材料力学第27讲 Chapter3-2第三章 能量法(卡氏定理)
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材料力学能量法第3节 卡式定理
q 2 M ( x) (l x) M e 2
M 1 M e
（2）计算 B 截面转角 B
M q 2 1 M ( x) (l x) M e M e 2 M ( x) M ( x) Bq M e dx EI M e 1 l q 2 [ ( l x ) M ] ( 1 ) d x e EI 0 2 3 l ql 顺时针转向 Me EI 6 ql 3 顺时针转向 B 令 Me 0 6 EI
2
1 dFi dyi U dFi yi 2
(3)
比较(2)(3)式
1 dFi dyi U dFi yi (3) 2 U ( F1 , F2 , Fn ) yi i 1,2,3,... Fi
U U dFi Fi
(Hale Waihona Puke 2)梁的变形能对某一载荷 Fi 的偏导数，等于 在该载荷处沿载荷方向的位移，这就是卡氏定理， 也称卡氏第二定理。由意大利工程师 A 卡斯蒂利亚 诺（1847-1884）于1873年提出的。卡氏定理对其他 线弹性结构也是适用的。
广义力的函数：设在如图所示梁上，作用有 n 个力 y2 ， ， yn 。 F1， F2 ， ， Fn ，其相应位移分别为 y1， 在载荷施加过程中，外力所做的功转变成梁的变形 能。这样，变形能应为广义力 Fi 的函数
U f ( F1, F2 ,, Fn )
若 Fi
(1) ( 2)
Fi dFi ， 则 U
U U dFi Fi
卡式定理的推导 —— 改变加力的次序 (1)先施加 dFi ：在施加 dFi 时，其作用点沿 dFi 方向的 1 dF dy 位移为 dyi ，梁的变形能为 i i；
材料力学第三章 能量法
三、卡氏第二定理（线弹性体）
Di
Vc Fi
在线弹性范围内
余能定理 Vc V
Di
V Fi
卡氏第二定理： 线弹性杆件或杆系的应变能对于 作用在该杆件或杆系上的某一荷 载的变化率，就等于与该荷载相 应的位移。
卡氏第二定理适用于一切受力状态下的线弹性体。
卡氏第二定理公式D及i 含义VF：i
若结构的应变能 V 表示为F1、F2 …Fi …的函数，则应变 能对任一载荷Fi的偏导数等于Fi作用点沿Fi方向位移。
C
与需求位移相应的虚设外力
F。求偏导后令其为零。
（2）列弯矩方程
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
（3）求梁的应变能
M 2 l/2
x
1
V 2 0
dx
2EI
EI
l/2
0
F 2
ql 2
x
qx 2 2
2 dx
1 EI 1 EI
V W
一、杆件基本变形的应变能
(一)轴向拉伸(压缩)
1、杆的应变能
轴力沿轴线不变的情况:
dW Fd(Dl) W Dl1 Fd(Dl) 0
线弹性范围内 W 1 FDl
1
2
V
F
W
FN
2
F Dl Dl
FNl EA
应变能
V
FN2l 2EA
F
l
Dl
F
Dl d (Dl)
Dl1
Dl
(一)轴向拉伸(压缩)
材料力学-能量法
U
l
N 2( x)dx 2EA
l
M
2 n
(
x
)dx
2GI P
l
M 2( x)dx 2EI
（9-8）
注意：叠加法不能用于计算外力功和变形能。
例1 试分别计算图示各梁的变形能 例1图
解：求各梁的变形能 a b
c
Ua
0l
M 2( x)dx 2EI
0l
(
Px)2 2EI
dx
P 2l3 6EI
Ub
0l
M 2( x)dx 2EI
W 1 P
2
(9-2)
式中： P —— 广义力（力、力偶）
——广义位移（线位移、角位移）
广义力与广义位移相对应。如广义力是力，相应的广义
位移就是线位移（沿力方向的线位移）；如广义力是力偶， 相应的广义位移就是角位移（在力偶作用处的角位移）。
（二）变形能和比能
1. 轴向拉伸与压缩时的变形能
a. 轴力为常量： ( N P,l Nl )
材料力学
能量法
