向量及其运算
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全向量是线性代数的重要概念，它具有方向和大小，并且可以进行各种基本运算，包括加法、减法、数量乘法、点乘、叉乘等等。
在本文中，我将详细介绍向量的基本运算公式，并给出详细的解释和推导。
1.向量的加法向量的加法是指两个向量相加，得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
设有两个向量A和B，其分量表示为A=(a1, a2, ..., an)和B=(b1, b2, ..., bn)。
则向量A和B的加法运算可以表示为：A +B = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)2.向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法可以通过向量的加法和数量乘法来表示。
设有两个向量A和B，其分量表示为A=(a1, a2, ..., an)和B=(b1, b2, ..., bn)。
则向量A和B的减法运算可以表示为：A-B=A+(-B)= (a1 - b1, a2 - b2, ..., an - bn)3.向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个标量与向量的每个分量相乘，得到一个新的向量。
设有一个向量A，其分量表示为A=(a1, a2, ..., an)，以及一个标量k。
则向量A的数量乘法可以表示为：kA = (ka1, ka2, ..., kan)4.向量的点乘向量的点乘是指将两个向量的对应分量相乘，并将结果相加。
向量的点乘得到的是一个标量。
设有两个向量A和B，其分量表示为A=(a1, a2, ..., an)和B=(b1, b2, ..., bn)。
则向量A和B的点乘运算可以表示为：A ·B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn5.向量的叉乘向量的叉乘是指将两个三维向量进行运算，得到一个新的向量。
向量的叉乘只适用于三维向量。
设有两个向量A和B，其分量表示为A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)。
则向量A和B的叉乘运算可以表示为：A×B=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)6.向量的单位化向量的单位化是指将一个向量除以其模长，得到一个长度为1的向量。
向量的基本运算
向量的基本运算在数学和物理中，向量是一个具有大小和方向的量。
向量可以进行多种基本运算，如相加、相减、数乘等。
本文将详细介绍向量的基本运算及其性质。
1. 向量的表示方法向量通常用带箭头的字母表示，例如$\vec{A}$，箭头表示向量的方向。
向量也可以用坐标表示，如$\vec{A}=(x，y，z)$表示三维向量。
在向量上还有一些常用记号，例如向量的模表示向量的大小，记作$|\vec{A}|$或$||\vec{A}||$。
2. 向量的加法向量的加法是将两个向量的对应分量相加。
设有两个向量$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，则它们的和为$\vec{A}+\vec{B}=(x_1+x_2，y_1+y_2，z_1+z_2)$。
向量的加法满足交换律和结合律。
3. 向量的减法向量的减法是将两个向量的对应分量相减。
设有两个向量$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，则它们的差为$\vec{A}-\vec{B}=(x_1-x_2，y_1-y_2，z_1-z_2)$。
求向量的差可以看作是求向量的和再乘以$-1$。
4. 数乘运算数乘是指将向量的每个分量都乘以一个实数。
设有一个向量$\vec{A}=(x，y，z)$和一个实数$k$，则$k\vec{A}=(kx，ky，kz)$。
数乘的运算性质包括交换律和结合律。
5. 内积内积是向量的一种重要的运算，它可以用来计算两个向量之间的夹角。
设有两个向量$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，它们的内积表示为$\vec{A}\cdot\vec{B}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。
内积满足交换律、结合律和分配律。
6. 外积外积是向量的另一种运算，它用于计算向量之间的垂直分量和面积。
设有两个向量$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，它们的外积表示为$\vec{A}\times\vec{B}=(y_1z_2-y_2z_1，z_1x_2-z_2x_1，x_1y_2-x_2y_1)$。
向量的基本运算与性质
向量的基本运算与性质在数学中，向量是一个有方向和大小的量。
向量可以进行各种基本运算，并且具有一些特殊的性质。
本文将介绍向量的基本运算和性质。
一、向量的表示和定义向量可以用多种方式进行表示，最常见的是使用箭头符号→在字母上方表示一个向量。
例如，向量a可以表示为→a。
