工程力学-结构力学课件-17极限荷载
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第十七章 结构的极限荷载
17.1 概述
结构的弹性分析： 假定应力应变关系是线性的，结构的位移与荷载关系是线性的。
荷载卸去后，结构会恢复到原来形状无任何残余变形。
结构的塑性分析： 利用材料塑性性质的结构分析。其任务是确定结构破坏时所能承受的荷载
---极限荷载。
计算假定：
（1） 材料为理想弹塑性材料。拉压性质相同。 （2） 所有的荷载均为单调增大，不出现卸载现象。 （3） 在加载过程中，所有各荷载均保持固定的比例倍数，因 而可以用同一个参数(荷载因子)的倍数来表示。
比例加载
比例加载
P1 1P P2 2P q1 1P q2 2P
P1
q1
q2
P2
17.2极限弯矩、塑性铰和极限状态
1. 极限弯矩——理想弹塑性材料的矩形截面梁
M
M
h b
1）弹性阶段
max s
E My
y I
Ey
---应力应变关系 ---应变与曲率关系 ---应力与曲率关系
静定结构无多余约束，出现一个塑性铰即成为破坏机构。 ——极限荷载。
找出塑性铰发生的截面后，令该截面的弯矩等于极限弯矩， ——求极限荷载。
例：已知 Mu 19.646kN.m ，l=4m，求极限荷载。
解： 梁中最大弯矩为
M max Pl / 4 令 M max M u ，得
P
A
B
l/2 l/2
Pu
4M u
/l
4 19.646 4
19.646kN
若能判断出塑性铰的位置，利用极限状态的平衡可直接求出极限荷载。
虚功方程
Pu
l 2
Mu
2
Pu
4M u
/l
4 4
19.646
19.646kN
本例中，截面上有剪力，剪力 会使极限弯矩值降低，但一般 影响较小，可略去不计。
设截面上受压和受拉的面积分别为
s A1 s A2 0
A1
A1 A2
和 A2 ，当截面上无轴力作用时 A/2
中和轴等分截面轴。
由此可得极限弯矩 M u s A1a1 s A2a2 s (S1 S2 )
式中
S1、S2为A1、A2对该轴的面积矩。
Mu
bh2 4
例 计算图示静定梁的极限荷载。已知极限弯矩值Mu＝ 30kN·m，a＝1m。
M u Pua
Pu
Mu a
30 1
30kN
17.3 超静定梁的极限荷载
1. 超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点
超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。
A截面先出现塑性铰， 再增加荷载
M A 3Pl /16 M u P 16M u / 3l
s
---矩形截面塑性极限弯矩(简称为极限弯矩)
例：已知材料的屈服极限 s 240 MPa，求图示截面的极限弯矩。
解:
A 0.0036m2
80mm
A1 A2
M u s (S1 S2 )
20mm
240 106 (80 20 20 10 20 5 90 20 45) 109 103 27.36kNm
列虚功方程
Pu
l 2
Mu
2
M u
Pu
6 l
Mu
• 机动法——虚功原理
P
A
B
C
l/2 l/2
超静定结构极限荷载计算特点：
• 不考虑变形过程——破坏机构 • 不考虑变形条件——静力平衡 • 不受温度、支座移动影响
例:求图示等截面梁的极限荷载.已知梁的极限弯矩为Mu。
qu l 2 / 8 Mu Mu
解: 若B、D出现塑性铰，由虚功方程求得
P
AB
C
D
l/3 l/3 l/3
qu 16Mu / l 2
例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。
解：
P
P
A
D
B
C
共有三种可能的破坏机构
l/3 l/3 l/3
（1）A、B出现塑性铰
P1
2
l 3
P1
l
3
Mu
2
Mu
3
P1
5 l
Mu
P1
5 l
M
u
P
P
A
D
B
C
l/3 l/3 l/3
3）塑性流动阶段
Mu
2 sb
h 2
h 4
1 4
bh2 s
---塑性极限弯矩(简称为极限弯矩)
极限弯矩与外力无关,只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关。