一、外力功与变形能
本章考虑杆件在线弹性范围内的能量法计算问题。
能量法——利用功和能的概念来解决变形体的位移、变 形和内力等计算的方法。
在线弹性范围内，外力功 W 全部转变为变形能 U，不 考虑能量的损耗。因此有
W=U
（一）外力功
1. 常力作功（P 为恒力）
W P
(9-1)
2. 变力作功（P 从0逐渐增加到最终值）
EA
U W 1 Pl N 2l
2
2EA
（9-3）
u
U V
N2 2EA2
2
2E
1
2
u 为比能，即单位体积的变形能。
卡氏定理材料力学
2Ma 3EI
（
）
DF FD
CD段:
M (x)
Mx , 2a
M (x) F
x,
MC
CB段: M (x) M ,
M (x) 2a x, a F
2a
C
M
AB段: M (x) 0,
M (x) x, F
a
B
A FAx
（4）带入卡氏定理求解。
Dx
l
M (x) M (x) d x EI F
FAy
2a
MC, 在D截面虚设一水平力F 。 MC
DF
C
（2）取刚架为研究对象， a
受力图如图所示。
M
FD
FAx F
B
a
A FAx
FAy
FD
F
1 2a
(M
MC)
FAy
（3）分段列出弯矩方程及偏导方程。
2a
CD段:
MC
M
( x1 )
[F
1 2a
(M
MC
)]x1
Cx aM 2
x
1
DF FD
M (x1) F
新位移 i 上也做功，系统的总的应变能为
V
Fi
i
1 2
Fi
i
（2）
由（1）＝（2），并忽略二阶小量，得
V Fi
i
V Fi
i
若将结构的应变能表示为载荷F1，F2， ，Fn 的 函数，则应变能对任一载荷Fi的偏导数，等于Fi作用
点沿Fi作用方向的位移 i ,称为卡氏第二定理。
说明 （1）卡氏定理只适用线弹性结构。
i
V Fi
FN (x) FN (x) d x L EA Fi
材料力学能量法
按二种方式加载
(2)先作用 i，再作用 1，P2，…，Pi，…，则 先作用dP 再作用P 先作用 ， ，
(3)由于 1=U2，略去二阶微量，则有 由于U 略去二阶微量， 由于 2.用卡氏定理计算基本变形 用卡氏定理计算基本变形 (1)拉压变形 拉压变形
为分段常量时： 当N(x)为分段常量时： 为分段常量时
广义力及单位广义力共同作用下，结构的变形能： 广义力及单位广义力共同作用下，结构的变形能： (1)先作用单位力 0(=1)，再作用 1，P2，…，Pi，…，结构变形能为： 先作用单位力P 先作用单位力 ，再作用P ， ，结构变形能为：
？U+U0
P1
P2 f
Pn
△1
△2
△n
P1
P2
δ
1
Pn
△1
f
△2 △n
U1= P1δ11/2 + ( P2δ22/2 + P1δ12 )
U1= P1δ11/2 + ( P2δ22/2 + P1δ12 )
作用方式2： 再作用P 作用方式 ：先作用 P2,再作用 1： 再作用
U2= P2δ22/2
两种作用方式结果相同： 两种作用方式结果相同： 功的互等定理： 功的互等定理：
1.证明 证明 设线弹性结构在约束情况下，无刚体位移，外力为 广义)， 设线弹性结构在约束情况下，无刚体位移，外力为P1，P2，…，Pi，…(广义 ， ， 广义 相应在力方向的位移为d 相应在力方向的位移为 1，d2，…，di…。则变形能是广义力的函数： ， 。则变形能是广义力的函数：
变形能的微分是： 变形能的微分是： (1)同时作用 1，P2，…，Pi+dPi，…，则 同时作用P 同时作用 ， ，
材料力学中的能量法
记为 M,F 。 S ,F N ,T
（3）单位力所做的外力虚功为 We =1·
杆件的内力虚功为
* * * * W ( M d F d F d d T d) j i S N l 0
单位力法的虚位移原理表达式为
* * * * (10-16) 1 Δ ( M d F d F d d T d) j S N l 0
解：如图11-4b所示，在点 C及点D应加一对大小相等， 方向相反，且均垂直于杆CD的力。 根据功的互等定理： F B F F l F 0 .0 8 k N B C D lC D
