数学家介绍
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• 回答：佯谬之所以出现，是因为试图将一个广 义哥德尔型命题（可粗略地理解为涉及系统元 知识的命题）显式地作为系统公理，来建构系 统的完备性。
考试佯谬
考试佯谬这类逻辑悖论促使人们深入省思逻辑 系统的本质，它的能力和局限。对形式化的逻 辑系统的研究有助于实现这个目的。在理论方 面：形式化逻辑系统帮助人们澄清逻辑系统的 元性质(一致性、完全性）、澄清基本的数学 哲学问题（例如，数学是否可以形式化－希尔 伯特方案）；在应用方面：形式化逻辑系统在 理论计算机科学、计算机科学、人工智能、软 件工程等领域有着深刻的应用。
考试佯谬
绝大多数实际数学系统的形式化是不完备的 （哥德尔第一不完备性定理），甚至其一致性 也无法在系统之内得到证明（哥德尔第二不完 备性定理）。数学真理不可能由包括程序在内 的任何机械过程所穷尽，而必然包含直觉和洞 察的成份。存在着对于人的直觉来说明显为真， 但无法形式证明的良定义数学命题（哥德尔）
希尔伯特（1862－1943）
• 1899年，名著《几何基础》出版，给 出了5组21条公理，是现代公理化方 法的样本
• 1922年，提出著名的“Hilbert纲 领”：将古典数学公理化并形式化， 用有穷的方法证明其无矛盾
（1931年哥德尔提出数论形式系统的不 完全性，否定了该纲领）
希尔伯特（1862－1943）
庞加莱（1854－1912）
• 直觉主义的倡导者。 • 颇具哲学家气质的数学家。 • “逻辑用于论证，直觉用于发明。” • “逻辑并非不毛之地，它生长着矛
盾。”
康托尔（1845－1918）
• 康托的集合论创立了数学上最广泛、 最有力的一个部门，一个没有人能把 我们赶出去的天堂。（希尔伯特）
• 数学家的乐园，数学思想最惊人的产 物。（希尔伯特）
庞加莱（1854－1912）
• 20世纪最伟大的数学家之一 • 具备成功者的一切素质： • 从小诚实、正直、公平待人； • 记忆迅速持久，富有想象力和直觉的
能力； • 思考问题时，注意力绝对集中。
庞加莱（1854－1912）
• 33岁当选法国科学院院士。 • 在34年的科学生涯中，发表500多篇
• 这个时代所能夸耀的最巨大的工作。 （罗素）
康托尔（1845－1918）
• 集合论的创立是数学史上的重大事件。 • 提出集合的概念与运算 • 指出无穷集合的特征：部分＝整体 • 可数集与不可数集的概念（康托公理） • 康托三分集：测度为零的不可数集 • 超限数理论：势、基数
集合论与第三次数学危机
创造性论文，30种学术专著。 • 几乎涵盖纯数学与应用数学的所有理
论。 • 对全部数学都有创造性的掌握和开创
性的贡献，能达到这种高度的最后一 人。
庞加莱（1854－1912）
• 最大的成就在微分方程定性理论方面。 • 现代常微分方程的开山鼻祖。 • 随便拿出部分成果，就能拿菲尔兹奖
与沃尔夫奖各10次的水平。 • “人生就是持续的奋斗。”
论。 • 经过18、19世纪众多数学家的精细研
究，微积分在理论上完备了。
欧拉（Euler,1707－1783）
• 出生于瑞士，13岁入大学。 • 他的老师是大数学家伯努利兄弟。伯
努利家族出了十几位著名的数学家。 初等微积分的大部分内容出自欧拉的 老师之手。 • 伯努利们与欧拉，对微积分的建立立 下了历史功勋。
• “一位乡村理发师，宣称他不给村子 里任何自己刮脸的人刮脸，但给所有 不自己刮脸的人刮脸。”
