薄板的小挠度弯曲问题
薄板的小挠度弯曲问题
名称
圆形薄板的小挠度弯曲问题
轴对称弯曲问题
说明
固定边界
位移边界条件
简支边界
混合边界条件
自由边界
静力边界条件
圆形薄板的轴对称弯曲问题，其挠度函数的通解即内力表达式如表2所示。其中， 为特解，
由板面荷载来确定。
表3.圆形薄板的轴对称弯曲问题的解答
名称
表 达 式
挠 度
内 力
对于有孔板，则可由内外各两个边界条件确定挠度表达式的 ；对于无孔边，则可由板中心处的挠度和内力为有限值得条件，得出 ，再由边界条件确定 和 。但需指出的是，在某些特殊情况下（例如，板面上作用有集中力或者板面上有约束），为了求得问题的解答，可以对内力进行放松，即 。
所示。根据板的厚度，可以将板分为：
（1）厚板：板厚 与板面内的最小特征尺寸
之比大于 ，即 ,且厚板
三个方向的几何尺寸接近于同阶大小。这类
班一般须按弹性力学空间问题来处理。
（2）薄板：板厚 与板面内的最小特征尺
寸 之比在 和 之间，即
。这类板的抗弯刚度较大，
当受到一定大小的横向荷载作用时，薄板图1
将会产生弯曲变形，其挠度 比板厚 要小，最大挠度 ,可认为属于小挠度问题，否则属于大挠度问题。
或者有角点条件
式中： 为支座上端的沉陷。
如图4所示为以正方向标示于矩形薄板中面上的
总剪力、角点反力以及弯矩（以矩矢表示，右手
螺旋，双箭头为大拇指方向，其余四指的绕向即
为弯矩作用的方向），但表明其增量。
圆形薄板的小挠度弯曲问题
对于圆形、扇形、圆环形等形状的薄板，采用
极坐标求解往往比较方便。圆形薄板弯曲问题的基
正，如图2中所示。图2
(整理)第6章弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理(16K)
第6章 弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度t 不大于板中面最小尺寸的5/1时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。
薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为板的挠度。
薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大的困难。
1850年，G.R.基尔霍夫（Kirchhoff Gustav Robert ，基尔霍夫 古斯塔夫·罗伯特，德国物理学家，1824-1887年）除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。
这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平行的各面上的正应力z σ与应力x σ,y σ和xy τ相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。
用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。
当板的形状和边界条件较复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的一个重要途径。
本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。
§6.1 基本方程与边界条件回顾取坐标平面oxy 与中面重合，z 轴垂直于中面，x ,y 和z 轴构成一个右手直角笛卡儿坐标系。
变形后的板内各点沿x ,y 和z 轴方向的位移分别用u ,v 和w 表示。
由Kirchhoff 假设，可以得到xwzz y x u ∂∂-=),,(，y w z z y x v ∂∂-=),,(，),(),,(y x w z y x w = （6-1）并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为22x w z x ∂∂-=ε，22ywz y ∂∂-=ε，y x w z xy ∂∂∂-=γ22 （6-2）其余3个应变分量z ε,xz γ和yz γ根据假设都等于零，即0=εz ，0=γxz ，0=γyz （6-3）由薄板的平衡关系，可以确定板的横向分布载荷),(y x q 与剪力x Q ,y Q 以及弯矩x M ,y M 和扭矩xy M （x M ,y M ,xy M 统称为内力矩）与x Q ,y Q 之间的关系式。
第五章弹性薄板小挠度弯曲问题的变分原理(16K)
第五章 弹性薄板小挠度弯曲问题的变分原理平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度t 不大于板中面最小尺寸的5/1时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。
薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为板的挠度。
薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大的困难。
1850年，G .R.Kirchhoff 除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。
这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平行的各面上的正应力z σ与应力x σ,y σ和xy τ相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。
用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。
当板的形状和边界条件较复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的一个重要途径。
本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。
§5.1 基本方程与边界条件回顾取坐标平面oxy 与中面重合，z 轴垂直于中面，x ,y 和z 轴构成一个右手直角笛卡儿坐标系。
变形后的板内各点沿x ,y 和z 轴方向的位移分别用u ,v 和w 表示。
由Kirchhoff 假设，可以得到x w zz y x u ∂∂-=),,(，yw z z y x v ∂∂-=),,(，),(),,(y x w z y x w = （5-1） 并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为22x w z x ∂∂-=ε，22ywz y ∂∂-=ε，y x w z xy ∂∂∂-=γ22 （5-2）其余3个应变分量z ε,xz γ和yz γ根据假设都等于零，即0=εz ，0=γxz ，0=γyz （5-3）由薄板的平衡关系，可以确定板的横向分布载荷),(y x q 与剪力x Q ,y Q 以及弯矩x M ,y M 和扭矩xy M （x M ,y M ,xy M 统称为内力矩）与x Q ,y Q 之间的关系式。
第十四讲 薄板小挠度弯曲(一)汇总
第十四讲 薄板小挠度弯曲理论（一）概念和假定薄板：板的厚度远小于中面最小尺寸的板。
荷载纵向荷载：作用在板中面以内的荷载，可以认为沿板的厚度均布，按平面应力计算。
横向荷载：使薄板弯曲，按薄板弯曲问题计算。
中面弯曲所形成的曲面称为薄板的 弹性曲面，中面内各点的横向位移 称为挠度。
薄板弯曲的基本假设（基尔霍夫假设）（1）垂直于中面方向的正应变εz 可以不计，由∂w /∂z = 0得到 w = w (x , y )板厚度内各点具有相同的挠度。
放弃物理方程：)]([1y x z z Eσσμσε+-= 目地：允许σz -μ(σx +σy ) ≠ 0（2）应力分量τxz 、τyz 、σz 远小于其余三个应力分量，它们所引起的应变可以不计（它们本身是平衡所需，不能不计），即认为γxz = γyz = 0（一般，薄板弯曲问题中，τxz 、τyz 是次要应力，σz 则为更次要应力） 0=∂∂+∂∂x w z u ，xwz u ∂∂-=∂∂0=∂∂+∂∂y w z v ，yw z v ∂∂-=∂∂x放弃物理方程：xz xz E τμγ)1(2+=，yz yz Eτμγ)1(2+= 即：允许γxz 和γyz 等于零，但τxz 和τyz 不为零。
只有三个物理方程)(1y x x E μσσε-=)(1x y y Eμσσε-=xy xy Eτμγ)1(2+=与平面应力问题相同。
（3）薄板中各点都没有平行于中面的位移，(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0，因此，(εx )z = 0 = 0，(εy )z = 0 = 0，(γxy )z = 0 = 0 薄板弯曲后，在xy 平面的投影形状不变。