§10-4、10-5 虚位移原理及单位力法
. 虚位移原理 （1）刚体 虚位移 —— 满足约束条件的假想的任意微小位移。 虚位移原理 ——作用于刚体上的力对于任何虚位移所作的 总功等于零（平衡的必要和充分条件）。
由于以上分析中没有涉及材料的物理性质， (11-15)式适用于弹性体和非弹性体问题。式中Fi为广义力，M ,
Δi FS , FN , T是由荷载产生的内力，
d , dd ,
* *
* d j 为广义虚位移，d* ,
为微段的变形虚位移。
Ⅱ. 单位力法（单位载荷法）
(1) 因为由荷载引起的位移，满足约束条件和变形连续条
(c)
(d) 将(a),(d)式代入（11-14）式 ，得梁的虚位移原理表达式为
* * F Δ ( M d F d ) 0 i i S l n 0
即
i 1
* * F Δ ( M d F d ) i i S l i 1 0
n
外力虚功=内力在微段变形虚位移上的虚功(或虚应变能)
2 2 lM M ( x ) ( x ) 1 2 U d x d x (3) l 0 2 EI EI 2 2 l 2
材料力学第26讲 Chapter3-1第三章 能量法(应变能 余能)
利用功和能的概念求解可变形固体的位移、变形及内力等 的方法，统称为能量方法。
能量方法是用有限元法解固体力学问题的重要基础。
4
能量方法用途很广：
不仅适用于线弹性问题； 也可用于非线性弹性问题； 曲杆问题；
5
本章要介绍的几种能量方法：
应变能原理－卡氏第一定理 余能原理－卡氏第二定理 虚位移原理及单位力法
6
§3–2 应变能 余能
应变能的计算：
I. 应变能
外力缓慢做功W ，无损失地转化为应变能 （不
转化成动能、热能） ，贮存于弹性体内部。
V W
7
一、 线弹性问题
1. 轴向拉压杆件应变能的计算
W 1 Fl
2
l Fl
W F 2l 2EA
F
EA
W＝V 功能原理
V
EAl2
2l
F 2l V 2 EA
5P1P2l3 48EI
23
进一步分析
21
P1
P2
12
l
l
2
2
21P16(E 2l)Il2(3l2l)458P1E l3I
l
l
2
2
12P26(E 2l)Il2(3l2l)4 58 P2 E lI3
P112 P221 ====== 功的互等定理 ======
第一组力在第二组力作用所产生位移上做的功 等于第二组力在第一组力作用所产生位移上做的功。
17
4.3 弯曲杆件应变能的计算
V
V vdV
V
1 2
dV
V
1 2E
2dV
l
A21E(M Izy)2dAdl l
A21E(M Iz )2y2dAdl
d l dx M 2 l 2EIz
能量方法是用有限元法解固体力学问题的重要基础。
4
能量方法用途很广：
不仅适用于线弹性问题； 也可用于非线性弹性问题； 曲杆问题；
5
本章要介绍的几种能量方法：
应变能原理－卡氏第一定理 余能原理－卡氏第二定理 虚位移原理及单位力法
6
§3–2 应变能 余能
应变能的计算：
I. 应变能
外力缓慢做功W ，无损失地转化为应变能 （不
转化成动能、热能） ，贮存于弹性体内部。
V W
7
一、 线弹性问题
1. 轴向拉压杆件应变能的计算
W 1 Fl
2
l Fl
W F 2l 2EA
F
EA
W＝V 功能原理
V
EAl2
2l
F 2l V 2 EA
5P1P2l3 48EI
23
进一步分析
21
P1
P2
12
l
l
2
2
21P16(E 2l)Il2(3l2l)458P1E l3I
l
l
2
2
12P26(E 2l)Il2(3l2l)4 58 P2 E lI3
P112 P221 ====== 功的互等定理 ======
第一组力在第二组力作用所产生位移上做的功 等于第二组力在第一组力作用所产生位移上做的功。
17
4.3 弯曲杆件应变能的计算
V
V vdV
V
1 2
dV
V
1 2E
2dV
l
A21E(M Izy)2dAdl l
A21E(M Iz )2y2dAdl
d l dx M 2 l 2EIz
材料力学(II)第三章 PPT课件