向量还可以用坐标形式表示，如(a1,a2,a3)。
在三维空间中，向量通常表示为一个由起点和终点确定的有向线段。
向量有大小（模长）和方向，可以通过两点之间的差值来表示。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量按照相应的对应分量相加得到一个新的向量。
设有两个向量→a=(a1,a2,a3)和→b=(b1,b2,b3)，则它们的和为→a+→b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)。
2. 向量的减法向量的减法是指将两个向量按照相应的对应分量相减得到一个新的向量。
设有两个向量→a=(a1,a2,a3)和→b=(b1,b2,b3)，则它们的差为→a-→b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)。
3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量的每个分量都乘以一个标量得到一个新的向量。
设有一个向量→a=(a1,a2,a3)和一个标量k，那么它们的数量乘积为k→a=(ka1,ka2,ka3)。
三、向量的性质1. 交换律向量的加法满足交换律，即→a+→b=→b+→a。
这意味着向量的加法顺序可以交换，不会改变结果。
2. 结合律向量的加法满足结合律，即(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。
这意味着向量的加法可以按照不同的顺序进行，结果不会改变。
3. 零向量零向量是指所有分量都为0的向量，通常表示为→0=(0,0,0)。
对于任意向量→a，有→a+→0=→0+→a=→a。
4. 相反向量对于任意向量→a，存在一个相反向量-→a，使得→a+(-→a)=(-→a)+→a=→0。
其中-→a的每个分量都是→a对应分量的相反数。
5. 数量乘法的性质数量乘法满足结合律和分配律。
10.1向量及其运算(1-30)
数乘运算的性质 :
例 设 AD , BE ,CF 是三角形 ABC 的中线 ,
求 解
AD BE CF
1 AD ( AC AB) 2
F A E
B
因为
D
C
1 BE ( BA BC ) 2 1 CF (CB CA) 2
1 AD BE CF ( AC AB BA BC CB CA) 2 1 ( AC AB AB BC BC AC ) 0 2
(5)
(b )a
a b cos (a ,ˆ b ) b cos (a ,ˆ b ) a
1 ab b a b a a a
ba (b )a
(6)
ab cos (a ,ˆ b ) ab
(5) 外积与混合积
外积: 两个向量 a 与 b 的外积 a b 是一个向量,
它的长度为
a b a b sin(a ,ˆ b )
b , a b ) 形成 右手系 . 若 a , b 中有一是零向量 , 则外积规定为
例 设 M 点是三角形 ABC 的重心 , 证明 : 对
任意一点 O , M 点相对于 O 的位置向量
1 OM (OA OB OC ) 3
F A E
O
C
B
M
D
解 由于 OM OA AM
OM OB BM OM OC CM
将三式相加得
3OM OA OB OC AM BM CM
OC OB (OA OB ) BC BA ( ) AB
向量及向量的基本运算
4.下列算式中不正确的是( (A) AB+BC+CA=0 (C) 0· AB=0
B )
(B) AB-AC=BC (D)λ(μa)=(λμ)a
5. 已知正方形 ABCD 边长为 1 ， AB=a,BC=b,AC=c, 则 a+b+c 的模等于( C ) (A)0 (B)3 (C)22 (D)2
2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设 a b+ AB ，则 = BC AC = AB a, BC b 。向量加法有“三角形法则”与“平行四边 0a 0 a 形法则”。 说明：（ 1a ） ； （2）向量加法满足交换律与结合律；
【课堂小结】 1）向量的有关概念: ①向量②零向量③单位 向量④平行向量（共线向量）⑤相等向量 2）向量加法减法: 3)实数与向量的积 4)两个向量共线定理
5)两个向量共线定理 a 向量 b与非零向量 共线 实数 ，使得 b = a 。
有且只有一个
例1、判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)若 a b , 则a b (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 (5)两相等向量若共起点 ,则终点也相同 a c (6)若a ， ，则 ； b b c (7)若a // b ，b // c ，则 a // c (8) 四边形ABCD是平行四边形,则 AB CD, BC DA (9)已知A（3，7），B（5，2），将 AB按向量 a =（1，2）平移后得到的向量 AB 的坐标为 （3，－3 ） (10） a b 的充要条件是| a || b | 且 a // b ；
向量及其加减法,向量与数的乘法
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以M1为起点，M2 为终点的有向线段.
