线性系统理论试卷
线性系统理论(2011)
五、(20 分) 已知单输入单输出线性定常系统 1 A1 x1 b1u 2 A2 x2 b2u x x S1 : S2 : y1 c1 x1 y2 c2 x2 其中， x1 , x2 R n 。它们完全能控能观。将它们并联构成组合 系统 S，输入为 u，输出为 y = [y统 0 1 0 x x u , y 1 0 x 1 0 1 给定参考信号 y0(t)的结构特性为 s-1，扰动信号 w(t)的结构特 性为 s+2。试设计渐近跟踪控制率，并将闭环系统极点配置为 -1，-2，-3。
一、(20 分) 考虑如下机械系统
其中 k 为弹簧系数，c 为阻尼系数，m 为质量，u(t)为作用于 质量的外力，y(t)为质量相对于平衡位置的位移。选取 u(t)为 系统输入，y(t)为系统输出。建立图中所示机械系统的状态方 0 1， y 程与输出方程； 如 k=2， c=3， m=1， 且初始值为 y(0)=0， 写出零输入情况下系统的输出响应。
S 是否总是完全能控，是否总是完全能观？若是，证明之；若 不是，举反例验证之。
二、(20 分) 考虑线性时变系统 1 et 0 x x u , t 0, y 1 0 x 1 0 1 该系统是否 Lyapunov 意义下稳定？是否渐近稳定？为什么？
三、(20 分) 已知线性定常系统 1 1 0 0 0 1 0 x 1 u x 0 0 1 0 能否找到状态反馈，将闭环极点配置到（1）-1，-1，-1; （2） -2，-2，-2。若能，确定状态反馈 K。
《线性系统理论基础》第三章作业及答案
第三章作业及答案3.1 判断下列系统的能控性和能观测性。
2） []x y u x x 111,100041020122-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=解：2C 012000101Q bAbA b -⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，2c rankQ n =<∴ 系统是状态不完全能控的2111101121o c Q cA cA -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，o 2rankQ n =<∴ 系统是状态不完全能观测的。
3.2 判断下列系统的能控性和能观测性。
1） []x y u x x 101,101300040002=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2） x y u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01011000,1110000130000200001000113） []x y u x x 101,110200020012=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=4） x y u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=610321,029331100050005解：由系统能控和能观测性判据：1）A 为对角标准型，且对角元素互不相同，B 阵有全零元素的行，所以系统是不完全能控；C 阵中有全零元素的列，故系统是不完全能观测的。
2）1100100100000001A B C=0020011010000311⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A 为约旦标准型，且各约旦块对角元素不相同，第一个约旦块最后一行对应到B 阵中的相应行为全零元素行，所以系统是不完全能控的；而各约旦块第一列对应到C 阵无全零元素列，所以系统是完全能观测的。
3）A =210020002⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ B =011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C =[]101A 为约旦标准型，但两个约旦块元素相同，课本上给出的由标准型判定系统能控、能观测的定理不再适用，因此要采用能控性判别矩阵和能观测性判别矩阵来判断。
线性系统理论试卷
《 线性系统理论基础》 考试试卷 A 卷考试说明：考试时间：95分钟 考试形式（开卷/闭卷/其它）：闭卷适用专业： 自动化承诺人： 学号： 班号：。
注：本试卷共 6 大题，共 14 页，满分100分，考试时必须使用卷后附加的统一答题纸和草稿纸。
请将答案统一写在答题纸上，如因答案写在其他位置而造成的成绩缺失由考生自己负责。
一、（20分）建立下列系统的状态空间模型：1．已知图1所示的质量-弹簧-阻尼器系统，其中质量1kg m =，弹性系数为2k =，阻尼为3f =。
以外力u 为控制输入，以位移y 和速度y 作为输出建立状态空间模型。
2．已知图2所示的由两个基本模块反馈连接的线性系统，写出其状态空间模型。
二、（20分）给定线性系统[]011,11650x x u y x -⎡⎤⎡⎤=+=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1．将系统化为对角标准型。
2．求系统在输入t u e -=下的零初态响应()x t 和输出响应()y t 。
