2017-2018年高等工程数学试卷

《2017-2018年研究生高等工程数学期末考试卷》

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注意：1-5题中选做3题，6-10题中选做2题，每题20分.

1、 (20分) 设V 是数域P 上的一个n 维线性空间，12,e e 和1

2,e e ''分别是V 的两组基，且 121221(,)(,),15e e e e -⎛⎫'= ⎪-⎝⎭

线性变换T 关于基12,e e 的矩阵为2110A ⎛⎫= ⎪⎝⎭

. 求： (1) 线性变换T 关于基1

2,e e ''的矩阵； (2) 求k A .

2、 (20分) 设T 是有限维空间V 的一个线性变换，证明下列命题等价：

(1) T 是正交变换；

(2) T 变换保持向量长度不变，即任一x V ∈，都有|()|||T x x =；

(3) 若1,,n e e 是V 的一组标准正交基，则1,,n Te Te 也是V 的标准正交基；

(4) T 在V 的任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵.

3、 (20分) 计算矩阵210020001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

的1-范数, 2-范数, F 范数以及∞范数 4、 (20分) 设1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

,求,sin .A e A 5、 (20分) 求定解问题

(0)(1,1)

T dx Ax dt x ⎧=⎪⎨⎪=⎩, 其中1112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭

6、 (20分) 用直接三角分解(LU 分解)法求解方程组

12324124021.1221x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

7、 (20分)

已知函数()f x =1,4,9的值为1,2,3, 分别利用线性插值和抛物线插值计算

,并估计误差.

8、 (20分) 设有求积公式： .1

0120113()()()(),424f x A f A f A f ≈⋅+⋅+⋅⎰ (1) 试确定012,,A A A ,使上述求积公式的代数精度尽可能高，并指出代数精度.

(2) 用上述求积公式计算

120x dx ⎰. 9、 (20分) 用牛顿法求方程2x x e

-=在0.6x =附近的根. 10、 (20分) 用梯形公式计算积分

20x t e dt -⎰在0.2,0.4,0.6,0.8,1x =时的近似值.