知识点22 一元函数微分形式的不变性

学科：高等数学

第二章 导数与微分

知识点22 一元函数微分形式的不变性 精选习题

作者：邹群

例22.1(难度系数0.2) 设函数，则( ).

()x y f e -=d y =(A) (B) (C) (D)'()d x f e x -'()d x x e f e x --'()d x x e f e x ---'()d x f e x

--解析：，应选(C).备选(A)、(B)、

d '()d()'()d()'()d x x x x x x y f

e e e

f e x e f e x ------==-=-(D)都是在复合函数求导时漏了层次.

解：(C).

例22.2(难度系数0.4) 已知，，则 .32(

32x y f x -=+2()arctan f x x '=dy =解析：.3232(

)()3232x x dy f d x x --'=++223212arctan()32(32)x dx x x ⎡⎤-=⋅⎢⎥++⎣⎦解：.223212arctan()32(32)x dx x x ⎡

⎤-⋅⎢⎥++⎣⎦

例22.3(难度系数0.2) 设，则 .

y =dy =解析：用微分形式的不变性求显函数的微分，其好处是“只看下一步”，这样不易漏掉某一个层次，这个特点在多元函数求偏微分是显得特别方便.

，21ln(1)ln(1)2x x y e e ⎡⎤=--+⎣⎦2211=ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)22x x x x dy d e e d e d e ⎡⎤⎡⎤--+=--+⎣

⎦⎣⎦ 22

221(1)(1)1()()212111x x x x x x x x d e d e d e d e e e e e ⎡⎤⎡⎤-+-=-=-⎢⎥⎢⎥--++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

2212211x x x x e xe dx e e ⎡⎤-=-⎢⎥-+⎢

⎥⎣⎦解：2212211x x x x e xe dx e e ⎡⎤--⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦

例22.4(难度系数0.2) 求方程所确定的隐函数的导数

.sin 0y x y ε--=d d y x 解析：利用微分形式的不变性，无需考虑自变量和因变量，大家的地位等同.解：利用一元函数微分形式的不变性，对方程两边求微分，得

，

d d cos d 0y x y y ε--=两边同时除以，得

d x ，d d 1cos 0d d y y y x x

ε--=即

.d 1d 1cos y x y

ε=-温馨提示：由于微分形式的不变性是指微分只看形式而不论函数关系，因此“微分形式的不变性”无所谓一元或多元，也即两者可以不作区别.为了与书中保持一致，我们这里还是将一元与多元微分形式的不变性分开.

例22.5(难度系数0.2) 设，求.

sin cos()0y x x y --=d y 解析：同上.

解：利用一阶微分形式的不变性求得

，

d(sin )d cos()0y x x y --=即

，

sin d cos d sin()(d d )0x y y x x x y x y ++--=整理得

，

[sin()sin ]d [cos sin()]d x y x y y x x y x --=+-故

.cos sin()d d sin()sin y x x y y x x y x

+-=--

例22.6(难度系数0.4) 设由方程确定，则 .()y y x =cos()0x y e xy ++=d =d y x 解析：，即.整理得

d()d cos()0x y e xy ++=(d d )(d d )sin()0x y e x y y x x y xy ++-+=，

d d sin()d sin()d x y x y

e x e y y xy x x xy y +++=+，

[sin()]d [sin()]d x y x y e x xy y y xy e x ++-=-.d sin()d sin()x y x y y y xy e x e x xy ++-=-解：.sin()sin()x y

x y y xy e e x xy ++--