图 23．分别画出原系统和对角标准型系统的结构框图。
三、（20分）给定如下线性系统[]310010300000110000122002x x u y x-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦= 1. 将系统进行能控能观测子空间分解.2. 写出其最小实现（即能控能观子系统）的状态空间表达式。
四、（10分）给定线性系统如下11226129x x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦1. 求该系统的平衡点。
2. 选择形为2212()V x ax bx =+的李亚普诺夫函数判断系统平衡点是否渐近稳定。
五、（10分）给定线性系统如下1122010002x x u x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦和二次型性能指标{}22112J x ru dx ∞=+⎰0， 1．确定最优线性状态反馈控制u kx =使得系统的性能指标J 达到最小。
2.讨论权值r 的大小对控制增益k 的影响。
(完整word版)《线性系统理论》试卷及答案
R C 2《线性系统理论》试卷及答案1、（20分）如图所示RLC 网络,若e(t ）为系统输入变量r （t)，电阻R 2两端的电压为输出量y(t),选定状态变量为 x 1（t)=v 1（t ），x 2(t ）=v 2(t)，x 3（t)=i （t)要求列写出系统的状态空间描述。
2、(15分)求出下面的输入输出描述的一个状态空间描述。
y （4)+4y （3）+3y （2）+7y （1）+3y=u (3）+ 2u （1）+ 3u3、（15分）计算下列线性系统的传递函数。
[]210X 13101X y -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=4、(10分）分析下列系统的能控性.0111X X u a b •⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦5、（10分）分析下列系统的能观性。
[]1110a X X y Xb •⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦6、（15分)判断下列系统的原点平衡状态x e 是否大范围渐近稳定。
12221123x x x x x x==--7、（15分）已知系统的状态方程为221012000401X X u •--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦试确定一个状态反馈阵K,使闭环极点配置为λ1*=—2、λ2*=-3、λ3*=—4.答案：1、（20分）如图所示RLC 网络，若e （t ）为系统输入变量r （t ）,电阻R 2两端的电压为输出量y （t ），选定状态变量为 x 1(t)=v 1（t)，x 2(t ）=v 2（t ）,x 3（t)=i （t ）要求列写出系统的状态空间描述。
2、（15分）求出下面的输入输出描述的一个状态空间描述。
列出向量表示形式解出解出解出r x x x L R x x x rx LR x x x xx x C R x x x C xC x r x R x L L LL⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=-=+=+==++1321113211311132122222112211333113000xy x xLy （4）+4y (3）+3y （2)+7y (1）+3y=u （3）+ 2u （1)+ 3u[]得出了状态空间表达式列出向量表示形式，就求导，有选取状态变量令有令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+----=========⎩⎨⎧++==++++++++=++++++===43211025233375y ~y ~x y ~x y ~...y ~x y ~x y ~3y ~2y ~y ~3y ~7y ~3y ~4y ~u 3734p 1y ~3734p 32p y d/dtp 4214321(4)43(2)22(1)1(3)4(1)21(1)(3)(1)(2)(3)(4)2342343x x x x x x x y u x x x x x x x x y u p p p u p p p p(完整word 版)《线性系统理论》试卷及答案3、(15分）计算下列线性系统的传递函数.[]Xy u X 10103112X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=[][][]计算得出传递函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-------=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=----1021131)3)(2(110)()(21131)3)(2(13112)()()(1010311210103112X 1111s s s s B A Is C s G s s s s s s A Is BA Is C s G CB A Xy u X(完整word 版)《线性系统理论》试卷及答案4、（10分）分析下列系统的能控性。
信号与线性系统分析样卷及评分标准六 (1)
