可以表示空间曲面的面积、物理量在某区域内的累积量等。

6. 请解释数学中的级数收敛的概念。

解析:级数收敛是指一个无穷级数的各项之和趋向于某个确定的值。

如果对于任意给定的正数ε,都存在一个正整数N,使得当n>N时,级数的部分和S_n与该确定值L之差的绝对值小于ε,则称该级数收敛。

7. 请简述线性代数中矩阵的概念及其运算。

解析:矩阵是一种由数字组成的矩形阵列,表示线性变换、线性方程组等。

矩阵的运算包括加法、数乘、乘法等。

8. 请解释线性代数中行列式的概念及其性质。

矩阵和行列式的几何意义及其应用

矩阵和行列式的几何意义及其应用

矩阵和行列式的几何意义及其应用矩阵和行列式是线性代数中非常重要的概念,它们不仅在数学理论中具有重要意义,而且在各个领域的实际应用中也有着广泛的应用。

本文将对矩阵和行列式的几何意义及其应用进行详细介绍。

一、矩阵的几何意义1. 矩阵的基本概念矩阵是由若干行和若干列组成的数组,通常用大写字母表示。

一个3×3的矩阵可以表示为:A = [a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33]其中a11、a12、a13等是矩阵元素,3×3表示矩阵有3行3列。

矩阵中的元素可以是实数、复数、函数等。

矩阵可以表示线性变换,这种线性变换可以用来描述几何问题。

对于一个二维平面上的点(x, y),可以用一个2×2的矩阵A进行线性变换,得到新的点(x', y'):[x'] [a11 a12] [x][y'] = [a21 a22] * [y]这个矩阵A实际上描述了一个二维变换,它可以将原来的点(x, y)变换成新的点(x', y')。

这种矩阵向量的几何意义在计算机图形学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。

3. 矩阵的特征值和特征向量对于一个n阶方阵A,如果存在数λ和非零向量v,使得Av = λv,那么λ称为A 的特征值,v称为A的特征向量。

特征值和特征向量可以描述矩阵的特性,它们在几何上有着重要的意义。

特征向量v描述了矩阵A的特定方向,而特征值λ描述了在这个特定方向上的伸缩比例。

特征值和特征向量的概念在物理学、工程学、统计学等领域中都有着重要的应用,例如在求解振动问题、稳定性分析等方面起着重要作用。

行列式是一个非常重要的概念,它可以用来描述线性变换的伸缩比例和方向。

对于一个n阶方阵A,其行列式的值记作|A|,它用来描述线性变换对空间体积的伸缩情况。

2. 行列式的几何意义行列式的值为正表示线性变换不改变空间的方向和体积,值为负表示线性变换改变了空间的方向,但没有改变体积,值为零表示线性变换将空间压缩成了低维空间。

矩阵和行列式的几何意义及其应用

矩阵和行列式的几何意义及其应用

矩阵和行列式的几何意义及其应用矩阵和行列式是线性代数中非常重要的概念,它们有着广泛的应用,涉及到许多领域,如计算机科学、机器学习、物理学等,本文将介绍它们的几何意义及其应用。

矩阵的几何意义是将几何变换表示为矩阵运算。

在三维空间中,我们可以将向量表示为三个元素的列向量。

例如,一个向量A可以表示为:```(a1)(a2)(a3)``````(cosθ -sinθ 0)(sinθ cosθ 0)( 0 0 1)```其中cosθ和sinθ是旋转角度θ的cosine和sine。

当我们将一个向量A乘以旋转矩阵时,可以得到一个新的向量B,它对应于旋转后的向量。

具体来说,这个运算可以表示为:```| cosθ -sinθ 0 | |a1| | b1 || sinθ cosθ 0 | x |a2| = | b2 || 0 0 1 | |a3| | b3 |```这里的b1,b2和b3是旋转后的向量A的新坐标。

值得注意的是,矩阵乘法可以表示为向量的内积。

除了旋转矩阵,其他的几何变换(如平移、缩放、投影等)也可以表示为矩阵运算。

这种将几何变换转化为矩阵运算的方法被广泛应用于计算机图形学中,例如在3D建模、动画和游戏开发中。

另一方面,行列式是一个用于计算线性变换区域扩大或缩小程度的数值。

当一个矩阵的行列式为0时,它代表着某些向量之间存在线性相关性。

这种情况下,行列式可用于求解矩阵的逆矩阵,从而求解线性方程组。

除了逆矩阵和线性方程组求解,行列式还有着许多其他的应用。

例如,在微积分中,行列式可以用于计算多元函数导数的雅可比矩阵。

在物理学中,行列式可以用于计算电场和磁场的交互作用。

在概率论中,行列式可以用于计算随机向量的概率密度。

矩阵的秩与行列式的关系

矩阵的秩与行列式的关系
0 1 0 k 0 0 0 0 0 0 0 1
西安建大
0 1 0 1 0 0 1 0 0 k 0 0 0 1 1 0 0 1 1 c
( P1 P2 P3 )1 P31 P21 P11
1 1 c
0 0 P1 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 1 1 0 1 k P P2 3 0 1 1 1 c 1 1
1 1 1 k 1 1 c 1 1 1 k 1 1
西安建大
定理:
设A是m n矩阵,对A施行一次初等行变换, 相当于在A的左边乘一个相应的m阶初等矩阵; 对A施行一次初等列变换,相当于在A的右边 乘一个相应的n阶初等矩阵。
证明: 具体验证即可
设A按行分块,对A施行倍加变换,将A的第j行 k倍加到第i行上,即
西安建大
1 i A j m
1 i k j j m
西安建大
另两种情形同理可证
一般记法:
E i , j A表示A的第i行与第 j行对换 , AE i , j 表示A的第i列与第 j列对换 . E i k A表示A的第i行乘k , AE i k 表示A的第i列乘k . E ij k A表示A的第j行乘k加到第 i行上, AE ij k 表示A的第i列乘k加到第 j列上.
求PP 1 2P 3及( PP 1 2P 3)
西安建大
解: (1) P1 P2 P3
0 0 1 0
0 0 1 c
0 1 0 0
1 0 0 0