M u 1.5
M
Ms
Ms
bh2 6
s
截面形状系数 M
b
s s
h s s
s
y0 y0
s
有一个对称轴的任意截面梁
（2）A、C出现塑性铰
P2
2
l 3
P2
l
3
Mu
Mu
3
P2
4 l
Mu
（3）B、C出现塑性铰
P3
l 3
Mu
Mu
2
P3
9 l
Mu
Pu min P1
P2
P3
4 l
M
u
例:求图示变截面梁的极限荷载.已知AB段的极限弯矩为2Mu,BC段为Mu 。
P
A
B
C
l/2 l/2
M C 5Pl / 32 Pl / 4 令 MC Mu
3Pl /16
P
A
B
C
M u 5Pl / 32 Pl / 4
将P代入，得
5Pl / 32
A
P
B
Mu
5 16 32 3l
Mul
Pl
/4
P 2M u / 3l Pu P P 6M u / l
C
P l / 4
逐渐加载法（增量法）
从受力情况，可判断出塑性铰发生的位置应为A、C。 利用极限状态的平衡可直接求出极限荷载。
3Pl /16
P
A
B
C
5Pl / 32
极限平衡法
A Mu
Pu
B
C Mu
RB
Mu
RB
l 2
Mu
Pu
l 2
RBl
Pu 6Mu / l
Mu
1 2
M
u
Pu l 4
Pu 6M u / l
线性关系
M ydA EI ---弯矩与曲率关系 A
max s
h
h
M s
2
2
0
bdy y
2
2
0
s
h/2
y bdy y
1 6
bh
2
s
---弹性极限弯矩(屈服弯矩)
M
M
s
h
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s
2）弹塑性阶段 中性轴附近处于弹性状态.处于弹性的部分称为弹性核.
2.塑性铰的概念
塑性铰与真实铰的差别：
1.塑性铰可承受极限弯矩; 2.塑性铰是单向的,卸载时消失; 3.随荷载分布而出现于不同截面。
破坏机构
结构由于出现塑性铰而形成的机构称为破坏机构。 破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。
屈服弯矩？ 极限弯矩？ 塑性铰？ 破坏机构？
3.静定梁的极限荷载
17.1 概述
结构的弹性分析： 假定应力应变关系是线性的，结构的位移与荷载关系是线性的。
荷载卸去后，结构会恢复到原来形状无任何残余变形。
结构的塑性分析： 利用材料塑性性质的结构分析。其任务是确定结构破坏时所能承受的荷载
---极限荷载。
计算假定：
（1） 材料为理想弹塑性材料。拉压性质相同。 （2） 所有的荷载均为单调增大，不出现卸载现象。 （3） 在加载过程中，所有各荷载均保持固定的比例倍数，因 而可以用同一个参数(荷载因子)的倍数来表示。
比例加载
比例加载
P1 1P P2 2P q1 1P q2 2P
P1
q1
q2
P2
17.2极限弯矩、塑性铰和极限状态
1. 极限弯矩——理想弹塑性材料的矩形截面梁
M
M
h b
1）弹性阶段
max s
E My
y I
Ey
---应力应变关系 ---应变与曲率关系 ---应力与曲率关系
静定结构无多余约束，出现一个塑性铰即成为破坏机构。 ——极限荷载。
找出塑性铰发生的截面后，令该截面的弯矩等于极限弯矩， ——求极限荷载。
例：已知 Mu 19.646kN.m ，l=4m，求极限荷载。
解： 梁中最大弯矩为
M max Pl / 4 令 M max M u ，得
P
A
B
l/2 l/2
Pu
4M u
/l
4 19.646 4
19.646kN
若能判断出塑性铰的位置，利用极限状态的平衡可直接求出极限荷载。
虚功方程
Pu
l 2
Mu
2
Pu
4M u
/l
4 4
19.646
19.646kN
本例中，截面上有剪力，剪力 会使极限弯矩值降低，但一般 影响较小，可略去不计。
设截面上受压和受拉的面积分别为
s A1 s A2 0
A1
A1 A2
和 A2 ，当截面上无轴力作用时 A/2
中和轴等分截面轴。
由此可得极限弯矩 M u s A1a1 s A2a2 s (S1 S2 )
式中
S1、S2为A1、A2对该轴的面积矩。
Mu
bh2 4
例 计算图示静定梁的极限荷载。已知极限弯矩值Mu＝ 30kN·m，a＝1m。
