导数在生活中的优化问题举例(最新整理)

一、课前准备
1.4 第一课时 生活中的优化问题举例
1．课时目标
（1）了解函数极值和最值的基本应用.
（2）会用导数解决某些实际问题. 2．基础预探
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：
(1) 分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的
，写出实际问题中变量
之间的
，根据实际意义确定定义域.
(2) 求函数 y f x 的导数 f (x)，解方程 f (x)＝0,求定义域内的根，确定
例 3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y（单位：千克）与销售价
格 x（单位：元/千克）满足关系式 y a 10(x 6)2 ，其中 3 x 6 ，a 为常数,已知 x3
销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. （I）求 a 的值; （II）若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得 的利润最大.
r
2
（Ⅱ）因为
y'
160 r2
16 r
+ 8 cr
8 [(c
=
2)r3 r2
20]
,所以令
y'
0 得: r
3
20 c2
;
令 y' 0 得: 0 r 3 20 ,所以 r 3 20 米时, 该容器的建造费用最小.
c2
c2
规律总结:由于所得函数解析式为非基本初等函数,所以要求其最小值,需要利用函数的 导数,先求函数的极值,再判断函数的最值.因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在 求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.
.
(3) 比较函数在 (4) 还原到原 三、学习引领
和极值点处的函数值，获得所求的最大（小）值. 中作答.
1. 常见的优化问题
主要有几何方面的应用，物理方面的应用，经济方面的问题等.例如，使经营利润最大、
生产效率最高，或使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳
策略，这些都是最优化问题.导数是解决这类问题的基本方法之一.
甲乙两地相距100 千米.当汽车以
(千米/小时)速度行驶时,从甲地到乙地耗油最
少?
6. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时 10 公里时的
燃料费是每小时 6 元，而其他与速度无关的费用是每小时 96 元，问此轮船以何种速度航
行时，能使行驶每公里的费用总和最小？
六、课后作业
x3
2
（II）由（I）知,该商品每日的销售量为 y 2 10(x 6)2 ,所以商场每日销售该商品所 x3
获得的利润为 f (x) (x 3)[ 2 10(x 6)2 ] 2 10(x 3)(x 6)2 x3
2 10(x 3)(x2 12x 36) , (3 x 6) .所以,
3
10 3
B.
3
16 3
C.
3
20 3
D.
3
2. 以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为 ( ) .
A.10
B.15
C.25
D.50
4
3. 若一球的半径为 r ,作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为 ( ) .
A. 2r 2
B. r 2
C. 4r 2
D. 1 r 2 2
2.解决优化问题的方法
首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义
域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研
究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工
具． 解决优化问题的基本程序是：
读题
建模
求解
a
A.
2b
a2
B.
2b
b
C.
2a
b2
D.
2a
3. 做 一 个 无 盖 的 圆 柱 形 水 桶 ， 若 要 使 其 体 积 是 27 ,且 用 料 最 省 则 圆 柱 的 底 面 半 径
为
.Hale Waihona Puke Baidu
4. 去年初,某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品．若该商品零售价定为 p 元，则销
售量 q (件)与零售价 p (元)有如下关系 q 8300 170 p p 2 ．那么该商品零售价
a2 1 长的比值为 . 2
规律总结：几何图形中的优化问题,包括平面几何和空间几何体的问题,主要是对面积和 体积最大或最小的优化设计.构造函数关系式,需要依据平面几何知识或空间几何特征,借助 相应的公式进行. 上述题中,两个目标函数皆未给出,因此建立两个函数关系式是关键之一建. 立函数关系式需要充分利用正四棱柱的几何特征,从而选定侧面积和体积的计算公式,.利用 空间图形与平面图形数量关系的联系,进行具体计算. 因为实际问题往往会有更为具体的定 义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.正确求导,并研究函数的性质,是解 决该最值问题关键之二.
1. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ,那么其表面积最小时,底面边长为( )
A. 3 V
B. 3 2V
C. 3 4V
D. 23 V
2. 制作一个圆柱形锅炉,容积为V 两个底面的材料每单位面积的价格为 a 元，侧面的材料每 单位面积价格为 b 元,当造价最低时,锅炉底面半径与锅炉高的比是（ ）
以当 x 4 时,函数 f (x) 取得最大值,最大值为 42.
答:当销售价格为 4 元/千克时, 商场每日销售该商品所获得的利润最大. 规律总结: 在上述问题中,首先需要建立利润的数学模型,即写出利润关于销售价格的函
数关系式.由于所求得的函数解析式为非基本初等函数,所以为了求其最大值,需要利用函数 的导数,先求函数的极值,再判断函数的最值情形.因为实际问题往往会有更为具体的定义域所, 以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.
个端点，设 AE=FB= x cm
（1）某广告商要求包装盒侧面积 S（cm 2 ）最大，试问 x 应取何值？
（2）某广告商要求包装盒容积 V（cm 3 ）最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒
的高与底面边长的比值.