高代一期末考试试题及答案

高代一期末考试试题及答案

高代一期末考试试题及答案高等代数一期末考试试题一、选择题(每题2分,共10分)1. 以下哪个不是线性代数中的基本概念?A. 向量空间B. 线性变换C. 矩阵D. 微积分2. 矩阵的秩是指:A. 矩阵中非零行的最大数量B. 矩阵中非零列的最大数量C. 矩阵中线性无关行的最大数量D. 矩阵中线性无关列的最大数量3. 线性方程组有唯一解的条件是:A. 系数矩阵的行列式不为零B. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩等于未知数的个数D. 所有选项都是4. 以下哪个矩阵是可逆的?A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 行阶梯形矩阵D. 非方阵5. 特征值和特征向量的计算与下列哪个矩阵运算相关?A. 矩阵的加法B. 矩阵的乘法C. 矩阵的转置D. 矩阵的行列式二、填空题(每空1分,共10分)6. 一个向量空间 \( V \) 的基 \( B \) 包含 \( n \) 个线性无关向量,则 \( V \) 的维数为 _______。

7. 若 \( A \) 是 \( m \times n \) 矩阵,\( B \) 是 \( n\times p \) 矩阵,则 \( AB \) 是 _______ 矩阵。

8. 线性变换 \( T: V \rightarrow W \) 的核是所有满足 \( T(v) = 0 \) 的向量 \( v \) 的集合,记为 _______。

9. 矩阵 \( A \) 与 \( B \) 相等,当且仅当它们具有相同的_______。

10. 一个 \( n \) 阶方阵的迹是其对角线上元素的 _______。

三、简答题(每题5分,共20分)11. 解释什么是线性相关和线性无关,并给出一个线性无关向量组的例子。

12. 描述矩阵的行列式计算的几何意义。

13. 说明如何使用高斯消元法求解线性方程组。

14. 什么是特征值分解?它在哪些领域有应用?四、证明题(每题10分,共20分)15. 证明如果矩阵 \( A \) 可逆,则 \( A \) 的行列式不为零。

矩阵行秩等于列秩的几何解释

矩阵行秩等于列秩的几何解释

矩阵行秩等于列秩的几何解释嘿,你知道吗?矩阵的行秩竟然等于列秩,这可太神奇啦!就好像
一座奇妙的几何大厦,有着我们意想不到的对称之美。

咱就拿一个简单的例子来说吧,想象一个整齐排列的方格阵,行就
像是一条条水平的街道,列呢,就像是竖直的小巷。

行秩就代表着这
些街道的“热闹程度”,而列秩就是那些小巷的“独特之处”。

你想想看呀,如果行这边有着丰富多样的联系和组合,那列那边也
肯定不会差呀,它们就像是相互呼应的两面。

比如说,在一个矩阵中,行可以构成一些特定的模式,那列也会相应地呈现出与之对应的关系,这难道不是很奇妙吗?
咱再深入一点想想,这不就跟生活中的很多情况很像嘛!比如跳舞,舞者的动作在水平方向上有着精彩的编排,那在垂直方向上也会有独
特的表现呀。

这行秩和列秩不就是这样相互关联、相互成就的嘛!
再比如画画,画面的横向构图有着它的美妙之处,那纵向的布局肯
定也有其特别的意义呀。

这不就是矩阵行秩等于列秩的一种类比嘛!
哎呀呀,真的是越想越觉得神奇呢!矩阵就像是一个隐藏着无数秘
密的宝藏,等待我们去挖掘和发现。

我觉得矩阵行秩等于列秩这个现象真的是数学世界里超级神奇的存在呀!它让我们看到了事物之间那种奇妙的对称性和关联性,真的是太让人着迷啦!。

矩阵行列式的几何意义

矩阵行列式的几何意义

矩阵⾏列式的⼏何意义矩阵⾏列式的⼏何意义⾏列式的定义:⾏列式是由⼀些数据排列成的⽅阵经过规定的计算⽅法⽽得到的⼀个数。

当然,如果⾏列式中含有未知数,那么⾏列式就是⼀个多项式。

它本质上代表⼀个数值,这点请与矩阵区别开来。

矩阵只是⼀个数表,⾏列式还要对这个数表按照规则进⼀步计算,最终得到⼀个实数、复数或者多项式。

⼀阶⾏列式(注意不是绝对值)⼆阶⾏列式三阶⾏列式N阶⾏列式⾏列式的⼏何意义是什么呢?概括说来有两个解释:⼀个解释是⾏列式就是⾏列式中的⾏或列向量所构成的超平⾏多⾯体的有向⾯积或有向体积;另⼀个解释是矩阵A的⾏列式detA就是线性变换A下的图形⾯积或体积的伸缩因⼦。

这两个⼏何解释⼀个是静态的体积概念,⼀个是动态的变换⽐例概念。

但具有相同的⼏何本质,因为矩阵A表⽰的(矩阵向量所构成的)⼏何图形相对于单位矩阵E的所表⽰的单位⾯积或体积(即正⽅形或正⽅体或超⽴⽅体的容积等于1)的⼏何图形⽽⾔,伸缩因⼦本⾝就是矩阵矩阵A表⽰的⼏何图形的⾯积或体积,也就是矩阵A的⾏列式。