信号与线性系统分析样卷及评分标准六试题名称： 试卷类型：使用专业： 使用年级：一、填空题（请将答案填在相应的答题线上。
每空2分，共30分）1．有界输入产生有界输出的系统称为 稳定 系统。
2．0(3)d t t δ∞+=⎰0 ；()*(2)f t t δ+=(2)f t +。
3．将)(t f 的波形先向左平移2个单位，再反褶，然后再压缩为原来的12得到的信号为(22)f t -+。
4．()d ()*tf x x f t -∞=⎰()t ε。
5．若信号序列(){1,2,1}f k ↑=-，则()*()f k f k ={1,4,2,4,1}↑-。
6．已知()()f t F j →ω；()f t -→()F j -ω； 2(31)j te f t -→2312()33j F j e ω--ω-。
7．0()()T k t t kT ∞=δ=δ-∑的单边拉普拉斯变换为11sTe --。
8．一阶后向差分方程定义为()f k ∆=()(1)f k f k --。
9．周期矩形脉冲信号的频谱特点是 离散性 、谐波性、收敛性。
10．已知系统函数21()32H s s s =++，则()h t =2()()t te e t ε---。
11．已知系统1()2=+H s s ，Re[]2s >-，则该系统的()H j ω=12j ω+；()h t =2()t e t ε-。
12．若系统输入为()f t ，输出为()y t ，则系统无失真传输的时域条件为()()d y t Kf t t =-。
二、单项选择题（从下列各小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将其代号填在答题线上。
每小题3分，共30分）1．关于卷积和，下列等式错误的是 D 。
A ．)()(*)(k f k k f =δB ．)1()2(*)1(-=-+k f k k f δC ．∑-∞==ki i f k k f )()(*)(ε D ．∑--∞==-1)()1(*)(i i f k k f ε2．两个连续信号卷积的计算步骤是 C 。
信号与线性系统分析试卷
第一部分选择题（共32分）一、单项选择题（本大题共16小题，每小题2分,共32分。
在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内）1．积分等于（B）答案A． B．C． D．2．已知系统微分方程为: 若解得全响应为：t≥0.全响应中为( D ) 答案A．零输入响应分量 B．零状态响应分量C．自由响应分量 D．稳态响应分量3．系统结构框图如图示，该系统的单位冲激响应h（t)满足的方程式为( C）答案4．信号f1（t),f2（t)波形如图所示，设f（t)=f1（t)*f2（t），则f(0)为（B）答案A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知信号f(t)的傅里叶变换F（jω)=δ（ω-ω0),则f(t）为( A）答案6．已知信号f（t）如图所示，则其傅里叶变换为（C）答案7．f（t）=ε(t）-ε(t—1)的拉氏变换为（A）答案8. 的拉氏反变换为（D）答案9．图（a）中ab段电路是某复杂电路的一部分，其中电感L和电容C都含有初始状态，请在图(b）中选出该电路的复频域模型。
（B ) 答案10．离散信号f(n)是指（B）答案A．n的取值是连续的，而f（n)的取值是任意的信号B．n的取值是离散的，而f(n)的取值是任意的信号C．n的取值是连续的，而f(n)的取值是连续的信号D．n的取值是连续的,而f（n）的取值是离散的信号11．若序列f（n）的图形如图(a)所示,那么f（—n+1）的图形为图(b)中的( D）答案12．差分方程的齐次解为，特解为，那么系统的稳态响应为( B ) 答案13．已知离散系统的单位序列响应和系统输入如图所示，f（n)作用于系统引起的零状态响应为,那么序列不为零的点数为（C）答案A．3个 B．4个C．5个 D．6个第二部分非选题（共68分）二、填空题(本大题共9小题，每小题2分，共18分）14．=（)。
答案15．GLC并联电路发生谐振时，电容上电流的幅值是电流源幅值的（Q）倍。
第一篇线性系统理论习题答案
9－7 设有三维状态方程
⎡0 ⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1 ⎥ ⎦
1 s + s +1 s 2 s + s +1
2
0
⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎡0 ⎤ s 2 + 2 s 1⎥ = 3 0 ⎥ ⎢ ⎢ s −1 ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎢ ⎣1⎥ ⎦ s − 1⎥ ⎦
⎡ R M ⎤ ⎡ R −1 ∵⎢ ⎥×⎢ ⎣0 T ⎦ ⎣ 0
− R −1 MT −1 ⎤ ⎡ R −1 ⎥=⎢ T− ⎦ ⎣ 0
⎡R M ⎤ ∴⎢ ⎥ ⎣0 T ⎦
9－10 解
−1
⎡ R −1 =⎢ ⎣ 0
− R −1 MT −1 ⎤ ⎥ T −1 ⎦
−1
对可控标准形 A 和 b ，计算 ( sI − A) b
+
v2
& 2 = x1 + y = x1 − C 2 x
写成矩阵形式为
1 1 x2 + U R2 R2
图 9－1 RLC 网络
⎡ R1 − & x ⎡ 1 ⎤ ⎢ L1 ⎢x ⎥=⎢ ⎣ &2 ⎦ ⎢ 0 ⎢ ⎣