弹性曲面微分方程按位移求解，基本未知量为挠度w ，需将其它物理量用w 表示，由x w z u ∂∂-=∂∂，yw z v ∂∂-=∂∂ 积分得到：),(1y x f z x w u +∂∂-=，),(2y x f z ywv +∂∂-= 由：(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0得到：f 1(x , y ) = f 2(x , y ) = 0，因此 z x w u ∂∂-=，z yw v ∂∂-= 则： z x w x u x 22∂∂-=∂∂=ε，z y w y v y 22∂∂-=∂∂=ε，z yx wx v y u xy ∂∂∂-=∂∂+∂∂=22γ将应力分量σx 、σy 、τxy 用w 表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=2222221)(1y w x w Ez E y x x μμμεεμσ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=2222221)(1x w y w Ez E x y y μμμεεμσ yx wEz E xy xy ∂∂∂+-=+=21)1(2μγμτ w 仅为x 、y 的函数，因此应力分量与z 成正比。
matlab求解变厚度薄板小挠度弯曲
matlab求解变厚度薄板小挠度弯曲变厚度薄板小挠度弯曲是材料力学中一个重要的问题。
本文将借助MATLAB进行求解，并从理论、建模、计算、分析和优化等方面进行全面探讨，旨在帮助读者深入了解该问题并指导实际工程应用。
首先，我们来介绍一下问题的背景和定义。
变厚度薄板小挠度弯曲指的是在较小应变范围内，薄板受外力作用而发生的弯曲变形。
该问题在航空航天、汽车工程、建筑结构等领域具有重要应用价值。
为了求解该问题，我们首先需要建立适当的数学模型。
在本文中，我们采用经典的薄板理论，即Kirchhoff-Love理论，假设薄板具有较大的宽度和长度，但厚度很小。
根据该理论，薄板在弯曲过程中的纵向位移可以用二维弯曲方程描述。
接下来，我们需要对薄板的边界条件进行分析和处理。
常见的边界条件有自由边界、固支边界以及边缘支持等情况。
根据实际问题的具体要求，我们可以在MATLAB中定义这些边界条件，并将其纳入模型中。
然后，我们利用MATLAB的数值计算能力来求解薄板的小挠度弯曲问题。
MATLAB提供了丰富的工具和函数，例如PDE工具箱和优化工具箱，可以高效地进行数值计算和求解。
我们可以通过离散化和微分方程求解方法，将变厚度薄板小挠度弯曲问题转化为一个数值求解问题，并利用MATLAB进行计算。
在得到数值解之后，我们需要对结果进行分析和评估。
通过使用MATLAB中的数据可视化工具，如绘图函数和动画函数，我们可以直观地观察薄板的变形情况，并分析不同参数对挠度的影响。
这将有助于我们深入理解薄板弯曲问题的本质，并为实际工程中的优化设计提供指导。
最后，我们可以通过MATLAB的优化工具箱来进一步优化薄板的设计。
通过设定目标函数和约束条件，我们可以使用MATLAB中的优化算法来寻找最佳的设计方案。
这将有助于我们在满足实际应用需求的前提下，提高薄板的性能和效率。
总之，本文通过MATLAB求解变厚度薄板小挠度弯曲问题，从理论、建模、计算、分析和优化等方面进行了全面讨论。
第12章薄板的小挠度弯曲问题
第12章薄板的⼩挠度弯曲问题第⼗⼆章薄板的⼩挠度弯曲问题知识点薄板的基本概念薄板的位移和应变分量薄板⼴义⼒薄板⼩挠度弯曲问题基本⽅程薄板⾃由边界条件的简化薄板的莱维解矩形简⽀薄板的挠度基尔霍夫假设薄板应⼒⼴义位移和薄板的平衡薄板的典型边界条件薄板⾃由边界⾓点边界条件挠度函数的分解⼀、内容介绍薄板是⼯程结构中的⼀种常⽤构件，它是由两个平⾏⾯和垂直于它们的柱⾯所围成的物体，⼏何特征是其⾼度远⼩于底⾯尺⼨，简称板。
薄板的弯曲变形属于弹性⼒学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要⾸先建⽴应⼒和变形分布的基本假设。
根据薄板的外载荷和⼏何特征，外⼒为横向载荷，厚度远⼩于薄板的平⾯宽度，可以忽略⼀些次要因素，引⼊⼀些基本变形假设，抽象建⽴薄板弯曲的⼒学模型。
薄板的⼩挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。
根据基尔霍夫假设，采⽤位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。
因此，⾸先将薄板的应⼒、应变和内⼒⽤挠度函数表达。
然后根据薄板单元体的平衡，建⽴挠度函数表达到平衡⽅程。
对于薄板问题，边界条件的处理和弹性⼒学平⾯等问题有所不同，典型形式有⼏何边界、混合边界和⾯⼒边界条件。
⼆、重点1、基尔霍夫假设；2、薄板的应⼒、⼴义⼒和⼴义位移；3、薄板⼩挠度弯曲问题的基本⽅程；4、薄板的典型边界条件及其简化。
§12.1 薄板的基本概念和基本假设学习要点:本节讨论薄板的基本概念和基本假设。
薄板主要⼏何特征是板的中⾯和厚度。
⾸先，根据⼏何尺⼨，定义薄板为0.5≤δ/b≥1/80，并且挠度⼩于厚度的五分之⼀，属于⼩挠度问题。
对于⼩挠度薄板，在横向载荷作⽤下，将主要产⽣弯曲变形。
