积化和差与和差化积公式(教师版)
积化和差和和差化积公式(教师版)
积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课一、基本公式复习1、两角和与差公式及规律sin()sin cos cos sin .cos()cos cos sin sin .tan tan tan().1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=2二倍角公式及规律3、积化和差与和差化积公式1sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+--222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2tan .21cos αααααααααα+⎧=⎪⎧⎪⎪-⎪⎪⇒±==⎨⎨⎪⎪⎪-⎪⎩=⎪+⎩222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2tan .21cos αααααααααα+⎧=⎪⎧⎪⎪-⎪⎪⇒±==⎨⎨⎪⎪⎪-⎪⎩=⎪+⎩2sin 2sin 2cos ,sin .1sin (sin cos ).2cos 2cos 22ααααααααα⇒==±=±sin 22sin cos .ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin .ααααα=-=-=- 22tan tan 2.1tan ααα=-1cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++-1sin sin [cos()cos()].2αβαβαβ=-+--sin sin 2sincos.22αβαβαβ+-+=和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：①其中前两个公式可合并为一个：sin θ+sin φ=2sin cos②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。
和差化积与积化和差公式、万能公式(数学技巧点拨系列)讲义(教师版)
和差化积与积化和差公式、万能公式【知识点讲解】1、积化和差公式cos α·cos β＝12[]cosα＋β＋cosα－β；sin α·sin β＝－12[]cosα＋β－cosα－β；sin α·cos β＝12[]sinα＋β＋sinα－β；cos α·sin β＝12[]sinα＋β－sinα－β．2、和差化积公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cosα－β2；sin α－sin β＝2cos α＋β2sinα－β2；cos α＋cos β＝2cos α＋β2cosα－β2；cos α－cos β＝－2sin α＋β2sinα－β2．3、万能公式sin α＝2tanα21＋tan2α2；cos α＝1－tan2α21＋tan2α2；tan α＝2tanα21－tan2α2．4、解题导语使用这类公式时首先要确保公式记忆正确，其实在记忆时记住关键结构再比较各种公式的不同即可有效记忆。
同时，在实际应用中要考虑两角和、两角差是否为一个特殊值再进行使用，不要盲目使用！【例题讲解】【例1】已知cos cos cos 1cos cos αβθαβ-=-.求证：222tan tan cot 222θαβ=.【分析】由21cos 1s a o t c n 2θθθ-+=，结合万能公式化简可得结果.【详解】2cos cos 11cos 1cos cos cos cos 1cos 11cos c n os ta 2αβθαβαβθβθα----+-==-+()()()()221cos 1cos tan cot 1cos 1cos 22αβαβαβ-+==+-. 【跟踪训练1】已知6tan 2αβ+=13tan tan 7αβ=，求()cos αβ-的值．【答案】23【分析】先用万能公式求出()cos αβ+的值，再根据13tan tan 7αβ=得出7sin sin 13cos cos 0αβαβ-=，最后联立可求得答案.【详解】()2222611tan12cos 561tan 12αβαβαβ+--⎝⎭+===-+++⎝⎭，则有1cos cos sin sin 5αβαβ-=-①， 又已知sin sin 13cos cos 7αβαβ⋅=，从而有7sin sin 13cos cos 0αβαβ-=②．联立①②可得cos cos 730αβ=，13sin sin 30αβ=． ∴()2cos cos cos sin sin 3αβαβαβ-=+=．【例2】计算：(1)cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°； (2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. 【答案】(1)12 (2)14【分析】（1）利用和差化积公式计算；（2）利用积化和差公式计算. 【解析】(1)原式＝cos 20°＋12＋(cos 100°＋cos 140°) ＝cos 20°＋12＋2cos 120°cos 20°＝cos 20°＋12－cos 20°＝12. (2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°)＝14－12sin 50°＋12cos 40°＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14.【跟踪训练2】利用和差化积公式，求下列各式的值： (1)sin15sin105︒+︒； (2)sin20sin40sin80︒+︒-︒； (3)cos40cos60cos80cos160︒+︒+︒+︒． 【答案】62(2)0； (3)12. 【分析】(1)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算得解. (2)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值结合诱导公式求解作答. (3)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值结合诱导公式求解作答. 【解析】(1)1510515105326sin15sin1052sincos 2sin 60cos(45)22222+-︒+︒==-=⨯=(2)sin20sin40sin802sin30cos10cos10cos10cos100︒+︒-︒=-=-=. (3)1cos40cos60cos80cos160(cos40cos80)cos202︒+︒+︒+︒=︒+︒+-︒1112cos60cos20cos20cos20cos20222=︒︒+-︒=︒+-︒=.【对点训练】一、单选题1．已知[0,],,44ππαπβ⎡⎤∈∈-⎢⎥⎣⎦，且33cos 0,22sin cos 02πααλβββλ⎛⎫--=---= ⎪⎝⎭，若4cos 5α=，则tan β=（ ）A ．12 B ．13C 3D ．3【答案】A【详解】[0α∈，]π，[,]44ππβ∈-，且3cos 0ααλ--=，设3()cos f x x x λ=--，则2()3sin 0f x xα'=+，故函数()f x 在[0，]π上单调递增，且α是()f x 的一个零点．3(2)2sin cos02πβββλ---=，即3(2)cos(2)022ππββλ----=．根据2[02πβ-∈，]π，故22πβ-也是()f x的一个零点，22παβ∴=-，cos cos(22παβ∴=-2222sin cos2tan4)sin2sin cos tan15βββββββ====++，1tan2β∴=，或tan2β=（舍去），2．若tan3α=，则sin2α=（）A．35B．35C．34-D．34【答案】A【详解】222222222sin cos2sin cos2tan233cossin22sin cossin cossin cos tan1315cosααααααααααααααα⨯======++++.3．已知角θ的大小如图所示，则1sin2cos2θθ+=（）A．5-B．5C．15-D．15【答案】A【详解】由图可知，tan54πθ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，()()()22222cos sin1sin2sin cos2sin cos cos sincos2cos sin cos sin cos sin cos sinθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+++++ ===--+-tan tan1tan4tan51tan41tan tan4πθθπθπθθ++⎛⎫===+=-⎪-⎝⎭-；4．