⼆阶⾏列式的⼏何意义:⼆阶⾏列式的⼏何意义是xoy平⾯上以⾏向量为邻边的平⾏四边形的有向⾯积。

⼆阶⾏列式的⼏何意义就是由⾏列式的向量所张成的平⾏四边形的⾯积。

另外,两个向量的叉积也是这个公式。

⼆阶⾏列式的另⼀个意义就是是两个⾏向量或列向量的叉积的数值,这个数值是z轴上(在⼆维平⾯上,z轴的正向想象为指向读者的⽅向)的叉积分量。

如果数值是正值,则与z坐标同向;负值就与z坐标反向。

如果我们不强调叉积是第三维的向量,也就是忽略单位向量,那么⼆阶⾏列式就与两个向量的叉积完全等价了。

⼆阶⾏列式性质的⼏何解释:两向量在同⼀条直线上,显然围成的四边形的⾯积为零,因此⾏列式为零这个性质由⾏列式的叉积特性得到,交换⾏列式的两⾏,就是改变了向量a和向量b的叉积顺序,根据,因此⾏列式换号。

把⾏列式的⼀⾏的k倍加到另⼀⾏,则⾏列式值不变,即矩阵的⾏列式等于其转置矩阵的⾏列式(根据⾏列式的定义可证)总结:(1)⽤⼀个数k乘以向量a,b中之⼀的a,则平⾏四边形的⾯积就相应地增⼤了k倍;(2)把向量a,b中的⼀个乘以数k之后加到另⼀个上,则平⾏四边形的⾯积不变;(3)以单位向量(1,0),(0,1)构成的平⾏四边形(即单位正⽅形)的⾯积为1。