根据薄板的外载荷和⼏何特征，外⼒为横向载荷，厚度远⼩于薄板的平⾯宽度，可以忽略⼀些次要因素，引⼊⼀些基本变形假设，抽象建⽴薄板弯曲的⼒学模型。
薄板的⼩挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫⾸先提出的，因此⼜称为基尔霍夫假设。
弹性薄板的小挠度弯曲课件
06
参考文献
参考文献
总结词：详细描述了弹性力学的基本 原理，包括应力和应变的关系，以及 弹性薄板在受到外力作用时的弯曲变 形规律。
详细描述：在弹性力学中，薄板的小 挠度弯曲是指薄板在受到外力作用时 发生的弯曲变形，其弯曲变形程度较 小，可以忽略不计薄板的剪切变形和 转动惯性。这种变形情况下，薄板的 弯曲变形可以通过挠度（即变形量） 来描述。在弹性力学中，应力和应变 之间的关系由胡克定律（Hooke's Law）描述，即应力与应变成正比， 比例系数为材料的弹性模量。
详细描述
圆形薄板在受到垂直于其平面的力时，会在力的方向上发生弯曲，形成弧形。与矩形薄板类似，这种弯曲程度较 小，也称为小挠度弯曲。在圆形薄板中，各个方向的弯曲程度基本相同，因此圆心位置的应力最大。
实例三：不规则形状薄板的弯曲
总结词
不规则形状薄板在受到垂直于其平面的力时，会发生小挠度弯曲。
详细描述
不规则形状薄板在受到垂直于其平面的力时，会在力的方向上发生弯曲，形成弧形。与矩形和圆形薄 板类似，这种弯曲程度较小，也称为小挠度弯曲。不规则形状薄板的弯曲情况较为复杂，需要考虑各 个方向的弯曲程度以及应力分布。
05
结论与展望
研究结论
结论一
弹性薄板在受到小挠度弯 曲时，其弯曲行为与材料 属性、几何尺寸等因素密 切相关。
结论二
通过理论分析和数值模拟， 我们得到了弹性薄板在小 挠度弯曲下的变形规律和 应力分布。
结论三
实验结果与理论预测和数 值模拟结果基本一致，验 证了理论的正确性和数值 方法的可靠性。小的单元，对每 个单元进行弯曲分析，通过求解每个 单元的平衡方程得到整体的挠度分布。
对于某些特定形状和载荷条件的薄板， 可以通过解析方法直接求解弯曲微分 方程，得到挠度分布的精确解。
薄板的小挠度弯曲问题及经典解法
w y
4my a2
x a
2 2
y2 b2
1
0
为了式（b）能满足边界条件，薄板的边界必须是夹支边。 将式（b）代入弹性曲面微分方程（9-8），得
D
24m a4
16m a2b2
24m
b4
q
（c）
因为m是常数，所以 q也必须是常数，可见薄板所受的荷载必须是均 布荷载，即q=q0，由（c）式求出m，再代入式（b），得
矩形薄板，OC边简支；OA边固支；AB和BC边自由。
1. 固支边，OA边（x = 0）
(w) x0 w ( x ) x0
0 0
（9-13）
2. 简支边，OC边 （y = 0）
（1）无外力作用时：
图9-4
(w) y0 0 (M y ) y0 0 （a）
(w) y0 0
(
2w y 2
2w) x 2
2w x 2
)
xy
Ez
1
( 2w ) xy
（9-4）
第七页，共46页。
（3）用w表示应力分量zx、zy
由空间问题的平衡方程（7-1）式的第一式有（令fx=fy=0）：
zx x yx ，将（9-4）式代入，有：
z
x y
zx Ez ( 3w 3w ) Ez 2 w z 1 2 x3 xy 2 1 2 x
M yx
d
2
d
2
z yz dz
Ed 3
12(1 )
2w xy
M xy
（e）
FSy
d
2 d
2
yz dz
Ed
12(1
3
2
)
y
2w
板壳理论试题及答案3
一、选择题1.薄板的小挠度弯曲问题是按（ ）求解的，其中只取（ ）作为基本未知函数。
DA.应力；面力B.应力；挠度C.位移；面力D.位移；挠度2.在薄板的小挠度弯曲问题中，次要应力分量是τxz 、τyz 是从（ ）中得出的。
BA.几何条件B.平衡条件C.物理条件D.连续条件3.如题图a 所示的矩形薄板，板面无荷载作用，oA 边和oC 边为简支边，AB 边和BC 边为自由边，在角点B 处受向下的横向集中力F 作用，在下列试函数中，可以作为求解此问题的挠度函数是（ ）。
CA. b y sin a x sinππωA = B. 22y x A =ωC. xy A =ωD. ））（（by 2cos -1a x 2cos -1ππωA = 4.在薄板的小挠度弯曲问题中，其未知量的个数为（ ）。
CA. 2B. 10C. 12D. 15二、简答题1.在薄板的小挠度弯曲问题中，应力分量σx 、σy 、σz 、τxy 、τxz 、τyz 的最大值（极值）发生在板的何处？哪些是主要应力分量？哪些是次要应力分量？哪些是更次要应力分量？ 答：在薄板的小挠度弯曲问题中，σx 、σy 、τxy 是主要应力分量，它们沿板厚呈线性分布，其在中面上为零，在上下板面处达到极值；τxz 、τyz 为次要应力分量，它们沿板厚方向呈抛物线分布，其在上下板面处为零，在中面处达到最大值；σz 为更次要应力分量，它沿板厚呈三次抛物线分布，其在下板面处为零，在上板面处达到极值。