⎤ ⎡ 1 ⎤ 0 ⎥ x ⎡ ⎤ ⎢ L ⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 1 ⎥U − 1 ⎥ ⎣ x2 ⎦ ⎢ − 1 ⎥ ⎢ R2 C 2 ⎥ ⎦ ⎣ R2 C 2 ⎥ ⎦
x1 ， x 2 有下列关系存在 x1 = x1 + x 2 x 2 = − x1 − 2 x 2
试求系统在 x 坐标中的状态方程。 解 ①
&1 = x & = x2 x &2 = & & = −2 x1 − 3 x 2 + u x x
(完整版)华南理工大学线性系统理论考博试题answer
一、1、求脉冲响应函数系统脉冲响应为：...)4()3()2()1()(+-+-+-+-=t t t t t g f δδδδ ∑∞=-=1)(i i t δ传递函数为：s s i i s s f f e e e e t g L s g --∞=---=⋅==∑1)())(()(02、已知，求输出响应)sin(t r π=系统响应;⎩⎨⎧=⋅≤≤-⋅-=other n n t n t t y 03.2.1212)sin()(π3、判断系统是否BIBO 稳定？若是请证明，若不是请举例论证结论不是BIBO 稳定，令系统输入为：，则系统输出在时，趋于无)()(t t y ε=∞→t 穷4、上述系统可否用频域法求取结论不能，系统的传递函数不是有理分式二、已知系统：，其中为k 个特征向量，k<n ，b 可用此k 个特征向量的线性组合bu Ax x+= k ξξξ 21,表示。
1、证明：此系统不完全能控证明：由题意，存在不全为零的实数组使得：k ∂∂∂ 21kk b ξξξ⋅∂++⋅∂+⋅∂= 2211因而有：)(2211k k At At e b e ξξξ⋅∂++⋅∂+⋅∂⋅=⋅ kAt k At At e e e ξξξ⋅⋅∂++⋅⋅∂+⋅⋅∂= 2211kt k t t k e e e ξξξλλλ⋅⋅∂++⋅⋅∂+⋅⋅∂= 221121（为特征向量对应的特征[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅∂⋅∂⋅∂=t k t t k k e e e λλλξξξ 212121k λλλ 21根）τττd e bb e T A t T A ⎰0[][]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅∂⋅∂⋅∂⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅∂⋅∂⋅∂=⎰k k t k k d e e e e e e k k ξξξτξξξτλτλτλτλτλτλ 2121021212121因而有：nk d e bb e rank T A t T A <≤⎰)(0τττ系统不可控2、举例说明该系统不完全能控略3、若该系统能控模态稳定，不能控模态不稳定，试问系统初始状态满足什么条件系统状态最终趋向于0？并说明理由。
信号与线性系统期末考试试卷1
1、 已知某连续信号()f t 的傅里叶变换为21()23F j j ωωω=-+，按照取样间隔1T =对其进行取样得到离散时间序列()f k ，序列()f k 的Z 变换。
解法一：f(t)的拉普拉斯变换为2111)2)(1(1321)(2+-+=++=++=s s s s ss s F ，2111)(Re )(--===---=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑∑e z z e z z e z z K e z z s F s z F ni T s i s s ni sT i i解法二：f(t)=L -1{F(jw)}=(e -t - e -2t)ε(t)f(k)= (e -k - e-2k)ε(k)=)())()((21k e ekk ε---F(z)=Z[f(k)]= 21-----ez zez z2、 求序列{}10()1,2,1k f k ==和2()1cos ()2f k k k πε⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的卷积和。
解：f 1(k)={1,2,1}=δ(k)+2δ(k -1)+ δ(k -2)f 1(k)* f 2(k)= f 2(k)+ 2f 2(k -1)+ f 2(k -2)3、已知某双边序列的Z 变换为21()1092F z z z =++，求该序列的时域表达式()f k 。
解：5.014.01)(+-+=z z z F ，两个单阶极点为-0.4、-0.5 当收敛域为|z|>0.5时，f(k)=(( -0.4)k -1-( -0.5)k -1)ε(k -1)当收敛域为0.4<|z|<0.5时，f(k)= ( -0.4)k -1ε(k -1)+( -0.5)k -1ε( -k)当收敛域为|z|<0.4时，f(k)= - ( -0.4)k -1ε(-k)+( -0.5)k -1ε( -k)点评：此题应对收敛域分别讨论，很多学生只写出第一步答案，即只考虑单边序列。
4、已知某连续系统的特征多项式为：269111063)(234567+++++++=s s s s s s s s D试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个？解 构作罗斯-霍维茨阵列611617s 291036s 03168385s2314s342(00)32ss s ++此时出现全零行，有辅助多项式34646,4,6s s +求导可得以代替全零行系数。