cos15° sin 105°=（）A312B312C 3D 31 【答案】A 【详解】1113131cos15sin105sin 15105sin 15105sin120sin 90122222[()()][()]︒︒=︒+︒-︒-︒=︒--︒=⨯= 5．若1cos cos sin sin 2x y x y +=， 2sin 2sin 23x y +=，则()sin +=x y （ ） A ．23 B ．23- C ．13D ．13-【答案】A【详解】因为1cos cos sin sin 2x y x y +=， 所以()1cos 2-=x y ，因为2sin 2sin 23x y +=， 所以()()22sin cos 3+-=x y x y ，所以()122sin 23+⨯=x y ，所以()2sin 3+=x y ， 6．已知锐角,αβ满足22,tan tan 2332πααββ+==()sin βα-=（ ） A ．12 B 3C 62- D 62+【答案】C【详解】由223παβ+=得23απβ+=，所以tantan 2tan 321tan tan 2αβαβαβ+⎛⎫+== ⎪⎝⎭- 又tantan 232αβ=tantan 332αβ+=由tan tan 332tan tan 232αβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得tan 232tan 1αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或tan 12tan 23αβ⎧=⎪⎨⎪=⎩α不是锐角），tan 1β=，β是锐角，4πβ⇒=，2sin cos 2ββ==222tan2(23)12sin 21(23)1tan2ααα-===+-+，则3cos α=所以232162sin()sin cos cossin 2βαβαα--=-== 7．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos αα=，则cos2α的值为（ ）A ．35B ．12-C ．0D ．35【答案】D 【详解】因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos αα=，所以cos 0α≠且22sin cos cos ααα=， 解得1tan 2α=，所以2222111tan 34cos 2cos sin 11tan 514ααααα--=-===++. 二、多选题8．下列关系式中，正确的是（ ）A ．sin5sin32sin4cos θθθθ+=B ．cos3cos52sin4sin θθθθ-=-C ．1sin3sin5cos4cos 2θθθθ-=- D ．()()1sin ?sin cos cos 2θαθαθα⎡⎤=--+⎣⎦【答案】AD【详解】由()sin5sin 4sin4cos cos4sin θθθθθθθ=+=+，()sin3sin 4sin4cos cos4sin θθθθθθθ=-=-， ()cos5cos 4cos4cos sin4sin θθθθθθθ=+=-， ()cos3cos 4cos4cos sin4sin θθθθθθθ=-=+，代入前三项，得sin5sin32sin4cos θθθθ+=，A 正确， B 错误，右边应是2sin4sin ;θθ C 错误，右边应是2cos4sin ;θθ-选项D ，等号右边()()1cos cos 2θαθα⎡⎤=-+--⎣⎦()()1cos cos sin sin cos cos sin sin 2θαθαθαθα⎡⎤=---+⎣⎦ ()12sin sin sin sin 2θαθα=--=，故选项D 正确， 三、填空题9．已知α为锐角且tan 23tan 4απα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是________． 【答案】35或-0.6 【详解】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. 因为α为锐角，故tan 2α=.222222cos 2cos sin 1tan 143sin 2cos 221cos sin 1tan 145πααααααααα---⎛⎫+======- ⎪+++⎝⎭10．π3π5πcos cos cos 777++=____．【答案】12或 0.5 【详解】 原式1πππ3ππ5π(2sin cos 2sin cos 2sin cos )π7777772sin 7=++ 12π4π2π6π4π[sin(sin sin )(sin sin )]π777772sin7=+-+- 6πsin7π2sin7=ππsin(π)sin 177ππ22sin 2sin 77-===. 11．若sin 11cos 2αα=+，则sin cos αα+的值为________.【答案】75【详解】解：∴sin 1tan 1cos 22ααα==+， ∴222112tan1tan 2172224sin cos 151tan 1tan 1224αααααα-⨯+-+=+==+++. 12．已知tan 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2θ=______.【答案】35-. 【详解】令4παθ=-，则4πθα=+，且tan 3α=，所以()2222232sin cos 2tan 3cos 2cos 2sin 22sin cos tan 1315παααθααααα-⨯--⎛⎫=+=-====- ⎪+++⎝⎭.13．已知()tan π2θ+=，则πsin 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【答案】210【详解】因为()tan π2θ+=，由诱导公式得：()tan πtan 2θθ+== 所以2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15θθθθθθθ===++．222222cos sin cos 21tan 1431tan 14os sin 5c θθθθθθθ-==-+++-==-，ππ42322sin 2sin 2cos cos 2sin 444551π220θθθ⎛⎫⎛⎫+=+=⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．14．已知613tan()tan tan ,27αβαβ+=则cos()αβ-的值为______. 【答案】23【详解】1sin sin 132tan tan 1cos cos 7(cos()cos()]2αβαβαβαβαβ===-++， 所以10cos()cos()3αβαβ-=-+， 222261tan 1(122cos()561tan 1()2αβαβαβ+--+===-+++，所以1012cos()()353αβ-=-⨯-=． 15．利用和差化积和积化和差公式完成下面的问题：已知1210sin sin 21ωω+=，126cos cos 21ωω+=，则2121cos cos sin sin ωωωω-=-___________.【答案】53- 【详解】1212121212121210sin sin sin sin 2sincos 22222221ωωωωωωωωωωωωωω+-+-+-⎛⎫⎛⎫+=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得12125sin cos 2221ωωωω+-=；121212*********cos cos cos cos 2cos cos 22222221ωωωωωωωωωωωωωω+-+-+-⎛⎫⎛⎫+=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得12123cos cos 2221ωωωω+-=；则1212121212sin cos 522tan 23cos cos 22ωωωωωωωωωω+-+==+-；12121212211212121221cos cos cos cos 2222sin sin sin sin 2222ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω+-+-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=+-+--⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12121212122sinsin522tan 232cos sin 22ωωωωωωωωωω+-+==-=-+--.16．2sin 20cos80cos40+= _____． 【答案】14或0.25 【详解】()222111sin 20cos80cos40sin 20cos120cos40sin 20cos40224+=++=+- ()2211sin 202cos 20124=+-- 11124=-- 14=．四、双空题17．