T 2l 2GIp
GIp 2l
2
5
材料力学Ⅱ电子教案
(c) 弯曲
第三章 能量方法
纯弯曲
Vε
W
1 2
M e
M e2l 2EI
M 2l 2EI
横力弯曲
Vε
l M 2 (x) d x 0 2EI
6
材料力学Ⅱ电子教案
第三章 能量方法
可以把应变能统一写成
Vε
W
1 2
FΔ
式中，F 为广义力，可以代表一个力,一个力偶,一对力或一
§3－2 应变能 ·余能
Ⅰ 应变能 （1）线弹性体
1. 基本变形形式【材料力学（Ⅰ）】 利用应变能 Vε 在数值上等于外力功W，可得
(a) 轴向拉（压）杆
4
Vε
W
1 2
FDl
FN2l 2EA
EA 2l
Dl 2
材料力学Ⅱ电子教案
第三章 能量方法
(b) 扭转
Vε
W
1 2
M
e
M e2l 2GIp
由结点A的平衡方程，得
F
FN 2sin
(3)
由于 为小角度，
所以 sin tan D
(4)
lLeabharlann 19材料力学Ⅱ电子教案
将（4）式代入（3）式，得
FN
Fl 2Δ
将（5）式代入（2）式，得
或写成
3
Δ
F
l
EA
F ( Δ)3 EA l
F 和D的关系如图b所示。
20
第三章 能量方法
2EA
材料力学(能量法)
弹性变形阶段
01
外力作用下，材料发生弹性变形，此时外力所做的功全部转化
为应变能储存于材料内部。
塑性变形阶段
02
当外力继续增加，材料进入塑性变形阶段，部分应变能转化为
热能散失到环境中。
断裂破坏阶段
03
当材料达到强度极限时发生断裂破坏，此时储存的应变能迅速
释放并转化为断裂表面的新表面能和其他形式的能量。
非圆截面扭转时的能量可以通过实验或数值模拟等方法进 行计算，以获得准确的能量值。
扭转变形过程中能量转化
弹性变形能
在扭转变形过程中，部分能量以弹性变形能的形式储存在材料中。 当外力去除后，这部分能量可以释放并使材料恢复原状。
塑性变形能
当扭转变形超过材料的弹性极限时，部分能量会以塑性变形能的形 式消耗在材料中。这部分能量不可逆转，导致材料产生永久变形。
压缩过程中能量变化
外力做功
在压缩过程中，外力对杆件做 功，使其产生压缩变形和位移 。外力做功的大小与外力的大 小和杆件的位移成正比。
内力耗能
杆件在压缩过程中，材料内部 会产生应力和应变，从而消耗 能量。内力耗能的大小与材料 的应力-应变关系有关。
弹性势能
杆件在压缩过程中，由于材料 的弹性变形，会储存一定的弹 性势能。弹性势能的大小与材 料的弹性模量和变形量有关。
结构稳定性分析方法
能量准则
通过比较结构失稳前后的能量变 化，判断结构的稳定性。若失稳 后能量降低，则结构不稳定。
平衡路径跟踪法
通过逐步增加荷载或位移，跟踪 结构的平衡路径，观察结构从稳 定到不稳定的转变过程。
特征值分析法
基于结构刚度矩阵和质量矩阵， 求解特征值和特征向量，分析结 构的振动特性和稳定性。
材料力学第27讲 Chapter3-2第三章 能量法(卡氏定理)
1
Ax
450
2
l2
l1 Ay
变形协调关系
Ax l1; A ysin4 5 0 A xco s4 5 0 l2
450
V
FN21l1 FN22l2 2EA 2EA
E2lA1 l12 E2lA2 l22
l FNl EA
E 2 lA 1 A x2 E 2 lA 2 A ysin 4 5 0 A xc o s4 5 02
变能V数值上等于余能Vc，则余能定理此时可改写为： Nhomakorabeai
V
(F1,F2 Fi
Fn)
卡氏第二定理
卡氏第二定理只适用于线性弹性情况。
19
例2 求简支梁中点作用集中力F作用时中点处的挠度。
（梁的弯曲刚度为EI，长为l）。
EI
F
A
C
l
2
l
解: 先求应变能
B
V
l M 2(x) d x 2
l 2
(
F 2
x)2 dx
Fn
1 2 i
n
图示梁（材料为线性，也可为非线性）
作用n个集中载荷Fi (i=1,2…n)，
相应位移为i (i=1, 2…n)
5
F1 F2 Fi
Fn
1 2 i
n
梁内的应变能： V W
n
i 0
fid i
i 1