矩阵和行列式的几何意义及其应用

矩阵和行列式的几何意义及其应用

矩阵和行列式的几何意义及其应用
矩阵和行列式是线性代数的重要概念,具有广泛的几何意义和应用。

下面将对矩阵和
行列式的几何意义及其应用进行简要介绍。

我们来谈谈矩阵的几何意义。

矩阵可以看作是一个二维数组,其中的元素代表了在二
维空间中的某种量,例如坐标、长度、角度等。

通过矩阵乘法,我们可以进行各种几何变换,例如平移、旋转、缩放等。

具体来说,如果我们用一个矩阵A乘以一个向量x,就可
以得到一个新的向量y,表示将向量x进行某种变换后得到的结果。

这个变换可以表示为:y = A*x。

矩阵可以用来描述几何变换的规律,例如平移矩阵、旋转矩阵、缩放矩阵等。

行列式是矩阵的一个重要性质,它可以用来描述矩阵的行向量或列向量的线性相关性。

行列式的值代表了矩阵所包含的几何信息,例如面积、体积、方向等。

对于二维矩阵来说,行列式的值可以表示平行四边形的面积;对于三维矩阵来说,行列式的值可以表示平行六
面体的体积。

行列式还可以用来判断一个矩阵是否可逆,即是否存在逆矩阵。

如果一个矩
阵的行列式不等于零,那么它是可逆的;反之,如果行列式等于零,则矩阵不可逆。

矩阵和行列式在几何学中有广泛的应用。

其中一个重要的应用是解线性方程组。

通过
将线性方程组转化为矩阵形式,我们可以用矩阵的运算方法求解方程组的解。

对于一个包
含n个未知数和n个方程的线性方程组,可以用一个n阶矩阵表示,通过求解矩阵的逆矩
阵或者行列式等于零的条件,我们可以得到方程组的解。

矩阵和行列式还可以用来进行曲
线拟合、图像处理、数据压缩等各种几何计算。

矩阵和行列式的几何意义及其应用

矩阵和行列式的几何意义及其应用

矩阵和行列式的几何意义及其应用1. 引言1.1 矩阵和行列式的基本概念矩阵和行列式是线性代数中非常重要的概念,也是几何学中不可或缺的工具之一。

矩阵是一个由数字组成的矩形阵列,而行列式则是对一个方阵进行一系列操作得到的一个标量值。

矩阵和行列式的基本概念包括了矩阵的定义、加法和乘法运算,以及行列式的定义和性质。

在矩阵中,每个元素可以表示一个空间中的向量或者点,而矩阵的运算则可以用来描述空间中的变换和关系。

矩阵的平移和旋转应用是其中最常见的几何应用之一,在计算机图形学和机器学习中有着极其广泛的应用。

行列式则可以用来描述空间中的体积和方向,对于线性方程组的求解和空间中的几何问题有着至关重要的作用。

矩阵和行列式在三维空间的表示方法和在计算机图形学中的应用更进一步扩展了它们的应用领域,而在机器学习和人工智能领域,矩阵和行列式更是成为了不可或缺的工具。

它们的重要性不仅体现在几何学中,还体现在理论计算和实际应用中的广泛深入。

通过深入研究和应用矩阵和行列式,我们可以更好地理解和描述空间中的关系和变化,从而推动科学技术的发展和进步。

1.2 矩阵和行列式在几何中的重要性矩阵和行列式在几何中的重要性体现在它们对几何变换的描述和分析中起到至关重要的作用。

几何变换包括平移、旋转、缩放等,而矩阵和行列式可以简洁地表示这些变换。

通过矩阵的乘法运算,可以连续地应用多个变换,实现复杂的几何操作。

行列式则可以用来判断矩阵的行列间关系,比如判断矩阵是否可逆、是否存在逆矩阵等。

在几何中,矩阵和行列式的重要性体现在它们提供了一种便捷且直观的描述几何对象和操作的方式。

平移可以用矩阵的加法表示,旋转可以用矩阵乘法表示。

通过矩阵和行列式,我们可以方便地求解线性方程组、计算多边形的面积、判断平行四边形的性质等几何问题。

矩阵和行列式在几何中的重要性不可替代,它们为我们理解和解决几何问题提供了强大的工具和思维方式。

在接下来的我们将更深入地探讨矩阵和行列式在不同领域的应用,展示它们的广泛性和实用性。

矩阵和行列式的几何意义及其应用

矩阵和行列式的几何意义及其应用

矩阵和行列式的几何意义及其应用矩阵和行列式是线性代数中非常重要的概念,它们不仅在数学理论中有着重要的地位,而且在实际应用中也有着广泛的应用。

本文将介绍矩阵和行列式的几何意义及其应用。

一、矩阵的几何意义矩阵可以被看作是一个数字数组,它由行和列组成。

在几何上,矩阵可以表示一系列的几何变换,比如平移、旋转、缩放等。

1. 平移对于二维平面上的向量来说,一个平移矩阵可以表示向量在平面上的平移。

对于一个向量v=(x, y),如果我们希望将它在x方向上平移b个单位,在y方向上平移c个单位,那么相应的平移矩阵为:T = | 1 0 || b c |当我们将向量v乘以平移矩阵T时,得到的结果就是平移后的向量。

通过以上例子,我们可以看到,矩阵在几何中有着非常重要的意义,它可以表示各种几何变换,从而帮助我们对几何问题进行分析和计算。

除了在几何中的应用,矩阵在计算机图形学、物理学、工程学等领域也有着广泛的应用。

二、行列式的几何意义行列式是一个非常重要的概念,它可以表示矩阵的“形状”,从而帮助我们理解线性变换的性质。

在几何中,行列式可以理解为表示线性变换对空间的“拉伸”或“压缩”程度。

对于一个二维矩阵A,它可以表示一个线性变换T。

如果我们用矩阵A对一个向量v=(x, y)进行变换,得到的结果就是Av。

对于这个变换,它会使得原来的面积发生改变,而这种改变的程度可以通过A的行列式det(A)来表示。

行列式大于1表示面积被“拉伸”,小于1表示面积被“压缩”,等于1表示面积保持不变。

举个例子来说,如果我们有一个二维矩阵A,它的行列式为2,那么这个矩阵对应的线性变换会使得平面上的面积变为原来的两倍。

而如果行列式为0,表示这个线性变换会把整个平面变为一条线,面积被“压缩”为0。

行列式的几何意义帮助我们理解线性变换对空间的影响,它可以帮助我们分析和理解各种几何问题。

在实际应用中,行列式常常用来判断线性方程组的解的情况,或者用来解决几何问题,比如计算面积、体积等。

一文读懂矩阵的秩和行列式的意义

一文读懂矩阵的秩和行列式的意义

一文读懂矩阵的秩和行列式的意义雷锋网按:张量是神经网络模型中最基本的运算单元,模型内部绝大部分的数据处理都需要依靠张量为载体,进行一系列的数学运算,然后得到结果。

就像张量是矩阵在高维度下的推广一样,本文将深入探讨秩和行列式这些在矩阵论中最基础的知识点在高维度下的推广和实际意义。

本文作者夏洪进,原载于作者的个人博客,雷锋网经授权发布。

作为一个工科的学生,我们长期以来会使用比如像是矩阵以及行列式这些在线性代数上的知识,在这篇文章中,我想来聊一聊这些问题,即什么是面积,以及什么是面积的高纬度的推广.1 什么是面积?对于什么是面积,大家可能首先就会想到我们生活中常用的长*宽么?真的是这样么,其实在这里我们所谈论的面积,其实是欧几里得空间几何面积的基本的单位:平行四边形的面积.关于平行四边形的面积的定义,几何上所说的就是相邻两边边长乘以他们之间的夹角的正弦.但是当我们面对到一些更一般的情形和更高维度的数理问题的时候,我们就有必要把这个面积的定义推广开来.首先我们应当要注意的是.面积是作为一个标量,他是来自于相邻的两个边的两个矢量相乘的结果,因此来时,我们需要把面积看作为一种映射的关系.这里的V可以看做一个适量,V*V代表的是两个适量的有序对,那么f自然而然就是所求的面积.现在我们将来证明这个映射是一个线性的映射,请坐稳扶好:现在我们举一个最简单的例子,现在我们假设第一个矢量是(1.0),第二个矢量是(0,1),也就是说两个矢量分别是X轴和Y轴上的单位为正的单位向量,那么由这两个矢量构成的四边形,这个四边形其实就是一个正方形,根据面积的定义,其实就是*宽=1*1=1因此我们可以得到:现在假设把第一个矢量缩放a倍,这个四边形的面积也会变为相对应的a倍,这样的面积也将会变为原来的a倍,把第二个矢量缩放为b倍,这样的面积也会变为原来的b倍,如果这个时候我们同时对两个向量缩放为ab倍,这样的话面积也会变为原来的ab倍,这说明,面积的映射对于其他的两个操作数的矢量的标量积是呈现出各自线性的,如下:其实在实际的情况下,面积的映射对于其操作数(矢量)的矢量加法也是线性的.因为矢量加法的操作本身就是一个线性的,那么他的面积的映射其实也就是一个线性的映射.现在我想通过几个例子,来解释下映射加法线性的一些后果.两个共线矢量所张成的平行四边形是一条线,因此来说这个面积是0.现在假设面积映射是关于一个适量加法的线性映射,那么我们有以下的结果其实这里其实用到了一个理论:也就是说,在交换相互垂直操作数适量的顺序后,面积的映射变成一个负值.到底是正还是负取决于你认为的定义.一般情况下,我们把X轴的矢量放在前边,Y轴的矢量放在后边,从X轴到Y轴张成的一个平行四边形的面积,我们把这个符号一般看作为正号.2 三维空间里的应用在三维空间中,我们一般是利用的右手定则进行实验.如果以X轴的正方形为头部,Y轴的正方向为尾部.右手定则告诉我,纸面方向向外的方向是面积的正方向.如果反过来,纸面向内的方向就是该面积的正方向.与所规定的正负号的方向是相反的.现在这样来看正负号的几何的意义就比较明显了现在我们假设用平面内的任意两个矢量所张成的平行四边形的面积,现在用公式来进行表示:在这里,其实我们不难看到,所谓的面积其实就是一个2*2的矩阵的行列式:就跟下边的图所示的一样:其实我们的第一行即使我们的第一个行向量(a,b),第二行就是第二个行向量(c,d),再或者是第一列是第一个列向量(a,b)的转秩,第二个列自然就是第二个列向量(c,d)的转秩.当然这么做还是取决于我们是把矢量写成行向量还是列向量的形式表达.3 行列式的性质的计算在上述的推理中,我们可以很容易的发现,行列式的值是把与行列式的矢量写成列向量的横排还是行向量的竖排的方式是无关的.这也就是为什么,在计算行列式的时候,行列的地位是对等的.并且我们还应当注意到,根据上述的分析,交换向量的顺序,面积是负号的原因.这也就是为什么行列式中,交换列向量或者行向量一次,就应当要取一次负号的原因.另外行列式其他的计算的性子,其实都一一反映在面积映射的线性性当中.所以,综上所述,行列式实际上本身就是一个关于面积的形式的推广.其实就是在给定一组基的情况下,N个向量张成的一个N维定义的广义四边形的体积,其实这就是行列式本质的一个含义.4 行列式的一个推广根据上边的结论,我们其实很容易的推广到三维体积的一个计算:在这里我们应该要注意到,行列式的定义,其实是每一行各取一个不同列的元素的一个乘积并且符号和所谓的逆序性有关的.什么是逆虚性?所谓逆序性,其几何意义就是在规定了一个正方向之后(比如从1,2,3,4,5...N这个顺序定义为正号),交换任意一对数都取一次负号。