已知角θ的终边在直线20x y -=上，则tan θ=___________；3cos 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________. 【答案】 12或0.545或0.8 【详解】由直线20x y -=的斜率为12，则1tan 2θ=，又232tan 4cos 2sin221tan 5πθθθθ⎛⎫+===⎪+⎝⎭. 18．已知sin α＋sin β＝12，cos α＋cos β＝13，则tan(α＋β)＝________，cos(α－β)＝________.【答案】 125-或 2.4- 5972-【详解】sin sin sin sin 2222αβαβαββααβ+-+-⎛⎫⎛⎫+=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin sin coscossin22222222αβαβαβαβαββααββα+-+-+-+-=+++1sincossin cos22222αβαβαββα+-+-=+=， 即12sincos222αβαβ+-=①，cos cos cos cos 2222αβαβαββααβ+-+-⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos cos sin sin cos cos sin sin22222222αβαβαβαβαββααββα+-+-+-+-=-+-1coscoscos cos22223αβαβαββα+-+-=+=， 即12coscos223αβαβ+-=②， ①②两式相除得3tan22αβ+=， 则232tan21222tan()951tan 124αβαβαβ+⨯+===-+--； ()2221sin sin sin sin 2sin sin 4αβαβαβ+=++=， ()2221cos cos cos cos 2cos cos 9αβαβαβ+=++=， 两式相加可得()1322cos 36αβ+-=， ()59cos cos cos sin sin 72αβαβαβ-=+=-. 五、解答题19．把下列各式化成积的形式：(1)sin 24sin36+︒︒；(2)()()sin 15sin 15αα︒+-︒-； (3)cos cos3x x +；(4)cos cos22αβαβ+--．【答案】(1)cos6︒62α+(3)2cos2cos x x (4)2sin sin 22αβ-【解析】(1)解：()s s 2in 24364362sinco 2sin 30cos 6cos6224sin 236︒+︒︒-︒︒︒==︒-︒=+︒ (2)解：()()()()()()15151515sin 15sin 152cossin 22αααααα︒++︒-︒+-︒-︒+-︒-=()622cos15sin 2cos 4530sin ααα+=︒=︒-︒=；(3)解：()32cos cos32cos cos 2cos 2cos 2cos 2cos 22x x x x x x x x x x +-+==-=； (4)解：2222cos cos 2sin sin 2222αβαβαβαβαβαβ+-+-+-+--=-2sin sin 22αβ=-.20．利用积化和差公式，求下列各式的值：(1)cos15cos75︒︒；(2)sin20sin40sin80︒︒︒．【答案】(1)143【解析】(1)解：由积化和差公式得：cos15cos75︒︒ ，()()1cos 1575+cos 15752=︒+︒︒-︒⎡⎤⎣⎦ 1cos90+cos602⎡⎤=⎣⎦14=； (2)由积化和差公式得：sin20sin40sin80︒︒︒，()()1cos 2040cos 2040sin802⎡⎤=-︒+--︒︒⎣⎦， 11sin80sin80cos 2042=-︒+， ()111sin80sin100sin 60422=-︒+⨯+， 113sin 80sin 8044=-︒+︒3= 21．计算:sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°. 【答案】14【详解】sin 20cos70sin10sin50⋅+⋅()()()()11sin 2070sin 2070cos 1050cos 105022⎡⎤⎡⎤=++-+--+⎣⎦⎣⎦ ()()11sin 90sin 50cos 40cos6022=-+- 111sin 50cos 40422=-+ 1111sin 50sin 504224=-+=．证明下列各恒等式：22．ππ2sin sin cos 244ααα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 23．1sin 20cos70sin10sin 504+=；24．1sin15sin 30sin 758=．【解析】(1)ππππ2sin sin 2sin sin 44244παααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ πππ2cos sin sin 2cos 2442αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故ππ2sin sin cos 244ααα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立. (2)sin 20cos70sin10sin50+()()()()11sin 2070sin 2070cos 1050cos 105022⎡⎤⎡⎤=++-+--+⎣⎦⎣⎦ ()()11sin 90sin 50cos 40cos6022⎡⎤⎡⎤=+-+--⎣⎦⎣⎦ ()()11sin 90sin 50cos 40cos6022=-+- 11111sin 50cos 4022222=-+-⨯ 1111sin 50sin 504224=-+=， 故1sin 20cos70sin10sin 504+=成立.(3)1sin15sin 30sin 75sin15sin 752=()11sin15sin 9015sin15cos1522=-= 111sin 30228=⨯=， 故1sin15sin 30sin 758=.25．把下列各式化为积的形式： (1)sin18cos 27+；(2)sin50cos50-；(3)ππcos cos 33αα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (4)sin cos x x +．【答案】(1)2sin 40.5cos 22.5(2)2cos 45sin5(3)π2cos cos 3α (4)2sin cos()44x ππ- 【解析】 (1)18636318sin18cos 27sin18sin 632sin cos 2sin 40.5cos 22.522+-+=+== (2)500500s 442cos sin 2cos 4c 5sin in 50os50sin 50s 52in 024+-===-- (3)ππππ()πππ3333cos cos 2cos cos 2cos cos 33223ααααααα++-+--⎛⎫⎛⎫++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)()()22sin cos sin sin()2sin cos 2sin cos()22244x x x x x x x x x πππππ+---+=+-==-。
人教版高中数学必修四课件：3.3三角函数的积化和差与和差化积43
2sin 54 22 cos 54 22
2
2
2sin 38 cos16
（4） sin5x sin3x
2cos 5x 3x sin 5x 3x
2
2
2cos 4xsin x
例3. 已知A+B+C=180°, 求证： sin Asin B sinC 4 cos A cos B cos C
（2） cos 40 cos52
（3） sin 54 sin 22
（4） sin5x sin3x
解：（1）
cos3 cos 2cos 3 cos 3
2
2
2cos 2 cos
（2）cos 40 cos52
2sin 40 52 sin 40 52
2
2
2sin 46 sin 6
（3）sin 54 sin 22
2
从上面四个式子又可以得到
sin( ) sin( ) 2sin cos sin( ) sin( ) 2cos sin cos( ) cos( ) 2cos cos cos( ) cos( ) 2sin sin
积化和差公式
sin cos 1 [sin( ) sin( )]
3．本题若只是简单处理，可能会做不下去．
到此或许许多人就束手无策了，当然，这样做如果 处理得法，还是会最后得到正确结果的，但是计算 太大了． 若注意到10°、50°分别与80°、40°互为余角， 利用诱导公式可得如下解法．
(四)小结 三角函数的恒等变换，由于三角公式较多、用起 来也较活，所以应当掌握变形的一般规律，而一 般规律的获得主要靠自己的实践以及理性上的升 华。通过一个阶段的学习与练习，应是有一定体 会的．一般说三角变换问题，第一要关注问题中 的角，特别是角的和、差、倍、半关系，当然这 些关系也不是一成不变的，如适当时候，我们也 可以把α看作是