可见，最终梁内的应变能应是关于i (i=1,2…n)的函数，即
V V (1,2 n)
15
F1 F2 Fi
Fn
1 2 i 梁内的余能：Vc Wc
n
n
F i
0
id
fi
i 1
可见，最终梁内的余能应是关于Fi (i=1,2…n)的函数，即
材料力学卡式定理
材料力学卡式定理力学卡式定理是朗格朗日动力学的核心定理之一，它建立了广义坐标和广义速度与系统的拉格朗日函数之间的关系。
力学卡式定理提供了一种便捷的方法来描述物体在运动中所受到的力和受力对象之间的相互关系。
力学卡式定理最初是由拉格朗日(lagrange)在18世纪中叶提出的。
他认为，任何一个力学系统都可以通过选取适当的广义坐标来描述。
广义坐标是描述物体位置和状态的参数，例如物体的位置、速度、角度等。
拉格朗日将系统的动能和势能表示为广义速度和广义坐标的函数，他提出了一个形式简洁的拉格朗日方程：d/dt (∂L/∂q') - ∂L/∂q = Q其中，L是系统的拉格朗日函数，q和q'分别是广义坐标和广义速度，Q表示外力，d/dt表示对时间的导数。
这个方程就是力学卡式定理的数学表达形式。
根据这个方程，可以得到系统的运动方程。
力学卡式定理的重要性在于，它从整体的角度描述了物体的运动，将动能和势能作为系统的性质进行分析，并通过广义坐标和广义速度的选择，实现了对系统的普遍描述。
拉格朗日函数能够统一描述刚体、弹性体和流体等多种物体的力学行为，从而使得力学分析变得更加简洁和系统化。
以一个简单的弹簧振子为例，来说明力学卡式定理的应用。
假设一个弹簧振子由一个质量为m的物体和一个劲度系数为k的弹簧组成。
我们可以选择物体的位置和速度作为广义坐标和广义速度，那么系统的拉格朗日函数可以表示为：L = T - V = (1/2)m(q')^2 - (1/2)kq^2其中，T表示动能，V表示势能。
根据力学卡式定理，我们可以得到运动方程：d/dt (∂L/∂q') - ∂L/∂q = 0化简后可以得到：m(q'') + kq = 0这个方程就是弹簧振子的运动方程。
从这个简单的例子中可以看出，力学卡式定理提供了一种简洁的描述物体运动的方法，并能够方便地得到系统的运动方程。
力学卡式定理在物理学中的应用非常广泛。
材料力学第26讲 Chapter3-1第三章 能量法(应变能 余能)
i
Ti 2li 2Gi I pi
变截面直杆
V
l
T2
dx
0 2G(x)I p (x)
变截面且变外力直杆
V
l T (x)2 dx
0 2G(x)I p (x)
11
3. 弯曲变形杆件应变能的计算
W
1 2
M e
l Mel
W M e2l 2EI
Me
EI
W V
V
M e2l 2EI
Me W
O
12
V W
7
一、 线弹性问题
1. 轴向拉压杆件应变能的计算
W 1 Fl
2
l Fl
W F 2l 2EA
F
EA
W＝V 功能原理
V
EAl 2
2l
F 2l V 2EA
O
F
l
F W
l l
8
其它情形轴向拉压变形时杆件应变能的计算
分段直杆 变截面直杆
V
i
FNi 2li 2Ei Ai
V
l
FN2
dx
BA
EA1 lBC EA1
A2 , E, l
C
解法二：
将力作用到B点， 求A点的位移
A
lAC lBC
B
lAC lBC
Fl EA1
29
二、非线性弹性问题
应变能的计算（利用计算功的形式）：
V W
1 Pd
0
P－广义力（力，力偶）
－广义位移（线位移，角位移）
30
1. 几何非线性问题
P
P
P1 W
O
其它情形弯曲变形时杆件应变能的计算
分段直杆
《材料力学(II)》第三章能量法
vc
1 d
0
余功与外力功
W 1 Fd 之和等于矩形面积 0
F11
F
F
曲线与纵 F1
dF
轴围成的
F
面积
11
o
1
材料力学Ⅱ电子教案
第三章 能量法
例题 图示等截面悬臂梁，E, I, A已知。在自由端受集中力F 和集中力偶M作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。 考虑两种不同的加载次序，略去剪力的影响.