向量的模： 向量的大小.| a| 或 | M1M2 |
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
四、小结
向量的概念（注意与标量的区别） 向量的加减法（平行四边形法则） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
思考题
已知平行四边形ABCD的对角线
AC a,
BD b
10、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的
11、始 要使点，a则b终点a构 b成成__立__，__向__量_a__,_b_应__满__足_____；_____
12、_要__使__a___b___a____b_成_；立，向量a,
b 应满足_______
___________ .
二、用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平 行四边形 .
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
二、向量的加减法
[1]
加法：a
b
c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a‖
a b
向量及其运算
以a、b的坐标表示式代入, 即得 x=2(2, 1, 2)-3(-1, 1, -2) =(7, -1, 10), y=3(2, 1, 2)-5(-1, 1, -2) =(11, -2, 16).
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铃
四、利用坐标作向量的线性运算
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•向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个
向量平行. 向量a与b平行, 记作a//b. 零向量认为是与任何向量都平行.
•共线向量与共面向量
a//b//c
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它们的终点和公
共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
(2) 数 轴 的 的 正 向 通 常 符 合 右手规则.
原点
y轴 x轴
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•坐标面 在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平
面, 这种平面称为坐标面. 三个坐标面分别称为xOy 面, yOz面和zOx面.
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•坐标面
在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平 面, 这种平面称为坐标面.
❖空间直角坐标系
在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k, 就 确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴, 依次记为x轴(横 轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴), 统称为坐标轴. 它们构成一个空 间直角坐标系, 称为Oxyz坐标系.
z轴
说明：
(1)通常把x轴和y轴配置在水 平面上, 而z轴则是铅垂线;
向量的运算律及其应用
向量的运算律及其应用向量是数学中常用的一种表示方式，它具有大小和方向的特性。
在实际问题中，向量的运算律是解决向量相关问题的重要工具。
本文将介绍向量的基本运算律，并探讨它们在实际应用中的具体运用。
一、向量的基本运算律1. 向量的加法向量的加法是指两个向量相加后得到一个新向量的操作。
对于两个向量A和A来说，它们的加法运算可以表示为A = A + A。
向量的加法满足以下运算律：- 交换律：A + A = A + A- 结合律：(A + A) + A = A + (A + A)2. 向量的减法向量的减法是指两个向量相减后得到一个新向量的操作。
对于两个向量A和A来说，它们的减法运算可以表示为A = A - A。
向量的减法满足以下运算律：- A - A = A + (-A)3. 向量的数乘向量的数乘是指一个向量乘以一个实数得到一个新向量的操作。
对于一个向量A和一个实数A来说，它们的数乘运算可以表示为A= AA。
向量的数乘满足以下运算律：- 结合律：A(AA) = (AA)A- 分配律：(A + A)A = AA + AA二、向量运算律的应用1. 向量的线性组合向量的线性组合是指将若干个向量按一定比例相加得到一个新向量的操作。
例如，给定向量A、A和A，它们的线性组合可以表示为AA + AA + AA，其中A、A和A为实数系数。