如何理解矩阵的「秩」

如何理解矩阵的「秩」

如何理解矩阵的「秩」阅读提示,这篇文章是在如何理解行列式的本质的基础上作答的。

先说答案:
「秩」是通过矩阵变换之后的维度
「秩」是列空间的维度
下面分别解释这两个答案,前者更直观,而后者是前者的原因。

1 「秩」是通过矩阵变换之后的维度
这是比较直观的一个角度。

我们通过旋转矩阵进行变换:
因此,旋转矩阵的「秩」为2。

我们通过矩阵进行变换:
因此,此矩阵的「秩」为1。

我们通过矩阵进行变换:
因此,此矩阵的「秩」为0。

所以,「秩」是通过矩阵变换之后的维度。

要解释为什么,我们需要另外一个角度的答案。

2 「秩」是列空间的维度
首先看下什么是列空间。

2.1 列空间
我们通过旋转矩阵来解释什么是列空间:
通过改变的值,可以用来表示二维平面上的所有点:
可以自己动手试试:。

矩阵的秩的几何意义

矩阵的秩的几何意义

a

,

,
,
今是
八的 行
,

:
,
…氏
l
所 生成 的 厂 的子空 间 L
:
, n

(
a
:
,
a
:
,
a
n
)
,
叫做 矩阵 A 的 行 空 间
,
类 似地
,
由 八的
个列 向景 日 日 … 日 所 生成 的 F
,
m
的子 空 间
(日

:
:
,
日 {
,

)
叫做
, ,
A 的列空 间
为 了 证 明矩 阵秩 的 几何 意 义
+
a
1
r
h
r
=
0
a
,
z
h
z
+
a
,
:
h
Z


+
a

,
h
,
=
0
〔1 〕
a

l
h
:
+
a

Z
h
:
+

+
a

,
1 1
:
=
0
r
由前
r
个 方 程 构 成 的 方 程组 系 数行 列 式 恰好 为 A 的 左 上 角
1 ) 只 有零 解 h
:
阶子 式
,
因此 不 等 于 零
故方 程组 (
=
h
, :
Z

