数分试卷B (2)

杭州师范大学2012———2013学年第一学期期末试卷

《数学分析Ⅲ》试卷(B)

一.填空题(每空3分,共30分)

1.设D 是单连通区域,若),(y x P ,),(y x Q 在D 内连续,且具有一阶连续的偏导数.试写出沿D 中的第二类曲线积分与路径无关的两个充要条件:

(1)_________________________________________________________________.

(2)_________________________________________________________________.

2.设),(y x f 以及),(y x f y 在],;,[d c a +∞上连续,dx y x f y F a ⎰

+∞=),()(关于],[d c y ∈上收敛,⎰+∞

a y dx y x f ),(关于],[d c y ∈上一致收敛,则)(y F 在],[d c 上可微,那么)(y F '=___________________.

3.交换积分次序:⎰⎰--11102),(dy y x f dx x =____________________________________.

4.由以下四个平面0=x ,0=y ,0=z ,1=++z y x 围成的四面体用直角坐标系表示为_____________________________________________________________.

5.设)(x f 是连续的奇函数,)(x g 是连续的偶函数,区域

}12,11|),{(2≤≤≤≤-=y x x y x D ,则=⎰⎰dxdy y g x f D

)()(_____________________.

6.dx e x ⎰+∞-02

=_______________. 7.函数0)1(),(222=--=x x y y x F 在____________________点旁可唯一地决定单值函数.

8. 设Ω为区域:ay y x ≤+22)0(>a ,则用极坐标计算dxdy y x f ⎰⎰Ω

),(时配置的逐

次积分为______________________________________________________. 9.线积分⎰+-l y x ydx xdy 2

2关于奇点)0,0(的循环常数为_______________________________. 二.解答题(每小题5分,共50分)

1.设dx e y F y y y x ⎰-=22

)(,计算)(y F '.

2.dxdy e y x

⎰⎰+-σ)(22,σ:222R y x ≤+,0≥x .

3.求第一类曲线积分ds z y x l

⎰++)(222,其中t x l sin :=,t y cos =,t z =, π20≤≤t .

4.计算第二类曲线积分dy y x dx y x l

)()(--+⎰,l :122

22=+b y a x .

5.求第一类曲面积分⎰⎰S xds ,其中S 是螺旋面的一部分：⎪⎩

⎪⎨⎧===cv z v u y v u x sin cos

a u ≤≤0( ,)20π≤≤v .

6.计算第二类曲面积分dxdy z dzdx y dydz x S

333++⎰⎰,其中S 为球面

2222a z y x =++的外侧.

7.求原函数u :xdy ydx +.

8.说明反常积分dx e x 20αα-+∞⎰

在+∞<<α0是非一致收敛的.

9. 计算⎰⎰=D d y

y I σsin ,其中D 是由直线x y =及抛物线2y x =所围成的区域.

10.求⎰⎰⎰=V

xdxdydz I ,区域V 由三个坐标平面及平面1=++z y x 围成.

三.证明题(每小题10分,共20分)

1.设)(x f 当0>x 时连续,如果dt t f t )(0⎰+∞

λ当a =λ,b =λ时都收敛,那么

dt t f t )(0⎰

+∞λ关于λ在],[b a 上一致收敛.

2.证明dx x b x f dy y b y f dy y f dx J b a b a b a x a )()())(()(-=-==⎰⎰⎰⎰.