2.写出()q y x 4=∇，ωD 方程的名称，并指出它的物理意义是代表平衡条件还是连续条件。
（ω为薄板弯曲的挠度，D 为薄板的弯曲刚度）答：方程名称：薄板的弹性曲面微分方程/薄板弯曲的基本方程/薄板的挠曲面微分方程 物理意义：平衡条件3.试写出柱壳的k 1,k 2,A,B 及其含义。
答：k 1=0, k 2=1/R, A=1, B=1，其中R 为柱壳中面曲率半径，A 、B 分别为壳体中面内任一点沿α及β方向的拉梅系数。
板壳理论--薄板小挠度弯曲问题及经典解法 ppt课件
PPT课件
z2(E 1 4 w 2)t4 2(z2 t)1 3(z38 t3 6(1E t3 2)(1 2zt)21zt4w
在薄板的上边界代入外荷载q
z
q
zt 2
Et3
12(1 2
)
4w
q
D
Et3
12(1
2)
称为薄板的弯曲刚度，量纲为[力][长度]
D4w q
薄板的弹性曲面微分方程
24
PPT课件
z z 2 ( 1 E 2 )(z 2 t4 2 ) ( x 4 w 4 x 2 4 w y 2 ) ( y 2 4 w x 2 y 4 w 4 )
z E (z2 t2) (4 w 2 4 w 4 w ) z 2 (1 2) 4 x4 x2 y2 y4
u w v w 积分 z x z y
uwz x
f1(x,
y)
vwz y
f2(x,
y)
13
PPT课件
§13.2弹性曲面的微分方程
uwz x
f1(x,
y)
w
v y
z
f2(x,
y)
u 0, z0
u w z x
v 0 z0 v w z y
14
PPT课件
§13.2弹性曲面的微分方程
x ux,y yv,z wz,xyxvuy,
Ez2
1 2
x
2w
F1
x,
y
zy
2
Ez2
1 2
y
2
w
F2
x,
y
zy z t 0 2
zx z t 0 2
F1x,y81Et22
2w x
F2x,y81Et22
薄板弯曲问题
M xy zdzdy
' xy - h/2
- h/2 h/2
- h/2 h/2
扭矩
M
' yx
yx zdzdx
- h/2
h/2
内力与应力的关系
Mx 3 Eh M My 2 12 1 M xy 1 0
2
x y z xy
弯扭变形列阵
几何方程
2w 2 2 4 6 7 x 2 8 y 611xy x 2 w 2 2 6 2 9 x 610 y 612 xy x 2 w 2 x 2 y 3 x 2 3 y 2 5 8 9 11 12 xy
N x1 i 1 0
b2 c2 d 2 0 N x1 1 N x1 0 (2) y b i 2 a2 e2 N x1 最后利用本点1，确 0 (3) , (4) x i 4,1 定a2=b/8，代回
(1)
弹性薄板矩形（R12）单元
弹性薄板矩形（R12）单元
薄板的形函数可以用 广义坐标法，也可以用试 凑法得到。由于单元自由 度为12，因此可有12个广 义坐标，位移模式可设为 如下不完全四次多项式
Q1 1 Mx1 4
My1
w3 2 y z 3
x
x3 y3
w a1 a2 x a3 y a4 x 2 a5 xy a6 y 2 a7 x 3 2 2 3 3 3 a8 x y a9 xy a10 y a11 x y a12 xy
物理方程
应变
位移函数
薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩；
弹性力学-第十三章 薄板的小挠度弯曲问题及其经典解法
要点：
（1）弹性薄板的挠曲面微分方程建立； （2）弹性薄板问题的解法：纳维（Navier C. L. ）
解法、李维（Levy, M.）解法等； （3）圆形薄板极坐标求解、变厚度板的近似求解等。
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
主 要内容
§13-1 有关概念及基本假定 §13-2 弹性曲面的微分方程 §13-3 薄板横截面上的内力及应力 §13-4 边界条件 扭矩的等效剪力 §13-5 简单例题 §13-6 简支边矩形薄板的纳维叶解 §13-7 矩形薄板的李维解法及一般解
1 E
(
x
1 E
(
y
2(1
E
y
x ) xy
) )
(13-3)
——与平面应力问题
的物理方程相同
（1）在薄板弯曲问题中，略去了次要应力 zx , zy , z
引起的形变；但在平衡条件中，仍考虑它们的作用。
（2）薄板弯曲问题与平面应力问题的物理方程相同，但