矩阵的秩与行列式的几何意义

矩阵的秩与行列式的几何意义

矩阵的秩与队列式的几何意义作者:曾博链接:假如我们把第一个矢量”缩放“a倍,面积将会相应是本来的 a 倍;把第二个矢量“缩放”b倍,面积也会成为本来的 b 倍。

假如同时缩放,很明显,面积将会变为原面积的ab 倍。

这表示,面积映照对于其两个操作数(矢量)的标量积是各自线性的,以下:最后,我们要说明,面积映照对于其操作数(矢量)的矢量加法也是线性的。

由于矢量加法操作的自己是线性的,那么其面积映照理应付此也是一个线性映照。

这里我们打算从几个实质的例子出发,说明映照的加法线性性的结果。

明显(两个共线矢量所张成的平行四边形仍是一条线,所以面积为0):假定面积映照是一个对于矢量加法的线性映照,那么我们有:注意计算过程顶用到了上边的结论。

这说明:也就是说,交换互相垂直操作数矢量的次序,面积映照取负。

孰正孰负取决于以为的定义。

一般,我们把X 轴单位矢量在前,Y 轴单位矢量在后,从 X 轴到 Y 轴张成的一个平行四边形的面积,取做正号。

1.1 右手定章由此我们引入右手定章。

注意右手定章只在三维空间中有效。

假如以X 正方向为首, Y 正方向为尾,右手定章告诉我们,纸面向外是面积的正方向;假如反过来,那么纸面向内就是该面积的正方向,与规定的正方向相反,取负号。

那么面积正负号的几何意义就明显了。

由此,我们不难获得平面内任意两个矢量所张成的平行四边形的面积( *):我们不难看到,所谓面积就是一个 2X2 矩阵的队列式:以下列图。

此中第一行就是我们的第一个行向量 (a,b) ;第二行就是第二个行向量 (c,d) 。

或许第一列是第一个列向量 (a,b)^T, 第二列是第二个列向量 (c,d)^T 。

这取决于我们把矢量写成行向量(前者)仍是列向量(后者)的形式。

1.2 队列式的计算性质由此我们很简单能发现,队列式的值与把矢量写成列向量横排仍是行向量竖排的方式是没关的。

这也就是为何说,在计算队列式时,行和列的地位是平等的。

而且注意到,由上述剖析,互换矢量的次序,面积的值取负号,这也就是为何队列式中,互换列向量或许行向量一次,就要取一次负号的原由。

矩阵和行列式的几何意义及其应用

矩阵和行列式的几何意义及其应用

矩阵和行列式的几何意义及其应用【摘要】矩阵和行列式在数学中被广泛运用,不仅有着严格的定义,还具有重要的几何意义。

通过研究矩阵在几何变换中的应用和行列式在几何中的作用,我们可以更深刻地理解它们在几何中的重要性。

矩阵和行列式的联系在计算机图形学和工程领域中也有着广泛的应用,能够帮助我们解决实际问题。

矩阵和行列式在几何中的重要性和广泛应用彰显出它们的重要意义,为现实生活中的许多问题提供了解决方案。

通过深入研究矩阵和行列式的几何意义,我们可以更好地掌握它们在数学和工程领域中的应用。

【关键词】关键词:矩阵、行列式、几何意义、几何变换、计算机图形学、工程领域、重要性、现实生活、应用、联系1. 引言1.1 矩阵和行列式的定义矩阵是一个按照矩阵元的排列方式排成的矩形阵列,其中有m行n列,记作A=(a_ij),其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

矩阵可以表示成如下形式:A = [a11, a12, a13, ..., a1n][a21, a22, a23, ..., a2n][.....................][am1, am2, am3, ..., amn]行列式是对一个特定规模的矩阵进行运算得到的一个标量,记作det(A)或|A|,它的值表示这个矩阵的行向量或列向量组之间的线性相关性。

行列式的计算需要满足一定的性质和规则,通过这些性质和规则,我们可以求出任意规模矩阵的行列式。

矩阵和行列式是线性代数中的基本概念,它们在几何学和工程领域中有着重要的应用。

接下来我们将更深入地探讨矩阵和行列式在几何中的具体应用和意义。

1.2 几何意义的介绍矩阵和行列式在数学中占据着重要的地位,它们不仅仅是代数运算中的工具,还具有着深刻的几何意义。

在几何中,矩阵和行列式可以用来描述和分析各种几何问题,从而为解决实际应用中的几何难题提供了有力的数学支持。

几何意义可以帮助我们更直观地理解矩阵和行列式的性质,从而更好地应用它们解决问题。

矩阵和行列式的几何意义及其应用

矩阵和行列式的几何意义及其应用

矩阵和行列式的几何意义及其应用矩阵和行列式是线性代数中非常重要的概念,它们不仅在数学理论中有着重要的地位,而且在现实生活中也有着广泛的应用。

矩阵和行列式的几何意义和应用是我们必须深入了解的内容,本文将就此进行探讨。

我们来说说矩阵的几何意义。

矩阵可以看作是一个矩形的数组,其中的元素通常代表着某种量,比如空间中的坐标,或者物理问题中的力、速度等。

在几何中,矩阵可以表示空间中的旋转、缩放、平移等变换。

二维空间中的平移可以通过一个2x2的矩阵来表示:\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]这个矩阵表示了在x和y方向上都不发生变化,也就是相当于没有平移。

