人教新课标版数学高一-人教数学B版必修二 圆的标准方程

一、选择题

1．直线x＋2y＋3＝0将圆(x－a)2＋(y＋5)2＝3平分，则a＝() A．13 B．7

C．－13 D．以上答案都不对

解析：当直线过圆心时直线才将圆平分，所以将圆心(a，－5)代入直线方程x＋2y＋3＝0，得a＋2×(－5)＋3＝0，解得a＝7.

答案：B

2．方程y＝－25－x2表示的曲线是() A．一条射线B．一个圆

C．两条射线D．半个圆

解析：由已知得曲线的方程为x2＋y2＝25(y≤0)表示x轴下面的半个圆．

答案：D

3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是() A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y－1)2＝1

C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1

解析：法一：∵圆心在y轴上，半径为1，

∴可设圆的标准方程x2＋(y－b)2＝1，

又过点(1,2)，∴12＋(2－b)2＝1，

解得b＝2.∴圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝1.

法二：设圆的圆心C(0，b)，则(1－0)2＋(2－b)2＝1，

∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.

答案：A

4．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是() A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13

C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52

解析：设直径的两端点分别为(a,0)，(0，b)，

则a＝4，b＝－6，

∴半径r＝(4－2)2＋(－3)2＝13，

∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.

答案：A

二、填空题

5．若点A (3,2)在圆(x －1)2＋(y －m )2＝11－2m 上，则m ＝________.

解析：由(3－1)2＋(2－m )2＝11－2m ，

得m 2－2m －3＝0，解得m ＝3或m ＝－1.

答案：－1或3

6．以A (－1,2)，B (5,6)为直径端点的圆的方程是__________________．

解析：因为圆是以AB 为直径，所以圆心C (2,4)，

半径r ＝12|AB |＝12(5＋1)2＋(6－2)2＝13，

因此圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝13.

答案：(x －2)2＋(y －4)2＝13

7．设P (x ，y )是曲线x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为________．

解析：(x －1)2＋(y －1)2表示点P (x ，y )与点(1,1)之间的距离．

∵圆心(0，－4)到点(1,1)的距离为

(0－1)2＋(－4－1)2＝26，

∴(x －1)2＋(y －1)2的最大值为26＋2.

答案：26＋2

8．直线3x ＋4y －12＝0和两坐标轴围成的三角形的外接圆的方程是__________________．

解析：易知直线3x ＋4y －12＝0与x 轴，y 轴交点分别为(4,0)，(0,3) ∴圆心坐标为(2，32)，半径为52

. 由圆的标准方程得三角形外接圆的方程为

(x －2)2＋(y －32)2＝254

. 答案：(x －2)2＋(y －32)2＝254

三、解答题

9．已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)、B (－2,3)、C (4，－5)．求△ABC 的外接圆方程、外心坐标、外接圆半径．

解：法一：设△ABC 的外接圆方程为

(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，

有⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(4－b )2＝r 2(－2－a )2＋(3－b )2＝r

2(4－a )2＋(－5－b )2＝r 2，

解得a ＝1，b ＝－1，r ＝5.

所以△ABC 的外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25，

∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.

法二：AB 的垂直平分线方程为3x ＋y －2＝0，

AC 的垂直平分线方程为x －3y －4＝0，

解⎩⎪⎨⎪⎧

3x ＋y －2＝0x －3y －4＝0

得圆心(1，－1)， 又r ＝(1－1)2＋(4＋1)2＝5， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.

圆心坐标为(1，－1)，半径为5.

10．如图所示，一座圆拱桥，当水面在l 位置时，拱顶离水面2米，水面

宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？

解：以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示．

设圆心为C ，水面所在弦的端点为A 、B ，

则由已知得A (6，－2)．

设圆的半径为r ，

则C (0，－r )，

即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2①

将点A的坐标(6，－2)代入方程①得

36＋(r－2)2＝r2，

∴r＝10.

∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100②

当水面下降1米后，

可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0>0)，

将A′的坐标(x0，－3)代入方程②得x0＝51，

∴水面下降1米后，水面宽为2x0＝251≈14.28(米)．