D
C
1 A x E Fx B
思路导析:明确平面图形中切割的规则,即弄清平面图形中的位置关系和数量关系,确定 包装盒中位置关系和数量关系以及与平面图形的联系.问题（1）中,用底面边长把包装盒侧面 积表示出来,观察其特点,用一元二次函数最值解决问题.问题(2)中,建立目标函数,依据目标函 数的特征,通过求导,研究函数性质,求相应最值. 解 ： 设 该 盒 的 高 为 h（ cm） ， 底 面 边 长 为 a（ cm） ， 由 已 知 得
变式训练 1 今有一块边长 a 的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个 全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大， x 值应为多少？
题型二 费用最省问题
2
例 3 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度,长度单位：米）,其中容器的中间为圆柱形,
80
左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
3 立方米且，l 2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有
关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球
形部分每平方米建造费用为 c, (c 3) .设该容器的建造
费用为 y 千元.
（Ⅰ）写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的 r .
思路导析:该几何体由一个圆柱和两个半球组成,而且只涉及表面积问题,所以将圆柱的 侧面积和两个半球的表面积,分别用半径表示,再表示建造费用,建立函数关系式.
解 :（ Ⅰ） 因 为 容 器 的 体 积 为 80 立 方 米 ， 所 以 4 r3 r2l 80 ,解 得
3
3
3
l
80 3r 2
4r 3
所, 以圆柱的侧面积为
2
rl
=
2
r
(
80 3r 2
4r ) 3
160 3r
8 r2 3
,两端两个半球的
表面积之和为 4 r2 ,所以 y 160 8 r2 + 4 cr2 ,定义域为(0, l ).
f (x) 10(x 6)2 20(x 3)(x 6) 30(x 4)(x 6) .于是,当 x 变化时, f (x), f (x) 的
变化情况如下表:
x
（3,4）
4
(4,6)
f (x)
＋
0
－
f (x)
单调递增 极大值 42 单调递减
由上表可知, x 4 是函数 f (x) 在 (3,6) 上的极大值点,而且为唯一极大值点,即是最大值点所,
为
元时,毛利润最大?(毛利润=销售收入一进货支出)
5. 现有 10000 元资金可用于广告宣传或产品开发．当投入广告宣传和产品开发的资金分别
12
为 x 和 y 时，得到的回报是 P x 3 y 3 ．求投到产品开发的资金应为多少时可以得到最大
的回报.
6．如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 2r ，短半轴长为 r ，计划将此钢板切割 成等腰梯形的形状，下底 AB 是半椭圆的短轴，上底 CD 的端点在椭圆上，记 CD 2x ，
4. 要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为 3m，长和宽的和为 20m，则仓库容积的最
大值为
.
5. 统计结果表明,某种新型号的节能汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升),关于行驶速度
x (千米/小时)的函数解析式可以表示为： y 1 x3 3 x 8(0 x 120) ，已知 128000 80
思路导析:问题（I）,由题设中的具体情形,代入函数解析式,解方程,求 a 的值.问题（II）,
3
用 x 表示该商场每日销售该商品所获得的利润,得函数关系式,对所得函数关系式求导,讨论极
值和最值的情况,最后确定利润最大的时刻.
解: （I）因为当 x 5 时, y 11,代入 y a 10(x 6)2 得, a 10 11, a 2 .
变式训练 2 设工厂到铁路线的垂直距离为 20km,垂足为 B.铁路线上距离 B 为 100km 处 有一原料供应站 C,现要在铁路 BC 之间某处 D 修建一个原料中转车站,再由车站 D 向工厂修 一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为 3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料 供应站 C 运货到工厂 A 所需运费最省? 题型三 利润最大问题
a 2x, h 60 2x 2(30 x),0 x 30. 2
（1）由题意包装盒侧面积 S 4ah 8x(30 x) 8(x 15)2 1800, 所以当 x 15 时，S
取得最大值.
（2）由题意知,V a 2h 2 2(30x2 x3 ), (0 x 30),V 6 2x(20 x) .由V 0 得 x 0 （ 舍 ） 或 x 20 .由 于 当 x (0,20) 时 ， V 0;当x (20,30)时V 0 ,所 以 当 x 20 时，V 取得极大值，而且为唯一极大值,故也是最大值,此时 h 1 该盒的高与底面边
反馈
（文字语言） （数学语言） （导数应用） （检验作答）
3. 需要注意的几个问题
(1) 目标函数的定义域往往受实际问题的具体意义约束,所以在建立目标函数时,需要注 意定义域的确定,并注意定义域对函数最值的影响.
(2) 如果实际问题中的目标函数在定义域上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最
值，不必再与端点值比较,但要注意说明极值点的唯一性.
变式训练 3 甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲 方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利
润 x（元）与年产量 t（吨）满足函数关系， x 2000 t .若乙方每生产一吨产品必须赔付
甲方 s 元（以下称 s 为赔付价格）. （1）将乙方的年利润 w（元）表示为年产量 t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润
的年产量； （2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y=0.002t2（元），在乙方按照获得最大利
润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格 s 是多少？ 五、随堂练习 1. 要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积为最大,则高为( )cm.
3
A.
四、典例导析
题型一 几何图形中的优化问题
例 1 请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部
分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P，
正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两
梯形面积为 S．