和差化积、积化和差、万能公式
和差化积、积化和差、万能公式在数学的三角函数领域中，和差化积、积化和差以及万能公式是一组非常重要且实用的公式。
它们在解决各种与三角函数相关的问题时，发挥着至关重要的作用。
首先，咱们来聊聊和差化积公式。
和差化积公式包括四个，分别是：sinα ＋sinβ ＝2sin(α ＋β) ／2cos(α β) ／ 2sinα sinβ ＝2cos(α ＋β) ／2sin(α β) ／ 2cosα ＋cosβ ＝2cos(α ＋β) ／2cos(α β) ／ 2cosα cosβ ＝－2sin(α ＋β) ／2sin(α β) ／ 2这些公式的作用在于将两个三角函数的和或差转化为乘积的形式。
这在处理一些复杂的三角函数表达式时，能够大大简化计算过程。
比如说，当我们遇到形如 sin5x ＋ sin3x 的式子，如果直接计算可能会比较困难。
但通过和差化积公式，将其转化为 2sin4xcosx，计算就会变得相对简单许多。
接下来，再看看积化和差公式。
它们是：sinαcosβ ＝1/2sin(α ＋β) ＋sin(α β)cosαsinβ ＝1/2sin(α＋β) sin(α β)cosαcosβ ＝1/2cos(α ＋β) ＋cos(α β)sinαsinβ ＝－1/2cos(α ＋β) cos(α β)积化和差公式则是把两个三角函数的乘积形式转化为和或差的形式。
比如说，计算∫sin2xcos3xdx 这样的积分问题，如果先使用积化和差公式将sin2xcos3x 转化为和差形式，再进行积分运算，就会轻松不少。
最后，咱们来认识一下万能公式。
万能公式包括：sinα ＝2tan(α/2) ／（1 ＋tan²(α/2)）cosα ＝（1 tan²(α/2)）／（1 ＋tan²(α/2)）tanα ＝2tan(α/2) ／（1 tan²(α/2)）万能公式的厉害之处在于，它可以将任何一个三角函数用tan(α/2)来表示。
人教B版高中数学必修第三册课件 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 第2课时 积化和差与和差化积公式
C=4sin sin cos .
2
2
2
证明:左边
-
+
+
+
-
+
+
=sin(B+C)+2sin ·cos =2sin cos
+2sin cos =2cos
2
2
2
2
2
2
2
+
sin 2
+
-
sin 2
故原等式成立.
=4sin2 sin 2 cos2 =右边,
·
1.证明三角恒等式就是借助于三角恒等变换,应用化繁为简、左右归一、
用积化和差公式化简三角函数式时,若三角函数式中存在三个或三个以上
的三角函数可供化和时,应选择两角和或差是特殊角或与其他三角函数有
公因式的两个三角函数进行积化和差.
【变式训练 2】
cos +cos (120°+)+cos (120°-)
化简:
.
sin +sin (120°+)-sin (120°-)
(2)cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73°.
解:(1)sin 54°-sin 18°=2cos 36°sin
2sin18 °cos18 °cos36 ° 2sin36 °cos36 °
18°=2×
=
=
2cos18 °
2cos18 °
sin72 °
cos18 °
1
=
=
.
2cos18 ° 2cos18 ° 2
=-2sin θ
6积化和差和和差化积公式(教师版)
积化和差与和差化积公式考点回顾：和差化积公式：2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+·2sin2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin2cos2sin sin ϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθ-+-=--+=+-+=-···积化和差公式：()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin例1：求值：sin cos ππ12512·解：[一]利用积化和差（两角和以及差为特殊角） sincos ππ12512·=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-1212512125121223121321234sin sin sin sin ππππππ[二]利用12512ππ与互余sin cos cos cos cos πππππ125125125125122··== =+=-=-=-156216213221234cos cos ππ [三]利用半角公式（两个角的倍角为特殊角）432122312231265cos126cos1125cos12sin -=-⋅-=+⋅-=ππππ· 说明：三角函数变换的灵活性更多地体现在变角的灵活性上，主要看角的倍角、半角，两角的和、差是否为特殊角。
例2. 求值：（1）sin cos sin cos sin sin 71587158o o oo o o+-··（2）sin cos sin cos 22208032080oooo++解：（1）[一]利用差角公式sin cos sin cos sin sin 71587158o o oo o o+-··()()oo o o o o o o o o o o oo o o o o o o 8sin 15sin 8sin 15sin 8cos 15cos 8sin 15cos 8sin 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin 815cos 8sin 15cos 815sin -++-=--+-=··323212312130cos 130sin 15tan 15cos 15sin 8cos 15cos 8cos 15sin -=+=+=+====oooo oo o oo[二]利用积化和差及和差化积sin cos sin cos sin sin 71587158o o o o o o+-·· =︒=︒︒=︒+︒+=︒-+︒-+15tan 8cos 15cos 28cos 15sin 27cos 23cos 7sin 23sin 7cos 2123cos 217cos 7sin 2123sin 217sin oo o o o o o o 323212312130cos 130sin -=+=+=+=o o（2）[一]利用和差角公式sin cos sin cos 22208032080oooo++︒-︒︒+︒︒-︒+︒+︒=+︒++︒+=20sin 2320cos 20sin 2320cos 20sin 2320sin 4320cos 4120sin )6020cos(20sin 3)6020(cos 20sin 222222o o o o4120cos 4120sin 4122=︒+︒=[二]利用和差化积和积化和差公式sin cos sin cos 22208032080o o o o ++()()=-+++=+-+-=-+-=-+=14021160232080112160403210060110060321003414321003210014cos cos sin cos cos cos sin sin sin sin sin sin sin o oo oo o o oo o o o o· 变式：求tan 20°＋4sin20°的值。
高中数学 必修2(北师大)4.2.4积化和差与和差化积公式
解法 2 ∵sinθ＋6πsinθ－π6＝2110，
∴sin
θcosπ6＋cos
π θsin6sin
2.4 积化和差与和差化积公式
[教材要点]
要点一 积化和差公式 cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos (α－β)]； sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
跟踪训练 3 求证：sin 3αsin3α＋cos 3αcos3α＝cos32α.
证明：左边＝(sin 3αsin α)sin2α＋(cos 3αcos α)cos 2α ＝－21(cos 4α－cos 2α)sin2α＋21(cos 4α＋cos 2α)cos2α ＝－21cos 4αsin2α＋21cos 2αsin2α＋21cos 4αcos 2α＋21cos 2αcos 2α ＝21cos 4αcos 2α＋21cos 2α＝21cos 2α(cos 4α＋1) ＝21cos 2α·2cos22α＝cos32α＝右边， ∴原式得证．
要点二 和差化积公式
sin x＋sin y＝2sinx＋2 ycosx－2 y； sin x－sin y＝2cosx＋2 ysinx－2 y； cos x＋cos y＝2cosx＋2 ycosx－2 y； cos x－cos y＝－2sinx＋2 ysinx－2 y.
