拉格朗日乘数法解不等式

拉格朗日乘数法解不等式

张永强 赵临龙

(安康学院 陕西、安康 725000)

【摘要】本文通过例题说明如何用拉格朗日乘数法证明条件不等式

【关键词】拉格朗日乘数法 不等式 目标函数

1.已知0x >，0y >且1x y +=，求证2225(2)(2)2x y +++≥

证明：构造目标函数为2225(,)(2)(2)2F x y x y =+++-

令朗格朗日函数为2225(,,)(2)(2)(1)2

f x y x y x y λλ=+++-++- （λ为朗格朗日乘数） 240f x x λ∂=++=∂ 240f y y λ∂=++=∂ 10f x y λ

∂=+-=∂ 解得：12x y == 令222f A x

∂==∂ 20f B x y ∂==∂∂ 222f C y ∂==∂ 20A C B -> ,0A > (,)F x y ∴在11(,)22处取得最小值，11(,)022F = 2225(2)(2)2

x y ∴+++≥ 2. ,a b +∈ℜ，1a b +=，求证1125()()4

a b a b ++≥ 证明：构造目标函数为1125(,)()()4

F a b a b a b =++- 令朗格朗日函数为1125(,,)()()(1)4

f a b a b a b a b λλ=++-++- （λ为朗格朗日乘数） 222(1)(1)0f b a a a b λ∂+-=+=∂ 222(1)(1)0f a b b ab λ∂+-=+=∂ 10f a b λ

∂=+-=∂ 解得12a b ==，令22242(1)40f a b A a a b ∂+===∂ 22222(1)(1)9f a b B a b a b ∂--===∂∂

22242(1)40f b a C b ab

∂+===∂ 20A C B -> ,0A > (,)F a b ∴在11(,)22处取得最小值，11(,)022F = 1125()()4

a b a b ∴++≥ 3. ,0a b ≥，1a b +=，求证：2222

(1)(1)1a b -+-≥

证明：构造目标函数为2222(,)(1)(1)1F a b a b =-+--

令朗格朗日函数为2222(,,)(1)(1)1(1)f a b a b a b λλ=-+--++- （λ为朗格朗日乘数）

24(1)0f a a a λ∂=--+=∂ 24(1)00f b b b λ∂=--+==∂ 10f a b λ∂=+-=∂ 解得12a b ==，或10a b =⎧⎨=⎩，或01a b =⎧⎨=⎩，当12a b ==时显然满足不等式；当10a b =⎧⎨=⎩时， 令2224(31)8f A a a ∂==-=∂20f B a b ∂==∂∂2224(31)8f C b b ∂==-=∂ 20AC B -> ,0A >;由于(,)(,)F a b F b a =，(1,0)(0,1)F F ∴= (,)F a b ∴在(0,1)和(1,0)处取得最小值(,)(1,0)(0,1)0F a b F F === 2222(1)(1)1a b ∴-+-≥

参考文献： [1] 邓东皋、尹小玲，数学分析简明教程， 高等教育出版社/2002

[2] 华东师范大学数学系，数学分析（第3版），高等教育出版社/2003