《线性系统理论基础》第一章作业及答案
第一章作业及答案1.3-2已知系统的状态空间表达式，试绘系统状态空间变量图。
11122233112241001040100021110003xx u x x u x x x y y x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1.4-2已知系统的状态空间表达式，试计算系统的传递函数（阵）。
11122233123214100203400121[351]xx u x x u x x x y x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦[][]112232()()()()21410351020340121(2)(1)14(2)1013510(2)(1)034(2)(2)(1)00(2)(2)21120291321408584Y s G s C SI A B U s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s --==----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤=---+⎣⎦-+-223220291321408584s s s s s s s ⎡⎤---+⎣⎦=-+-注意：也可写做[][][]23220212940138584s s s s s +--+--+-1.5-1已知系统传递函数，试用传递函数求出系统的状态空间模型。
2()35()()(3)(2)Y s s G s U s s s +==++解：通过赋予研究对象不同的内部结构可将传递函数转换成不同的状态空间模型。
（1）求出上述传递函数能控标准型表示由已知条件可知该传递函数为严格真分式，且该系统为单入单出（SISO ）三阶系统。
根据公式10111()...(),(1)()...mm mn n nY s b s b s b G s n m U s s a sa --+++===++++其中，可将传递函数写为223235035()(3)(2)82118s s s G s s s s s s +++==+++++其中，123012a 8,21,18,0,3,5a a b b b ======。
《信号与线性系统》试卷A11(答案)
《信号与线性系统》试卷A(答案)(考试时间：2003年7月1日)队别 专业 学号 姓名一 填空（每空2分，共20分）1、线性系统是同时具有_齐次性__和___叠加性__的系统。
2、计算函数值：⎰-=+-222)34(dt t t δ_____1_______。
3、 一切脉冲信号的脉宽与频宽是成______反比_________变化的。
4、已知F(j ω)= －2ω2 , 则f (t)=_tsgnt_____。
5、信号无失真传输的条件是：（1）幅频特性为一常数；（2）相频特性为过原点的一条直线。
6、求e -2t ε(t-1) 的拉普拉斯变换为_e －(s+2)／（s+2）。
7、已知F(z)= 2Z 2-0.5Z Z 2-0.5Z-0.5 ，求原序列f(k)= ε(k)+(-0.5)k ε(k)。
8、已知f 1(k)={1,3,5,7},f 2(k)={1,2,1,2}, f 1(k)* f 2(k)={1,5,12,22,25,17,14}。
二、计算：（每小题8分，共16分） 1、已知系统的H(s)=2s+3s 4+7s 3+16s 2+12s＝2s+3s(s+3)(s+2) 2，试画出系统的直接形式、级联形式的模拟图并判断系统是否稳定。
解：（1）直接形式的模拟图（2）级联形式的模拟图（3）因为系统的特征根为：λ1=0，λ2=－3，λ3=－2，所以系统临界稳定。
2、一离散时间系统用以下差分方程描写：y(k+2)-5y(k+1)+6y(k)=e(k+2)-3e(k),是求此系统的 单位函数响应h(k)。
解：由差分方程得到移序算子方程（S 2-5S+6）y(k)=(S 2-3) e(k)则转移算子为H(S)＝S 2-3S 2-5S+6 =1 ＋ 5S-9S 2-5S+6 =1 ＋ 6S-3 － 1S-2则 h(k)=δ(k)＋(2×3k －2k-1) ε(k-1)三、（10分）已知系统函数65)(2++-=ωωωωj j j H ，系统的初始状态y(0)=2，y ’(0)=1，激励f(t)= e -t ε(t)。
山东大学2012年线性系统理论试题答案
2、①确定特征多项式：
s s 2 s 1 3 ( s) det( sI A) det s 2 s 1 s 1 s 5s 4 s s 2 s 1 2 0, 1 5, 0 4
②确定常数：
2 CB 3
1 CAB 2CB 4
{ 0 CA B 2CAB 1CB 0
2
③确定能控标准型:
0 x 0 0
{ ④线性变换表达式：
1 0 1
y 0
0 0 1 0 0 1 x Bu 0 0 1 x 0 u 2 4 5 0 1
1 2 x 0 4 3 x
0 4 3 1 0 0 5 2 1 0 1 1
p A B
2
1 0 AB B 2 1 1 2
1 4 1 p 0 0
1 7 1 7 1 7
3、 由状态转移矩阵与矩阵指数函数之间的关系 由 (t ) e At A=(0) 二、 1、判断系统能控性
Qc B AB 1 3 1 A B 2 5 10 r Qc 3 故系统能控。 1 1 5