[基础自测]
人教版数学高一B版必修4知识必备3.3三角函数的积化和差与和差化积
3.3三角函数的积化和差与和差化积知识梳理1.积化和差公式 sinαcosβ=21［sin(α+β)+sin(α-β)］; cosαsinβ=21［sin(α+β)-sin(α-β)］; cosαcosβ=21［cos(α+β)+cos(α-β)］; sinαsinβ=-21［cos(α+β)-cos(α-β)］. 特点：同名函数之积化为两角和与差余弦的和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和(差)的一半，等式左边为单角α、β，等式右边为它们的和差角.2.和差化积公式 sinx+siny=2sin2y x +cos 2y x -; sinx-siny=2cos 2y x +sin 2y x -; cosx+cosy=2cos 2y x +cos 2y x -; cosx-cosy=-2sin 2y x +sin 2y x -. 3.常用到的三角恒等变换 f(x)=asinx+bcosx=22b a +sin(x+θ)(ab≠0)，其中tanθ=ab ,由a 和b 的符号确定θ所在的象限.知识导学复习两角和与差的正弦、余弦公式.本节重点是公式的推导与应用，难点是公式的灵活应用.和差化积公式和积化和差公式不要求记忆.疑难突破1.如何推导出三角函数的和差化积公式与积化和差公式？剖析:难点是面对两角和与差的正弦或余弦公式，不知道从何处入手.其突破口是：利用方程的思想推导积化和差公式，利用“换元”思想推导和差化积公式.(1)积化和差公式的推导∵sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，①sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，②∴①+②，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，即sinαcosβ=21［sin(α+β)+sin(α-β)］. ①-②得sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ， 即cosαsinβ=21［sin(α+β)-sin(α-β)］. ∵cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，③cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，④∴③+④得cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ.即cosαcosβ=21［cos(α+β)+cos(α-β)］. ③-④得cos (α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ， 即sinαsinβ=-21［cos(α+β)-cos(α-β)］. (2)和差化积公式的推导令α+β=θ，α-β=φ，则α=2ϕθ+，β=2ϕθ-， 代入sinαcosβ=21［sin(α+β)+sin(α-β)］, 得sin 2ϕθ+cos 2ϕθ-=21［sin(2ϕθ++2ϕθ-)+sin(2ϕθ+-2ϕθ-)］， ∴sin 2ϕθ+cos 2ϕθ-=21(sinθ+sinφ). 整理得sinθ+sinφ=2sin 2ϕθ+cos 2ϕθ-. 同理可得sinθ-sinφ=2cos 2ϕθ+sin 2ϕθ-； cosθ+cosφ=2cos 2ϕθ+cos 2ϕθ-； cosθ-cosφ=-2sin 2ϕθ+sin 2ϕθ-. 2.和差化积与积化和差公式有什么作用？剖析:难点是推导出了公式，但不会应用.其突破方法是分析和理解公式的特点，还要依赖于平时经验的积累.可从以下几方面来理解这两组公式：(1)这些公式都是指三角函数值间的关系而言，并不是指角的关系；(2)只有系数绝对值相同的同名三角函数的和差，才能直接应用公式化为积的形式.如sinα+cosβ就不能直接化积，应先化成同名函数后，再用公式化成积的形式；(3)三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，则因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式就起什么作用.积化和差与和差化积是一对孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用.一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑灵活应用二倍角公式的变形进行降幂，然后应用和差化积、积化和差公式进行化简或计算.和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值.正因为如此,“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段.在解题过程中，当遇到三角函数的和时，就试着化为积的形式；当遇到三角函数的积时，就试着化为和差的形式,往往这样就能发现解决三角函数问题的思路.。
三角函数的和差化积与积化和差的公式
三角函数的和差化积与积化和差的公式在三角学中，三角函数的和差化积与积化和差是非常重要的公式。
这些公式能够帮助我们简化三角函数的计算，使得求解复杂的三角函数问题变得更加容易。
在本文中，我们将详细介绍三角函数的和差化积与积化和差的公式，并给出相关的推导过程和例子。
一、三角函数的和差化积公式1. 余弦函数的和差化积公式：cos(A ± B) = cosA·cosB ∓ sinA·sinB这个公式可以表示为：两个角的余弦的和或差等于各个角的余弦的乘积减去或加上各个角的正弦的乘积。
2. 正弦函数的和差化积公式：sin(A ± B) = sinA·cosB ± cosA·sinB这个公式可以表示为：两个角的正弦的和或差等于各个角的正弦的乘积加上或减去各个角的余弦的乘积。
3. 正切函数的和差化积公式：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA·tanB)这个公式可以表示为：两个角的正切的和或差等于各个角的正切相加或相减，再除以1减去或加上各个角的正切的乘积。
二、三角函数的积化和差公式1. 余弦函数的积化和差公式：cosA·cosB = (1/2)·[cos(A + B) + cos (A - B)]这个公式可以表示为：两个角的余弦的乘积等于这两个角的和与差的余弦的和的一半。
2. 正弦函数的积化和差公式：sinA·sinB = (1/2)·[cos(A - B) - cos(A + B)]这个公式可以表示为：两个角的正弦的乘积等于这两个角的差与和的余弦的差的一半。
3. 正切函数的积化和差公式：tanA·tanB = (tanA + tanB) / (1 - tanA·tanB)这个公式可以表示为：两个角的正切的乘积等于这两个角的正切相加，再除以1减去这两个角的正切的乘积。
北师版高中数学必修第二册精品课件 第4章 三角恒等变换 §2 2.4 积化和差与和差化积公式
(+)+
证明:左边=(+)+
+
=+
(+)
= (+)
=
=右边,
§2 两角和与差的三角函数公式
2.4 积化和差与和差化积公式
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.能根据公式Sα±β和Cα±β进行恒等变换,推导出
积化和差与和差化积公式.
2.理解在推导积化和差、和差化积公式中方程
思想、换元思想所起的作用.
3.了解三角变换在解决数学问题时所起的作用,
=-[cos(21°+81°)-cos(21°-81°)]-sin 12°
=-(cos 102°-cos 60°)-sin 12°
=-cos 102°+ − sin 12°=sin 12°+ − sin 12°=.
探究二 和差化积问题
++
②将非特殊角化为特殊角求值或化简,将函数式变形以研究
其性质.
