角恒等变换知识总结

三角恒等变换知识点总结

2014/10/24

一、基本内容串讲

1． 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ; tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

m

对其变形：tan α＋tan β=tan(α+β)(1- tan αtan β)，有时应用该公式比较方便。 2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：

sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.

2

2tan tan 21tan α

αα

=

-. 要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三

角表达形式，且要善于变形， 2

2cos 1sin ,22cos 1cos 22α

-=

αα+=α 这两个形式常用。

3.辅助角公式：sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭cos 2sin 6x x x π⎛

⎫±=± ⎪⎝⎭

()sin cos a x b x x ρ+=+. 4.简单的三角恒等变换

（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。

（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。

（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。

（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。 5.常用知识点：

（1）基本恒等式：22sin sin cos 1,

tan cos α

αααα

+==（注意变形使用，尤其‘1’的灵活应用，求函数值时注意角的范围）；

（2）三角形中的角：A B C π++=，sinA sin(B ),cosA cos(B C)C =+=-+；

（3）向量的数量积：cos ,a b a b a b =r r r r r r

g

， 1212a b x x y y =+r r g ，12120a b x x y y ⊥⇔+=r r 1221//0a b x y x y ⇔-=r r ； 二、考点阐述

考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1、sin 20cos 40cos 20sin 40+o o o o 的值等于（ ）

2、若tan 3α=，4

tan 3

β=，则tan()αβ-等于（ ） 3、若3,4

π

αβ+=

则(1tan )(1tan )αβ--的值是________． 4、(1tan1)(1tan 2)(1tan3)(1tan 44)(1tan 45)+︒+︒+︒+︒+︒=L _______________.

考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式

5、cos

5

πcos 52π的值等于（ ） (提示:构造分子分母)

6、cos 20cos 40cos60cos80=o o o o （ ）

7、 已知

322A ππ<<，且3

cos 5

A =，那么sin 2A 等于（ ） 考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换

8、已知,41)4tan(,52)tan(=-=

+πββα则)4tan(π

α+的值等于（ ） 9、已知,3

1

cos cos ,21sin sin =+=+βαβα则)cos(βα-值等于（）

10、函数22()cos ()sin ()11212

f x x x π

π

=-

++

-是（ ） （A ）周期为2π的奇函数 （B ）周期为2π的偶函数

（C ）周期为π的奇函数 （D ）周期为π的偶函数

4、常见题型及解题技巧（另外总结）

（一）关于辅助角公式：()sin cos a x b x x ρ+=+.

其中

cos ϕϕ=

=

）

如：1.若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是____________. 2.2cos 3sin 2y x x =-+的最大值与最小值之和为_____________.

7．若2

tan(

),45

π

α+=则tan α=________. （二）三角函数式的化简与求值

[例1] 1.0000

cos15sin15cos15sin15

-+； 2.00

sin 50(1)+;

3. 求tan70tan50tan50+o o o o 值;

4.△ABC 不是直角三角形，求证：C B A C B A tan tan tan tan tan tan ••=++ （三）三角函数给值求值问题

1. 已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π

6

)的值是_____________;

2. 已知54

cos(),cos ,,135

αββαβα+=

=均为锐角，求sin 的值。

3.

33350,cos ,sin 4

445413π

πππβααβ⎛⎫⎛⎫<<

<<

-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()sin αβ+的值．

（四） 三角函数给值求角问题

1.若

且A,B 均为钝角,求A+B 的值. 2.已知,(,)22

ππ

αβ∈-

，且tan ,tan αβ

是方程240x ++=的两个根，求αβ+．

3.已知αβγ，，均为锐角，且1tan 2α=

，1tan 5

β=，1

tan 8γ=，则αβγ++的值（ ）

Ａ．

π6

Ｂ．

π4

Ｃ．π3 Ｄ．

5π

4

4.已知1tan 7α=,1

tan 3

β=,并且,αβ均为锐角，求2αβ+的值.

（五）综合问题（求周期，最值，对称轴，增减区间等）

1.(2010·北京)已知函数2

()2cos 2sin f x x x =+. (1)求()3

f π

的值；(2)求()f x 的最大值和最小值．

2.已知函数()2sin()cos f x x x π=-.

(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间[,]62

ππ

-上的最大值和最小值；

（3）求函数在(,)ππ-的单调区间。

三、解题方法分析

1．熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点

【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。

例1

设212tan13sin 50cos 6sin 6,,,221tan 132cos 25a b c =-

==+o o o o

o o

则有（ ）

【点评】：本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。例如： sin αcos α=

α2sin 21，cos α=αα2sin sin2，ααα2cos sin cos 22=-，αα

α

2tan tan -12tan 2

=，2

)cos (sin cos sin 21αααα±=±，α

α2cos 22cos 1=+，α

α2sin 22cos 1=-，