2
1 13 2 7 4 22
④ 全维状态观测器为：
1 0 14 A LC 186 6 1 1220 0 12
1 0 14 14 0 ˆ ( A LC ) x ˆ Ly Bu 186 6 1 x ˆ x 186 y 0 u 1220 0 12 1220 1
四、
线性系统理论试卷(1)
一、给定多项式矩阵如下：22121()12s s s s D s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦++++=++ 1. 计算矩阵的行次数，判断系统是否行既约？2. 计算矩阵的列次数，判断系统是否列既约？3. 寻找单模矩阵，将多项式矩阵()D s 化为史密斯型。
方法1、 进行初等变换成二、设系统的传递函数矩阵为右MFD 1()()N s D s -，其中：210()21s D s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=+-+，()11N s s s ⎡⎤⎣⎦=-+ 试判断{}(),()N s D s 是否右互质；如果不是右互质，试通过初等运算找出其最大右公因子。
最大右公因子进行列变换可得()0R s ⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、给定()G s 的一个左MFD 为：121010()1121s s G s s s s -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-+=+-+ 试判断这个MFD 是否是最小阶的；如果不是，求出其最小阶MFD 。
四、确定下列传递函数矩阵的一个不可简约左MFD：2110()1022s ss G s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+=+++五、给定系统的传递函数矩阵为223(1)(2)(1)(2)()31(1)(2)(2)s s s s s s G s s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+++++=+++++ 试计算出相应的评价值，并写出其史密斯--麦克米伦型。
六、给定传递函数矩阵如下：22221156()125343s s s s s G s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+-++=++++ 试定出其零、极点，并计算出其结构指数。
七、给定系统的传递函数矩阵如下：22211154()143712s s s s G s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+-++=++++ 试求出一个控制器型实现。
八、确定下列传递函数矩阵()G s 的一个不可简约的PMD22141()14332s s s s G s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦++-=++++九、给定系统的传递函数矩阵如下：12243011()22121s s s s G s s s s s -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++-+=+++试设计一个状态反馈K,使得状态反馈系数的极点为：12λ*=-， 23λ*=-， 4,542j λ*=-±。
《信号与线性系统分析》期末试卷
河北北方学院宣化教学部06级三个专业2007/2008学年第二学期《信号与线性系统分析》期末试卷（A）一、填空题( 每空2分，共20分 )1．(t))e1(tδ⋅+-= ；=。
2．线性系统应同时满足性和性。
3．已知f(t)F()jω↔，3f(t)j te-的傅氏变换是____________________。
4．现代通信系统应是一个无失真传输系统，如果输入信号为x(t)，无失真传输的响应信号（时域内）应为，无失真传输的系统函数（频域内）应为。
5．给定，求)0(+f= ；若F(z)= z/ (z-1)，则f(+∞)= 。
6．设某因果离散系统的系统函数为()zH zz a=-，要使系统稳定，则a应满足 ____ 。
二、选择题( 每题3分，共12分 )1．零输入响应是_________。
A 全部自由响应；B 部分自由响应；C 全部强迫响应；D 全响应与强迫响应之差2．信号f1（t）和f2（t）的波形如图所示, 设f（t）= f1（t）* f2（t）,则f（1）=___。
A -1 ；B 2 ；C 0 ；D 13．下列是各系统的零状态响应,属于线性系统的是_______A ()()zsy t f t=； B ()()(1)zsy k f k f k=-；C()()zsdf ty tdt=； D []2()()zsy t f t=4．周期信号f(t)波形如图所示,其含有谐波分量为_______A余弦分量；B正弦分量；C奇谐分量；D偶谐分量t1F(s)s1=+sin(2)()2()tf t t dtt∞-∞=δ⎰…三、计算题(60分 )1．（6分）已知信号波形，写出信号表达式。
2．(10分)已知信号f （t ）= Sa （100t ）* Sa (200t )， 试计算其最高频率分量f m ；并确定奈奎斯特取样率f s 。
3.(10分)已知某LTI 系统的系统函数为 ,初始条件为y(0)=2，y ＇(0)=1，求输入f(t)=e -t ε(t)时的全响应。