第三章 能量法
例题 线弹性材料悬臂梁，受力如图所示，若F、EI、l等
均为已知，试用卡氏第二定理求： 1.加力点A处的挠度； 2.梁中点B处的挠度。
解：
F
x
1.加力点A处的挠度 C
B
l/2
l/2
A
弯矩： M Fx
Vε
M2 dx
l 2EI
F2 2EI
l 0
x 2dx
F 2l3 6EI
wA
Vε F
卡氏第二定理
i
V Fi
——卡氏第二定理
线弹性范围内，杆件的应变能对于杆件上某
一荷载的变化率，就等于与该荷载相应的位移。
28
材料力学Ⅱ电子教案
第三章 能量法
III. 卡氏第一定理和余(Δ1, Δ2 ,, Δi ,, Δn ) Vc f (F1, F2 ,, Fi ,, Fn )
(1 2
Δ12
Δ1 Δ2
1 2
Δ22 )
由卡氏第一定理，得
AB Δ1
Vε EA ( 4 Δ1 2l 2
2 Δ1
2 2
Δ2 )
0
BC
2 2
(1
2
)
Vε Δ2
材料力学_能量法_课件
拉压杆
E
u
1 0
1 2 d E1 2 2E
2 1
扭转杆
G
u
1
0
1 1 2 d G 1 2 2G
2
例 题： 水平杆系如图所示 ，两杆的长度均为 l,横截面面积
为A，弹性模量为E，且均为线弹性。试计算在P1作用下的
应变能。
l
2
2
（3）弯曲梁内的变形能（略去剪力的影响）
1 M l l M ( x )dx U m 0 2 2EI 2EI
（4）组合变形的变形能
N ( x )dx T ( x )dx M ( x )dx U l l l 2 EA 2GI p 2 EI
2 2 2
2
2
2、非线性弹性体，通过 比能 求应变能
1 1
d
3
1 P1d 1 4
二. 余能 1、非线性弹性 材料（拉杆）
P
P1
1
O
P
1
O
ε1
ε
P
P1
dP
P
P1
O
1
Δ1 Δ dP + 0 PdΔ 0
=矩形面积
余功公式
P1 W C 0 Δ dP
P
P1
dP
P
O
1
余能公式
UC W C 0 Δ dP
P1
UC V ucdV
§3.1
概述
可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将作功。 对于弹性体，外力在相应位移上作的功，在数值上就等于
积蓄在物体内的应变能。
U=W
能量方法 ： 利用功能原理 U = W 来求解可变形固体 的位移、变形和内力等的方法。
材料力学能量法最经典解析PPT课件
能量法——利用定理求变形
极坐标方程是给一 个角度能够确定一 个挠度。因此该问 题是求任意位置角 的径向变形。
注意2个角度φ和θ的意义。 Φ用于表 示力F作用下任意位置上的弯矩。而θ 是用于表示任意位置的挠度，单位力 作用的位置。摩尔积分应该是对Φ积 分。 Φ在0到360度变化。
能量法——利用定理求变形
能量法——其他
超静定——与拉压杆相关
每根杆都沿杆的方 向线变形，后旋转 到变形后的位置。 变形用作垂线代替。
超静定——与拉压杆相关
此处注意CD杆
变形转换后是 BC杆变形的一 半。
超静定——与拉压杆相关
超静定——与拉压杆相关
广义胡克定律的应用。 每一点的应力状态为
p p
超静定——弯扭相关
此题仍然是有两个变 量，x是所求任意截面 的挠度值，而ξ是任意 截面的弯矩值，摩尔 积分是对ξ积分。
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
此类题目重点是分析圆盘 及2根杆的受力情况及变 形情况。
超静定——弯扭相关
该表达式上课过 程中没有出现过， 但是很容易推导 出来。
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
此题目的重点是分析的方法和思路。由弹簧变 形与力和力矩之间的关系找到变形协调方程求 解超静定问题。
能量法——利用力做功求变形
能量法——利用力做功求变形
应力已知，计算应变能从而得到外力 功，最终获得力作用下的变形。
能量法——利用力做功求变形
能量法——利用力做功求变形
能量法——互等定理
该表达式上课过 程中没有出现过， 但是很容易推导 出来。积分求得 挠曲线后可得到 弯矩方程，进而 计算应变能。
第3章 能量法
2 2 2
F Δ1
A
B
B
45
´
C
（a）
F
A
B
Δ2
B´´
C
（b）
目录
AB 1， BC 1 cos 45