2. 向量的数量积向量的数量积（内积）是指两个向量相乘后得到一个实数的操作。
对于两个向量A和A来说，它们的数量积可以表示为A·A = |A||A|cosθ，其中|A|和|A|分别表示向量的模，θ为两个向量之间的夹角。
3. 向量的向量积向量的向量积（叉积）是指两个向量相乘后得到一个新向量的操作。
对于两个向量A和A来说，它们的向量积可以表示为A×A= |A||A|sinθA，其中|A|和|A|分别表示向量的模，θ为两个向量之间的夹角，A为垂直于向量A和A所在平面的单位向量。
§7.1向量及其运算1
设有两非零向量
a
与
b
O
，任取空间一点
b
O
，
B
作 OA a ， OB b ，规定不超过 的角 AOB
（设 q
AOB,
0
q
）称为向量
a
与
b
的
夹角。记为
(a,
b)
或
(a
b)
，即
(a,
b)
q
。
如果向量a
与b
中有一个是零向量，规定
它们的夹角可在0 与 之间任意取值。
类似地可以规定向量与一轴 的夹角或空间两轴的夹角。
§7.1向量及其运算
7.1.1 向量的概念
B
向量： 既有方向又有大小的量。
常用有向线段来表示向量。
AB A
以 A为 起点，B为 终点的有向线段所表示的向量
记作 AB ，或a 。
向量的模：向量的大小，记作
a
。
单位向量：模等于 1 的向量。与非零向量a同 向的单
位向量称为向量a
的单位向量，记作a
。
零向量：模等于零的向量，记为0 ，其方向不定。
∵
a (a b )
0
，
a
(c
a
)
0
，
∴
a (b c )
0
，故a ,
b, c
共面。
作业
习 题 一 （P67）
3（做在书上）； 4 ；5 ；6 。
设物体在常力F 作用下沿某直线移动，其位移为S ，
则作用在物体上的常力F 所作的功为
F
W F S cos q 。 W F ·S 。
其中q 定义 3
为两力向F 量与a位、移bS的的模夹及角其。夹角的A 余弦q的乘S 积，
向量的四则运算公式
向量的四则运算公式一、向量加法。
1. 三角形法则。
- 已知向量→a与→b，将→b的起点平移至→a的终点，则从→a的起点指向→b的终点的向量就是→a+→b。
- 公式：设→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a+→b=(x_1 + x_2,y_1 + y_2)。
2. 平行四边形法则。
- 以同一点O为起点的两个已知向量→a，→b为邻边作平行四边形，则以O 为起点的对角线向量就是→a+→b。
二、向量减法。
1. 三角形法则。
- 已知向量→a与→b，将→a与→b的起点平移到同一点，则从→b的终点指向→a的终点的向量就是→a-→b。
- 公式：设→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a-→b=(x_1 - x_2,y_1 - y_2)。
三、向量数乘。
1. 定义。
- 实数λ与向量→a的乘积是一个向量，记作λ→a。
- 当λ>0时，λ→a与→a方向相同；当λ = 0时，λ→a=→0；当λ<0时，λ→a 与→a方向相反。
2. 公式。
- 设→a=(x,y)，则λ→a=(λ x,λ y)。
四、向量的数量积（内积）1. 定义。
- 已知两个非零向量→a与→b，它们的夹角为θ(0≤slantθ≤slantπ)，则→a·→b=|→a||→b|cosθ。
2. 坐标表示。
- 设→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a·→b=x_1x_2 + y_1y_2。
向量没有除法运算，因为向量之间的除法没有唯一确定的结果，但是在一些特殊情况下，可以通过向量的数量积和向量的模等概念来求解类似的问题。
空间向量及其运算
2. 共线向量定理：空间任意两个 向量a、b(b≠0)，a//b的充要条件是
存在实数l，使a=lb.
3. 向量与平面平行
4. 共面向量定理：如果两个向量a， b不共线，p与向量a，b共面的充要条 件是存在实数x，y使 p=xa+yb.
三、空间向量基本定理： 如果三个向量a，b，c不共面，那
么对空间任一向量p，存在一个唯一的 有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc.
四、空间向量数量积：
已知向量a，b，则|a| |b|cosa，b 叫做a，b的数量积，记作a ·b，即 a ·b= _|_a_| |_b_|c_o_s__a_，__b_ . 其中a，b为 向量a与b的夹角，且范围是
____0_<__a_、__b__<_p_.
1.正四棱锥P - ABCD中，O为底
OAB=60°，
O
求OA与BC的夹角的余弦值.
Hale Waihona Puke ACB5、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
AB=BC=4，E为A1C1与B1D1的交点，F
为BC1的交点，
D1
又AFBE，求长方体 A1
的高BB1.
D A
E
C1
B1 F
C B
的模为______2_3___ .