• 理发师给自己刮脸吗？
罗素悖论
• 康托集合会发生集合不是自己元素， 又会发生集合是自己元素的情况。
• 如B＝{1,2,3,4},则BB • 集合B是以10个以上的元素的集合为
元素组成的集合。 BB • 罗素构造这样的集合：
• 1900年，在第二次世界数学家大会上 提出23个重要的数学问题
• 20世纪数学界的领军人物，优秀的数 学教师，主张科学无国界
• “我们必须知道 我们必将知道”
哥德尔（1906－1978）
• 1930年获哲学博士学位 • 1931年发表《论“数学原理”及有关
系统中的不可判定命题》，被誉为 “20世纪最有意义的数学真理”
• 公理集合论到现在还没有出现任何悖 论，而保留了康托集合论的一切有价 值的东西。
• “为了防备狼，羊群用篱笆圈起来了， 尚不知圈里有没有狼。”（庞加莱）
微积分与第二次数学危机
• 17世纪发明了微积分。 • 当时微积分的逻辑不严密，特别在无
穷小概念上存在着混乱。 • 1734年，英国哲学家伯克莱提出了悖
B={A| AA} 问题： BB？ 矛盾！
罗素悖论
• 逻辑代数的创始人弗雷格（1848－ 1925）抱怨说：“当大厦即将竣工之 时，基础却崩溃了。”
• 1908年，罗素指出“我们不能任意地 制造一个集合。”
• 不承认B={A| AA}是一个集合，禁谈 一个集合是自己的元素。
公理集合论
• 1908年，法国数学家策墨罗等人提出 集合论公理，彻底排除了罗素悖论。
Βιβλιοθήκη Baidu数学家介绍
莱布尼兹（1646－1716）
• 看到中国的《河图洛书》，而对中国 文化与哲学产生兴趣
• 向康熙皇帝申请加入中国籍 • 并在北京建立科学院
希尔伯特（1862－1943）
• 1885年获博士学位 • 现代公理方法的奠基人。公理化方法
起始于欧几里德，被高斯等发展，集 大成于希尔伯特 • 希尔伯特提出公理组建的三条原则： 相容性、独立性、完备性
哥德尔（1906－1978）
• 哥德尔命题： A：“A不可证”
• 哥德尔命题与其否命题皆不可证。 • 传统观念：数学问题都必须而且能够
严格加以证明或证伪 • “真”大于“证明”
哥德尔（1906－1978）
• 光辉成就的数学史，同时也是一部数 学灾难史，悖论和危机此伏彼起，矛 盾和难题层出不穷
考试佯谬
• 56岁失明，又工作了20年。 • 从七桥问题发展成图论与拓扑学。 • 天文学、力学、物理学、哲学、音乐
及神学。 • 惊人的记忆力 • 罕见的聚精会神的能力。 • 孜孜不倦
谢谢观赏
• 康托的集合论被称为朴素集合论， 1871年康托对集合给了一个朴素的限 制宽松的定义：“把一定的并且彼此 可以明确识别的事物——可以是直观 的对象，也可以是思维的对象——放 在一起，称为一个集合，这些事物称 为元素。”
集合论与第三次数学危机
• 1902年，罗素将理发师悖论改造成 “罗素悖论”，引发了第三次数学危 机。
欧拉（Euler,1707－1783）
• 18世纪的微积分，最主要的成就体现 在欧拉的三部著作中。
• 使得微积分长大成材。 • 欧拉是数学史上成果最多的数学家，
发表著作与论文560余种。 • 是数学分析、复变函数、微分方程、
图论、变分法、概率论、微分几何、 代数拓扑、数论等学科的创始人。
欧拉（Euler,1707－1783）
• 老师在周末放学时对学生说： 条件一：下周要进行一次考试； 条件二：到底哪天考试，你们在考试 之前的任何一天都不能确知。 注：每周上课5天（周一至周五）， 每天都上一节课
考试佯谬