M u Pua
Pu
Mu a
30 1
30kN
17.3 超静定梁的极限荷载
1. 超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点
超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。
A截面先出现塑性铰， 再增加荷载
M A 3Pl /16 M u P 16M u / 3l
s
---矩形截面塑性极限弯矩(简称为极限弯矩)
例：已知材料的屈服极限 s 240 MPa，求图示截面的极限弯矩。
解:
A 0.0036m2
80mm
A1 A2
M u s (S1 S2 )
20mm
240 106 (80 20 20 10 20 5 90 20 45) 109 103 27.36kNm
列虚功方程
Pu
l 2
Mu
2
M u
Pu
6 l
Mu
• 机动法——虚功原理
P
A
B
C
l/2 l/2
超静定结构极限荷载计算特点：
• 不考虑变形过程——破坏机构 • 不考虑变形条件——静力平衡 • 不受温度、支座移动影响
例:求图示等截面梁的极限荷载.已知梁的极限弯矩为Mu。
qu l 2 / 8 Mu Mu
解: 若B、D出现塑性铰，由虚功方程求得
P
AB
C
D
l/3 l/3 l/3
qu 16Mu / l 2
例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。
解：
P
P
A
D
B
C
共有三种可能的破坏机构
l/3 l/3 l/3
（1）A、B出现塑性铰
P1
2
l 3
P1
l
3
Mu
2
Mu
3
P1
5 l
Mu
P1
5 l
M
u
P
P
A
D
B
C
l/3 l/3 l/3
3）塑性流动阶段
Mu
2 sb
h 2
h 4
1 4
bh2 s
---塑性极限弯矩(简称为极限弯矩)
极限弯矩与外力无关,只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关。
M u 1.5
M
Ms
Ms
bh2 6
s
截面形状系数 M
b
s s
h s s
s
y0 y0
s
有一个对称轴的任意截面梁
（2）A、C出现塑性铰
P2
2
l 3
P2
l
3
Mu
Mu
3
P2
4 l
Mu
（3）B、C出现塑性铰
P3
l 3
Mu
Mu
2
P3
9 l
Mu
Pu min P1
P2
P3
4 l
M
u
例:求图示变截面梁的极限荷载.已知AB段的极限弯矩为2Mu,BC段为Mu 。
P
A
B
C
l/2 l/2
M C 5Pl / 32 Pl / 4 令 MC Mu
3Pl /16
P
A
B
C
M u 5Pl / 32 Pl / 4
将P代入，得
5Pl / 32
A
P
B
Mu
5 16 32 3l
Mul
Pl
/4
P 2M u / 3l Pu P P 6M u / l
C
P l / 4
逐渐加载法（增量法）
从受力情况，可判断出塑性铰发生的位置应为A、C。 利用极限状态的平衡可直接求出极限荷载。
3Pl /16
P
A
B
C
5Pl / 32
极限平衡法
A Mu
Pu
B
C Mu
RB
Mu
RB
l 2
Mu
Pu
l 2
RBl
Pu 6Mu / l
Mu
1 2
M
u
Pu l 4
Pu 6M u / l
线性关系
M ydA EI ---弯矩与曲率关系 A
max s
h
h
M s
2
2
0
bdy y
2
2
0
s
h/2
y bdy y
1 6
bh
2
s
---弹性极限弯矩(屈服弯矩)
M
M
s
h
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s
2）弹塑性阶段 中性轴附近处于弹性状态.处于弹性的部分称为弹性核.
2.塑性铰的概念
塑性铰与真实铰的差别：
1.塑性铰可承受极限弯矩; 2.塑性铰是单向的,卸载时消失; 3.随荷载分布而出现于不同截面。
破坏机构
结构由于出现塑性铰而形成的机构称为破坏机构。 破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。
屈服弯矩？ 极限弯矩？ 塑性铰？ 破坏机构？
3.静定梁的极限荷载