线性系统理论多年考题和答案
线性系统理论多年考题和答案2019级综合大题⎡400⎤⎡1⎤⎥x +⎢1⎥u x =⎢0-21⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣00-1⎥⎦⎣0⎥⎦y =[112]x1 能否通过状态反馈设计将系统特征值配置到平面任意位置？2 控规范分解求上述方程的不可简约形式？3 求方程的传递函数；4 验证系统是否渐近稳定、BIBO 稳定、李氏稳定；（各种稳定之间的关系和判定方法！）5 可能通过状态反馈将不可简约方程特征值配置到-2，-3？若能，确定K ，若不能，请说明理由；6 能否为系统不可简约方程设计全阶状态观测器，使其特征值为-4，-5； 7画出不可简约方程带有状态观测器的状态反馈系统结构图。
参考解答： 1.判断能控性：能控矩阵M =⎡⎣B可控，不能任意配置极点。
2按可控规范型分解AB⎡1416⎤⎢1-24⎥, rank (M ) =2. 系统不完全A 2B ⎤=⎦⎢⎥⎢⎣000⎥⎦⎡1⎢3140⎡⎤⎢1⎢⎥-1取M 的前两列，并加1与其线性无关列构成P =1-20，求得P =⎢⎢⎥⎢6⎢⎥⎢⎣001⎦⎢0⎢⎣2⎤⎡08⎢3⎥⎡1⎤⎢⎥1⎢⎥-1-1进行变换=PAP ⎢12-⎥, =PB =0, =cP =[222]⎢⎥⎢6⎥⎢⎢⎥⎣0⎥⎦001⎢⎥⎢⎥⎣⎦2⎤0⎥3⎥1-0⎥⎥6⎥01⎥⎥⎦⎧⎡08⎤⎡1⎤⎪x =⎢⎥x +⎢0⎥u12所以系统不可简约实现为⎨⎣⎦⎣⎦⎪y =[22]x ⎩3.G (s ) =c (sI -A ) -1B =4.2(s -1)(s +1) 2(s -1)=(s -4)(s +2)(s +1) (s -4)(s +2)det(sI -A ) =(s -4)(s +2)(s +1) ，系统有一极点4，位于复平面的右部，故不是渐近稳定。
G (s ) =c (sI -A ) -1B =2(s -1)，极点为4，-2，存在位于右半平面的极点，故系统不(s -4)(s +2)是BIBO 稳定。
系统发散，不是李氏稳定。
南航江驹线性系统理论习题
2s 1 s ( s 1) 2s 1 s ( s 1) 2
0 0 0 1 0 s 2 ( s 1) s( s 2) s S (s) 0 0 ( s 2) 1 0 0 1 0
1 0 x 0 0
0 1 1 0
0 0 5 0
0 0 0 0 x u, 0 1 6 1
y 1 0 0 1 x
将系统进行标准结构分解。 2-6 判断下列系统的输出可控性，输出函数可控性和输入函数可观测性
0 1 0 （1） A 0 0 1 , 3 2 1 0 1 0 （2） A 1 2 0 , 0 0 3 0 1 0 （3） A 1 2 0 , 0 0 3 0 1 0 （4） A 1 2 0 , 0 0 3
det e At ei t
i 1
n
1-14 若图 1-11 两个反馈链接的子系统，其传递函数阵分别为
1 s 1 G1 ( s ) 0
1 s 2 , s 1 s 2
1 s 3 G2 ( s ) 1 s 1
2-13 给定单变量线性定常系统
y 0 1 x
Ax bu , y cx x
已知 ( A, b) 为可控，问是否存在 C 使得 ( A, C ) 总是可观测。请加以论证，并举例说明 之。 2-14 已知系统的传递阵为
( s 3) 1 s 1 ( s 2)( s 1) （1） G ( s ) ( s 2) 1 s 1 ( s 3)( s 1)
研究生线性系统理论题
1.为什么要对连续系统进行离散化?离散化有哪些方法?它们各自的特点是什么?因为连续系统在电脑上无法实现,只能把连续系统离散化,而离散华是将连续变化的模拟量信号，转换成数字量（脉冲）信号，但是这里的离散化是非常密集的,在误差允许的范围内,可以非常的逼近原函数.这样就能用数字电子计算机（电脑）进行计算或处理。
1.前向差分法S平面左半平面得极点可能映射到Z平面单位圆外，这种方式所得到得离散滤波器可能不稳定2.后向差分法变换计算简单；S平面得左半平面映射到Z平面得单位圆内部一个小圆内因此如果D（s）稳定则变换后的D（z）也稳定；离散滤波器得过程特性及频率特性同原连续滤波器比较有一定得失真，需要较小得采样周期T。
3.双线性变换法如果D（s）稳定，则相应得D（z）也稳定；D(s)不稳定，则相应的D(z)也不稳定；所得D（z）的频率响应应在低频段与D（s）得频率响应相近，而在高频段相对于D(S)得频率响应有严重畸变。
4.脉冲响应不变法D(z)和D(s)有相同得单位脉冲响应序列；若D(z)稳定，则D（s）也稳定；D(z)存在着频率失真。
该法特别适用于频率特性为锐截止型的连续滤波器的离散化。
主要应用于连续控制器D（s）具有部分分式结构或能较容易地分解为并联结构，以及D（s）具有陡衰减特性，且为有限带宽得场合。
这时采样频率足够高，可减少频率混叠影响，从而保证D（z）得频率特性接近原连续控制器D（s）。
5.阶跃响应不变法若D（s）稳定，则相应的D（z）也稳定；D(z)和D（s）得阶跃响应序列相同；6.零极点匹配法需要先求出连续传递函数得全部零极点，计算复杂；能够保持变换前后特征频率处得增益不变；不改变系统得稳定区域，变换前后G（z）和G（s）的稳定特性不变2.多输入/多输出系统能控性和能观测性与系统传递函数矩阵的关系如何?在单输入单输出系统中，能控且能观测得充分必要条件是传递矩阵G （s ）的分母与分子之间不发生因子相消。
线性系统理论试题