沿板厚方向，对于 x , y , xy ，平面应力问题的
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
主 要内容
§13-8 圆形薄板的弯曲 §13-9 圆形薄板的轴对称弯曲 §13-10 轴对称弯曲问题的实例 §13-11 圆形薄板在静水压力下的弯曲
§13-12 变厚度矩形薄板
§13-13 变厚度圆形薄板
§13-14 文克勒地基上基础板 §13-15 薄板的温度应力
和扭矩 M xy 。
（3）在薄板弯曲问题中，略去了次要应力 zx , zy , z 引起的形变 zx , zy , z ，即
zx zy z 0
表明：中面法线在薄板弯曲时，保持不伸缩，并 成为弹性曲面的法线。
matlab矩形薄板小挠度弯曲
matlab矩形薄板小挠度弯曲
摘要：
一、引言
二、矩形薄板小挠度弯曲的数学模型
三、使用MATLAB 求解矩形薄板小挠度弯曲问题
四、结果与讨论
五、结论
正文：
一、引言
矩形薄板小挠度弯曲问题在工程领域具有广泛的应用，如桥梁、飞机机翼等结构在受力时，都会产生弯曲变形。
因此，研究矩形薄板小挠度弯曲问题对于分析实际工程结构的性能具有重要意义。
二、矩形薄板小挠度弯曲的数学模型
矩形薄板小挠度弯曲问题的数学模型主要包括以下几个方面：
1.基本假设
2.平衡方程
3.几何方程
4.边界条件
三、使用MATLAB 求解矩形薄板小挠度弯曲问题
MATLAB 作为一种功能强大的数学计算软件，可以方便地求解矩形薄板小挠度弯曲问题。
以下是使用MATLAB 求解该问题的具体步骤：
1.定义变量和参数
2.建立方程组
3.使用MATLAB 的求解器解方程组
4.输出结果
四、结果与讨论
通过MATLAB 求解矩形薄板小挠度弯曲问题，我们可以得到以下结果：
1.弯曲应力分布
2.挠度分布
3.矩形薄板变形情况
根据结果，我们可以分析矩形薄板在受力过程中的变形特点和应力分布规律，为实际工程应用提供参考。
五、结论
本文通过MATLAB 软件求解矩形薄板小挠度弯曲问题，分析了矩形薄板在受力过程中的应力分布和变形特点。
matlab矩形薄板小挠度弯曲
matlab矩形薄板小挠度弯曲
摘要：
一、引言
二、矩形薄板小挠度弯曲的数学模型
三、使用MATLAB 进行数值模拟
四、结果与讨论
五、结论
正文：
一、引言
在工程领域中，薄板结构的弯曲问题是一个重要的研究课题。
特别是在航空航天、汽车制造和建筑结构等领域，矩形薄板小挠度弯曲问题更是在设计和分析过程中经常遇到。
本文将使用MATLAB 对矩形薄板小挠度弯曲问题进行数值模拟，以探讨其弯曲特性。
二、矩形薄板小挠度弯曲的数学模型
矩形薄板小挠度弯曲问题的数学模型主要包括以下几个部分：
1.基本假设
2.几何方程
3.物理方程
4.边界条件
三、使用MATLAB 进行数值模拟
在MATLAB 环境下，我们可以通过以下步骤进行矩形薄板小挠度弯曲问
题的数值模拟：
1.定义参数
2.初始化变量
3.设置边界条件
4.求解方程组
5.结果分析
四、结果与讨论
通过MATLAB 的数值模拟，我们可以得到矩形薄板在小挠度弯曲过程中的挠度、应力等分布情况。
分析这些结果，我们可以了解矩形薄板在弯曲过程中的变形特性和受力特性，从而为实际工程应用提供理论依据。
五、结论
本文通过使用MATLAB 对矩形薄板小挠度弯曲问题进行了数值模拟，得到了薄板在弯曲过程中的挠度、应力等分布情况。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十二章薄板的小挠度弯曲问题知识点薄板的基本概念薄板的位移与应变分量薄板广义力薄板小挠度弯曲问题基本方程薄板自由边界条件的简化薄板的莱维解矩形简支薄板的挠度基尔霍夫假设薄板应力广义位移与薄板的平衡薄板的典型边界条件薄板自由边界角点边界条件挠度函数的分解一、内容介绍薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。
薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。
根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。
薄板的小挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。
根据基尔霍夫假设，采用位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。
因此，首先将薄板的应力、应变和内力用挠度函数表达。
然后根据薄板单元体的平衡，建立挠度函数表达到平衡方程。
对于薄板问题，边界条件的处理与弹性力学平面等问题有所不同，典型形式有几何边界、混合边界和面力边界条件。