3. 已知线段AB，BD在平面a内， BDAB，线段ACa，若AB=a， BD=b，AC=c，则C、D间的距离
为_____________a_2_. b2 c2
C
cD
a A a Bb
4、在空间四边形OABC中，OA=8，
AB=6，AC=4，BC=5， OAC=45° ，
面中心，设AB i，BC j，OP k, E
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全（实用版）目录1.向量的加法和减法2.向量的数乘3.向量的点积4.向量的叉积5.向量的模和夹角6.齐次坐标和变换正文一、向量的加法和减法向量的加法和减法是向量运算中最基本的运算，其定义和规则与我们熟悉的数值加减法类似。
给定两个向量 A 和 B，其加法和减法定义如下：A +B = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)A -B = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)二、向量的数乘向量的数乘是向量与标量的乘积，其结果是一个向量，其模长是原向量模长的 k 倍，方向与原向量相同或相反，k 为标量。
给定一个向量 A 和一个标量 k，其数乘定义如下：kA = (ka1, ka2, ka3)三、向量的点积向量的点积，又称内积，是一种计算两个向量之间相似度的方法。
其结果是一个标量，其值等于两个向量模长的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
给定两个向量 A 和 B，其点积定义如下：A·B = |A|*|B|*cosθ四、向量的叉积向量的叉积，又称外积，是一种计算两个向量之间垂直度的方法。
其结果是一个向量，其模长等于两个向量模长的乘积与它们的夹角的正弦值的乘积，方向垂直于两个向量构成的平面。
给定两个向量 A 和 B，其叉积定义如下：A ×B = (a2*b3 - a3*b2, a3*b1 - a1*b3, a1*b2 - a2*b1)五、向量的模和夹角向量的模，又称向量的长度，是向量的一种度量，等于向量对应端点之间的距离。
给定一个向量 A，其模定义如下：|A| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)向量的夹角，是向量 A 与向量 B 之间的角度，其范围在 0 到π之间。
给定两个向量 A 和 B，它们的夹角定义如下：θ = arccos(A·B / (|A|*|B|))六、齐次坐标和变换齐次坐标是一种用于表示向量的简化方法，它可以将向量的三个分量表示为一个三个元素的序列。
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
基本的向量运算包括向量加法、向量减法、标量乘法和向量点乘等。
1. 向量加法：对于向量A和向量B，其加法定义为A + B = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)，即分别对应元素相加。
2. 向量减法：向量减法即为向量加法的逆运算。
对于向量A和向量B，其减法定义为A - B = (a1 - b1, a2 - b2, ..., an - bn)，即分别对应元素相减。
3. 标量乘法：标量乘法指的是将一个实数与向量的每个分量相乘。
对于向量A和标量k，其标量乘法定义为kA = (ka1, ka2, ..., kan)，即每个分量都乘以k。
4. 向量点乘（内积）：向量点乘是向量运算中的一种重要操作，也称为内积。
对于向量A和向量B，其点乘定义为A · B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn，即对应元素相乘并求和。
5. 向量长度（模）：向量的长度或模表示向量的大小，通常用两个竖线表示，例如 ||A||。
对于二维向量A(x, y)，其长度计算公式为 ||A|| =√(x^2 + y^2)。
对于n维向量A(x1, x2, ..., xn)，其长度计算公式为||A|| = √(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)。
6. 向量的单位化：对一个非零向量A，单位化后得到一个与之方向相同，长度为1的向量，称为A的单位向量。
单位化向量的计算公式为A' = A / ||A||，即向量A除以其长度。
7. 向量的投影：向量的投影描述了一个向量在另一个向量上的分解。
对于向量A和向量B，向量B在A上的投影记为Proj_A(B)，计算公式为 Proj_A(B) = (B · A / ||A||^2) * A。
8. 向量的夹角：两个非零向量A和B之间的夹角θ可通过向量的点乘和向量的长度公式计算得到，计算公式为cosθ = (A · B) / (||A|| * ||B||)。
10.1 向量及其运算
负向量 (1) a 称为 a 的负向量，记为 a ．
差运算 a 与 b 的和称为 a 与 b 的差，
记为 a b．
C
b
b
A
a
a b
B
C
b
D
a b
a b
A
a
B
三角形法则
平行四边形法则
向量满足下列运 算规律：
(1)
交换律
a b b a
a
b
(3)
Prj b a
a b
e
a
b
|a|
Prj a b
a b
e
b
a
|b|
例 1.设
a, b, c
是三个任意向量，若分别以OA, OB 和OC表示，
点P,Q, R, S 分别是线段 OA, AB, BC,CO 的中点．试分别
求出OP
,OQ ,OR,OS与a,
b,
c的关系式，从而推证
PQ
SR．
解
显然，OP
1 2
OA
1 2
a
，OS
1 2
OC
1 2
c
b
)