(2)关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约
或
相消,从而化为特殊角的三角函数.
【变式训练1】 求下列各式的值:
(1)cos 29°cos 31°- cos 2°;
(2)sin 381°sin 81°- sin 12°.
反思感悟ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ求解三角函数性质问题,往往将解析式化为同一个
角的某种三角函数的形式后再研究其性质.
积化和差与和差化积公式(教师版)
积化和差与和差化积公式(教师版) 积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复课一、基本公式复1、两角和与差公式及规律sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβtan(α±β)= (tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)2、二倍角公式及规律sin2α=2sinαcosα。
cos2α=cos²α-sin²α。
tan2α=(2tanα)/(1-tan²α)二倍角公式的推导可以通过和角公式推导而来，例如cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos²α-sin²α3、积化和差与和差化积公式sinαcosβ=(sin(α+β)+sin(α-β))/2cosαsinβ=(sin(α+β)-sin(α-β))/2cosαcosβ=(cos(α+β)+cos(α-β))/2sinαsinβ=-(cos(α+β)-cos(α-β))/2生动的口诀：（和差化积）正加正，正在前，___，___正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然和差化积公式是积化和差公式的逆用形式。
要注意：①前两个公式可以合并为一个：sinθ+sinφ=2sincos②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。
③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式。
如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。
④合一变形也是一种和差化积。
⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解。
因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。
1、在三角函数的解题中，积化和差与积差化积是密不可分的孪生兄弟。
为了化简或计算，我们要注意交替使用这两个公式。
例如，在处理正、余弦函数的平方时，我们应先考虑降幂公式，再利用和差化积和积化和差公式进行化简或计算。
积化和差公式和和差化积公式
积化和差公式和和差化积公式
积化和差公式和和差化积公式是高中数学中常见的公式，以下是它们的定义和应用方法。
1. 积化和差公式
积化和差公式指的是将两个数的积表示为它们的和或差的形式。
具体来说，设a、b为任意两个数，则有以下公式：
a *
b = (a + b) * (a - b) / 2 + (a + b) * (b - a) / 2
这个公式的意义是把两个数的积拆分成两个平方差的和，即(a + b) * (a - b)和(b + a) * (b - a)。
因为(a + b)和(b + a)是相等的，所以它们的积也是相等的，即2 * (a + b) * (a - b)。
把这个式子展开后，就可以得到积化和差的公式。
2. 和差化积公式
和差化积公式指的是将两个数的和或差表示为它们的积的形式。
具体来说，设a、b为任意两个数，则有以下公式：
a +
b = (a^2 - b^2) / (a - b) + (a^2 - b^2) / (a + b)
a -
b = (a^2 - b^2) / (a + b) - (a^2 - b^2) / (a - b)
这个公式的意义是将两个数的和或差分别表示为它们的平方差的比值。
具体地，设两个数为a和b，则它们的平方差为(a^2 - b^2)。
将这个式子乘以一个适当的比值，即可将和或差表示为两个数的积的形式。
以上就是积化和差公式和和差化积公式的定义和应用方法。
这些公式在解决数学问题时非常有用，能够帮助我们快速计算出两个数的积、和或差。
新教材北师大版第4章2.4积化和差与和差化积公式课件(29张)
() () () ()
[提示] (1)正确；(2)正确；(3)正确；(4)错误，cos(A＋B)－
cos(A－B)＝－2sin Asin B．
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．cos 72°－cos 36°的值为( )
A．3－2 3
B．12
C．－12
D．3＋2 3
C [原式＝－2sin72°＋2 36°sin72°－2 36° ＝－2sin 54°·sin 18°＝－2cos 36°cos 72° ＝－2·sin36°csoins3366°°cos72°＝－sin7s2in°3co6s°72° ＝－s2isnin14364°°＝－12.]
提示：都是任意角． 2．“sin α－sin β＝2cosβ＋2 αsinβ－2 α”正确吗？
提示：不正确．sin α－sin β＝2cos
α＋β 2 sin
α－β 2.
1．sin 15°cos 165°的值是( )
A．14
B．12
C．－14
D．－12
C [sin 15°cos 165°＝sin 15°cos(180°－15°)＝－sin 15°cos 15°＝
4α·cos α 4αcos α
＝2cos 2sin
4αcos 4αcos
3α＋cos 3α＋cos
αα＝csoins
44αα＝tan14α.
∴原式成立．
课堂 小结 提素 养
1．本节学习了积化和差公式、和差化积公式，一定要清楚这些 公式的形式特征，理解公式间的关系．
2．和差化积、积化和差公式不要求记忆，但要注意公式推导中 应用的数学思想方法，同时注意这些公式与两角和与差公式的联 系．
和差化积积化和差万能公式
和差化积积化和差万能公式和差化积、积化和差以及和差万能公式是高中数学中较为重要的内容，它们在解题中具有重要的作用。
下面详细介绍这些内容。
一、和差化积和差化积是一种将两个角的和（或差）转化为一个角的积的方法。
这种方法适用于解决一些三角函数表达式的展开、简化和求值问题。
1.正弦的和差化积公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB从公式中可以看出，只需要知道sinA、sinB、cosA和cosB的值，就可以通过和差化积公式求得sin(A+B)和sin(A-B)的值。
2.余弦的和差化积公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB类似地，只需要知道sinA、sinB、cosA和cosB的值，就可以通过和差化积公式求得cos(A+B)和cos(A-B)的值。
3.正切的和差化积公式：tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)tan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)通过和差化积公式，我们可以将两个角的和（或差）转化为一个角的正切值。
4.余切的和差化积公式：cot(A+B) = (cotAcotB - 1) / (cotA + cotB)cot(A-B) = (cotAcotB + 1) / (cotA - cotB)通过和差化积公式，我们可以将两个角的和（或差）转化为一个角的余切值。
和差化积的公式可以使得我们将复杂的三角函数表达式转化为简单的一步计算，节省了计算的时间和精力。
同时，它们也有助于我们更好地理解三角函数之间的关系。
二、积化和差积化和差是和差化积的逆过程，即将两个角的积转化为一个角的和（或差）。
这种方法适用于解决一些三角函数表达式的合并、求和和简化问题。
1.正弦的积化和差公式：sinAcosB = 1/2 * [sin(A+B) + sin(A-B)]从公式中可以看出，通过将sinAcosB转化为sin(A+B)和sin(A-B)的和的一半，可以实现两个角的积转化为一个角的和（或差）。
积化和差公式与和差化积公式
积化和差公式与和差化积公式一、积化和差公式。
1. 公式内容。
- sinαcosβ=(1)/(2)[sin(α + β)+sin(α-β)]- cosαsinβ=(1)/(2)[sin(α+β)-sin(α - β)]- cosαcosβ=(1)/(2)[cos(α+β)+cos(α-β)]- sinαsinβ=-(1)/(2)[cos(α + β)-cos(α-β)]2. 推导思路（以sinαcosβ为例）- 根据两角和与差的正弦公式sin(A + B)=sin Acos B+cos Asin B和sin(A - B)=sin Acos B-cos Asin B。