2 2
1
AB 0， BC 2 sin 45
F1
A c os
(n1)
余能为：
Vc
（c 2 Al）
2 Al
K
n
(n
1)
F1
2 A cos
(n1)
(2 A)n
l K n (n
1)
F1
c os
(n1)
目录
讨论:
F1 F2
W W1 W2
F1
？
W1
F2
W2
变形能的计算不能用叠加原理。
应变能一般不能叠加，只有一种载荷在另一 种载荷引起的变形上不作功才可叠加计算。 如
M(x)
M(x)
FN ( x)
T ( x)
T ( x)
FN ( x)
轴力、扭矩和弯矩各自的变形不同, 相互不做 功,应变能可相互叠加（略掉剪力的影响）
V
L
FN 2 ( x)dx 2EA
L
M 2 (x)dx 2EI
T 2 (x)dx L 2GIP
§3.3 卡氏定理
I、卡氏第一定理
图示梁上同时作用有n 个荷载，它们按同一比例由 零开始增至F1，F2，…，Fn。
l 2EI 8EI
l (lx x2 )2 dx q2l 5
0
240EI
目录
II、余 能
余功——以力作为积分变量。
Wc
dWc
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V(s)
ds M2(s) 2EI
曲线坐标形式
3 PR3
2 EI
V(
)
Rd M2() 2EI
极坐标形式
34
解：（2）求水平位移
M
施加一水平力F
A
M () P ( R R c o s) F R s in
R
BF
Bx
V F
F 0
0
M()
EI
M() F
Rd
F 0
P
E 1 I
[ P R (1 c o s)]R s inR d
l FNl EA
E 2 lA 1 A x2 E 2 lA 2 A ysin 4 5 0 A xc o s4 5 02
12
V E 2 lA 1 A x2 E 2 lA 2 A ys in 4 5 0 A xc o s4 5 02
1 EA,l
450
A
由卡氏第一定理得
V 0; (Ax )
因为只有第i个载荷相应的位移有一微小增量di，其余载荷相 应的位移保持不变，则外力功的变化可写作：
dWFi di
7
功能原理
dV V(1 , i2 n)di
dWFi di
Fi
V(1,2 i
n)
卡氏第一定理
弹性杆件的应变能对于杆件上某一位移的变化率，等于该
位移相应的荷载。
卡氏定理适用于一切受力状态下的弹性杆件。 卡氏定理对非线性弹性杆件也适用。
x
M
2 AB
(
y)dy
l
M
2 BC
( y)dy
0 2EI
x 2EI
(x y)
0
f ( x) V
xMAB(y)MAB(y)dy l MBC(y)MBC(y)dy
F F 0 0 EI
F
x EI
F
36
M A B (y ) P ( L y ) F ( x y )
M A B ( x ) (x y)
V P (Ay )
2
EA
P
E l1 A A x E l2 A A ys in 4 5 0 A xc o s 4 5 0( c o s 4 5 0 ) 0 E l2 A A ysin4 5 0 A xco s4 5 0(sin4 5 0)P l2 2l1 2l
13
E l1 A A x E l2 A A ys in 4 5 0 A xc o s 4 5 0( c o s 4 5 0 ) 0
dx dx dx 2a ( Fx)2 0 2 EI
a (F 2a)2 0 2 EI
2a ( Fx)2 0 2 EI
28
V
d x dx d x a ( F x ) 2
0 2EI
a (Fa )2 0 2 EI
a (Fx)2 0 2EI
dx dx dx 2a ( Fx)2 0 2 EI
l [(FxM)]2 dx
0 2EI
0 2EI
接下来先完成求导工作， 不要去做积分！
V
l (FxM)1dx
下面先完成M＝0的代入，
M M 0 0 EI
M 0 进而完成积分！
l F x d x
0 EI
F l2 2EI
22
若假想在自由端作用一力矩M的方 向与前面相反，结果将有何变化？
先求导
代入F＝0
（与前同）
26
例5 求图示结构AB间的相对位移（各杆的弯曲刚度为EI）。
aF B
2a
A
a
F
F
aF B
2a
A
a
F
F
V ？
AB
V F
27
aF B
1A
a2
F
F
3
2a
4
5
6
F
V
d x dx d x a ( F x ) 2