而如果我们希望在x方向上平移了2个单位,那么可以使用如下的矩阵来表示:我们来说说行列式的几何意义。

行列式是矩阵的一个重要性质,它可以用来判断矩阵是否可逆,从而也可以用来判断一个线性变换是否可以逆转。

几何上来看,行列式可以表示一个线性变换对空间形状的影响。

如果一个矩阵的行列式为0,那么它代表的线性变换将使空间中的一些维度丢失,从而导致形状变得扁平或者折痕,这种情况往往是不可逆的。

接下来,让我们来说说矩阵和行列式在实际生活中的应用。

矩阵和行列式在很多领域都有着广泛的应用,下面就以几个具体的例子来说明。

矩阵和行列式在计算机图形学中有着重要的应用。

在计算机图形学中,我们经常需要对图形进行平移、旋转、缩放等变换,而这些变换都可以通过矩阵来表示。

计算机图形学中还经常需要进行投影变换,而将一个三维空间中的坐标点投影到二维屏幕上,也可以通过矩阵来表示。

矩阵和行列式在计算机图形学中有着广泛的应用。

矩阵和行列式在机器学习和人工智能领域也有着重要的应用。

在机器学习中,我们经常需要对大量的数据进行处理和分析,而矩阵运算在这个过程中是非常高效的工具。

很多机器学习算法都可以通过矩阵运算来表示,比如主成分分析(PCA)和奇异值分解(SVD)等。

矩阵的秩与矩阵的行列式

矩阵的秩与矩阵的行列式

矩阵的秩与矩阵的行列式矩阵是数学中的一个重要概念,广泛应用于线性代数、计算机科学等领域。

在矩阵的研究中,我们常常涉及到矩阵的秩和矩阵的行列式两个概念。

本文将探讨矩阵的秩与矩阵的行列式之间的关系以及它们在实际问题中的应用。

一、矩阵的秩的定义和性质矩阵的秩是描述矩阵中非零行的最大个数,也可以理解为矩阵的行向量或列向量中线性无关向量的个数。

定义:一个m×n的矩阵A的秩,记作rank(A),是指它的最大线性无关向量组所含向量的个数。

性质1:若矩阵A的行秩和列秩相等,则称其秩为r,且等于行秩或列秩。

性质2:任意一个m×n矩阵的秩不可能大于min(m, n)。

性质3:若矩阵A的秩为r,则矩阵A必定存在r阶非零子式,且所有r阶子式都非零。

二、矩阵的行列式的定义和性质矩阵的行列式是一个与矩阵相关的数值,它用于表示线性变换对$n$维空间的扩大或收缩的比例。

定义:对于一个n阶方阵A,A的行列式,记作det(A)或|A|,等于它的n阶子行列式的代数和。

性质1:对于一个n阶方阵A,若A可逆,则其行列式不为0,即det(A) ≠ 0。

性质2:若矩阵B由矩阵A的行(列)交换得到,则det(B) = -det(A)。

性质3:若矩阵B由矩阵A的一行(列)乘以常数k得到,则det(B) = k*det(A)。

三、矩阵的秩与矩阵的行列式的关系矩阵的秩与矩阵的行列式之间有着紧密的联系,下面我们来详细介绍。

定理1:对于一个n×n的矩阵A,A的秩与其行列式的关系为rank(A) = n,当且仅当det(A) ≠ 0时成立。

理解:当一个矩阵的秩等于其阶数时,意味着所有的行向量或列向量都是线性无关的,此时行列式不等于0。

反之亦然,当行列式等于0时,说明矩阵的行向量或列向量之间存在线性相关关系,从而秩小于n。

定理2:对于任意一个m×n的矩阵A,矩阵的主子式及其扩展子式(包括省略的行列)的非零子式所组成的最大阶数,即其秩rank(A)。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

矩阵的秩与行列式的几何意义
2016年7月16日16:39:30
1 关于面积:一种映射
大家会说,面积,不就是长乘以宽么,其实不然。

我们首先明确,这里所讨论的面积,是欧几里得空间几何面积的基本单位:平行四边形的面积。

平行四边形面积的定义,几何上说是相邻两边边长乘以他们之间的夹角的正弦。

然而为了应对更一般情形和更高维度的数理问题,我们有必要把面积的定义推广开来。

注意到以下事实:
面积是一个标量,它来自于(构成其相邻边)两个矢量。

因此,我们可以将面积看成一个映射:
其中V就是一个矢量,V*V代表两个矢量的有序对;f就是面积的值。

下面我们将说明这个映射是一个线性映射。

从最简单的例子出发。

如果第一个矢量是(1,0),第二个矢量是(0,1);也就是说,两个矢量分别是X和Y轴上的单位正向量,那么由这两个矢量张成的四边形就是一个正方形,其面积根据定义,就是长乘以宽=1*1=1。

因此有:
如果我们把第一个矢量”缩放“a倍,面积将会相应是原来的a倍;把第二个矢量“缩放”b倍,面积也会成为原来的b倍。

如果同时缩放,很显然,面积将会变成原面积的ab倍。

这表明,面积映射对于其两个操作数(矢量)的标量积是各自线性的,如下:
最后,我们要说明,面积映射对于其操作数(矢量)的矢量加法也是线性的。

因为矢量加法操作的本身是线性的,那么其面积映射理应对此也是一个线性映射。

这里我们打算从几个实际的例子出发,说明映射的加法线性性的后果。

显然(两个共线矢量所张成的平行四边形还是一条线,因此面积为0):
假定面积映射是一个关于矢量加法的线性映射,那么我们有:
注意计算过程中用到了上面的结论。

这说明:
也就是说,交换相互垂直操作数矢量的顺序,面积映射取负。

孰正孰负取决于认为的定义。

一般,我们把X轴单位矢量在前,Y轴单位矢量在后,从X轴到Y 轴张成的一个平行四边形的面积,取做正号。

1.1 右手定则
由此我们引入右手定则。

注意右手定则只在三维空间中有效。

如果以X正方向为首,Y正方向为尾,右手定则告诉我们,纸面向外是面积的正方向;如果反过来,那么纸面向内就是该面积的正方向,与规定的正方向相反,取负号。

那么面积正负号的几何意义就明显了。

由此,我们不难得到平面内任意两个矢量所张成的平行四边形的面积(*):
我们不难看到,所谓面积就是一个2x2矩阵的行列式:
如下图:
其中第一行就是我们的第一个行向量(a,b);第二行就是第二个行向量(c,d)。

或者第一列是第一个列向量(a,b)^T, 第二列是第二个列向量(c,d)^T。

这取决于我们把矢量写成行向量(前者)还是列向量(后者)的形式。

1.2 行列式的计算性质
由此我们很容易能发现,行列式的值与把矢量写成列向量横排还是行向量竖排的方式是无关的。

这也就是为什么说,在计算行列式时,行和列的地位是对等的。

并且注意到,由上述分析,交换矢量的顺序,面积的值取负号,这也就是为什么行列式中,交换列向量或者行向量一次,就要取一次负号的原因。

另外,行列式的其他计算性质,都一一反映在面积映射的线性性之中。

由此我们可见,行列式就是关于“面积”的推广。

他就是在给定一组基下,N个向量张成的一个N维广义四边形的体积。

这就是行列式的本质含义。

2 行列式的推广
由上,我们可以轻松推广到三维体积的计算:
注意到,行列式的定义,是每一行各取一个不同列的元素的乘积并且符号和所谓的逆序性有关(PARITY)。

所谓逆序性,其几何意义就是在规定了一个正方向之后(比如从1,2,3,4,5...N这个顺序定义为正号),交换任意一对数都取一次负号。

这样的性质我们在上述的面积函数中已经有所看到,实际上体积,更高维度的广义体积,也有正方向之说,只不过已经难以用右手法则(以及叉乘)来
形象说明罢了。

右手定则的局限性也是将高维面积推广成行列式表达的一个动机之一。

对于这种交换任何一对指标(操作数)就改变符号的性质,我们叫做:反对称(ANTISYMMETRIC)性。

之所以要取不同行不同列元素的乘积,是因为如果有任意两个元素是同行(列)的,那么交换他们的列指标,乘积不变但符号要相反,这乘积必须是0,也就是在行列式的值中不予体现。