2． 系统的状态空间描述如下，求系统的输出变量和输入变量之间的微分方程。 −1 6 0 & = x x + u, 2 −5 1
−1 −1
y = [ 0 1] x
6 s + 1 −6 s+5 1 解： ( s I − A ) = = s +1 ( s + 7 )( s − 1 ) 2 −2 s + 5 g ( s ) = c( s I − A )−1 b = [ 0 1] 6 0 s+5 1 s +1 = 2 s + 1 1 s + 6 s − 7 ( s + 7 )( s − 1 ) 2 y (s) s +1 & −7y = u &+u = 2 → && y + 6y u ( s ) s + 6s − 7
EMBED Equation.3
g (s) =
2
三、化对角线规范形
1．例 2.9 已知线性定常系统的状态方程为： 1 −1 0 1 & = −6 −11 6 x + 2 u x −6 −11 5 3
求系统的对角线规范形。 解: ①求系统特征值：系统的特征方程 det( sI − A) = 0 ，即 s −1 1
。
1
0
故特征值为：
当 时，有
−2 1 0 a −4 2 0 b < 3 rank [ sI − A B ] = rank 12 6 0 c − 因为第 1 列与第 2 列线性相关， 第 3 列为 0， 故不管 a,b,c 取何值， rank [ sI − A B ] 最大为 2，所以：a,b,c 为任何值都不能控。 6．已知系统状态空间描述为 a b & = x x 0 −5 且状态完全能观，求 a , b , c 。 c c 1 解： rankQo = rank = = 2 ， det Qo = b − 5c − ac ≠ 0 cA a b − 5c 9．例 4.25：已知系统的传递函数为： s+a s + 7 s 2 + 14 s + 8 设系统状态完全可控且完全可观, 试求 a 的范围。 G (s) =
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湘潭大学研究生考试试题
考试科目：线性系统理论/现代控制理论考生人数：20考试形式：闭卷 适用专业： 双控单控/电传 适用年级：一年级 试卷类型： A 类
一、给定多项式矩阵如下：
22121()1
2s s s s D s s s ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
++++=
++ 1. 计算矩阵的行次数，判断系统是否行既约？ 2. 计算矩阵的列次数，判断系统是否列既约？ 3. 寻找单模矩阵，将多项式矩阵()D s 化为史密斯型。
二、设系统的传递函数矩阵为右MFD 1()()N s D s -，其中：
210
()21s D s s s s
⎡
⎤
⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
-=
+-+，()11N s s s ⎡⎤⎣⎦
=-+ 试判断{}(),()N s D s 是否右互质；如果不是右互质，试通过初等运算找出其最大右公因子。
三、给定()G s 的一个左MFD 为：
1
210
1
0()112
1s s G s s s s
-⎡
⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣
⎦
-+=
+-+ 试判断这个MFD 是否是最小阶的；如果不是，求出其最小阶MFD 。
四、确定下列传递函数矩阵的一个不可简约左MFD ：
21
1
0()102
2s s s G s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
⎣⎦
+=
+++
五、给定系统的传递函数矩阵为
22
3
(1)(2)(1)(2)()31(1)(2)
(2)s
s s s s s G s s s s s s ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
+++++=
+++++
试计算出相应的评价值，并写出其史密斯--麦克米伦型。
六、给定传递函数矩阵如下：
2
2221156()1253
43s s
s s s G s s s s s ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥
⎣⎦
+-++=
++++ 试定出其零、极点，并计算出其结构指数。
七、给定系统的传递函数矩阵如下：
2
2211
154()14
3
712s s s s G s s s s s ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥
⎣⎦
+-++=
++++ 试求出一个控制器型实现。
八、确定下列传递函数矩阵()G s 的一个不可简约的PMD
2
2
141()143
32s s s s G s s s s s ⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
++-=
++++ 九、给定系统的传递函数矩阵如下：
1
2
2
430
11()221
21s s s s G s s s s s -⎡⎤⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣
⎦
++-+=
+++
试设计一个状态反馈K,使得状态反馈系数的极点为：
12λ*=-， 23λ*=-， 4,5
42j λ*
=-±。