0 2EI
a (Fa )2 0 2 EI
a (Fx)2 0 2EI
转角。（梁的弯曲刚度为EI，长为l）。
解(1)： 求挠度
F
l
V
l M 2(x) dx
l (Fx)2 dx
F 2l3
0 2EI
0 2EI
6EI
x
O
wc
V F
F l3
3EI
21
F
解(2)： 求转角 V
l
M
M
假想在自由端作用一力矩M
x
O
V M M 0
V
lM
2 (x)dx
F
f ( x ) xMAB(y)MAB(y)dy
0 EI
F
F 0
x
E 1 I
[ P (L y)] [ (xy)]d y
0
E P I
x[y2(Lx)yLx]dy
0
P EI
x3
3
(Lx)x2
2
Lx2
Px2 6EI
(3L
x)
37
作业 P94：3-7(b); 3-8(a,b) （第二册） P95： 3-9(a)
下次课讲用能量法解超静定系统
38
R
A
B
P
33
解： （1）求竖直位移
M
曲杆的内力： FN , Fs , M
FN()Pcos
A
R
F
s
FN B
Fs()Psin
P
M () P (R R c o s)By
V P
0
M()
EI
M() P
Rd
直杆：
V
dx M2(x) 2EI
E 1 I
P [R (1cos
)]2R d
0
() 曲杆：
dWc i dFi
17
dVcVc(F1 ,F Fi2 Fn)dFi
dWc i dFi
弹i性杆V 件c的(F余1,F F 能i2对于Fn杆)件上某一载余荷能的定变化理率，等于该荷
载相应的位移。
余能定理适用于一切受力状态下的弹性杆件。
余能定理对非线性弹性杆件也适用。
18
i
Vc(F1,F2 Fi
Fn)
a (F 2a)2 0 2 EI
2a ( Fx)2 0 2 EI
AB
V F
a
0
Fx EI
xdx
a
0
Fa EI
adx
a
0
Fx EI
xdx
2a
0
Fx EI
xdx
a 0
F 2a EI
2adx
2a
0
Fx EI
xdx
AB
F EI
(
a3 3
a3
) a
3
8a3
4 a 3
8a3
33
3
11Fa3 EI
E l2 A A ysin4 5 0 A xco s4 5 0(sin4 5 0)P Ay (2 21)Ax
l11Ax21l2 AyAx 0
Ax212 AyAx 0
1
l2
Ay Ax
2P EA
Ay
Ax
2
2Pl EA
l2 2l1 2l
Ax
Pl EA
,
Ay (2
21) Pl EA
与解法一结果相同
材料力学 II
(2)
Energy Method—Part 2
第廿七讲
1
内容
1. 应变能和余能的计算 2. 卡氏定理 3. 用能量法解超静定系统 4. 虚位移原理及单位力法
2
线弹性问题应变能的普遍表达式
V LF 2 N E 2(A x)dxLT 2 G 2(Ix P )dxLM 22 E (Ix)dx
Ay 2l2Ax 2l2 l1
Ay
2
21Pl EA
()
11
解(2): 用卡氏第一定理
关键： V V(Ax,Ay)
1
Ax
450
2
l2
l1 Ay
变形协调关系
Ax l1; A ysin4 5 0 A xco s4 5 0 l2
450
V
FN21l1 FN22l2 2EA 2EA
E2lA1 l12 E2lA2 l22
29
例6 求铰B两侧截面的相对转角（各杆的弯曲刚度为EI）。
q MM
E I ,l
B
E I ,l
解：在铰B处施加一对力矩MB，则
B
V M
M 0
30
qM
q MM
xO
A EI,l
B A EI,l
B
E I ,l
C
Ml
xO
M AB (x)
M l
x
M
1 2
qx
2
V
l
M
2 AB
( x )dx
l
M
2 BC
fid i
i 1
可见，最终梁内的应变能应是关于i (i=1,2…n)的函数，即
V V (1 , 2 n)
第i个载荷的f－变化曲线
fi Fi
O
i
i
6
F1 F2 Fi
Fn
1 2 i di n
若与第i个载荷相应的位移有一微小增量di，则梁内应变能的
变化dV应写作： dV V(1 , i2 n)di
14
II. 卡氏第二定理
F1 F2 Fi
Fn
1 2 i
n
图示梁（材料为线性，也可为非线性）
作用n个集中载荷Fi (i=1,2…n)，相应位移为i (i=1,2…n)，
15
F1 F2 Fi
Fn