二、重点1、基尔霍夫假设；2、薄板的应力、广义力和广义位移；3、薄板小挠度弯曲问题的基本方程；4、薄板的典型边界条件及其简化。
§12.1 薄板的基本概念和基本假设学习要点:本节讨论薄板的基本概念和基本假设。
薄板主要几何特征是板的中面和厚度。
首先，根据几何尺寸，定义薄板为0.5≤δ/b≥1/80，并且挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题。
对于小挠度薄板，在横向载荷作用下，将主要产生弯曲变形。
根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。
薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。
根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析。
实践证明是完全正确的。
学习思路：1、薄板基本概念；2、基尔霍夫假设1、薄板基本概念薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。
薄板的上下两个平行面称为板面，垂直于平行面的柱面称为板边，如图所示。
两个平行面之间的距离称为板厚，用δ 表示。
平分板厚的平面称为板的中面。
设薄板宽度为a、b，假如板的最小特征尺寸为b，如果δ/b≥1/5，称为厚板；如果δ/b≤1/80，称为膜板；如果1/80≤δ/b≤1/5，称为薄板。
厚板属于弹性力学空间问题，而膜板只能承受膜平面内部的张力，因此，板的弯曲问题主要是薄板。
如果薄板的外载荷作用于板的中面，而且不发生失稳问题时，属于平面应力问题讨论。
如果外载荷为垂直于板的中面作用的横向载荷，则板主要变形为弯曲变形。
中面在薄板弯曲时变形成为曲面，中面沿垂直方向，即横向位移称为挠度。
对于薄板，仍然有相当的弯曲刚度，如果挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题；如果超过这个界限，属于大变形问题。
本章只讨论薄板的小挠度弯曲问题。
根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。
薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。
2、基尔霍夫假设薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。
设中面为xy平面，则1、变形前垂直于中面的直线变形后仍然保持直线，而且长度不变。
这相当于梁的弯曲变形平面假设，如图所示根据这一假设，εz＝γzx＝γzy＝0。
2、垂直于中面方向的应力分量σz，τzx，τzy远小于其他应力分量，其引起的变形可以不计，但是对于维持平衡是必要的，这相当于梁的弯曲无挤压应力假设。
3、薄板弯曲时，中面各点只有垂直中面的位移w，没有平行中面的位移，即u z=0=0，v z=0=0，w=w(x, y)根据这一假设，板的中面将没有变形发生。
板的中面位移函数w(x, y)称为挠度函数。
根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析，实践证明是完全正确的。
根据基尔霍夫假设，薄板弯曲的基本未知量可以取挠度函数w(x, y)。
下面的工作是通过平衡微分方程、几何方程和本构方程，用挠度函数w(x, y)表达薄板内部任意一点的位移、应力、应变和内力等，然后利用薄板单元体的平衡建立挠度函数所要满足的微分方程。
因此，薄板的小挠度弯曲问题求解属于位移解法。
§12.2 薄板小挠度弯曲问题的基本方程学习要点:根据基尔霍夫假设，薄板弯曲的基本未知量可以取挠度函数w(x, y)。
因此，薄板的小挠度弯曲问题求解采用位移解法。
本节的工作是通过平衡微分方程、几何方程和本构方程，用挠度函数w(x, y)表达薄板内部任意一点的位移、应力、应变和内力等，然后利用薄板单元体的平衡建立挠度函数所要满足的微分方程。
分析中应该注意，根据基本假设，与厚度方向相关的应变分量为零，其对应的应力分量产生的变形是忽略不计的。
但是应该注意这些应力分量对于平衡的影响必须考虑。
通过分析可以得到薄板问题的广义力和对应的广义位移。
根据单元体的平衡，可以得到关于广义力和广义位移的关系式。
然后将其描述为挠度函数表达的薄板基本方程。
学习思路：1、位移与应变分量；2、应力分量；3、广义力；4、广义位移与平衡关系；5、薄板弯曲小挠度问题的基本方程。
1、薄板位移和应变分量根据薄板弯曲的第一个假设，则几何方程为根据几何方程的第3式，则，从而w=w(x，y)。