• 两个结论：1 学生推理没有错误 2 教师的两个条件符合事实，故应视为真命题
• 问题：似乎正确的前提和正确的推理导致了错 误的结论
考试佯谬
考试佯谬这类逻辑悖论促使人们深入省思逻辑 系统的本质，它的能力和局限。对形式化的逻 辑系统的研究有助于实现这个目的。在理论方 面：形式化逻辑系统帮助人们澄清逻辑系统的 元性质(一致性、完全性）、澄清基本的数学 哲学问题（例如，数学是否可以形式化－希尔 伯特方案）；在应用方面：形式化逻辑系统在 理论计算机科学、计算机科学、人工智能、软 件工程等领域有着深刻的应用。
考试佯谬
绝大多数实际数学系统的形式化是不完备的 （哥德尔第一不完备性定理），甚至其一致性 也无法在系统之内得到证明（哥德尔第二不完 备性定理）。数学真理不可能由包括程序在内 的任何机械过程所穷尽，而必然包含直觉和洞 察的成份。存在着对于人的直觉来说明显为真， 但无法形式证明的良定义数学命题（哥德尔）
希尔伯特（1862－1943）
• 1899年，名著《几何基础》出版，给 出了5组21条公理，是现代公理化方 法的样本
• 1922年，提出著名的“Hilbert纲 领”：将古典数学公理化并形式化， 用有穷的方法证明其无矛盾
（1931年哥德尔提出数论形式系统的不 完全性，否定了该纲领）
希尔伯特（1862－1943）
庞加莱（1854－1912）
• 直觉主义的倡导者。 • 颇具哲学家气质的数学家。 • “逻辑用于论证，直觉用于发明。” • “逻辑并非不毛之地，它生长着矛
盾。”
康托尔（1845－1918）
• 康托的集合论创立了数学上最广泛、 最有力的一个部门，一个没有人能把 我们赶出去的天堂。（希尔伯特）
• 数学家的乐园，数学思想最惊人的产 物。（希尔伯特）
庞加莱（1854－1912）
• 20世纪最伟大的数学家之一 • 具备成功者的一切素质： • 从小诚实、正直、公平待人； • 记忆迅速持久，富有想象力和直觉的
能力； • 思考问题时，注意力绝对集中。
庞加莱（1854－1912）
• 33岁当选法国科学院院士。 • 在34年的科学生涯中，发表500多篇
• 这个时代所能夸耀的最巨大的工作。 （罗素）
康托尔（1845－1918）
• 集合论的创立是数学史上的重大事件。 • 提出集合的概念与运算 • 指出无穷集合的特征：部分＝整体 • 可数集与不可数集的概念（康托公理） • 康托三分集：测度为零的不可数集 • 超限数理论：势、基数
集合论与第三次数学危机
创造性论文，30种学术专著。 • 几乎涵盖纯数学与应用数学的所有理
论。 • 对全部数学都有创造性的掌握和开创
性的贡献，能达到这种高度的最后一 人。
庞加莱（1854－1912）
• 最大的成就在微分方程定性理论方面。 • 现代常微分方程的开山鼻祖。 • 随便拿出部分成果，就能拿菲尔兹奖
与沃尔夫奖各10次的水平。 • “人生就是持续的奋斗。”
论。 • 经过18、19世纪众多数学家的精细研
究，微积分在理论上完备了。
欧拉（Euler,1707－1783）
• 出生于瑞士，13岁入大学。 • 他的老师是大数学家伯努利兄弟。伯
努利家族出了十几位著名的数学家。 初等微积分的大部分内容出自欧拉的 老师之手。 • 伯努利们与欧拉，对微积分的建立立 下了历史功勋。
• “一位乡村理发师，宣称他不给村子 里任何自己刮脸的人刮脸，但给所有 不自己刮脸的人刮脸。”
• 理发师给自己刮脸吗？
罗素悖论
• 康托集合会发生集合不是自己元素， 又会发生集合是自己元素的情况。