时， 则称
a
与
b
垂 直(正 交 ） ，记
a b．
2
定义
给定向量 a
向量及其运算
数量的定义数学中，把只有大小但没有方向的量叫做数量（或纯量），物理中常称为标量。
向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量）。
注：在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组，称为n 维向量。
α=（a1，a2，…，an）称为n维向量.其中ai称为向量α的第i个分量。
（"a1"的"1"为a的下标，"ai"的"i"为a的下标,其他类推）。
向量的表示1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ…或a、b、c …等来表示，手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示。
2、几何表示：向量可以用有向线段来表示。
有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
（若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。
这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。
）3、坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底。
a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。
由平面向量基本定理知，有且只有一对实数（x，y），使得 a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）。
这就是向量a的坐标表示。
其中（x，y）就是点P的坐标。
向量OP称为点P的位置向量。
向量的模和向量的数量向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。
向量a的模记作|a|。
注：1、向量的模是非负实数，是可以比较大小的。
2、因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。
对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。
例如，“向量AB>向量CD”是没有意义的。
特殊的向量单位向量长度为单位1的向量，叫做单位向量．与向量a同向且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。
零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0．零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。
2.向量及其运算
设 a 为一向量, 与 a 的模相同而方向相反 的向量叫做 a 的负向量 , 记作 a.
两个向量 b 与 a 的差
a ba b a
b a b (a ).
B
O
b a
ba
A
三角不等式 a b a b, a b a b.
10
其中等号在 a 与 b 同向或反向时成立.
如图知a M 1 M 2 M 1 P M 1Q M 1 R ( x 2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z 2 z1 )k a x i a y j az k 其中向量a x i，a y j，a z k 分别称为向量a在x轴, y轴, z轴上的分向量，
z
R
P
M1
M2
Q
o
x
y
27
z
R
M1
由图分析可知
o
x
P
M2
Q
y
a y | M 1 M 2 | cos | a | cos
a x | M1 M 2 | cos | a | cos
az | M1 M 2 | cos | a | cos
2
向量也可用粗体字母表示, 如 a , i , v , F 等等, 向量还可用在上面 加箭头的书写体字母 表示, 如a , i , v , F 等等.
向量的大小叫做向 量的模.向量 M1 M 2、a、a 的模依次记作 M1 M 2 、 a、 a.
向量的模
单位向量
模等于1 的向量叫做单位向量 , 用ea 表示与 非零向量a同方向的单位向量.
§2 向量及其运算
向量及其线性运算
向量的概念及其运算
坐标,记为 OA = x, y .
注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.
3.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量
a 与 b 相等,记为 a b .
课堂练习:
4.正方形 PQRS 对角线交点为 M，坐标原点 O 不在正方形内部，
A 且
OP
=（0，3），
OS
=（4，0），则
RM
=(
)
(A)（ 7 , 1 ） (B)（ 7 , 1 ） (C)（7，4） (D)（ 7 , 7 ）
22
22
22
5.已 知 a (1，2)，b x，1 ,且 a 2b 与 2a b 平 行,则 x 等 于
OA AB OB
实数与 向量的 乘积
三角形法则
两个向 量的数 量积
AB =λ a
λ ∈R
记 a =(x,y)
则 a =(λ x,λ y)
ab a b cos a,b 记 a (x1, y1),b (x2, y2)
则 a · b =x1x2+y1y2
向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量 的数量积运算.