薄板厚度方向的位移与z 坐标无关，可以应用板的中面位移表达板的挠度。
根据几何方程的5，6式，有对z积分，可得注意到第3个假设，u z=0=0, v z=0=0，因此f(x，y)= g(x，y)=0，所以上述分析将位移分量通过挠度函数w(x, y)表示。
根据几何方程可以得到挠度函数表达的应变分量。
有上式表明，薄板的弯曲应变是沿厚度线性分布的，在板的中面为零，上下板面处达到极值。
2、薄板的应力分量根据基尔霍夫假设，本构方程简化为代入应变表达式有薄板小挠度弯曲问题的正应力和切应力沿厚度也是线性分布的。
基本假设中的εz＝γzx＝γzy＝0，与厚度方向相关的应变分量为零，其对应的应力分量产生的变形是不计的。
应该注意的问题是，这些应力分量相对于其它应力分量产生的变形可以不计，但是对于平衡的影响必须考虑。
这里必须放弃物理方程中关于的εz＝γzx＝γzy＝0的结论，而要求σ z ＝-ν (σx+σy) ≠0；τzx≠τzy≠0。
由于不计τxz，τyz，所以γxz＝γyz＝0，根据几何方程，当然必须放弃物理方程中关于的γxz和γyz的部分，即要γxz＝γyz＝0，而τxz，τyz又不等于0。
3、广义力对于矩形薄板，采用图示坐标系。
如果从薄板中选取一个微小单元体δd x d y，单元体在Oxy平面的投影为矩形abcd，单元体上部有横向载荷q d x d y，底面为自由表面。
其中外法线与x轴平行的的侧面有应力分量σx，τxz，τxy，根据公式可以知道，应力分量σx，τxz，τxy均以中面为对称面而反对称分布。
这些应力分量将分别组成合成弯矩M x，扭矩M y和横向剪力F S x，如图所示如果用M x，M y和F S x分别单位长度的弯矩，扭矩和横向剪力。
则同理，讨论外法线与x轴平行的的侧面，有下面设法将上述内力用挠度函数w(x, y)表示。
将应力表达式代入上述内力分量表达式，有其中同理上述内力M x，M y，M yy和F S x和F S y称为广义力。
分别作用于单元体的侧面边界如图所示。
4、广义位移与平衡关系上述广义力对应的广义应变为x是薄板中面在与Oxz平面平行的平面内的曲率，曲率取负号是由于挠曲面凸面向下为正曲率，而对应的挠度函数的二阶导数为负值。
k xy称为中面对于x，y轴的扭率。
利用广义应变，可以将广义力表示为考虑单元体的平衡则如果讨论，即绕x轴的力矩之和等于零。
考虑单元体内力对于角点的力矩平衡，有整理并且略去高阶小量，有5、薄板弯曲小挠度问题的基本方程同理，根据，有根据，可以得到简化并且略去高阶小量，有将公式代入上式，并且注意到M xy=M yx，有将挠度函数w(x, y)代入上式，则或者写作其中号为拉普拉斯算符。
公式就是薄板小挠度弯曲问题的基本方程。
从而，问题归结为在满足边界条件的基础上求解基本方程，确定挠度函数；然后根据公式计算广义力弯矩和扭矩；再根据公式确定薄板应力分量。
§12.3 薄板边界条件学习要点:薄板弯曲问题的解必须满足基本方程和给定的边界条件。
由于薄板基本方程为一个四阶偏微分方程，因此对于矩形薄板，每个边界必须给出两个边界条件。
薄板弯曲问题的典型边界条件形式可以分为几何边界条件、面力边界条件和混合边界条件。
分别对应薄板的固定边界、自由边界和简支边界约束。
由于薄板弯曲问题应用位移解法，因此，本节对于不同的边界约束，推导边界条件的挠度函数表达形式。
应该注意的自由边界条件，由于自由边界属于面力边界，因此转换为位移边界条件时并不是完全独立的，必须作进一步的简化，特别是两个自由边界角点的约束变换。
学习思路：1、典型边界条件形式；2、自由边界条件。
1、典型边界条件形式薄板弯曲问题的解必须满足基本方程和给定的边界条件。
由于方程为一个四阶偏微分方程，因此对于矩形薄板，每个边界必须给出两个边界条件。
薄板弯曲问题的典型边界条件形式为1、几何边界条件：就是在边界上给定边界挠度w和边界切线方向转角，t 为边界切线方向。
2、面力边界条件：在边界给定横向剪力和弯矩。
3、混合边界条件。
在边界同时给出广义力和广义位移。
以下讨论常见的边界支承形式和对应的边界条件：一、固定边界对于固定边界，如图所示显然有边界挠度和转角均为零的几何条件。
因此，在x=0边界，有二、简支边界薄板在简支边界，不能有挠度，但是可以有微小的转动。
因此边界条件为挠度为零和弯矩为零，属于混合边界条件。
在x=0边界，有由于，同时在边界x=0，有。
所以边界条件可以写作三、自由边界对于自由边界在x=0边界，有上式给出了3个面力边界条件，进一步分析可以证明，这3个面力边界条件并不是独立的。
其中扭矩可以用等效剪力来表示。
作用在x=a边界上长度为d y的微单元体上的扭矩可以用两个大小相等，方向相反，相距的垂直剪力取代。
显然这种代换是静力等效的根据圣维南原理，代换的影响仅仅是局部的。