薄板的小挠度弯曲问题

第十二章薄板的小挠度弯曲问题知识点

薄板的基本概念

薄板的位移与应变分量

薄板广义力

薄板小挠度弯曲问题基本方程薄板自由边界条件的简化

薄板的莱维解

矩形简支薄板的挠度基尔霍夫假设

薄板应力

广义位移与薄板的平衡

薄板的典型边界条件

薄板自由边界角点边界条件挠度函数的分解

一、内容介绍

薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。

根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。薄板的小挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。

根据基尔霍夫假设，采用位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。因此，首先将薄板的应力、应变和内力用挠度函数表达。然后根据薄板单元体的平衡，建立挠度函数表达到平衡方程。

对于薄板问题，边界条件的处理与弹性力学平面等问题有所不同，典型形式有几何边界、混合边界和面力边界条件。

二、重点

1、基尔霍夫假设；

2、薄板的应力、广义力和广义位移；

3、薄板小

挠度弯曲问题的基本方程；4、薄板的典型边界条件及其简化。

§12.1 薄板的基本概念和基本假设

学习要点:

本节讨论薄板的基本概念和基本假设。

薄板主要几何特征是板的中面和厚度。首先，根据几何尺寸，定义薄板为0.5≤δ/b≥1/80，并且挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题。对于小挠度薄板，在横向载荷作用下，将主要产生弯曲变形。

根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。

薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。

根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析。实践证明是完全正确的。

学习思路：

1、薄板基本概念；

2、基尔霍夫假设

1、薄板基本概念

薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板

薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。

薄板的上下两个平行面称为板面，垂直于平行面的柱面称为板边，如图所示。两个平行面之间的距离称为板厚，用δ 表示。平分板厚的平面称为板的中面。

设薄板宽度为a、b，假如板的最小特征尺寸为b，如果δ/b≥1/5，称为厚板；

如果δ/b≤1/80，称为膜板；如果1/80≤δ/b≤1/5，称为薄板。厚板属于弹性力学空间问题，而膜板只能承受膜平面内部的张力，因此，板的弯曲问题主要是薄板。

如果薄板的外载荷作用于板的中面，而且不发生失稳问题时，属于平面应力问题讨论。

如果外载荷为垂直于板的中面作用的横向载荷，则板主要变形为弯曲变形。中面在薄板弯曲时变形成为曲面，中面沿垂直方向，即横向位移称为挠度。

对于薄板，仍然有相当的弯曲刚度，如果挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题；如果超过这个界限，属于大变形问题。本章只讨论薄板的小挠度弯曲问题。

根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。

2、基尔霍夫假设

薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。设中面为xy平面，则

1、变形前垂直于中面的直线变形后仍然保持直线，而且长度不变。这相当于梁的弯曲变形平面假设，如图所示

根据这一假设，εz＝γzx＝γzy＝0。

2、垂直于中面方向的应力分量σz，τzx，τzy远小于其他应力分量，其引起的变形可以不计，但是对于维持平衡是必要的，这相当于梁的弯曲无挤压应力假设。

3、薄板弯曲时，中面各点只有垂直中面的位移w，没有平行中面的位移，即

u z=0=0，v z=0=0，w=w(x, y)

根据这一假设，板的中面将没有变形发生。板的中面位移函数w(x, y)称为挠度函数。

根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析，实践证明是完全正确的。

根据基尔霍夫假设，薄板弯曲的基本未知量可以取挠度函数w(x, y)。下面的工作是通过平衡微分方程、几何方程和本构方程，用挠度函数w(x, y)表达薄板内部任意一点的位移、应力、应变和内力等，然后利用薄板单元体的平衡建立挠度函数所要满足的微分方程。

因此，薄板的小挠度弯曲问题求解属于位移解法。

§12.2 薄板小挠度弯曲问题的基本方程

学习要点:

根据基尔霍夫假设，薄板弯曲的基本未知量可以取挠度函数w(x, y)。因此，薄板的小挠度弯曲问题求解采用位移解法。

本节的工作是通过平衡微分方程、几何方程和本构方程，用挠度函数w(x, y)表达薄板内部任意一点的位移、应力、应变和内力等，然后利用薄板单元体的平衡建立挠度函数所要满足的微分方程。