- 将这两个公式相加：sin(A + B)+sin(A - B)=2sin Acos B，令A=α，B = β，则sinαcosβ=(1)/(2)[sin(α+β)+sin(α - β)]。
- 其他公式也可以通过类似的两角和与差的三角函数公式推导得出。
3. 应用示例。
- 计算sin15^∘cos45^∘。
- 由积化和差公式sinαcosβ=(1)/(2)[sin(α+β)+sin(α-β)]，这里α = 15^∘，β=45^∘。
- 则sin15^∘cos45^∘=(1)/(2)[sin(15^∘+45^∘)+sin(15^∘-45^∘)]- 先计算sin(15^∘+45^∘)=sin60^∘=(√(3))/(2)，sin(15^∘-45^∘)=sin(-30^∘)=-(1)/(2)。
- 所以sin15^∘cos45^∘=(1)/(2)((√(3))/(2)-(1)/(2))=(√(3)-1)/(4)。
二、和差化积公式。
1. 公式内容。
- sinα+sinβ = 2sin(α+β)/(2)cos(α-β)/(2)- sinα-sinβ=2cos(α+β)/(2)sin(α - β)/(2)- cosα+cosβ = 2cos(α+β)/(2)cos(α-β)/(2)- cosα-cosβ=-2sin(α+β)/(2)sin(α-β)/(2)2. 推导思路（以sinα+sinβ为例）- 设α = A + B，β=A - B，则A=(α+β)/(2)，B=(α-β)/(2)。
和差化积 积化和差公式
和差化积积化和差公式
和差化积积化和差是一组数学公式，被广泛应用于代数中的因式分解和展开等问题。
这两个公式的推导过程相似，但运用的角度不同，可以相互转化使用。
我们来看和差化积公式。
和差化积公式可以将一个和式表示为一个乘积。
它的形式如下：
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2
这个公式的意义在于，它可以将一个二次项的差式表示为一个乘积，简化了计算过程。
例如，我们可以将(a+3)(a-3)展开，得到的结果是a^2 - 3^2，也就是a^2 - 9。
接下来，我们来看积化和差公式。
积化和差公式可以将一个乘积表示为一个和式。
它的形式如下：
a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)
这个公式的意义在于，它可以将一个二次项的差式表示为一个和式，便于进行因式分解等计算。
例如，我们可以将16x^2 - 9展开，得到的结果是(4x+3)(4x-3)。
和差化积公式和积化和差公式是代数中的重要工具，它们可以帮助我们简化计算、解决因式分解等问题。
在实际应用中，我们经常会遇到需要使用这两个公式的情况，因此掌握它们的推导和运用方法是非常重要的。
总结一下，和差化积公式和积化和差公式是代数中常用的公式，它们可以将一个和式和一个乘积相互转化使用。
通过运用这两个公式，我们可以简化计算、解决因式分解等问题，提高数学的应用能力。
希望大家能够理解和掌握这两个公式，并能灵活运用于实际问题中。
积化和差与和差化积公式课件--2024学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
1 3. 24
学习目标
新课讲授
课堂总结
例2 求证：sin15 sin 30 sin 75 1 . 8
证：sin15 sin 30 sin 75 1 sin15 sin 75 2
1 [cos(15 75 ) cos(15 75 )] 4
1 (cos 90 cos 60 ) 4
1 ( 1) 1 . 4 28
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
1.sin 75°－sin 15°的值为( D )
A. 3
B. 1
C. 1
2
2
2
2.化简cos cos3 的结果为( sin 3 sin
B
A. tan
B.tan 2
) C. 1
tan
D. 2 2 D. 1
tan 2
学习目标
新课讲授
课堂总结
根据今天所学，回顾下列知识点：
2
2
③－④整理得 cos sin 1 [sin( ) sin( )].
2
学习目标
新课讲授
课堂总结
归纳总结
三角函数的积化和差公式：
cos cos 1 [cos( ) cos( )];
2
sin sin 1 [cos( ) cos( )];
2
sin cos 1 [sin( ) sin( )];
学习目标
新课讲授
课堂总结
问题2：利用Sα±β公式，能用sin(α±β)表示sin αcos β及cos αsin β吗？
解：能，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，③ sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，④
积化和差和差化积的公式
积化和差和差化积的公式在数学中，积化和差和差化积是两个非常重要的公式。
这两个公式可以帮助我们简化数学运算，使得我们在解决数学问题时更加高效和准确。
在本文中，我们将详细介绍这两个公式的概念、应用和相关的例子。
一、积化和差积化和差是指将两个数的乘积转化为两个数的和与差的形式。
这个公式的表达式如下：(a+b)×(a-b)=a-b其中，a和b是任意两个数。
这个公式的证明可以通过展开左边的式子，即：(a+b)×(a-b)=a×a-a×b+b×a-b×b=a-ab+ab-b=a-b因此，积化和差的公式得证。
这个公式可以帮助我们在计算中简化运算，例如：例1：计算（7+5）×（7-5）的结果。
根据积化和差的公式，我们可以将（7+5）×（7-5）转化为（7-5），即：（7+5）×（7-5）=7-5=49-25=24因此，（7+5）×（7-5）的结果为24。
例2：计算（3+2x）×（3-2x）的结果。
同样地，我们可以将（3+2x）×（3-2x）转化为（3-（2x）），即：（3+2x）×（3-2x）=3-（2x）=9-4x因此，（3+2x）×（3-2x）的结果为9-4x。
二、差化积差化积是指将两个数的差转化为两个数的积的形式。
这个公式的表达式如下：a-b=(a+b)×(a-b)同样地，a和b是任意两个数。
这个公式的证明可以通过将右边的式子展开，即：(a+b)×(a-b)=a×a-a×b+b×a-b×b=a-ab+ab-b=a-b因此，差化积的公式得证。
这个公式同样可以帮助我们在计算中简化运算，例如：例3：计算7-5的结果。
根据差化积的公式，我们可以将7-5转化为（7+5）×（7-5），即：7-5=(7+5)×(7-5)=12×2=24因此，7-5的结果为24。
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积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课一、基本公式复习1、两角和与差公式及规律sin()sin cos cos sin .cos()cos cos sin sin .tan tan tan().1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=m m2二倍角公式及规律3、积化和差与和差化积公式1sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+--1cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++-1sin sin [cos()cos()].2αβαβαβ=-+--sin sin 2sin cos .22αβαβαβ+-+=222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2tan .21cos αααααααααα+⎧=⎪⎧⎪⎪-⎪⎪⇒±==⎨⎨⎪⎪⎪-⎪⎩=⎪+⎩2sin 2sin 2cos ,sin .1sin (sin cos ).2cos 2cos 22ααααααααα⇒==±=± sin 22sin cos .ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin .ααααα=-=-=- 22tan tan 2.1tan ααα=-cos cos 2cos cos .22αβαβαβ+-+= sinsin 2cos sin .22αβαβαβ+--= coscos 2sin sin .22αβαβαβ+--=-和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sin cos②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。
③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。