• 如B＝{1,2,3,4},则BB • 集合B是以10个以上的元素的集合为
元素组成的集合。 BB • 罗素构造这样的集合：
• 1900年，在第二次世界数学家大会上 提出23个重要的数学问题
• 20世纪数学界的领军人物，优秀的数 学教师，主张科学无国界
• “我们必须知道 我们必将知道”
哥德尔（1906－1978）
• 1930年获哲学博士学位 • 1931年发表《论“数学原理”及有关
系统中的不可判定命题》，被誉为 “20世纪最有意义的数学真理”
• 公理集合论到现在还没有出现任何悖 论，而保留了康托集合论的一切有价 值的东西。
• “为了防备狼，羊群用篱笆圈起来了， 尚不知圈里有没有狼。”（庞加莱）
微积分与第二次数学危机
• 17世纪发明了微积分。 • 当时微积分的逻辑不严密，特别在无
穷小概念上存在着混乱。 • 1734年，英国哲学家伯克莱提出了悖
B={A| AA} 问题： BB？ 矛盾！
罗素悖论
• 逻辑代数的创始人弗雷格（1848－ 1925）抱怨说：“当大厦即将竣工之 时，基础却崩溃了。”
• 1908年，罗素指出“我们不能任意地 制造一个集合。”
• 不承认B={A| AA}是一个集合，禁谈 一个集合是自己的元素。
公理集合论
• 1908年，法国数学家策墨罗等人提出 集合论公理，彻底排除了罗素悖论。
Βιβλιοθήκη Baidu数学家介绍
莱布尼兹（1646－1716）
• 看到中国的《河图洛书》，而对中国 文化与哲学产生兴趣
• 向康熙皇帝申请加入中国籍 • 并在北京建立科学院
希尔伯特（1862－1943）
• 1885年获博士学位 • 现代公理方法的奠基人。公理化方法
起始于欧几里德，被高斯等发展，集 大成于希尔伯特 • 希尔伯特提出公理组建的三条原则： 相容性、独立性、完备性
哥德尔（1906－1978）
• 哥德尔命题： A：“A不可证”
• 哥德尔命题与其否命题皆不可证。 • 传统观念：数学问题都必须而且能够
严格加以证明或证伪 • “真”大于“证明”
哥德尔（1906－1978）
• 光辉成就的数学史，同时也是一部数 学灾难史，悖论和危机此伏彼起，矛 盾和难题层出不穷
考试佯谬
• 56岁失明，又工作了20年。 • 从七桥问题发展成图论与拓扑学。 • 天文学、力学、物理学、哲学、音乐
及神学。 • 惊人的记忆力 • 罕见的聚精会神的能力。 • 孜孜不倦
谢谢观赏
• 康托的集合论被称为朴素集合论， 1871年康托对集合给了一个朴素的限 制宽松的定义：“把一定的并且彼此 可以明确识别的事物——可以是直观 的对象，也可以是思维的对象——放 在一起，称为一个集合，这些事物称 为元素。”
集合论与第三次数学危机
• 1902年，罗素将理发师悖论改造成 “罗素悖论”，引发了第三次数学危 机。
欧拉（Euler,1707－1783）
• 18世纪的微积分，最主要的成就体现 在欧拉的三部著作中。
• 使得微积分长大成材。 • 欧拉是数学史上成果最多的数学家，
发表著作与论文560余种。 • 是数学分析、复变函数、微分方程、
图论、变分法、概率论、微分几何、 代数拓扑、数论等学科的创始人。
欧拉（Euler,1707－1783）
• 老师在周末放学时对学生说： 条件一：下周要进行一次考试； 条件二：到底哪天考试，你们在考试 之前的任何一天都不能确知。 注：每周上课5天（周一至周五）， 每天都上一节课
考试佯谬
• 两个结论：1 学生推理没有错误 2 教师的两个条件符合事实，故应视为真命题
• 问题：似乎正确的前提和正确的推理导致了错 误的结论