材料力学第27讲 Chapter3-2第三章 能量法(卡氏定理)

14
II. 卡氏第二定理
F1 F2 Fi
Fn
1 2 i
n
图示梁（材料为线性，也可为非线性）
作用n个集中载荷Fi (i=1,2…n)，相应位移为i (i=1,2…n)，
15
F1 F2 Fi
Fn
1 2 i 梁内的余能：Vc Wc
n
n
F i
0
id
fi
i 1
可见，最终梁内的余能应是关于Fi (i=1,2…n)的函数，即
dWc i dFi
17
dVcVc(F1 ,F Fi2 Fn)dFi
dWc i dFi
弹i性杆V 件c的(F余1,F F 能i2对于Fn杆)件上某一载余荷能的定变化理率，等于该荷
载相应的位移。
余能定理适用于一切受力状态下的弹性杆件。
余能定理对非线性弹性杆件也适用。
18
i
Vc(F1,F2 Fi
Fn)
fid i
i 1
可见，最终梁内的应变能应是关于i (i=1,2…n)的函数，即
V V (1 , 2 n)
第i个载荷的f－变化曲线
fi Fi
O
i
i
6
F1 F2 Fi
Fn
1 2 i di n
若与第i个载荷相应的位移有一微小增量di，则梁内应变能的
变化dV应写作： dV V(1 , i2 n)di
材料力学 II
(2)
Energy Method—Part 2
第廿七讲
1
内容
1. 应变能和余能的计算 2. 卡氏定理 3. 用能量法解超静定系统 4. 虚位移原理及单位力法
2
线弹性问题应变能的普遍表达式
V LF 2 N E 2(A x)dxLT 2 G 2(Ix P )dxLM 22 E (Ix)dx
x
M
2 AB
(
y)dy
l
M
2 BC
( y)dy
0 2EI
x 2EI
(x y)
0
f ( x) V
xMAB(y)MAB(y)dy l MBC(y)MBC(y)dy
F F 0 0 EI
F
x EI
F
36
M A B (y ) P ( L y ) F ( x y )
M A B ( x ) (x y)
FN2
2 EA P
FN2 2P(压)
l1
Pl EA
(+)
l2
2P 2l 2Pl(-) EA EA
10
1
Ax
450
2
l2
l1 Ay
450
变形协调关系的建立
Ax
l1
Pl EA
()
A ysin4 5 0 A xco s4 5 0 l2 A y ( l2 A xc o s4 5 0 )s in 4 5 0
0
P E R I3
(sin sinc o s)]d
0
2PR3
EI
()
35
例8 用卡氏定理求梁的挠曲线。
解：求挠曲线——任意点的挠度 f（x）
A
F
B
P
C
没有与f(x)相对应的力，加之。
M B C(y)P (Ly)
M A B (y ) P (L y ) F (x y )
x
yL
V
下次课讲用能量法解超静定系统
38
V(s)
ds M2(s) 2EI
曲线坐标形式
3 PR3
2 EI
V(
)
Rd M2() 2EI
极坐标形式
34
解：（2）求水平位移
M
施加一水平力F
A
M () P ( R R c o s) F R s in
R
BF
Bx
V F
F 0
0
M()
EI
M() F
Rd
F 0
P
E 1 I
[ P R (1 c o s)]R s inR d
V c V c(F 1 ,F 2 F n)
第i个载荷的f－变化曲线
fi Fi
O
i
i
16
F 1 F 2 F i dFi F n
1 2 i
n
若第i个载荷有一微小增量dFi，则梁内余能的变化量dVc应写 作：
dVcVc(F1 ,F Fi2 Fn)dFi
因为只有第i个载荷有一微小改变量dFi，其余载荷均保持不变， 则外力总余功的变化可写作：
E l2 A A ysin4 5 0 A xco s4 5 0(sin4 5 0)P Ay (2 21)Ax
l11Ax21l2 AyAx 0
Ax212 AyAx 0
1
l2
Ay Ax
2P EA
Ay
Ax
2
2Pl EA
l2 2l1 2l
Ax
Pl EA
,
Ay (2
21) Pl EA
与解法一结果相同
dx dx dx 2a ( Fx)2 0 2 EI
a (F 2a)2 0 2 EI
2a ( Fx)2 0 2 EI