当基底 i, j 是两个互相垂直的单位向量时,
就建立了平面直角坐标系.如图
a xi y j 一一对应(x, y)
⑴当向量起点在原点时,定义向量坐标
为终点坐标,即若 A(x，y),则 OA =（x,y）;
⑵当向量起点不在原点时,向量 AB 坐标为终点坐标减
向量运算归纳(全)
向量运算归纳(全)向量是数学中一种常见而重要的概念。
向量运算是对向量进行各种操作和运算的过程。
本文将对向量运算进行归纳和总结，包括向量的加法、减法、数量乘法以及点积和叉积等。
向量加法向量加法是指将两个向量按照对应分量相加的运算。
如果有两个向量 A 和 B，分别表示为 A=(a1, a2, a3) 和 B=(b1, b2, b3)，则它们的和定义为：A + B = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)。
向量减法向量减法是指将两个向量按照对应分量相减的运算。
如果有两个向量 A 和 B，分别表示为 A=(a1, a2, a3) 和 B=(b1, b2, b3)，则它们的差定义为：A - B = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)。
数量乘法数量乘法是指将一个实数与一个向量的每个分量相乘的运算。
如果有一个实数 k 和一个向量 A，表示为 A=(a1, a2, a3)，则数量乘法定义为：kA = (k * a1, k * a2, k * a3)。
点积点积也称为内积，是指将两个向量的对应分量相乘再求和的运算。
如果有两个向量 A 和 B，分别表示为 A=(a1, a2, a3) 和 B=(b1, b2, b3)，则它们的点积定义为：A · B = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3。
叉积叉积也称为向量积，是指通过两个向量的叉乘运算得到一个新的向量。
如果有两个向量 A 和 B，分别表示为 A=(a1, a2, a3) 和B=(b1, b2, b3)，则它们的叉积定义为：A × B = (a2 * b3 - a3 * b2, a3 * b1 - a1 * b3, a1 * b2 - a2 * b1)。
向量运算在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
通过对向量运算的归纳和总结，我们可以更好地理解和应用向量。
---参考文献:。
向量及其运算
№2向量及其运算1. 向量的生成①逐个元素直接输入向量元素需要有“[ ]”括起来,元素之间可以用空格、逗号或分号分隔。
用空格和逗号分隔生成行向量，用分号分隔生成列向量。
例：a=[1 2 3 0 -4 5.1]b=[0.1;3;5;8]②利用冒号表达式生成通过设定“步长(step)”，生成一维行向量，通用格式为：x=x0:step:xn。
x表示向量的首元素值，xn表示尾元素数值限，step表示从第个元素开始，每一个元素与前一个元素的差值. step=1时，可省略此项的输入，直接写成x=x0:xn。
例：x=0:2:10y=1:2:10z=1:5③定数线性采样生成设定总点数n下，均匀采样生成一维行向量。
通用格式为x=linspace(a,b,n)。
a，b分别是生成向量的第一个和最后一个元素，n是采样总点数。
该指令生成的数组相当于由a:(a-b)/(n-1):b生成的数组。
缺省n时，生成100维的行向量。
clear %清除工作空间中的所有变量.x=linspace(-5,5,11)y=-5:10/10:5z=linspace(-5,5)④定数对数采样生成向量设定总点数n下，经“常用对数”均匀采样生成一维行向量。
通用格式为x=logspace(a,b,n) 。
生成数组的第一个元素值为10a，最后一个元素值为10b，n为采样总点数，缺省时，生成50维的行向量。
例如：clear %清除工作空间中的所有变量.x=logspace(1,5,5)y=1:(5-1)/(5-1):5xx=10.^yz=logspace(1,5)2. 向量元素的引用格式为：向量名（下标范围或元素所满足的条件）。