④合一变形也是一种和差化积。
⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。
3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。
如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。
和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。
正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。
sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β， 设 α+β=θ，α-β=φ 那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2 把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]cos(α-β)-cos(α+β)=[(cos αcos β+sin αsin β)-(cos αcos β-sin αsin β)] =2sin αsin βsin αsin β=-1/2[-2sin αsin β]=-1/2[(cos αcos β-sin αsin β)-(cos αcos β+sin αsin β)] =-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]其他的3个式子也是相同的证明方法。
4、万能公式2tan 12tan2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan 2sin 2222α-α=αα+α-=αα+α=α 证：2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 21sin sin 222α+α=α+ααα=α=α 2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1cos cos 222222α+α-=α+αα-α=α=α 2tan 12tan22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 222α-α=α-ααα=αα=α 注意：1、上述三个公式统称为万能公式。
2、 这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切，即：所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁3、上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小。
二、应注意的问题1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式.2、倍角公式ααα22sin 211cos 22cos -=-=有升、降幂的功能，如果升幂，则角减半，如果降幂，则角加倍，根据条件灵活选用. 3、公式的“三用”（顺用、逆用、变用）是熟练进行三角变形的前提.3、整体原则-------从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求三角变形的思维指向；4、角度配凑方法 ，其中,αβ是任意角。
Λ=--+=-++=--=-+=2222)()(αββαβαβααββββαα2()()()()2()2()2222αβαββαβαααβαββαβα+-+-=++-=+--=+=-=L三、例题讲解例1 已知α，β均为锐角， sin α=551010，sin β=，求α+β的值。
解析：由已知条件有cos α=25531010，cos β=，且0＜α+β＜π。
又cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-=+=255310105510102204××＞，所以αβπ 例2已知sin(3)cos()tan()cot()2(),()cos()n x x x x f x n Z n x πππππ---+=∈-（１）求52();3f π（２）若34cos(),25πα-=求()f α的值． 解当2()n k n Z =∈时，sin cos tan cot ()sin ;cos x x x xf x x x-==- 当21()n k k Z =+∈时，2sin cos tan (tan )()sin tan .cos x x x x f x x x x--==-34cos()sin ,sin .25πααα-=-∴=-Q故当n 为偶数时，52524()sin sin 3334()sin ;5f f πππαα=-=-==-=当n 为奇数时，2222252525244()sin tan .sin tan 333332sin 9()sin tan sin .cos 16f f πππππαααααα=-=-==-=-⋅=例3已知21sin(),sin().35αβαβ+=-=（１）求tan cot αβ的值； （２） 当(,),(,)2222ππππαβαβ+∈--∈-时，求sin 2β的值．解（１）［方法１］2sin cos cos sin ,31sin cos cos sin ,5137sin cos ,cos sin .3030αβαβαβαβαβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩⇒==从而，sin cos 13tan cot .cos sin 7αβαβαβ==［方法２］设sin cos tan cot ,cos sin x αβαβαβ==sin()10,sin()3sin()sin()tan tan cos cos sin()sin()tan tan cos cos tan 11tan ,tan 11tan x x αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=-+++==---++==--Q且11013,tan cot .137x x x αβ+∴=⇒==- （２）由已知可得sin 2sin[()()]sin()cos()cos()sin()15βαβαβαβαβαβαβ=+--=+--+-=例4已知11cos(),cos(),22αβαβ+=-=求tan tan αβ的值.解1cos cos sin sin ,21cos cos sin sin ,351cos cos ,sin sin .1212αβαβαβαβαβαβ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩⇒==- sin sin 1tan tan .cos cos 5αβαβαβ∴==-例5已知11sin cos ,cos sin ,23αβαβ-=-=求sin()αβ+的值.解 将两条件式分别平方，得22221sin 2sin cos cos ,41cos 2cos sin sin .9ααββααββ-+=-+=将上面两式相加，得1322sin(),3659sin().72αβαβ-+=⇒+= 例6 sin 7cos15sin 8cos 7sin15sin 8+-o o oo o o的值等于 （ ） A．2+ B．2 CD解000000000000000000000000000sin(158)cos15sin 8cos(158)sin15sin 8sin15cos8cos15sin 8cos15sin 8cos15cos8sin15sin 8sin15sin 8tan 45tan 30tan15tan(4530)1tan 45tan 302-+=---+=+--==-=+=原式故选B.例7 已知cos(α－β)= βα=α、，，2312sin 21都是锐角，求cos(α+β)的值。
解析：由已知条件有。
322)31(12sin 12cos ,312sin 22022=-=α-=α=απα则，又＜＜因为0＜sin2α=1312＜，所以0＜2α＜π6，所以0＜α＜π12。
①又因为0＜β＜π2，所以-π2＜-β＜0 。
②由①、②得-π2＜α-β＜π12。
又因为cos （α-β）=12，所以--παβ20＜＜。
)(cos 1)sin(2β-α--=β-α所以=23-。
从而cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)。
6322233121322-=-+=）（××评析：本例通过0＜sin2α= 1312＜，发现了隐含条件：0＜α＜π12，将α-β的范围缩小为--παβπ212＜＜，进而由cos(α-β)= 12,将α-β的范围确定为--παβ20＜＜，从而避免了增解。
例8 已知--παππβπ2222＜＜，＜＜，且tan α,tna β是一元二次方程x x 23340++=的两个根，求α+β的值。