28
V
d x dx d x a ( F x ) 2
0 2EI
a (Fa )2 0 2 EI
a (Fx)2 0 2EI
dx dx dx 2a ( Fx)2 0 2 EI
a (F 2a)2 0 2 EI
2a ( Fx)2 0 2 EI
AB
V F
a
0
Fx EI
xdx
a
0
Fa EI
adx
a
0
Fx EI
xdx
2a
0
Fx EI
xdx
a 0
F 2a EI
2adx
2a
0
Fx EI
xdx
AB
F EI
(
a3 3
a3
) a
3
8a3
4 a 3
8a3
33
3
11Fa3 EI
先求导
代入F＝0
（与前同）
26
例5 求图示结构AB间的相对位移（各杆的弯曲刚度为EI）。
aF B
2a
A
a
F
F
aF B
2a
A
a
F
F
V ？
AB
V F
27
aF B
1A
a2
F
F
3
2a
4
5
6
F
V
d x dx d x a ( F x ) 2
0 2EI
a (Fa )2 0 2 EI
a (Fx)2 0 2EI
F
f ( x ) xMAB(y)MAB(y)dy
0 EI
F
F 0
x
E 1 I
[ P (L y)] [ (xy)]d y
0
E P I
x[y2(Lx)yLx]dy
0
P EI
x3
3
(Lx)x2
2
Lx2
Px2 6EI
(3L
x)
37
作业 P94：3-7(b); 3-8(a,b) （第二册） P95： 3-9(a)
l sFs (x)2 dx
0 2G(x)A(x)
s --为修正因素，与截面形状有关（见P. 86）
矩 形 截 面 ： s=65
实 心 圆 形 截 面 ： s= 1 09
薄 壁 圆 环 形 截 面 ： s= 2 .0
3
F1 F2 Fi
Fn
1 2 i
n
梁内的应变能： V W
n
i 0
余能定理
F i : 广义力：一个力、 一个力偶、 一对力、 一对力(偶)
i : 广义位移：线位移、 角位移、 相对线位移、 相对角位移
对于线弹性杆件或杆系，由于力与位移成正比，杆内的应
变能V数值上等于余能Vc，则余能定理此时可改写为：
i
V(F1,F2 Fi
Fn)
卡氏第二定理
卡氏第二定理只适用于线性弹性情况。
F i : 广义力：一个力、 一个力偶、 一对力、 一对力(偶)
i : 广义位移：线位移、 角位移、 相对线位移、 相对角位移
8
例1：求图示结构结点A的垂直位移和水平位移。 1 EA,l
A
450 2
EA P
9
解(1): 以前方法
先求两杆的内力，将力直 接分解
FN1 P(拉)
1 EA,l
FN1
450
l [(FxM)]2 dx
0 2EI
0 2EI
接下来先完成求导工作， 不要去做积分！
V
l (FxM)1dx
下面先完成M＝0的代入，
M M 0 0 EI
M 0 进而完成积分！
l F x d x
0 EI
F l2 2EI
22
若假想在自由端作用一力矩M的方 向与前面相反，结果将有何变化？
Ay 2l2Ax 2l2 l1
Ay
2
21Pl EA
()
11
解(2): 用卡氏第一定理
关键： V V(Ax,Ay)
1
Ax
450
2
l2
l1 Ay
变形协调关系
Ax l1; A ysin4 5 0 A xco s4 5 0 l2
450
V
FN21l1 FN22l2 2EA 2EA
E2lA1 l12 E2lA2 l22
转角。（梁的弯曲刚度为EI，长为l）。
解(1)： 求挠度
F
l
V
l M 2(x) dx
l (Fx)2 dx
F 2l3
0 2EI
0 2EI
6EI
x
O
wc
V F
F l3
3EI
21
F
解(2)： 求转角 V
l
M
M
假想在自由端作用一力矩M
x
O
V M M 0
V
lM
2 (x)dx
V P (Ay )
2
EA
P
E l1 A A x E l2 A A ys in 4 5 0 A xc o s 4 5 0( c o s 4 5 0 ) 0 E l2 A A ysin4 5 0 A xco s4 5 0(sin4 5 0)P l2 2l1 2l
13
E l1 A A x E l2 A A ys in 4 5 0 A xc o s 4 5 0( c o s 4 5 0 ) 0