例：clearrand('state',0) %把均匀分布伪随机发生器置为初始状态x=rand(1,5) %产生（1×5）的均匀分布随机数组x(3) %引用数组x的第三个元素y=x([1 2 5]) %引用数组x的第一、二、五个元素z=x(1:3) %引用数组x的前三个元素w=x(3:end) %引用数组x的从第三个元素以后的元素v=x(3:-1:1) %由数组x的前3个元素倒排构成的了数组u=x(find(x>0.5)) %数组x中大于0.5的元素构成的子数组t=x([1 2 3 4 4 3 2 1]) %重复引用数组x中的元素构成的数组3. 向量与标量、向量与向量的运算①四则运算（＋－ * / \ .* ./ .\）标量a与向量x进行四则运算是a分别与x中的每个元素进行四则运算并生一个与x 等长的向量。
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№2向量及其运算
1. 向量的生成
①逐个元素直接输入向量元素需要有“[ ]”括起来,元素之间可以用空格、逗号或分号分隔。
用空格和逗号分隔生成行向量，用分号分隔生成列向量。
例：
a=[1 2 3 0 -4 5.1]
b=[0.1;3;5;8]
②利用冒号表达式生成通过设定“步长(step)”，生成一维行向量，通用格式为：
x=x
0:step:x
n。
x
表示向量的首元素值，x
n
表示尾元素数值限，step表示从第个元素开
始，每一个元素与前一个元素的差值. step=1时，可省略此项的输入，直接写成
x=x
0:x
n。
例：
x=0:2:10
y=1:2:10
z=1:5
③定数线性采样生成设定总点数n下，均匀采样生成一维行向量。
通用格式为
x=linspace(a,b,n)。
a，b分别是生成向量的第一个和最后一个元素，n是采样总点数。
该指令生成的数组相当于由a:(a-b)/(n-1):b生成的数组。
缺省n时，生成100维的行向量。
clear %清除工作空间中的所有变量.
x=linspace(-5,5,11)
y=-5:10/10:5
z=linspace(-5,5)
④定数对数采样生成向量设定总点数n下，经“常用对数”均匀采样生成一维行向量。
通用格式为x=logspace(a,b,n) 。
生成数组的第一个元素值为10a，最后一个元素值为10b，n为采样总点数，缺省时，生成50维的行向量。
例如：
clear %清除工作空间中的所有变量.
x=logspace(1,5,5)
y=1:(5-1)/(5-1):5
xx=10.^y
z=logspace(1,5)
2. 向量元素的引用
格式为：向量名（下标范围或元素所满足的条件）。
例：
clear
rand('state',0) %把均匀分布伪随机发生器置为初始状态
x=rand(1,5) %产生（1×5）的均匀分布随机数组
x(3) %引用数组x的第三个元素
y=x([1 2 5]) %引用数组x的第一、二、五个元素
z=x(1:3) %引用数组x的前三个元素
w=x(3:end) %引用数组x的从第三个元素以后的元素
v=x(3:-1:1) %由数组x的前3个元素倒排构成的了数组
u=x(find(x>0.5)) %数组x中大于0.5的元素构成的子数组
t=x([1 2 3 4 4 3 2 1]) %重复引用数组x中的元素构成的数组
3. 向量与标量、向量与向量的运算
①四则运算（＋－ * / \ .* ./ .\）
标量a与向量x进行四则运算是a分别与x中的每个元素进行四则运算并生一个与x 等长的向量。
等长的两个向量才能进行四则运算，向量x与y进行四则运算是这两个向量的对应元素分别进行四则运算并生成一个与它们等长的向量。
例如：
clear
x=[1 2 3 0 -4 5]
y=2*x-2
z=x/2+1
w=2\x %2\x=2-1*x，不能进行"2/x"运算
u=x+y
v=x.*y
t=x./y
s=x.\y
②幂运算（.^）
向量x与标量a的幂运算是对x的每一个元素施行幂运算，向量x与向量y的幂运算是元素对元素的幂运算。
例如：
clear
x=[1 2 3 0 -4 5]
y=x.^2
y1=2.^x
z=x.^[1 2 2 0 -1 0]
③指数运算、对数运算与开方运算等
在MATLAB中，数组的运算实质上是数组内部每个元素的运算，因此，数组的指数运算、对数运算与开方运算等与标量运算完全一样，运算函数分别为“exp”、“log”、“sqrt”等。
例如：
clear
x=[1 2 3 0 4 5]
y=exp(x) %施行的是以e为底的指数运算
z=log(x) %施行的是以e为底的对数运算
v=sqrt(x)
u=sin(x)。