分析中应该注意，根据基本假设，与厚度方向相关的应变分量为零，其对应的应力分量产生的变形是忽略不计的。但是应该注意这些应力分量对于平衡的影响必须考虑。

通过分析可以得到薄板问题的广义力和对应的广义位移。根据单元体的平衡，可以得到关于广义力和广义位移的关系式。然后将其描述为挠度函数表达的薄板基本方程。

学习思路：

1、位移与应变分量；

2、应力分量；

3、广义力；

4、广义位移与平衡

关系；5、薄板弯曲小挠度问题的基本方程。

1、薄板位移和应变分量

根据薄板弯曲的第一个假设，则几何方程为

根据几何方程的第3式，则，从而w=w(x，y)。薄板厚度方向的位移与z 坐标无关，可以应用板的中面位移表达板的挠度。根据几何方程的5，6式，有

对z积分，可得

注意到第3个假设，u z=0=0, v z=0=0，因此f(x，y)= g(x，y)=0，所以

上述分析将位移分量通过挠度函数w(x, y)表示。根据几何方程可以得到挠度函数表达的应变分量。有

上式表明，薄板的弯曲应变是沿厚度线性分布的，在板的中面为零，上下板面处达到极值。

2、薄板的应力分量

根据基尔霍夫假设，本构方程简化为

代入应变表达式

有

薄板小挠度弯曲问题的正应力

和切应力

沿厚度也是线性分布的。

基本假设中的εz＝γzx＝γzy＝0，与厚度方向相关的应变分量为零，其对应的应力分量产生的变形是不计的。应该注意的问题是，这些应力分量相对于其它应力分量产生的变形可以不计，但是对于平衡的影响必须考虑。这里必须放弃物理方程中关于的εz＝γzx＝γzy＝0的结论，而要求σ z ＝-ν (σx+σy) ≠0；τzx≠τzy≠0。

由于不计τxz，τyz，所以γxz＝γyz＝0，根据几何方程，当然必须放弃物理方程中关于的γxz和γyz的部分，即要γxz＝γyz＝0，而τxz，τyz又不等于0。

3、广义力

对于矩形薄板，采用图示坐标系。如果从薄板中选取一个微小单元体δd x d y，单元体在Oxy平面的投影为矩形abcd，单元体上部有横向载荷q d x d y，底面为自由表面。其中外法线与x轴平行的的侧面有应力分量σx，τxz，τxy，根据公式

可以知道，应力分量σx，τxz，τxy均以中面为对称面而反对称分布。这些应力分量

将分别组成合成弯矩M x，扭矩M y和横向剪力F S x，如图所示

如果用M x，M y和F S x分别单位长度的弯矩，扭矩和横向剪力。则

同理，讨论外法线与x轴平行的的侧面，有

下面设法将上述内力用挠度函数w(x, y)表示。将应力表达式

代入上述内力分量表达式，有

其中

同理

上述内力M x，M y，M yy和F S x和F S y称为广义力。分别作用于单元体的侧面边界如图所示。

4、广义位移与平衡关系

上述广义力对应的广义应变为

x是薄板中面在与Oxz平面平行的平面内的曲率，曲率取负号是由于挠曲面凸面向下为正曲率，而对应的挠度函数的二阶导数为负值。k xy称为中面对

于x，y轴的扭率。

利用广义应变，可以将广义力表示为

考虑单元体的平衡

则

如果讨论，即绕x轴的力矩之和等于零。考虑单元体内力对于角点的力矩平衡，有

整理并且略去高阶小量，有

5、薄板弯曲小挠度问题的基本方程

同理，根据，有

根据，可以得到

简化并且略去高阶小量，有

将公式代入上式，并且注意到M xy=M yx，有

将挠度函数w(x, y)代入上式，则

或者写作

其中号为拉普拉斯算符。公式就是薄板小挠度

弯曲问题的基本方程。

从而，问题归结为在满足边界条件的基础上求解基本方程，确定挠度函数；

然后根据公式计算广义力弯矩和扭矩；再根据公式

确定薄板应力分量。

§12.3 薄板边界条件

学习要点:

薄板弯曲问题的解必须满足基本方程和给定的边界条件。由于薄板基本方程为一个四阶偏微分方程，因此对于矩形薄板，每个边界必须给出两个边界条件。

薄板弯曲问题的典型边界条件形式可以分为几何边界条件、面力边界条件和混合边界条件。分别对应薄板的固定边界、自由边界和简支边界约束。

由于薄板弯曲问题应用位移解法，因此，本节对于不同的边界约束，推导边界条件的挠度函数表达形式。

应该注意的自由边界条件，由于自由边界属于面力边界，因此转换为位移边界条件时并不是完全独立的，必须作进一步的简化，特别是两个自由边界角点的约束变换。

学习思路：

1、典型边界条件形式；

2、自由边界条件。

1、典型边界条件形式

薄板弯曲问题的解必须满足基本方程和给定的边界条件。由于方程为一个四阶偏微分方程，因此对于矩形薄板，每个边界必须给出两个边界条件。

薄板弯曲问题的典型边界条件形式为

1、几何边界条件：就是在边界上给定边界挠度w和边界切线方向转角，t 为边界切线方向。

2、面力边界条件：在边界给定横向剪力和弯矩。

3、混合边界条件。在边界同时给出广义力和广义位移。

以下讨论常见的边界支承形式和对应的边界条件：

一、固定边界

对于固定边界，如图所示

显然有边界挠度和转角均为零的几何条件。因此，在x=0边界，有

二、简支边界

薄板在简支边界，不能有挠度，但是可以有微小的转动。因此边界条件为挠度为零和弯矩为零，属于混合边界条件。在x=0边界，有

由于，同时在边界x=0，有。所以边界条

件可以写作

三、自由边界

对于自由边界

在x=0边界，有

上式给出了3个面力边界条件，进一步分析可以证明，这3个面力边界条件并不是独立的。其中扭矩可以用等效剪力来表示。

作用在x=a边界上长度为d y的微单元体上的扭矩可以用两个大小相等，方向相反，相距的垂直剪力取代。显然这种代换是静力等效的

根据圣维南原理，代换的影响仅仅是局部的。因此，代换后，两个微小单元之间增加一个集度为的剪力。因此边界x=a自由边界，总的分布剪力为

因此，边界条件可以改写作

应该指出，如果相邻的两个边界都是自由边界，则扭矩用上述剪力等效替代时，在两个边界的角点将会出现没有抵消的集中剪力F SR，如果边界角点受到支承，这个集中剪力就是支座对于薄板的角点的集中反力，如图所示

对于悬空的角点，由于边界角点B处于自由状态，因此有

根据公式，有

如果在角点有支座，而且挠度被阻止发生，有

此时，支座反力可以根据公式计算。

§12.4 矩形薄板的经典解法

学习要点:

本节以简支边界矩形薄板为例，说明薄板弯曲问题的求解方法。

问题求解的方法比较多，本节介绍分离变量法。这种方法采用无穷级数形式求解，在一般条件下，级数的收敛很快。

求解的方法是根据薄板变形，首先将挠度函数写作坐标x和y的函数乘积形式。然后将挠度函数分解为基本方程的特解和齐次方程解两部份，分别应用边界

条件确定。

学习思路：

1、边界条件与挠度函数形式；

2、挠度函数的分解；

3、基本方

程的齐次解和特解；4、薄板的挠度和最大挠度。

1、边界条件与挠度函数形式

下面以简支边界矩形薄板为例，说明薄板弯曲问题的求解方法。设矩形薄板边长分别为a和b，受均匀分布横向载荷q(x，y)作用，如图所示

薄板的边界条件为

因此，问题的求解归结为在满足上述边界条件求解基本方程

薄板弯曲问题求解的方法比较多，以下介绍应用最广泛的分离变量法。这种方法采用无穷级数形式求解，在一般条件下，级数的收敛很快。对于直角坐标，最为方便的是莱维（Lévy M）解。设

其中Y m(y)是坐标y的函数。

由于x=0和x=a为简支边界，因此上述挠度函数是满足简支边界条件的。问题是如何使得挠度函数的每一项都满足的边界条件。

2、挠度函数的分解

由于问题的基本方程是非齐次的偏微分方程，为简化分析，设

w=w1+w2

其中w1和w2分别为基本方程的齐次解和特解。因此

由于w1为基本方程的齐次解，与载荷无关，而w1+w2必须满足全部边界条件，因此将w1取为级数形式。并且考虑其对称性，应该取奇数，即

由于上式对于所有的x均成立，所以

方程的通解形式为

由于薄板弯曲关于x坐标轴是对称的，所以Y m(y)只能是y的偶函数。所以

C m=

D m=0

因此

由于对称性条件的应用，在的两个边界上，原为4个边界条件，现在只需满足2个。

3、基本方程的齐次解和特解

对于特解w2，只要任意选择一个满足方程的解就可以。如果横向载荷q为常数，可以取

根据上述分析，薄板的挠度函数为

因此，现在地问题是求出两组待定系数A m，B m。为了计算待定系数，将上式等号后第一项展开成三角级数。有

因此，挠度函数可以表示为

将上述挠度函数代入边界条件

可以得到

其中。求解上述方程，可以得到

4、薄板的挠度和最大挠度

所以，薄板的挠度为

在薄板的中心，x=a/2,y=0处，薄板有最大挠度

因为

所以

如果b≥a，上述级数收敛很快，只要取第一项便可取得比较好的结果。

当然，对于薄板的弯曲问题，也可以采用基于变分原理的瑞利－里茨和伽辽金方法求解，以及使用各种数值分析方法，例如有限差分法、有限元素法等。