(
x)dx
0 2EI
0 2EI
Ml
M BC (x)
M l
x
V
M
l MAB(x)MAB(x)dx l MBC(x)MBC(x)dx
0 EI
M
0 EI
M
31
M
AB ( x)
M l
x
M
1 2
qx2
M BC (x)
M l
x
MAB(x) M
(1xl )
MBC(x)
x
M
l
V
M
l MAB(x)MAB(x)dx l MBC(x)MBC(x)dx
2EA
Ay
V P
(2 2 1) Pl EA
（与前面结果相同）
25
解:
求水平方向位移
Ax
V F
F 0
两杆的内力
FN1 P F , FN2 2P
1 EA,l A F
450 2
EA P
V
(P F )2l 2EA
(
2P)2 2l 2EA
Ax
V F
(P F )l F 0 EA
0
F 0
Pl EA
0 EI
M
0 EI
M
B
V M
E 1I
0 l(1 2qx2)[(1x l)]dx
1 EI
M 0
l
0 0( xl )dx
q 2EI
l (x2
0
x3 l
)dx
q 2EI
(l3 3
l3 4
)
7 ql3 24 EI
32
例7 求图示曲杆B点的水平位移、铅直位移及相对转角 （不计轴力及剪力对位移的影响）。
29
例6 求铰B两侧截面的相对转角（各杆的弯曲刚度为EI）。
q MM
E I ,l
B
E I ,l
解：在铰B处施加一对力矩MB，则
B
V M
M 0
30
qM
q MM
xO
A EI,l
B A EI,l
B
E I ,l
C
Ml
xO
M AB (x)
M l
x
M
1 2
qx
2
V
l
M
2 AB
( x )dx
l
M
2 BC
Pl EA
Ay (2
21) Pl EA
1 EA,l A
450 2
EA P
24
应用卡氏第二定理进行求解
1 EA,l
FN1
解: 先求竖直方向位移
两杆的内力（将力直接分解）
450
FN2
2 EA P
FN1 P(拉); FN2 2P(压)
V
P 2l 2EA
(
2 P )2 2l (2 2 1) P2l
2EA
因为只有第i个载荷相应的位移有一微小增量di，其余载荷相 应的位移保持不变，则外力功的变化可写作：
dWFi di
7
功能原理
dV V(1 , i2 n)di
dWFi di
Fi
V(1,2 i
n)
卡氏第一定理
弹性杆件的应变能对于杆件上某一位移的变化率，等于该
位移相应的荷载。
卡氏定理适用于一切受力状态下的弹性杆件。 卡氏定理对非线性弹性杆件也适用。
19
例2 求简支梁中点作用集中力F作用时中点处的挠度。
（梁的弯曲刚度为EI，长为l）。
EI
F
A
C
l
2
l
解: 先求应变能
B
V
l M 2(x) d x 2
l 2
(
F 2
x)2 dx
0 2EI
0 2EI
V
F 2l3 96EI
O
x
wc
V F
F l3 48EI
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
20
例3 求悬臂梁自由端作用集中力F时自由端处的挠度和
F M
l
V
l M 2 (x)dx
l (M Fx)2 dx
0 2EI
0 2EI
x
O
V
M
l (MFx)1dx M 0 0 EI
l Fx dx
F l2
M 0
0 EI
2EI
“负号”说明 与所加广义力M反向
23
例4：求图示结构结点A的垂直位移和水平位移。
卡氏第一定理的求解结果
Ax
R
A
B
P
33
解： （1）求竖直位移
M
曲杆的内力： FN , Fs , M
FN()Pcos
A
R
F
s
FN B
Fs()Psin
P
M () P (R R c o s)By
V P
0
M()
EI
M() P
Rd
直杆：
V
dx M2(x) 2EI
E 1 I
P [R (1cos
)]2R d
0
() 曲杆：
l FNl EA
E 2 lA 1 A x2 E 2 lA 2 A ysin 4 5 0 A xc o s4 5 02
12
V E 2 lA 1 A x2 E 2 lA 2 A ys in 4 5 0 A xc o s4 5 02
1 EA,l
450
A
由卡氏第一定理得
V 0; (Ax )