行列式的定义之所以这么冗杂,就是来自于面积映射的反对称性。

实际上面积映射是一个2-FORM,把2-FORM拓展到任意的R-FORM,我们能看到
R-FORM的形式和一个R乘R矩阵的行列式是完全一致的。

由上我们已经可以看到,2-FORM代表的是平面内的面积;3-FORM自然而然就是3维空间内的体积;4-FORM是4维空间里的超体积。

以此类推。

而实际上,由上我们已经看到,将这些矢量在给定的基坐标下写成矩阵(必定是方阵),矩阵的行列式就是对应的面积(体积)。

3 线性无关的几何意义
记空间的维度为N,给定一组矢量,什么是他们线性无关性?我们下面将说明,一组矢量的线性相关性本质上,是描述他们所张成的广义平行四边形体积是否为NULL(零)。

我们仍然从最简单的2维空间出发。

如果两个2维空间的向量是线性相关的,那么就是说,其中一个与另外一个共线,也就是说,他们所张成的四边形,面积是零。

反之,如果线性无关,则不共线,则面积不为零。

同理,如果三个三维空间的向量是线性无关的,那么他们三者就不共面。

因此他们所张成的平行六面体,体积不是零。

更进一步地,我们知道,二维空间如果给定三个向量,他们必定共面(二维空间内不可能存在一个“体积”),因此他们必定线性相关。

推而广之,我们不难理解,为什么一个维度为N的空间内,任意一组M个向量(M>N)必定线性相关了:因为维度大于空间维度的超平形四边体不存在。

由此我们得到一个一一对应的关系:
N个向量线性无关== 他们所张成的N维体体积不为零
反之,如果N个向量线性相关,那么他们所张成N维体,体积为零。

例如,一对共线矢量张成的平行四边形,退化成一个线,其面积显然是0;一组共面的三个矢量张成的平行六面体,退化成一个面,其体积显然是0。

因为我们已经知道行列式与面积的关系,因此我们有结论:
线性无关矢量组成的矩阵的行列式不为零;线性相关矢量组成的矩阵的行列式必为零。

4 行列式与矩阵的逆
我们知道,行列式为0的矩阵,不可逆;行列式不为零的矩阵,可逆。

我们不禁要问,代表面积的行列式,是如何和线性变换的可逆性联系在一起的呢?
当我们理解了线性变换的几何意义之后,就不难解答了。

我们现陈述如下:
记线性变换的矩阵为A。

如果我们把空间中一组线性无关的矢量都写成列向量的形式,那么他们所张成的N维体体积不为零,根据上面的分析,其值由行列式给出。

向量经过线性变换A 变换之后,得到的新向量形式如下:
注意到A是一个N*N的矩阵,向量是列向量。

变换前,N维体的体积是:
变换之后,N维体的体积是(注意到,第二个等式实际上说明了几何意义是如何定义矩阵乘法的,也就是N*N矩阵A和另外一个N个列向量组成的N*N矩阵的乘法):
A的行列式如果不为零,则代表这个变换后,N维体的体积不是NULL。

又结合线性无关与体积的性质,我们可以说:
如果A的行列式不为零,那么A可以把一组线性无关的矢量,映射成一组新的,线性无关的矢量;A是可逆的(一对一的映射,保真映射,KERNEL是{0})如果A的行列式为零,那么A就会把一组线性无关的矢量,映射成一组线性相关的矢量;A就不是可逆的(非保真映射,KERNEL不是{0}。

我们可以研究他的陪集)
如果A的行列式为负数,那么A将会改变原N维体体积的朝向。

从线性无关到线性相关,其中丢失了部分信息(例如坍缩成共线或者共面),因此这个变换显然就是不可逆的。

线性是否无关和所张成N维体的体积有直接
关系,这个体积值又与A的行列式有关。

因此我们就建立了A的行列式与其是否可逆的几何关系。

举例说明,我们假设A是一个3维的矩阵。

如果映射前,有一组三个线性无关的矢量,我们知道它们张成的体积不是0;经过映射后,他们对应的新矢量也能张成一个平行六面体,那么这个平行六面体的体积就是原体积乘以A的行列式。

显然,如果A的行列式是0,那么变换后的新“平行六面体"的体积将不可避免的也是0。

根据上文的结论,我们有:变换后的这一组新矢量线性相关。

结论:
线性变换A的行列式是否为零,就代表了其映射的保真性,也即,能不能把一组线性无关的矢量变换成另一组保持无关性的矢量。

5,秩
有时候,虽然A并不能保持把空间一组最大数目矢量的线性无关性,但它能保证一组更少数目矢量的线性无关性。

这个数目往往少于A的维度(或者说,线性空间的维度),这个数目就叫做线性变换A的秩。

例如,一个秩为2的三乘三矩阵A。

因为秩小于3,那么任何一个3维六面体经过他的变换后,体积都为零(退化一个面);但存在一个面积不为零的面,在变换之后还可以是一个非零面积的面。

所谓一个线性变换的秩,无非就是变换后,还能保持非零体积的几何形状的最大维度。

理解了秩,行列式和可逆性的几何意义,我们就能随意构造一些线性变换A,使得他要么保全所有的几何体,要么将特定维度特定结构的几何体,压缩成更低维度的几何体。

相关文档
最新文档